ch5.2 基本积分表

基本积分表1、⎰+=c kx kdx2、⎰++=+c a x dx x a a 113、⎰+=c x dx xln 1 4、⎰+=+c x dx xarctan 112 5、⎰+=-c x dx xarcsin 112 6、⎰+=c x xdx sin cos 7、⎰+-=c x xdx cos sin8、⎰⎰+==c x xdx dx x tan sec cos 1229、⎰⎰+-==c x xdx dx xcot csc sin 122 10、⎰+=c x xdx x sec tan sec11、⎰+-=c x xdx x csc cot csc 12、⎰+=c e dx e x x13、⎰+=c aa dx a x x ln 14、⎰+=c chx shxdx 其中2xx e e shx --=为双曲正弦函数 15、⎰+=c shx chxdx 其中2xx e e chx -+=为双曲余弦函数基本积分表的扩充16、⎰+-=c x xdx cos ln tan17、⎰+=c x xdx sin ln cot18、⎰++=c x x xdx tan sec ln sec 19、c x c x x xdx +=+-=⎰2tan ln cot csc ln csc 20、⎰+=+c a x a dx xa arctan 1122 21、⎰++-=-c a x a x a dx ax ln 21122 22、⎰+-+=-c xa x a a dx x a ln 21122 23、⎰+=-c a x dx x a arcsin 122 24、⎰+++=+c a x x dx a x 2222ln 1 25、⎰+-+=-c a x x dx a x 2222ln 1sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2【注意右式前的负号】 cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】三角函数公式大全同角三角函数的基本关系倒数关系: tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 商的关系：sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 平方关系：sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝c sc^2(α)平常针对不同条件的常用的两个公式sin² α+cos² α=1 tan α *cot α=1一个特殊公式（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）证明：（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin （a+θ）*sin（a-θ）锐角三角函数公式正弦：sin α=∠α的对边/∠α 的斜边余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边二倍角公式正弦sin2A=2sinA·cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1 =1-2Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 正切tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)两角和公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+ cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ积化和差sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2 cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2双曲函数sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 tanh(a) = sin h(a)/cos h(a) 公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）= sinα cos（2kπ＋α）= cosα tan（2kπ＋α）= tanα cot （2kπ＋α）= cotα 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinα cos（π＋α）= -cosα tan（π＋α）= tanα cot（π＋α）= cotα 公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinα cos（-α）= cosα tan（-α）= -tanα cot （-α）= -cotα 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα tan（π-α）= -tanα cot（π-α）= -cotα 公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinα cos（2π-α）= cosα tan（2π-α）= -tanα cot（2π-α）= -cotα 公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）= cosα cos（π/2+α）= -sinα tan（π/2+α）= -cotα cot（π/2+α）= -tanα sin（π/2-α）= cosα cos（π/2-α）= sinα tan （π/2-α）= cotα cot（π/2-α）= tanα sin（3π/2+α）= -cosα cos（3π/2+α）= sinα tan（3π/2+α）= -cotα cot（3π/2+α）= -tanα sin（3π/2-α）= -cosα cos（3π/2-α）= -sinα tan（3π/2-α）= cotα cot（3π/2-α）= tanα (以上k∈Z) A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = √{(A² +B² +2ABcos(θ-φ)} · sin{ ωt + arcsin[ (A·sinθ+B·sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } √表示根号,包括{……}中的内容诱导公式sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosαtan (-α)=-tanα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tanA= sinA/cosA tan（π/2＋α）＝－cotα tan（π/2－α）＝cotα tan（π－α）＝－tanα tan（π＋α）＝tanα 诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))²] cosα=[1-(tan(α/2))²]/[1+(tan(α/2))²]tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))²]其它公式(1) (sinα)²+(cosα)²=1 (2)1+(tanα)²=(secα)² (3)1+(cotα)²=(cscα)² 证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)²，第二个除(cosα)²即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证: A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C) (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA）²+(cosB）²+(cosC）²=1-2cosAcosBcosC (8)（sinA）²+（sinB）²+（sinC）²=2+2cosAcosBcosC 其他非重点三角函数csc(a) = 1/sin(a) sec(a) =1/cos(a)编辑本段内容规律三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。

三角函数常用积分表.doc 三角函数常用积分表是数学中常用的一种参考材料，它包含了常见的三角函数的积分公式和性质，对于求解相关的积分问题非常有帮助。

下面将对其中的一些重要的公式进行介绍。

1.sin(x)的积分：∫sin(x)dx = -cos(x) + C这是最基本的积分公式之一，它表示了sin(x)的不定积分是-cos(x)再加上一个常数C。

2.cos(x)的积分：∫cos(x)dx = sin(x) + C这是cos(x)的不定积分公式，它表示了cos(x)的不定积分是sin(x)再加上一个常数C。

3.sin^2(x)的积分：∫sin^2(x)dx = x/2 - sin(2x)/4 + C这是sin^2(x)的不定积分公式，它可以通过积分的方法来求解。

4.cos^2(x)的积分：∫cos^2(x)dx = x/2 + sin(2x)/4 + C这是cos^2(x)的不定积分公式，它可以通过积分的方法来求解。

5.sin(x)cos(x)的积分：∫sin(x)cos(x)dx = -cos^2(x)/2 + C这是sin(x)cos(x)的不定积分公式，它可以通过积分的方法来求解。

6.tan(x)的积分：∫tan(x)dx = ln|sec(x)| + C这是tan(x)的不定积分公式，它可以通过换元法来求解。

7.sec(x)的积分：∫sec(x)dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C这是sec(x)的不定积分公式，它可以通过换元法来求解。

8.csc(x)的积分：∫csc(x)dx = -ln|csc(x) + cot(x)| + C这是csc(x)的不定积分公式，它可以通过换元法来求解。

基本积分表速记引言在数学中，积分是微积分中的重要概念之一，用于求解曲线下的面积、求解曲线长度、计算体积等问题。

积分可以分为定积分和不定积分两种类型。

本文主要介绍基本积分表的速记方法，帮助读者简化积分计算过程，提高运算效率。

基本积分表速记方法1. 常数函数的积分对于常数函数 f(x) = c，其中 c 为常数，其积分结果为 F(x) = cx + C，其中 C 为常数。

这个结果可以记忆为“常数函数的积分等于该常数乘以自变量，并加上常数C”。

2. 幂函数的积分对于幂函数 f(x) = x^n，其中 n 为实数且n ≠ -1，其积分结果为 F(x) =(x^(n+1))/(n+1) + C，其中 C 为常数。

这个结果可以记忆为“幂函数的积分等于该函数的幂次数加一的幂与幂次数加一的倒数的乘积，再加上常数C”。

3. 指数函数的积分对于指数函数 f(x) = e^x，其积分结果为 F(x) = e^x + C，其中 C 为常数。

这个结果可以记忆为“指数函数的积分等于自身，再加上常数C”。

4. 三角函数的积分4.1 正弦函数的积分：对于正弦函数 f(x) = sin(x)，其积分结果为 F(x) = -cos(x)+ C，其中 C 为常数。

这个结果可以记忆为“正弦函数的积分等于负余弦函数，再加上常数C”。

4.2 余弦函数的积分：对于余弦函数 f(x) = cos(x)，其积分结果为 F(x) = sin(x) + C，其中 C 为常数。

这个结果可以记忆为“余弦函数的积分等于正弦函数，再加上常数C”。

5. 对数函数的积分对于对数函数 f(x) = ln(x)，其积分结果为 F(x) = x·ln(x) - x + C，其中 C 为常数。

这个结果可以记忆为“对数函数的积分等于自变量乘以自然对数，再减去自变量，最后加上常数C”。

6. 反三角函数的积分6.1 正切函数的积分：对于正切函数 f(x) = tan(x)，其积分结果为 F(x) = -ln|cos(x)| + C，其中 C 为常数。

基本积分表一、常数函数类1. ∫kdx=kx+C，k为常数，C为任意常数。

2. ∫f(x)+g(x)dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx，其中f(x)和g(x)都可以是常数函数。

二、幂函数类1. ∫xn dx=（x^(n+1))/(n+1)+C，其中n≠-1，C为任意常数。

2. ∫x^-1 dx =ln|x|+C。

3. ∫a^xdx=(a^x)/ln(a)+C，其中a>0且a≠1，C为任意常数。

4. ∫e^xdx=e^x+C，其中e≈2.718，C为任意常数。

5. ∫loga(x)dx=xloga(x)-xlna+C，其中a>0且a≠1，C 为任意常数。

6. ∫sin(x)dx=-cos(x)+C，C为任意常数。

7. ∫cos(x)dx=sin(x)+C，C为任意常数。

8. ∫tan(x)dx=-ln|cos(x)|+C，C为任意常数。

9. ∫cot(x)dx=ln|sin(x)|+C，C为任意常数。

10. ∫sec(x)dx=ln|sec(x)+tan(x)|+C，C为任意常数。

11. ∫csc(x)dx=ln|csc(x)-cot(x)|+C，C为任意常数。

三、三角函数类1. ∫sin^2(x)dx=(x/2)-(1/4)sin(2x)+C，C为任意常数。

2. ∫cos^2(x)dx=(x/2)+(1/4)sin(2x)+C，C为任意常数。

3. ∫sin^3(x)dx=-(cos(x))/3+(1/3)cos^3(x)+C，C为任意常数。

4. ∫cos^3(x)dx=(sin(x))/3-(1/3)sin^3(x)+C，C为任意常数。

5. ∫sin(ax)dx=(-cos(ax))/a+C，C为任意常数。

6. ∫co s(ax)dx=(sin(ax))/a+C，C为任意常数。

7. ∫sin(mx)sin(nx)dx=(1/2)[(cos(m-n)x)/(m-n)-(cos(m+n)x)/(m+n)]+C，C为任意常数。