基本积分公式表

（完整word版）积分公式2.基本积分公式表(1)∫0d x=C(2)=ln|x|+C(3)(m≠-1，x>0)(4)(a>0,a≠1)(5)(6)∫cos x d x=sin x+C(7)∫sin x d x=-cos x+C(8)∫sec2x d x=tan x+C(9)∫csc2x d x=-cot x+C(10)∫sec x tan x d x=sec x+C(11)∫csc x cot x d x=-csc x+C(12)=arcsin x+C(13)=arctan x+C注．(1)不是在m=-1的特例．(2)=ln|x|+C，ln后⾯真数x要加绝对值，原因是(ln|x|)' =1/x．事实上，对x>0，(ln|x|)' =1/x；若x<0，则(ln|x|)' =(ln(-x))' =.(3)要特别注意与的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的积分．下⾯我们要学习不定积分的计算⽅法，⾸先是四则运算．3.不定积分的四则运算根据微分运算公式d(f(x)±g(x))=d f(x)±d g(x)d(kf(x))=k d f(x)我们得不定积分的线性运算公式(1)∫[f(x)±g(x)]d x=∫f(x)d x±∫g(x)d x(2)∫kf(x)d x=k∫f(x)d x，k是⾮零常数.现在可利⽤这两个公式与基本积分公式来计算简单不定积分．例2.5.4求∫(x3+3x++5sin x－4cos x)d x解.原式=∫x3d x+∫3x d x+7∫d x+5∫sin x d x－4∫cos x d x=+7ln|x|－5cos x－4sin x+C .注.此例中化为五个积分，应出现五个任意常数，它们的任意性使其可合并成⼀个任意常数C，因此在最后写出C即可．例2.5.5求∫(1+)3d x解.原式=∫(1+3+3x+)d x=∫d x+3∫d x+3∫x d x+∫d x=x+3+C=x+2x++C .注.∫d x与∫1d x是相同的，其中1可省略．例2.5.6求解.原式===－x+arctan x+C .注.被积函数是分⼦次数不低于分母次数的分式，称为有理假分式．先将其分出⼀个整式x2－1，余下的分式为有理真分式,其分⼦次数低于分母的次数．例2.5.7求.解.原式==∫csc2x d x－∫sec2x d x=－cot x－tan x+C .注.利⽤三⾓函数公式将被积函数化简成简单函数以便使⽤基本积分公式.例2.5.8求.解.原式==+C .为了得到进⼀步的不定积分计算⽅法，我们先⽤微分的链锁法则导出不定积分的重要计算⽅法??换元法.思考题.被积函数是有理假分式时，积分之前应先分出⼀个整式，再加上⼀个有理真分式，⼀般情形怎样实施这⼀步骤？4.第⼀换元法（凑微分法）我们先看⼀个例⼦：例2.5.9求.解.因(1+x2)' =2x，与被积函数的分⼦只差常数倍数2，如果将分⼦补成2x,即可将原式变形：原式=(令u=1+x2)=(代回u=1+x2).注.此例解法的关键是凑了微分d(1+x2)．⼀般地在F'(u)=f(u),u=?(x)可导,且?' (x)连续的条件下,我们有第⼀换元公式(凑微分)：u=? (x) 积分代回u=? (x)∫f[?(x)]?' (x)d x=∫f[?(x)]d?(x)=∫f(u)d u=F(u)+C=F[?(x)]+C其中函数?(x)是可导的,且F(u)是f(u)的⼀个原函数．从上述公式可看出凑微分法的步骤：凑微分————→换元————→积分————→再换元' (x)d x=d(x) u=(x) 得F(u)+C得F[?(x)]+C注.凑微分法的过程实质上是复合函数求导的链锁法则的逆过程．事实上，在F'(u)=f(u)的前提下，上述公式右端经求导即得:[F[?(x)]+C]' =F '[?(x)]?' (x)=f[?(x)]?' (x)这就验证了公式的正确性．例2.5.10求∫(ax+b)m d x.(m≠-1,a≠0)解.原式=(凑微分d(ax+b))=(换元u=ax+b)=(积分)=. (代回u=ax+b)例2.5.11求.解.原式=(凑微分d(-x3)=-3x2d x)===(换元u=-x3).注.你熟练掌握凑微分法之后，中间换元u=?(x)可省略不写,显得计算过程更简练,但要做到⼼中有数．例2.5.12求∫tan x d x.解.原式==-ln|cos x|+C .同理可得∫cot x d x=ln|sin x|+C .例2.5.13求(a>0).解.原式==.例2.5.14求(a>0).解.原式==.例2.5.15求.解.原式====.例2.5.16∫sec x d x.解.原式=(换元u=sin x)===(代回u=sin x)===ln|sec x+tan x|+C .公式:∫sec x d x=ln|sec x+tan x|+C .例.2.5.17求∫csc x d x .解.原式===ln|csc x-cot x|+C .公式:∫csc x d x=ln|csc x-cot x|+C .凑微分法是不定积分换元法的第⼀种形式，其另⼀种形式是下⾯的第⼆换元法．5.第⼆换元法不定积分第⼀换元法的公式中核⼼部分是∫f[?(x)]?'(x)d x=∫f(u)d u我们从公式的左边演算到右边，即换元：u=?(x)．与此相反，如果我们从公式的右边演算到左边，那么就是换元的另⼀种形式，称为第⼆换元法．即若f(u),u=?(x),?'(x)均连续,u=?(x)的反函数x=?-1(u)存在且可导,F(x)是f[?(x)]?'(x)的⼀个原函数,则有∫f(u)d u=∫f[?(x)]?'(x)d x=F(x)+C=F[?-1(u)]+C .第⼆换元法常⽤于被积函数含有根式的情况．例2.5.18求解.令(此处?(t)=t2)．于是原式===(代回t= -1(x)=) 注.你能看到，换元=t的⽬的在于将被积函数中的⽆理式转换成有理式,然后积分．第⼆换元法除处理形似上例这种根式以外，还常处理含有根式，，(a>0)的被积函数的积分．例2.5.19求. (a>0)解.令x=a sec t，则d x=a sec t tan t d t,于是原式==∫sec t d t=ln|sec t+tan t|+C1 .到此需将t代回原积分变量x，⽤到反函数t=arcsec，但这种做法较繁．下⾯介绍⼀种直观的便于实施的图解法：作直⾓三⾓形，其⼀锐⾓为t及三边a，x，满⾜：sec t=由此，原式=ln|sec t+tan t|+C1==.注．C1是任意常数,-ln a是常数,由此C=C1-ln a仍是任意常数．(a>0)例2.5.20求.解.令x=a tan t，则d x=a sec2t d t，于是原式==∫sec t d t=ln|sec t+tan t|+C1 ．图解换元得原式=ln|sec t+tan t|+C1=.公式:.例2.5.21求(a>0).解.令x=a sin t，则d x=a cos t d t，于是原式===+C.图解换元得：原式=+C=+C .除了换元法积分外，还有⼀个重要的积分公式，即分部积分公式．思考题.在第⼆换元法公式中，请你注意加了⼀个条件“u=?(x)的反函数x=?1-(u)存在且可导”，你能否作出解释，为什么要加此条件？6.分部积分公式我们从微分公式d(uv)=v d u+u d v两边积分，即∫d(uv)=∫v d u+∫u d v由此导出不定积分的分部积分公式∫u d v=uv -∫v d u下⾯通过例⼦说明公式的⽤法．例2.5.22求∫x2ln x d x解.∫x2ln x d x=(将微分dln x算出)==.例2.5.23求∫x2sin x d x.解.原式=∫x2d(-cos x) (凑微分)=-x2cos x-∫(-cos x)d(x2) (⽤分部积分公式)=-x2cos x+∫2x cos x d x=-x2cos x+2∫x dsin x(第⼆次凑微分)=-x2cos x+2[x sin x－∫sin x d x] (第⼆次⽤分部积分公式)=-x2cos x+2x sin x+2cos x+C .例2.5.24求∫e x sin x d x.解.∫e x sin x d x=∫sin x d e x (凑微分)=e x sin x-∫e x dsin x(⽤分部积分公式)=e x sin x-∫e x cos x d x(算出微分)=e x sin x-∫cos x d e x(第⼆次凑微分)=e x sin x-[e x cos x-∫e x dcos x] (第⼆次⽤分部积分公式)=e x(sin x-cos x)-∫e x sin x d x(第⼆次算出微分)由此得：2∫e x sin x d x=e x(sin x-cos x)+2C因此∫e x sin x d x=(sin x-cos x)+C ．注.(1)此例中在第⼆次凑微分时，必须与第⼀次凑的微分形式相同．否则若将∫e x cos x d x凑成∫e x dsin x,那将产⽣恶性循环，你可试试．(2)积分常数C可写在积分号∫⼀旦消失之后．例2.5.25求∫arctan x d x解.此题被积函数可看作x0arctan x，x0d x=d x，即适合分部积分公式中u=arctan x，v=x．故原式=x arctan x - ∫x d(arctan x) (⽤分部积分公式)=x arctan x - d x(算出微分)=x arctan x - (凑微分)=x arctan x - ln(1+x2)+C .⼩结.(1)分部积分公式常⽤于被积函数是两种不同类型初等函数之积的情形，例如x3arctan x，x3ln x 幂函数与反正切或对数函数x2sin x，x2cos x幂函数与正弦,余弦x2e x幂函数与指数函数e x sin x,e x cos x 指数函数与正弦,余弦等等．(2)在⽤分部积分公式计算不定积分时，将哪类函数凑成微分d v，⼀般应选择容易凑的那个．例如arctan x d，ln x d我们已学习了不定积分的⼏种常⽤⽅法，除了熟练运⽤这些⽅法外，在许多数学⼿册中往往列举了⼏百个不定积分公式，它们不是基本的，不需要熟记，但可以作为备查之⽤，称为积分表．思考题.你仔细观察分部积分公式，掌握其中使⽤的规律，特别是第⼀步凑微分时如何选择微分.7.积分表的使⽤除了基本积分公式之外，在许多数学⼿册中往往列举了⼏百个补充的积分公式，构成了积分表．下⾯列出本节已得到的基本积分公式．(1)∫0d x=C(2)=ln|x|+C(3)(m≠-1,x>0)(4)(a>0,a≠1)(5)(6)∫cos x d x=sin x+C(7)∫sin x d x=- cos x+C(8)∫sec2x d x=tan x+C(9)∫csc2x d x=- cot x+C(10)∫sec x tan x d x=sec x+C(11)∫csc x cot x d x=-csc x+C(12)=arcsin x+C(13)=arctan x+C(14)∫tan x d x=-ln|cos x|+C(15)∫cot x d x=ln|sin x|+C(16)=(a>0)(17)=(a>0)(18)(a>0)(19)=(a>0)(20)∫sec x d x=ln|sec x+tan x|+C(21)∫csc x d x=ln|csc x-cot x|+C利⽤积分表中的公式，可使积分计算⼤⼤简化．积分表的使⽤⽅法⽐较简单，现举⼀例说明之．例2.5.26求解.从积分表中查得公式则将a=3，b=－1，c=4代⼊上式并添上积分常数C即得解答：=.。

高数积分公式大全高等数学中的积分是数学分析的重要内容之一，它是求函数面积、定积分、不定积分等的方法，被广泛应用于科学和工程领域。

下面是高等数学中常用的积分公式大全，供大家参考和学习。

一、基本积分公式：1. 常数函数积分公式：∫c dx = cx + C（其中c为常数，C为积分常数）2. 幂函数积分公式：∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C（其中n不等于-1，C 为积分常数）3. 指数函数积分公式：∫e^x dx = e^x + C4. 三角函数积分公式：∫sin(x) dx = -cos(x) + C∫cos(x) dx = sin(x) + C5. 乘方函数积分公式：∫(a^x) dx = (1/log(a)) * (a^x) + C（其中a为正数且不等于1，C为积分常数）6. 对数函数积分公式：∫(1/x) dx = ln|x| + C二、常用积分公式：1. 三角函数的复合积分：∫sin(ax) dx = - (1/a) * cos(ax) + C∫cos(ax) dx = (1/a) * sin(ax) + C2. 反三角函数的积分：∫1/(√(1-x^2)) dx = arcsin(x) + C∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C3. 指数函数的积分：∫e^(ax) dx = (1/a) * e^(ax) + C4. 对数函数的积分：∫(1/x) dx = ln|x| + C5. 分式函数的积分：∫(1/(x-a)) dx = ln|x-a| + C（其中a不等于0）∫(1/(x^2+a^2)) dx = (1/a) * arctan(x/a) + C（其中a不等于0）6. 三角函数的积分：∫sin^n(x) cos^m(x) dx7. 部分分式的积分：∫(p(x)/q(x)) dx8. 具体函数的特殊积分：∫e^x sin(x) dx∫e^x cos(x) dx∫(sin(x))^n (cos(x))^m dx（其中n和m为正整数）三、数列求和公式：1. 等差数列求和公式：S_n = (n/2)(a_1 + a_n)（其中S_n为前n项和，a_1为首项，a_n为末项）2. 等比数列求和公式：S_n = (a_1(1-q^n))/(1-q)（其中S_n为前n项和，a_1为首项，q为公比）以上是高等数学中一些常见的积分公式，通过掌握和灵活运用这些公式，可以帮助我们更好地解决数学中的问题。

24个基本积分公式24个基本积分公式是数学中常用的工具，它能帮助我们快速解决复杂的积分问题。

1.一个公式：恒积分公式，它是所有积分公式中最基本也是最重要的公式，它表示对某一函数$f(x)$的某一闭区间$[a,b]$进行积分，其公式如下：$$int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$$其中$F(x)$是$f(x)$的上原函数。

2.二个公式：幂积分公式，它也是一种常用的公式，它描述了当变量$x$的幂次为$n$时，$f(x)$的积分的公式如下：$$int x^nf(x)dx=frac{x^{n+1}}{n+1}f(x)-frac{n}{n+1}int x^{n-1}f(x)dx$$3.三个公式：复合公式，有时候积分可能会变得更加复杂，它描述了一种复合积分形式，其公式如下：$$int int_Rf(x,y)dydx=iint_Rf(x,y)dxdy$$其中$R$表示一个积分区域，$f(x,y)$表示函数。

4.四个公式：变量替代公式，当我们积分时，有时可能会用到变量替代的方法。

此时对于积分$int f(x)dx$，用变量$t$替代$x$，变量$t$的关于$x$的函数表达式为$t=t(x)$，当$x$的范围从$[a,b]$变为$[t_a,t_b]$时，这时需要用到变量替代公式，其公式如下：$$int_a^bf(x)dx=int_{t_a}^{t_b}f(t(x))t(x)dx$$ 其中$t(x)$表示$t$关于$x$的微分。

5.五个公式：指数积分公式，当我们积分某一函数$f(x)$关于$x$的幂为$n$时，能够用到指数积分公式，其公式如下：$$int x^ne^xdx=x^ne^x-nint x^{n-1}e^xdx$$6.六个公式：对数积分公式，当我们积分某一函数$f(x)$的流函数是一个对数函数的时候，可以用到对数积分公式，它的公式如下： $$int frac{1}{x}dx=ln|x|+C$$其中$C$是常量。

二十四个基本积分公式积分是微积分的基本概念之一，它是对函数曲线下其中一区间的面积进行求解的操作。

在求解积分时，我们可以利用一些基本的积分公式来简化计算。

下面将介绍二十四个常用的基本积分公式。

1. $\int x^ndx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$ （其中$n\neq -1$）这是幂函数的积分公式，对幂函数进行求积分时，指数加一后再乘以系数并且指数要除以新系数。

2. $\int \frac{1}{x}dx = \ln，x， + C$这是倒数函数的积分公式，对倒数函数求积分时，结果是该函数的自然对数的绝对值。

3. $\int e^xdx = e^x + C$这是指数函数的积分公式，对指数函数求积分时，结果是该函数本身。

4. $\int a^xdx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ （其中$a>0, a\neq 1$）这是以底数为常数的指数函数的积分公式，对这种函数进行求积分时，结果是该函数除以对数的底数再加上常数。

5. $\int \sin xdx = -\cos x + C$这是正弦函数的积分公式，对正弦函数求积分时，结果是该函数的负余弦。

6. $\int \cos xdx = \sin x + C$弦。

7. $\int \tan xdx = -\ln，\cos x， + C$这是正切函数的积分公式，对正切函数求积分时，结果是该函数的负对数的余弦的绝对值。

8. $\int \sec xdx = \ln，\sec x + \tan x， + C$这是正割函数的积分公式，对正割函数求积分时，结果是该函数的对数的正割加正切的绝对值。

9. $\int \cot xdx = \ln，\sin x， + C$这是余切函数的积分公式，对余切函数求积分时，结果是该函数的对数的正弦的绝对值。

10. $\int \csc xdx = \ln，\csc x - \cot x， + C$这是余割函数的积分公式，对余割函数求积分时，结果是该函数的对数的余割减余切的绝对值。

2.基本积分公式表(1)∫0d x=C(2)=ln|x|+C(3)(m≠-1，x>0)(4) (a>0,a≠1)(5)(6)∫cos x d x=sin x+C(7)∫sin x d x=-cos x+C(8)∫sec2x d x=tan x+C(9)∫csc2x d x=-cot x+C(10)∫sec x tan x d x=sec x+C(11)∫csc x cot x d x=-csc x+C(12)=arcsin x+C(13)=arctan x+C注．(1)不是在m=-1的特例．(2)=ln|x|+C，ln后面真数x要加绝对值，原因是(ln|x|)' =1/x．事实上，对x>0，(ln|x|)' =1/x；若x<0，则(ln|x|)' =(ln(-x))' =.(3)要特别注意与的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的积分．下面我们要学习不定积分的计算方法，首先是四则运算．3.不定积分的四则运算根据微分运算公式d(f(x)g(x))=d f(x)d g(x)d(kf(x))=k d f(x)我们得不定积分的线性运算公式(1)∫[f(x)±g(x)]d x=∫f(x)d x±∫g(x)d x(2)∫kf(x)d x=k∫f(x)d x，k是非零常数.现在可利用这两个公式与基本积分公式来计算简单不定积分．例求∫(x3+3x++5sin x－4cos x)d x解.原式=∫x3d x+∫3x d x+7∫d x+5∫sin x d x－4∫cos x d x= +7ln|x|－5cos x－4sin x+C .注.此例中化为五个积分，应出现五个任意常数，它们的任意性使其可合并成一个任意常数C，因此在最后写出C即可．例求∫(1+)3d x解.原式=∫(1+3+3x+)d x=∫d x+3∫d x+3∫x d x+∫d x=x+3+C=x+2x++C .注.∫d x与∫1d x是相同的，其中1可省略．例求解.原式===－x+arctan x+C .注.被积函数是分子次数不低于分母次数的分式，称为有理假分式．先将其分出一个整式x2－1，余下的分式为有理真分式,其分子次数低于分母的次数．例求 .解.原式==∫csc2x d x－∫sec2x d x=－cot x－tan x+C .注.利用三角函数公式将被积函数化简成简单函数以便使用基本积分公式.例求 .解.原式==+C .为了得到进一步的不定积分计算方法，我们先用微分的链锁法则导出不定积分的重要计算方法换元法.思考题.被积函数是有理假分式时，积分之前应先分出一个整式，再加上一个有理真分式，一般情形怎样实施这一步骤4.第一换元法（凑微分法）我们先看一个例子：例求 .解.因(1+x2)' =2x，与被积函数的分子只差常数倍数2，如果将分子补成2x,即可将原式变形：原式=(令u=1+x2)=(代回u=1+x2).注.此例解法的关键是凑了微分d(1+x2)．一般地在F'(u)=f(u),u=(x)可导,且' (x)连续的条件下,我们有第一换元公式(凑微分)：u= (x) 积分代回u= (x)∫f[(x)]' (x)d x∫f[(x)]d(x)∫f(u)d u F(u)+C F[(x)]+C 其中函数(x)是可导的,且F(u)是f(u)的一个原函数．从上述公式可看出凑微分法的步骤：凑微分————→换元————→积分————→再换元' (x)d x=d(x) u=(x) 得F(u)+C得F[(x)]+C 注.凑微分法的过程实质上是复合函数求导的链锁法则的逆过程．事实上，在F'(u)=f(u)的前提下，上述公式右端经求导即得:[F[(x)]+C]' =F '[(x)]' (x)=f[(x)]' (x)这就验证了公式的正确性．例求∫(ax+b)m d x.(m≠-1,a≠0)解.原式= (凑微分d(ax+b))=(换元u=ax+b)= (积分)=. (代回u=ax+b)例求 .解.原式= (凑微分d(-x3)=-3x2d x)==(换元u=-x3)=.注.你熟练掌握凑微分法之后，中间换元u=(x)可省略不写,显得计算过程更简练,但要做到心中有数．例求∫tan x d x .解.原式==-ln|cos x|+C .同理可得∫cot x d x=ln|sin x|+C .例求(a>0).解.原式== .例求(a>0).解.原式== .例求.解.原式====.例解.原式=(换元u=sin x)=== (代回u=sin x)===ln|sec x+tan x|+C .公式:∫sec x d x=ln|sec x+tan x|+C .例.求∫csc x d x .解.原式===ln|csc x-cot x|+C .公式:∫csc x d x=ln|csc x-cot x|+C .凑微分法是不定积分换元法的第一种形式，其另一种形式是下面的第二换元法．5.第二换元法不定积分第一换元法的公式中核心部分是∫f[(x)]'(x)d x=∫f(u)d u我们从公式的左边演算到右边，即换元：u=(x)．与此相反，如果我们从公式的右边演算到左边，那么就是换元的另一种形式，称为第二换元法．即若f(u),u=(x),'(x)均连续,u=(x)的反函数x=-1(u)存在且可导,F(x)是f[(x)]'(x)的一个原函数,则有∫f(u)d u∫f[(x)]'(x)d x F(x)+C F[-1(u)]+C .第二换元法常用于被积函数含有根式的情况．例求解.令 (此处(t)=t2)．于是原式===(代回t=-1(x)=)注.你能看到，换元=t的目的在于将被积函数中的无理式转换成有理式,然后积分．第二换元法除处理形似上例这种根式以外，还常处理含有根式，，(a>0)的被积函数的积分．被积函数含根式换元方法运用的三角公式x=a sec t sec2t-1=tan2tx=a tan t tan2t+1=sec2tx=a sin t1－sin2t=cos2t例求. (a>0)解.令x=a sec t，则d x=a sec t tan t d t,于是原式==∫sec t d t=ln|sec t+tan t|+C1 .到此需将t代回原积分变量x，用到反函数t=arcsec，但这种做法较繁．下面介绍一种直观的便于实施的图解法：作直角三角形，其一锐角为t及三边a，x，满足：sec t=由此，原式=ln|sec t+tan t|+C1==.注．C1是任意常数,-ln a是常数,由此C=C1-ln a仍是任意常数．例求(a>0).解.令x=a tan t，则d x=a sec2t d t，于是原式==∫sec t d t=ln|sec t+tan t|+C1 ．图解换元得原式=ln|sec t+tan t|+C1=.公式:.(a>0)例求.解.令x=a sin t，则d x=a cos t d t，于是原式===+C.图解换元得：原式=+C=+C .除了换元法积分外，还有一个重要的积分公式，即分部积分公式．思考题.在第二换元法公式中，请你注意加了一个条件“u=(x)的反函数x=(u)存在且可导”，你能否作出解释，为什么要加此条件6.分部积分公式我们从微分公式d(uv)=v d u+u d v两边积分，即∫d(uv)=∫v d u+∫u d v由此导出不定积分的分部积分公式∫u d v=uv -∫v d u下面通过例子说明公式的用法．例求∫x2ln x d x解.∫x2ln x d x= (将微分dln x算出)==.例求∫x2sin x d x.解.原式=∫x2d(-cos x) (凑微分)=-x2cos x-∫(-cos x)d(x2) (用分部积分公式)=-x2cos x+∫2x cos x d x=-x2cos x+2∫x dsin x (第二次凑微分)=-x2cos x+2[x sin x－∫sin x d x] (第二次用分部积分公式)=-x2cos x+2x sin x+2cos x+C .例求∫e x sin x d x.解.∫e x sin x d x=∫sin x d e x (凑微分)=e x sin x-∫e x dsin x (用分部积分公式)=e x sin x-∫e x cos x d x (算出微分)=e x sin x-∫cos x d e x (第二次凑微分)=e x sin x-[e x cos x-∫e x dcos x] (第二次用分部积分公式)=e x(sin x-cos x)-∫e x sin x d x (第二次算出微分)由此得：2∫e x sin x d x=e x(sin x-cos x)+2C因此∫e x sin x d x=(sin x-cos x)+C ．注.(1)此例中在第二次凑微分时，必须与第一次凑的微分形式相同．否则若将∫e x cos x d x凑成∫e x dsin x,那将产生恶性循环，你可试试．(2)积分常数C可写在积分号∫一旦消失之后．例求∫arctan x d x解.此题被积函数可看作x0arctan x，x0d x=d x，即适合分部积分公式中u=arctan x，v=x．故原式=x arctan x - ∫x d(arctan x) (用分部积分公式)=x arctan x - d x (算出微分)=x arctan x - (凑微分)=x arctan x - ln(1+x2)+C .小结.(1)分部积分公式常用于被积函数是两种不同类型初等函数之积的情形，例如x3arctan x，x3ln x 幂函数与反正切或对数函数x2sin x，x2cos x幂函数与正弦,余弦x2e x幂函数与指数函数e x sin x,e x cos x 指数函数与正弦,余弦等等．(2)在用分部积分公式计算不定积分时，将哪类函数凑成微分d v，一般应选择容易凑的那个．例如被积函数凑微分d vx3arctan x，x3ln x arctan x d，ln x dx2sin x，x2cos x，x2e x x2d(-cos x)，x2dsin x，x2d e xe x sin x，e x cos x sin x d e x，cos x d e x我们已学习了不定积分的几种常用方法，除了熟练运用这些方法外，在许多数学手册中往往列举了几百个不定积分公式，它们不是基本的，不需要熟记，但可以作为备查之用，称为积分表．思考题.你仔细观察分部积分公式，掌握其中使用的规律，特别是第一步凑微分时如何选择微分.7.积分表的使用除了基本积分公式之外，在许多数学手册中往往列举了几百个补充的积分公式，构成了积分表．下面列出本节已得到的基本积分公式．(1)∫0d x=C(2)=ln|x|+C(3)(m≠-1,x>0)(4) (a>0,a≠1)(5)(6)∫cos x d x=sin x+C(7)∫sin x d x=- cos x+C(8)∫sec2x d x=tan x+C(9)∫csc2x d x=- cot x+C(10)∫sec x tan x d x=sec x +C(11)∫csc x cot x d x=-csc x+C(12)=arcsin x+C(13)=arctan x+C(14)∫tan x d x=-ln|cos x|+C(15)∫cot x d x=ln|sin x|+C(16)= (a>0)(17)= (a>0)(18)(a>0)(19)=(a>0)(20)∫sec x d x=ln|sec x+tan x|+C(21)∫csc x d x=ln|csc x-cot x|+C利用积分表中的公式，可使积分计算大大简化．积分表的使用方法比较简单，现举一例说明之．例求解.从积分表中查得公式则将a=3，b=－1，c=4代入上式并添上积分常数C即得解答：=.。

2.基本积分公式表(1)∫ 0dx=C(2)=ln|x|+C(3)(m≠ -1， x>0)(4)(a>0,a≠ 1)(5)(6)∫ cosxdx=sinx+C(7)∫ sinxdx=-cosx+C(8)∫ sec2xdx=tanx+C(9)∫ csc2xdx=-cotx+C(10)∫ secxtanxdx=secx+C(11)∫ cscxcotxdx=-cscx+C(12)=arcsinx+C(13)=arctanx+C注． (1)不是在m=-1的特例．(2)=ln|x|+C，ln后面真数x要加绝对值，原因是(ln|x|)' =1/x．事实上，对 x>0， (ln|x|)' =1/x；若 x<0，则(ln|x|)' =(ln(- x))' =.(3)要特别注意与的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的积分．下面我们要学习不定积分的计算方法，首先是四则运算．6.复合函数的导数与微分大量初等函数含有复合函数的成分，它们的导数与微分计算法则具有特别重要的意义．定理 .(链锁法则 )设 z=f(y)，y= (x)分别在点 y0= (x0)与 x0可导，则复合函数 z=f[ (x)] 在x0可导，且或(f o )' (x0)=f '(y0) '(x0)．证．对应于自变量 x0处的改变量x，有中间变量 y 在 y00y 及因= (x )处的改变量变量 z 在 z0=f(y0) 处的改变量 z，（注意y 可能为 0）．现z=f (y0) y+v， y= (x0) x+u，且令，则v=y，（注意，当y=0 时， v=y 仍成立）． y 在 x0可导又蕴含y 在 x0连续，即y=0．于是=f '(y0) '(x0 )+0 '(x0)=f '(y0 ) '(x0)为理解与记忆链锁法则，我们作几点说明：(1)略去法则中的 x=x 0与 y=y0，法则成为公式，其右端似乎约去 dy 后即得左端，事实上，由前面定理的证明可知，这里并不是一个简单的约分过程．(2) 计算复合函数的过程：x y z复合函数求导的过程：z y x：各导数相乘例 2.3.15 求y=sin5x的导数．解．令 u=5x，则精品文档精品文档y' ==cosu 5=5cos5x．例 2.3.16 求y=lncosx的导数．解．令 u=cosx，则 y=lnu．于是y'．=例 2.3.17 求幂函数y=x m的导数，m为任意实数．解．因 y=，令u=mlnx，则y=e u．y' ==e u mm 是正整数 n 时，即例 2.3.2．(3)链锁法则可以推广到多层次中间变量的复合函数：复合函数的求值：x y z u⋯v w复合函数的求导：w v⋯u z y x：各导数相乘(4)在熟练掌握链锁法则以后，为简便写法，中间变量 v，u， z， y 等可不必写出，只要做到心中有数．例 2.3.18 求的导数解．=．(5) 链锁法则的微分形式是：df( (x))= f ( (x))d (x)例 2.3.19 求函数y=的微分解． dy =dsin2x=2sinxdsinx精品文档思考题 .请你仔细研究例 2.3.18 的解题过程，函数的构成除由基本初等函数复合之外还包含四则运算，因此求导的过程也应遵循四则运算与链锁法则，两个方面必须同时考虑.5.导数与微分的四则运算设 u=u(x)， v=v(x) 为可导函数， c 是常数，则有公式 (1) (u v)' = u' v'， d(u v) = du dv．公式 (2) (uv)' = u' v+uv'，d(uv) = vdu+udv．公式 (3) (cu)' = cu'， d(cu) = cdu．公式 (4)，(v 0)．点击此处看公式 (1)－ (4)的证明．例 2.3.11 求y=tanx的导数解． (tanx)' ===sec2x．同理可得 (cotx)' = csc2x．例 2.3.12 求y=secx的导数．解． (secx)' ==secx tanx．同理可得 (cscx)' = cscx cotx．例 2.3.13 求y=(1+4 x)(2x23x3)的导数．解一． y' =(1+4 x) (2x2 3x3)+(1+4x)(2x2 3x3)'=4(2x2 3x3)+(1+4 x)(2 2x 3 3x2)=8x2 12x3+4x 9x2 +16x2 36x3=4x+15x2 48x3解二．因 y =2x2+5x3 12x4，故y' =2 2x+5 3x2 12 4x3=4x+15x2 48x3．例 2.3.14 求函数y=(x+sinx)lnx的微分．解． dy=ln xd(x+sinx)+(x+sinx)dln x=ln x(dx+dsinx)+(x+sinx)dx=ln x (dx+cosxdx)+dx=dx．2.导数的定义从曲线的切线斜率以及其他有关函数变化速度问题，我们抽象出函数的导数概念.定义 .设函数y=f(x)在包含点x0的一个开区间X(这样的开区间称为x0的邻域 )内有定义， y000，我们称 x=x x0=f(x )．如果 x X x0( 读作 delta)为自变量的改变量，y=f(x) f(x0)为函数的(对应)改变量，比值为函数的差商或平均变化率．如果极限存在，则称函数y=f(x) 在点x0可导(或可微 )，该极限称为函数y=f(x)在x0点关于自变量x 的导数 (或微商 )．记作．因 x=x x0，x=x0+ x，故还有．此时，曲线 y=f(x)在点 (x0， f(x0))的切线方程是．注意 . x 可正可负，依x 大于或小于x0而定．根据定义求已知函数y=f(x)在给定点 x0的导数的步骤是：(1)计算函数在自变量 x0+ x 处的函数值 f(x0+ x)；(2)计算函数的改变量 y=f(x0+ x) f(x0 )；(3) 写出函数的差商；(4)计算极限，即导数值．例 2.3.1 求常数函数y=c 的导数．解．因 y=y(x+ x) y(x)=c c=0，差商=0，故=0．此处 x 可为任意实数，即常数函数y=c 在任意点 x 处的导数为 0．例 2.3.2 设n是正整数，求幂函数y=x n在点 x 处的导数．解．因y(x+ x)=( x+ x)n =x n+，y=y(x+ x) y(x)=，故=．特别，当 n=1 时，函数 y=x 在任意点 x 处的导数为1．例 2.3.3 求曲线y=x3在点(2,8)处的切线方程．解．在上例中取n=3 可知函数 y=x3在点 x 处的导数为3x2，于是在点 (2， 8)处的切线斜率是： y'(2)=322=12，故曲线 y=x3在 (2,8)处的切线方程是y 8=12 (x 2)12x y 6=0．注．(1)从上述例子我们看到，一般情况下，给定函数y=f(x)在某个区间 X 内每一点都可导，这样可求出X 内每一点的导数y'(x)， x X ．于是 y'(x)成为 X 内有定义的一个新函数，我们称它为给定函数y=f(x) 的导函数，且常常省略定义中的字样“在x 点处关于自变量的”，甚至简称f(x)的导数．例如我们说常数函数y=c 的导数是 0， y=x 的导数是1，y=x n的导数是等等，分别记作c' =0，x' =1，(x n)' =等等．(2)关于改变量的记号，应把它与其后面的变量x 或 y 看作一个整体量，就象sinx 中的 sin 一样，绝不能把x 看成与x的乘积，特别，为避免误解，我们用(x)2来表示x 的平方而不写x2．从导数的定义我们还可以导出其它一些初等函数的导数公式:(点击此处看例 2.3.4，例 2.3.5，例 2.3.6 证明 )例 2.3.4 y=sinx的导数是(sinx)' =cosx，y=cosx 的导数是 (cosx)' = sinx ．例 2.3.5 y=log a x(0<a 1)的导数是(log a x)' =．特别， (ln x)' = 1/x ．例 2.3.6 指数函数y=a x(0<a 1)的导数是(a x)' =a x lna．特别， ( e x)' =e x．8.导数的导数 -- 二阶导数一般来说，函数y=f(x) 的导数还是以x 为自变量的函数：y' =f '(x)，如果它还可导，我们又可得 f ' (x) 的导数： (y' )' =[ f ' (x)] ' ，称为 y=f(x)的二阶导数，记作y'' =f '' (x) ，或=．如果它还可导，我们就可继续逐次求三阶，四阶，⋯的导数，对任意正整数n ，n 阶导数被定义为y(n)=(y(n 1))' ，n=2， 3，⋯统称为函数y 的高阶导数．例 2.3.22 求y=sin x的n阶导数．解． y' =cosx=sin，用归纳法不难求出y(n)=sin．例 2.3.23若s =s(t)为质点运动的路程函数，则s' (t)= v(t)是运动速度．又,二阶导数s''(t)=v' (t)=a(t) 则是运动的加速度．例 2.3.24求y =arc tanx的二阶导数y'' ．解． y' =，y'' = (1+x2)2(1+x2)' =．思考题 .对于可导函数y=f(x)来说，导数f ' (x)表示曲线的切线斜率，请你考虑，如果f ' (x)还可导，那么 f '' (x)的正或负，反映函数 y=f(x) 的图像的什么性态 .实验题 .选择不同的函数，使二阶导数取正或负值，然后作出函数的图像，观察二阶导数对函数图像的影响 .7.基本初等函数的导数与微分公式求导公式求微分公式(1)c' =0dc= 0(2)( x m)' =mx m-1dx m=mx m-1dx， m R(3)(a x)' =a x lnada x=a x lnadx，0 <a 1( e x )' = e x d e x= e x dx(4) ( a x)' = d a x=，0<a 1log log精品文档(ln x)' =dlnx=(5) (x)' =x d x=xdxsin cos sin cos(6) (x)' =x d x=xdxcos sin cos sin(7) (x)' =2x d x=2xdxtan sec tan sec(8) (x)' =csc2x d x=2xdxcot cot csc(9) (x)' =x x d x=x xdxsec sec tan sec sec tan(10) (x)' = cscx cotx d x=x cotxdxcsc csc csc(11) (arc x)' =darc x=sinsindarc x=cos (12) (arc x)' =cosdarc x=tan(13) (arc x)' =darccotx= tan(14) (arccot x)' =例 2.3.20求 y=arcsin的微分．解．．例 2.3.21 求y=+arctan e x的导数．解．．12.二元函数的导数与微分 ( 选学）设 z=f(x， y)是两个自变量x 与 y 的函数， x 与 y 的变化都会引起函数z 的变化，实际问题中有时需考虑单个自变量的变化引起的函数变化，即将另一自变量固定不变，看作常数，此时函数就像一元函数了．函数z 关于一个变量x 的导数就称为 z 关于 x 的偏导数．记作，事实上，按导数定义，应该是=，同理， z 关于变量 y 的偏导数是=．我们也记．若 z=f(x， y)有连续的偏导数 f x(x，y)， f y(x，y)，则自变量x 与 y 的改变量x 与 y 的线性表达式f x(x，y) x+f y(x， y) y称为 z=f(x， y)在 (x，y) 处对应于x，y 的全微分，记作dz=f x(x，y) x+f y(x， y)y．由于自变量的微分等于自变量的改变量：dx= x，dy= y，于是二元函数的微分公式是dz=．例 2.3.30设f(x，y)=xy+x2 2 y3，求．解．=y+2x (把 y 看作常数，对x 求导数 )．=x 6y2 ( 把 x 看作常数，对y 求导数 )．例 2.3.31 求z= e x siny的全微分．解． dz=siny d e x+e x dsiny=siny e x dx+e x cosy dy=e x(sinydx+cosy dy)．例 2.3.32 设x+2y+2z 2=0 确定二元函数 z=z(x，y)，求．解．对方程 x+2y+2z 2=0 两边求微分，则左端得dx+2dy+2dz 2d右端的微分是0，于是解得dz =，由此得，．13.分段函数的导数 ( 选学）我们通过分段函数在衔接点处导数的研究，了解函数的可导性与连续性的关系．函数 y=f(x)在点 x0的导数被定义为极限，这等价于=0 ，记，则=0 ，由此f(x0+ x)-f(x0)=[ u( x)+f’(x0)] x，于是[f(x000+ x)-f(x )]=[u( x)+f’(x)] x=0，即f(x0+ x) = f(x0) ．如果记 x=x0+ x，则得f(x)= f(x0) ．这表明函数f(x)在 x0连续．因此有定理．若函数 y=f(x)在 x0可导，则 f(x)在 x0连续．因此，连续性是函数可导性的必要条件．但上述命题的逆是不正确的．请看下例．例 2.3.33 讨论函数在点 x=0 的连续性与可导性．解．因,,故,且 f(0)=e0=1．由此可见f(x)在 x=0 连续．其次，为讨论 f '(0)，我们需计算极限．为方便计，用x 代替x，为此我们研究极限．现在，，．由此可见，极限不存在，即f(x)在x=0不可导．你能看到，在函数y =f(x)的图像上点 (1，0)处没有切线，因为在其左边有一条“半切线”，斜率是1，但在其右边有一条“半切线”，斜率是0定义．设函数 y =f(x) 定义在区间 (a,b)内， x0(a,b)，如果极限存在，则称此极限为f(x)在点 x0处的右导数，记作f+'(x0)=．类似地，f(x)在点 x0的左导数是f-'(x0)=.只有 f+' (x0)与 f-' (x0)都存在且相等时，f(x)在点 x0才可导，且 f '(x0)=f+'(x0)=f-'(x0) ．即有定理．设函数 f(x)在区间 (a,b)内有定义， x0(a,b)．则f '( x0)存在f-' ( x0)与 f+'( x0)都存在且相等．左导数与右导数统称为单侧导数.例 2.3.34 讨论函数在 x=0 的可导性．解．首先讨论 f(x)在 x=0 的连续性．因，，f(0)=0 ，故 f(x)在 x=0 连续．其次，因，，故 f(x)在 x=0 可导，且 f '(0)=-1．注.上例中求左右导数或讨论分段函数衔接点处可导性的方法，必须首先研究函数在该点的连续性，在连续的前提下才可使用此方法，否则会出现错误．例如考虑函数此时 g(x)在 x=0 不连续，更不可导．如果你用上例方法求左右导数： g'+(0)=-1，g'-(0)=-1，得出 g'(0)=-1，那就大错特错了．事实上 , 上图中的原点并不属于函数 g(x)的图像 ,因此 ,原点右侧的“半切线”是不存在的 ,也就是说 ,原点处的右导数是不存在的．1.曲线的切线斜率我们知道，圆的切线定义为与圆相交于唯一点的直线．但对于一般曲线，切线是不能这样定义的．例如右下图中曲线在P 点处的切线 , 除 P 点外还交曲线于Q 点．为确切表达切线的含义，需应用极限的思想．请看下面的动画．说明：点 P(x0,f(x0))=P(x0,y0)是曲线 y=f(x) 上的给定点．点 Q(x,y)=Q(x,f(x))是曲线上的动点 , 可在 P 的两侧：在右侧时 x>x0；在左侧时 x<x0．动直线 PQ 是曲线的割线．如果动点 Q 无限地逼近定点 P 时 , 动直线 PQ 有一个极限位置 T, 即极限则称 PT 为曲线在 P 点的切线．为确定切线 PT 的位置 , 或建立 PT 的方程 , 只需确定其斜率．由于 PT 是 PQ 的极限 , 从而 PT 的斜率是 PQ 斜率的极限 , 极限过程是由 Q→ P 产生的．而Q→ P 即 x→ x0．设 PT 对于 x 轴的倾角 (即 x 轴正向逆时针旋转至PT 经过的角 )为 , PT 的斜率为k=tan ．现在割线 PQ 的斜率为：．而切线 PT 的斜率为：(PQ 的斜率 )=,由此得切线PT 的方程是： y f(x0)=k( x x0)．。

以下是一些常用的积分公式：
幂函数积分公式
∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C，其中n不等于-1
正弦函数积分公式
∫sin(x) dx = -cos(x) + C
余弦函数积分公式
∫cos(x) dx = sin(x) + C
正切函数积分公式
∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C
余切函数积分公式
∫cot(x) dx = ln|sin(x)| + C
指数函数积分公式
∫e^x dx = e^x + C
对数函数积分公式
∫(1/x) dx = ln|x| + C，其中x不等于0
反三角函数积分公式
∫arcsin(x) dx = x·arcsin(x) + sqrt(1-x^2) + C
∫arccos(x) dx = x·arccos(x) - sqrt(1-x^2) + C
∫arctan(x) dx = x·arctan(x) - ln|1+x^2| + C
∫arccot(x) dx = x·arccot(x) + ln|1+x^2| + C
这里只列举了一些基本的积分公式，实际上还有很多其他的积分公式，可以通过积分表来查阅。

同时，积分是一种重要的数学工具，在不同的领域中都有广泛的应用。