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DVD在线租赁的数学模型摘要本文根据DVD在线租赁的现状进行一次数据分析处理，对有关问题给出详细的解决方案和模型处理，采用随机规划、整数规划、概率统计、大规模线性和非线性规划、网络优化等方法对数据进行进一步的分析，解决DVD在线租赁的一些常见问题。
针对问题一，根据DVD的需求来制定每张DVD与会员分配的关系，在一些数据分析的基础上针对DVD在线租赁问题提出合理的假设，利用两种会员的不同要求算出整体的需求情况，算出每张DVD可能被借出的次数，通过线性分析求出具体的需求，从而得到最优解。
针对问题二，根据表（2）中给出的会员在线订单数据来分配DVD，使得会员对DVD分配的满意度最大。
此问题关键在于要把会员对DVD的偏好程度转换为会员满意度，由题意可知，数字越小表示会员的偏爱程度越高，而数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中，即可以认为偏好程度最低。
通过观察我们通过对不等于0的订单数字求倒数来表示满意度，定义总的满意度为max Z，那么求得max Z的值越大，即表示会员越满意。
随后建立0-1整数规划模型，运用LINGO编程求解，很好的解决了在获得最大满意度的情况下如何去分配100种DVD。
针对问题三，我们根据一、二问中的信息建立双目标规划模型，但是由于双目标规划模型难于计算，一次我们对模型进行了优化处理，转变为单目标规划模型，通过对表二中数据进行深度处理，在不考虑二次分配的情况下建立模型，运用LINGO编程求解，得出了100种DVD的购买数量和DVD的最佳分配方案。
针对问题四，根据在问题一、二、三中所遇到的情况和没有考虑到的问题进行分析，进一步优化DVD在线租赁以及需求之间的关系，针对个别问题提出相应的模型，根据相关预测对会员的限制条件和周转关系进行合理的分配，在费用最小利用率最大的基础上对DVD在线租赁问题进一步的研究与讨论。
关键词：数据分析 0—1整数规划合理分配多层次分析一、问题的提出随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。
DVD在线租赁的数学模型数学模型是通过数学语言、符号和算法来描述和解释现实生活中的问题的工具。
DVD在线租赁业务是一种基于数字技术和互联网的新型商业模式，对于该业务，数学模型有着非常重要的应用价值。
下面将介绍DVD在线租赁业务的数学模型。
一、问题描述DVD在线租赁业务是一种基于互联网的流媒体服务，用户可以通过网络订购所需的DVD，收到DVD后使用一段时间后再归还。
该业务存在一些关键问题，比如如何安排库存，如何控制用户租赁时间等问题。
下面将对这些问题进行具体描述。
1. 库存安排问题在DVD在线租赁业务中，每个DVD的使用时间不同，一些DVD可能会在一段时间内连续租出，而另一些DVD则可能长时间放置于库存中未被租赁。
因此，如何安排库存是一个非常重要的问题。
库存成本和库存量之间存在着一定的关系，库存量越高，库存成本则越高。
因此，需要找到一个合适的库存量，使库存成本最小化。
2. 用户租赁时间问题用户租赁时间会直接影响业务的盈利情况。
用户租赁时间越长，公司的收益也就越高。
但是，租赁时间过长也会导致库存中的DVD数量减少，增加库存成本。
因此，需要找到一个合适的租赁时间，使业务的收益最大化。
二、数学模型DVD在线租赁业务的数学模型可以采用动态规划模型来描述。
该模型可以将库存管理和用户租赁时间问题结合起来，以最大化业务的盈利为目标。
1. 库存管理的动态规划模型库存管理问题可以用动态规划模型来解决。
假设有一个DVD的库存，指定库存中每个DVD可以被租赁的最大时间为t，且每个DVD被租赁的时间是相互独立的。
那么该问题可以表述为：设f(i,j)表示前i个DVD中所有租赁时间不超过j的最大收益，则有：f(i,j) = max{f(i-1,j-k) + profit(i,k)}, 0 <= k <= t其中，profit(i,k)表示第i个DVD租赁k天的收益，f(i,j-k)表示前i-1个DVD所有租赁时间不超过j-k的最大收益，可以使用递推公式计算出f(i,j)。
2005年B\D题《DVD在线租赁》题目、论文、点评DVD租赁优化方案王颖高德宏...在线租赁是信息时代发展的必然趋势。
在租赁过程中，网络经营者主要关注DVD 的预测、购买和分配。
本文提出了简单随机抽样、分类预测和关联预测等三种方法进行需求预测。
针对问题一，利用需求预测得到观霜DVD的人数服从二项分布，并计算出多种可靠度下购买DVD的数量。
以会员的最大满意度为目标函数，建立一个整数规划模型，得到问题二的分配方案。
并计算出前30位会员的分配结果。
在问题三中，我们考虑到60％的会员由于两次租赁而导致DVD可重复利用，因而，采用了两阶段购买的策略，在每个购买阶段都建立了双目标整数规划，从而得到的购买量比原来网站拥有量小，并且会员的满意度达到99．38％，本文最后还给出了考虑归还DVD周期的情形下购买与分配的模型。
DVD租赁优化方案.pdf (388.78 KB)DVD在线租赁系统的优化设计李蓬蓬朱小满...本文在DVD在线租赁背景下，对DVD的租赁与归还，网方的购买与分配以及需求预测等相关问题进行了建模和研究。
首先，对题中给出的表示会员对各DVD的偏爱程度的偏好指数进行修正，提出了绝对满意度和相对满意度的合理定义。
在模型的建盘和求解上，本文首先建立了基于DVD租用次数限制的通用模型和以Pois8ion过程模拟DVD归还过程的随机服务模型解决了在预知市场需求的情况下，各DVD采购量的问题。
随后，建立0-1整数线性规划模型并结合Lingo软件进行求解，很好地回答了现有碟的一次性分配问题。
结合抽样统计的知识，建立0-1规划模型用以解答第三问的多目标规划问题。
在双目标规划的求解处理上，采取以满意度为限制条件，以碟的总量最小为目标进行规划的方式寻优求解。
针对第四问，本文引入VIP机制，分别建立并求解了VIP会员与普通会员的权重不同时的加权规划模型、VIP会员有优先权的分层规划模型。
还简单讨论了会员的信用度、邮递时间、租赁规则、DVD价格因素等实际问题DVD在线租赁系统的优化设计.pdf (315.72 KB)DVD租赁问题的模型设计及求解王成文野...本文讨论了DVD在线租赁的服务供应商可能遇到的问题与其解决方案。
数学建模论文王伟自动化与信息工程学院自091 刘宏自动化与信息工程学院电气085 关庆理学院计算0822011年7月21日DVD在线租赁摘要针对本题我们采用关键词：一、问题重述随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。
许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。
例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。
这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。
考虑如下的在线DVD租赁问题。
顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。
会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。
会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。
网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。
每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。
会员看完3张DVD 之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。
请考虑以下问题：1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。
此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。
假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2，具体数据请从/mcm05/problems2005c.asp下载），如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。
DVD在线租赁问题的探讨摘要本文探讨了DVD在线租赁问题，成立了DVD租赁问题的优化模型，依据会员中意度达到最优原那么，综合考虑网站制定的假设干约束，分层次成立了以下三个模型：模型Ⅰ：利用概率统计中样本散布可估量整体散布的知识，成立了在最糟糕的情形下也能知足会员要求所需要的DVD数量的模型，而且取得了知足要求的结果：一个月：DVD1~DVD5张数别离为：6250，3125，1563，782，313。
三个月：3959，1980，990，495，198。
模型Ⅱ：咱们概念了一个较为合理的中意度函数，成立了0-1整数计划的模型并用求解，取得整体平均中意度为的全局最优分派情形，而且具体列出了前30位会员别离取得的DVD编号。
模型Ⅲ：咱们采纳了单因素、双因素分层次解决双目标计划的方式，通过运算机C语言编程来实现随机抽样，模拟真实情形，并通过大量的数据观测出DVD总数稳固在2850～2950张之间，依照这一点咱们提出了一个快速算法，使得计算效率大大提高。
咱们还从市场因素，效劳因素，时刻因素和其他因素综合考虑了DVD需求预测，购买，分派中的一些问题，并就需求问题做了专门的探讨，其中会员人流量为其要紧因素。
本文章还从会员一次订购DVD的数量对中意度函数进行了灵敏度分析，并依照拟合图像验证了一次订购3张DVD能够使中意度达到最优的假设。
在问题的进一步讨论中，咱们给出了模型Ⅰ可能的取值范围，考虑到实际情形，对模型Ⅱ进行了改良，提出了一种应用更普遍的模型。
关键词：全局最优解 0－1计划中意度随机抽样快速算法一．问题重述1. 1问题的背景在线DVD租赁问题。
随着信息时期的到来，网络成为人们生活中愈来愈不可或缺的元素之一。
许多网站利用其壮大的资源和知名度，面向其会员群提供日趋专业化和便利化的效劳。
1．2实际现状顾客缴纳必然数量的月费成为会员，订购DVD租赁效劳。
会员假设对DVD 有爱好，只要在线提交定单，网站就会通过快递的方式尽可能知足要求。
2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题评阅要点[说明] 根据各赛区的建议，从2004年起全国组委会不再提供赛题参考解答，只给评阅要点。
本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。
命题思路本题是根据某DVD在线租赁网站经理提出的实际问题简化改编而成的。
问题初看起来似乎很容易理解而且并不复杂，但考虑到DVD在线租赁业务中存在的各种不确定性和多阶段特征，建立好的数学模型并不容易。
赛题（1）、（2）问考虑的是该问题的两个子问题（购买和分发），第（3）问则同时考虑购买和分发，第（4）问要求参赛队自己提出和求解问题。
对题目的理解不同、假设不同，得到的模型和结果可能很不相同，因此本题应特别注意假设的合理性及所建立的模型与假设之间的一致性。
问题（1）网站购买DVD的最优数量对表1的一种理解是根据表1得到某DVD被选中的概率（记为p），设网站的会员总数量为n，在n比较大的情况下，则该DVD的总需求可用正态分布N(np, npq) 近似（1=-），据此可在一定的置信水平下q p得到有需求会员人数的上限M。
设该DVD购买x张，当x≥M/2时，一种简单的近似方法是认为1个月该DVD的可用张数是1.6x张，要保证一个月至少P%有需求的会员能得到满足, 即1.6x≥M*P%，可求得最小的x；当x<M/2时，一种简单的近似方法是认为1个月该DVD 的可用张数是0.6M+0.4x张，也可求得最小的x。
综合两种情况可得到近似结果。
采用数值模拟（仿真）也是一种方法。
[注] 对表1可以存在其他理解方式，例如认为表中给出的某DVD 的需求只是初始时段（一个月或半个月）的需求，并进一步假设以后时段的需求持续不变或按某种规律变化。
可相应地考虑三个月的问题。
问题（2）网站分发DVD用,n m 分别表示当前需要分发的会员订单数量和DVD 种类，用j c 表示第j 种DVD 的现有数量，用ija 表示表格文件中给出的订单矩阵。
DVD 在线租赁方案摘要摘要本论文通过对DVD 租赁问题的抽象简化，建立了一个明确的、完整的数学模型，分别用线性规划模型与递归算法对DVD 分配进行优化，设计出一个使得会员满意度较高的分配方案。
针对问题一,我们利用正态分布等概率论知识建立了一个较为完整而又简单的数学模型1.6j j j d Q ω≥×在问题四中，关于问题一我们利用货币流通模型和信息源的最大熵原理，建立起关于需求量的另一种模型：j j j m d n ω=针对问题二, 考虑到当天会员的偏爱度加和可以用来衡量满意度，我们提出了在两种不同网站运行模式下的分配方案，方案一运用线性规划很好的解决了分配问题，使得满意度最大。
方案二运用递归算法较好的解决了此问题，并且跟方案一结果相当吻合。
针对问题三,我们利用问题一和问题二建立的数学模型组合起来解决了当前DVD 的购买和分发问题，并阐述了动态规划的方法。
针对问题四,我们从DVD 需求预测角度出发，利用本模型特点合理的引入了传染病模型，有效的解决了该预测问题。
最后,我们对模型的科学性和现实性进行了阐述,并得到了对模型的整体评价,及急需改进之处.关键字关键字:: 正态分布 线性规划 递归算法 货币流通 最大熵原理 SIS 模型SIR 模型问题重述问题重述随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。
许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。
DVD 的在线租赁就是一种可行的服务。
顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD 租赁服务。
会员对哪些DVD 有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。
会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD 是基于其偏爱程度排序的。
网站会根据手头现有的DVD 数量和会员的订单进行分发。
每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。
会员看完3张DVD 之后，只需要将DVD 放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁.1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD 的数据）。
此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD 两次，而另外的40%只租一次。
假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD 来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD 的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD ？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD 呢？2）表2中列出了网站手上100种DVD 的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单,如何对这些DVD 进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。
3）继续考虑表2，并假设表2中DVD 的现有数量全部为0。
如何决定每种DVD 的购买量，以及如何对这些DVD 进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？4）在DVD 的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？明确提出问题，并尝试建立相应的数学模型。
表1 对1000个会员调查的部分结果 DVD 名称 DVD 1 DVD2 DVD3 DVD 4 DVD 5愿意观看的人数200 100 50 25 10表2 现有DVD 张数和当前需要处理的会员的在线订单（表格格式示例） DVD 编号 D 001 D 002 D 003 D 004 …DVD 现有数量 10 40 15 20 …C0001 6 0 0 0 …C0002 0 0 0 0 …C0003 0 0 0 3 …C0004 0 0 0 0 …会员在线订单 … … … … … …注：D 001~D 100表示100种DVD, C0001~C1000表示1000个会员, 会员的在线订单用数字1,2,…表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD 当前不在会员的在线订单中。
问题分析问题分析1）对网站运行模式的理解模式一: 网站的会员可随时提交订单，每天网站将订单信息及现有DVD信息汇总，然后进行DVD分配,不在会员订单中的DVD也有可能分配给会员.不会将任何客户订单推迟到第二天处理,即不存在会员等待时间.模式二: 网站的会员可随时提交订单，每天网站按当天顾客提交订单的时间先后对其排序，并将其订单信息及现有DVD信息汇总，然后进行DVD分配，使排在前面的会员尽量被满足。
公司只能向会员提供其订单中的DVD,即会员不喜欢的DVD公司不能给会员(这是模式二与模式一的根本区别).当天没有被满足的会员及没有被分派的DVD汇入第二天，并在第二天排序时将这些会员排在最前面。
2） 对DVD需求问题的分析由于各种因素的随机性，DVD的流通问题是很复杂的，我们考虑需求最大情况,即DVD需求上限,以及DVD月流通次数最少.3） 对满意度的理解我们认为满意度受会员等待时间和偏爱度影响，等待时间为从提交订单到订单中DVD被邮寄的时间间隔。
对于方案一无等待时间,会员的满意度被会员的偏爱度唯一确定.对于方案二，等待时间的影响很小，所以我们也以当天被满足的会员的偏爱度加和来衡量满意度。
问题假设问题假设问题假设1) 对于调查问卷中1000人和所有会员对DVD的选择情况是同分布的,也就是说这1000人对DVD的选择情况代表了所有会员的选择倾向。
2) 对于所有的会员提交订单的时间是随机的.3)无论租赁一次或两次,会员必须在30天之内归还所借的DVD.4)一个月内借两次的会员这两次借的DVD种类不会重复.5)公司收到订单时不知道此会员在一个月内会借一次或两次.模型分析与求解模型分析与求解(1):问题 (1):问题(1):变量假设::变量假设m网站现有会员人数.:p：第j种 DVD被选中的概率jq第j种 DVD没被选中的概率:jα：每月租赁DVD 一次的会员的比例β：每月租赁DVD 两次的会员的比例j d ：第j 种DVD 应准备的数量j ω：一个月内对第j 种DVD 有需求的会员得到满足的比例.n : DVD 每月可用次数的数学期望j Q :某月内对第j 种DVD 需求的人数上限.考虑到会员租碟的实际情况，表1中给出的选择某种DVD 的人数可以认为是某月选择该DVD 人数的数学期望,每月实际选择该DVD 的人数会在其周围波动,我们认为对第j 种碟片的总需求可以用正态分布(,)j j j N mp mp q 近似(此处m =100000),可以算出第j 种DVD 的需求人数上限j Q (在一定置信区间下,这里我们选取0.95)，只要在租借过程中满足上限j Q 的一定人数比例j ω (50%)即可,假设第j 种DVD 购买j d 张。
我们考虑需要DVD 最多的情况：借一次的会员在一个月的最后一天归还，借两次的会员在一个月的最后一天第二次归还，那么对于一张碟来说借一次的会员使得它流通了一次,而借两次的会员使得它流通了两次,这相当于该DVD 的每月可用次数n 为α×1×j d +β×2×j d ,对于本题目来说, α=0.4, β=0.6,即1.6j d ,要求一个月至少50%有需求的会员能得到满足,即1.6j j j d Q ω≥× (1)求出j d 的最小值.用Matlab 求得置信度为0.95下的上限值分别为:123452020910157511425821052Q Q Q Q Q =====带入公式(1)解得:12345631631741598807329d d d d d =====对于三个月的情况,想当于一个月情况的三次累积,三个月的DVD 流通次数是一个月的3倍, 上限j Q 值不便,所得公式为:4.80.95j j d Q ≥× (2)带入数据计算得:12345400020111013512209d d d d d =====问题问题 (2): (2): (2):模式一规划模型模式一规划模型对于问题中的分配问题,我们可以建立一个0-1分配矩阵ij q ，ij q =1表示将j 号DVD分配给i 号会员, ij q =0表示不分配.而根据模型分析中对满意度的理解,满意度由会员的偏爱度加和来衡量.显然该分配问题可以转化成为使得已分配的会员的偏爱度之和最小的规划问题.由于附件表格中的0项表示用户对该DVD 无任何偏爱度,而题目里有表格中数据越小,偏爱程度越大,显然所有的0项将把我们规划模型导向错误的方向,为了方便模型的建立,我们对附录表进行了一定的技术处理—将所有的0项改成11.变量假设变量假设：：::ij j x i j DVD DVD 编号为的会员对第号的偏爱度y 编号为j的的当天库存根据上述分析,考虑到会员一次有且仅得到3张DVD,DVD 有数量限制的约束条件,我们可以建立如下的线性规划模型.100010011100011001min 0,1(1,2...1000,1,2...100)..(1,2...100)3(1,2...1000)ij iji j ij ij j i ij j q x q i j s t q y j q i ====× === ≤= == ∑∑∑∑用Lingo求解得 偏爱度之和最小为 8254。
对于30位会员（C0001~C0030）获得的DVD情况如下表所示:会员编号DVD编号C0001DVD8DVD41DVD98C0002 DVD6DVD44DVD62C0003 DVD32 DVD50DVD80C0004DVD7DVD18DVD41C0005DVD66DVD68DVD11C0006DVD19DVD53 DVD66C0007DVD26DVD66DVD81C0008DVD31DVD35DVD71C0009DVD53 DVD78DVD100C0010DVD41DVD55DVD85C0011DVD59DVD63 DVD66C0012 DVD31DVD2 DVD41C0013 DVD21DVD78DVD96C0014DVD52 DVD23 DVD89C0015DVD13 DVD85DVD52C0016DVD84DVD97DVD10C0017DVD67DVD47DVD51C0018DVD41DVD60DVD78C0019DVD84DVD86DVD66C0020DVD45DVD89DVD61C0021DVD53 DVD45DVD50C0022 DVD57DVD55DVD38C0023 DVD95DVD29DVD81C0024DVD76DVD41DVD37C0025DVD9DVD69DVD94C0026DVD22 DVD68DVD95C0027DVD58DVD78DVD50C0028DVD8DVD34DVD37C0029DVD55DVD30DVD26C0030DVD62 DVD37DVD98对该模型的评价显然,该模型尽可能的使得所有分配会员偏爱度数值之和最小, 根据我们对满意度的理解,该模型得到的解肯定是满足满意度最大的最优解。
