DVD在线租赁摘要在科学技术高速发展的今天，特别是因特网建立后,网络更是成为我们传播信息的主渠道以及一种莫大的经济资源。
许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务，如：DVD在线租赁。
本文解决的是一个DVD在线租赁问题，模型主要涉及到DVD的数量，一个月中租用的次数以及会员对各DVD的满意度。
模型中运用了0-1型整数规划，并采用LINGO数学软件来求解模型。
在处理第一问时，对于一个月满足50%的情况，分析完后用了一个简易包络图来描述。
并依照分析建立了一个以调查表中各DVD 愿意观看的人数为参数的数学模型。
得出对于各种DVD分别需要准备的张数为：6250、3125、1563、782、313；在该模型的基础上，增加了对一个月租两次的会员优先考虑的条件，而建立了一个新的模型，同时解得各种DVD需要分别准备5000张、2500张、1250张、625张、250张。
由此比较得出第二个模型更优。
对于三个月满足95%的情况，在模型的建立的过程把三个月分成6个阶段，用包络图直观的表述出来，同时根据包络图建立出数学模型。
根据模型可解得各种DVD应准备的量，分别为：4260张、2130张、1065张、533张、213张。
也在此基础上，给一个月租两次的会员优先权时，又可建立一个模型。
模型求解得：各种DVD分别需要准备3800张、1900张、950张、475张、190张。
同样也得出了一个更优的方案。
在第二问的模型建立的时候，本文是用会员们的在线定单上所显示出来的意愿顺序数的倒数，来表示会员对该DVD的满意度。
以满意度最大为目标函数。
同时根据题目列出其约束条件，运用LINGO 8.0编程、并计算得出了所有DVD的分配情况（附录一）。
在解决问题三的时候，也以满意度最大为目标函数。
改变三个约束条件，也同样运用LINGO 8.0编程、并计算得出分配情况（附录二），在本文中运用了表格的形式表述出了各种DVD的购买量。
并把所有的会员租得DVD的情况罗列出来，其中100名会员的第68、69、70、71、72五位会员不能租到DVD。
本文把问题三所得出的分配情况与表二的各会员的第一、二、三选择相比较得出其相同率超过90%。
以此检验出模型的优越性。
最后就模型租用周期、租用期间所存在一定的损失率等几个方面进行了改进，并把模型推广到其他的租赁服务业、生产产品费用问题及加工产品方面。
关键词：满意度、0—1型整数规划、DVD在线租赁随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。
许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。
如在线DVD租赁。
顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。
会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。
会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。
网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。
每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。
会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。
问题一：网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。
此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。
假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？问题二：表2中列出了网站手上20种DVD的现有张数和当前需要处理的100位会员的在线订单，如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。
问题三：继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。
如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？表1 对1000个会员调查的部分结果用数字1,2,…表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD 当前不在会员的在线订单中。
一般一个人对同一只会租一次，所以在考虑问题时，不用考虑重复租用的情况；表二中的数字越小表示会员的偏爱程度越高，所以可用表二中意愿数的倒数来计算满意度;对于一张某一会员要么租到，要么没租到，所以属于0-1变量，所以在解答问题时可以采用0-1型数学模型;在问题二、三中不用考虑到问题一中所提及的租一次和两次的情况，所以在型建立的时候，任一会员租的数量都是3张。
三、 参数说明1 i x ：在一个月能满足50%的会员的情况下所需DVDi 的个数。
2 i y ：在三个月能满足95%的会员的情况下DVDi 所需的个数。
3 i s ：表示调查结果中愿意观看DVDi 的人数。
4 ij x ：表示第i 个会员租赁第j 个DVD 的数量（,2,1=i …，20，,2,1=j …，1000）5 ij y ：表示第i 个会员对租赁的第j 张DVD 的满意度。
6 j Q ：是第j 张DVD 的现有存量。
7 ij B ：表二中关于第i 个会员想租第j 张DVD 的意愿顺序号。
四、 模型假设1 假设租两次的会员是在月中和月末还，租一次的会员在月末还。
2 假设一个月租一次的会员和一个月租两次的会员租到DVD 的概率、机会均等。
3 因为邮寄而耽误时间不作考虑，即把邮寄时间算入一个周期中。
4 不考虑在租用过程中的损失率（损失率为0）。
5 同一会员不会租同一DVD 两次，而且同种DVD 只租一张。
6 在第三问的模型建立与求解过程中不考虑一个月租两次的情况。
五、 模型建立与求解5.1问题一的模型建立与求解1、一个月满足50%的会员的情况：①因为一共有i x 张所以这些DVD 有两个去向，一是被一月租两次的会员租去了；另一些租给了一月只租一次的会员，按平均的概率来算，分别为0.6i x 和0.4i x 。
而0.6i x 的月中就还回了，所以在本月还可再借出。
而他们又有两个去向，也是分别租给两种不同的会员。
根据问题的分析可以画出一个i x 的简易包络图：0.60.60.60.40.60.4i i i i i x x x x x ⎧⨯⎧⎨⎪⨯⎨⎩⎪⎩i DVD 需要的数量为： 100000 1.650%1000i i s x =⨯÷⨯=50i s =1254i s 对所以当只要满足50%的会员时：12345200100000 1.650%62501000100100000 1.650%3125100050100000 1.650%1563100025100000 1.650%782100010100000 1.650%3131000x x x x x ⎧=⨯÷⨯=⎪⎪⎪=⨯÷⨯=⎪⎪⎪=⨯÷⨯=⎨⎪⎪=⨯÷⨯=⎪⎪⎪=⨯÷⨯=⎪⎩（张） （张） （张） （张） （张） ②如果假设公司在让会员们填写在线定单时，就已经可以知道该会员是一月租一次DVD 还是一月租两次。
并且在会员制度中说明了优先考虑一个月租两次的会员的话，则可建立一新的模型。
因为租给一月租两次的60% 会员要比租给一月租一次的40%的会员要更省。
又因为60%大于50%，所以把DVD 全部租给一月租两次的会员。
所以所有的DVD 都可以在一个月内被租两次。
'210000050%501000i i i s x s =⨯⨯=即有： '1'2'3'4'52520050002510025002550125025256252510250x x x x x ⎧=⨯=⎪=⨯=⎪⎪=⨯=⎨⎪=⨯=⎪⎪=⨯=⎩ （张） （张）（张）（张）（张） 这与前一个模型比较可见，这模型有它的优越性。
说明在根据限定的条件改进模型后，得到了一个更优的值。
这就知道如果公司愿意这样限制的话，在有相同的市场条件下，按修改的模型将会获得更大的利润。
2、 三个月中满足95%的会员的情况：①条件和分析都与上一小问相似，所以根据分析，可以把三个月分为六小段分析（每半个月为一阶段），在第一阶段：i x 可租给i x 个会员；第二阶段：又可租给0.6i x 个会员；第三阶段：可租给0.76i x 个会员；第四阶段：可租给0.696i x 个会员；第五阶段：可租给0.7216i x 个会员；第六阶段：可租给0.62496i x 个会员。
100000 4.4025695%21.581000i i i s x s =⨯÷⨯= ∴ 1234520021.58431610021.5821585021.5810792521.585401021.30216x x x x x =⨯=⎧⎪=⨯=⎪⎪=⨯=⎨⎪=⨯=⎪⎪=⨯=⎩ （张）（张） （张） （张） （张）②如果要求保证在三个月内至少有95%的会员能够看到该，我们依然优先考虑在月初将所有的DVD 租赁给一月租两次的会员，则在第一个月月初将所有的DVD 租赁给一个月租两次的会员后，第一个月中又可以将所有的DVD 依然租赁给一个月租两次的会员，第二个月月初还是将所有的DVD 租赁给一月租两次的会员，但在第二个月月中必须将一部分的租赁给一月租两次的会员，一部分的租赁给一月租一次的会员，因为如果仍然将其全部租赁给一个月租两次的会员，那么的一个月只租一次的会员将不能得到满足，并且占60%的一个月租两次的会员也没有那么多人，因为按这样高级会员将占总人数的80%。
综上有述：在第一个月月初、第一个月月中、第二个月月初把所以的DVD 租赁给一个月租两次的会员，但在第二个月月中将租赁出一部分给一个月租两次的会员,另一部分租给一月租一次的会员，第三个月月初将租赁给一个月租两次的会员的那一部分继续租给这60%中的会员，第三个月月中将租赁出另一部分给一个月租一次的会员。
这相当于一张租赁了五次。
所以有：'510000095%951000i i i s x s =⨯⨯= '1'2'3'4'5192003800191001900195095019254751910190x x x x x ⎧=⨯=⎪=⨯=⎪⎪=⨯=⎨⎪=⨯=⎪⎪=⨯=⎩ （张） （张）（张） （张）（张）与上模型相比较这个模型要更优，这说明给了限制条件之后建立的模型更好，在经济方面，此模型明显可以减少开支。
5.2问题二的模型建立与求解已知用ij x 表示第i 个顾客购租赁第j 张DVD 的数量，其中1100i = 11000j = ；ij y 表示第i 个顾客对租赁的第j 张DVD 的满意度；ij B 为表二中第i 个顾客对第j 张DVD 评价的数据（如110B =）。
