2014年高考数学广东卷(理科)有答案

绝密★启用前 试卷类型：B2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座 位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型A 填涂在答题卡相应位置上．将条形 码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用 铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再 作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N = A.{1,0,1}- B.{1,0,1,2}- C.{1,0,2}-D.{0,1}2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z= A.34i - B.34i +C.34i --D.34i -+3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.8B.7C.6D.54．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的A.离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是图1 图2A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。

数学试卷 第1页（共16页） 数学试卷 第2页（共16页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,0,1}M =-,{0,1,2}N =,则M N = ( ) A .{0,1} B .{1,0,2}- C .{1,0,1,2}-D .{1,0,1}- 2.已知复数z 满足(34i)25z +=,则z =( )A .34i -+B .34i --C .34i +D .34i -3.若变量x ,y 满足约束条件,1,1,y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≤≥且2z x y =+的最大值和最小值分别为m 和n ,则m n -= ( )A .5B .6C .7D .84.若实数k 满足9k 0＜＜,则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 ( )A .焦距相等B .实半轴长相等C .虚半轴长相等D .离心率相等5.已知向量(1,0,1)=-a ,则下列向量中与a 成60夹角的是( )A .(1,1,0)-B .(1,1,0)-C .(0,1,1)-D .(1,0,1)-6.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A .200,20B .100,20C .200,10D .100,10 7.若空间中四条两两不同的直线1l ,2l ,3l ,4l ,满足12l l ⊥,23l l ⊥,34l l ⊥,则下列结论一定正确的是( )A .14l l ⊥B .14l l ∥C .1l 与4l 既不垂直也不平行D .1l 与4l 的位置关系不确定8.设集合12345{(,,,,)|{1,0,1},1,2,3,4,5}i A x x x x x xi =∈-=,那么集合A 中满足条件“12345||||||||||3x x x x x ++++1≤≤”的元素个数为( )A .60B .90C .120D .130二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. （一）必做题（9～13题）9.不等式|1||2|x x -++≥5的解集为 . 10.曲线52x y e -=+在点(0,3)处的切线方程为 .11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为 .12.在ABC △中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,已知cos cos 2b C c B b +=,则ab= . 13.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且510119122e a a a a +=,则1220ln ln ln =a a a +++… .（二）选做题（14-15题,考生只能从中选做一题）姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共16页） 数学试卷 第4页（共16页）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线1C 和2C 的交点的直角坐标为 . 15.（几何证明选讲选做题）如图,在平行四边形ABCD 中,点E 在AB 上且2EB AE ＝,AC 与DE 交于点F ,则CDF AEF ∆=∆的面积的面积 .三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数π()sin()4f x A x =+,x ∈R ,且5π3()122f =.（Ⅰ）求A 的值；（Ⅱ）若3()()2f f θθ+-=,π(0,)2θ∈,求3π()4f θ-.17.（本小题满分13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件）,获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36. 根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组 频数 频率 [25,30] 3 0.12 (30,35] 5 0.20 (35,40] 80.32(40,45] 1n 1f (45,50]2n2f（Ⅰ）确定样本频率分布表中1n ,2n ,1f 和2f 的值； （Ⅱ）根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图；（Ⅲ）根据样本频率分布直方图,求在该厂任取4人,至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率.18.（本小题满分13分）如图,四边形ABCD 为正方形,PD ⊥平面ABCD ,30DPC ∠＝,AF PC ⊥于点F ,FE CD ∥,交PD 于点E .（Ⅰ）证明：CF ⊥平面ADF ； （Ⅱ）求二面角D AF E --的余弦值.19.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21234n n S na n n +=--,*n ∈N ,且315S =. （Ⅰ）求1a ,2a ,3a 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式.20.（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点为,离心率为3.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.21.（本小题满分14分）设函数()f x =,其中2k <-.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （Ⅱ）讨论函数()f x 在D 上的单调性；（Ⅲ）若6k <-,求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）.数学试卷 第5页（共16页） 数学试卷 第6页（共16页）2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）答案解析{1,0,1,2}M N =-在点(1,1)--处目标函数分别取得最小值3n =-，则6m n -=，故选B.【解析】09k <<(9)34k -=-【提示】根据k 的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及221)(1,1,0)(1)1--+22221)(1,1,0)1(1)0-=+-+221)(0,1,1)1(1)-+-221)(1,0,1)1(1)-+-【提示】根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到结论2000)2%200=20002%50%20=可得总体个数，根据抽取比例可得样本容量，计算分层抽样的抽取比例，求得样本中的高中学生数，再利用图可得出结论，14l l ，的位置关系不确定.。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理科数学及参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =A.{1,0,1}-B.{1,0,1,2}-C.{1,0,2}-D.{0,1}2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z= A.34i -B.34i +C.34i --D.34i -+3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.8B.7C.6D.54．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A.离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是 A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定小学生 3500名初中生4500名 高中生 2000名小学初中30 高中10 年级50 O近视率/%8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为 A.60B.90C.120D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。

绝密★启用前 试卷类型A2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型A 填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．学科网在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =A. {0,1}B. {1,0,2}-C. {1,0,1,2}-D. {1,0,1}-2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z=A. 34i -+ B . 34i -- C. 34i +D. 34i -3．若变量,x y 满足约束条件121y xx y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值学科网和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.5B.6C.7D.84．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A. 焦距相等 B. 实半轴长相等 C. 虚半轴长相等D. 离心率相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是 A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，学科网为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则学科网下面结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为 A.60 B.90C.120D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。

图1高中生2000名小学生3500名初中生4500名图2近视率/ %301050O 小学 初中 高中 年级2014年广东高考理科数学真题及答案一、选择题： 本大题共8小题，每小题5分，满分40分， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则{1,0,1}M =-{0,1,2}N =M N = A ． B ． C ． D ．{0,1}{1,0,2}-{1,0,1,2}-{1,0,1}-2．已知复数满足，则z (34)25i z +=z =A ． B ． C ． D ．34i -+34i --34i +34i -3．若变量满足约束条件， 且的最大值和最小值分别为和，则,x y 11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≤≥2z x y =+m n m n -=A ．5 B ．6 C ．7 D ．84．若实数满足， 则曲线与曲线的 k 09k <<221259x y k -=-221259x y k -=-A ．焦距相等 B ．实半轴长相等 C ．虚半轴长相等 D ．离心率相等5．已知向量，则下列向量中与成夹角的是(1,0,1)-a =a 60 A ． B ． C ． D ．(1,1,0)-(1,1,0)-(0,1,1)-(1,0,1)-6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示. 为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2 %的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A ．200，20B ．100，20C ．200，10D ．100，10 7．若空间中四条两两不同的直线，满足，，，则下列结论一定正确的是1234,,,l l l l 12l l ⊥23l l ⊥34l l ⊥A ． B ． C ．与既不垂直也不平行 D ．与的位置关系不确定14l l ⊥14//l l 1l 4l 1l 4l 8．设集合，那么集合中满足条件 (){}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i =∈-=A “”的元素个数为1234513x x x x x ++++≤≤A ．60 B ．90 C ．120 D ．130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．A F E D C B图3（一）必做题（9 ~ 13题）9．不等式的解集为 ．125x x -++≥10．曲线在点处的切线方程为 ．25+=-x e y )3,0(11．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 ．12．在中，角所对应的边分别为. 已知，则ABC ∆C B A ,,c b a ,,b B c C b 2cos cos =+ ． =ba 13．若等比数列的各项均为正数，且，则{}n a 512911102e a a a a =+ ．1220ln ln ln a a a +++= （二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线和的方程分别为和1C 2C 2sin cos ρθθ=.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线和sin 1ρθ=x 1C 2C 交点的直角坐标为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形中，点在上且，与ABCD E AB 2EB AE =AC DE交于点，则＝ ． F CDF AEF ∆∆的面积的面积三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数，，且． ()sin()4f x A x π=+x ∈R 23)125(=πf （1）求的值；A （2）若，，求． 23)()(=-+θθf f )2,0(πθ∈)43(θπ-f图4P A BC ED F17．（本小题满分12分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组 频数频率 [25,30] 30.12 (30,35] 50.20(35,40]8 0.32(40,45] 1n 1f (45,50] 2n2f （1）确定样本频率分布表中和的值；121,,n n f 2f （2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间的(30,35]概率．18．（本小题满分14分）如图4，四边形为正方形，平面， ABCD PD ⊥ABCD ，于点，∥，交于点．30DPC ∠= AF PC ⊥F FE CD PD E （1）证明：平面；CF ⊥ADF （2）求二面角的余弦值．D AFE --19．（本小题满分14分）设数列的前项和为，满足，，且． {}n a n n S n S 21234n n S na n n +=--*n ∈N 315S =（1）求的值；123,,a a a （2）求数列的通项公式．{}n a20．（本小题满分14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为． 2222:1x y C a b +=(0)a b >>(5,0)53（1）求椭圆的标准方程；C （2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方00(,)P x y C P C P 程．21.（本小题满分14分）设函数，其中．2221()(2)2(2)3f x x x k x x k =+++++-2k <-（1）求函数的定义域（用区间表示）；()f x D （2）讨论在区间上的单调性；()f x D （3）若，求上满足条件的的集合（用区间表示）．6k <-D ()(1)f x f >xx2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B A B A D D二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9 ~ 13题）9. 10. 11.12. 2 13.50 (,3][2,)-∞-+∞ 530x y +-=16（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14. 15.9(1,1)三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（本小题满分12分）16. 解：（1），解得. 55233()sin()sin 12124322f A A A ππππ=+===3A =（2）由（1）得， ()3sin()4f x x π=+所以 ()()3sin()3sin()44f f ππθθθθ+-=++- 222233(cos sin )3(cos sin )6cos 22222θθθθθ=++-==所以，又因为，所以， 6cos 4θ=)2,0(πθ∈210sin 1cos 4θθ=-=所以. 331030()3sin()3sin()3sin 344444f ππθπθπθθ-=-+=-==⨯=17.（本小题满分12分）17. 解：（1），，，. 17n =22n =170.2825f ==220.0825f ==（2）所求的样本频率分布直方图如图所示：频率组距0.0400.0240.0160.0560.064P A B C E D F G H P A B C E DF x yz（3）设“该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间”为事件， (30,35]A ，即至少有1人的日加工零件数落在区间概率为.4()1(10.2)0.5904P A =--=(30,35]0.590418．（本小题满分14分）18.（1）证明：因为平面，平面，所以.PD ⊥ABCD AD ⊂ABCD PD AD ⊥因为在正方形中，又，所以平面.ABCD CD AD ⊥CD PD D = AD ⊥PCD 因为平面，所以.CF ⊂PCD AD CF ⊥因为，，所以平面.AF CF ⊥AF AD A = CF ⊥ADF （2）方法一：以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系D DP DC DA x y z 设正方形的边长为1，ABCD 则. 333(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(3,0,0),(,0,0),(,,0)444D A C P E F 由（1）得是平面的一个法向量.(3,1,0)CP =- BCDE 设平面的法向量为， AEF (,,)x y z =n ，， 3(0,,0)4EF = 3(,0,1)4EA =- 所以. 304304EF y EA x z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩ n n 令，则，，所以是平面的一个法向量. 4x =0y =3z =(4,0,3)=n AEF 设二面角的平面角为，且D AFE --θ(0,)2πθ∈所以， 43257cos 19219CP CP θ⋅===⨯⋅ n n 所以二面角的平面角的余弦值为. D AF E --25719方法二：过点作于，过点作于，连接.D DG AE ⊥G D DH AF ⊥H GH 因为，，，所以平面.CD PD ⊥CD ED ⊥ED AD D = CD ⊥ADE 因为∥，所以平面.FE CD FE ⊥ADE 因为平面，所以.DG ⊂ADE FE DG ⊥因为，所以平面.AE FE E = DG ⊥AEF 根据三垂线定理，有， GH AF ⊥所以为二面角的平面角. DHG ∠D AF E --设正方形的边长为1，ABCD 在△中，，，所以. Rt ADF 1AD =32DF =217DH =在△中，因为，所以，所以. Rt ADE 1124FC CD PC ==1344DE PD ==5719DG =所以， 226133133GH DH DG =-=025 30　35 40 45 50 日加工零件数所以， 257cos 19GH DHG DH ∠==所以二面角的平面角的余弦值为. D AF E --2571919.（本小题满分14分）19. 解：（1）当时，，2n =2123420S a a a =+=-又，所以，解得.312315S a a a =++=3342015a a -+=37a =当时，，又，解得.1n =11227S a a ==-128a a +=123,5a a ==所以.1233,5,7a a a ===（2） ①21234n n S na n n +=--当时， ②2n ≥212(1)3(1)4(1)n n S n a n n -=-----①②得.-12(22)61n n n a na n a n +=----整理得，即. 12(21)61n n na n a n +=-++1216122n n n n a a n n +-+=+猜想，. 以下用数学归纳法证明：21n a n =+*n ∈N 当时，，猜想成立；1n =13a =假设当时，，n k =21k a k =+当时，， 1n k =+21216121614161(21)232(1)122222k k k k k k k k a a k k k k k k k k+-+-+-++=+=++==+=++猜想也成立，所以数列的通项公式为，. {}n a 21n a n =+*n ∈N20.（本小题满分14分）20. 解：（1）依题意得，， 5c =53c e a ==所以，，3a =2224b a c =-=所以椭圆的标准方程为 C 22194x y +=（2）当过点的两条切线的斜率均存在时，P 12,l l 设，则 100:()l y y k x x -=-2001:()l y y x x k-=--联立， 2200194()x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩得，2220000(49)18()9()360k x k y kx x y kx ++-+--=所以，22220000(18)()4(49)[9()36]0k y kx k y kx ∆=--+--=整理得，2200()49y kx k -=+即，2220000(9)240x k x y k y --+-=因为，所以， 12l l ⊥201220419y k k x -==--整理得； 220013x y +=当过点的两条切线一条斜率不存在，一条斜率为0时，P 12,l l 为或，均满足. P (3,2)±(3,2)-±220013x y +=综上所述，点的轨迹方程为.P 2213x y +=21.（本小题满分14分）21. 解：（1）， 221()(23)(21)f x x x k x x k =+++++-由，得或，22(23)(21)0x x k x x k +++++->223x x k ++<-221x x k ++>即或，2(1)2x k +<--2(1)2x k +>-+所以或或，其中.1212k x k ----<<-+--12x k <---+12x k >-+-+2k <-所以函数的定义域.()f x (,12)(12,12)(12,)D k k k k =-∞---+⋃-----+--⋃-+-++∞（2）令，则， 222()(2)2(2)3g x x x k x x k =+++++-1()()f xg x =x D ∈，22()2(2)(22)2(22)4(1)(21)g x x x k x x x x x k '=+++++=++++令，解得，，，其中.()0g x '=11x k =---21x =-31x k =-+-2k <-因为，131********k x k k x k ---+<<----<-<-+--<<-+-+所以随的变化情况如下表：(),()g x g x 'xx (,12)k -∞---+ (12,1)k ----- 1-(1,12)k --+-- (12,)k -+-++∞()g x ' - +0 - + ()g x ↘ ↗ 极大值↘ ↗ 因为函数与在区间上的单调性相反，()y f x =()y g x =D 所以在和上是增函数，()f x (,12)k -∞---+(1,12)k --+-- 在和上是减函数.(12,1)k -----(12,)k -+-++∞（3）因为，所以，(1)(1)g x g x --=-+(1)(1)f x f x --=-+所以函数与的图象关于直线对称，()y f x =()y g x =1x =-所以.(1)(3)f f =-因为，所以.6k <-123112k k ----<-<<-+--①当时，(12,12)x k k ∈-----+--要使，则；()(1)f x f >(12,3)(1,12)x k k ∈-----⋃-+--②当时，(,12)(12,)x k k ∈-∞---+⋃-+-++∞令，即，，()(1)f x f =()(1)g x g =22(23)(21)(6)(2)x x k x x k k k +++++-=++令，则，22t x x k =++(1)t >(3)(1)(6)(2)t t k k +-=++整理得，即，222(815)0t t k k +-++=[(3)][(5)]0t k t k -+++=因为且，所以，即，1t >6k <-(5)t k =-+225x x k k ++=--所以，解得， 22250x x k +++=124x k =-±--(,12)(12,)k k ∈-∞---+⋃-+-++∞所以.()(1)(124)f x f f k ==-±--要使，则.()(1)f x f >(124,12)(12,124)x k k k k ∈-------+⋃-+-+-+--综上所述， 当时，在上满足条件的的集合为 6k <-D ()(1)f x f >x .(124,12)(12,3)(1,12)(12,124)k k k k k k -------+⋃-----⋃-+--⋃-+-+-+--。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1} 答案:B2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+ 答案:A 2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i i i i --===-++-提示故选A3.若变量,x y 满足约束条件121y xx y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.5:(),(2,1)(1,1)3,3,6,.CM m M m C --==-∴-=答案:提示画出可行域略易知在点与处目标函数分别取得最大值与最小值选4.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等09,90,250,(9)34(25)9,k k k k k k <<∴->->+-=-=-+答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又25故两双曲线的焦距相等,选D.5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）0222222:11,,60,.2210(1)1(1)0B B =∴++-⋅+-+答案提示即这两向量的夹角余弦值为从而夹角为选6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 A. 200,20 B. 100,20 C. 200,10 D. 100,10::(350045002000)2%200,20002%50%20,.AA ++⋅=⋅⋅=∴答案提示样本容量为抽取的高中生近视人数为:选7.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定 答案:D 8.设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130 答案: D1234511122252551311225254:1,2,31:C 10;:C 40;:C C C 80.104080130, D.x x x x x C C A C C ++++=+=+=++=提示可取和为的元素个数为和为2的元素个数为和为3的元素个数为故满足条件的元素总的个数为选二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9.不等式521≥++-x x 的解集为 .(][)(][),32,:12532,,32,.-∞-+∞---∞-+∞答案:提示数轴上到与距离之和为的数为和故该不等式的解集为:10.曲线25+=-xey 在点)3,0(处的切线方程为 . '5'0:530:5,5,35,530.x x x y y e y y x x y -=+-==-∴=-∴-=-+-=答案提示所求切线方程为即11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .367101:6:67,36,136,.6C C =答案提示要使为取出的个数中的中位数则取出的数中必有个不大于另外个不小于故所求概率为12.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+， 则=ba. 2222222:2::cos cos ,2, 2.sin cos sin cos 2sin ,sin()2sin ,sin 2sin ,2, 2.::2,24,222, 2.ab Cc B a a b bB C C B B B C B aA B a b ba b c a c b b b a ab ab ac aa b b+==∴=+=+=∴==∴=+-+-⋅+==∴==答案提示解法一由射影定理知从而解法二:由上弦定理得:即即解法三由余弦定理得即即13.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++= . 51011912101112202019151201011:50,,ln ln ln ,ln ln ln ,220ln 20ln 20ln 100,50.a a a a a a e S a a a S a a a S a a a a e S =∴==+++=+++∴====∴=答案提示:设则（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14.（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿221212:(1,1):(sin )cos ,,:1,(1,1).C y x C y C C ρθρθ===∴答案提示即故其直角坐标方程为:的直角坐标方程为与的交点的直角坐标为15.（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的面积的面积＝＿＿＿22:9:,()()9.CDF AEF CDF CD EB AE AEF AE AE∆∆∴∆+===∆答案提示显然的面积的面积三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤．16、（12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ，（1）求A 的值； （2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f . 55233:(1)()sin()sin , 3.121243223(2)(1):()3sin(),4()()3sin()3sin()443(sin coscos sin )3(sin()cos cos()sin )4444323cos sin 6cos 426cos ,(0,),42f A A A f x x f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴=⋅==+∴+-=++-+=++-+-===∴=∈解由得10sin 4331030()3sin()3sin()3sin 3.44444f θπππθθπθθ∴=∴-=-+=-==⨯=17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率.121272:(1)7,2,0.28,0.08;2525(2):n n f f ======解频率分布直方图如下所示(](](]044(3),30,350.2,30,35(4,0.2),130,35:1(0.2)(0.8)10.40960.5904.B C ξξ-=-=根据频率分布直方图可得工人们日加工零件数落在区间的概率为设日加工零件数落在区间的人数为随机变量,则故4人中,至少有人的日加工零件数落在区间的概率为18.（13分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝030，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E.（1）证明：CF ⊥平面ADF ； （2）求二面角D －AF －E 的余弦值.:(1):,,,,A ,,,,,,,,,,.(2):E EG//CF DF G,,,G GH AF H,EH,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD D ABCD AD CD AD PCD CF PCD CF AD AF PC CF AF AD AF ADF ADAF A CF ADF CF DF EG DF ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥∴⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥⊥∠解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面解法一过作交于平面A 平面A 过作于连则00,CD 2,30,130,==1,21324,,,,,22333EG .,423EHG D AF E DPC CDF CF CDDE CF CP EF DC DEDF DP CP DE EF AE AF EF DF AE EF EH HG AF --=∠=∴∠==∴=∴=⋅======⋅∴====为二面角的平面角设从而∥还易求得EF=从而易得故cos GH EHG EH ∴∠==12:,,,,,2,1(0,0,2),C(0,2,0),,(23,22,0),,,431,0),ADF CP (3,1,0),22AEF (x DP DC DA x y z DC A CF CP F DF CF F E n n λλλλ==-⊥===-=解法二分别以为轴建立空间直角坐标系设则设则可得从而易得取面的一个法向量为设面的一个法向量为2212212,y,z),0,0,19||||2n AE n AF n n n n n ⋅=⋅=⋅==⋅⨯利用且得可以是从而所求二面角的余弦值为19.（14分）设数列{}n a 的前n 和为n S ,满足2*1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =. (1)求123,,a a a 的值; (2)求数列{}n a 的通项公式;211222122331212121331221232121:(1)2314127+=432424()204(15)20,+83,,1587,53,5,7,(2)2342,2(1)3(1)4(n n n n a S a a a a S a S a a a a a a a a S a a a a a a S na n nn S n a n n +-==-⨯-⨯=-=-⨯-⨯=---=---∴==⎧∴=--=-=⎨=⎩====--∴≥=-----解①②联立①②解得综上③当时11121)2161,22(1)21,:()(1),1,3211,;(),,21,21611,22211(21)322411322232(1)11n n n k k k n n a a n na n i n a ii n k a k k k n k a a k k k k k k k k k k k n k ++-+-=+=+===⨯+==+-+=+=+-=⋅+++-=++=+=++=+④③④并整理得:由猜想以下用数学归纳法证明由知当时猜想成立假设当时猜想成立即则当时这就是说,,,2 1.n n N a n *∈=+时猜想也成立从而对一切20.（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为，离心率为3，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.2222200220022:(1)3,954,1.94(2),,4(3,2),(3,2).(),(),194(94)18(c c e a b a c a x y C x y y y k x x x y y k x x y k x k y ====∴==-=-=∴+=-±±-=-=-++=++解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:2000022222200000022220000012202200)9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2)kx x y kx k y kx y kx k y kx k y x k x y k y k k x x y ⎡⎤-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--+=⎣⎦-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±依题意即:即两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方22,13.P x y ∴+=程点的轨迹方程为21.（本题14分）设函数()f x =2k <-，（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）.222222122222:(1)(2)2(2)30,2123:210,44(1)4(2)0(2),21=01210:11230,23044(3)x x k x x k x x k x x k x x k k k k x x k x x k x x x x k x x k k +++++->++>++<-++->∆=--=-><-∴++--∴++-><->-++++<+++=∆=-+=解则①或②由①得方程的解为由得由②得:方程的判别式23'24(2)0(2),1230:112,11111(,1(12,12)(12,).(2)0,1()2(2k k x x k x k D k k k u f x u x ---><-∴-+++<--<<-<-∴-<-<-<--+∴=-∞------+---+-+∞==-⋅⋅该方程的解为由得设则23222'2'22)(22)2(22)2(1)(21)()(,1,10,21110,()0;()(11),10,21310,()0;()(1,1,10,21310,x k x x u x x x k i x x x x k f x ii x x x x k f x iii x x x x k f -⎡⎤++⋅+++⎣⎦=-+⋅+++∈-∞-+<+++>+>∴>∈--+<+++<-+<∴<∈--++>+++<-+<∴当时当时当时'2'()0;()(1),10,21110,()0.,():(,11,1,():(11),(1).x iv x x x x k f x f x D f x D >∈-+∞+>+++>+>∴<-∞------++∞当时综上在上的单调增区间为在上的单调减区间为22222222222(3)g(x)(2)2(2)3,(1),x D ,g(x)0;g(1)(3k)2(3)3(6)(2),,6,(1)0,()(1)()(1),()(1)[(2)2(2)3][(3k)2(3)3][(2)(3k)]x x k x x k k k k k g f x f g x g g x g x x k x x k k x x k =+++++-∈>=+++-=++<->>⇔<-=+++++--+++-=++-+设由知当时又显然当时从而不等式2222[(2)(3)](3)(1)(225),()(3)(1)0,()(1),()(6,111311111,1111),2250,k x x k k x x x x k i x x x f x f g x x g x k x x +++-+=+-++<-∴-<----<<-+<--+--+<+->∴><+<<-+++<当欲使即亦即即2222(3)(1)0,225(2)(5)3(5)0,()(1),()(1);(1iii)31,(3)(1)0,2253(5)0,()(1),;(iv)1(()13,13)(1)0,,2ii x x x x x k x x k k k g x g f x f x x x x x k k g x g x x x x x <+->+++=++++<-++<<>-<<+---<<--+<+++<-++<∴><<+->++时此时即时不合题意21,11253(5)0,()(1),;(v)(3)(1)0,()(1),2250,()(1)11,11(13)(1(1(,11k k g x x g x x x g x g x x x k f x f --<<-+<-++<∴<>+->∴<++-+<---⋃--⋃-+⋃-+-+++<>从而综合题意欲使则即的解集为:上所述。

图1 图22014年广东高考理科数学真题及答案一、选择题： 本大题共8小题，每小题5分，满分40分， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则MN =A ．{0,1}B ．{1,0,2}-C ．{1,0,1,2}-D ．{1,0,1}- 2．已知复数z 满足(34)25i z +=，则z = A ．34i -+B ．34i --C ．34i +D ．34i -3．若变量,x y 满足约束条件11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≤≥， 且2z x y =+的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A ．5B ．6C ．7D ．84．若实数k 满足09k <<， 则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．焦距相等 B ．实半轴长相等 C ．虚半轴长相等 D ．离心率相等 5．已知向量(1,0,1)-a =，则下列向量中与a 成60夹角的是 A ．(1,1,0)- B ．(1,1,0)- C ．(0,1,1)- D ．(1,0,1)-6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示. 为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2 %的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A ．200，20B ．100，20C ．200，10D ．100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足12l l ⊥，23l l ⊥，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是 A ．14l l ⊥ B ．14//l l C ．1l 与4l 既不垂直也不平行 D ．1l 与4l 的位置关系不确定 8．设集合(){}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i =∈-=　，那么集合A 中满足条件 “1234513x x x x x ++++≤≤”的元素个数为 A ．60 B ．90 C ．120 D ．130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．AFED CB图3（一）必做题（9 ~ 13题）9．不等式125x x -++≥的解集为 ． 10．曲线25+=-xey 在点)3,0(处的切线方程为 ．11．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 ． 12．在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,. 已知b B c C b 2cos cos =+，则=ba．13．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++= ．（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且2EB AE =，AC 与DE交于点F ，则CDF AEF ∆∆的面积的面积＝ ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin()4f x A x π=+，x ∈R ，且23)125(=πf ． （1）求A 的值；（2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f ． 17．（本小题满分12分）图4PABCED F随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下： 30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数 频率 [25,30] 3 0.12 (30,35] 5 0.20 (35,40] 80.32(40,45] 1n 1f(45,50]2n2f（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值； （2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率．18．（本小题满分14分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，30DPC ∠=，AF PC ⊥于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E ．（1）证明：CF ⊥平面ADF ；（2）求二面角D AF E --的余弦值． 19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n S 满足21234n n S na n n +=--，*n ∈N ，且315S =．（1）求123,,a a a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式． 20．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的一个焦点为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．21.（本小题满分14分）设函数()f x =，其中2k <-．（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）．2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9 ~ 13题）9. (,3][2,)-∞-+∞ 10. 530x y+-= 11.1612. 2 13.50 （二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14.(1,1) 15.9三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（本小题满分12分）16. 解：（1）5523()sin()sin12124322f A A Aππππ=+===，解得A=（2）由（1）得())4f x xπ=+，所以()()sin()sin()44f fππθθθθ+-=++-33()cos)22222θθθθθ=++-==所以cos4θ=，又因为)2,0(πθ∈，所以sin4θ==所以33()sin())44444fππθπθπθθ-=-+=-===.17.（本小题满分12分）PA BC EDFGH18．（本小题满分14分）18.（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PD AD⊥.因为在正方形ABCD中CD AD⊥，又CD PDD=，所以AD⊥平面PCD.因为CF ⊂平面PCD，所以AD CF⊥.因为AF CF⊥，AF AD A=，所以CF⊥平面ADF.（2）方法一：以D为坐标原点，DP、DC、DA分别为x 、y、z轴建立空间直角坐标系设正方形ABCD的边长为1，则(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),D A C PE F由（1）得(3,1,0)CP=-是平面BCDE的一个法向量.设平面AEF的法向量为(,,)x y z=n，3(0,,0)4EF =，(4EA=-，所以3434EF yEA x z⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩nn.令4x=，则0y=，z==n是平面AEF的一个法向量.设二面角D AF E--的平面角为θ，且(0,)2πθ∈所以cosCPCPθ⋅===⋅nn，所以二面角D AF E--.方法二：过点D作DG AE⊥于G，过点D作DH AF⊥于H，连接GH.因为CD PD⊥，CD ED⊥，ED AD D=，所以CD⊥平面ADE.因为FE∥CD，所以FE⊥平面ADE.因为DG⊂平面ADE，所以FE DG⊥.因为AE FE E=，所以DG⊥平面AEF.根据三垂线定理，有GH AF⊥，所以DHG∠为二面角D AF E--的平面角.设正方形ABCD的边长为1，在Rt△ADF中，1AD=，2DF=，所以7DH=.在Rt△ADE中，因为1124FC CD PC==，所以144DE PD==，所以19DG=.所以133GH==，所以cos19GHDHGDH∠==，所以二面角D AF E--的平面角的余弦值为19.19.（本小题满分14分）19. 解：（1）当2n =时，2123420S a a a =+=-，又312315S a a a =++=，所以3342015a a -+=，解得37a =. 当1n =时，11227S a a ==-，又128a a +=，解得123,5a a ==. 所以1233,5,7a a a ===.（2）21234n n S na n n +=-- ①当2n ≥时，212(1)3(1)4(1)n n S n a n n -=----- ②①-②得12(22)61n n n a na n a n +=----. 整理得12(21)61n n na n a n +=-++，即1216122n n n n a a n n+-+=+. 猜想21n a n =+，*n ∈N . 以下用数学归纳法证明：当1n =时，13a =，猜想成立； 假设当n k =时，21k a k =+，当1n k =+时，21216121614161(21)232(1)122222k k k k k k k k a a k k k k k k k k+-+-+-++=+=++==+=++， 猜想也成立，所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =+，*n ∈N .20.（本小题满分14分） 20. 解：（1）依题意得c =3c e a ==， 所以3a =，2224b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为22194x y += （2）当过点P 的两条切线12,l l 的斜率均存在时，设100:()l y y k x x -=-，则2001:()l y y x x k-=--联立2200194()x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩， 得2220000(49)18()9()360k x k y kx x y kx ++-+--=， 所以22220000(18)()4(49)[9()36]0k y kx k y kx ∆=--+--=，整理得2200()49y kx k -=+， 即2220000(9)240x k x y k y --+-=，因为12l l ⊥，所以201220419y k k x -==--，整理得220013x y +=；当过点P 的两条切线12,l l 一条斜率不存在，一条斜率为0时， P 为(3,2)±或(3,2)-±，均满足220013x y +=. 综上所述，点P 的轨迹方程为2213x y +=.21.（本小题满分14分） 21. 解：（1）()f x =由22(23)(21)0x x k x x k +++++->，得223x x k ++<-或221x x k ++>， 即2(1)2x k +<--或2(1)2x k +>-+，所以11x -<<-+或1x <-1x >-+2k <-.所以函数()f x 的定义域(,1(11(1)D =-∞-⋃--+⋃-++∞.（2）令222()(2)2(2)3g x x x k x x k =+++++-，则()f x =，x D ∈ 22()2(2)(22)2(22)4(1)(21)g x x x k x x x x x k '=+++++=++++，令()0g x '=，解得11x =-21x =-，31x =-，其中2k <-.因为1311111x x -<<-<-<-<<- 所以(),()g x g x '随x 的变化情况如下表：所以()f x 在(,1-∞-和(1,1--上是增函数，在(11)--和(1)-++∞上是减函数. （3）因为(1)(1)g x g x --=-+，所以(1)(1)f x f x --=-+， 所以函数()y f x =与()y g x =的图象关于直线1x =-对称， 所以(1)(3)f f =-.因为6k <-，所以1311--<-<<-+①当(11x ∈---+时，要使()(1)f x f >，则(13)(1,1x ∈--⋃-+；②当(,1(1)x ∈-∞-⋃-++∞时，令()(1)f x f =，即()(1)g x g =，22(23)(21)(6)(2)x x k x x k k k +++++-=++， 令22t x x k =++(1)t >，则(3)(1)(6)(2)t t k k +-=++， 整理得222(815)0t t k k +-++=，即[(3)][(5)]0t k t k -+++=， 因为1t >且6k <-，所以(5)t k =-+，即225x x k k ++=--，所以22250x x k +++=，解得1x =-(,1(1)∈-∞--⋃-++∞，所以()(1)(1f x f f ==-.要使()(1)f x f >，则(11(11x ∈---⋃-+-+. 综上所述， 当6k <-时，在D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合为(11(13)(1,1(11---⋃--⋃-⋃-+-+.。

2014年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.z===3 3．（5分）（2014•广东）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小，解得，，解得，4．（5分）（2014•广东）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1﹣=1﹣=15．（5分）（2014•广东）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）解：不妨设向量为．若==，不满足条件．．若==．若=，不满足条件．．若==6．（5分）（2014•广东）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（），7．（5分）（2014•广东）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，8．（5分）（2014•广东）设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，+二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（9~13题）9．（5分）（2014•广东）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．，可得10．（5分）（2014•广东）曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为y=﹣5x+3．．11．（5分）（2014•广东）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为．中任取七个不同的数，有种方法，不同的数即可，有=故答案为：．12．（5分）（2014•广东）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则=2．=213．（5分）（2014•广东）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…lna20=50．=（二）、选做题（14~15题，考生只能从中选作一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）（2014•广东）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为（1，1）．【几何证明选讲选做题】15．（2014•广东）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=9．可得=．∴=∴（三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）（2014•广东）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．），求得sin）﹣x+（+）=A=A=sin）sin+=2sin cos= =）．（=﹣+==．17．（13分）（2014•广东）随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表1212（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．为事件的概率为=，），的概率为．18．（13分）（2014•广东）如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．PD=AF=，，又∴EF=CD=，（，（=，∴，∴=，的一个法向量为（＜＞=19．（14分）（2014•广东）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2na n+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，且S3=15．（1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列{a n}的通项公式．，，∴20．（14分）（2014•广东）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．）依题意知+++21．（14分）（2014•广东）设函数f（x）=，其中k＜﹣2．（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；（3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）．＞x+1＞解得﹣＜，即﹣1+综上函数的定义域为（﹣）x+1+）﹣或﹣1+﹣1+﹣x+1+）1+1+）∈﹣1+1+）﹣1+。

2014年广东高考理科数学参考答案与解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B 【命题意图】本小题主要考查了集合中的元素及并集运算问题，要注意正确运用集合的基本运算，认清集合中的元素，避免遗漏元素而出错.【解析】∵{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，∴{1,0,1,2}M N =-，故选B .2.D 【命题意图】本题主要考查复数的四则运算及共轭复数的概念，关键是正确掌握复数的运算法则与性质.【解析】∵(34)25i z -=，∴2534z i =-=25(34)(34)(34)i i i +-+=34i +，故选D . 3．C 【命题意图】本题主要考查线两直线交点的解法、二元不等式组的解法及性规划问题，关键是作出如图所示的可行域，并正确判断目标函数2z x y =+经过两直线1x y +=与1y =-交点(2,1)B -时，值最大；经过两直线y x =与1y =-交点(1,1)A --时，值最小.【解析】由题画出如图所示的可行域；由图可知当直线2z x y =+经过点(2,1)B -时，max 2213z =⨯-=，当直线2z x y =+经过点(1,1)A --时，min 2(1)13z =⨯--=-，所以6M N -=，故选C .2246510y = -1x +y -1=0y = x B ACO4. D 【命题意图】本题主要考查了双曲线的几何意义. 【解析】∵09k <<，∴90k ->，250k ->，∴曲线221259x y k +=-与221259x y k +=-均是双曲线，且222c a b =+=25(9)k +-=(25)9k -+，即焦距相等.故选D.5．B 【命题意图】本题主要考查了空间向量坐标运算和夹角求解，关键是正确掌握空间向量坐标运算的法则.【解析】∵(1,0,1)=-a ，设所求向量为(,y,z)x =b ，由题意得：||||cos60⋅=a b a b ，∴(1,1,0)=-b .故选B .6. A 【命题意图】本题主要考查了统计图表中的扇形统计图和条形统计图以及分层抽样的理解.【解析】由题意知：该地区中小学生总人数为：35004500200010000++=人，所以样本容量为100002%200⨯=，应抽取高中生人数为：420040794⨯=++，所以抽取的高中生近视人数为4050%20⨯=人.故选A.7. D 【命题意图】本题主要考查了立体几何空间中直线位置关系的判定.【解析】如图所示的正方体A B C DA B C D ''''-中，令1l 为AA '，2l 为BC ，当3l 为CC '时， 1334l l l l ⎫⇒⎬⊥⎭∥14l l ⊥，则选项A 成立，当3l 为CD 时，则4l 可以为对角线BC '或BB '或B C ''，1l 与4l 是异面直线或平行或垂直，所以1l 与4l 位置关系不确定.故选D. CC'D'B'A'D A B8. D 【命题意图】本题主要考查了集合中的新定义、计数原理、排列组合及绝对值不等式的性质，旨在考查创新意识和创新能力.【解析】由新定义知：12345,,,,x x x x x 中至少有两个0，至多有4个0，只含2个0时有2352C 个，只含3个0时有3252C 个，只含4个0时有452C 个，共130个，故选D. 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．{|32}x x x ≤-≥或 【命题意图】本题主要考查了含两个绝对值的不等式的解法.【解析】当2x <-时，125x x -+--≥，解得3x ≤-，又2x <-，∴3x ≤-；当21x -≤<时，125x x -+++≥，原不等式无解；当1x ≥时，125x x -++≥，解得2x ≥，又1x ≥，∴2x ≥；10.530x y +-=【命题意图】本题主要考查了导数的几何意义、曲线切线方程的求解及点斜式直线方程的应用.【解析】由题知：55x y e -'=-，∴(0)5k f '==-，由点斜式直线方程的曲线切线方程为：35y x -=-，即530x y +-=.11．16【命题意图】本题主要考查了利用排列组合知识处理古典概型概率的计算以及中位数概念的理解. 【解析】由题意得：所有的基本事件有731010120C C ==个，其中中位数是6的事件有3620C =个，所求概率为20120P ==1612．2【命题意图】本题主要考查了【解析】∵b B c C b 2cos cos =+，由余弦定理化角为边得：222222222a b c a c b b c b ab ac+-+-⋅+⋅=，即2a b =，故2a b =. 13．50【命题意图】本题主要考查了等比数列的性质与自然对数的运算性质.【解析】由题意得，51011912120a a a a a a e ===，又∵0n a >，∴1220ln ln ln a a a +++=1220ln()a a a =10120ln()a a =510ln e ⨯=50.（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14. (1,1)【命题意图】本题主要考查了极坐方程与直角坐标方程相互转化及曲线交点直角坐标的求解.【解析】 由2sin cos ρθθ=得sin sin 1cos θρθθ⨯=，将sin y ρθ=，tan y xθ=代入上式，得2y x =，由sin 1ρθ=得1y =，解方程组21y x y ⎧=⎨=⎩得曲线1C 和2C 交点的直角坐标为(1,1). 15.9【命题意图】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的运用.【解析】∵2EB AE =，∴1133AE AB CD ==，又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CDF AEF ∆∆，∴2()9CDF CD AEF AE∆==∆的面的面积积.积 三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16. 【命题意图】本题主要考查了三角函数的相关知识，即给角求值、诱导公式、两角和差公式及平方关系，重点考查知识的应用与计算能力以及传化思想.【解析】（1）∵()sin()3f x A x π=+，x R ∈，532()122f π=. ∴532sin()=1232A ππ+,即332sin =42A π，∴3A =； （2）由（1）知()3sin()3f x x π=+，又∵()()3f f θθ--=，(0,)2πθ∈， ∴3sin()3sin()333ππθθ+--+=，∴3sin()3sin()333ππθθ++-=， ∴13133sin cos sin cos 22223θθθθ++-=，所以3sin 3θ=，又∵(0,)2πθ∈， ∴2cos 1sin θθ=-=231()3-=63， ∴()6f πθ-=3sin()63ππθ-+=3cos θ=6. 【点评】本题综合了三角函数的相关知识，涉及了振幅的求解，特殊三角函数值，诱导公式，两角和差公式以及同角三角函数关系，特别要注意三角函数值的符号是由角所在象限来决定的.17. 【命题意图】本题主要考查了概率统计中的相关知识，即频率分布表和频率分布直方图，以及互斥事件和对立事件概率的求解，重点考查概率统计知识的应用能力和统计学的基本思想，即分析样本数据和处理样本数据的能力，从而估计总体数据特征的思想.【解析】【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点，近年来都通过概率统计问题来考查,本题是概率统计知识的交汇题，涉及样本数据的收集，处理和分析的整个过程，如频率分布表和频率分布直方图，互斥事件和对立事件概率的求解.18. 【命题意图】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与空间角，即空间几何体中二面角的体积计算，旨在考查逻辑推理能力、空间想象能力和化归思想.【解析】【点评】本题通过矩形ABCD 与三角形PCD 为载体，以折叠为手段，把立体几何的相关知识交汇在一起，折叠问题是立几常考知识，特别注意折叠前后变化量和未变化量是解题的关键，利用空间向量为工具求解二面角是理数区别文数的一个重要特征.19. 【命题意图】本题主要考查了数列的通项n a 及其前n 项和n S 的关系，因式分解的应用、解方程组，重点考查逻辑思维、运算和化归能力.【解析】【点评】数列高考六大主考知识点之一，但新课标高考考查的难度已大为降低，所考查的热点为利用11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求数列的通项公式，但要注意验证首项是否成立，否则出错.20. 【命题意图】本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、平面向量垂直平行的性质、点的轨迹以及数形结合思想和化归思想，重在考查逻辑推理能力和计算能力.【解析】【点评】解析几何是必考题型,重点考查求圆锥曲线的方程、点的轨迹、直线与圆锥曲线的位置关系以及含参问题，其中直线与圆锥曲线的相交问题一般联立方程，设而不求,并借助根的判别式及韦达定理进行转化.21. 【命题意图】本题主要考查了函数的定义域求解，恒成立问题，导数的运算、利用导数法研究函数的单调性与最值，分类讨论思想和根式不等式的解法，重点考查知识的综合应用能力和换元、化归思想.【解析】【点评】（1）求()f x 的定义域等价于222(2)2(2)30x x k x x k +++++->的解集，注意要把2(2)x x k ++看成一个整体，即换元思想；（2）求()f x 的单调性应转化为求222()(2)2(2)3g x x x k x x k =+++++-的单调性；（3）解不等式()(1)f x f >应利用函数的单调性穿脱函数符号，可以起到事半功倍的效果.切忌直接求解.。