带答案数学北师大版选修2-3计数原理原理练习题第一章 5.2

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(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测卷(包含答案解析)(1)

一、选择题1．设01a <<，2a b +=，随机变量X 的分布列如表：则当()0,1a ∈内增大时（）A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小D ．()D X 先减小后增大2．在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布2(100,)(0)σσ>，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则任意选取一名学生，该生成绩不高于80的概率为（） A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.23．甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛．若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为13，乙获胜的概率为23各局比赛结果相互独立．则甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率为（） A ．1781B ．5681C ．6481D ．25814．已知19,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()E X 、()D X 的值依次为（）. A ．3，2 B ．2，3C ．6，2D ．2，65．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的个数，则P (X <2)等于 A ．715B ．815C ．1415D ．16．已知随机变量ξ服从正态分布2(4,)N σ，(5)0.89P ξ≤=，则(3)P ξ≤=（） A ．0.89B ．0.22C ．0.11D ．0.787．某学校高三模拟考试中数学成绩X 服从正态分布()75,121N ，考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为（）人．参考数据：()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=） A ．261B ．341C ．477D ．6838．设01p <<，随机变量ξ的分布列如图，则当p 在()0,1内增大时，（）ξ0 12P12p- 122pA ．()D ξ减小B ．()D ξ增大C ．()D ξ先减小后增大 D ．()D ξ先增大后减小 9．若随机变量ξ满足(1)4E ξ-=，(1)4D ξ-=，则下列说法正确的是A ．4,4E D ξξ=-=B ．3,3E D ξξ=-=C ．4,4ED ξξ=-=-D ．3,4E D ξξ=-=10．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落A 袋中的概率为（）．A ．18B ．14C ．38D ．3411．已知随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，(4)0.84P X ≤=，则(02)P X ≤≤=（） A ．0.64 B ．0.16C ．0.32D ．0.3412．如果()20,X B p ，当12p =且()P X k =取得最大值时， k 的值是（）A ．8B ．9C ．10D ．11二、填空题13．一只青蛙从数轴的原点出发，当投下的硬币正面向上时，它沿数轴的正方向跳动两个单位；当投下的硬币反面向上时，它沿数轴的负方向跳动一个单位，若青蛙跳动4次停止，设停止时青蛙在数轴上对应的坐标为随机变量X ，则()E X =______．14．某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X 近似服从正态分布()284,N σ，且(7884)0.3P X <≤=．该市某校有400人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于90分的人数为____.15．某种填数字彩票,购票者花2元买一张小卡片,在卡片上填10以内(0,1,2,…,9)的三个数字(允许重复).如果依次填写的三个数字与开奖的三个有序的数字分别对应相等,得奖金1000元.只要有一个数字不符(大小或次序),无奖金.则购买一张彩票的期望收益是______________元.16．随机变量ξ的分布列如下：若()3E ξ=，则()D ξ=__________. 17．某同学解答两道试题，他能够解出第一道题的概率为0.8，能够解出第二道题的概率为0.6，两道试题能够解答与否相互独立，记该同学解出题目的个数为随机变量X ，则X 的数学期望()E X =______．18．邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X (单位：克)，如果()100.3P X <=,()10300.4P X ≤≤=，那么()30P X >等于_________. 19．已知随机变量X ～B (10，0.2)，Y ＝2X ＋3，则EY 的值为____________.20．运动员参加射击比赛,每人射击4次(每次射一发),比赛规定:全不中得0分,只中一弹得15分,中两弹得40分,中三弹得65分,中四弹得100分.已知某一运动员每一次射击的命中率为35,则他的得分期望为_____. 三、解答题21．已知甲盒中有三个白球和三个红球，乙盒中仅装有三个白球，球除颜色外完全相同，现从甲盒中任取三个球放入乙盒中.（1）求乙盒中红球个数X 的分布列与期望；（2）求从乙盒中任取一球是红球的概率.22．复旦大学附属华山医院感染科主任医师张文宏在接受媒体采访时谈到：通过救治研究发现，目前对于新冠肺炎最有用的“特效药”还是免疫力．而人的免疫力与体质息息相关，一般来讲，体质好，免疫力就强．复学已有一段时间，某医院到学校调查高二学生的体质健康情况，随机抽取12名高二学生进行体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：65，78，90，86，52，87，72，86，87，98，88，86．根据此年龄段学生体质健康标准，成绩不低于80的为优良．（1）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该学校全体高二学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（2）从抽取的12人中随机选取3人，记X 表示成绩“优良”的人数，求X 的分布列和期望．23．“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗，2020年春节前夕，A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标．（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布()2,N μσ，利用该正态分布，求Z 落在()38.45,50.4内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于()10,30内的包数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为142.7511.95σ=≈； ②若()2~,Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，()220.9544P Z μσμσ-<≤+=．24．某班同学在假期进行社会实践活动，对[]25,55岁的人群随机抽取n 人进行了一次当前投资生活方式——“房地产投资”的调查，得到如下统计和各年龄段人数频率．．．．．．．分布直方图：（Ⅰ）求n ，a ，p 的值；（Ⅱ）从年龄在[)4050，岁的“房地产投资”人群中采取分层抽样法抽取9人参加投资管理学习活动，其中选取3人作为代表发言，记选取的3名代表中年龄在[)4050，岁的人数为X ，求X 的分布列和期望EX ．25．某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动. （1）求男生甲被选中的概率；（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；（3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率.26．甲、乙两名运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在7、8、9、10环，且每次射击成绩互不影响．根据以往的统计数据，甲、乙射击环数的频率分布条形图如下：若将频率视为概率，回答下列问题：（1）甲、乙各射击一次，求甲、乙同时击中10环的概率；（2）求甲射击一次，击中9环以上（含9环）的概率；（3）甲射击3次，X 表示这3次射击中击中9环以上（含9环）的次数，求X 的分布列及数学期望()E X ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】先求出()E X ，利用方差的定义建立()()22=13D X a -，利用二次函数单调性判断出()D X 的变化.【详解】由题意：()1111333E X a b =⨯+⨯+⨯，∵2a b +=，∴()1E X =.∴()()()()()222221111=111123333D X a b a b -⨯+-⨯+-⨯=+-⨯ 又2a b +=，∴2b a =-，∴()()()()2222122=2=21=1333D X a b a a a +-⨯-+- ∴当01a <<时，()()22=13D X a -单调递减，即当()0,1a ∈内增大时()D X 减小. 故选：B2．B解析：B 【解析】1(80120)(80)(120)0.12P X P X P X -<<≤=≥== ,选B.3．A解析：A 【分析】甲在4局内（含4局）赢得比赛包含3种情况：①甲胜第1、2局；②乙胜第1局，甲胜2、3局；③甲胜第1局，乙胜第2局，甲胜第3、4局，由此可求得甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率. 【详解】由题意，甲在4局内（含4局）赢得比赛包含3种情况：①甲胜第1、2局，概率为211()3p =；②乙胜第1局，甲胜2、3局，概率为2221()33p =⨯； ③甲胜第1局，乙胜第2局，甲胜第3、4局，概率为23121()333p =⨯⨯，所以甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率为22212112117()()()33333381p =+⨯+⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了概率的求法，以及相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式的应用，着重考查分类讨论思想，以及计算能力.4．A解析：A 【分析】直接利用二项分布公式计算得到答案.【详解】19,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()=⨯=1933E X ，()1191233D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查了二项分布，意在考查学生对于二项分布的理解.5．C解析：C 【分析】根据超几何分布的概率公式计算各种可能的概率，得出结果【详解】由题意，知X 取0，1，2，X 服从超几何分布，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P(X ＝0)＝27210715C C =，P(X ＝1)＝1173210715C C C =⋅，P(X ＝2)＝23210115C C =，于是P(X<2)＝P(X ＝0)＋P(X ＝1)＝7714151515+= 故选C 【点睛】本题主要考查了运用超几何分布求概率，分别求出满足题意的情况，然后相加，属于中档题．6．C解析：C 【分析】由随机变量ξ服从正态分布()24,6N ，可得这组数据对应的正态曲线的对称轴4μ=，利用正态曲线的对称性，即可得到结论. 【详解】随机变量ξ服从正态分布()24,6N ，∴这组数据对应的正态曲线的对称轴4μ=，()()35P P ξξ∴≤=≥， ()50.89P ξ≤=，()510.890.11P ξ∴≥=-=， ()30.11P ξ∴≤=，故选C.【点睛】本题主要考查正态分布的性质，属于中档题.有关正态分布应用的题考查知识点较为清晰，只要熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系，问题就能迎刃而解.7．B解析：B 【解析】分析：正态总体的取值关于75x =对称，位于6486（，）之间的概率是0.6826，根据概率求出位于6486（，）这个范围中的个数，根据对称性除以2 得到要求的结果．详解：正态总体的取值关于75x =对称，位于6486（，）之间的概率是(75117511)0.682?6P X －＋＝<<，则估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为110000.682?63412⨯⨯≈人. 故选B .点睛：题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩X 关75X =于对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．8．D解析：D 【分析】先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性. 【详解】111()0122222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=+， 2222111111()(0)(1)(2)2222224p p D p p p p p ξ-∴=--+--+--=-++， 1(0,1)2∈，∴()D ξ先增后减，因此选D. 【点睛】222111(),()(())().nnni i i i i i i i i E x p D x E p x p E ξξξξ=====-=-∑∑∑9．D解析：D 【解析】分析：由题意结合随机变量的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：随机变量ξ满足()14E ξ-=，()14D ξ-=，则：()214,14E D ξξ-=-=，据此可得：3,4E D ξξ=-=. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查期望的数学性质，方差的数学性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．D解析：D 【解析】由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时，小球将落入A 袋，所以22123311113()C 1C 122224P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-+⋅⋅-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选D ． 11．D解析：D 【解析】∵随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，2μ=，得对称轴是2x =，(4)0.84P ξ=≤， ∴(4)(0)0.16P P ξξ≥=<=，∴(02)0.50.160.34P ξ≤≤=-=，故选D ．12．C解析：C 【解析】因为()20,X B p ~，12p =，所以()20202020111222kkk k P X k C C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当10k = 时20kC 取得最大值，故选C.二、填空题13．2【分析】列举出所有的可能出现的情况硬币4次都反面向上则青蛙停止时坐标为硬币3次反面向上而1次正面向上硬币2次反面向上而2次正面向上硬币1次反面向上而3次正面向上硬币4次都正面向上做出对应的坐标和概解析：2 【分析】列举出所有的可能出现的情况,硬币4次都反面向上,则青蛙停止时坐标为14x =-,硬币3次反面向上而1次正面向上,硬币2次反面向上而2次正面向上,硬币1次反面向上而3次正面向上,硬币4次都正面向上,做出对应的坐标和概率,算出期望. 【详解】所有可能出现的情况分别为硬币4次都反面向上，则青蛙停止时坐标为14x =-,此时概率1116p =；硬币3次反面向上而1次正面向上,则青蛙停止时坐标为21x =-,此时概率33241141=22164p C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭；硬币2次反面向上而2次正面向上,则青蛙停止时坐标为32x =,此时概率222341163=22168p C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭硬币1次反面向上而3次正面向上，则青蛙停止时坐标为45x =,此时概率341141141=22164p C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；硬币4次都正面向上，则青蛙停止时坐标为58x =,此时标率405411216p C ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.1122334455()2E X x p x p x p x p x p ∴=++++=故答案为：2 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和期望,考查学生分析问题的能力和计算求解能力,难度一般.14．80【分析】根据正态分布的对称性可求得即估计该校数学成绩不低于90分的人数【详解】因为X 近似服从正态分布所以根据正态分布的对称性可得所以该校数学成绩不低于90分的人数为故答案为：【点睛】本题主要考查解析：80 【分析】根据正态分布的对称性可求得(90)P X ≥，即估计该校数学成绩不低于90分的人数．【详解】因为X 近似服从正态分布2(84,)N σ，(7884)0.3P X <≤=，所以根据正态分布的对称性可得120.3(90)0.22P X -⨯≥==，所以该校数学成绩不低于90分的人数为4000.280⨯=．故答案为：80 【点睛】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．15．-1【分析】根据中奖规则求出中奖的概率再求不中奖的概率根据期望公式求出期望【详解】根据题意：彩票可能的数字是000001002…999共1000种可能的情况所以购买一次彩票中奖的概率为不中奖的概率为解析：-1 【分析】根据中奖规则求出中奖的概率，再求不中奖的概率，根据期望公式求出期望. 【详解】根据题意：彩票可能的数字是000,001,002，…，999共1000种可能的情况，所以购买一次彩票，中奖的概率为11000，不中奖的概率为9991000，所以购买一张彩票的期望收益是1999100002110001000⨯+⨯-=-元. 故答案为：1- 【点睛】此题考查根据古典概型求概率再求期望，关键在于根据题意准确求出概率.16．【分析】利用概率之和为以及数学期望列方程组解出和的值最后利用方差的计算公式可求出的值【详解】由题意可得解得因此故答案为【点睛】本题考查随机分布列的性质以及随机变量的数学期望和方差的计算解题时要注意概解析：59【分析】利用概率之和为1以及数学期望列方程组解出a 和c 的值，最后利用方差的计算公式可求出()D ξ的值．【详解】由题意可得()11313a c E a c ξ⎧++=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩，解得1612a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此，()22211111151013633329D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为59．【点睛】本题考查随机分布列的性质以及随机变量的数学期望和方差的计算，解题时要注意概率之和为1这个隐含条件，其次就是熟悉随机变量数学期望和方差的公式，考查计算能力，属于中等题．17．4【解析】【分析】由题意求得随机变量的取值利用相互独立事件的概率公式求得相应的概率再由期望的计算公式即可求解数学期望【详解】由题意该同学解出题目的个数为随机变量的取值为则所以【点睛】本题主要考查了随解析：4 【解析】【分析】由题意求得随机变量X 的取值，利用相互独立事件的概率公式，求得相应的概率，再由期望的计算公式，即可求解数学期望．【详解】由题意，该同学解出题目的个数为随机变量X 的取值为0,1,2X =，则P(X 0)0.20.40.08==⨯=，P(X 1)0.80.40.20.60.44==⨯+⨯=，P(X 2)0.80.60.48==⨯=.所以E(X)00.0810.4420.48 1.4=⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了随机变量的分布列与数学期望的计算，其中解答中正确理解题意，利用相互独立事件的概率计算公式求得相应的概率是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18．3【分析】根据随机变量的概率之和为1即可求出【详解】根据随机变量的概率分布的性质可知故【点睛】本题主要考查了随机变量的概率分布的性质属于中档题解析：3 【分析】根据随机变量的概率之和为1，即可求出()30P X >. 【详解】根据随机变量的概率分布的性质,可知()()()101030301P X P X P X <+≤≤+>=, 故(30)10.30.40.3P X >=--=. 【点睛】本题主要考查了随机变量的概率分布的性质，属于中档题.19．7【解析】【分析】先根据二项分布得EX 再根据Y ＝2X ＋3得EY=2EX+3即得结果【详解】因为X ～B(1002)所以EX=10×02=2因此EY=2EX+3=7【点睛】本题考查二项分布期望公式考查基解析：7 【解析】【分析】先根据二项分布得EX ，再根据Y ＝2X ＋3得 EY=2EX+3,即得结果. 【详解】因为X ～B (10，0.2)，，所以EX =10×0.2=2，因此EY=2EX+3=7. 【点睛】本题考查二项分布期望公式，考查基本求解能力.20．552【解析】分析：由次独立重复试验的概率公式计算出射中01234次的概率得到得分的分布列再由期望公式得期望详解：设该运动员中弹数为ξ得分数为η则P(ξ=4)==01296P(ξ=3)==03456解析：552. 【解析】分析：由n 次独立重复试验的概率公式计算出射中0，1，2，3，4次的概率得到得分的分布列，再由期望公式得期望．详解：设该运动员中弹数为ξ,得分数为η,则P (ξ=4)=435⎛⎫ ⎪⎝⎭=0.129 6, P (ξ=3)=33432C ?·55⎛⎫ ⎪⎝⎭=0.345 6,P (ξ=2)=222432C ?·55⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=0.345 6,P (ξ=1)=31432C ?·55⎛⎫⎪⎝⎭=0.153 6,P (ξ=0)=425⎛⎫ ⎪⎝⎭=0.025 6. 由题意可知P (η)=P (ξ),所以E (η)=100×0.129 6+65×0.345 6+40×0.345 6+15×0.153 6+0×0.025 6=51.552.点睛：本题考查随机变量的分布列与期望．解题时关键是理解射击时命中n 次就是n 次独立重复试验，由此可由概率公式计算出概率，从而可得得分的分布列，由分布列的期望公式计算出期望．三、解答题21．（1）答案见解析，32；（2）14. 【分析】（1）由题意知X 的可能取值为0，1，2，3.分别求出随机变量取各值的概率，得出分布列，再由期望公式求出期望；（2）分乙盒中红球个数为0，为1，为2，为3时的概率，再得用概率的加法公式可得答案. 【详解】解：（1）由题意知X 的可能取值为0，1，2，3.()0333361020C C P X C ===，()1233369120C C P X C ===， ()2133369220C C P X C ===，()3033361320C C P X C ===，所以X 的分布列为所以()199130123202020202E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）当乙盒中红球个数为0时，10P =，当乙盒中红球个数为1时，291320640P =⨯=，当乙盒中红球个数为2时，392320620P =⨯=，当乙盒中红球个数为3时，413120640P =⨯=，所以从乙盒中任取一球是红球的概率为123414P P P P +++=. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，以及概率的加法公式，属于中档题. 22．（1）2627（2）见解析，2 【分析】（1）从该社区中任选1人，成绩是“优良”的概率为23，由此能求出在该社区老人中任选三人，至少有1人成绩是‘优良’的概率．（2）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和期望．【详解】解：（1）抽取的12人中成绩是优良的频率为23，故从该校全体高二学生中任选1人，成绩是“优良”的概率是23，设“在该校全体高二学生中任选3人，至少有1人成绩优良”为事件A ，则()33212611132727P A C ⎛⎫=-⨯-=-= ⎪⎝⎭．（2）由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3，()3431241022055C P X C ====，()12843124812122055C C P X C ====，()218431211228222055C C P X C ====，()383125614122055C P X C ====，所以X 的分布列为0123255555555EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用，属于中档题．23．（1）26.5；（2）①0.1359；②分布列详见解析，数学期望为2. 【分析】（1）根据频率分布直方图分别计算各组的频率，再计算平均值即可；（2）①直接由正态分布的性质及题目所给可得；②根据题意得1~4,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据二项分布的性质即可求得X 的分布列、期望值．【详解】（1）根据频率分布直方图可得各组的频率为：(]0,10的频率为：0.010100.1⨯=；(]10,20的频率为：0.020100.2⨯=； (]20,30的频率为：0.030100.3⨯=； (]30,40的频率为：0.025100.25⨯=； (]40,50的频率为：0.015100.15⨯=，所以所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x 为50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）①∵Z 服从正态分布()2,N μσ，且26.5μ=，11.95σ≈()38.4550.4P Z <<()()26.5211.9526.5211.9526.511.9526.511.95P Z P Z =-⨯<<+⨯--<<+ ()0.95440.682620.1359-÷==∴Z 落在()38.45,50.4内的概率是0.1359．②根据题意得每包速冻水饺的质量指标值位于(]10,30内的概率为0.20.30.5+=，所以1~4,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，X 的可能取值分别为：0，1，2，3，4，()404110216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()41411124P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()42413228P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()43411324P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()444114216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，∴X 的分布列为：∴()422E X =⨯=．【点睛】本题考查了统计的基础知识，正态分布，属于中档题．24．（Ⅰ）n =1000；a =60；p =0.65；（Ⅱ）分布列见解析，2EX = 【分析】（Ⅰ）由表格中的第一组数据可得年龄在[)25,30的总人数为200,再根据频率分布直方图求得总人数n ；由频率分布直方图求得[)40,45,[)30,35的人数,再根据表格求得a ,p ；（Ⅱ）先由分层抽样可得年龄在[)40,45之间6人,抽取年龄在[)45,50之间3人,则随机变量X 可能取到0,1,2,3,再由超几何分布的概率公式求得概率,即可得到分布列,并求得期望. 【详解】（Ⅰ）由题,年龄在[)25,30的总人数为1202000.6=, 根据频率分布直方图,总人数为200100050.04=⨯,即1000n =,年龄在[)40,45的人数为100050.03150⨯⨯=, 所以1500.460a =⨯=,因为年龄在[)30,35的人数的频率为()150.040.040.030.020.010.3-⨯++++=, 所以年龄在[)30,35的人数为10000.3300⨯=,所以1950.65300p == （Ⅱ）依题抽取年龄在[)40,45之间6人,抽取年龄在[)45,50之间3人, 所以随机变量X 可能取到0,1,2,3,()33391084C P X C ===,()12633918184C C P X C ===, ()21633945284C C P X C ===,()363920384C P X C ===,则X 的分布列为:所以0123284848484EX =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用,考查离散型随机变量的分布列和期望,考查分层抽样,考查数据处理能力. 25．（1）13；（2）15；（3）12．【分析】（1）将所有的基本事件一一列举出来，从中找出该事件所发生的基本事件，从而计算概率；（2）利用条件概率的公式即可计算结果；（3）与（2）解法相同. 【详解】（1）记4名男生为A ，B ，C ，D ，2名女生为a ，b ，从6名成员中挑选2名成员，有AB ，AC ，AD ，Aa ，Ab ，BC ，BD ，Ba ， Bb ，CD ，Ca ，Cb ，Da ，Db ，ab 共有15种情况，，记“男生甲被选中”为事件M ，不妨假设男生甲为A事件M 所包含的基本事件数为AB ，AC ，AD ，Aa ，Ab 共有5种，故()51153P M ==．（2）记“男生甲被选中”为事件M ，“女生乙被选中”为事件N ，不妨设女生乙为b ，则()115P MN =，又由（1）知()13P M =，故()()()15P MN P N M P M ==．（３）记“挑选的2人一男一女”为事件S ，则()815P S =， “女生乙被选中”为事件N ，()415P SN =，故()()()12P SN P N S P S ==．【点睛】本题考查了等可能事件的概率，列举法求古典概型的概率，条件概率的计算，属于中档题. 26．(1) 0.1225;(2) 0.8(3)见解析. 【分析】(1)分别计算出甲乙各射击一次击中10环的概率,利用相互独立事件的概率公式计算即可; (2)甲射击一次,击中9环以上（含9环）即为甲射击一次,击中9环和甲射击一次,击中10环,利用互斥事件的概率公式即可得出结果;(3)由(2)可知甲射击一次，击中9环以上（含9环）的概率为0.8,可知(3,0.8)X B .利用公式计算即可得出结果. 【详解】(1) 设事件A 表示甲运动员射击一次,恰好击中10环, 设事件B 表示乙运动员射击一次,恰好击中10环, ()10.10.10.450.35P A =---=,()0.35P B =,所以甲、乙各射击一次,甲、乙同时击中10环即()0.350.350.1225P AB =⨯=.(2)设事件C 表示甲运动员射击一次,恰好击中9环以上(含9环),则()0.350.450.8P C =+=（3）由已知可得X 的可能取值为0,1,2,3,且(3,0.8)XB3(0)0.20.008P X ===,123(1)0.80.20.096P X C ==⨯=, 223(2)0.80.20.384P X C ==⨯=,3(3)0.80.512P X ===所以30.8 2.4E X =⨯= 【点睛】本题考查相互独立事件的概率,考查二项分布的分布列和数学期望,考查运用概率知识解决实际问题的能力和计算求解能力,难度一般.。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试(包含答案解析)

一、选择题1．设1~(10,)B p ξ，2~(10,)B q ξ，且14pq >，则“()()12E E ξξ>”是“()()12D D ξξ<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知离散型随机变量X 服从二项分布(),X B n p ，且2EX =，DX q =，则21p q+的最小值为（） A ．274B ．92C ．3D ．43．某班有18名学生数学成绩优秀，若从该班随机找出6名学生，其中数学成绩优秀的学生数1~6,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()21E X +=（）A ．13B ．12C ．5D ．44．某闯关游戏规则如下:在主办方预设的6个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，闯关成功，假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.6，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就闯关成功的概率等于（） A ．0.064B ．0.144C ．0.216D ．0.4325．已知19,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()E X 、()D X 的值依次为（）. A ．3，2B ．2，3C ．6，2D ．2，66．甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为0.4，乙每次投篮命中的概率为0.6，而且不受其他次投篮结果的影响.设投篮的轮数为X ，若甲先投，则()P X k =等于（） A ．10.60.4k -⨯B ．10.240.76k -⨯C ．10.40.6k -⨯D ．10.760.24k -⨯7．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X ，则X 的均值为（） A ．20B ．25C ．30D ．408．已知在5件产品中混有2件次品，现需要通过逐一检测直至查出2件次品为止，每检测一件产品的费用是10元，则所需检测费的均值为（） A ．32元 B ．34元 C ．35元 D ．36元 9．已知随机变量X 的方差()D X m =，设32Y X =+，则()D Y =（）A ．9mB ．3mC ．mD ．32m +10．已知随机变量X 的分布列如表，其中a ，b ，c 为等差数列，若1()3E X =，则()D X 等于（）X 1- 0 1PabcA ．49B ．59C ．13D ．2311．如下五个命题:①在线性回归模型中，2R 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，在对女大学生的身高预报体重的回归分析数据中，算得20.64R ≈，表明“女大学生的体重差异有64%是由身高引起的”②随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越大；③正态曲线关于直线x σ=对称,这个曲线只有当()3,3x σσ∈-时,才在x 轴上方； ④正态曲线的对称轴由μ确定，当μ一定时，曲线的形状由σ决定，并且σ越大，曲线越“矮胖”；⑤若随机变量()~0,1N ξ，且()1,P p ξ>=则()1102P p ξ-<<=-；其中正确命题的序号是 A ．②③B ．①④⑤C ．①④D ．①③④12．已知随机变量X 的分布列为则E(6X ＋8)＝( ) A ．13.2B ．21.2C ．20.2D ．22.2二、填空题13．设在15个相同类型的产品中有2个是次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出后不放回，若以ξ表示取出次品的个数，则()E ξ=________．14．一只青蛙从数轴的原点出发，当投下的硬币正面向上时，它沿数轴的正方向跳动两个单位；当投下的硬币反面向上时，它沿数轴的负方向跳动一个单位，若青蛙跳动4次停止，设停止时青蛙在数轴上对应的坐标为随机变量X ，则()E X =______．15．已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为1000元，则所需检测费的均值为___________16．为响应国家号召，打赢脱贫致富攻坚战，武汉大学团队带领湖北省大悟县新城镇熊湾村村民建立有机、健康、高端、绿色的蔬菜基地，并策划“生产、运输、销售”一体化的直销供应模式，据统计，当地村民两年时间成功脱贫.蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装，以每份10元的价格销售到生鲜超市，每份15元的价格卖给顾客，如果当天前8小时卖不完，则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客（根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货）.该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天的前8小时内的销售量（单位：份），制成如下表格（注：*,x y N ∈，且30x y +=）.若以100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率，该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望值为决策依据，若购进17份比购进18份的利润的期望值大，则x 的最小值是________. 前8小时内销售量 15 16 17 18 19 20 21 频数10x16161513y17．中国光谷（武汉）某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布()210000,10N ，且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为______台.18．设平面上的动点P(1,y)的纵坐标y 等可能地取22,3,0,3,22,--用ξ表示点P 到坐标原点的距离,则随机变量ξ的数学期望Eξ=_________19．已知随机变量X ～B (10，0.2)，Y ＝2X ＋3，则EY 的值为____________.20．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布列为________．三、解答题21．甲、乙两人组成“明日之星队”参加“疫情防控与生命健康”趣味知识竞赛. 每轮竞赛由甲、乙各答一道题目，已知甲每轮答对的概率为34，乙每轮答对的概率为45.在每轮答题中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响. （1）求甲在两轮答题中，答对一道题目的概率；（2）求“明日之星队”在两轮答题中，答对三道题目的概率.22．已知一个袋子里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白球2个，黑球4个.现从中随机取球，每次只取一球．()1若每次取球后都放回袋中，求事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的概率；()2若每次取球后都不放回袋中，且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏，记游戏结束时一共取球X 次，求随机变量X 的分布列与期望．23．为加快推进我区城乡绿化步伐，植树节之际，决定组织开展职工义务植树活动，某单位一办公室现安排4个人去参加植树活动，该活动有甲､乙两个地点可供选择.约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪个地点植树，掷出点数为1或2的人去甲地，掷出点数大于2的人去乙地.（1）求这4个人中恰有2人去甲地的概率；（2）求这4个人中去甲地的人数大于去乙地的人数的概率；（3）用,X Y 分别表示这4个人中去甲､乙两地的人数，记||X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列与数学期望()E ξ.24．某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金8600元，在延保的两年内可免费维修3次，超过3次后的每次收取维修费a 元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次后的每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器.现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了100台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得如表：以这100台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记X 表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数且P （X ＝0）＝0.01. （1）求实数m ，n 的值；（2）求X 的分布列；（3）以所需延保金及维修费用之和的期望值为决策依据，该医院选择哪种延保方案更合算？25．在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求：（1）取出的3个球中红球的个数X 的分布列；（2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率． 26．甲、乙两名篮球运动员，甲投篮一次命中的概率为23，乙投篮一次命中的概率为12，若甲、乙各投篮三次，设X 为甲、乙投篮命中的次数的差的绝对值，其中甲、乙两人投篮是否命中相互没有影响.（1）若甲、乙第一次投篮都命中，求甲获胜（甲投篮命中数比乙多）的概率；（2）求X 的分布列及数学期望.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据二项分布的期望和方差公式，可知()110E p ξ=，()210E q ξ=，那么()()12E E ξξ>等价于1010p q >，即p q >，并且()()1101D p p ξ=-，()()2101D q q ξ=-，则()()12D D ξξ>等价于()()101101pp q q -<-，即()()11p p q q -<-，分情况讨论，看这两个条件是否可以互相推出即得. 【详解】由题得，()110E p ξ=，()210E q ξ=，故()()12E E ξξ>等价于1010p q >，即p q >. 又()()1101D p p ξ=-，()()2101D q q ξ=-，故()()12D D ξξ>等价于()()101101p p q q -<-，即()()11p p q q -<-.若p q >，因为14pq >，说明12p >，且()()211124p p p p pq +-⎛⎫-<=< ⎪⎝⎭，故1p q -<，故有1122p q ->-.若12q <，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若12q ≥，则自然有11022p q ->->，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()()11p p q q -<-.若()()11p p q q -<-，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()()1114p p q q pq -<-≤<，1p q -<，即1122p q ->-.若102p -≤，则与221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭矛盾，故12p >，若12q ≤，则自然有p q >，若12q >，则由221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知1122p q ->-，即p q >. 所以是充要条件.故选：C【点睛】本题综合的考查了离散型随机变量期望方差和不等式，属于中档题.2．B解析：B 【分析】根据二项分布的均值与方差公式,可得,p q 的等量关系.利用“1”的代换,结合基本不等式即可求得21p q+的最小值. 【详解】离散型随机变量X 服从二项分布(),X B n p ,且2EX =,DX q =由二项分布的均值与方差公式可得()21npq np p =⎧⎨=-⎩,化简可得22p q +=,即12q p += 由基本不等式化简可得21p q+ 221p q q p ⎛⎫=+ ⎪⎛⎫+ ⎪⎝⎝⎭⎭2525922q p p q ≥+=++= 即21p q +的最小值为92故选:B 【点睛】本题考查了二项分布的简单应用,均值与方差的求法,利用“1”的代换结合基本不等式求最值,属于中档题.3．C解析：C 【分析】根据1~6,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭得到()2E X =，再根据()()2121E X E X +=+，计算得到答案. 【详解】1~6,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()1623E X =⨯=，故()()21215E X E X +=+=.故选：C . 【点睛】本题考查了二项分布的均值，同时也考查了期望性质的应用，意在考查学生的计算能力.4．B解析：B 【分析】根据题意得到第2个问题不正确，第3、4个问题正确，计算概率得到答案. 【详解】选手恰好回答了4个问题就闯关成功，则第2个问题不正确，第3、4 个问题正确. 故0.60.40.60.60.40.40.60.60.144p =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. 故选：B . 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的应用能力.5．A解析：A 【分析】直接利用二项分布公式计算得到答案. 【详解】19,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()=⨯=1933E X ，()1191233D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查了二项分布，意在考查学生对于二项分布的理解.6．B解析：B 【分析】由题意知甲和乙投篮不受其他投篮结果的影响，本题是一个相互独立事件同时发生的概率，甲投篮的次数为X ，甲先投，则X k =表示甲第k 次甲投中篮球，而乙前1k -次没有投中，甲前1k -次也没有投中或者甲第k 次未投中，而乙第k 次投中篮球，根据公式写出结果．【详解】甲和乙投篮不受其他投篮结果的影响，∴本题是一个相互独立事件同时发生的概率，每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，甲投篮的次数为X ，甲先投，则X k =表示甲第k 次投中篮球，而甲与乙前1k -次没有投中，或者甲第k 次未投中，而乙第k 次投中篮球．根据相互独立事件同时发生的概率得到甲第k 次投中的概率：1110.40.60.40.240.4k k k ---⨯⨯=⨯；第k 次甲不中的情况应是10.40.60.6k k -⨯⨯，故总的情况是1110.240.40.240.60.60.240.76k k k ---⨯+⨯⨯=⨯．故选B ．【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，是一个基础题，本题最大的障碍是理解X k =的意义，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式．7．B解析：B 【分析】先求得抛掷一次的得到2枚正面向上，3枚反面向上的概率，再利用二项分布可得结果. 【详解】由题，抛掷一次恰好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率为：2555216C =因为5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率是一样的，且各次试验是相互独立的，所以X 服从二项分布5(80,)16X B 则5()802516E X =⨯= 故选B 【点睛】本题咔嚓了二项分布，掌握二项分布是解题的关键，属于中档题.8．C解析：C 【解析】【分析】随机变量X 的可能取值为20,30,40，结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得X 的数学期望. 【详解】X 的可能取值为20,30,40，()222521202010A P X A ====；()311232323562323306010A C C A P X A +⋅⋅+⨯⨯====； ()()()1334012030110105P X P X P X ==-=-==--=，数学期望1332030403510105EX =⨯+⨯+⨯=，即需检测费的均值为35，故选C. 【点睛】本题主要考查组合的应用、古典概型概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先正确要理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.9．A解析：A 【解析】∵()D X m =，∴2()(32)3()D Y D X D X =+=9()D X =9m =，故选A ．10．B解析：B 【详解】∵a ，b ，c 为等差数列，∴2b a c =+，∵1a b c ++=，1113E a c c a ξ=-⨯+⨯=-=，解得16a =，13b =，12c =，∴22215()()39DX E X EX a c ⎛⎫=-=+-= ⎪⎝⎭，故选B ． 11．B解析：B 【解析】对于命题①，因为2R 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，所以算得20.64R ≈，表明“女大学生的体重差异有64%是由身高引起的”，故该命题①是正确的；对于命题②，由于随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的整齐程度，因此方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的差异越大，命题②是错误；对于命题③，由于整个正太曲线都在轴上方，所以命题③的说法是不正确的；对于命题④，由于正态曲线的对称轴由μ确定，当μ一定时，曲线的形状由σ决定，并且σ越大，曲线越贴近于轴，因此命题④的说法是正确的；对于命题⑤，由于随机变量()~0,1N ξ，且()1P p ξ>= ，所以依据正太曲线的对称性可得()1P p ξ<-= ,故()1112,P p ξ-<<=- 所以()1102P p ξ-<<=-，即命题⑤是正确的，综上应选答案B 。

数学北师大版选修2-3单元检测：第一章计数原理附答案

数学北师版2-3第一章计数原理单元检测(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题6分，共48分)1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( )．A ．10种B ．20种C ．25种D ．32种2．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有( )．A ．36种B ．48种C ．96种D ．192种3．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有( )．A ．()2142610C A 个 B ．242610A A 个C ．()2126C 104个D ．226A 104个4．用0,1,2,3,4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12 340应是第( )．个数．A ．6B ．9C ．10D ．85．AB 和CD 为平面内两条相交直线，AB 上有m 个点，CD 上有n 个点，且两直线上各有一个点与交点重合，则以这m ＋n －1个点为顶点的三角形的个数是( )．A ．1212C C C C m n n m + B ．12121C C C C m n n m -+ C ．12121C C C C m n n m -+D ．1212111C C C C m n n m ---+6．设x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2的值为( )．A ．0B ．－1C ．1D ．1)10 7．用二项式定理计算9.985，精确到1的近似值为( )． A ．99 000 B ．99 002 C ．99 004 D ．99 005 8．从不同号码的五双靴中任取4只，其中恰好有一双的取法种数为( )． A ．120 B ．240 C ．360 D ．72 二、填空题(每小题6分，共18分)9．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有__________种不同的方法．(用数字作答)10．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1,2相邻的偶数有__________个．(用数字作答)11．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有__________种．(用数字作答)三、解答题(共34分)12．(10分)已知n-的展开式的各项系数之和等于5⎛⎝展开式中的常数项，求n展开式中含a －1的项的二项式系数． 13．(12分)把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列．(1)43 251是这个数列的第几项？ (2)这个数列的第96项是多少？ (3)求这个数列的各项和．14．(12分)求证：2n ＋2·3n ＋5n －4能被25整除．参考答案1. 答案：D解析：5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25＝32种．2．答案：C解析：甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有233444C C C ⋅⋅＝96种．3. 答案：A解析：某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有()2142610C A 个．4. 答案：C解析：比12 340小的分三类：第一类是千位比2小为0，有33A ＝6个；第二类是千位为2，百位比3小为0，有22A ＝2个；第三类是十位比4小为0，有1个．共有6＋2＋1＝9个，所以12 340是第10个数． 5. 答案：D解析：在一条线上取2个点时，另一个点一定在另一条直线上，且不能是交点． 6. 答案：C解析：由x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10可得：当x ＝1时，1)10＝a 0＋a 1×1＋a 2×12＋…＋a 10×110＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10.当x ＝－1时，1)10＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝a 0－a 1＋a 2＋…＋a 10. ∴(a 0＋a 2＋…＋a 10)－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a ＋a 1＋a 2＋…＋a 10)(a 0－a ＋a 2－a ＋…＋a 10)＝1)101)10＝1)( 1)]10＝1.7. 答案：C解析：9.985＝(10－0.02)5＝05C ×105－15C ×104×0.02＋25C ×103×0.022－35C ×102×0.023＋…＝105－103＋4－0.008＋…≈99 004.8. 答案：A解析：先取出一双有15C 种取法，再从剩下的4双鞋中取出2双，而后从每双中各取一只，有211422C C C 种不同的取法，共有12115422C C C C ＝120种不同的取法．9. 答案：1 260解析：由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有423955C C C ⋅⋅＝1 260种不同的排法． 10. 答案：24解析：可以分情况讨论：①若末位数字为0，则1,2为一组，且可以交换位置，3,4各为1个数字，共可以组成2·33A ＝12个五位数；②若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排列，且0不是首位数字，则有2·22A ＝4个五位数；③若末位数字为4，则1,2为一组，且可以交换位置，3,0各为1个数字，且0不是首位数字，则有2·(2·22A )＝8个五位数，所以全部合理的五位数共有24个．11. 答案：36解析：从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，先从其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，不同的选法共有1234C A ⋅＝3×4×3＝36种．12.解：设5⎛⎝的展开式的通项为T r＋1＝(55Cr rrr-⎛⎛=⎝⎝＝r⎛⎝·45－r105C6rrrb-⋅，(r＝0,1,2,3,4,5)．若它为常数项，则1056r-＝0，∴r＝2.代入上式，得T3＝27.即常数项是27，从而可得n中n＝7，同理7⎛⎝由二项展开式的通项公式知，含a－1的项是第5项，其二项式系数是35.13.解：(1)先考虑大于43 251的数，分为以下三类：第一类：以5打头的有44A＝24个；第二类：以45打头的有33A＝6个；第三类：以435打头的有22A＝2个．故不大于43 251的五位数有：55A－(432432A A A++)＝88个，即43 251是第88项．(2)数列共有A＝120项，96项以后还有120－96＝24项，即比96项所表示的五位数大的五位数有24个，所以小于以5打头的五位数中最大的一个就是该数列的第96项，即为45 321.(3)因为1,2,3,4,5各在万位上时都有44A个五位数，所以万位上数字的和为：(1＋2＋3＋4＋5)·44A·10 000.同理它们在千位、十位、个位上也都有44A个五位数，所以这个数列各项和为：(1＋2＋3＋4＋5)·44A·(1＋10＋100＋1 000＋10 000)＝15×24×11 111＝3 999 960.14.证明：因2n＋2·3n＋5n－4＝4·6n＋5n－4＝4·(5＋1)n＋5n－4＝4·(5n＋1122C5C5n nn n--+＋…＋221C5Cn nn n--+5＋1)＋5n－4＝4·(5n＋1122C5C5n nn n--+＋…＋22C5nn-)＋25n.显然(5n＋1122C5C5n nn n--+＋…＋22C5nn-)能被25整除，25n能被25整除，所以2n＋2·3n＋5n－4能被25整除．。

(北师大版)大连市高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用i j a -表示三角形数阵的第i 行第j 个数，则1003a -=（）A ．5050B ．4851C ．4950D ．50002．10个人排队，其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻的排法A ．5457A A 种 B ．1010A －7474A A 种 C ．6467A A 种D ．6466A A 种3．下列四个组合数公式:对,n k N ∈，约定0001C ==！,有（1）(0)!kk n nP C k n k =≤≤（2）(0)k n kn n C C k n -=≤≤ （3）11(1)k k n n k C C k n n--=≤≤ （4）111(1)kkk n n n C C C k n ---=+≤≤ 其中正确公式的个数是（） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．将红、黄、蓝三种颜色的三颗棋子分别放入33⨯方格图中的三个方格内，如图，要求任意两颗棋子不同行、不同列，则不同方法共有几种（）A ．12B ．16C ．24D ．365．若2020220200122020(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，则下列结果不正确的是（）A ．01220201a a a a +++⋯+=B ．20201352019132a a a a -++++⋯+=C ．20200242020132a a a a ++++⋯+=D ．202012220201222a a a ++⋯+=- 6．从20名同学中选派3人分别参加数学、物理学科竞赛，要求每科竞赛都有人参加，而且每人只能参加一科竞赛．记不同的选派方式有n 种，则n 的计算式可以是（） A ．3203CB ．3206CC ．3202AD ．3203A ÷7．5250125(21)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-+⋯+-，则2a =（）A ．40B ．40-C ．80D ．80-8．有5位同学参加青少年科技创新大赛的3个不同项目，要求每位同学参加一个项目且每个项目至少有一位同学，则不同的参加方法种数为（） A ．80B ．120C ．150D ．3609．甲、乙、丙、丁4人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（） A ．840B ．2226C ．2100D ．235210．5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为（） A ．10B ．40-C ．200D ．24011．已知5250125(12)...x a a x a x a x +=++++，则512025...222a a a a ++++的值为（） A ．32 B ．1 C ．81D ．6412．为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方法总数为（） A ．18B ．24C ．30D ．36二、填空题13．函数()y f x =的定义域D 和值域A 都是集合{12,3}，的非空真子集，如果对于D 内任意的x ，总有()()x f x xf x ++的值是奇数，则满足条件的函数()y f x =的个数是_____；14．A ，B ，C ，D ，E ，F 六名同学参加一项比赛，决出第一到第六的名次.A ，B ，C 三人去询问比赛结果，裁判对A 说：“你和B 都不是第一名”；对B 说：“你不是最差的”；对C 说：“你比A ，B 的成绩都好”，据此回答分析：六人的名次有_____________种不同情况.15．有5本不同的书，全部借给3人，每人至少1本，共有______种不同的借法.16．6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是_______________. 17．将编号为1，2，3，4，5，6，7的七个小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为______.18．六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有________种（用数字回答）. 19．若212626xx C C -=，则x ＝__________.20．甲、乙、丙等7人排成一排，甲站最中间，乙丙相邻，且乙、丙与丁均不相邻，共有______种不同排法．（用数字作答）三、解答题21．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的数，问（1）能够组成多少个五位奇数？（2）能够组成多少个正整数？（3）能够组成多少个大于40000的正整数？22．若2nx⎛+ ⎝展开式的二项式系数之和是64．（1）求n 的值；（2）求展开式中的常数项．23．一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单．（1）2个相声节目要排在一起，有多少种排法？（2）2个相声节目彼此要隔开，有多少种排法？（3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？（4）前3个节目中要有相声节目，有多少种排法？（要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示） 24．已知数列{}n a 的首项为1，记()()()()120122123, 111nn n n nn F x n a C x a C x x a C x x --=-+-+-()11111n n n nn n n n a C x x a C x --+++-+.（1）若数列{}n a 是公比为3的等比数列，求()1, 2020F -的值；（2）若数列{}n a 是公差为2的等差数列，求证：(), 2020F x 是关于x 的一次多项式.25．已知21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数的和比()732a b +展开式的二项式系数的和大128.（1）求n 的值.（2）求21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的系数最大的项和系数最小的项26．3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数.（要求每问要有适当的分析过程，列式并算出答案）（1）选其中5人排成一排；（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；（3）全体站成一排，男、女各站在一起；（4）全体站成一排，男生不能站在一起；（5）全体站成一排，甲不站排头也不站排尾.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】依据二项展开式系数可知，得到第i 行第j 个数应为11j i C --，即可求得1003a -的值.【详解】依据二项展开式系数可知，第i 行第j 个数应为11j i C --，故第100行第3个数为299999848512C ⨯== 故选：B . 【点睛】本题考查二项展开式的应用，其中解答中得出第i 行第j 个数应为11j i C --是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.2．C解析：C 【分析】不相邻问题采用“插空法”. 【详解】解：∵10个人排成一排，其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻排成一排， ∴采用插空法来解，另外六人，有66A 种结果，再在排列好的六人的七个空档里，排列甲、乙、丙、丁，有47A 种结果，根据分步计数原理知共有66A •47A ，故选C ．【点睛】本题考查排列组合及简单计数问题，在题目中要求元素不相邻，这种问题一般采用插空法，先排一种元素，再在前面元素形成的空档，排列不相邻的元素．3．A解析：A 【分析】分别将组合数和排列数写成阶乘的形式，计算每个等式的两边并判断等式是否成立. 【详解】A ．()0!k kk n n nk k P P C k n P k ==≤≤，等式成立；B ．()()!0!!!k k n nP n C k n k n k k ==≤≤-⨯，()()()()()()!!0!!!!!n k n k n nP n n Ck n n k k n k n n k n k --===≤≤-⨯---⨯-，所以(0)kn kn n C C k n -=≤≤成立；C ．()()()()1!!(1)!!!!1!k k n n n P k k k n C k n n n k n n k k n k k -=⋅=⋅=≤≤-⨯-⨯-， ()()()()1111(1!1!!1)!1k n k n n P k n k k Ck n -----==-≤-≤⨯-，所以11(1)k k n n k C C k n n --=≤≤成立； D ．()()()()()()1111111!1!!1!1!!!1!k k k k n n n n n n P P k k n k k Cn k k C--------=+=+=---⨯-⨯-+ ()()()()1!(1!!!)!!k n n n n k k C n k k n k k n k ⎡⎤-⎡⎤=-+==⎢⎥⎣⎦-⨯-⨯⎢≤⎥≤⎣⎦，所以111(1)k k k n n n C C C k n ---=+≤≤成立.故选A. 【点睛】本题考查排列数、组合数公式的运算化简，难度一般.注意排列组合中两个计算公式的使用：()()()!!,!!!!!n m mmn n nn P P n n P C n m n m m n m m ====---⨯. 4．D解析：D 【分析】直接利用乘法原理计算得到答案. 【详解】第一颗棋子有339⨯=种排法，第二颗棋子有224⨯=种排法，第三颗棋子有1种排法，故共有94136⨯⨯=种排法. 故选：D. 【点睛】本题考查了乘法原理，意在考查学生的应用能力.5．B解析：B 【分析】令1x =，得到0120201a a a ++⋯+=，令1x =-，求得202001220203a a a a =-++⋯+，令0x =，求得01a =，进而逐项判定，即可求解.【详解】由题意，二项展开式2020220200122020(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，令1x =，可得01220202020(12)1a a a a +++⋯+-==，①令1x =-，可得2020012202020203(123)a a a a a -=+-++⋯+=，②令0x =，可得20020(10)1a =-=，③由①-②，可得20201352019132a a a a -+++⋯+=，由①+②，可得2020024*******a a a a ++++⋯+=，令12x =，可得20202020120220201(12)12222a a a a +++⋯+=-⨯=，所以202012220201222a a a ++⋯+=-. 综上可得，A 、C 、D 是正确的，B 是错误的. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了二项展开式的系数问题的求解，其中解答中合理利用二项展开式的形式，合理赋值是解答的关键，着重考查推理与计算能力.6．B解析：B 【分析】先从20名同学中选派3人，再分为两类：第一类：2人参加数学，1人参加物理竞赛，第二类：1人参加数学，2人参加物理竞赛，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，从20名同学中选派3人，共有320C 种不同的选法，又由要求每科竞赛都有人参加，而且每人只能参加一科竞赛，可分为两类：第一类：2人参加数学，1人参加物理竞赛，共有233C =中不同的选法；第二类：1人参加数学，2人参加物理竞赛，共有133C =中不同的选法，综上可得，不同的选派方式共有332020(33)6C C +⋅=⋅. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了分步计数原理，以及排列、组合的综合应用，其中解答中选出3人后，合理分类求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.7．A解析：A 【分析】易得[]55(21)2(1)1x x --=+，求出展开式通项后可得55152(1)rrr r T C x --+=⋅⋅-，令3r =可得出2a 的值. 【详解】由于[]55(21)2(1)1x x --=+，所以展开式的通项为：[]5551552(1)12(1)rrr r r r r T C x C x ---+=⋅-⋅=⋅⋅-，令3r =可得：322352(1)T C x =⋅⋅-，则3225240a C =⋅=. 故选：A . 【点睛】本题考查二项式定理的应用，解题关键是得出[]55(21)2(1)1x x --=+进而进行计算，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.8．C解析：C 【分析】根据题意，分清楚有两种情况，利用公式求得结果. 【详解】根据题意，可知有两种情况，一种是有三位同学去参加同一个项目，一种是有两个项目是两位同学参加，所以不同的参加方法种数为22333535332210310661502C C C A A A ⋅⨯⋅+⋅=⨯+⨯=种，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关排列组合的综合题，涉及到的知识点有分类计数加法计数原理，排列组合综合题，属于中档题目.9．B解析：B 【分析】分成三类：一类每个台阶站1人；二类一个台阶站2人，一个台阶1人，一个台阶1人；三类一个台阶站2人，一个台阶站2人，分类用加法原理可得. 【详解】每个台阶站1人有47840A =,一个台阶站2人，一个台阶1人，一个台阶1人有23471260C A , 一个台阶站2人，一个台阶站2人有273126A 所以共有840+1260+126=2226故选：B. 【点睛】本题考查使用两个计数原理进行计数的基本思想:对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．10．B解析：B 【分析】首先将5(3)(2)x x -+拆开得到555((2)3(23))(2)x x x x x =+-+-+，得到5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数与5(2)x +展开式中2x 项和3x 项的系数有关，化简求得结果. 【详解】555((2)3(23))(2)x x x x x =+-+-+，5(2)x +展开式中2x 项的系数为335280C ⋅=， 5(2)x +展开式中3x 项的系数为225240C ⋅=，所以5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为8034040-⨯=-，故选：B. 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有求两个二项式乘积展开式的系数问题，在解题的过程中，注意分析与哪些项有关，属于简单题目.11．A解析：A 【分析】根据所求与已知的关系，令12x =，即可求得答案. 【详解】5250125(12)...x a a x a x a x +=++++，∴令12x =，即可得555120251...122322222a a a a ⎛⎫++++=+⨯== ⎪⎝⎭.故选：A 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.12．C解析：C 【分析】由甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数，即可得到答案. 【详解】因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，即从四个中选二个和其余二个看成三个元素的全排列共有：2343C A ⋅种；又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数有33A 种，所以不同的分配方法种数有：23343336630C A A ⋅-=-= 故选：C 【点睛】本题考查了排列组合的应用，考查了间接法求排列组合应用问题，属于一般题.二、填空题13．【分析】化简得因此中至少一个为奇数再分两种情况讨论得解【详解】因为所以中至少一个为奇数定义域为的都可以有种；定义域为的函数所以有种；所以共种故答案为：29【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键：其一是解析：29【分析】化简得()()(1)(()1)1,x f x xf x x f x ++=++-因此(),f x x 中至少一个为奇数，再分两种情况讨论得解. 【详解】因为()()(1)(()1)1,x f x xf x x f x ++=++- 所以(),f x x 中至少一个为奇数，定义域为{1},{3},{1,3}的都可以，有3333=15++⨯种；定义域为{}{}{}2,1,2,2,3的函数(2){1,3}f ∈，所以有23223=14+⨯+⨯种；所以共29种. 故答案为：29 【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键：其一是分析出(),f x x 中至少一个为奇数，其二是合理分类讨论.14．【分析】根据裁判所说对的名次分两类：第一类是获最后一名再考虑且在前面最后排剩下3人；第二类是没有获得最后一名此时可同时考虑获得前5名根据加法原理即可得到答案【详解】根据裁判所说对的名次分两类：第一类解析：180【分析】根据裁判所说，对A 的名次分两类：第一类是A 获最后一名，再考虑B ，C 且C 在B 前面，最后排剩下3人；第二类是A 没有获得最后一名，此时可同时考虑A ，B ，C 获得前5名，根据加法原理即可得到答案. 【详解】根据裁判所说，对A 的名次分两类：第一类是A 获最后一名，再考虑B ，C ，从前5名中选2两个名次给B ，C 且C 在B 前面有25C 种，最后排D ，E ，F 有33A 种，根据分步计数原理，共有235360C A =种；第二类是A 没有获得最后一名，此时可同时考虑A ，B ，C 获得前5名中的3个名次且C 名次在A ，B 之前有3252C A 种，最后排D ，E ，F 有33A 种，根据分步计数原理，共有323523120C A A =种；根据分类计数原理，六人的名次共有60120180+=种不同情况. 故答案为：180 【点睛】本题主要考查分类计数原理和分步计数原理，注意对同学A 进行分类讨论，属于中档题．15．150【分析】将5本不同的书分成满足题意的3组有113与221两种分别计算可得分成113与分成221时的分组情况种数相加可得答案【详解】解：将5本不同的书分成满足题意的3组有113与221两种分成1解析：150 【分析】将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分别计算可得分成1、1、3与分成2、2、1时的分组情况种数，相加可得答案．【详解】解：将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有3353C A 种分法，分成2、2、1时，有22353322C C A A 种分法，所以共有223335353322150C C C A A A +=种分法，故答案为：150．【点睛】本题考查组合、排列的综合运用，解题时，注意加法原理与乘法原理的使用．16．60【分析】由题意可得二项展开式的通项要求展开式的常数项只要令可求代入可求【详解】解：由题意可得二项展开式的通项为：令可得：此时即的展开式中的常数项为60故答案为：60【点睛】本题考查了二项展开式项解析：60 【分析】由题意可得，二项展开式的通项26161(2)()(1)2r r r rr T C x x-+=-=-61236rr r C x --，要求展开式的常数项，只要令1230r -=可求r ，代入可求【详解】解：由题意可得，二项展开式的通项为： 2661231661(2)()(1)2r r r r r r rr T C x C x x---+=-=-，令1230r -=，可得：4r =，此时2456260T C ==，即6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为60. 故答案为：60．【点睛】本题考查了二项展开式项的通项公式的应用，考查解题运算能力．17．315【分析】根据题意有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同再由排列组台及计数原理即可求解【详解】第一步：先确定三个盒子的编号与放入的小球的编号相同共种不同取法；第二步：再将剩下的个小球放入到解析：315 【分析】根据题意，有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，再由排列组台及计数原理，即可求解. 【详解】第一步：先确定三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，共3735C =种不同取法；第二步：再将剩下的4个小球放入到4个盒子中,且小球编号与放入的小球的编号不相同，共()113219C C +=种不同放法；因而有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同的不同放法种数为359315⨯=种. 故答案为：315 【点睛】本题考查了排列组合及计数原理，考查理解辨析能力与运算求解能力，属中档题.18．135【分析】根据题意先确定2个人位置不变共有种选择再确定4个人坐4个位置但是不能坐原来的位置计算得到答案【详解】根据题意先确定2个人位置不变共有种选择再确定4个人坐4个位置但是不能坐原来的位置共有解析：135 【分析】根据题意先确定2个人位置不变，共有2615C =种选择，再确定4个人坐4个位置，但是不能坐原来的位置，计算得到答案. 【详解】根据题意先确定2个人位置不变，共有2615C =种选择.再确定4个人坐4个位置，但是不能坐原来的位置，共有33119⨯⨯⨯=种选择，故不同的坐法有159135⨯=. 故答案为：135. 【点睛】本题考查了分步乘法原理，意在考查学生的计算能力和应用能力.19．1或9【分析】由再根据组合的互补性质可得即可解得的值【详解】解：由可得：解得：又根据组合的互补性质可得可得：解得：故答案为：1或9【点睛】本题考查了组合及组合数公式的应用掌握组合数的性质和组合数公式解析：1或9 【分析】由212626x x C C -=，再根据组合的互补性质可得26(21)2626x x C C --=，即可解得x 的值．【详解】解：由212626x x C C -=，可得：21x x =-，解得：1x =，又根据组合的互补性质可得26(21)2626x x C C --=，可得：26(21)x x =--，解得：9x =．故答案为：1或9．【点睛】本题考查了组合及组合数公式的应用，掌握组合数的性质和组合数公式是解题的关键．20．【分析】根据乙丙相邻所以捆在一起有种排法又因为乙丙与丁均不相邻且甲站最中间则剩余3人全排列从产生的4个空中选2个将乙丙与丁排列再用分类乘法计数原理求解【详解】因为乙丙相邻所以捆在一起有种排法又因为乙解析：144【分析】根据乙丙相邻，所以捆在一起有22A 种排法，又因为乙、丙与丁均不相邻，且甲站最中间，则剩余3人全排列，从产生的4个空中选2个，将乙、丙与丁排列，再用分类乘法计数原理求解. 【详解】因为乙丙相邻，所以捆在一起有22A 种排法，又因为乙、丙与丁均不相邻，因为甲站最中间，则剩余3人全排列有33A 种排法，，从产生的4个空中选2个，将乙、丙与丁排列，有24A 种排法，所以共有232234144A A A ⨯⨯=种排法故答案为：144本题主要考查分类乘法计数原理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）72；（2）325；（3）48；【分析】（1）首先排个位，从3个奇数中选1个排在个位，再将其余4个数全排列即可；（2）根据题意，按数字的位数分5种情况讨论，求出每种情况下数字的数目，由加法原理计算可得答案；（3）大于40000的正整数，即最高位为4或5，其余数字全排列即可；【详解】解：（1）首先排最个位数字，从1、3、5中选1个数排在个位有133A =种，其余4个数全排列有4424A =种，按照分步乘法计数原理可得有143472A A =个五位奇数；（2）根据题意，若组成一位数，有5种情况，即可以有5个一位数；若组成两位数，有2520A =种情况，即可以有20个两位数；若组成三位数，有3560A =种情况，即可以有60个三位数；若组成四位数，有45120A =种情况，即可以有120个四位数；若组成五位数，有55120A =种情况，即可以有120个五位数；则可以有52060120120325++++=个正整数；（3）根据题意，若组成的数字比40000大的正整数，其首位数字为5或4，有2种情况；在剩下的4个数，安排在后面四位，共有142448C A =种情况，则有48个比40000大的正整数；【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题． 22．（1）6；（2）60 【分析】由二项式系数和求出指数n ，再写出展开式通项后可得常数项. 【详解】（1）由题意得，二项式系数之和为012264n n n n n n C C C C ++++==，6n ∴=；（2）通项公式为366622166(2)2r r rrrr r T C x xC x----+==，令3602r-=，得4r = ∴展开式中的常数项为4464256(2)60T C x x --==．该题主要考查二项式定理，在()na b +展开式中二项式系数为2n ，只与指数n 有关，求特定项时要注意通项的正确应用.23．（1）48；（2）72；（3）36；（4）108. 【分析】（1）将2个相声节目进行捆绑，与其它3个节目形成4个元素，利用捆绑法可求得排法种数；（2）将2个相声节目插入其它3个节目所形成的空中，利用插空法可求得排法种数；（3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，则3个节目排在中间，利用分步乘法计数原理可求得排法种数；（4）在5个节目进行全排的排法种数中减去前3个节目中没有相声节目的排法种数，由此可求得结果. 【详解】（1）将2个相声节目进行捆绑，与其它3个节目形成4个元素，然后进行全排，所以，排法种数为242448A A =种；（2）将2个相声节目插入其它3个节目所形成的4个空中，则排法种数为323472A A =种；（3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，则其它3个节目排在中间，进行全排，由分步乘法计数原理可知，排法种数为233336A A =种；（4）在5个节目进行全排的排法种数中减去前3个节目中没有相声节目的排法种数，可得出前3个节目中要有相声节目的排法种数为53253212012108A A A -=-=. 【点睛】本题考查排列组合综合问题，考查捆绑法、插空法、分步乘法计数原理以及间接法的应用，考查计算能力，属于中等题. 24．（1）1（2）证明见解析；【分析】（1）根据13-=n n a ，得到()()()()()1220012,313131nn n n nn F x n C x C x x C x x --=-+-+-()()()()()1113131312n n n nn nn n C x x C x x x x --++-+=-+=+求解.（2）易得21n a n =-，则(),F x n ()()()()()101222112114(1)12--=-++-++-+++nn n n n nn nn C x C x x C x n C xx ，再转化为(),F x n ()()10122211(1)--⎡⎤=-+-+-+++⎣⎦n n n n n n n n n C x C x x C x x C x ()11222212(1)n n n n n n n C x x C x x nC x --⎡⎤-+-++⎣⎦，利用二项式定理及组合数公式求解.【详解】（1）由题意得：13-=n n a ，∴()()()()()1220012,313131nn n n nn F x n C x C x x C x x --=-+-+-()()()()()1113131312n n nnn nn n C x x C x x x x --++-+=-+=+，∴()()20201,2020121F -=-=；（2）证明：若数列{}n a 是公差为2的等差数列，则21n a n =-.()()()()10111121,111---+=-+-++-+nn n n n nn n n n n n F x n a C x a C x x a C x x a C x ，()()()()()101222112114(1)12--=-++-++-+++nn n n n nn nn C x C x x C x n C x x ，()()10122211(1)--⎡⎤=-+-+-+++⎣⎦n n n n n n n n n C x C x x C x x C x()11222212(1)n n n n n n n C x x C x x nC x --⎡⎤-+-++⎣⎦，由二项式定理知，()()()10122211(1)11---+-+-=-+=⎡⎤⎣++⎦nn n n n nn n nnC x C x x C x x x x C x ，因为()()()()111!!!!1!!kk nn n n kC k n C k n k k n n k --⋅-=⋅=⋅=---，所以()1122212(1)---+-++n n n n n nn C x x C x nC x x ()112211111(1)------=-+-++n n n n n n n nC x x n x x nC x C()1012111111(1)n n n n n n n nx C x C x x C x -------=⎦-+-++⎡⎤⎣()11-=-+=⎡⎤⎣⎦n nx x x nx ，所以(),12F x n nx =+.(),202014040F x x =+.【点睛】本题主要考查二项式定理及其展开式以及组合数公式，等差数列，等比数列的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.25．（1）8；（2）系数最大项，4570T x =，系数最小项656T x =-和7456T x =-【分析】（1）21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数和为2n ，()732a b +展开式的二项式系数和为72，根据条件可得到关于n 的等式求解出n 的值；（2）根据二项式系数的性质求得当r 为何值时，展开式的系数最大或最小，从而求解出对应的系数最大和最小的项. 【详解】（1）由条件可知：722128n -=，所以822n =，所以8n =；（2）因为21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项为：()163181r r rr T C x -+=⋅-⋅，由二项式系数的性质可知：当4r =时，21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的系数最大，所以系数最大的项为4445870T C x x =⋅=，当3r =或5时，21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的系数最小，所以系数最小的项为3774856T C x x =-⋅=-和56856T C x x =-⋅=-. 【点睛】本题考查二项式定理的综合运用，难度一般.对于二项式系数kn C ，若n 为偶数时，中间一项2nn C 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项1122,n n nnC C-+同时取得最大值.26．（1）2520；（2）5040；（3）288；（4）1440；（5）3600.【分析】相邻问题一般看作一个整体处理，利用捆绑法，不相邻问题一般用插空法，特殊位置优先考虑，即可求解．【详解】解：（1）从7人中选其中5人排成一排，共有55752520C A =种排法；（2）排成前后两排，前排3人，后排4人，共有775040A =种排法；（3）全体站成一排，男、女各站在一起，属于相邻问题，男生必须站在一起，则男生全排列，有33A 种排法，女生必须站在一起，则女生全排列，有44A 种排法，男生女生各看作一个元素，有22A 种排法；由分布乘法的计数原理可知，共有234234288A A A =种方法；（4）全体站成一排，男生不能站在一起，属于不相邻问题，先安排女生，有44A 种排法，把3个男生插在女生隔成的5个空位中，有35A 种排法，由分布乘法的计数原理可知，共有43451440A A =种方法；（5）全体站成一排，男不站排头也不站排尾，则优先安排甲，从除去排头和排尾的5个位置中安排甲，有15A 种排法，再对剩余的6人进行全排列，有66A 种排法，所以共有16563600A A =种方法．【点睛】本题考查排列和组合的实际应用，涉及相邻和不相邻问题，利用了捆绑法、插空法和特殊位置优先考虑的方法，考查分析和计算能力．。

北师大版高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试(答案解析)

一、选择题1．若13nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是（）A ．1215B ．135C ．18D ．92．电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法的种数为（） A ．40B ．36C ．32D ．203．若多项式()210011x x a a x +=++()()91091011a x a x +++++，则9a =（）A ．9B ．10C ．-9D ．-10 4．1180被9除的余数为（）A ．1-B ．1C ．8D ．8-5．从20名同学中选派3人分别参加数学、物理学科竞赛，要求每科竞赛都有人参加，而且每人只能参加一科竞赛．记不同的选派方式有n 种，则n 的计算式可以是（） A ．3203CB ．3206CC ．3202AD ．3203A ÷6．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（）A ．48种B ．72种C ．96种D ．144种7．设()929012913x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则0129a a a a +++⋅⋅⋅+的值为( ) A ．94B ．93C ．92D ．92-8．甲、乙、丙、丁4人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（） A ．840B ．2226C ．2100D ．23529．安排3人完成5项不同工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式种数为（） A ．60B ．150C ．180D ．24010．如图所示，将四棱锥S-ABCD 的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种色可供使用，则不同的染色方法种数为（）A ．240B ．360C ．420D ．96011．五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一个五音阶音序，且宫、羽不相邻，且位于角音阶的同侧，可排成的不同音序有（） A ．20种B ．24种C ．32种D ．48种12．若()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为-1，则a 的值为( ) A ．1B ．9C ．-1或-9D ．1或9二、填空题13．某学校安排5名高三教师去3个学校进行交流学习，且每位教师只去一个学校，要求每个学校至少有一名教师进行交流学习，则不同的安排方式共有______种.14．已知正整数n ，二项式322nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含有7x 的项，则n 的最小值是________. 15．在二项式12312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，该二项展开式中系数最大的项为___________．16．把13个相同的小球放入编号为1，2，3，4的四个不同盒子中，若使放入盒子中的小球个数不小于盒子的编号数，则不同的放法种数为______. 17．83被5除所得的余数是_____________．18．6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是_______________.19．计算2222223456C C C C C ++++=______.20．已知()()()()52012213211x x a a x a x --=+-+-()()565611a x a x +⋅⋅⋅+-+-，则5a =______.三、解答题21．红星高中2019年五一演讲比赛将在体育馆举行，所有参加人员凭票入场.（1）若将6张连号的门票分给明明、慧慧等六位老师，每人1张，且明明、慧慧分得的门票连号，则一共有多少种不同的分法？（2）高二年级准备从甲、乙等八名同学中选派四名同学参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么高二年级不同的演讲顺序一共有多少种？22．我校学生会进行换届选举，共选举出7名学生会委员，其中甲、乙、丙是上一届的委员，现对7名成员进行如下分工.（1）若学生会正、副主席两职位只能由甲、乙、丙三人选两人担任，则有多少种不同的分工方法；（2）若甲不担任学生会主席，乙不能担任组织委员，则有多少种不同的分工方法？ 23．（1）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有多少种方法？（2）由0,1,2,3,4,5这6个数字组成没有重复数字的四位偶数由多少个？（3）某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只会日语，其余2人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？24．有3名男生，4名女生，按下列要求排成一行，求不同的方法总数（1）甲只能在中间或者两边位置；（2）男生必须排在一起；（3）男女各不相邻；（4）甲乙两人中间必须有3人.25．已知212nxi x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，i 是虚数单位，0x >，n ∈+N . （1）如果展开式中的倒数第3项的系数是-180，求n 的值；（2）对（1）中的n ，求展开式中系数为正实数的项. 26．已知. （1）若，求及的值；（2）若，求最大的系数；（3）定义，若化简.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】分析：由二项式系数和求出指数n ，再写出展开式通项后可求得常数项．详解：由题意264n =，6n =，∴通项为36662166(3)(3r rrr r rr T C x C x x---+==，令3602r -=，4r =，∴常数项为2463135C =，故选B.．点睛：在()n a bx +展开式中二项式系数为2n ，所有项的系数和为()n a b +．要注意这两个和是不一样的，二项式系数和是固定的，只与指数n 有关，而所有项系数和还与二项式中的系数,a b 有关．2．A解析：A 【分析】根据题意，先排好7个空座位，注意空座位是相同的，其中6个空位符合条件，将3人插入6个空位中，注意甲必须在三人中间，然后再排乙，丙，最后用分步计数原理求解. 【详解】除甲、乙、丙三人的座位外，还有7个座位，它们之间共可形成六个空，三人从6个空中选三位置坐上去有36C 种坐法，又甲坐在中间，所以乙、丙有22A 种方法，所以他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有36C 2240A ⋅=种. 故选：A . 【点睛】本题主要考查排列组合的实际应用，还考查了分析问题的能力，属于中档题.3．D解析：D 【解析】()()9011010019910999991...1[...]nn n x C C x C x a x a C C x C x +=++⇒+=++，()10101a x +=019910101010101010(...)a C C x C x C x ++++，根据已知条件得9x 的系数为0，10x 的系数为19999910101010101010011a a C a C a a C =-⎧⋅+⋅=⎧⇒⇒⎨⎨=⋅=⎩⎩ 故选D. 4．C解析：C 【分析】将1180转化为()11811-，利用二项式定理，即可得解. 【详解】()111180811=-()()()()2101101210111110911111111111818118118111C C C C C =⋅+⋅⋅-+⋅⋅-++⋅⋅-+⋅-1210111110911111111181818181C C C C =-⋅+⋅++⋅-1211109111181818111811C C =-⋅+⋅++⨯-121110911118181811081811C C =-⋅+⋅++⨯+- 12111091111818181108180C C =-⋅+⋅++⨯+ 121110911118181811081728C C =-⋅+⋅++⨯++12111091111818181108172C C -⋅+⋅++⨯+可以被9整除，所以1180被9除的余数为8. 故选：C. 【点睛】本题考查利用二项式定理解决余数问题，将原式变形为()11811-是本题的解题关键，属于中档题.5．B解析：B 【分析】先从20名同学中选派3人，再分为两类：第一类：2人参加数学，1人参加物理竞赛，第二类：1人参加数学，2人参加物理竞赛，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，从20名同学中选派3人，共有320C 种不同的选法，又由要求每科竞赛都有人参加，而且每人只能参加一科竞赛，可分为两类：第一类：2人参加数学，1人参加物理竞赛，共有233C =中不同的选法；第二类：1人参加数学，2人参加物理竞赛，共有133C =中不同的选法，综上可得，不同的选派方式共有332020(33)6C C +⋅=⋅. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了分步计数原理，以及排列、组合的综合应用，其中解答中选出3人后，合理分类求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.6．B解析：B 【分析】A 区域与其他区域都相邻，从A 开始分步进行其它区域填涂可解【详解】解：根据题意，如图，假设5个区域依次为A B C D E 、、、、，分4步分析： ①，对于A 区域，有4种涂法，②，对于B 区域，与A 相邻，有3种涂法， ③，对于C 区域，与A B 、相邻，有2种涂法，④，对于D 区域，若其与B 区域同色，则E 有2种涂法，若D 区域与B 区域不同色，则E 有1种涂法，则D E 、区域有2+1＝3种涂色方法，则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种；故选： B ．【点睛】本题考查两个计数原理的综合问题使用两个计数原理进行计数的基本思想：对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．7．A解析：A 【分析】由()913x -的展开式的通项为()193rrr T C x +=-，可得10a <，30a <，50a <，70a <，90a <，则01290123456789a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=-+-+-+-+-，再令1x =-即可得解；【详解】解：因为()929012913x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，()913x -的展开式的通项为()193rr r T C x +=-，所以10a <，30a <，50a <，70a <，90a <，所以01290123456789a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=-+-+-+-+- 令1x =-得901234567894a a a a a a a a a a -+-+-+-+-= 所以901294a a a a +++⋅⋅⋅+= 故选：A 【点睛】本题考查赋值法求二项式展开式的系数和的问题，属于中档题.8．B解析：B 【分析】分成三类：一类每个台阶站1人；二类一个台阶站2人，一个台阶1人，一个台阶1人；三类一个台阶站2人，一个台阶站2人，分类用加法原理可得. 【详解】每个台阶站1人有47840A =,一个台阶站2人，一个台阶1人，一个台阶1人有23471260C A , 一个台阶站2人，一个台阶站2人有273126A 所以共有840+1260+126=2226 故选：B. 【点睛】本题考查使用两个计数原理进行计数的基本思想:对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．9．B解析：B 【分析】根据题意，分2步进行分析：①、分两种情况讨论将5项工作分成3组的情况数目，②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2步进行分析： ①、将5项工作分成3组，若分成1、1、3的三组，有3115212210C C C A =种分组方法，若分成1、2、2的三组，有2215312215C C C A =种分组方法，则将5项工作分成3组，有101525+=种分组方法；②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有336A =种情况，则有256150⨯=种不同的分组方法；故选：B ．【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意分组时要进行分类讨论，属于中档题．10．C解析：C 【分析】可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论. 【详解】由题设，四棱锥S-ABCD 的顶点S 、A 、B 所染的颜色互不相同，它们共有54360⨯⨯=种染色方法.设5种颜色为1，2，3，4，5，当S 、A 、B 染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C 染2，则D 可染3或4或5，有3种染法；若C 染4，则D 可染3或5，有2种染法，若C 染5，则D 可染3或4，有2种染法. 可见，当S 、A 、B 已染好时，C 、D 还有7种染法，故不同的染色方法有607420⨯=（种）. 故选：C 【点睛】本题考查分类加法原理、分步乘法原理的综合应用，考查学生的分类讨论的思想、逻辑推理能力，是一道中档题.11．C解析：C 【分析】根据角所在的位置，分两类：角排在一或五；角排在二或四.根据分类计数原理和排列组合的知识可得．【详解】若角排在一或五，有22232A A =24种；若角排在二或四，有22222A A 8=. 根据分类计数原理可得，共有24832+＝种. 故选：C ．【点睛】本题考查排列组合和计数原理，属于基础题.12．D解析：D 【分析】根据题意分析常数项由()2x a +中的某项与511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的某项项相乘所得,再二项式定理的通项公式求解即可. 【详解】由题可得,()2x a +中含2x 项与511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中含21x 项相乘可得常数项； ()2x a +中含x 项与511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中含1x 项相乘可得常数项； ()2x a +中的常数项与511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的常数项相乘可得常数项.故()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为()()()2134522122551112111010x C ax C a a a x x ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-+⋅-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故22101011090a a a a -+-=-⇒-+=,解得1a =或9a =. 故选：D 【点睛】本题主要考查了利用二项式定理,根据常数项求解参数的方法.需要根据题意分析常数项的所有可能组成,属于中档题.二、填空题13．150【分析】分2步分析：先将5名高三教师分成3组分2种情况分类讨论再将分好的三组全排列对应三个学校由分步计数原理计算可得答案；【详解】解：分2步分析：先将5名高三教师分成3组由两种分组方法若分成3解析：150 【分析】分2步分析：先将5名高三教师分成3组，分2种情况分类讨论，再将分好的三组全排列，对应三个学校，由分步计数原理计算可得答案；【详解】解：分2步分析：先将5名高三教师分成3组，由两种分组方法，若分成3、1、1的三组，有3510C =种分组方法，若分成1、2、2的三组，有1225422215C C C A =种分组方法，则一共有101525+=种分组方法；再将分好的三组全排列，对应三个学校，有336A =种情况，则有256150⨯=种不同的安排方式；故答案为：150．【点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．14．【分析】确定展开式的通项令的指数为即可求得结论【详解】二项式的展开式通项为令可得当时取最小值故答案为：【点睛】本题考查二项展开式通项的应用考查学生的计算能力属于中等题解析：4【分析】确定展开式的通项，令x 的指数为7，即可求得结论．【详解】二项式322nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()3351222kn k k k kn k k n n T C x C x x --+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭. 令357n k -=，可得573k n +=，当1k =时，n 取最小值4. 故答案为：4. 【点睛】本题考查二项展开式通项的应用，考查学生的计算能力，属于中等题.15．【分析】先求出展开式通项得出系数要使展开式中系数最大只需该项系数不小于前一项系数也不小于后一项系数建立关于项数的不等式求解即可【详解】二项式的展开式通项为若第系数最大需满足即整理得解得所以该二项展开解析：20126720x【分析】先求出展开式通项，得出系数，要使展开式中系数最大，只需该项系数不小于前一项系数，也不小于后一项系数，建立关于项数r 的不等式，求解即可. 【详解】二项式12312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为31212364112121(2)()2r r r r r r r T C x C x x ---+==，0,1,2,12r =，若第1r +系数最大，需满足1213112121211112122222r r r r r r r r C C C C -----+⎧≥⎨≥⎩，即12!212!!(12)!(1)!(13)!212!12!!(12)!(1)!(11)!r r r r r r r r ⨯⎧≥⎪---⎪⎨⨯⎪≥⎪-+-⎩，整理得121321121r rr r ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，解得1013,,433r r N r ≤≤∈∴=， 8420205122126720T C x x ==,所以该二项展开式中系数最大的项为20126720x . 故答案为：20126720x . 【点睛】本题考查二项展开式定理的应用，熟记通项是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.16．20【分析】先将每个盒子放入编号相同的小球剩余3个小球讨论剩余小球放入一个两个三个盒子计算得到答案【详解】先将每个盒子放入编号相同的小球剩余3个小球若3个小球都放入一个盒子有4种放法；若3个小球放入解析：20 【分析】先将每个盒子放入编号相同的小球，剩余3个小球，讨论剩余小球放入一个，两个，三个盒子，计算得到答案. 【详解】先将每个盒子放入编号相同的小球，剩余3个小球，若3个小球都放入一个盒子，有4种放法；若3个小球放入两个盒子，有2412A =种放法；若3个小球放入三个盒子，有4种放法. 故不同的方法有412420++=种. 故答案为：20. 【点睛】本题考查了分类原理和排列，意在考查学生的计算能力和应用能力，先将每个盒子放入编号相同的小球是解题的关键.17．1【分析】变形利用二项式定理展开即可求出被除所得的余数【详解】因为所以转化为求被除所得的余数因为所以被除所得的余数是1故答案为：1【点睛】本题主要考查了利用二项式定理研究整除问题考查了推理运算能力属解析：1 【分析】变形883(52)=-，利用二项式定理展开即可求出被5除所得的余数. 【详解】因为883(52)=-0817262778088888855(2)5(2)5(2)5(2)C C C C C =⋅+⋅⨯-+⋅⨯-++⋅⨯-+⋅⨯- 071625277808888885(55(2)5(2)(2))5(2)C C C C C =⋅+⋅⨯-+⋅⨯-++-+⋅⨯-，所以转化为求8885(2)256C ⋅⨯-=被5除所得的余数，因为2565151=⨯+，所以83被5除所得的余数是1，故答案为：1 【点睛】本题主要考查了利用二项式定理研究整除问题，考查了推理运算能力，属于中档题.18．60【分析】由题意可得二项展开式的通项要求展开式的常数项只要令可求代入可求【详解】解：由题意可得二项展开式的通项为：令可得：此时即的展开式中的常数项为60故答案为：60【点睛】本题考查了二项展开式项解析：60 【分析】由题意可得，二项展开式的通项26161(2)()(1)2r r r rr T C x x-+=-=-61236rr r C x --，要求展开式的常数项，只要令1230r -=可求r ，代入可求【详解】解：由题意可得，二项展开式的通项为： 2661231661(2)()(1)2r r r r r r rr T C x C x x---+=-=-，令1230r -=，可得：4r =，此时2456260T C ==，即6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为60. 故答案为：60．【点睛】本题考查了二项展开式项的通项公式的应用，考查解题运算能力．19．35【分析】根据组合数的性质计算可得；【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查组合数的性质属于中档题解析：35 【分析】根据组合数的性质11m m mn n n C C C -++=计算可得；【详解】解：2222223456C C C C C ++++3222233456C C C C C =++++ 32224456C C C C =+++ 322556C C C =++ 3266C C =+ 3776535321C ⨯⨯===⨯⨯故答案为：35 【点睛】本题考查组合数的性质，属于中档题.20．【分析】将已知等式等价变形为结合二项展开式的通项即可求得【详解】展开后含有的项为：故答案为：【点睛】本题主要考查二项式定理的应用注意根据题意分析所给代数式的特点考查理解辨析能力与运算求解能力解析：272【分析】将已知等式等价变形为5[2(1)1][3(1)1]x x -+-+，结合二项展开式的通项即可求得5a . 【详解】55(21)(32)[2(1)1][3(1)1]x x x x --=-+-+，展开后含有5(1)x -的项为：0551445552(1)2(1)3(1)272(1)C x C x x x ⋅⋅-+⋅⋅-⋅-=-，5272a ∴=.故答案为：272 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，考查理解辨析能力与运算求解能力.三、解答题21．（1）240种；（2）1140种【分析】（1）先从6张门票中选出两张连号的门票，有5种选法，剩下的4张门票分给其余四位老师属于排列问题，有44A 种，又因为两张连号的门票分明明、慧慧两位老师，有22A 种分法，由分步乘法计数原理即可求得结果；（2）先分类再分步.一类是甲、乙两人中恰有一人参加，先从甲、乙中选出1人，再从其余6人中选出3人，最后将参加的4人全排列，有134264960C C A ⋅⋅=种；另一类是甲、乙两人都参加，有22C 种.除甲、乙外，再选2名，有26C 种.其余两人先排好有22A 种，甲、乙不相邻采用插空法有23A 种，用分步乘法计数原理22222623C C A A ⋅⋅⋅计算.最后再将两类的结果加起来. 【详解】解：（1）门票连号有5种，分给其余四位老师有44A 种，明明、慧慧分得的门票连号，一共有42425240A A ⨯⨯=种；（2）就甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的人数进行分类计数：第一类，甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的恰有一人，满足题意的不同的演讲顺序的种数为134264960C C A ⋅⋅=；第二类，甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的恰有两人，满足题意的不同的演讲顺序种数为22222623180C C A A ⋅⋅⋅=. 因此满足题意的不同的演讲顺序的种数为9601801140+=. 【点睛】本题考查了两个计数原理的综合应用，其中甲、乙不相邻采用“插空法”，属于中档题. 22．（1）720；（2）3720. 【分析】（1）由学生会正、副主席两职位只能由甲乙丙三人中选出两人担任，利用排列、组合计算即可；（2）甲不担任学生会主席，乙不担任组织委员，可用间接法计算，即可求解．【详解】（1）由题意，学生会正、副主席两职位只能由甲乙丙三人中选出两人担任，则有225325720C A A =种不同的分工．（2）甲不担任学生会主席，乙不担任组织委员，则有76576523720A A A -+=种不同的分工．【点睛】本题主要考查了排列、组合及其简单的计数原理的应用，其中解答中认真审题，合理利用排列数、组合数的公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．23．（1）1560；（2）156；（3）92. 【解析】【分析】（1）分为3,1,1,1和2,2,1,1两类分别计算，加和得到结果；（2）分为个位是0和个位不是0两类分别计算，加和得到结果；（3）分为只会英语的人中选了3人作英语导游、选了2人作英语导游和选了1人作英语导游三类分别计算，加和得到结果. 【详解】（1）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有3,1,1,1和2,2,1,1两类分配方式为3,1,1,1时，共有：3114632433480C C C A A ⋅=种分法分配方式为2,2,1,1时，共有：2214642422221080C C C A A A ⋅=种分法由分类加法计数原理可得，共有：48010801560+=种分法（2）若个位是0，共有：3560A =个若个位不是0，共有：11224496C C A =个由分类加法计数原理可得，共有：6096156+=个（3）若只会英语的人中选了3人作英语导游，共有：3620C =种选法若只会英语的人中选了2人作英语导游，共有：12323560C C C =种选法若只会英语的人中选了1人作英语导游，共有：133412C C =种选法由分类加法计数原理可得，共有：20601292++=种选法【点睛】本题考查排列组合的综合应用问题，涉及到分组分配问题、元素位置有限制的排列组合问题等知识，关键是能够根据题目的要求进行合理的分类，最终通过分类加法计数原理得到结果.24．（1）2160；（2）720；（3）144；（4）720. 【分析】（1）利用元素分析法（特殊元素优先安排），甲为特殊元素，故先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择，问题得以解决；（2）利用捆绑法，先将男生捆绑在一起算一个大元素，与女生进行全排，在将男生内部全排得到结果；（3）男女各不相邻，先排四名女生，之后将3名男生插在四个空中，正好得到所要的结果；（4）从除甲、乙之外的5人中选3人排在甲、乙中间，之后再排，问题得以解决. 【详解】（1）甲为特殊元素，所以先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择，有13A 种选择，其余6人全排列，有66A 种排法，由分步计数原理得共有16362160A A ⋅=种；（2）捆绑法，先将男生排在一起，和四名女生合在一起，有55A 种排法，再将三名男生内部排列，有33A 种排法，由分步计数原理得共有5353720A A ⋅=种；（3）男女各不相邻，即为女生排好后男生插入中间的三个空即可，所以有4343144A A ⋅=种；（4）从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间的排法有35A 种排法，甲、乙两人有22A 种排法，甲、乙以及中间的三人与其余2人共有33A 种排法，由分步计数原理得共有323523720A A A ⋅⋅=种. 【点睛】该题考查的是有关具有特殊要求的排列问题，在解题的过程中，注意处理原则和解题方法为：特殊元素优先考虑，不邻问题插空法，相邻问题捆绑法等，属于简单题目.25．（1）10n =（2）311520T =，1073360T x -=，2011T x -=.【解析】【分析】(1)由题意得到关于n 的方程，解方程可得n 的值；(2)结合(1)中求得的n 的值，得到展开式的通项公式，然后整理计算可得展开式中系数为正实数的项. 【详解】（1）由已知，得-22(2)180n n C i =-，即24180n C =，所以2900n n --=，又n ∈+N ，解得10n =. （2）展开式的通项为5510210211010(2)(2)k k kkk kk TC xi xC i x----+==，因为系数为正实数，且{0,1,2,,10}k ∈，所以2,6,10k =.代入通项公式可得所求的项为311520T =，1073360T x -=，2011T x -=.【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项公式及其应用，分类讨论的数学思想，复数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 26．（1）（2）（3）【解析】【分析】(1)由赋值法得到相应的数值；（2）将参数值代入表达式得到其通项公式为，由不等式，可得到，进而得到；（3）按照组合数的展开公式，分组求和即可. 【详解】（1）若，，令,则，令，则所以.（2）若，其通项公式为，由不等式解得，且，∴.所以.（3）若,【点睛】本题考查二项式定理的应用,以及组合数公式的相关运算，考查推理能力与计算能力，属于中等题。

北师大版高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试题(含答案解析)

一、选择题1．将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A 、B 、C 、D 四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A 班，丁不能分配到B 班，则共有分配方案的种数为（） A ．10 B ．12 C ．14 D ．24 2．在（1－x 3）（1＋x ）10的展开式中x 5的系数是（）A ．－297B ．－252C ．297D ．2073．某班某天上午有五节课，需安排的科目有语文，数学，英语，物理，化学，其中语文和英语必须连续安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为（） A ．60B ．48C ．36D ．244．为深入贯彻实施党中央布置的“精准扶贫”计划，某地方党委政府决定安排5名党员干部到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名党员干部，则不同的分配方案共有（） A ．264种B ．480种C ．240种D ．720种5．某校高二年级共有六个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为（） A ．2264A CB ．22642A CC ．2264A AD ．262A6．“岂曰无衣，与子同袍”，“山川异域，风月同天”．自新冠肺炎疫情爆发以来，全国各省争相施援湖北，某医院组建了由7位援助专家组成的医疗队，按照3人、2人、2人分成了三个小组，负责三个不同病房的医疗工作，则不同的安排方案共有（） A ．105种 B ．210种 C ．630种 D ．1260种 7．有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数为（）A ．120B ．150C ．240D ．3008．甲乙和其他2名同学合影留念，站成两排两列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这4名同学的站队方法有（） A ．8种B ．16种C ．32种D ．64种9．5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为（） A ．10B ．40-C ．200D ．24010．已知8290129(3)(23)(1)(1)(1)x x a a x a x a x --=+-+-+⋅⋅⋅+-，则6a =（）A ．1792-B ．1792C ．5376-D ．537611．现有甲、乙、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1、2、3、4、5、6的六张卡片，现从甲、乙、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为（） A ．14B ．16C ．18D ．2012．为支援湖北抗击新冠疫情，无锡市某医院欲从6名医生和4名护士中抽选3人（医生和护士均至少有一人）分配到A ，B ，C 三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A 地区，则分配方案共有( ) A ．264种B ．224种C ．250种D ．236种二、填空题13．62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为________.14．用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中五个区域进行涂色，要求相邻区域所涂颜色不同，共有______种不同的涂色方法.（用数字回答）15．七位同事（四男三女）轮值办公室每周的清洁工作，每人轮值一天，其中男同事甲必须安排周日清洁，且三位女同事任何两位的安排不能连在一起，则不同的安排方法种数是_______（用数字作答）16．6人排成一排合影，甲乙相邻但乙丙不相邻，共有____（用数字）种不同的排法. 17．某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开四个班.选课结束后，有四名同学要求改修数学，但每班至多可再接收2名同学，那么不同的分配方案有______（用数字作答）18．若6(1)2xx x ⎛+- ⎝展开式中的常数项是60，则实数a 的值为_____． 19．二项式1232x x ⎛ ⎝，则该展开式中的常数项是______. 20．若多项式()()()10112110110112111x x a a x a x a x +=+++++++，则10a =______.三、解答题21．将8本不同的书，全部分给小赵、小钱、小孙、小李四人，在下列不同的情形下，分别有多少种不同的分法？（写出必要的数学式，结果用数字作答.）（1）每人分得2本；（2）有1人分得5本，其余3人各分得1本.22．将7名应届师范大学毕业生分配到3所中学任教.（最后结果用数字表示）（1）4个人分到甲学校，2个人分到乙学校，1个人分到丙学校，有多少种不同的分配方案？（2）一所学校安排4个人，一所学校安排2个人，一所学校1个人，有多少种不同的分配方案？（3）其中有两所学校都各安排3个人，另一所学校安排1个人，有多少种不同的分配方案？23．已知1(21)n x ++展开式的二项式系数和比(31)n x -展开式的偶数项的二项式系数和大48，求22nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项.24．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．（1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少? （2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少? （3）在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第几个? 25．设(,)(1)n f x n x =+，*n N ∈. （1）设260126(,6)f x a a x a x a x =++++，求0246a a a a +++的值；（2）求12320192019201920192019232019C C C C +++⋯+的值；（3）*n N ∈，化简01122310144444n n n n n n n n n n C C C C C -----++++.26．已知. （1）若，求及的值；（2）若，求最大的系数；（3）定义，若化简.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】分为甲分配到B 班和甲不分配到B 班两种情况来讨论分配方案种数，利用分类加法计数原理计算可得结果. 【详解】将分配方案分为甲分配到B 班和甲不分配到B 班两种情况： ①甲分配到B 班：有336A =种分配方案； ②甲不分配到B 班：有1122228A A A =种分配方案；由分类加法计数原理可得：共有6814+=种分配方案. 故选：C . 【点睛】方法点睛：本题主要考查排列数的应用.常见求法有：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.2．D解析：D 【解析】试题分析：因为31010310(1)(1)(1)(1)x x x x x -+=+-+所以310(1)(1)x x -+展开式中的5x 的系数是10(1)x +的展开式的中5x 的系数减去10(1)x +的2x 的系数由二项式定理，10(1)x +的展开式的通项为110r r r T C x += 令=5r ，则10(1)x +的展开式的中5x 的系数为510C 令2r，则10(1)x +的展开式的中2x 的系数为210C所以5x 的系数是510C -210C 25245207=-= 故答案选D 考点：二项式定理．【易错点晴】()n a b +的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指kn C ，它仅是与二项式的幂的指数n 及项数有关的组合数，而与a ，b 的值无关；而后者是指该项除字母外的部分，即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a ，b 的系数有关．在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别．[学_科_3．D解析：D 【分析】由排列组合中的相邻问题与不相邻问题得：不同的排课方法数为22222324A A A =，得解．【详解】先将语文和英语捆绑在一起，作为一个新元素处理，再将此新元素与化学全排，再在3个空中选2个空将数学和物理插入即可，即不同的排课方法数为22222324A A A =，故选：D ．【点睛】本题考查了排列组合中的相邻问题与不相邻问题，属中档题．4．C解析：C 【分析】先从5个党员干部里选2个，再从4个贫困村里选1个接受选出的2个党员，剩下的3名党员分配给3个贫困村，即得解.【详解】先从5个党员干部里选2个，有25C 种方法，再从4个贫困村里选1个接受选出的2个党员，有14C 种方法，剩下的3名党员分配给3个贫困村，有33A 种方法.所以共有213543240C C A =种方法.故选：C. 【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5．B解析：B 【分析】先将4名学生均分成两组，注意重合的部分要去掉，再从6个班级中选出2个班进行排列，最后根据分步计数原理得到合要求的安排方法数．【详解】解：先将4名学生均分成两组方法数为2412C ，再分配给6个年级中的2个分配方法数为26A ，∴根据分步计数原理合要求的安排方法数为224612C A ．故选：B ．【点睛】本题先考查的是平均分组问题，是一个易出错的问题，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．6．C解析：C 【分析】先对7名专家进行分组，然后进行全排列即可得解. 【详解】7位援助专家组成的医疗队，按照3人、2人、2人分成三个小组，负责三个不同病房的医疗工作，不同法人安排方法有：3223742322630C C C A A ⋅⋅⋅=（种）. 故选：C. 【点睛】本题考查分堆与分配的问题，考查逻辑思维能力和分析能力，属于常考题.7．B解析：B 【分析】由题意，分“其中1人3本，另2人每人一本”、“其中1人一本，另2人每人2本”两种情况讨论，由分类计数原理结合排列、组合的知识即可得解. 【详解】有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，分两种情况：①其中1人3本，另2人每人一本，有311352132260C C C A A ⋅=种； ②其中1人一本，另2人每人2本，有122354232290C C C A A ⋅=种．所以不同的分法有6090150+=种. 故选：B ．【点睛】本题考查了计数原理的应用，考查了运算求解能力与分类讨论思想，属于中档题.8．A解析：A 【分析】根据题意，分3步进行讨论：先在4个位置中任选一个安排甲，再安排乙，最后将剩余的2个人，安排在其余的2个位置，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分3步进行讨论：1、先安排甲，在4个位置中任选一个即可，有14C 4=种选法；2、在与甲所选位置不在同一排也不在同一列只有一个位置，安排乙，即1种选法；3、将剩余的2个人，安排在其余的2个位置，有222A =种安排方法；则这4名同学的站队方法有4128⨯⨯=种；故选：A . 【点睛】本题主要考查排列、组合的综合应用，注意要优先分析受到限制的元素，属于中档题.9．B解析：B 【分析】首先将5(3)(2)x x -+拆开得到555((2)3(23))(2)x x x x x =+-+-+，得到5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数与5(2)x +展开式中2x 项和3x 项的系数有关，化简求得结果. 【详解】555((2)3(23))(2)x x x x x =+-+-+，5(2)x +展开式中2x 项的系数为335280C ⋅=， 5(2)x +展开式中3x 项的系数为225240C ⋅=，所以5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为8034040-⨯=-，故选：B. 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有求两个二项式乘积展开式的系数问题，在解题的过程中，注意分析与哪些项有关，属于简单题目.10．D解析：D 【分析】将原式改写成88(3)(23)[2(1)][2(1)1]x x x x --=----，利用二项式定理解决系数问题即可得解. 【详解】88(3)(23)[2(1)][2(1)1]x x x x --=---- 290129(1)(1)(1)a a x a x a x =+-+-+⋅-+⋅⋅，所以26356882C 2C 2358417925376.a =⨯⨯+⨯=+= 故选：D 【点睛】此题考查二项式定理的理解辨析和应用，关键在于熟练掌握定理公式，根据公式处理系数关系.11．C解析：C 【分析】根据题意，若取出的卡片上的标号恰好成等差数列分三种情况，一是标号相等时，即所得的等差数列的公差为0，二是所得的等差数列公差为1或-1，三是所得的等差数列的公差为2或-2时，分别求出其不同的取法，再求和. 【详解】根据题意，若取出的卡片上的标号恰好成等差数列分三种情况，一是标号相等时，即全部为1、2、3、4、5、6时，有6种取法，二是所得的等差数列公差为1或-1，即1、2、3；3、2、1；…4、5、6；6、5、4等8种取法，三是所得的等差数列的公差为2或-2时，即1、3、5；5、3、1；…2、4、6；6、4、2等4种取法，所以共有68418++=种. 故选：C 【点睛】本题主要考查分类加法计算原理，还考查了分类讨论的思想和列举求解的能力，属于中档题.12．A解析：A 【分析】分类计数，考虑选取1名医生2名护士和选取2名医生1名护士两类情况求解. 【详解】当选取的是1名医生2名护士，共有126436C C =种选法，分配到A ，B ，C 三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A 地区，共有2224A =种，即一共364144⨯=种方案；当选取的是2名医生1名护士，共有216460C C =种选法，分配到A ，B ，C 三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A 地区，共有222A =种，即一共602120⨯=种方案.综上所述：分配方案共有264种. 故选：A 【点睛】此题考查分类计数原理和分步计数原理综合应用，涉及排列组合相关知识，综合性强.二、填空题13．240【分析】先求出二项式的展开式的通项公式令的指数等于求出的值即可求得展开式中的常数项【详解】展开式的通项公式令所以的展开式的常数项为故答案为【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数属于简单解析：240 【分析】先求出二项式6x⎛ ⎝的展开式的通项公式，令x 的指数等于0，求出r 的值，即可求得展开式中的常数项. 【详解】6x⎛- ⎝展开式的通项公式3662166(2),rr r r r r r T C x C x --+⎛==⨯-⨯ ⎝令36342r r -=⇒=,所以6x ⎛ ⎝的展开式的常数项为4462240C ⨯=,故答案为240. 【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C rn r rr n T ab -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14．240【分析】根据分步计数原理与分类计数原理列出每一步骤及每种情况计算即可【详解】从开始涂色有4种方法有3种方法①若与涂色相同则共有种涂色方法；②若与涂色不相同则有2种涂色方法当涂色相同时有3种涂色解析：240 【分析】根据分步计数原理与分类计数原理，列出每一步骤及每种情况，计算即可. 【详解】从A 开始涂色，A 有4种方法，B 有3种方法， ①若E 与B 涂色相同，则,C D 共有23A 种涂色方法； ②若E 与B 涂色不相同，则E 有2种涂色方法，当,C E 涂色相同时，D 有3种涂色方法；当,C E 涂色不相同时，C 有2种涂法，D 有2种涂色方法.共有()2343432322240A ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=种涂色方法.故答案为：240. 【点睛】本题考查排列组合，考查两种计数原理的应用，属于中档题.15．144【分析】优先安排男同事甲在星期日轮值有1种再安排其余3位男同事作全排列有最后安排女同事插在三个男同事中有最后根据分步用乘法的原理得：【详解】解：第一步：先安排男同事甲在星期日轮值有1种第二步：解析：144 【分析】优先安排男同事甲在星期日轮值有1种，再安排其余3位男同事作全排列有33A ，最后安排女同事插在三个男同事中有34A ，最后根据分步用乘法的原理得：331A ⨯34144A =. 【详解】解：第一步：先安排男同事甲在星期日轮值有1种，第二步：其余3位男同事作全排列有33A ，第三步：因为三位女同事任何两位的安排不能连在一起，所以后3位女同事插空安排有34A ，分步完成共有方法种数为：1⨯33A 34144A =. 故答案为：144. 【点睛】本题主要考查分步计数原理与排列，属于中档题.16．192【分析】先将甲乙两人捆绑在一起看成一个人且内部自排再与除丙外的其他人排列最后将丙插空放入保证与乙不相邻即可【详解】第一步：甲乙相邻共有种排法；第二步：将甲乙看成一个人与除丙外的其他人排列共有：解析：192 【分析】先将甲乙两人捆绑在一起看成一个人且内部自排，再与除丙外的其他3人排列，最后将丙插空放入，保证与乙不相邻即可.【详解】第一步：甲乙相邻，共有222A=种排法；第二步：将甲乙看成一个人，与除丙外的其他3人排列，共有：4424A=种排法；第三步：将丙插空放入，保证与乙不相邻，共有：144A=种排法；根据分步计数原理可得，共有2244192⨯⨯=种排法.故答案为: 192【点睛】本题主要考查有限制条件的排列问题，属于中档题.解有限制条件的排列问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确，分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终，同时需掌握有限制条件的排列问题的求解方法.17．【分析】由题意分三种情况讨论：①每个班接收1名同学；②其中一个班接收2名其余两个班各接收1名；③其中两个班不接收另两个班各接收2名由分类计数原理结合排列组合的知识计算即可得解【详解】由题意满足要求的解析：204【分析】由题意，分三种情况讨论：①每个班接收1名同学；②其中一个班接收2名，其余两个班各接收1名；③其中两个班不接收，另两个班各接收2名，由分类计数原理结合排列、组合的知识，计算即可得解.【详解】由题意，满足要求的情况可分为三种：①每个班接收1名同学，分配方案共有4424A=种；②其中一个班接收2名，其余两个班各接收1名，分配方案共有2133423422144C C ACA⋅⋅⋅=种；③其中两个班不接收，另两个班各接收2名，分配方案共有224436C C⋅=种；所以不同的分配方案有2414436204++=种.故答案为：204.【点睛】本题考查了计数原理的综合应用，考查了运算求解能力与分类讨论思想，属于中档题. 18．【分析】先得到的通项公式为若得到常数项当取1时令当取x时令解得再根据常数项为60求解【详解】因为的通项公式为若得到常数项当取1时令当取x时令解得或（舍）所以因为展开式的常数项为60所以解得故答案为：解析：2±【分析】先得到62x ⎛- ⎝的通项公式为1r T +=36626(1)2rr r r r C a x --+-⨯⨯⨯⨯，若得到常数项，当(1)x +取1时，令3602r -=，当(1)x +取x 时，令3612r -=-，解得r ，再根据常数项为60求解. 【详解】因为62x ⎛- ⎝的通项公式为16(1)rr r T C +=-⨯⨯636626(1)22rrr r r r r x C a x ---+⎛⎫⨯=-⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，若得到常数项，当(1)x +取1时，令3602r -=，当(1)x +取x 时，令3612r -=-，解得4r =或143r =（舍），所以4r =，因为6(1)2x x ⎛+⋅- ⎝展开式的常数项为60，所以446446(1)260C a -+-⨯⨯⨯=，解得2a =±．故答案为：2± 【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项公式以及常数项的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题．19．【分析】直接利用二项式定理计算得到答案【详解】二项式的展开式的通项为：取得到常数项为故答案为：【点睛】本题考查了二项式定理意在考查学生的计算能力和应用能力解析：552-【分析】直接利用二项式定理计算得到答案. 【详解】二项式122x ⎛ ⎝的展开式的通项为：()41231212112121221rrr r r rrr xx T C C --+-⎛=-⋅ ⎝⎛⎫⎛⎫=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取9r =得到常数项为()1299129152512C -⎛⎫⋅- =-⎪⎝⎭. 故答案为：552-. 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.20．【分析】由二项式定理及其展开式通项公式得展开式的通项为令解得则得解【详解】由展开式的通项为令解得则故答案为：【点睛】本题考查了二项式定理及其展开式通项公式意在考查学生对这些知识的理解掌握水平解析：22-【分析】由二项式定理及其展开式通项公式得111122[(1)1]x x =+-展开式的通项为111112(1)(1)r r r r T C x -+=+-，令1110r -=，解得1r =，则110112(1)22a C =⨯-=-，得解．【详解】由111122[(1)1]x x =+-展开式的通项为111112(1)(1)rr r r T C x -+=+-，令1110r -=，解得1r =，则110112(1)22a C =⨯-=-，故答案为：22-．【点睛】本题考查了二项式定理及其展开式通项公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．三、解答题21．（1）2520；（2）1344. 【分析】（1）将8本不同的书依次分给小赵、小钱、小孙、小李四人，每人2本，利用组合数原理可求得分法种数；（2）先选定一人分得5本，其余3本每人1本，利用分步乘法计数原理可求得分法种数. 【详解】（1）将8本不同的书依次分给小赵、小钱、小孙、小李四人，每人2本，由组合数原理可知，不同的分法种数为222286422520C C C C =种；（2）先选定一人分得5本，其余3本每人1本，由分步乘法计数原理可知，不同的分法种数为5138431344C C A =种. 【点睛】本题考查排列组合综合问题，考查了平均分组以及分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.22．（1）105种（2）630种（3）420种(1)利用组合的知识求解（2）先不均匀分组，再分配到学校即可求解（3）先不均匀分组，再分配即可【详解】（1）421731105C C C ⋅⋅=（种）（2）42137313630C C C A ⋅⋅⋅=（种）（3）3313741322420C C C A A =（种）【点睛】本题考查分组分配问题，注意是否为均匀分组，是易错题 23．（1）8064-；（2）415360x --. 【分析】（1）分别求出11)n +展开式的二项式系数和，(31)n x -展开式的偶数项的二项式系数和，利用两者差48列方程，解方程求出n 的值，22nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭二项式系数最大项为第1n +，即可求解；（2）设第1k +项系数绝对值最大，化简二项展开式的通项公式，利用系数绝对值最大项比前后两项的系数绝对值都大列不等式组，解不等式组求得k 的取值范围，由此求得k 的值【详解】（1）依题意112248,232,5n n n n +--==∴=， 102x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第6项二项式系数最大，即5556102()8064T C x x=-=-；（2）设第1k +项的系数的绝对值最大，则10102110102()(1)2k k k k kk k k T C xC x x--+=⋅⋅-=-⋅⋅⋅， 1110101110102222k k k k k k k k C C C C --++⎧⋅≤⋅∴⎨⋅≥⋅⎩，得110101101022k k k k C C C C -+⎧≤∴⎨≥⎩，即2221202k k k k -≥⎧⎨+≥-⎩，1922,733k k ∴≤≤∴=，所以系数的绝对值最大的是第8项，即77744810(1)215360T C x x --=-⋅⋅=-.【点睛】本题考查二项式系数和、二项式系数最大项、系数绝对值最大项，考查计算求解能力，属24．（1）36个（2）36个（2）49个【解析】【分析】（1）先排个位数，方法数有12C 种，然后排万位数，方法数有13C 种，剩下百位、十位和千位任意排，方法数有33A 种，再按分步乘法计数原理即可求得种类数.（2）把数字1和3捆绑在一起，则相当于有4个位置，最高位不为0，其余位置任意排；（3）计算出比30124小的五位数的情况，即可知道30124排第几个. 【详解】（1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有113233=236=36C C A ⨯⨯个；（2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有21323323636A C A =⨯⨯=个；（3）要求在组成的五位数中，要求得从小到大排列，30124排第几个，则计算出比30124小的五位数的情况，比30124小的五位数，则万位为1或2，其余位置任意排，即142422448C A =⨯=，故在组成的五位数中比30124小的数有48个，所以在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第49个. 【点睛】本小题主要考查简单的排列组合问题，主要是数字的排列.要注意的问题主要是有特殊条件或者特殊要求的，要先排特殊位置或优先考虑特殊要求.如本题中，第一问要求是奇数，那么就先排个位.由于数字的万位不能为零，故第二考虑的是万位，本小题属于基础题. 25．(1)32.（2）201820192⨯.（3）54n.【分析】（1）利用赋值法求解，令1x =和1x =-，两式相加可得；（2）利用11k k n n kC nC --=可求；（3）结合式子特点构造(41)n +可求. 【详解】（1）令1x =，得60126264a a a a +++⋯+== ① 令1x =-，得01260a a a a -+-⋯+= ② ①+②得024632a a a a +++=；（2）因为11k k n n kC nC --=所以12320192019201920192019232019C C C C ++++=()12201820182018201820182019C C C C ++++201820192=⨯；（3）01122310144444n n n n n n n n n n C C C C C -----+++⋯++011221144444n n n n nn n nnnC C C CC ---⎡⎤=+++++⎣⎦15(41)44nn=+=. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，结合组合数的性质，侧重考查数学解题模型的构建能力. 26．（1）（2）（3）【解析】【分析】(1)由赋值法得到相应的数值；（2）将参数值代入表达式得到其通项公式为，由不等式，可得到，进而得到；（3）按照组合数的展开公式，分组求和即可. 【详解】（1）若，，令,则，令，则所以.（2）若，其通项公式为，由不等式解得，且，∴.所以.（3）若,【点睛】本题考查二项式定理的应用,以及组合数公式的相关运算，考查推理能力与计算能力，属于中等题。

北师大版高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试(含答案解析)

一、选择题1．高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有（） A ．15种B ．90种C ．120种D ．180种2．某班级8位同学分成A ，B ，C 三组参加暑假研学，且这三组分别由3人､3人､2人组成.若甲､乙两位同学一定要分在同一组，则不同的分组种数为（） A ．140B ．160C ．80D ．1003．451)(1)x -的展开式中，4x 的系数为（） A ．－40B ．10C ．40D ．454．“岂曰无衣，与子同袍”，“山川异域，风月同天”．自新冠肺炎疫情爆发以来，全国各省争相施援湖北，某医院组建了由7位援助专家组成的医疗队，按照3人、2人、2人分成了三个小组，负责三个不同病房的医疗工作，则不同的安排方案共有（） A ．105种B ．210种C ．630种D ．1260种5．二项式n的展开式中第13项是常数项，则n =（）A ．18B ．21C ．20D ．306．甲、乙、丙、丁4人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（） A ．840B ．2226C ．2100D ．23527．袋中有大小相同的四个白球和三个黑球，从中任取两个球，两球同色的概率为（） A ．47B ．37C ．27D ．8218．5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为（） A ．10 B ．40-C ．200D ．2409．若5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一人站在自己原来的位置上的概率为（） A ．34B ．14C ．18D ．3810．安排3人完成5项不同工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式种数为（） A ．60 B ．150 C ．180 D ．24011．将20名学生任意分成甲、乙两组，每组10人，其中2名学生干部恰好被分在不同组内的概率为( )A ．192181020C C CB ．1921810202C C C C ．1921910202C C C D ．192191020C C C12．若()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为-1，则a 的值为( ) A ．1 B ．9 C ．-1或-9 D ．1或9二、填空题13．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为__________. 14．已知522()ax x-的展开式中1x -的系数为40-，则实数a =____ 15．设()28210012101(43)(21)(21)(21)x x a a x a x a x +-=+-+-++-，则1210a a a ++⋯+= ________．16．集合{}1,2,3,,14S =的4元子集{}1234,,,T a a a a =中，任意两个元素差的绝对值都不为2，这样的4元子集T 的个数有___个17．设a 为非零常数，已知(x 21x +)6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为2，则展开式中常数项等于_____.18．已知()723801238()(21)x m x a a x a x a R x a x m +-=+++++∈，若127a =，则()81ii i a =⋅∑的值为_______.19．已知数列{}n a 共有21项，且11a =， 2115a =，11(1,2,3,,20)k k a a k +-==，则满足条件的不同数列{}n a 有______个. 20．已知集合{}123456,,,,,AB C a a a a a a =，且集合{}123,,A B C a a a =，则集合A 、B 、C 所有可能的情况有__________种.三、解答题21．（1）某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只日语，其余2人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？（2）一批零件共有100个，次品率为10%，每次从其中任取一个零件，取出的零件不再放回去：求第三次才取得合格格品的概率.22．从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问： ①能组成多少个没有重复数字的七位数？ ②上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？③在①中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？ ④在①中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？23．江夏一中将要举行校园歌手大赛，现有3男3女参加，需要安排他们的出场顺序．（结果用数字作答．．．．．．．）（1）如果3个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？（2）如果女生甲在女生乙的前面（可以不相邻），那么有多少种不同的出场顺序？（3）如果3位男生都相邻，且女生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？24．从6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组，请解答下列问题：（1）如果这个医疗小组中男女医生都不能少于2人，共有多少种不同的建组方案？（用数字作答）（2）男医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须男女医生都有，共有多少种不同的建组方案？（3）男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率.（化成最简分数）25．（1）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有多少种方法？（2）由0,1,2,3,4,5这6个数字组成没有重复数字的四位偶数由多少个？（3）某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只会日语，其余2人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？26．2名女生、4名男生排成一排，求：（1）2名女生不相邻的不同排法共有多少种？（2）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据题意，5名同学需以“2，2，1”形式参加三个服务小组，即先把5名同学分成3组，每组人数为2，2，1人，再将3组分配的3个服务小组即可.【详解】解：根据题意，5名同学需以“2，2，1”形式参加三个服务小组，即先把5名同学分成3组，每组人数为2，2，1人，共有2215312215C C CA=种，再将三组分配到3个服务小组，共有2213 53132290C C CAA⋅=种，故选：B.【点睛】本题考查排列组合的部分平均分组分配问题，解题的关键是将5名同学以“2，2，1”形式参加三个服务小组，其中2，2是部分平均分组问题，需除以22A ，故有2215312215C C C A =种，再分配进而解决，是中档题.2．A解析：A 【分析】分两种情况讨论即甲､乙两位同学在A 组或B 组和甲､乙两位同学在C 组；【详解】甲､乙两位同学在A 组或B 组的情况有13652120C C ⨯=种，甲､乙两位同学在C 组的情况有336320C C =种，共计140种. 故选：A. 【点睛】本题考查计数原理的应用，考查数据处理能力.3．D解析：D 【分析】求出41)中的有理项，再求出5(1)x -中的相应项后，按多项式乘法法则计算．【详解】441)(1=展开式通项公式为2144r r rr r T C C x +==，所以0,2,4r =时，该项为有理项，x 的指数分别为0，1，2，55(1)(1)x x -=-展开式通项公式为515(1)kk k k T C x -+=-，所以所求4x 的系数为04232423454545(1)(1)(1)45C C C C C C ⨯-+⨯-+⨯-=，故选：D ．【点睛】本题考查二项式定理，掌握二项展开式通项公式是解题关键，对两个二项相乘，注意多项式乘法法则的应用．4．C解析：C 【分析】先对7名专家进行分组，然后进行全排列即可得解. 【详解】7位援助专家组成的医疗队，按照3人、2人、2人分成三个小组，负责三个不同病房的医疗工作，不同法人安排方法有：3223742322630C C C A A ⋅⋅⋅=（种）. 故选：C.【点睛】本题考查分堆与分配的问题，考查逻辑思维能力和分析能力，属于常考题.5．D解析：D 【分析】直接利用二项式定理计算得到答案. 【详解】二项式n的展开式中第13项1210121212313n n n n T C C x --⎛== ⎝，令1003n-=，得30n =. 故选：D. 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.6．B解析：B 【分析】分成三类：一类每个台阶站1人；二类一个台阶站2人，一个台阶1人，一个台阶1人；三类一个台阶站2人，一个台阶站2人，分类用加法原理可得. 【详解】每个台阶站1人有47840A =,一个台阶站2人，一个台阶1人，一个台阶1人有23471260C A , 一个台阶站2人，一个台阶站2人有273126A 所以共有840+1260+126=2226 故选：B. 【点睛】本题考查使用两个计数原理进行计数的基本思想:对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．7．B解析：B 【分析】根据题意可知，所选的两个球均为白球或黑球，利用组合计数原理与古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由题意可知，所选的两个球均为白球或黑球，由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率为22432737C C P C +==. 故选：B. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，涉及组合计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.8．B解析：B 【分析】首先将5(3)(2)x x -+拆开得到555((2)3(23))(2)x x x x x =+-+-+，得到5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数与5(2)x +展开式中2x 项和3x 项的系数有关，化简求得结果. 【详解】555((2)3(23))(2)x x x x x =+-+-+，5(2)x +展开式中2x 项的系数为335280C ⋅=， 5(2)x +展开式中3x 项的系数为225240C ⋅=，所以5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为8034040-⨯=-，故选：B. 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有求两个二项式乘积展开式的系数问题，在解题的过程中，注意分析与哪些项有关，属于简单题目.9．D解析：D 【分析】分两步分析：①先从5个人中选1人，其位置不变，有155C =种，②对于剩下的四个人，因为每个人都不能站在自己原来的位置上，有9种，恰有一人站在自己原来的位置上包含的基本事件数为45，再求出事件总数，按照古典概型概率公式即可求解. 【详解】5个人站成一排的基本事件的总数为55A ， 5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一人站在自己原来的位置，先从5个人中选1人，其位置不变，有155C =种，对于剩下的四个人，因为每个人都不能站在自己原来的位置上，因此第一个人有3种站法，被站位置的那个人也有3种站法，最后两人只有1种站法，故不同的调换方法有53345⨯⨯=，所以所求事件的概率为453 1208=.故选：D.【点睛】本题考查古典概型的概率，利用分步乘法原理和排列是解题的关键，属于中档题. 10．B解析：B【分析】根据题意，分2步进行分析：①、分两种情况讨论将5项工作分成3组的情况数目，②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①、将5项工作分成3组，若分成1、1、3的三组，有3115212210C C CA=种分组方法，若分成1、2、2的三组，有2215312215C C CA=种分组方法，则将5项工作分成3组，有101525+=种分组方法；②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有336A=种情况，则有256150⨯=种不同的分组方法；故选：B．【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意分组时要进行分类讨论，属于中档题．11．A解析：A【分析】由题意知本题是一个古典概型，先求出事件发生的总个数，再求出满足要求的事件个数，再根据古典概型的概率公式即可得出结果.【详解】由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是20名学生平均分成两组共有1020C种结果，而满足条件的事件是2名学生干部恰好被分在不同组内共有19218C C中结果，根据古典概型的概率公式得192181020 =C CPC.故选：A.【点睛】本题主要考查古典概型和组合问题，属于基础题.12．D解析：D 【分析】根据题意分析常数项由()2x a +中的某项与511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的某项项相乘所得,再二项式定理的通项公式求解即可. 【详解】由题可得,()2x a +中含2x 项与511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中含21x 项相乘可得常数项； ()2x a +中含x 项与511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中含1x 项相乘可得常数项； ()2x a +中的常数项与511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的常数项相乘可得常数项.故()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ()()()2134522122551112111010x C ax C a a a x x ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-+⋅-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故22101011090a a a a -+-=-⇒-+=,解得1a =或9a =. 故选：D 【点睛】本题主要考查了利用二项式定理,根据常数项求解参数的方法.需要根据题意分析常数项的所有可能组成,属于中档题.二、填空题13．【分析】将一班位同学捆绑在一起形成一个大元素与其它班位同学形成个元素然后再将二班位同学插空利用排列组合思想以及古典概型的概率公式可求得所求事件的概率【详解】将一班位同学捆绑在一起形成一个大元素与其它解析：120【分析】将一班3位同学捆绑在一起，形成一个大元素，与其它班5位同学形成6个元素，然后再将二班2位同学插空，利用排列组合思想以及古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】将一班3位同学捆绑在一起，形成一个大元素，与其它班5位同学形成6个元素，然后再将二班2位同学插空，由分步乘法计数原理以及古典概型的概率公式可知，所求事件的概率为3623671010120A A A A =. 故答案为：120. 【点睛】本题考查捆绑法与插空法的应用，同时也考查了利用古典概型的概率公式求事件的概率，考查计算能力，属于中等题.14．【分析】利用二项式定理写出二项展开式的通项公式令的幂指数为求出的值利用其系数为得到关于的方程解方程即可求解【详解】由二项式定理可得二项展开式的通项公式为令解得所以的展开式中的系数为解得故答案为：【点解析：1-【分析】利用二项式定理写出522()ax x -二项展开式的通项公式，令x 的幂指数为1-，求出r 的值，利用其系数为40-得到关于a 的方程，解方程即可求解.【详解】由二项式定理可得，522()ax x -二项展开式的通项公式为()()5553155222rrr r r r r r T C ax C a x x ---+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅⋅ ⎪⎝⎭，令531r -=-，解得2r ，所以522()ax x-的展开式中1x -的系数为()2235240C a ⋅-⋅=-，解得1a =-. 故答案为：1- 【点睛】本题考查利用二项式定理由二项展开式中某项的系数求参数；考查运算求解能力；利用二项式定理写出二项展开式的通项公式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.15．【分析】因为分别令和即可求得答案【详解】令原式化为令得故答案为:【点睛】本题主要考查了多项式展开式系数和解题关键是掌握求多项式系数和的解题方法考查了分析能力和计算能力属于中档题解析：34【分析】因为()()()()()8210201210143212121x x a a x a x a x +-=+-+-++-,分别令1x =和12x =,即可求得答案. 【详解】()()()()()8210201210143212121x x a a x a x a x +-=+-+-++-令1x =.∴原式化为012102a a a a =++++.令12x =,得054a =, ∴121053244a a a +++=-=. 故答案为: 34. 【点睛】本题主要考查了多项式展开式系数和,解题关键是掌握求多项式系数和的解题方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.16．367【分析】将集合中的元素分为奇数偶数然后分类讨论4元子集中的元素：4个全是奇数；奇偶；奇偶；偶奇；4个全是偶数；再利用组合数的运算即可求解【详解】由集合其中个奇数：；个偶数：；4元子集中任意两个解析：367 【分析】将集合S 中的元素分为奇数、偶数，然后分类讨论4元子集中的元素：4个全是奇数；3奇1偶；2奇2偶；3偶1奇；4个全是偶数；再利用组合数的运算即可求解. 【详解】由集合{}1,2,3,,14S =，其中7个奇数：1,3,5,7,9,11,13；7个偶数：2,4,6,8,10,12,14；4元子集{}1234,,,T a a a a =中，任意两个元素差的绝对值都不为2， 4个元素全是奇数：{}1,5,9,13，共1种.3个奇数1个偶数：3个奇数的取法有{}1,5,9，{}1,5,11，{}1,5,13，{}1,7,11，{}1,7,13，{}1,9,13，{}3,7,11，{}3,7,13， {}3,9,13，{}5,9,13，共10种，此时共有171070C ⨯=.2个奇数2个偶数：即奇数任意抽取2个需去除相邻项、偶数任意抽取2个需去除相邻项，即()()2277661515225C C --=⨯=.3个偶数1个奇数的情况与3个奇数1个偶数情况一样：171070C ⨯=. 4个全是偶数：{}2,6,10,14，共1种.所以满足题意的共有：170225701367++++=. 故答案为：367 【点睛】本题考查了组合数的应用，此题属于复杂的组合问题，考查了分类讨论的思想，属于中档题17．240【分析】根据(x2)的展开式中各项系数和为2令x=1得a=2再利用展开式的通项公式求出展开式中常数项【详解】∵(x2)的展开式中各项系数和为2∴令x=1得a=2或a=0(舍)又的通项6﹣2r 为解析：240 【分析】根据(x 21x +)6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为2，令x =1得a =2，再利用展开式的通项公式，求出展开式中常数项. 【详解】∵(x 21x +)6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为2，∴令x =1得()6212a ⋅-=，a =2或a =0(舍).又6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项()6216(2)0126r r r r T C x r -+=-=，，，，，6﹣2r 为偶数，故6﹣2r =﹣2即r =4.∴2612()x x x x⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为446(2)240C -=. 故答案为：240. 【点睛】本题考查二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题；考查求展开式的各项系数和的常用方法是赋值法.18．43【分析】因为的展开通项为：根据求的将所给等式两边求导即可求得的值【详解】的展开通项为：又等式两边求导可得：令得：故答案为：【点睛】本题解题关键是掌握多项式系数的求法和导数基础知识考查了分析能力和解析：43 【分析】因为7(21)x -的展开通项为：777177(2)(1)(1)2rrr rr r r r T C x C x ---+=⋅⋅-⋅-⋅⋅=，根据127a =，求的m ，将所给等式两边求导，即可求得()81i i i a =⋅∑的值.【详解】7(21)x -的展开通项为：777177(2)(1)(1)2r r r rr r r r T C x C x ---+=⋅⋅-⋅-⋅⋅=又777()(21)(21)(21)x m x x x m x +--+-=∴7661777011(1)2(1)211427a C m C m =⨯-⋅+⨯--+==⋅∴2m =80187(2)(21)x x a a x a x +-=++⋯+等式两边求导可得：762712381(21)(2)7(21)2238x x x a a x a x a x ⋅-++⋅⋅-⋅=+++⋯+6(21)(211428)x x x =--++67128(1627)(21)28x x a a x a x =+-=++⋯+令1x =，得：1282843a a a ++⋯=+∴()8143i i i a =⋅=∑故答案为：43 【点睛】本题解题关键是掌握多项式系数的求法和导数基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.19．【分析】转化条件得或求出满足的个数再利用组合的知识即可得解【详解】或设满足的个数为解得结合组合的应用满足要求的数列有个故答案为：【点睛】本题考查了数列递推公式的应用考查了组合的应用与转化化归思想属于解析：1140【分析】转化条件得11k k a a +-=或11k k a a +-=-，求出满足11k k a a +-=的个数，再利用组合的知识即可得解. 【详解】11k k a a +-=， ∴11k k a a +-=或11k k a a +-=-，设满足11k k a a +-=的个数为x ，()()()211212*********a a a a a a a a -=-+-+⋅⋅⋅+-=， ∴()()20114x x +-⋅-=，解得17x =，结合组合的应用，满足要求的数列有20217301140C C ==个. 故答案为：1140. 【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，考查了组合的应用与转化化归思想，属于中档题.20．【分析】由可知集合均含有元素作出韦恩图可知元素可以放在除之外的个区域中每个元素有个选择利用分步乘法计数原理可得结果【详解】如下图所示集合被分为了个区域由可知集合均含有元素则元素可以放在除之外的个区域解析：216【分析】由{}123,,AB C a a a =，可知集合A 、B 、C 均含有元素1a 、2a 、3a ，作出韦恩图，可知元素4a 、5a 、6a 可以放在除A B C ⋂⋂之外的6个区域中，每个元素有6个选择，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】如下图所示，集合A 、B 、C 被分为了7个区域，由{}123,,AB C a a a =，可知集合A 、B 、C 均含有元素1a 、2a 、3a ，则元素4a 、5a 、6a 可以放在除A B C ⋂⋂之外的6个区域中，每个元素有6个选择，由分步乘法计数原理可知，所有可能的情况种数为36216=. 故答案为：216. 【点睛】本题考查排列组合问题，考查分步乘法计数原理的应用，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题21．（1）92；（2）91078. 【分析】（1）通过分类的方式，求得每一类别的情况，最后利用分类加法计数原理求解即可；（2）分别计算出第一次，第二次取次品的概率和第三次取合格品的概率，第三次取合格品的概率为三者之积. 【详解】（1）若只会英语的人中选了3人作英语导游，共有3620C =种情况；若只会英语的人中选了2人作英语导游，共有12323560C C C =种情况；若只会英语的人中选了1人作英语导游，共有133412C C =种情况；由分类加法计数原理可得，共有：20601292++=种情况，综上：不同的选择方法有92种；（2）由题意知：次品总数为10个，合格品总数为90个，第一次取的一定是次品，概率为10110010=；第二次取的一定是次品，概率为919911=；第三次取的一定是合格品，概率为90459849=；所以第三次才取得合格格品的概率为114591011491078⨯⨯=. 综上：第三次才取得合格格品的概率为91078. 【点睛】本题主要考查了排列组合，考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理.属于中档题. 22．①100800；②14400；③5760；④28800 【分析】①分步完成：第一步计算在4个偶数中取3个的情况数目，第二步计算在5个奇数中取4个的情况数目，第三步将取出的7个数进行全排列，计算可得答案；②由①的第一、二步，将3个偶数排在一起，有33A 种情况，与4个奇数共5个元素全排列，计算可得答案；③由①的第一、二步，将3个偶数排在一起，有33A 种情况，4个奇数也排在一起有44A 种情况，将奇数与偶数进行全排列计算可得答案；④由①的第一、二步，可先把4个奇数取出并排好有4454C A 种情况，再将3个偶数分别插入5个空档，有3345C A 种情况，进而由乘法原理，计算可得答案．【详解】解：①分步完成：第一步在4个偶数中取3个，可有34C 种情况；第二步在5个奇数中取4个，可有45C 种情况；第三步3个偶数，4个奇数进行排列，可有77A 种情况，所以符合题意的七位数有347457100800C C A =个.②上述七位数中，三个偶数排在一起的有3453455314400C C A A =个.③上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有34342453425760C C A A A =个. ④上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空档，共有4454C A 334528800C A =个. 【点睛】对于有限制条件的排列问题，常见方法是分步进行，先组合再排列，这是乘法原理的典型应用．23．（1）144；（2）360；（3）108【分析】（1）根据题意，用插空法分2步进行分析：①、先将3名男生排成一排，②、男生排好后有4个空位，在4个空位中任选3个，安排3名女生，由分步计数原理计算可得答案；（2）根据题意，先不考虑甲乙的情况，将6人排成一排，又由女生甲在女生乙的前面和女生甲在女生乙的后面的排法是一样的，即可得答案；（3）根据题意，分3步进行分析：①、先将3名男生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，②、将除之外的两名女生和三名男生的整体全排列，③、分析女生甲的安排方法，由分步计数原理计算可得答案．【详解】（1）根据题意，分2步进行分析：①先将3名男生排成一排，有33A种情况，②男生排好后有4个空位，在4个空位中任选3个，安排3名女生，有34A种情况，则有3334144A A⨯=种不同的出场顺序；（2）根据题意，将6人排成一排，有66A种情况，其中女生甲在女生乙的前面和女生甲在女生乙的后面的排法是一样的，则女生甲在女生乙的前面的排法有6622360AA=种；（3）根据题意，分3步进行分析：①先将3名男生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有33A种情况，②将除之外的两名女生和三名男生的整体全排列，有33A种情况，③女生甲不在第一个出场，则女生甲的安排方法有13C种，则有313333108A C A=种符合题意的安排方法．【点睛】本题考查排列、组合的应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意分步、分类计数原理的应用．24．（1）75；（2）65；（3）13 18.【分析】(1)易得可能的情况有男医生3人女医生2人和男医生2人女医生3人.再用组合的方法求解即可.(2)先求得不考虑必须男女医生的总情况数,再减去只有男医生的情况数即可.(3)先计算男医生甲与女医生乙被同时选中的概率,再用1去减计算即可.【详解】(1)由题可能的情况有男医生3人女医生2人和男医生2人女医生3人,共3223636375C C C C+=种不同的建组方案.(2)由题,除开男医生甲后不考虑必须男女医生都有的建组方案共48876570 1234C⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种,其中只有男医生的情况数有455C=,不可能存在只有女医生的情况.故共有70565-=种不同的建组方案.(3)由题, 男医生甲与女医生乙被同时选中的概率为375935512618CC==.故男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率为513 11818 -=.【点睛】本题主要考查了组合的实际运用题,需要根据题意分析特殊元素满足的条件求解.同时在事件的正面情况数较多的情况下可以考虑先求事件的对立事件.属于中档题.25．（1）1560；（2）156；（3）92.【解析】【分析】（1）分为3,1,1,1和2,2,1,1两类分别计算，加和得到结果；（2）分为个位是0和个位不是0两类分别计算，加和得到结果；（3）分为只会英语的人中选了3人作英语导游、选了2人作英语导游和选了1人作英语导游三类分别计算，加和得到结果.【详解】（1）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有3,1,1,1和2,2,1,1两类分配方式为3,1,1,1时，共有：3114632433480C C CAA⋅=种分法分配方式为2,2,1,1时，共有：2214642422221080C C CAA A⋅=种分法由分类加法计数原理可得，共有：48010801560+=种分法（2）若个位是0，共有：3560A=个若个位不是0，共有：11224496C C A=个由分类加法计数原理可得，共有：6096156+=个（3）若只会英语的人中选了3人作英语导游，共有：3620C=种选法若只会英语的人中选了2人作英语导游，共有：12323560C C C=种选法若只会英语的人中选了1人作英语导游，共有：133412C C=种选法由分类加法计数原理可得，共有：20601292++=种选法【点睛】本题考查排列组合的综合应用问题，涉及到分组分配问题、元素位置有限制的排列组合问题等知识，关键是能够根据题目的要求进行合理的分类，最终通过分类加法计数原理得到结果.26．（1）480种（2）360种【分析】（1）不相邻问题利用插空法法；（2）女生顺序已定，先排女生，再排男生，最后根据分步乘法计算原理计算可得；【详解】解：（1）2名女生不相邻的排列可以分成2步完成：第一步将4名男生排成一排，有44A种排法；第二步排2名女生.由于2名女生不相邻，可以在每2名男生之间及两端共5个位置中选出2个排2名女生，有25A种排法.根据分步计数原理，不同的排法种数是42452420480A A=⨯=.（2）女生甲必须排在女生乙左边的排列可以分成2步完成：第一步：排2名女生，女生的顺序已经确定，这2名女生的排法种数为从6个位置中选出2个位置的组合数，即为26C；第二步：排4名男生.将4名男生在剩下的4个位置上进行排列的方法数有44A种.根据分步计数原理，不同的排法种数是24641524360C A=⨯=.答：分别有480和360种不同的排法.【点睛】本题考查简单的排列组合问题，属于中档题.。

北师大版高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试题(答案解析)

一、选择题1．从4名优秀学生中选拔参加池州一中数学、物理、化学三学科培优研讨会，要求每名学生至多被一学科选中，则每学科至少要选用一名学生的情况有（）种 A ．24B ．36C ．48D ．602．()()4221x x x -+-的展开式中x 项的系数为（）A ．9-B ．5-C ．7D ．83．某班某天上午有五节课，需安排的科目有语文，数学，英语，物理，化学，其中语文和英语必须连续安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为（） A ．60 B ．48 C ．36 D ．24 4．把4个不同的小球全部放人3个不同的盒子中，使每个盒子都不空的放法总数为（）A ．1333C AB ．3242C AC ．132442C C CD ．2343C A5．数列129,,,a a a ⋅⋅⋅中，恰好有6个7，3个4，则不相同的数列的个数( ) A ．69AB ．39AC ．39CD ．36C6．袋中有大小相同的四个白球和三个黑球，从中任取两个球，两球同色的概率为（） A ．47B ．37C ．27D ．8217．10名同学合影，站成前排4人后排6人，现摄影师要从后排6人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（） A ．2263C AB ．2666C AC ．2266C AD ．2265C A8．5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为（） A ．10B ．40-C ．200D ．2409．在12202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中, 2x 项的系数为( ) A ．10B ．25C ．35D ．6610．现有甲、乙、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1、2、3、4、5、6的六张卡片，现从甲、乙、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为（） A ．14B ．16C ．18D ．2011．若()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为-1，则a 的值为( ) A ．1 B ．9C ．-1或-9D ．1或912．41(1)x x++的展开式中常数项为（） A ．18B ．19C ．20D ．21二、填空题13．函数()y f x =的定义域D 和值域A 都是集合{12,3}，的非空真子集，如果对于D 内任意的x ，总有()()x f x xf x ++的值是奇数，则满足条件的函数()y f x =的个数是_____；14．若9m x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为84，则m =_________.15．若在83(3)(1)a x x +-关于x 的展开式中，常数项为4，则2x 的系数是______________．16．在二项式12312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，该二项展开式中系数最大的项为___________．17．有5本不同的书，全部借给3人，每人至少1本，共有______种不同的借法.18．植树造林，绿化祖国．某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块上的ABCDGFE 七点处各种植一棵树苗，且关于抛物线的如图所示，其中A 、B 、C 分别与E 、F 、G 关于抛物线的对称轴对称，现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法数是_____（用数字作答）．19．将5名上海世博会的志愿者分配到中国馆、美国馆、英国馆工作，要求每个国家馆至少分配一名志愿者且其中甲、乙两名志愿者不同时在同一个国家馆工作，则不同的分配方案有________种．20．,,,,,A B C D E F 六人并排站成一排，,A B 必须站在一起，且,C D 不能相邻，那么不同的排法共有_____种（结果用数字表示）.三、解答题21．若2nx x ⎛+ ⎝展开式的二项式系数之和是64．（1）求n 的值；（2）求展开式中的常数项．22．某校阅览室的一个书架上有6本不同的课外书，有5个学生想阅读这6本书，在同一时间内他们到这个书架上取书.（1）求每个学生只取1本书的不同取法种数；（2）求每个学生最少取1本书，最多取2本书的不同取法种数；（3）求恰有1个学生没取到书的不同取法种数.23．若423401234(2x a a x a x a x a x =++++ （1）求2a 的值；（2）求2202413()()a a a a a ++-+ 24．已知1(2)4n x +的展开式前三项的三项式系数的和等于37 ，求：（1）展开式中二项式系数最大的项的系数．（2）展开式中系数最大的项．25．（1）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有多少种方法？（2）由0,1,2,3,4,5这6个数字组成没有重复数字的四位偶数由多少个？（3）某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只会日语，其余2人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？26．有2名男生、3名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法?（以下各题请用数字作答）（1）甲不在中间也不在两端；（2）甲、乙两人必须排在两端；（3）男、女生分别排在一起；（4）男女相间；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】首先，根据题意，分析得出应该分两类情况，共选3人参加研讨会和4名学生都参加，之后各自应用分步计数原理求得结果，之后应用分类加法计数原理求得结果. 【详解】依题意，分两类情况：（1）每个学科选1人，共选3人参加研讨会，从4名学生中选3名进行排列即可，有3424A =种情况；（2）4名学生都参加，则必然有2名学生参加同一学科的研讨会，先从4名学生中选2名看作一个整体，有246C =选法，将这个整体与其他学生全排列即可，有336A =种排法，根据分步计数原理，共有6636⨯=种情况，综上所述，根据分类计数原理可得，每学科至少一名学生的情况有263460+=种，故选：D. 【点睛】该题考查的是有关排列组合的综合题，涉及到的知识点有分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于简单题目.2．A解析：A 【分析】将()()4221x x x -+-化简为:2444(1)(1)2(1)x x x x x --+--,写出4(1)x -二项展开式的通项公式(4)14(1)rr r r T C x -+=⋅-,即可求得答案.【详解】 ()()42244421(1)(1)2(1)x x x x x x x x -+---+-=-4(1)x -二项展开式的通项公式(4)14(1)r r r r T C x -+=⋅- 24(1)x x -中不含x 项,无需求解.4(1)x x --中含x 项,即当4r =时(44444)(1)x C xx --⋅⋅=--42(1)x -中含x 项,即当3r =时(43)34328(1)C x x -⋅=-- ∴ ()()4221x x x -+-的展开式中x 项9x -故选:A. 【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项,解题关键是掌握二项展开式的通项公式,考查分析能力和计算能力,属基础题.3．D解析：D 【分析】由排列组合中的相邻问题与不相邻问题得：不同的排课方法数为22222324A A A =，得解．【详解】先将语文和英语捆绑在一起，作为一个新元素处理，再将此新元素与化学全排，再在3个空中选2个空将数学和物理插入即可，即不同的排课方法数为22222324A A A =，故选：D ．【点睛】本题考查了排列组合中的相邻问题与不相邻问题，属中档题．4．D解析：D 【分析】利用捆绑法选择两个球看成整体，再全排列得到答案. 【详解】选择两个球看成整体，共有24C 种取法，再把三个球放入三个盒子中，有33A 种放法，故共有2343C A 种放法. 故选：D. 【点睛】本题考查了排列和组合的应用，意在考查学生的应用能力，利用捆绑法是解题的关键.5．C解析：C 【分析】把129,,,a a a ⋅⋅⋅看成9个位置，从这9个位置中，任取3个位置放4（或任取6个位置放7），即得不相同的数列的个数. 【详解】把129,,,a a a ⋅⋅⋅看成9个位置，从这9个位置中，任取3个位置放4（或任取6个位置放7），其余6个位置放7（或其余3个位置放4），有39C （或69C ）种不同的取法. 每种取法放3个4都有一种方法，剩下的6个位置放6个7有1种方法. 所以不相同的数列共有39C （或69C ）个. 故选：C . 【点睛】本题考查排列组合，属于基础题.6．B解析：B 【分析】根据题意可知，所选的两个球均为白球或黑球，利用组合计数原理与古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由题意可知，所选的两个球均为白球或黑球，由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率为22432737C C P C +==. 故选：B. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，涉及组合计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.7．C解析：C 【分析】分两步：1.首先先从后排6人中选2人出来；2.将这2人与前排4人排列，且前排4人的相对顺序不变，可以看成有6个位置，先选2个位置排这2人，其他4人按原顺序排列，再由乘法原理计算即可. 【详解】首先先从后排6人中选2人出来，共26C 种不同选法，将这2人与前排4人排列，且前排4 人的相对顺序不变，可以看成有6个位置，先选2个位置排这2人有26A 种不同排法，其余位置按4人原顺序排好只有1种排法，由乘法原理，得不同调整方法的总数是2266C A . 故选：C 【点睛】本题考查排列与组合的应用，涉及到定序排列问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.8．B解析：B 【分析】首先将5(3)(2)x x -+拆开得到555((2)3(23))(2)x x x x x =+-+-+，得到5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数与5(2)x +展开式中2x 项和3x 项的系数有关，化简求得结果. 【详解】555((2)3(23))(2)x x x x x =+-+-+，5(2)x +展开式中2x 项的系数为335280C ⋅=， 5(2)x +展开式中3x 项的系数为225240C ⋅=，所以5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为8034040-⨯=-，故选：B. 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有求两个二项式乘积展开式的系数问题，在解题的过程中，注意分析与哪些项有关，属于简单题目.9．D解析：D 【分析】分析12202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式的本质就是考虑12个202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，每个括号内各取202011,,x x 之一进行乘积即可得到展开式的每一项，利用组合知识即可得解.【详解】12202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式考虑12个202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，每个括号内各取202011,,x x 之一进行乘积即可得到展开式的每一项，要得到2x 项，就是在12个202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭中，两个括号取x ，10个括号取1，所以其系数为21266C =. 故选：D 【点睛】此题考查求多项式的展开式指定项的系数，关键在于弄清二项式定理展开式的本质问题，将问题转化为计数原理组合问题.10．C解析：C 【分析】根据题意，若取出的卡片上的标号恰好成等差数列分三种情况，一是标号相等时，即所得的等差数列的公差为0，二是所得的等差数列公差为1或-1，三是所得的等差数列的公差为2或-2时，分别求出其不同的取法，再求和. 【详解】根据题意，若取出的卡片上的标号恰好成等差数列分三种情况，一是标号相等时，即全部为1、2、3、4、5、6时，有6种取法，二是所得的等差数列公差为1或-1，即1、2、3；3、2、1；…4、5、6；6、5、4等8种取法，三是所得的等差数列的公差为2或-2时，即1、3、5；5、3、1；…2、4、6；6、4、2等4种取法，所以共有68418++=种. 故选：C 【点睛】本题主要考查分类加法计算原理，还考查了分类讨论的思想和列举求解的能力，属于中档题.11．D解析：D 【分析】根据题意分析常数项由()2x a +中的某项与511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的某项项相乘所得,再二项式定理的通项公式求解即可. 【详解】由题可得,()2x a +中含2x 项与511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中含21x 项相乘可得常数项； ()2x a +中含x 项与511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中含1x 项相乘可得常数项； ()2x a +中的常数项与511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的常数项相乘可得常数项.故()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ()()()2134522122551112111010x C ax C a a a x x ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-+⋅-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故22101011090a a a a -+-=-⇒-+=,解得1a =或9a =. 故选：D 【点睛】本题主要考查了利用二项式定理,根据常数项求解参数的方法.需要根据题意分析常数项的所有可能组成,属于中档题.12．B解析：B 【分析】 41(1)x x ++展开式的141()r r r T C x x +=+，(0r =，1，⋯，4)．1()r x x+的通项公式：211()k r k k k r k k r r T C x C x x--+==，令2r k =，进而得出．【详解】解：41(1)x x ++展开式的141()r r r T C x x+=+，(0r =，1，⋯，4)． 1()r x x +的通项公式：211()k r k k k r k k r r T C x C x x--+==，令2r k =，可得：0k =时，0r =；1k =时，2r ，2k =时，4r =．41(1)x x∴++展开式中常数项21424244119C C C C =+⨯+⨯=．故选：B ．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题13．【分析】化简得因此中至少一个为奇数再分两种情况讨论得解【详解】因为所以中至少一个为奇数定义域为的都可以有种；定义域为的函数所以有种；所以共种故答案为：29【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键：其一是解析：29【分析】化简得()()(1)(()1)1,x f x xf x x f x ++=++-因此(),f x x 中至少一个为奇数，再分两种情况讨论得解. 【详解】因为()()(1)(()1)1,x f x xf x x f x ++=++- 所以(),f x x 中至少一个为奇数，定义域为{1},{3},{1,3}的都可以，有3333=15++⨯种；定义域为{}{}{}2,1,2,2,3的函数(2){1,3}f ∈，所以有23223=14+⨯+⨯种；所以共29种. 故答案为：29 【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键：其一是分析出(),f x x 中至少一个为奇数，其二是合理分类讨论.14．【分析】由题意二项式展开式的通项为结合题意求得进而得到关于的方程即可求解【详解】求得二项式的展开式的通项为当解得此时所以解得故答案为：【点睛】求二项展开式的特定项问题实质时考查通项的特点一般需要建立解析：1-. 【分析】由题意，二项式展开式的通项为9219(1)r r r rr T m C x -+=-⋅⋅，结合题意，求得3r =，进而得到关于m 的方程，即可求解. 【详解】求得二项式9m x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为992199()(1)r r r r r r rr m T C x m C x x --+=-=-⋅⋅，当923r -=，解得3r =，此时333349(1)T m C x =-⋅⋅，所以3339(1)84m C -⋅⋅=，解得1m =-. 故答案为：1-. 【点睛】求二项展开式的特定项问题，实质时考查通项1C rn r rr n T ab -+=的特点，一般需要建立方程求得r 的值，再将r 的值代入通项求解，同时注意r 的取值范围（0,1,2,,r n =）.15．【分析】将式子转化为两个式子相加的形式再利用二项式定理计算得到答案【详解】展开式的通项为：取得到常数项为故分别取和得到的系数是：故答案为：【点睛】本题考查了二项式定理意在考查学生的计算能力和应用能力解析：56-【分析】将式子转化为两个式子相加的形式，再利用二项式定理计算得到答案. 【详解】888(3)(1(13(1a a x x +=+，8(1展开式的通项为：(()88831881r rrr r r T C C x---+==⋅-⋅，取8r =得到常数项为1，故4a =. 分别取2r和=5r 得到2x 的系数是：()2588413156C C ⨯⨯+⨯⨯-=-.故答案为：56-. 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.16．【分析】先求出展开式通项得出系数要使展开式中系数最大只需该项系数不小于前一项系数也不小于后一项系数建立关于项数的不等式求解即可【详解】二项式的展开式通项为若第系数最大需满足即整理得解得所以该二项展开解析：20126720x【分析】先求出展开式通项，得出系数，要使展开式中系数最大，只需该项系数不小于前一项系数，也不小于后一项系数，建立关于项数r 的不等式，求解即可. 【详解】二项式12312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为31212364112121(2)()2r r r r r r r T C x C x x ---+==，0,1,2,12r =，若第1r +系数最大，需满足1213112121211112122222r r r r r r r r C C C C -----+⎧≥⎨≥⎩，即12!212!!(12)!(1)!(13)!212!12!!(12)!(1)!(11)!r r r r r r r r ⨯⎧≥⎪---⎪⎨⨯⎪≥⎪-+-⎩，整理得121321121r rr r ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，解得1013,,433r r N r ≤≤∈∴=， 8420205122126720T C x x ==,所以该二项展开式中系数最大的项为20126720x . 故答案为：20126720x . 【点睛】本题考查二项展开式定理的应用，熟记通项是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.17．150【分析】将5本不同的书分成满足题意的3组有113与221两种分别计算可得分成113与分成221时的分组情况种数相加可得答案【详解】解：将5本不同的书分成满足题意的3组有113与221两种分成1解析：150 【分析】将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分别计算可得分成1、1、3与分成2、2、1时的分组情况种数，相加可得答案．【详解】解：将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有3353C A 种分法，分成2、2、1时，有22353322C C A A 种分法，所以共有223335353322150C C C A A A +=种分法，故答案为：150．【点睛】本题考查组合、排列的综合运用，解题时，注意加法原理与乘法原理的使用．18．36【分析】先选四个位置上的重复树苗有种方法再利用相同元素的排列问题（除序法）即可解决问题【详解】解：由题意对称相当于3种树苗种四个位置有且仅有一种树苗重复有种选法；在四个位置上种植有种方法则由乘法解析：36 【分析】先选四个位置上的重复树苗有13C 种方法，再利用相同元素的排列问题（除序法）即可解决问题．【详解】解：由题意对称相当于3种树苗种A ，B ，C ，D 四个位置，有且仅有一种树苗重复，有13C种选法；在四个位置上种植有442212A A =种方法，则由乘法原理得131236C ⨯=种方法．故答案为：36．【点睛】本题考查排列组合，计数原理的应用，本题运用除序法，可以避免讨论，简化计算．属于中档题．19．114【分析】本题是一个分类计数问题每个国家馆至少分配一名志愿者则有两种不同的情况当按照221安排时共有当按照113安排时有其中包括甲和乙在一个馆里的情况减去不合题意的结果即可【详解】由题意知本题是解析：114 【分析】本题是一个分类计数问题，每个国家馆至少分配一名志愿者，则有两种不同的情况，当按照2，2，1安排时，共有223533902C C A=，当按照1，1，3安排时，有335360C A=，其中包括甲和乙在一个馆里的情况，减去不合题意的结果即可．【详解】由题意知本题是一个分类计数问题，每个国家馆至少分配一名志愿者，则有两种不同的情况，每一个馆的人数分别是2，2，1；1，1，3当按照2，2，1安排时，共有223 533902C C A=，当按照1，1，3安排时，有335360C A=，其中包括甲和乙在一个馆里的情况，当甲和乙在同一个馆里时，共有234336C A=，∴满足条件的排列法共有906036114+-=，故答案为：114.【点睛】本题考查计数原理的应用，解题的关键是先分组再做分配，考查加法原理和乘法原理的实际应用，属于中等题.20．144【分析】根据题意分2步进行分析：①将两人看成一个元素与人进行全排列易得排好后有4个空位；②在4个空位中任选2个安排由分步计数原理计算可得答案【详解】解：根据题意分2步进行分析：①将两人看成一个解析：144【分析】根据题意，分2步进行分析：①将AB两人看成一个元素，与2EF人进行全排列，易得排好后有4个空位；②在4个空位中任选2个，安排C、D，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①将AB两人看成一个元素，与2EF人进行全排列，有232312A A=种排法，排好后有4个空位，②在4个空位中任选2个，安排C、D，有2412A=种情况，则有1212144⨯=种不同的排法.故答案为：144.【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意常见的相邻和不相邻问题的处理方法有捆绑法和插空法．三、解答题21．（1）6；（2）60 【分析】由二项式系数和求出指数n ，再写出展开式通项后可得常数项. 【详解】（1）由题意得，二项式系数之和为012264n n n n n n C C C C ++++==，6n ∴=；（2）通项公式为366622166(2)2r r rrrr r T C x xC x----+==，令3602r-=，得4r = ∴展开式中的常数项为4464256(2)60T C x x--==．【点睛】该题主要考查二项式定理，在()na b +展开式中二项式系数为2n ，只与指数n 有关，求特定项时要注意通项的正确应用. 22．（1）720（2）2520（3）7800 【分析】（1）直接利用排列公式得到答案.（2）将情况分为：每个学生只取1本书；一个学生取2本书，其余学生每人取一本书这两种情况，分别计算相加得到答案.（3）将情况分为：1个学生取3本书，3个学生每人取1本书，1个学生取0本书； 2个学生每人取2本书，2个学生每人取1本书，1个学生取0本书，计算得到答案. 【详解】（1）每个学生只取1本书的不同取法种数为56720A =种. （2）每个学生最少取1本书，最多取2本书分两种情况：第一种，每个学生只取1本书，取法为56A ；第二种，一个学生取2本书，其余学生每人取一本书.确定取2本书的学生有15C 种方法，这个学生取哪2本书有26C 种方法，其余4个学生取剩下的4本书且每人一本有44A 种方法，故一个学生取2本书，其余学生每人取一本书取法为124564C C A . 所以，每个学生最少取1本书，最多取2本书的不同取法为5124656472018002520A C C A +=+=种.（3）恰有1个学生没取到书分两种情况：第一种，1个学生取3本书，3个学生每人取1本书，1个学生取0本书，取法种数为3565C A .第二种，2个学生每人取2本书，2个学生每人取1本书，1个学生取0本书，取法种数为22564522C C A A .所以恰有1个学生没取到书的不同取法种数为2222355356464655652222(2045)1207800C C C C C A A C A A A ⎛⎫+=+=+⨯= ⎪⎝⎭种.【点睛】本题考查了排列组合公式的应用，意在考查学生的应用能力和理解能力. 23．(1) 72 ；(2) 1 【分析】（1）求2a 时，可通过二项展开式的通项去求解；（2）先观察式子特征，注意到可进行平方差变形；然后根据1x =±时的值来计算最终结果. 【详解】（1）因为222224C (2)a x x =，所以22224C (2)72a ==；（2）22024130123401234()()()()a a a a a a a a a a a a a a a ++-+=++++-+-+当1x =时，401234(2a a a a a ++++=；当1x =-时，401234(2a a a a a --+-+=；所以2244402413()()2)2)(34)1a a a a a ++-+==-=. 【点睛】对于230123()...nn f x a a x a x a x a x =+++++形式的展开式，奇次项系数和：(1)(1)2f f +-，偶次项系数和：(1)(1)2f f --，所有项系数和：(1)f .24．(1)358(2) 8782T x =,8892T x =. 【分析】（1）由题设条件，求得8n =，得到二项式81(2)4x +展开式中第5项的二项式系数最大，利用二项式的通项，即可求解；（2）设二项展开式的第r 项的系数最大，列出不等式组，求得78r ≤≤，得到展开式中系数最大的项为第8项及第9项，即可求解．【详解】（1）由1(2)4n x +的展开式前三项的三项式系数的和等于37，即01237n n n C C C ++=，解得8n =，即二项式81(2)4x +，所以展开式中第5项的二项式系数最大，因此由444444581703524168T C x x x ⎛⎫=⋅⋅== ⎪⎝⎭可知此项的系数为358.（2）设二项展开式的第r 项的系数最大，则891188871188112244112244r rr rr r r rr r r r C C C C ------++⎧⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得78r ≤≤，所以展开式中系数最大的项为第8项及第9项，即177787881224T C x x ⎛⎫=⋅= ⎪⋅⎝⎭，088888981224T C x x ⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查二项式定理的通项的应用，属于中档试题，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C rn r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用．25．（1）1560；（2）156；（3）92. 【解析】【分析】（1）分为3,1,1,1和2,2,1,1两类分别计算，加和得到结果；（2）分为个位是0和个位不是0两类分别计算，加和得到结果；（3）分为只会英语的人中选了3人作英语导游、选了2人作英语导游和选了1人作英语导游三类分别计算，加和得到结果. 【详解】（1）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有3,1,1,1和2,2,1,1两类分配方式为3,1,1,1时，共有：3114632433480C C C A A ⋅=种分法分配方式为2,2,1,1时，共有：2214642422221080C C C A A A ⋅=种分法由分类加法计数原理可得，共有：48010801560+=种分法（2）若个位是0，共有：3560A =个若个位不是0，共有：11224496C C A =个由分类加法计数原理可得，共有：6096156+=个（3）若只会英语的人中选了3人作英语导游，共有：3620C =种选法若只会英语的人中选了2人作英语导游，共有：12323560C C C =种选法若只会英语的人中选了1人作英语导游，共有：133412C C =种选法由分类加法计数原理可得，共有：20601292++=种选法【点睛】本题考查排列组合的综合应用问题，涉及到分组分配问题、元素位置有限制的排列组合问题等知识，关键是能够根据题目的要求进行合理的分类，最终通过分类加法计数原理得到结果.26．（1）48；（2）12；（3）24；（4）12. 【分析】（1）特殊元素优先安排，甲不在中间也不在两端，先将甲排好，其余全排列即可；（2）特殊元素优先安排，先排甲、乙，其余人全排列；（3）相邻问题用捆绑；（4）不相邻问题用插空；【详解】解：（1）依题意甲不在中间也不在两端，首先安排甲有12A 种排法，其余人全排列有44A ，按照分步乘法计数原理可得一共有142448A A =（种）（2）先排甲、乙有22A 种排法，其余人全排列有33A ，按照分步乘法计数原理可得一共有232312A A =（种）（3）将男女分别捆绑再排列有22322324A A A =（种）（4）男女相间用插空法，先排女生有33A 种排法，再将男生插入女生所形成的2个空档里有22A 种排法，故共有323212A A =（种）【点睛】本题主要考查排列组合的实际应用，常见的排列问题的处理方法的应用，属于中档题．。

北师大版高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测题(包含答案解析)(2)

一、选择题1．4(12)x -的展开式中2x 的系数为（）A ．6B ．24C ．32D ．482．若多项式()210011x x a a x +=++()()91091011a x a x +++++，则9a =（）A ．9B ．10C ．-9D ．-103．如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方从 1 按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列： 1,3,3,4,6,5,10,...，记此数列的前n 项之和为n S ，则 21S 的值为（）A ．66B ．153C ．295D ．3614．某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为 A ．14B ．16C ．20D ．485．已知1021001210(12)...x a a x a x a x -=++++，则1231023...10a a a a ++++=（）A ．20-B ．15-C ．15D ．206．若2020220200122020(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，则下列结果不正确的是（）A ．01220201a a a a +++⋯+=B ．20201352019132a a a a -++++⋯+=C ．20200242020132a a a a ++++⋯+=D ．202012220201222a a a ++⋯+=- 7．若10521001210(1)(1)(1)x x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-，则5a 为（） A ．251B ．250C ．252D ．2498．现某路口对一周内过往人员进行健康码检查安排7名工作人员进行值班，每人值班1天，每天1人，其中甲乙两人需要安排在相邻两天，且甲不排在周三，则不同的安排方法有( ) A ．1440种B ．1400种C ．1320种D ．1200种9．某医院计划从3名医生，9名护士中选派5人参加湖北新冠肺炎疫情狙击战，要求选派的5人中至少要有2名医生，则不同的选派方法有（） A ．495种 B ．288种 C ．252种 D ．126种 10．现有6位同学站成一排照相，甲乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（）A ．720B ．360C ．240D ．12011．五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一个五音阶音序，且宫、羽不相邻，且位于角音阶的同侧，可排成的不同音序有（） A ．20种B ．24种C ．32种D ．48种12．式子22223459C C C C ++++=（）A ．83B ．84C ．119D ．120二、填空题13．已知正整数n ，二项式322nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含有7x 的项，则n 的最小值是________.14．83被5除所得的余数是_____________．15．某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开四个班.选课结束后，有四名同学要求改修数学，但每班至多可再接收2名同学，那么不同的分配方案有______（用数字作答） 16．有4位同学和2位教师一起合影．若教师不能坐在两端，也不坐在一起，则有_________种坐法．17．已知集合{}()*1,2,,,2U n n N n =⋅⋅⋅∈≥，对于集合U 的两个非空子集A ，B ，若AB =∅，则称(),A B 为集合U 的一组“互斥子集”.记集合U 的所有“互斥子集”的组数为()f n （视(),A B 与(),B A 为同一组“互斥子集”）.那么()f n =______.18．从0，1，2，3，4，5这6个数字中任取3个组成一个无重复数字的三位数，其中奇数的个数是__________.19．若()626012612x a a x a x a x -=++++，则126a a a +++的值为__________.20．从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数是_____．三、解答题21．将8本不同的书，全部分给小赵、小钱、小孙、小李四人，在下列不同的情形下，分别有多少种不同的分法？（写出必要的数学式，结果用数字作答.）（1）每人分得2本；（2）有1人分得5本，其余3人各分得1本. 22．已知，n ∈N *.（1）设f (x )＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n ，①求a 0+a 1+a 2+…+a n ；②若在a 0，a 1，a 2，…，a n 中，唯一的最大的数是a 4，试求n 的值；（2）设f (x )＝b 0+b 1(x +1)+b 2(x +1)2+…+b n (x +1)n ，求.23．若()()()()()821020121011222x x a a x a x a x +-=+-+-+⋅⋅⋅+-.（Ⅰ）求12310a a a a +++⋅⋅⋅+的值;（Ⅱ）求13579a a a a a ++++的值.24．在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其它没一个数值是它肩上的两个数之和，这三角形数阵开头几行如图所示．（1）证明：111mm m n nn C C C ++++=；（2）求证：第m 斜列中（从右上到左下）的前K 个数之和一定等于第m +1斜列中的第K个数，即()11111*112212m m m m m m m m m m m k m k C C C C C C m m k N ------+++-+-++++⋯+=≥∈，，（3）在杨辉三角形中是否存在某一行，该行中三个相邻的数之比为3：8：14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由．25．一个盒子中装有大小相同的小球n 个，在小球上分别标有1，2，3…，n 的号码，已知从盒子中随机取出两个球，两球号码的最大值为n 的概率为14．（Ⅰ）盒子中装有几个小球？（Ⅱ）现从盒子中随机地取出4个球，记所取4个球的号码中，连续自然数的个数的最大值为随机变量X （如取标号分别为2，4，6，8的小球时1X =；取标号分别为1，2，4，6的小球时2X =；取标号分别为1，2，3，5的小球时3X =），求(2)P X =的值． 26．3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数.（要求每问要有适当的分析过程，列式并算出答案）（1）选其中5人排成一排；（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；（3）全体站成一排，男、女各站在一起；（4）全体站成一排，男生不能站在一起；（5）全体站成一排，甲不站排头也不站排尾.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用二项展开式的通项可得14(2),0,1,2,3,4r rr T C x r +=-=，令2r 可求得结果.【详解】因为4(12)x -的第1r +项展开式14(2),0,1,2,3,4rrr T C x r +=-=，令2r，则含2x 项系数为224(2)24C -=，故选：B ．【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有二项展开式通项的应用，项的系数，属于简单题目.2．D解析：D 【解析】()()9011010019910999991...1[...]nn n x C C x C x a x a C C x C x +=++⇒+=++，()10101a x +=019910101010101010(...)a C C x C x C x ++++，根据已知条件得9x 的系数为0，10x 的系数为19999910101010101010011a a C a C a a C =-⎧⋅+⋅=⎧⇒⇒⎨⎨=⋅=⎩⎩ 故选D. 3．D解析：D 【解析】试题分析：观察杨辉三角结合其中数的来源，可得到这个数列的通项公式.n a 当n 为偶数时，42n n a +=；当n 为奇数时，0212322233551,3,6,C C C C C C ======,所以()()232138n n n n a C +++==，所以21S =()()()()22221352124620124622224622758a a a a a a a a ⎡⎤+++++++++=++++++++++⎣⎦()122423112475286753618⎡⎤=⨯⨯+⨯+=+=⎣⎦，故选D. 考点：归纳推理与数列求和.4．B解析：B 【解析】由间接法得32162420416C C C -⋅=-=，故选B ．5．D解析：D【分析】观察所求系数的和，可知原式两边求导，再赋值求解. 【详解】原式两边求导数，得()99212310201223...10x a a x a x a x --=++++当1x =时，123102023...10a a a a =++++. 故选：D 【点睛】本题考查二项式定理系数和，导数计算，重点考查转化的思想，属于中档题型.6．B解析：B 【分析】令1x =，得到0120201a a a ++⋯+=，令1x =-，求得202001220203a a a a =-++⋯+，令0x =，求得01a =，进而逐项判定，即可求解.【详解】由题意，二项展开式2020220200122020(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，令1x =，可得01220202020(12)1a a a a +++⋯+-==，①令1x =-，可得2020012202020203(123)a a a a a -=+-++⋯+=，②令0x =，可得20020(10)1a =-=，③由①-②，可得20201352019132a a a a -+++⋯+=，由①+②，可得2020024*******a a a a ++++⋯+=，令12x =，可得20202020120220201(12)12222a a a a +++⋯+=-⨯=，所以202012220201222a a a ++⋯+=-. 综上可得，A 、C 、D 是正确的，B 是错误的. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了二项展开式的系数问题的求解，其中解答中合理利用二项展开式的形式，合理赋值是解答的关键，着重考查推理与计算能力.7．A解析：A 【分析】根据题意，5a 是展开式中()51x -的系数，因此将等式左边变形为关于1x -的二项式，再求()51x -的系数. 【详解】由题意，()()1051051111x x x x -=-+--+，又()()()()10109011010101011111x C x C x C x -+=⋅-+⋅-++⋅-，()()()()55401555511111x C x C x C x -+=⋅-+⋅-++⋅-，因为，()()()21010501210111x x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-，即55101251a C =-=.故选：A. 【点睛】本题考查了二项式定理中展开式的系数，关键是将已知等价变形，得到关于()1nx -的二项式，属于基础题.8．D解析：D 【分析】根据题意,分2步进行分析: ①将甲、乙按要求安排，②将剩下的5人全排列，安排在剩下的5天，由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分2步进行分析:①要求甲、乙安排在相邻两天，且甲不排在周三，先把周一周二、周二周三、⋯、周六周日看作6个位置，任选一个位置，排上甲乙两人，有126212A A =种方法，其中甲排在周三去掉，则甲乙的安排方法有1262210A A -=种,②将剩下的5人全排列，安排在剩下的5天，有55120A =种情况；由分步计数乘法原理知，则有101201200⨯=种安排方法. 故选：D 【点睛】本题主要考查了排列、组合的实际应用，涉及分步计数原理的应用，属于中档题.9．B解析：B 【分析】题意分两种情况，①选派2名医生，3名护士，②选派3名医生，2名护士，分别计算，再根据分类加法计算原理计算可得；【详解】解：依题意分两种情况，①选派2名医生，3名护士，则有2339252C C =（种）； ②选派3名医生，2名护士，则有323936C C =（种）；按照分类加法计算原理可知，一共有2332393936252288C C C C +=+=（种）.故选：B 【点睛】本题考查简单的组合问题，分类加法计算原理，属于中档题.10．C解析：C 【分析】6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起，这是相邻问题，一般用“捆绑法”.将甲乙两名同学“捆绑”在一起，看成一个元素，再与剩下的4人一起全排列，根据分步计数原理即可得出结果. 【详解】将甲乙“捆绑”在一起看成一个元素，与其余4人一起排列，而甲和乙之间还有一个排列，共有5252240A A =. 故选：C. 【点睛】本题考查了排列组合、两个基本原理的应用，相邻问题“捆绑法”求解，属于基础题.11．C解析：C 【分析】根据角所在的位置，分两类：角排在一或五；角排在二或四.根据分类计数原理和排列组合的知识可得．【详解】若角排在一或五，有22232A A =24种；若角排在二或四，有22222A A 8=. 根据分类计数原理可得，共有24832+＝种. 故选：C ．【点睛】本题考查排列组合和计数原理，属于基础题.12．C解析：C 【分析】根据组合数的计算公式111rr r n n n C C C ++++=，化简运算，即可求解.【详解】由题意，根据组合数的计算公式111rr r n n n C C C ++++=，可得22223459C C C C ++++=32222334591C C C C C +++++-322244591C C C C =++++-32235591011119C C C C =+++-==-=.故选：C. 【点睛】本题主要考查了组合数的化简与运算，其中解答中熟记组合数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力.二、填空题13．【分析】确定展开式的通项令的指数为即可求得结论【详解】二项式的展开式通项为令可得当时取最小值故答案为：【点睛】本题考查二项展开式通项的应用考查学生的计算能力属于中等题解析：4【分析】确定展开式的通项，令x 的指数为7，即可求得结论．【详解】二项式322nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()3351222kn k k k kn k k n n T C x C x x --+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭. 令357n k -=，可得573k n +=，当1k =时，n 取最小值4. 故答案为：4. 【点睛】本题考查二项展开式通项的应用，考查学生的计算能力，属于中等题.14．1【分析】变形利用二项式定理展开即可求出被除所得的余数【详解】因为所以转化为求被除所得的余数因为所以被除所得的余数是1故答案为：1【点睛】本题主要考查了利用二项式定理研究整除问题考查了推理运算能力属解析：1 【分析】变形883(52)=-，利用二项式定理展开即可求出被5除所得的余数. 【详解】因为883(52)=-0817262778088888855(2)5(2)5(2)5(2)C C C C C =⋅+⋅⨯-+⋅⨯-++⋅⨯-+⋅⨯- 071625277808888885(55(2)5(2)(2))5(2)C C C C C =⋅+⋅⨯-+⋅⨯-++-+⋅⨯-，所以转化为求80885(2)256C ⋅⨯-=被5除所得的余数，因为2565151=⨯+，所以83被5除所得的余数是1，故答案为：1 【点睛】本题主要考查了利用二项式定理研究整除问题，考查了推理运算能力，属于中档题.15．【分析】由题意分三种情况讨论：①每个班接收1名同学；②其中一个班接收2名其余两个班各接收1名；③其中两个班不接收另两个班各接收2名由分类计数原理结合排列组合的知识计算即可得解【详解】由题意满足要求的解析：204【分析】由题意，分三种情况讨论：①每个班接收1名同学；②其中一个班接收2名，其余两个班各接收1名；③其中两个班不接收，另两个班各接收2名，由分类计数原理结合排列、组合的知识，计算即可得解. 【详解】由题意，满足要求的情况可分为三种：①每个班接收1名同学，分配方案共有4424A =种；②其中一个班接收2名，其余两个班各接收1名，分配方案共有2133423422144C C A C A ⋅⋅⋅=种；③其中两个班不接收，另两个班各接收2名，分配方案共有224436C C ⋅=种；所以不同的分配方案有2414436204++=种. 故答案为：204. 【点睛】本题考查了计数原理的综合应用，考查了运算求解能力与分类讨论思想，属于中档题.16．144【分析】先排4位同学将教师插入4位同学产生的3个空位中再由乘法原理即可得到答案【详解】先排4位同学共有种不同排法由于教师不能坐在两端也不坐在一起将2位老师插入4位同学产生的3个空位中共种不同排解析：144 【分析】先排4位同学，将教师插入4位同学产生的3个空位中，再由乘法原理即可得到答案. 【详解】先排4位同学共有44A 种不同排法，由于教师不能坐在两端，也不坐在一起，将2位老师插入4位同学产生的3个空位中，共23A 种不同排法，由乘法原理，共有4243144A A =种不同排法.故答案为：144 【点睛】本题考查排列的实际应用，涉及到特殊元素分析法，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.17．【分析】根据任意一个元素只能在集合之一中以及的非空子集个数即可求得【详解】根据题意任意一个元素只能在集合之一中则这个元素在集合中共有种；其中为空集的种数为为空集的种数为个故可得均为非空子集的种数为又解析：()113212nn +-+ 【分析】根据任意一个元素只能在集合(),,U A B C C A B =⋃之一中，以及,A B 的非空子集个数，即可求得. 【详解】根据题意，任意一个元素只能在集合(),,U A B C C A B =⋃之一中，则这n 个元素在集合,,A B C 中，共有3n 种；其中A 为空集的种数为2n ，B 为空集的种数为2n 个，故可得,A B 均为非空子集的种数为1321n n +-+，又因为(),A B 与(),B A 为同一组“互斥子集，故()()113212nn f n +=-+. 故答案为：()113212nn +-+. 【点睛】本题考查集合新定义，涉及排列组合的求解，属综合中档题.18．48【分析】根据题意分3步进行分析：①从135三个数中取一个排个位；②0不能在百位则百位的安排方法有4种；③在剩下的4个数中任选1个安排在十位由分步计数原理计算可得答案【详解】解：根据题意分3步进行解析：48 【分析】根据题意，分3步进行分析：①从1、3、5三个数中取一个排个位；②0不能在百位，则百位的安排方法有4种；③在剩下的4个数中任选1个，安排在十位，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分3步进行分析：①从1、3、5三个数中取一个排个位，有3种安排方法， ②0不能在百位，则百位的安排方法有4种，③在剩下的4个数中任选1个，安排在十位，有4种情况，则符合题意的奇数的个数是为34448⨯⨯=个. 故答案为：48. 【点睛】本题考查排列组合及简单的计算原理，采用特殊元素特殊位置优先考虑的方法.19．0【分析】在所给的等式中分别令令从而求得的值【详解】解：令可得再令可得故答案为：0【点睛】本题考查二项式定理的应用二项展开式的通项公式二项式系数的性质利用赋值法是解题的关键【分析】在所给的等式中，分别令0x =，令1x =，从而求得126a a a ++⋯+的值．【详解】解：6260126(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，令0x =，可得01a =，再令1x =，可得12611a a a +++⋯+=，1260a a a ∴++⋯+=，故答案为：0．【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，利用赋值法是解题的关键．20．【分析】因为所以从这五个数中每次取出两个不同的数分别为共可得到的不同值的个数可看作共可得到多少个不同的数【详解】解：首先从这五个数中任取两个不同的数排列共种排法因为所以从这五个数中每次取出两个不同的解析：18【分析】因为lg lg lg a a b b-=，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数可看作共可得到多少个不同的数a b . 【详解】解：首先从1，3，5，7，9这五个数中任取两个不同的数排列，共2520A =种排法，因为3913=，1339=，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数为：20218-=，故答案为：18.【点睛】本题考查了排列组合及简单的计数问题，属于基础题.三、解答题21．（1）2520；（2）1344.【分析】（1）将8本不同的书依次分给小赵、小钱、小孙、小李四人，每人2本，利用组合数原理可求得分法种数；（2）先选定一人分得5本，其余3本每人1本，利用分步乘法计数原理可求得分法种数.（1）将8本不同的书依次分给小赵、小钱、小孙、小李四人，每人2本，由组合数原理可知，不同的分法种数为222286422520C C C C=种；（2）先选定一人分得5本，其余3本每人1本，由分步乘法计数原理可知，不同的分法种数为5138431344C C A=种.【点睛】本题考查排列组合综合问题，考查了平均分组以及分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.22．（1）①；②n＝12或13；（2）(2n+1﹣2﹣n)【解析】【分析】（1）①可令x＝1，代入计算可得所求和；②可得f(x)＝(x+2)n＝(2+x)n的通项公式，a r最大即为a r≥a r﹣1，且a r≥a r+1，化简计算，结合不等式的解，可得所求值；（2）由f(x)＝[1+(x+1)]n，可得b r＝C，r＝0，1，…，n，推得，再由二项式定理，计算可得所求和.【详解】解：（1）①由(x+2)n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，可令x＝1，可得3n＝a0+a1+a2+…+a n，即a0+a1+a2+…+a n＝3n；②f(x)＝(x+2)n＝(2+x)n，可得a r2n﹣r x r，r＝0，1，…，n，若在a0，a1，a2，…，a n中，a r最大，可得，即为，化为，由于r＝4时为a4唯一的最大值，可得n＝12，13；（2）由f(x)＝b0+b1(x+1)+b2(x+1)2+…+b n(x+1)n，且f（x）＝[1+(x+1)]n，可得b r＝C，r＝0，1，…，n，则，由••，则(C )(2n +1﹣2﹣n ).【点睛】本题考查二项式定理，考查赋值法求系数和，考查组合数的性质．解题关键是掌握二项式展开式通项公式，在展开式中第项系数为，则由可得系数最大项的项数． 23．（Ⅰ）2555（Ⅱ）1280【分析】（Ⅰ）令2x =，则05a =，再取3x =代入计算得到答案.（Ⅱ）令1x =得到012310+0a a a a a --+⋅⋅⋅+=，联立（1）中方程计算得到答案.【详解】（Ⅰ）令2x =，则05a =.令3x =，则012310++2560a a a a a ++⋅⋅⋅+=，所以12310+2555a a a a ++⋅⋅⋅+=；（Ⅱ）令1x =，则012310+0a a a a a --+⋅⋅⋅+=，故13579+1280a a a a a +++=.【点睛】本题考查了二项展开式中的系数和，取特殊值是解题的关键.24．（1）见解析（2）见解析（3）45，120，210【分析】（1）化成阶乘处理即可．（2）将这列数表示出来，利用（1）的结论即可得到．（3）假设存在第n 行的第r-1，r ，r+1个数满足这三个数之比为3：8：14，列方程求r ，若n ，r 为不小于2的正整数，即为所求．【详解】解：（1）1mm n n C C ++=()!!!n m n m -+()()!1!1!n m n m +-- =()()()!11!!n m m n m ++-+()()()!1!!n n m m n m -+- =()()()!11!!n m n m m n m ++-+- =()()()()1!1!11!n m n m +⎡⎤++-+⎣⎦=11m n C ++．所以原式成立．（2）由（1）得111m m m n nn C C C ++++= 左边=1111122m m m m m m mm m m k C C C C C ----+++-++++⋯+ =1111122m m m m m m m m k C C C C ---++++-+++⋯+=…=122m m m k m k C C -+-+-+=1m m k C +-=右边∴原命题成立（3）设在第n 行的第r -1，r ，r +1个数满足3：8：14即113814r r r n n n C C C -+=：：：：解的{103n r ==∴三个数依次为45，120，210【点睛】本题考查了二项式定理的性质，组合数的性质的证明，主要考查组合数的计算，考查观察、归纳、总结的能力．属于中档题．25．（Ⅰ）8个；（Ⅱ）4(2)7P X ==. 【分析】（Ⅰ）由题意计算出两球号码的最大值为n 的情况共有11n C -种，利用古典概型概率公式可得11214n n C C -=，即可得解；（Ⅱ）由题意，未被选中的4个小球会形成5个空位（包括两端），取出的小球相当于要插入这些空位中（可以多个小球插入同一空位），将2X =分为“4个小球仅有2个小球的编号连续”和“4个小球有2个小球的编号连续，另外2个小球的编号也连续”两种情况分类计算，最后由古典概型概率公式即可得解.【详解】（Ⅰ）从盒子中随机取出两个球，两球号码的最大值为n 的情况共有11n C -种，则11214n n C C -=，解得8n =，所以盒中共有8个小球；（Ⅱ）由题意，未被选中的4个小球会形成5个空位（包括两端），取出的小球相当于要插入这些空位中（可以多个小球插入同一空位），2X =表示取出的4个小球的编号连续的个数的最大值为2，可分为两类：①4个小球仅有2个小球的编号连续，则要在5个空位中选出三个，其中一个放入2个小球，所以共有取法315330C C ⋅=种；②4个小球有2个小球的编号连续，另外2个小球的编号也连续，则只需在5个空位中选出两个，所以共有取法2510C =种；综上，4830104(2)7P X C +===. 【点睛】本题考查了计数原理的综合应用及古典概型概率的求解，考查了转化化归思想与分类讨论思想，属于中档题.26．（1）2520；（2）5040；（3）288；（4）1440；（5）3600.【分析】相邻问题一般看作一个整体处理，利用捆绑法，不相邻问题一般用插空法，特殊位置优先考虑，即可求解．【详解】解：（1）从7人中选其中5人排成一排，共有55752520C A =种排法；（2）排成前后两排，前排3人，后排4人，共有775040A =种排法；（3）全体站成一排，男、女各站在一起，属于相邻问题，男生必须站在一起，则男生全排列，有33A 种排法，女生必须站在一起，则女生全排列，有44A 种排法，男生女生各看作一个元素，有22A 种排法；由分布乘法的计数原理可知，共有234234288A A A =种方法；（4）全体站成一排，男生不能站在一起，属于不相邻问题，先安排女生，有44A 种排法，把3个男生插在女生隔成的5个空位中，有35A 种排法，由分布乘法的计数原理可知，共有43451440A A =种方法；（5）全体站成一排，男不站排头也不站排尾，则优先安排甲，从除去排头和排尾的5个位置中安排甲，有15A 种排法，再对剩余的6人进行全排列，有66A 种排法，所以共有16563600A A =种方法．【点睛】本题考查排列和组合的实际应用，涉及相邻和不相邻问题，利用了捆绑法、插空法和特殊位置优先考虑的方法，考查分析和计算能力．。

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5.2 二项式系数的性质
一、基础过关
1．已知(a ＋b )n 的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n 等于
( )
A ．11
B ．10
C ．9
D ．8
2．已知⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋33x n
展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等
于
( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
3． (x －1)11展开式中x 的偶次项系数之和是
( )
A ．－2 048
B ．－1 023
C ．－1 024
D ．1 024
4． (1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式中各项系数和为
( )
A ．2n ＋1
B ．2n －1
C ．2n ＋
1－1
D ．2n ＋
1－2
5．若⎝⎛⎭
⎫x ＋1
x n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 ( )
A ．10
B ．20
C ．30
D ．120
6． (1＋2x )n 的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，展开式中二项式系数最大的项
为第______项．二、能力提升 7．在⎝
⎛⎭
⎪⎫1x ＋51x 3n 的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是( ) A ．330 B ．462 C ．682
D ．792
8．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14与第15
个数的比为2∶3.
第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1
第5行1510105 1
9．已知(1＋2x)100＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a100(x－1)100，求a1＋a3＋a5＋…＋a99的值．
10．已知(1＋3x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．
11．设(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 013·x2 013 (x∈R)．
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 013的值；
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 013的值；
(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 013|的值．
三、探究与拓展
12．已知(3
x＋x2)2n的展开式的系数和比(3x－1)n的展开式的系数和大992，求⎝⎛⎭⎫
2x－
1
x
2n的
展开式中：
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数的绝对值最大的项．
答案
1．D 2.C 3.C 4.D 5.B 6.6、7 7.B 8．34
9．解令x ＝2，可以得到5100＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100， ① 令x ＝0，可以得到1＝a 0－a 1＋a 2－…＋a 100，
②
由①②得a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99 ＝1
2
(5100－1)． 10．解由题意知，C n n ＋C n －
1n ＋C n －
2
n ＝121，
即C 0n ＋C 1n ＋C 2
n ＝121，
∴1＋n ＋n (n －1)2
＝121，即n 2＋n －240＝0，解得：n ＝15或－16(舍)．
∴在(1＋3x )15展开式中二项式系数最大的项是第8、9两项，且T 8＝C 715(3x )7＝C 71537x 7
，T 9＝C 815(3x )8＝C 81538x 8.
11．解 (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 013＝(－1)2 013＝－1.
① (2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2 013＝32 013.
②
与①式联立，①－②得
2(a 1＋a 3＋…＋a 2 013)＝－1－32 013， ∴a 1＋a 3＋…＋a 2 013＝－1＋32 0132
.
(3)T r ＋1＝C r 2 013(－2x )r ＝(－1)r ·
C r
2 013(2x )r ， ∴a 2k －1<0，a 2k >0 (k ∈N *)． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2 013| ＝a 0－a 1＋a 2－…－a 2 01
3 ＝32 013(令x ＝－1)．
12．解由题意得22n －2n ＝992，解得n ＝5.
(1)⎝⎛⎭⎫2x －1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大，即T 6＝C 510·(2x )5·⎝⎛⎫－1x 5＝－8 064. (2)设第r ＋1项的系数的绝对值最大，则T r ＋1＝C r 10·(2x )10－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r ·C r 10·
210－
r ·x 10－2r
.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
C r 10·210－
r ≥C r －
110·210－r ＋
1
，C r 10·210－r ≥C r ＋110
·210－r －1
，
得⎩
⎪⎨⎪⎧
C r 10≥2C r －
110，2C r 10≥C r ＋1
10，即⎩
⎪⎨⎪⎧
11－r ≥2r ，2(r ＋1)≥10－r . ∴83≤r ≤11
3
，∴r ＝3，故系数的绝对值最大的是第4项
T 4＝(－1)3C 310·27·x 4＝－15 360x 4.。

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