人教版八年级数学上册 第13章 等边三角形 专题复习讲义

等边三角形知识点一、等边三角形的性质和判定知识概念：1、至少有两边相等的三角形，叫做等腰三角形2、三边相等的三角形，叫做等边三角形思考：下列两个说法是正确的还是错误的？（1）等边三角形是等腰三角形（）（2）等腰三角形是等边三角形（）所以，等边三角形_______等腰三角形，但等腰三角形_______等边三角形等边三角形的性质：1、三边相等2、三个内角都是60°3、三线合一等边三角形的判定：1、三边相等2、三个内角都是60°3、两边相等，一个角60°知识点二、含30°的直角三角形定理：30°所对直角边为斜边的一半例1、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，若CE=3cm，求BE 的长.1、已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是（）A、等腰直角三角形B、一般的等腰三角形C、等边三角形D、等腰钝角三角形2、如图，是屋架设计图的一部分。

点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB＝7.4m,∠A＝30°，则BC= cm 、DE= cm3、如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，AB+BC=12cm，则AB=______cm4、如图，∠AOB= 30°，P是角平分线上的点，PM⊥OB于M，PN//OB交OA于N，PM=1cm，则PN=________.5、如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为6、等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，则此三角形的三个角的度数分别是__________7、等边三角形的两条中线相交所成的钝角的度数是________.8、如图在△ABC中,AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=15°,CD是腰AB上的高，求CD的长9、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC于D。

13等边三角形在物理学中，通向更深入的基本知识的道路是同最精密的数学方法联系着的，只是在几乎独立的科学研究工作以后，我才逐渐地明白了这一点．——爱因斯坦知识纵横等边三角形是特殊的等腰三角形，有以下丰富的性质：1．三边相等，三角相等，每个角等于60︒．2．每条边上的高线、中线、所对角的平分线互相重合．3．等边三角形内任意一点到三边距离和是一个定值，等于一边上的高．判定等边三角形的基本方法有：1．从边入手，证明三边相等．2．从角入手，证明三角相等或证明两个角都为60︒．3．从边角入手，有一个角为60︒的等腰三角形是等边三角形．不一样的拿破仑——数学爱好者、法国数学的早期推动者．在南征北战的军事行动中，拿破仑的身边总是簇拥着数学家、科学家，他在数学上有较深造诣，时常与学者讨论科学问题，甚而出“难题”． 例题求解【例1】（1）如图①，C 为线段AE 上一动点（不与A ，E 重合），在AE 同侧分别作正ABC △和正CDE △，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ．以下5个结论：①AD BE =；②PQ AE ∥；③AP BQ =；④DE DP =；⑤60AOB ∠=︒，恒成立的有__________（把你认为正确结论的序号都填上）．（2）如图②，一个六边形的每个内角都是120︒，连续四边的长依次是2.7、3、5、2，则该六边形的周长是__________．图①Q E CBA POD思路点拨 对于（1），发现多边全等三角形是解题的基础；对于（2），通过向外补形，将六边形的问题转化为三角形或四边形的问题加以解决．【答案】（1）①②③⑤．（2）20.7．【解析】（1）∵AC BC =，ACD BCE ∠=∠，CD CE =，∴ACD △≌(SAS)BCE △，∴AD BE =．（①对）∴CAD CBE ∠=∠，∴60AOB ACB ∠=∠=︒．（⑤对）又∵AC BC =，ACP BCQ ∠=∠，∴ACP ∠≌(ASA)BCQ △，∴AP BQ =，PC QC =，（③对）又∵60BCQ ∠=︒，∴PCQ △是等边三角形，∴60CPQ ∠=︒，∴PQ AE ∥．（②对）若DE DP =，则DP DC =，PCD △应为等边三角形，DP AE ∥，与已知条件矛盾，所以④错．（2）如图，将原六边形每条边双向延长可得三个等边三角形，并补形成为一个大的等边三角形．由图可知，剩余两边之和是8，所以六边形周长为20.72.7235图②D OPA BC E Q提示：将原六边形每条边双向延长可得多个等边三角形．【例2】如图，P 是等边ABC △内部一点，APB ∠、BPC ∠、CPA ∠的大小之比是5:6:7，则以PA 、PB 、PC 为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是（ ）．A ．2:3:4B ．3:4:5C ．4:5:6D ．不能确定思路点拨解本例的关键是怎样构造以PA 、PB 、PC 为边的三角形．若把PAB △、PBC △、PCA △中的任一个绕一个顶点旋转60︒，就可以把PA 、PB 、PC 有效地集中在一起．【答案】A 【解析】如图，将ABP △绕B 点顺时针旋转60︒，得到CBD △，因为BDC △≌CPA △，所以PBD △是等边三角形，因为::5:6:7APB BPC CPA ∠∠∠=，所以100APB ∠=︒，120BPC ∠=︒，140CPA ∠=︒，所以1206060CPD ∠=︒-︒=︒，1006040PDC ∠=︒-︒=︒，所以80PCD ∠=︒．所以以PA ，PB ，PC 为边组成的三角形三角大小之比为2:3:4．【例3】如图，ABC △中，60B ∠=︒，延长BC 到D ，延长BA 到E ，使AE BD =，连CE 、DE ，若82.72.7555322.7C BA P DPAB CCE DE =，求证：ABC △是等边三角形．思路点拨只需证明AB CB =．条件AE BD =，CE DE =能导出什么结论？延长BD 至F ，使DF BC =． 【答案】见解析．【解析】延长BD 至F ，使DF BC =，连EF ，则BCE △≌FDE △，EB EF =．∵60B ∠=︒，∴EBF △为等边三角形．∴EB FB =，∵AE BD =，BD CF =，∴AE CF =．∴AB CB =，故ABC △为等边三角形．【例4】问题背景某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图①，在正三角形ABC 中，M 、N 分别是AC 、AB 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若60BON ∠=︒，则BM CN =．②如图②，在正方形ABCD 中，M 、N 分别是CD 、AD 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若90BON ∠=︒，则BM CN =．EC BA D 图①MNCB A O图②M N CBA O D然后运用类比的思想提出了如下命题：③如图③，在正五边形ABCDE 中，M 、N 分别是CD 、DE 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若108BON ∠=︒，则BM CN =．任务要求：（1）请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明．（2）请你继续完成下面的探索：①如图④，在正(3)n n ≥边形ABCDEF L 中，M 、N 分别是CD 、DE 上的点，BM 与CN 相交于点O ，请问：当BON ∠等于多少度时，结论BM CN =成立？（不要求证明）②如图⑤，在正五边形ABCED 中，M 、N 分别是DE 、AE 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若108BON ∠=︒时，请问：结论BM CN =是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．思路点拨 对于（2）中的②问，图⑤与图③是有差别的，连BD 、CE ，设法证明BDM △≌CEN △．【答案】见解析．【解析】（1）略．（2）①当(2)180n BON n-⨯︒∠=时，结论BM CN =成立． ②当108BON ∠=︒时，BM CN =成立． 如图，连接BD 、CE ，由BCD △≌CDE △，得BD CE =，图③M NECB AO D 图④M NF EC BAO D 图⑤MNE C BA O DBDC CED ∠=∠，DBC ECD ∠=∠．∵108CDE DEA ∠=∠=︒，∴BDM CEN ∠=∠，∵108OBC OCB ∠+∠=︒，108OCB OCD ∠+∠=︒，∴MBC NCD ∠=∠，又36DBC ECD ∠=∠=︒，∴DBM ECN ∠=∠．∴BDM △≌CEN △，故BM CN =．【例5】如图，在等腰ABC △中，AB AC =，顶角20A =︒，在边AB 上取点D ，使AD BC =，求BDC ∠的度数．【答案】见解析．【解析】分析 由条件知底角为80︒、20︒、80︒，并不是特殊角，但它们的差却为60︒，60︒使我们联想到等边三角形，由此找到解题突破口．解法一 如图①，以BC 边为边在ABC △内作等边BCO △，连AO ，由图形的轴对称知，ABO △≌ACO △．∴10BAO CAO ∠=∠=︒，20ABO ∠=︒，150AOB AOC ∠=∠=︒．又BO BC AD ==，∴ACD △≌BAO △，∴150ADC AOB ∠=∠=︒．∴30BDC ∠=︒．D O A B CE N MD ABC解法二 如图②，以AC 为边作等边ACE △，连DE ，则80BAE ∠=︒，AC AE CE ==．∵AD BC =，80B DAE ∠=∠=︒，AB AC AE ==，∴ADE △≌BCA △，∴20AED ∠=︒，80ADE ∠=︒，∴AE DE EC ==，602040DEC ∠=︒-︒=︒，∴70CDE ∠=︒，8070150ADC ∠=︒+︒=︒，∴30BDC ∠=︒．不变量与不变性 在纷繁变化的大自然中，寻求不变量与不变性，是科学探究的目的．化学中的化学反应平衡方程式、物理学中的动量守恒定律、能量守恒定律等都是某种不变性的探究结果．数学，则要在数量变化中或空间结构变化中探寻隐含其中的不变量与不变性．南唐主李煜的词“雕栏玉砌应犹在，只是朱颜改”，从侧面反映了不变量与不变性．在数学中，等边三角形是轴对称图形，结构匀称，具有丰富的守恒性．【例6】已知：等边ABC △的边长为a ，P 为其内任意一点，PD AB ⊥于点D ，PE BC ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F ．求证：（1）PD PE PF ++=． （2）32AD BE CF a ++=． 图①O CBA D ECBAD图②（3）212PBD PCE PAF ABC S S S S ++==△△△△． （4）222222AD BE CF BD CE AF ++=++．【答案】见解析．【解析】分析 由垂线想到面积、勾股定理，对于（2）和（3），用过作平行线，构造平行四边形和正三角形，代换转化问题．证明：（1）如图①，连接PA 、PB 、PC ，记BC 边上的高为h ． ∵PAB PBC PAC ABC S S S S ++=△△△， ∴11112222AB PD BC PE CA PF BC h ⋅+⋅+⋅=⋅． 即11112222a PD a PE a PF a h ⋅+⋅+⋅=⋅．∴PD PE PF h ++==． （2）如图②，过点P 分别作ABC △三边的平行线，易得四边形PIAR 、四边形PGBS 、四边形PHCT 都是平行四边形，PRG △、PSH △、PTI △都是等边三角形．则有 AR HC =，DR DG =，BS AI =，SE EH =，CT BG =，TF FI =． ∴AD BE CF AR RD BS SE CT TF ++=+++++HC DG AI EH BG FI =+++++BD CE AF =++12ABC C =△ 32a =． F E CB AP D图①DPAB CEF（3）如图②，同理得PDG PDR S S =△△，PBG PBS S S =△△，PEH PES S S =△△， PCH PCT S S =△△，PFI PFT S S =△△，PAI PAR S S =△△，∴PBD PCE PAF PAD PBE PCF S S S S S S ++=++△△△△△△12ABC S =△2=． （4）如图③，连接PA 、PB 、PC ，则222AD PA PD =-，222BE PB PE =-，222CF PC PF =-，222BD PB PD =-，222CE PC PE =-，∴222222AD BE CF BD CE AF ++=++．学力训练基础夯实1．如图，在等边ABC △中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且AD CE =，则BCD CBE ∠+∠=__________． T GI RS HDP AB C E F 图②D P AB CEF 图③【答案】60︒【解析】∵AD CE =，DAC ECB ∠=∠，AC CB =，∴DAC △≌(SAS)ECB △，∴ACD CBE ∠=∠，∵60BCD ACD ∠+∠=︒，∴60BCD CBE ∠+∠=︒．2．如图，P 是正ABC △内的一点，且6PA =，8PB =，10PC =，若将PAC △绕点A 旋转后，得到P AB '△，则点P 与P '之间的距离为__________，APB ∠=__________． 【答案】6，150︒【解析】因为AP B '△≌APC △，所以APP '△是等边三角形，所以6P P AP '==，60APP '∠=︒，因为6PP '=，8P B PB '==，10PC =，∴P PB '△是直角三角形，∴9060150APB ∠=︒+︒=︒．3．如图，在ABC △中，AB AC =，D 、E 是ABC △内的两点，AD 平分BAC ∠，60EBC E ∠=∠=︒，若6cm BE =，2cm DE =，则BC =__________cm ．ECBA DP'CBA PPA BC P'【答案】8【解析】延长BD 交BC 于M ，延长EO 交BC 于F ，因为60EBC E ∠=∠=︒，所以BEF △是等边三角形，又因为AM BC ⊥，所以30MDF ∠=︒，因为6BE =，2DE =，所以4DF =，所以2MF =所以624BM BF MF =-=-=，所以28(cm)BC BM ==．4．如图，在ABC △中，AB AC =，120A ∠=︒，6cm BC =，AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点F ，则MN 的长为（ ）．A ．4cmB ．3cmC ．2cmD ．1cm【答案】C【解析】连接AM 、AN ，因为AB AC =，120A ∠=︒，所以30B C ∠=∠=︒，因为ME 垂直平分AB ，NF 垂直平分AC ，所以MB MA =，NA NC =．所以30MAB B ∠=∠=︒，30NAC C ∠=∠=︒，ECBA DF M DAB C EMNF E C BA所以60MAN A MAB NAC ∠=∠-∠-∠=︒，所以MAN △是等边三角形，所以BM MN NC ==，因为6BC =，所以2MN =．故选C ．5．如图，在ABC △中，5AB AC ==，6BC =，点M 为BC 的中点，MN AC ⊥于点N ，则MN 等于（ ）．A ．65B ．95C ．125D ．165【答案】C 【解析】连接AM ，因为AB AC =，M 为BC 中点，所以AM BC ⊥，因为6BC =，所以3CM =，又因为5AC =，所以4AM =．由面积法可得AM MC MN AC ⋅=⋅， 所以125MN =． 故选C ．6．如图，过边长为1的等边ABC △的边AB 上一点P ，作PE AC ⊥于E ，Q 为BC 延长线上一点，当A B C E F N MM NC B AAB C NPA CQ =时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（ ）．A ．13B ．12C ．23D ．不能确定【答案】B 【解析】过点P 作PF BC ∥交AC 于F ，则APF △是等边三角形，所以PF AP =，因为AP CQ =， ∴PF CQ ∥，所以PFQ △≌QCD △，∴FD CD =，因为PE AF ⊥，所以AE EF =， ∴11111()22222ED EF FD AF CF AF CF AC =+=+=+==． 故选B ．7．数学课上，李老师出示了如下框中的题目．Q EC BAPD F D PAB C EQ小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E 为AB 的中点时，如图①，确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论：AE __________DB （填“>”、“<”或“=”）．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE 与DB 的大小关系是：AE __________DB （填“>”、“<”或“=”）．理由如下： 如图②，过点E 作EF BC ∥，交AC 于点F ．（请你完成以下解答过程）（3）拓展讨论，设计新题在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED EC =．若ABC △的边长为1，2AE =，求CD 的长（请你直接写出结果）． 【答案】（1）=．（2）=．（3）1或3．【解析】（1）因为E 为AB 中点，所以AE EB =，CE 平分ACB ∠，所以30ECD ∠=︒，因为EC ED =，∴30EDC ∠=︒，因为60EBC ∠=︒，所以30BED ∠=︒，所以BD BE =，∴BD AE =．（2）因为ED EC =，所以EDB ECB ∠=∠，因为EF BC ∥，所以ECB FEC ∠=∠，又因为DBE EFC ∠=∠，ED EC =，图①D ABC EFD AB CE 图②所以DBE △≌(AAS)EFC △，所以DB EF =，所以DB AE =．（3）如图所示．因为EBC △≌EFD △，所以DF BC =，又因为EFB △是等边三角形，所以BF BE BC ==，所以33DC BC ==．因为EBC △≌EFD △，所以BC DF =，所以BC CD DF ==，所以1CD =．8．探索发现 如图，ABC △是等边三角形，60AEF ∠=︒，EF 交等边三角形外角平分线CF 所在的直线于点F ．当点E 是BC 的中点时，有AE EF =成立．数学思考某数学兴趣小组在探究AE 、EF 的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E 是直线BC 上（B ，C 除外）任意一点时（其它条件不变），结论AE EF =仍然成立．假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E 是线段BC 上的任意一点”；“点E 是线段BC 延长线上的F EC B AD FEC B AD FE C BA一任意一点”；“点E 是线段BC 反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在备用图中画出图形，并证明AE EF =．【答案】见解析． 【解析】如图，当点E 在线段BC 上时，在AB 上截取AG CE =，连接EG ，则BEG △为等边三角形，可证明AGE △≌ECF △，得AE EF =，其它情况可类似证明．9．在ABC △中，AB AC =，(060)BAC αα∠=︒<<︒，将线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD ．（1）如图①，直接写出ABD ∠的大小（用含α的式子表示）．（2）如图②，150BCE ∠=︒，60ABE ∠=︒，判断ABE △的形状并加以证明． （3）在（2）的条件下，连接DE ，若45DEC ∠=︒，求α的值．【答案】（1）1302ABD a ∠=︒-． （2）ABE △为等边三角形．（3）30α=︒．【解析】（1）1302a ︒-． （2）ABE △为等边三角形．证明如下：连接AD 、CD 、ED ．备用图()AB CGAC E F图①CB A DED AB C图②∵线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD ；∴BC BD =，60DBC ∠=︒．∵60ABE ∠=︒， ∴160302ABD DBE EBC α∠=︒-∠=∠=︒-， 且BCD △为等边三角形，在ABD △与ACD △中，AB ACAD AD BD CD=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴ABD △≌(SSS)ACD △． ∴1122BAD CAD BAC α∠=∠=∠=．∵150BCE ∠=︒， ∴111803015022BEC αα⎛⎫∠=︒-︒--︒= ⎪⎝⎭．在ABD △与EBC △中，BEC BADEBC ABD BC BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABD △≌(AAS)EBC △，∴AB BE =，又∵60ABE ∠=︒，∴ABE △为等边三角形．（3）∵60BCD ∠=︒，150BCE ∠=︒，∴1506090DCE ∠=︒-︒=︒．又∵45DEC ∠=︒，∴DCE △为等腰直角三角形，∴DC CE BC ==．∵150BCE ∠=︒，(180150)152EBC ︒-︒∠==︒， 而130152EBC α∠=︒-=︒，∴30α=︒．能力拓展10．如图，设P 是等边ABC △内的一点，3PA =，4PB =，5PC =，则APB ∠的度数是__________．【答案】150︒【解析】将BPC △绕点B 逆时针旋转60︒得到BP A '△，连接P P '，所以BPP '△是等边三角形，所以4P P BP '==，60BPP '∠=︒，因为3AP =，4PP '=，5P A '=，所以APP '△是直角三角形，所以90APP '∠=︒．所以9060150APB APP BPP ''∠=∠+∠=︒+︒=︒．11．如图，一个六边形的六个内角都是120︒，连续四边的长依次是1、3、3、2，则该六边形的周长为__________．【答案】15︒ 【解析】由图可知，延长间隔三条边可以得到一个等边三角形，边长为8，所以可知6x y +=，所以六边形的周长为1332615++++=．CBA PP'PAB C 332112．如图，是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a ，则六边形的周长为__________．【答案】30a【解析】如图，222x a x a +=-，解得4x a =，所以六边形周长为30a ．13．如图，设ABC △和CDE △都是等边三角形，且62EBD ∠=︒，则AEB ∠的度数是__________．【答案】122︒3223x y xy x 1233x a EC B AD【解析】因为DC EC =，DCB ECA ∠=∠，AC BC =， 所以DCB △≌ECA △，所以DBC EAC ∠=∠，所以62EAC EBC ∠+∠=︒，因为60ACB ∠=︒，根据飞镖模型，可得122AEB ∠=︒．14．如图，在ABC △中，已知60CAB ∠=︒，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，60AED ∠=︒，ED DB CE +=，2CDB CDE ∠=∠，则DCB ∠=__________．【答案】20︒【解析】15．如图，已知等边ABC △，在AB 上取点D ，在AC 上取点E ，使得AD AE =，作三个等边三角形PCD 、QAE 和RAB ，求证：P 、Q 、R 是等边三角形的三个顶点．【答案】见解析． 【解析】连接BP ，可证明ADC △≌BPC △，又180RAB BAC QAE ∠+∠+∠=︒，∴R 、A 、Q 三点共线．∵60CBP CAD ∠=∠=︒，180RBA ABC CBP ∠+∠+∠=︒，∴R 、B 、P 三点共线，而AQ AE AD BP ===，∴RQ RA AQ RB BP RP =+=+=，又60R ∠=︒，故PQR △是等边三角形．16．如图，在四边形ABCD 中，已知30BAC ∠=︒，150ADC ∠=︒，且AB DB =．求证：AC 平分BCD ∠．E CB A DR QE CBAPD【答案】见解析．【解析】如图，作点B 关于AC 的对称点E ，连接AE 、BD 、DE ，则ABE △为正三角形，设DBE θ∠=，则60ABD θ∠=︒+，因为AB DB =， 所以180(60)6022ADB θθ︒-+∠==︒-． 在BED △中，因为BD BE =， 所以1809022BDE θθ︒-∠==︒-． 故90603022EDA BDE ADB θθ⎛⎫⎛⎫∠=∠-∠=--︒-=︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 由30150180EDA ADC ∠+∠=︒+︒=︒，知E 、D 、C 三点共线．由对称性知ACE ACB ∠=∠．因此，AC 平分BCD ∠．综合创新17．（1）操作发现如图①，D 是等边ABC △边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边上BC 上方作等边DCF △，连接AF ．你能发现线段AF 与BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论． （2）类比猜想 如图②，当动点D 运动至等边ABC △边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？C BA ED AB C 图①F CB AD（3）深入探究 ①如图③，当动点D 在等边ABC △边BA 上运动时（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边的BC 上方、下方分别作等边DCF △和等边DCF '△，连接AF 、BF '，探究AF 、BF '与AB 有何数量关系，并证明你探究的结论．②如图④，当动点D 在等边三角形边BA 的延长线上运动时，其它作法与图③相同，①中的结论是否成立，是否有新的结论？证明你得出的结论．【答案】（1）、（2）皆有AF BD =．（3）①AB AF BF '=+；②AB AF BF '=-．【解析】（1）因为BC AC =，BCD ACF ∠=∠，DC FC =， 所以BCD △≌ACF △，所以AF BD =．（2）理由同（1）．（3）①因为CF CD =，F CB DCA '∠=∠，BC AC =， 所以F CB '△≌DCA △，所以AD BF '=，因为CF CD =，FCA DCB ∠=∠，AC BC =，A B CF 图②图③F'DAB C F F'图④FCBA D所以AFC △≌BDC △，所以AF BD =，因为AB AD BD =+，所以AB AF BF '=+．②因为BC AC =，BCF ACD '∠=∠，F C CD '=， 所以BCF '△≌ACD △，所以BF AD '=，因为FC DC =，FCA DCB ∠=∠，AC BC =， 所以FCA △≌DCB △，所以AF BD =，因为AB BD AD =-，所以AB AF BF '=-．18．如图，在ABC △中，60ABC ∠=︒，40ACB ∠=︒，P 为ABC ∠的平分线与ACB ∠的平分线的交点，求证：AB PC =．【答案】见解析．【解析】在BC 上截取BD AB =，则ABD △是等边三角形， 连接AP ，则AP 平分APC ∠，因为60B ∠=︒，40C ∠=︒，所以80A ∠=︒，所以40PAC ∠=︒，因为PC 平分C ∠，所以20PCA ∠=︒，因为60BAD ∠=︒，所以806020DAC ∠=︒-︒=︒．因为DAC PCA ∠=∠，AC CA =，PAC DCA ∠=∠， 所以PAC △≌DCA △，所以PC AD =，所以PC AB =．CBA PD PABC。

等边三角形讲点1等边三角形的定义、性质例1△ABC中，∠A＝∠B＝60°，且AB=10，则BC=_________cm题意分析﹕等边三角形三边相等，三个角都为60º．解答过程：解题后的思考：__________________________________________________________________ __________________________________________________________________★★☆☆练1．1如图，已知ΔABC是等边三角形，点D，E在BC的延长线上，G是AC上的一点，且CG=CD，F是GD上的一点，且DF=DE，则∠E=_______度．★★★练1．2如图，ΔABC是等边三角形，D，E分别是BC，AC上的点，且AE=CD，AD与BF交于F，⑴求证：ΔABE≌ΔCAD；⑵求∠BFD的度数．讲点2等边三角形的判定例2已知ΔABC中，AB等于AC，下列结论：①若AB＝BC，则ΔABC是等边三角形；②若∠A＝60º，则ΔABC是等边三角形；③若∠B＝60º，则ΔABC是等边三角形，其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个题意分析﹕等边三角形的判定方法∶⑴定义法：证三边相等；⑵等角法：证三个角都相等；⑶等腰三角形法∶有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形．解答过程：解题后的思考：__________________________________________________________________ __________________________________________________________________★★☆☆练2．1如图，ΔABC中，∠ACB＝90º，∠CAB=2∠B，CD⊥AB于点D，AE平分∠BAC交CD于E，交BC于点F，则ΔCEF为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形★★☆☆练2．2如图，ΔABC是等边三角形，点D，E，F分别是边AB，BC．CA上的点，且AD＝BE=CF，求证：ΔDEF是等边三角形．讲点3含30º角的直角三角形例3如图，在RtΔABC中，∠ACB=90º，∠A=30º，CD⊥AB于D，点．若BD=1，则AD=______．题意分析﹕在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对应的直角边等于斜边的一半．解答过程：解题后的思考：__________________________________________________________________ __________________________________________________________________★★☆☆练3．1如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=120º，AC的垂直平分线交BC 于点E．若CE=3，则BE的长度为()A．3B．72C．6D．132★★☆☆练3．2等腰三角形一腰上的高等于这腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为_______．讲点4利用共顶点等腰三角形构造全等例4如图，点C为线段AB上一点，ΔACM，ΔCBN是等边三角形，AN，MC交于点E，BM，CN交于点F⑴求证：AM=BM；⑵求证;ΔCEF是等边三角形．题意分析﹕共顶点问题中，以公共点为对应点，可以找到一组全等三角形，进而得到转移边转移角．解答过程：解题后的思考：__________________________________________________________________ __________________________________________________________________★★☆☆练4.1如图，已知ΔABC是等边三角形，点D为BC延长线上一点，以AD为边作等边ΔADF，连接CF．⑴求证：BD=CF⑵求∠FCD的度数．★★★☆练4．2⑴操作发现：如图1，D是等边ΔABC边BA上的一动点(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在BC上方作等边ΔDCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．⑵类比猜想：如图2，当动点D运动至等边ΔABC边BA的延长线时，其他做法与⑴相同，猜想AF与BD在⑴的结论是否仍然成立?直接写出你的结论(不接证明)；⑶深入探究：①如图3，当动点D在等边ΔABC边BA上运动时(点D与点B不重合)，连接DC，以DC 为边在BC上方、下方分别作等边ΔDCF和等边ΔDCF＇，连接AF、BF＇与AB有何数量关系?并证明你探究的结论．②如图4，当动点D在等边ΔABC边BA的延长线上运动时，其它做法与图3相同，I 中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？直接写出你得到的结论(不写证明)考点与课堂练习★☆☆☆1．如图，在ΔABC中，∠C=90º∠CBA=60º，AB的垂直平分线分别交于AB于D，交BC于E，若CE=4，则BE=_____．★★☆☆2．如图，等边ΔABC的边长为3厘米，D，E分别是AB，AC上的两点，将ΔADE 沿直线DE折叠，点A落在点A＇处，且点A＇在ΔABC外部，则阴影部分图形的周长是_______cm．★★★☆3．ΔABC 中，AB=AC ，∠B=75º，9ABC S ，则AB=_______．★★★☆4．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90º，∠ABC=30º，AB=6．点D 在AB 边上，点E 在BC 边上(不与点B ，C 重合)，且DA=DE ，则AD 的取值范围是________．★★☆☆5．如图，点E 是等边△ABC 内一点，且EA=EB ，D 为△ABC 外一点，且满足BD=AC ，BE 平分∠DBC ，求∠BDE 的度数．★★☆☆6．如图，四边形ABCD 中，AD=4，BC=1∠A=30º，∠B=90º，∠ADC=120，求CD 的长．★★★☆7．如图，D 为等边△ABC 的边AC 上一动点，延长AB 到E ，使BE=CD ，连接DE 交BC 于P ．求证：DP=PE ．★★★☆8．已知等边三角形ABC ，E ，D 分别是AB ，CB 上一点．⑵如图，若E 在线段AB 上(不与点AB 重合)，且ED=EC ，求证：AE=DB ；⑵若E是线段AB延长线上一点，BE=AB，△ECD为等腰三角形，并求出∠EDC的度数．★★★☆9．如图，△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是等腰三角形且顶角∠BDC=120º，以D为顶点作一个60º角，角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求证，△AMN的周长等于2．★★★☆10．如图，△BDE是等边三角形，∠ABD=15º，∠BDC=30º，∠CBD=45º，求证：△ABC是等边三角形．★★★★11．如图，△ABC是等边三角形，D是三角形外一动点．⑴若∠ADB=60º，当D点不在AC的垂直平分线时，请直接写出线段DA，DC，DB数量关系；⑵若∠ADB=60º，当D点不在AC的垂直平分线时，⑴中的结论是否仍然成立？请说明理由．⑶当D点在如图的位置时，∠ADC=60º，请直接写出线段AD、BD和CD之间的数量关系．★★★★12．如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是角平分线，以AC为边向外作等边△ACE，BE分别与AD，AC交于F，G，连接CF．⑵求证：∠FBD=∠FCD；⑵若AF=3，DF=1，求EF的值★★★★13．如图，∠BAD=120º，BD=DC，AB＋AD=AC．求证：AC平分∠BAD．★★★★14．如图，△ABD是等边三角形，以BD为边向外作等边△DBC，E，F分别在AB，AD上且AE=DF，连接BF与DE相交于G，连接CG，证明下列结论：⑴△AED≌△DFB；⑵CG=DG＋BG★★★★15．如图，在△ABC中，∠ABC=60º，∠ACB=40º，点p为∠ABC的角平分线与∠ACB的角平分线的交点，证明：AB=-PC．课后反馈1．如图，等边△ABC中，D，E分别为AC，AB上两点，下列结论：①若AD=AE，则△ADE是等边三角形；②若DE∥BC，则△ADE是等边三角形，其中正确的有（）A．①B．②C．①②D．都不对2．如图，在△ABC中，∠C=90º，∠A=15º，∠DBC=60º，BC=4，则AD=______3．如图，在等边△ABC中，BD为中线，CE为角平分线，BD，CE交于点M，则∠BME=_______4．如图，已知Rt△ABC中，∠A=30º，∠ACB=90º，BD平分∠ABC，求证：AD=2DC．5．如图，等边△ABC中D是AC边的中点，DH⊥BC于H．⑴求证：BD⊥AC；⑵求证：14 CH BC6.如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，点A的坐标是(0，1)，点B为y轴上的一动点，以BP为边做等边△PBC．⑴求证：OB=AC；⑵求∠CAP的度数；⑶当B点运动时，AE的长度是否会发生变化？7.如图，在△ABC中，AB=AC，射线BD上有一点P，且∠BPC=∠BAC，⑴求证：∠APC=∠APD；⑵若∠BAC=60º，BP=3，PA=4，求PC的长。

§13等边三角形说课稿一、教材分析1、教材地位及作用等边三角形是新人教八年级数学上册第13章第3节内容，本课的主要内容是引导学生探究等边三角形的性质定理和判定定理以及定理的推理证明和初步应用.本教材是学生学习了轴对称图形和等腰三角形有关知识后学习的，在实际生活中总能找到等边三角形的影子，它不仅使我们的生活变得丰富多彩，让我们在生活中体验到特殊的对称美，而且为我们的数学研究提供了重要素材．这一课的内容不仅是等腰三角形的延续，而且为今后证明角相等、线段相等提供了重要依据，在教材中处于非常重要的地位，起着承前启后的作用．2、教学目标根据上述的教材地位和作用，结合学生已有的认知结构，特制定本节课的教学目标如下：知识目标：（1）了解等边三角形的概念.（2）探索并掌握等边三角形的性质和判定方法.能力目标：（1）建立初步的符号感，发展抽象思维.经过观察实验、猜想证明等数学活动，发展合情推理能力.（2）通过探究活动，激发学生的学习兴趣，渗透类比、分类、转化思想，学会用数学思想和方法研究，发展逻辑推理能力.情感目标：通过数学活动，激发学生的学习兴趣，在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，促进学生亲近数学，喜欢数学，激发学生积极参与数学学习活动的兴趣，培养学生良好的创新意识.根据新课程标准，确立如下教学重点、难点.3、教学重点、难点重点：等边三角形判定定理和性质定理的探究与证明.难点：等边三角形性质和判定方法的应用.二、教法学法1．教法探讨：根据“获得数学知识的过程比获得知识更为重要”的理念，我确定本课的教法为：探究发现法，即学生在老师的正确引导下，积极主动参与探索发现、归纳类比等数学活动获得知识.2．学法指导：“教学中让学生发现一个问题比解决一个问题更重要.”因而本课的学法指导是让学生在“观察——发现——论证——归纳”的学习过程中自主参与知识的形成的过程.从而培养学生探究问题，交流合作的良好品质.3．教具学具：通过手中的自制的等边三角形卡片，学生展开讨论，探索新知的形成和发展过程，提高学生分析问题的能力，培养合作意识．三、教学分析由于在我们的现实生活中随处可见等边三角形，学生在原有生活经验的基础上，对等边三角形已形成初步认识，在前两个学段又对等边三角形有了初步了解，因此本节课通过类比等腰三角形的性质能够发现等边三角形的性质，同时根据经验能够画一个等边三角形，易于掌握如何判断一个三角形是等边三角形．同时在原有几何知识的基础之上，能够合情推理，易于利用性质和判定解决等边三角形的相关问题．四、预期效果分析由于本节课是以认知规律为主线，运用教师引导和学生自主探索、合作交流的学习方式，以达到帮助学生从感性认识发展到理性思考，促使学生逐渐形成方法，形成技能．课堂教学始终贯彻“教师为主导，学生为主体”的教学思想，渗透数学思想方法，让学生从归纳中形成能力．因此，我现对课堂教学落实不同的知识点将产生的效果预期较好.课题等高线与地形图专题复习教案匡华●○复习目标（1）知道等高线的意义，利用等高线判断某地海拔高度或海拔高度范围。