数学建模案例DVD在线租赁

DVD在线租赁的数学模型摘要本文根据DVD在线租赁的现状进行一次数据分析处理，对有关问题给出详细的解决方案和模型处理，采用随机规划、整数规划、概率统计、大规模线性和非线性规划、网络优化等方法对数据进行进一步的分析，解决DVD在线租赁的一些常见问题。

针对问题一，根据DVD的需求来制定每张DVD与会员分配的关系，在一些数据分析的基础上针对DVD在线租赁问题提出合理的假设，利用两种会员的不同要求算出整体的需求情况，算出每张DVD可能被借出的次数，通过线性分析求出具体的需求，从而得到最优解。

针对问题二，根据表（2）中给出的会员在线订单数据来分配DVD，使得会员对DVD分配的满意度最大。

此问题关键在于要把会员对DVD的偏好程度转换为会员满意度，由题意可知，数字越小表示会员的偏爱程度越高，而数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中，即可以认为偏好程度最低。

通过观察我们通过对不等于0的订单数字求倒数来表示满意度，定义总的满意度为max Z，那么求得max Z的值越大，即表示会员越满意。

随后建立0-1整数规划模型，运用LINGO编程求解，很好的解决了在获得最大满意度的情况下如何去分配100种DVD。

针对问题三，我们根据一、二问中的信息建立双目标规划模型，但是由于双目标规划模型难于计算，一次我们对模型进行了优化处理，转变为单目标规划模型，通过对表二中数据进行深度处理，在不考虑二次分配的情况下建立模型，运用LINGO编程求解，得出了100种DVD的购买数量和DVD的最佳分配方案。

针对问题四，根据在问题一、二、三中所遇到的情况和没有考虑到的问题进行分析，进一步优化DVD在线租赁以及需求之间的关系，针对个别问题提出相应的模型，根据相关预测对会员的限制条件和周转关系进行合理的分配，在费用最小利用率最大的基础上对DVD在线租赁问题进一步的研究与讨论。

关键词：数据分析 0—1整数规划合理分配多层次分析一、问题的提出随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。

DVD租赁―全国数学建模大赛电力市场的输电阻塞管理摘要随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。

音像制品的在线租赁是一种可行的服务。

这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。

针对问题一，对于DVD张数的求解，由于会员每月租赁次数不同，我们将情况分为三种：保证情况：优先考虑占40%每月租赁一次的会员；一般情况：每月租赁一次和每月租赁两次的会员按比例同时考虑；乐观情况：优先考虑占60%每月租赁两次的会员。

经过分析，我们认为最佳解为一般情况下求得的DVD购买量，同时在[乐观情况，保证情况]这个区间内浮动。

如下表：针对问题二，为了使会员满意度最大，我们使用0―1线性规划模型，令1000100 j张DVD 0,第i位会员未获得第，目标函数为max xijaij ，辅以相应xij j张DVD 1,第i位会员获得第 i 1j 1的约束条件，利用LINGO软件可解得当会员满意度最大为24746时的分配方案。

针对问题三，为了使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大时的DVD 购买量及分配方案，我们建立0―1线性规划模型和双目标优化模型，并将会员满意度转化为相对满意度，将双目标优化模型转化为单目标优化模型。

利用LINGO软件可以得到在不同相对满意度相对应的DVD的最少购买量。

通过比较分析，可以得到最优解为相对满意度为0.9即会员总体满意度为34020，并解得在此满意度下的100张DVD的购买方案及前30位会员的分配方案。

针对问题四，我们考虑到每个会员提交订单的时间不同，为了公平起见，我们遵守先订先得的原则，所以最后的模型要增加一个关于下订单时间约束条件。

另外，我们还考虑到每种DVD的价格不同，所以最后的目标函数不是简单的DVD总张数最少，而且还使DVD 得总价格最少。

根据新的目标函数和增加的约束条件建立新的数学模型。

DVD 在线租赁方案摘要摘要本论文通过对DVD 租赁问题的抽象简化，建立了一个明确的、完整的数学模型，分别用线性规划模型与递归算法对DVD 分配进行优化，设计出一个使得会员满意度较高的分配方案。

针对问题一,我们利用正态分布等概率论知识建立了一个较为完整而又简单的数学模型1.6j j j d Q ω≥×在问题四中，关于问题一我们利用货币流通模型和信息源的最大熵原理，建立起关于需求量的另一种模型：j j j m d n ω=针对问题二, 考虑到当天会员的偏爱度加和可以用来衡量满意度，我们提出了在两种不同网站运行模式下的分配方案，方案一运用线性规划很好的解决了分配问题，使得满意度最大。

方案二运用递归算法较好的解决了此问题，并且跟方案一结果相当吻合。

针对问题三,我们利用问题一和问题二建立的数学模型组合起来解决了当前DVD 的购买和分发问题，并阐述了动态规划的方法。

针对问题四,我们从DVD 需求预测角度出发，利用本模型特点合理的引入了传染病模型，有效的解决了该预测问题。

最后,我们对模型的科学性和现实性进行了阐述,并得到了对模型的整体评价,及急需改进之处.关键字关键字:: 正态分布 线性规划 递归算法 货币流通 最大熵原理 SIS 模型SIR 模型问题重述问题重述随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。

许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。

DVD 的在线租赁就是一种可行的服务。

顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD 租赁服务。

会员对哪些DVD 有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。

会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD 是基于其偏爱程度排序的。

网站会根据手头现有的DVD 数量和会员的订单进行分发。

每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。

会员看完3张DVD 之后，只需要将DVD 放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁.1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD 的数据）。

DVD 在线租赁摘要本文以DVD 在线租赁方案为研究对象，在题目中所给出的调查数据的基础上，根据不同会员的需要，建立优化模型，探讨在不同情况下如何分配各种DVD 数量使得会员的满意度最大。

对于问题一，基于各种DVD 的需求数量是一个随机变量，满足二项分布，并趋于正态分布，由此建立基于二项分布的随机模拟模型，利用中心极限定理，得出想看该DVD 最多的会员人数，再结合每张DVD 的平均利用率，得出在不同置信水平下，网站应准备的DVD 的张数。

在置信水平为50%时，一个月内：15DVD DVD ~的张数为：6260，3133,1568,785,315；三个月：15DVD DVD ~的张数为：3965,1984,993,497,199。

对于问题二，建立0-1规划数学模型，将100种DVD 合理地分配给1000位在线订单的会员，以使会员的满意度最大。

首先，采用倒数形式将会员对各种DVD 的偏爱程度转化为满意度，由此建立目标函数：100010011maxijij i j bx ==⋅∑∑及列出其相应的约束条件，运用Lingo 软件求出DVD 的最优分配方案，并列出了其中前30位会员希望看到的DVD 具体分配情况。

对于问题三，运用多目标规划模型，求解每种DVD 的购买数量及对DVD 的分配方案。

由于有60%的会员每月会租赁DVD 两次，而另外40%的会员每月只租赁一次，所以分阶段进行求解。

第一次租赁时，建立满意度函数，得出第一目标满意度最大为1741；第二目标DVD 的购买数量为2850张；第二次租赁时，在第一次租赁的基础上考虑了月中时DVD 归还的情况，得出100种DVD 的购买总数量为3111张，并列出了部分会员的分配情况。

对于问题四，在DVD 的需求预测时，采用多种预测方法相结合，例如简单随机抽样、分类预测和灰色预测等，得出最终需要的信息；在DVD 的购买与分配时，在预测市场需求的基础上，结合会员满意度，运用多目标规划模型确定DVD 购买及分配方案。

2005年B\D题《DVD在线租赁》题目、论文、点评DVD租赁优化方案王颖高德宏...在线租赁是信息时代发展的必然趋势。

在租赁过程中，网络经营者主要关注DVD 的预测、购买和分配。

本文提出了简单随机抽样、分类预测和关联预测等三种方法进行需求预测。

针对问题一，利用需求预测得到观霜DVD的人数服从二项分布，并计算出多种可靠度下购买DVD的数量。

以会员的最大满意度为目标函数，建立一个整数规划模型，得到问题二的分配方案。

并计算出前30位会员的分配结果。

在问题三中，我们考虑到60％的会员由于两次租赁而导致DVD可重复利用，因而，采用了两阶段购买的策略，在每个购买阶段都建立了双目标整数规划，从而得到的购买量比原来网站拥有量小，并且会员的满意度达到99．38％，本文最后还给出了考虑归还DVD周期的情形下购买与分配的模型。

DVD租赁优化方案.pdf (388.78 KB)DVD在线租赁系统的优化设计李蓬蓬朱小满...本文在DVD在线租赁背景下，对DVD的租赁与归还，网方的购买与分配以及需求预测等相关问题进行了建模和研究。

首先，对题中给出的表示会员对各DVD的偏爱程度的偏好指数进行修正，提出了绝对满意度和相对满意度的合理定义。

在模型的建盘和求解上，本文首先建立了基于DVD租用次数限制的通用模型和以Pois8ion过程模拟DVD归还过程的随机服务模型解决了在预知市场需求的情况下，各DVD采购量的问题。

随后，建立0-1整数线性规划模型并结合Lingo软件进行求解，很好地回答了现有碟的一次性分配问题。

结合抽样统计的知识，建立0-1规划模型用以解答第三问的多目标规划问题。

在双目标规划的求解处理上，采取以满意度为限制条件，以碟的总量最小为目标进行规划的方式寻优求解。

针对第四问，本文引入VIP机制，分别建立并求解了VIP会员与普通会员的权重不同时的加权规划模型、VIP会员有优先权的分层规划模型。

还简单讨论了会员的信用度、邮递时间、租赁规则、DVD价格因素等实际问题DVD在线租赁系统的优化设计.pdf (315.72 KB)DVD租赁问题的模型设计及求解王成文野...本文讨论了DVD在线租赁的服务供应商可能遇到的问题与其解决方案。

DVD在线租赁的优化设计承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛的题目是：DVD在线租赁我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：鲁东大学参赛队员(打印并签名) ：1. 龚飞2. 王开泰3. 那晓栋指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：刘伟日期： 2013 年 08 月 17日DVD在线租赁的优化设计摘要本文通过对网络DVD在线租赁问题的研究和分析，对实际中的DVD租赁公司可能遇到的租赁问题进行了分析并得出了一些合理的结论，设计出了满意度较高的租赁分配方案。

首先，针对问题一，通过对1000个会员愿意观看五种DVD的人数进行抽样分析，可以得到100000个会员中愿意观看五种DVD的人数分布。

通过分析题意我们知道每张DVD每个月的实际租赁次数为1.6次，相当于每张DVD实际每个月变成了1.6张，另外第二小问，我们可以算出每张DVD三个月的实际租赁次数为4.8次，相当于4.8张。

由于实际中这样的一些问题通常都是随机的，因此我们近似认为希望看到某种DVD的会员数量服从正态分布，由此我们可以采用置信区间估计的方法，建立模型，求出会员愿意观看五种DVD的数量。

此模型简单易懂，美中不足的是很多我们忽略细节对该问题结果的影响。

然后，我们根据表中给出的数据来分配DVD，使得会员对DVD分配的满意度最大。

关键问题是要把会员对DVD的偏好程度转换为会员满意度，由题意可知，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中，通过观察我们用一个大于9的固定数值来减偏爱数,把这个差值作为满意度，定义总的满意度为max Z，那么求得max Z的值越大，即表示会员越满意。

2010大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1. li2. jiang3. zhou指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期： 2010年 9 月 5 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：DVD在线租赁Ljz摘要随着信息技术的发展，网络带给人们越来越多的便利，越来越多的人关注着网络所带来的商机，在线租赁也迅速走进人们的视野。

网络经营者们，利用网络并借助日益成熟的物流技术，来为社会带来更多的经济效益。

本文处理第一问时根据概率统计的有关知识，求出会员租赁这些DVD的概率、期望和方差，再根据林德伯格—列维中心极限定理，进而求得在不同的满意度下需要购买DVD的数量。

又因为考虑到一个周期内有的DVD有可能不止被租赁一次，又对模型进一步改进最终求得可靠度从95%到99%实际所需DVD的数量。

问题二中，对已有的DVD进行分配，使得顾客的满意度最高，建立优化模型，利用Lingo 9.0软件进行求解，求得在顾客的满意度最大时，各DVD的分配方案。

问题三中，先运用了类似问题一的计算方法确定了DVD的数量。

接着处理DVD的分配问题，本文又参照第二问使用的方法进行求解。

而且本文通过虚拟人数和虚拟DVD数量灵活的解决了DVD的重复分配问题。

数学建模——D V D在线租赁DVD在线租赁问题优化方案（田密万国）摘要本文依托现实网站DVD在线租赁预测、购买和分配方式，抽象简化出主要以网站购置量少、分配方式好以及会员满意度高为目标的数学模型，并通过合理简化假设进行需求预测，并建立优化模型。

问题一：我们建立DVD利用率数学模型，得到了至少50%在一个月内能够看到各种DVD至少需要的DVD张数分别为6250,3125,1563,782,313，以及三个月内能保证至95%的会员能够看到各种DVD至少需要的每种DVD的张数分别为3959,1980,990,495,198。

（具体见表一）问题二：首先通过对数据的分析定义了关系式：满意度=11－偏爱度，建立整数规划模型。

用Lingo解得最大满意度为24746,以及前三十名会员的分配方案（见表一），全部会员的分配方式（见附表DVDc.xls）。

问题三：要求DVD购置量最小与满意度最高是决策问题的关键，平衡DVD购置量和会员满意度，找到较好的购置方式及分配方案。

于是有两个目标：DVD购买总量最少，总满意度最大。

采用分层序列法将多目标规划转换为单目标规划，用Lingo编程解得DVD购买总量2850张, 最大满意度为25650,以及分配方式（见附表DVD3c.xls）。

问题四：我们的想法是从网站最大化客户满意度与最大利润双目标的具体实现入手，可以考虑设立不同等级优先度的策略，以及减少DVD人为或运输破损等造成的损失，来共同提高会员整体满意度和实现效益最优。

关键词：整数规划模型，满意度，0-1规划，多目标规划，Lingo一、问题重述信息时代，网络发挥越来越重要的作用，许多网站利用强大资源和知名度为消费者提供专业便捷的服务。

音像制品的在线租赁即为其中一项，充分发挥了网络诸多优势，为顾客提供了周到的服务。

考虑在线DVD租赁问题。

顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。

会员提交订单，网站根据现有的DVD数量和会员的订单进行分发，并基于其偏爱程度排序。

DVD在线租赁摘要本文讨论的是DVD在线租赁问题。

首先，运用了获取分布，得到其期望值的方法，对问卷调查结果和会员每月租赁DVD次数不同人数的百分比进行分析并求解，合理地解决了网站既要尽可能满足消费者的意愿，又要尽可能使成本相对低廉的矛盾；在此基础上又运用期望值和层次分析图相结合的方法，对在三个月内每个月可能出现租赁的人数进行分析，最终获得了合理的期望值。

其次，运用整数规划（0-1规划），根据100名会员的在线订单和网站手上20种DVD的现有张数，进行了定性地分配，并用分类规划，进行了定量地分配；再用定性反过来约束定量，并进行误差分析；最后，通过会员要求和网站的宏观调控，得出了最优的分配方案。

再次，围绕会员满意度最大这一目标，根据最优化原理导出的递推关系，利用等价变化，将整数规划转化为动态规划，从而决定出每种DVD合理的购买量，并对这些DVD进行合理的分配；再在计算机上用Lingo 软件对模型进行灵敏度检验。

最后，通过该模型对网站DVD在线租赁提出几点建议供网站参考。

模型的特点：1、运用期望值和层次分析图相结合的方法，既解决了期望值的不全面性，又解决了层次分析图无法定量化的问题，进而两种方法达到互补。

2、数据的转换，将表2中的值进行变换（10-c），（见附件[1]）更科学地刻画了会员对DVD的偏爱程度。

（数字越大越偏爱程度越高）这样就解决了原始数字给计算带来困难的，使运算更明确、更方便。

3、根据最优化原理导出的递推关系，利用等价变化，将整数规划转化为动态规划，解决了整数规划求解大规模问题困难的问题。

【关键词】期望值层次分析图整数规划数据转换动态规划递推关系一、问题重述随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。

许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。

例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。

这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。

数学建模论文王伟自动化与信息工程学院自091 刘宏自动化与信息工程学院电气085 关庆理学院计算0822011年7月21日DVD在线租赁摘要针对本题我们采用关键词：一、问题重述随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。

许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。

例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。

这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。

考虑如下的在线DVD租赁问题。

顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。

会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。

会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。

网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。

每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。

会员看完3张DVD 之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。

请考虑以下问题：1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。

此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。

假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2，具体数据请从/mcm05/problems2005c.asp下载），如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。

DVD在线租赁问题的探讨摘要本文探讨了DVD在线租赁问题，成立了DVD租赁问题的优化模型，依据会员中意度达到最优原那么，综合考虑网站制定的假设干约束，分层次成立了以下三个模型：模型Ⅰ：利用概率统计中样本散布可估量整体散布的知识，成立了在最糟糕的情形下也能知足会员要求所需要的DVD数量的模型，而且取得了知足要求的结果：一个月：DVD1~DVD5张数别离为：6250，3125，1563，782，313。

三个月：3959，1980，990，495，198。

模型Ⅱ：咱们概念了一个较为合理的中意度函数，成立了0-1整数计划的模型并用求解，取得整体平均中意度为的全局最优分派情形，而且具体列出了前30位会员别离取得的DVD编号。

模型Ⅲ：咱们采纳了单因素、双因素分层次解决双目标计划的方式，通过运算机C语言编程来实现随机抽样，模拟真实情形，并通过大量的数据观测出DVD总数稳固在2850～2950张之间，依照这一点咱们提出了一个快速算法，使得计算效率大大提高。

咱们还从市场因素，效劳因素，时刻因素和其他因素综合考虑了DVD需求预测，购买，分派中的一些问题，并就需求问题做了专门的探讨，其中会员人流量为其要紧因素。

本文章还从会员一次订购DVD的数量对中意度函数进行了灵敏度分析，并依照拟合图像验证了一次订购3张DVD能够使中意度达到最优的假设。

在问题的进一步讨论中，咱们给出了模型Ⅰ可能的取值范围，考虑到实际情形，对模型Ⅱ进行了改良，提出了一种应用更普遍的模型。

关键词：全局最优解 0－1计划中意度随机抽样快速算法一．问题重述1. 1问题的背景在线DVD租赁问题。

随着信息时期的到来，网络成为人们生活中愈来愈不可或缺的元素之一。

许多网站利用其壮大的资源和知名度，面向其会员群提供日趋专业化和便利化的效劳。

1．2实际现状顾客缴纳必然数量的月费成为会员，订购DVD租赁效劳。

会员假设对DVD 有爱好，只要在线提交定单，网站就会通过快递的方式尽可能知足要求。

2013年大学生数学建模题目：DVD在线租赁的优化设计学院班级组号DVD在线租赁的优化设计摘要本文在满足会员DVD租赁需求的约束条件下，以DVD购买量最小和会员满意度最大为目标，求得最优的DVD购买与分配方案。

通过查找资料确定每DVD从租出到返回的服务周期为15天，从而得到每DVD在一个月最多可租赁2次。

根据问卷调查结果，运用大数定律，得到10万个会员中想观看每种DVD的人数。

会员决定观看DVD的时间服从正态分布，由此确定一个月中每天愿意观看此DVD的人数，根据需要满足的会员数量得到的最小购买量。

会员的满意度由会员收到DVD的等待时间以及对该DVD的偏爱程度共同决定。

为了使满意度与偏爱程度数值上成正比关系，将偏爱程度反序定义。

DVD现有数量已知时，以满意度最大为目标，DVD数量有限等为约束建立0-1整数规划模型。

DVD现有数量全部为0时，从管理人员的角度，以最小购买量为目标，以95%的会员得到想看的DVD为约束条件求得最小购买量时的购买方案，在此方案的基础上以总的满意度最大为目标进行DVD的优化分配。

通过计算，在服务周期为15天，有10万个会员的情况下，为保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月能看到该DVD，应购买的DVD1-5的数量分别为5000,2500,1250,625,250；为保证在三个月至少95%的会员能看到该DVD，应准备的数量分别为3167，1584,792,396,158。

运用lingo软件求解，得到DVD现有数量已知时会员满意度最大的分配，总满意度为24746（理想最大满意度为27000）.当DVD的数量全部为0时，得到最优购买和分配方案，使一个月95%的会员得到想看的DVD，求得最小购买量为1425，在最小购买量的基础上实现满意度最大，总满意度为19396.从经营管理员的角度考虑会员的需求及分配，根据会员的分布情况，建立一定数量的配送中心可以减少开支，增加收入。

关键字DVD 最优方案lingo一、问题的提出本题提供了一种DVD在线租赁业务的经营方式。

DVD（重述居多）1．1 提出背景随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。

许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。

例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。

在线DVD 租赁就是这样一种传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉的服务。

1．2 问题提出客户缴纳一定数量的月费成为会员，通过在线提交订单，订购DVD 租赁服务，会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD 是基于其偏爱程度排序的。

网站会根据手头现有的DVD 数量和会员的订单进行分发。

每个会员每个月租赁次数不得超过2 次，每次获得3 张DVD。

在已知会员订单情况下，如何购买、分配这些DVD，使会员满意度最大且成本最低就成了自然而然的问题。

另外，在DVD 的需求预测、购买和分配中还存在很多其他问题值得研究。

1. 1 问题的背景1．2 实际现状1．3 要解决的问题问题重述长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋严重，已引起了相关政府部门和专家们的高度重视。

为了保护长江水资源，必须对长江水质进行评价和预测进而采取措施来治理水质的污染，根据题意，本文要解决的问题有：1. 对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染状况。

2. 研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的主要污染源的位置。

3. 在不采取有效治理措施的情况下，根据过去10 年的主要统计数据，对长江未来水质污染的发展趋势做出预测分析。

4. 根据(3)预测分析，确定每年处理的污水量使长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比例控制在20%以内，且没有劣Ⅴ类水。

5. 对解决长江水质污染问题提出切实可行的建议和意见。

B题DVD在线租赁摘要本文在DVD在线租赁背景下，对DVD的租赁与归还，网方的购买与分配以及需求预测等相关问题做了模型研究。

首先，对题中给出的表示会员对各DVD的偏爱程度的偏好指数进行修正，提出了绝对满意度和相对满意度的合理定义。

第一问是在预知市场需求的情况下，确定各DVD采购量的问题。

本文首先建立了基于DVD租用次数限制的通用（General Model）模型（GM），结果见表1。

又从实际考虑，建立了以Poission过程模拟DVD归还过程的随机服务（Random Server Model）模型(RS)，结果见表2。

第二问是对现有DVD的一次性分配问题。

本文建立了0-1整数线性规划模型（BIP）利用Lingo软件进行求解。

得到所有会员的最大绝对满意度之和为x=，给出了前30名会员的DVD获得情况（结E=，相对满意度0.916524746果见正文），并进一步给出1000个会员的个人相对满意度统计结果直方图。

第三问是多目标规划问题。

本文结合抽样统计的相关知识，建立了0~1规划模型。

在双目标规划的求解处理上，本文采取以满意度为限制条件，以碟的总量最小为目标进行规划的方式寻优，得出相对满意度与最小采购总量的关系曲线。

以利润最大和满意度最大的为目标，推荐给网管一种相对满意度为1，最小购买量为3047张DVD的具体采购方案（结果见正文）。

针对第四问，本文重点讨论了VIP会员的存在问题，VIP会员与普通会员的权重不同时的加权规划模型，和VIP会员有优先权情况下的分层规划模型，分别求出相关结果。

还简单讨论了会员的信用度、邮递时间、租赁规则等实际问题。

本文建模的过程中，每个环节都尽量考虑实际情况，所以模型的实际应用性和扩展性很强。

表1 GM模型求解结果DVD名称DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5正常估计62503125 1563 782 313一个月50%的人看到悲观估计9000 4500 2250 1125 450乐观估计5000 2500 1250 625 250三个月95%的人看到正常估计3959 1980 1032 516 198表2RS模型求解结果DVD名称DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5一个月内50% 5085 2543 1271 636 254三个月内95% 3921 1961 981 490 1961．问题重述在线DVD租赁问题。

B题：DVD在线租赁随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。

许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。

例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。

这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。

考虑如下的在线DVD租赁问题。

顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。

会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。

会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。

网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。

每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。

会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。

请考虑以下问题：1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。

此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。

假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2，具体数据请从/mcm05/problems 2005c.asp下载），如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。

3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。

如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。

DVD 租赁问题摘要我们通过分析题目可知，在租赁过程中，网络经营者主要关注DVD 的购买和分配。

根据题目所提出的要求，本文针对在线DVD 租赁问题中的订购、分配等问题进行了研究，建立了DVD 的购买和分配0-1规划模型，给出了该问题的优化方案。

问题一：通过对调查问卷的整理分析，我们得到了1000个会员对于其中5种DVD 愿意观看的频数。

因此我们认为愿意观看各种DVD 的人数服从二项分布，从而计算出在多种可靠度下应该购买DVD 的数量，见表一。

!问题二：题目要求如何进行分配，使会员获得最大满意度。

所以我们以会员的标准最大满意度∑∑==⨯1000110011000116i j ijijbx 为目标函数，建立一个0—1规划模型，得到分配方案，并使用软件LINGO 编程求解。

得到最大满意度%，和前30位会员的分配方案（见表五）。

问题三：我们以会员的最大满意度和网站的最小购买量建立双目标函数。

考虑到60%的会员在一个月内由于两次租赁，而致使一部分DVD 可被重复利用，因而，我们采用了分两个阶段购买的方案，在每个购买阶段都建立了双目标整数规划模型，利用lingo 求得应购买3066张。

从而使实际购买量比网站原来的拥有量小，并且使会员的满意度达到了%。

问题四：我们对新出的DVD 进行市场需求预测；利用市场预测选取购买方案，最后按会员在线的订单进行合理分配。

在这个过程中，我们追求获得最大收益。

因而一方面减少购买DVD 所需的成本，另一方面最大化满足各会员的需求。

关键词： 二项分布、0-1规划、双目标规划、满意度…一、问题重述许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。

音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。

这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核，为顾客提供更为周到的服务。

顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。

会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。