振动之阻尼弹簧振子的受迫振动

等幅振动的圆频率比减幅振动的圆频率更大，因而振动得更快。
受迫振动的振幅随着减幅振动起伏，最后成为等幅振动。
约化阻尼因子不变，如果约化驱动力圆频率Ω/ω0取0.6，
等幅振动的圆频率比减幅振动的圆频率小，因而振动得比较慢。
受迫振动开始时受到减幅振动的扭曲，最后成为等幅振动。
约化阻尼因子不变，如果约化驱动力圆频率Ω/ω0取1，
如果约化阻尼因子β/ω0为0.1，约化驱动力圆频率Ω/ω0为2， 物体在作受迫振动时，减幅振动的位移随时间逐渐衰减为零，
等幅振动的圆频率比减幅振动的圆频率大，
两个振动叠加之后，开始时的位移比较复杂，经过一定的时间，减幅 振动衰减之后，物体作等幅振动，其圆频率等于驱动力的圆频率。
如果约化阻尼因子不变，约化驱动力圆频率Ω/ω0为6，
*{范例5.8} 阻尼弹簧振子的受迫振动
x = Acos(Ωt + Φ), A
F0
2 2 m ( 2 0 ) 4 2 2
, arctan
2 2 0 2
2 2 为了计算最大振幅，设A的分母的平方为 y ( 2 0 ) 4 2 2
令dy/dΩ = 0，可得 M 02 2 2 容易验证，这就是振幅取极大值的条件，当然要求 0 / 2 F0 F0 . 极大值为 AM 4 4 2 m 0 。
等幅振动的圆频率与固有圆频率相等，与减 幅振动的圆频率相近，因而振幅比较大。
受迫振动的振幅随时间不断增加，最后成为等幅振动。
当驱动力的圆频率等于减幅振动的圆频率 时，物体受迫振动达到稳定后的振幅最大。
*{范例5.8} 阻尼弹簧振子的受迫振动
一弹簧振子的质量为m，劲度系数为k，振子除了受到阻 力f = -γx之外，还受到周期性的外力的作用F = F0cosΩt， 其中是F0驱动力的幅值，Ω是驱动力的圆频率。(2)受迫 振动达到稳态时，讨论位移振幅和速度振幅与驱动力频 率的关系，并讨论振子产生共振的条件。 F0 2 A , arctan 2 2 2 2 2 2 0 2 m ( 0 ) 4 [解析](2)振子在作受迫振动时，经过一定的时间， x1→0，x→x2 = Acos(Ωt + Φ)，振子的运动达到稳态。 当系统的阻尼因子一定时，振子的振幅由驱动力 的圆频率决定；振子的位移与驱动力并不同相。 通常β ≠ 0，当Ω→0时，A→F0/mω02，Φ→0； 当Ω→∞时，A→0，Φ→-π。
其中阻尼圆频率为
2 0 2
微分方程的解为x1 = e-βt(Ccosωt + C'sinωt)， C和C'是常数。
为了简单地求特解，将驱动力用复数表示 特解也用复数表示 x2 A exp(i t )
2 2 0
F F0 exp(it )
F0 代入微分方程得 (- 2i ) x2 exp(i t ) m F0 x2 exp(i t ) 解得 2 2 m(- 2i 0 ) 特解用复数的实部表示为 F0 复振幅为 A 2 x2 = Acos(Ωt + Φ) m(- 2 2i 0 )
*{范例5.8} 阻尼弹簧振子的受迫振动
一弹簧振子的质量为m，劲度系数为k，振子除了受到阻力f = -γx之外，还受到周期性的外力的作用F = F0cosΩt，其中是 F0驱动力的幅值，Ω是驱动力的圆频率。(1)当物体静止在平 衡位置时驱动力开始作用于物体上，讨论物体运动的规律。 (2)受迫振动达到稳态时，讨论位移振幅和速度振幅与驱动 力频率的关系，并讨论振子产生共振的条件。 [解析](1)物体在周期性的外力持续作用下发生的 振动称为受迫振动，周期性的外力称为驱动力。 2 d x dx 根据牛顿运动定律，物 m 2 kx F0 cos t 体运动的微分方程为 dt dt 取k/m = ω02，γ/m = 2β， F0 d2 x dx 2 物体的运动方程可表示为 dt
其 中
A | A |
F0
2 2 m ( 2 0 ) 4 2 2
,
arg( A) arctan
2 2 0 2
2 2 2 2 0 2 m ( 2 0 ) 4 2 2 x = x1 + x2 = e-βt(Ccosωt + C'sinωt) + Acos(Ωt + Φ) 速度为
A F0 ,
*{范例5.8} 阻尼弹簧振子的受迫振动
arctan
v=-βe-βt(Ccosωt+C'sinωt)+e-βt(-ωCsinωt+ωC'cosωt)-ΩAsin(Ωt+Φ)
当物体从静止开始运动时，即当t = 0时，有x = 0，v = 0，可得 解得 0 = C + AcosΦ， 0 = -βC + ωC' - ΩAsinΦ 1 A C = -AcosΦ， C ( C A sin ) ( sin cos ) 1 t 通解为 x1 Ae [ cos cos t ( sin cos ) sin t ] 通解为可表示为x1 = A1e-βtcos(ωt + φ), 振幅和初相分别为 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 0) F0 ( 0 ) ( 0 ) A1 , arctan 2 2 2 2 2 2 2 ( m[( 0 ) 4 ] 0) x1是减幅振动，x2是等幅振动，物体的振动是两个振动的合成。
2
2
dt
0 x
m
cos t
其解等于齐次微分方程的通解x1与特解x2之和。
*{范例5.8} 阻尼弹簧振子的受迫振动
F0 d2 x dx 2 2 x cos t 0 2 dt dt m
d 2 x1 dx1 2 0 x1 0 取齐次式 2 2 dt dt