扬州市2020年5月高三数学第二次模拟卷附答案解析

江苏省扬州中学2024学年高三5月底高考模拟考试数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若816S =，61a =，则数列{}n a 的公差为（ ）A ．32B ．32-C ．23D ．23- 2．若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是（ ）A ．1-B ．23C ．32D ．43．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，2n 这2n 个数填入n n ⨯方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方．定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f =，则(10)f =（ ）A ．55B ．500C ．505D ．50504．如图所示的程序框图输出的S 是126，则①应为（ ）A ．5?n ≤B ．6?n ≤C ．7?n ≤D ．8?n ≤5．抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()06,A y 是C 上一点，||2AF p =，则p =（ ）A ．8B ．4C ．2D ．16．已知集合A {}0,1,2=，B={}(2)0x x x -<,则A∩B=A ．{}1B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,27．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知33a =1b e -=，3ln 28c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >>9．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ）A ．33y x =±B ．3y x =±C ．22y x =± D ．2y x =± 10．已知二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象如图所示，则函数()'()x g x e f x =+的零点所在区间为（ ）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)11．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“1x y <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件12．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.A ．5.45B ．4.55C ．4.2D ．5.8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省扬州市2020届高三数学下学期5月调研测试试题（含解析）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上.）1.已知集合{}|12A x x =-<<，{}|0B x x =>，则A B =______.【答案】{}|02x x << 【解析】 【分析】利用集合的交运算即可求解.【详解】由集合{}|12A x x =-<<，{}|0B x x =>， 所以AB ={}|02x x <<.故答案为：{}|02x x <<【点睛】本题主要考查了集合的交概念以及运算，属于基础题. 2.已知()12i z i -=+，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为_______.【答案】2【解析】 【分析】利用复数的乘除运算求出213122i z i i +==+-，再根据复数模的运算z =即可求解.【详解】()()()()()212131312111222i i i i i z i z i i i i ++++-=+⇒====+--+，所以2z ==.故答案为：2【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及复数模的求法，属于基础题.3.已知某校高一、高二、高三年级分别有1000、800、600名学生，现计划用分层抽样的方法抽取120名学生去参加社会实践，则在高三年级需抽取_______名学生. 【答案】30 【解析】 【分析】首先算出高三年级学生人数在总学生人数中占的比例，然后将比例与抽取的学生人数相乘即可求解.【详解】高三年级在总学生人数中占的比例：600110008006004=++，所以高三年级需抽取人数为：1120304⨯=. 故答案为：30【点睛】本题考查了分层抽样的特征，掌握分层抽样的概念以及特征是解题的关键，属于基础题.4.如图伪代码的输出结果为_______.【答案】15 【解析】 【分析】分析程序语言，得出该程序运行后是计算并输出S 的值，写出运行结果即可. 【详解】该程序运行后是计算并输出：1234515S =++++=. 故答案为：15【点睛】本题考查了程序语言的问题，考查了学生的推理能力，难度较小，属于基础题.5.若实数x ，y 满足0110x y x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩，则2x y -的最小值为_______.【答案】-1【分析】作出约束条件的可行域，令2z x y =-，平移直线2y x =，转化为2y x z =-截距的最大值即可求解.【详解】作出约束条件0110x y x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩的可行域，如图（阴影部分）：令2z x y =-，转化为2y x z =-截距的最大值作出直线2y x =，平移该直线，当直线经过点A 时，直线2y x z =-的截距最大，10x x y =⎧⎨+-=⎩， 解得0x =，1y =，即()0,1A ， 所以min 2011z =⨯-=-. 故答案为：-1【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域、理解目标函数的几何意义，考查了数形结合的思想，属于基础题.6.已知{}1,1a ∈-，{}3,1,2b ∈-，则直线10ax by 不经过第二象限的概率为_______. 【答案】16【分析】(),a b 包含的基本事件总数236n =⨯=，直线10axby 不经过第二象限，从而0a ≥，0b ≤，由此利用列举法能求出直线不经过第二象限的概率.【详解】直线：10ax by ，若{}1,1a ∈-，{}3,1,2b ∈-，∴(),a b 包含的基本事件总数236n =⨯=，直线10ax by 不经过第二象限，∴0a ≥，0b ≤，∴满足直线10ax by 不经过第二象限的(),a b 有：()1,3-，共1种情况. ∴直线10ax by 不经过第二象限的概率为16P =. 故答案为：16【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式，列举法求基本事件个数，属于基础题.7.已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的虚轴长为_______.【答案】【解析】 【分析】求出抛物线的焦点()3,0F ，从而求出b ，进而求出虚轴长2b 即可. 【详解】抛物线212y x =的焦点()3,0F ，双曲线22214x y b -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，2249b c ∴+==，解得b =所以2b =故答案为：【点睛】本题考查了双曲线、抛物线的简单几何性质，需掌握双曲线的虚轴以及双曲线、抛物线的焦点，属于基础题. 8.已知α为锐角，且1cos()63πα+=，则cos α=_______.【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系可得sin()63πα+=，由cos cos 66ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角差的余弦公式展开即可求解. 【详解】由α为锐角，且1cos()63πα+=，所以sin()63πα+==， 所以cos cos cos cos sin sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1132=+【点睛】本题考查了两角差的余弦公式、同角三角函数的基本关系，需熟记公式，属于基础题.9.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1633a a a =，且4a 与5a 的等差中项为2，则5S =_______.【答案】121 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式可得25211341134a q a q a q a q ⎧=⎨+=⎩，解得181a =，13q =，再利用等比数列的前n 项和公式即可求解.【详解】由题意， 1633a a a =，且4a 与5a 的等差中项为2，设等比数列{}n a 的公比为q ，所以25211341134a q a q a q a q ⎧=⎨+=⎩，解得181a =，13q =， 所以55181********S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-. 故答案为：121【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式以及等比数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题.10.正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，O 为上底面ABCD 的中心，设正四棱柱1111ABCD A B C D -与正四棱锥1111O A B C D -的侧面积分别为1S 、2S ，则12S S =_______.【解析】 【分析】由题意画出图形，求出正四棱锥的斜高，再分别求出正四棱柱与正四棱锥的侧面积即可求解. 【详解】如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，则正四棱柱1111ABCD A B C D -的侧面积为：142324S =⨯⨯=， 正四棱锥1111O A B C D -=∴正四棱锥1111O A B C D -的侧面积分别为：21422S =⨯⨯=∴123105410S S ==. 故答案为：3105【点睛】本题考查了多面体侧面积的求法，涉及正四棱柱和正四棱锥的性质特征，是基础的计算题.11.已知曲线C ：()3f x x x =-，直线l ：y ax a =-，则“14a =-”是“直线l 与曲线C 相切”的_______条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分又不必要”之一）. 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】由已知可得，曲线C 与直线l 均过点()1,0，若直线l 与曲线C 相切，设切点的横坐标为0x ，写出过切点的切线方程，利用待定系数法明确a 的取值，再结合充分必要性作出判断【详解】()231f x x '=-，直线l ：y ax a =-过点()1,0，曲线C 也过点()1,0，若直线l 与曲线C 相切，设切点的横坐标为0x ， 则切线为()2300312y x x x =--，则2030312x a x a ⎧-=⎨=⎩，解得012x a =⎧⎨=⎩或01214x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以“14a =-”是“直线l 与曲线C 相切”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要【点睛】本题考查了充要条件的判断，涉及直线与三次函数相切问题，考查了计算能力与转化能力，属于中档题. 12.已知0x >，0y >，则16y x x xy++的最小值为_______.【答案】【解析】 【分析】由21616y y x x x xy xy+++=+，两次利用基本不等式即可求解.【详解】由0x >，0y >，21616248y y y y x x x x x xy xy xy xy +⋅⋅++=+≥+=+≥=，当且仅当x =4y =时取等号，故答案为：【点睛】本题考查了基本不等式求最值，注意等号成立的条件，属于中档题.13.已知点D 为圆O ：224x y +=的弦MN 的中点，点A 的坐标为()1,0，且1AM AN →→⋅=，则OA OD →→⋅的最小值为_______. 【答案】-1 【解析】 【分析】设(),D x y ，222222441AM AN AD DN AD OD AD OD →→→→→→→→⎛⎫⋅=-=--=+-= ⎪⎝⎭，利用向量模的坐标运算求出点D 的轨迹方程为221924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，由OA OD x →→⋅=，根据点D 的轨迹方程即可求解.【详解】设(),D x y ，AM AN AD DM AD DN AD DN AD DN →→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=-⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222222441AD DN AD OD AD OD →→→→→→⎛⎫=-=--=+-= ⎪⎝⎭，()1,AD x y →=-，(),OD x y →= ，()222215x y x y ∴-+++=，即222x x y -+=，221924x y ⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，13122OA OD x →→⋅=≥-=-.则OA OD →→⋅的最小值为-1. 故答案为：-1【点睛】本题考查了向量的三角形法则、向量的数量积的坐标运算，考查了转化与化归的思想，属于中档题.14.数列{}n a 中，11a =，*1*1,4,4n n n n a N a n a N +⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，设{}n a 的前n 项和为n S ，若142n n S λ-≤⋅恒成立，则实数λ的取值范围是_______. 【答案】332λ≥ 【解析】 【分析】11a =，*1*1,4,4n n n n a N a n a N +⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，可得: 4411n n a a -=+，41421n n a a --=+，42431n n a a --=+，可得43424144346n n n n n a a a a a ----+++=+，414414313n n n n a a a a +--==+=+，又11a =，可得()4311332n a n n -=+-⨯=-，()()412344342414n n n n n S a a a a a a a a ---=+++++++()154346n a a a n-=+++264n n =+， 由142n n S λ-≤⋅恒成立，只需21max642n n n λ-⎧⎫+≥⎨⎬⎩⎭即可，通过作差可得其单调性，即可得出最大值.【详解】由11a =，*1*1,4,4n n nn a N a n a N +⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，可得: 4411n n a a -=+，41421n n a a --=+，42431n n a a --=+， 所以43424144346n n n n n a a a a a ----+++=+，414414313n n n n a a a a +--==+=+，又11a =所以()4311332n a n n -=+-⨯=-， 所以()()412344342414n n n n n S a a a a a a a a ---=+++++++()154346n a a a n -=+++()213246642n n n n n +-=⨯+=+，由142n n S λ-≤⋅恒成立，即21642n n n λ-+≤⋅恒成立21max642n n n λ-⎧⎫+∴≥⎨⎬⎩⎭， 设21642n n n nc -+=， 则()()222116141646810222n n n n nn n n n n n c c +-++++-++-=-=， 当1n =时，26810120n n -++=>，即210c c ->， 当2n =时，2681020n n -++=>，即320c c ->， 当3n =时，26810200n n -++=-<，即430c c -<， 由二次函数的性质可知当4n ≥时，10n n C C +-<可得345n c c c c >>>>，且123c c c <<，所以{}3max 332n c c ==， 332λ∴≥. 故答案为：332λ≥【点睛】本题考查了数列的恒成立问题、等差数列的前n 项和公式，数列的单调性，考查了转化与划归的思想，属于难题.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在ABC 中，已知2cos S bc A =，其中S 为ABC 的面积，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边.（1）求角A 的值；（2）若6tan 5B =，求sin 2C 的值. 【答案】（1）4A π=.（2）1161【解析】 【分析】（1）利用三角形的面积公式化简可得sin cos A A =，从而可得tan 1A =，即可求得A 的值.（2）利用两角和的正切公式可得tan()tan 114A B B π⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭，再有A B C π++=，求出()tan tan 11C A B =-+=，再利用二倍角公式sin 22sin cos C C C =，利用弦化切齐次式即可求解.【详解】解：（1）因为2cos S bc A =，所以12sin cos 2bc A bc A ⨯=， 则sin cos A A =，因为在ABC 中，()0,A π∈，所以sin cos 0A A =>， 所以tan 1A =， 所以4A π=.（2）由（1）知4A π=，又因为6tan 5B =，所以611tan5 tan()tan11641tan15BA B BBπ++⎛⎫+=+===-⎪-⎝⎭-，因为在ABC中，A B Cπ++=，所以()tan tan11C A B=-+=，所以222sin cossin22sin cossin cosC CC C CC C==+222tan21122111tan11112261CC⨯====++.【点睛】本题考查了三角形的面积公式、两角和的正切公式、二倍角公式以及齐次式求三角函数值，属于基础题.16.如图，三棱柱111ABC A B C-中，1BC B C=，O为四边形11ACC A对角线交点，F为棱1BB 的中点，且AF⊥平面11BCC B.（1）证明：//OF平面ABC；（2）证明：四边形11ACC A为矩形.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）取AC中点D，连结,OD BD，由题意111////BB CC AA且11BB AA=，证出//OD BF，且OD BF=，进而可得//OF BD，利用线面平行的判定定理即可证出.（2）首先证出1CF BB⊥，利用线面垂直的性质定理证出1AF BB⊥，再利用线面垂直的判定定理证出1BB⊥平面AFC，从而可证出1BB AC⊥，根据11//BB CC，即证1AC CC⊥. 【详解】证明：（1）取AC中点D，连结,OD BD.在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ACC A 为平行四边形，111////BB CC AA 且11BB AA =.因为O 为平行四边形11ACC A 对角线的交点，所以O 为1A C 中点， 又D 为AC 中点，所以1//OD AA ，且112OD AA =. 又11//BB AA ，11BB AA =，所以1//OD BB ，且112OD BB =.又F 为1BB 中点，所以//OD BF ，且OD BF =， 所以ODBF 为平行四边形， 所以//OF BD ，又因为BD ⊂平面ABC ，OF ⊄平面ABC ， 所以//OF 平面ABC ：（2）因为1BC B C =，F 为1BB 中点，所以1CF BB ⊥，又因为AF ⊥平面11BCC B ，1BB ⊂平面11BCC B ，所以1AF BB ⊥.因为1CF BB ⊥，1AF BB ⊥，CF ⊂平面AFC ，AF ⊂平面AFC ，CF AF F ⋂=， 所以1BB ⊥平面AFC .又AC ⊂平面AFC ，所以1BB AC ⊥， 又由（1）知11//BB CC ，所以1AC CC ⊥，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ACC A 为平行四边形， 所以四边形11ACC A 为矩形.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理以及性质定理，属于基础题. 17.某厂根据市场需求开发三角花篮支架（如图），上面为花篮，支架由三根细钢管组成，考虑到钢管的受力和花篮质量等因素，设计支架应满足：①三根细钢管长均为1米（粗细忽略不计），且与地面所成的角均为63ππθθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭；②架面与架底平行，且架面三角形ABC 与架底三角形111A B C 均为等边三角形；③三根细钢管相交处的节点O 分三根细钢管上、下两段之比均为2:3.定义：架面与架底的距离为“支架高度”，架底三角形111A B C 的面积与“支架高度”的乘积为“支架需要空间”.（1）当3πθ=时，求“支架高度”；（2）求“支架需要空间”的最大值. 【答案】（1）32米.（2）950立方米.【解析】 【分析】（1）根据题意1AA 与地面所成的角为3π，11AA =米，从而31sin 3h π=⨯=. （2）过O 作1OO ⊥平面111A B C ，垂足为1O ，且1111113cos 5O A O C O B θ===，表示出111A B C △S ，进而2273sin V θθ=⋅，,63ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令sin t θ=，利用导数即可求解. 【详解】解：（1）因为架面与架底平行，且1AA 与地面所成的角为3π，11AA =米， 所以“支架高度”31sin3h π=⨯=（米）. （2）过O 作1OO ⊥平面111A B C ，垂足为1O .又11O A ⊂平面111A B C ，所以111OO O A ⊥， 又1AA 与地面所成的角为θ，所以113cos 5O A θ=， 同理11113cos 5O C O B θ==， 所以1O 为等边三角形111A B C 外心，也为其重心，所以11113333cos 3cos 2553B C AO θθ=⋅⋅=⨯=， 11122333273cos cos A B C S θθ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭△， 记“支架需要空间”为V ，则2273cos sin V θθ=⋅，,63ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 令sin t θ=，则13,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.所以()()232732731V t t t t =-=-，13,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 又()222738131'131001003V t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭8133310033t t ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 则当13,23t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，'0V >，V 单调递增；当33,32t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，'0V <，V 单调递减. 所以当33t =时，3max 27333273329350V ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=-=⨯⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（立方米）.答：（1）当3πθ=时，“支架高度”为3米； （2）“支架需要空间”的最大值为950立方米. 【点睛】本题考查了导数在研究函数最值中的应用，解题的关键是列出函数表达式，考查了分析解题的能力，属于中档题.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>过点21,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且椭圆的离心率为22，直线l ：y x t =+与椭圆E 相交于A 、B 两点，线段AB 的中垂线交椭圆E 于C 、D 两点.（1）求椭圆E 的标准方程； （2）求线段CD 长的最大值； （3）求AC AD →→⋅的值.【答案】（1）2212x y +=（2）max 433CD =（3）0 【解析】 【分析】（1）由离心率2222ca b e aa -===，解得222a b =，再将点21,2⎛ ⎝⎭代入椭圆方程，可得221112a b+=，解出a 、b 即可求解. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求出AB 的中点(),M M M x y ，求出直线CD 的方程为13y x t =--，将其与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求解.（3）利用向量数量积的坐标运算，结合（2），利用韦达定理即可求解.【详解】解：（1）设椭圆E 的焦距为()20c c >，则2c e a a ===，可知222a b =. 又因为椭圆E过点1,2⎛ ⎝⎭，所以221112a b +=， 解得22a =，21b =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，由2222y x t x y =+⎧⎨+=⎩得2234220x tx t ++-=， 又直线l ：y x t =+与椭圆E 相交于A ，B 两点，所以1221243223x x t t x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，且()22(4)43220t t ∆=-⨯⨯->，则t <<设AB 的中点(),M M M x y ，则12223M x x x t +==-，13M M y x t t =+=， 所以AB 的中垂线的方程为13y x t =--，即直线CD 的方程为13y x t =--，由221322y x t x y ⎧=--⎪⎨⎪+=⎩得2227122180x tx t ++-=，则342344921827x x t t x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 所以CD ====又(t ∈，所以当0t=时，max CD ==（3）由（2）知，()()31314141,,AC AD x x y y x x y y →→⋅=--⋅--()()()()31413141x x x x y y y y =--+--()()314131414433x x x x x x t x x t ⎛⎫⎛⎫=--+------ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()22234341134134114816339x x x x x x x x x t x x x tx t ⎛⎫=-+++++++++ ⎪⎝⎭()22343411481622339x x t x x x tx t =+++++，由（2）知342342211492182734220x x t t x x x tx t ⎧+=-⎪⎪-⎪=⎨⎪++-=⎪⎪⎩，所以()()223434114216234339AC AD x x t x x x tx t →→⋅=+++++ ()22221844216222273939t t t t t -⎛⎫=⨯+⨯-+-+ ⎪⎝⎭24163648027272727t ⎛⎫=--+= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了待定系数法求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、弦长公式以及向量的数量积的坐标表示，考查了学生的计算能力，属于难题. 19.已知函数()()1f x a x a R x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，()ln g x x =. （1）当1a =吋，解不等式()()0f x g x -≤； （2）设()()()u x xf x g x =-.①当0a <时，若存在()(),0,m n m n ∈+∞≠，使得()()0u m u n +=，证明：1mn <； ②当0a >时，讨论()u x 的零点个数. 【答案】（1）(]0,1（2）①见解析②见解析 【解析】 【分析】（1）将1a =代入，不妨设()()()1ln h x f x g x x x x=-=--，利用导数判断函数单调递增，由()10h =，即可求解.（2）①由()()0u m u n +=，代入解析式整理可得()222ln ln 0a m n m n +---=，由0a <，利用基本不等式可得()222ln ln 0(22)ln()a m n m n a mn mn +---=≤--，方法一：设mn t =，利用导数即可证出；方法二：利用反证法，假设1mn ≥，找出()()22ln 0a mn mn --≤，与已知矛盾即可. ②()()()()21ln u x xf x g x a x x =-=--，求导函数2121'()2ax u x ax x x-=-=，求出函数的单调区间以及最值，且()10u =，讨论1=1<1>即可得出零点个数. 【详解】解：（1）设()()()1ln h x f x g x x x x=-=--， 则()22222131114'210x h x x x x x x x ⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭+-===>， 所以()h x 在()0,∞+上递增，又()10h =，所以01x <≤， 所以()()0f x g x -≤的解集为(]0,1.（2）①证明：由()()0u m u n +=得()()221ln 1ln 0a m m a n n --+--=，即()222ln ln 0a m n m n +---=，又0a <，所以()222ln ln 0(22)ln()a m n m n a mn mn +---=≤--， 因为m n ≠，所以“=”不成立. 思路一：设mn t =，()(22)ln (0)v t a t t t =-->，则1'()20v t a t=-<， 所以()v t 在()0,∞+单调递减， 又()10v =，所以1t <，即1mn <. 思路二：假设1mn ≥，则220mn -≥，()ln 0mn ≥，所以()()22ln 0a mn mn --≤，这与(22)ln()0a mn mn -->矛盾，故1mn <. ②()()()()21ln u x xf x g x a x x =-=--，当0a >时，2121'()2ax u x ax x x-=-=，令()'0u x =得x =（负值舍去）.所以当x ⎛∈ ⎝时，()'0u x <，()u x 为减函数，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()'0u x >，()u x 为增函数.又()10u =.1︒1=，即12a =时，()u x 有一个零点.2︒1<，即12a >时，由()10u =可知(1)0u u <=， 又()0au e->，且1ae-<，所以，()u x 在()0,1有一个零点，故此时()u x 有两个零点；31>，即102a <<时，由()10u =可知(1)0u u <=，令()()ln 1x x x ϕ=--，则()11'1xx x xϕ-=-=， 所以当()0,1x ∈时，()'0x ϕ>，()x ϕ单调递增；当()1,x ∈+∞时，()'0x ϕ<，()x ϕ单调递减，所以()()max 10x ϕϕ==， 故ln 1x x ≤-，则()ln 1x x -≥--. 所以()()()211u x a x x >---，所以110u a ⎛⎫->⎪⎝⎭，且111a ->，所以，()u x 在()1,+∞有一个零点，故此时()u x 有两个零点.综上，当12a =时，()u x 有1个零点； 当0a >且12a ≠时，()u x 有2个零点.【点睛】本题考查了导数在函数单调性中的应用、导数在研究函数零点中的应用，考查了分类讨论的思想，属于难题.20.对数列{}n a ，规定{}n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列，其中()*1n n n a a a n N +∆=-∈，规定{}2n a ∆为{}n a 的二阶差分数列，其中()2*1n n n a a a n N+∆=∆-∆∈.（1）数列{}n a 的通项公式()2*n a n n =∈N ，试判断{}n a ∆，{}2na ∆是否为等差数列，请说明理由？（2）数列{}n b 是公比为q正项等比数列，且2q ≥，对于任意的*n N ∈，都存在*m N ∈，使得2n m b b ∆=，求q 所有可能的取值构成的集合；（3）各项均为正数的数列{}n c 的前n 项和为n S ，且20n c ∆=，对满足2m n k +=，m n ≠的任意正整数m 、n 、k ，都有m n c c ≠，且不等式m n k S S tS +>恒成立，求实数t 的最大值. 【答案】（1）{}n a ∆，{}2n a ∆是等差数列，见解析（2）⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭；（3）2 【解析】 【分析】（1）根据题干中的定义，结合等差数列的定义即可判断. （2）根据等比数列的通项公式可得11n n b b q -=，结合题干可得11111112n n n m b q b q b q b q +---+=，从而可得2(1)m nq q --=，且0m n -≥；分类讨论0-=m n 、1m n -=或2m n -≥即可求出q .（3）根据题中对数列的定义可得2n c ∆2120n n n c c c ++=-+=，从而可得211n n n n c c c c +++-=-，即{}n c 是等差数列，根据数列为正项等差数列可得0d >，代入等差数列前n 项和公式，由222()24m n m n ++>，可得m n k S S tS +>，当2t ≤时，不等式m n k S S tS +>都成立；当2t >时，令1m k =+，()*1,2n k k N k =-∈≥，代入等差数列的前n 项和公式，作差()()21(2)2k m n d tS S S t d k k t c k d ⎛⎫-+=--+-- ⎪⎝⎭，由02d t d ->，20k k -≥，即可求解.【详解】解：（1）因为2n a n =，所以221(1)21n n n a a a n n n +∆=-=+-=+，则12n n a a +∆-∆=，又13a ∆=，所以{}n a ∆是首项为3，公差为2的等差数列.因为212n n n a a a +∆=∆-∆=，则{}2n a ∆是首项为2，公差为0的等差数列.（2）因为数列{}n b 是公比为q 的正项等比数列，所以11n nb b q -=.又()21211212n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b ++++++∆=∆-∆=---=-+，且对任意的*n N ∈，都存在*m N ∈，使得2n m b b ∆=，所以对任意的*n N ∈，都存在*m N ∈，使得11111112n n n m b q b q b q b q +---+=，即2(1)m nq q--=，因为2q ≥，所以0m n -≥.1︒ 若0-=m n ，则2211q q -+=，解得0q =（舍）或2q，即当2q时，对任意的*n N ∈，都有2n n b b ∆=.2︒ 若1m n -=，则2310q q -+=，解得32q =（舍）或32q +=，即当32q +=时，对任意的*n N ∈，都有21n n b b +∆=. 3若2m n -≥，则22(1)m nqq q -≥>-， 故对任意的*n N ∈，不存在*m N ∈，使得2n m b b ∆=.综上所述，q 所有可能的取值构成的集合为32,2⎧+⎪⎨⎪⎪⎩⎭；（3）因为20n c ∆=，所以()21211n n n n n n n c c c c c c c ++++∆=∆-∆=---2120n n n c c c ++=-+=，则211n n n n c c c c +++-=-，所以{}n c 是等差数列. 设{}n c 的公差为d ，则()11n c c n d =+-. 若0d =，则m n c c =；若0d <，则当11c n d>-时，0n c <， 与数列{}n c 的各项均为正数矛盾，故0d >. 由等差数列前n 项和公式可得2122n d d S n c n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 所以22112222n m d d d d S S n c n m c m ⎛⎫⎛⎫+=+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()221()22d d n m c m n ⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭， 212222k d m n d m n S c ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又m n ≠，222()24m n m n ++>， 所以()221()22n m d d S S n m c m n ⎛⎫+=++-+ ⎪⎝⎭21()()2222k d m n d c m n S +⎛⎫>⋅+-+= ⎪⎝⎭， 则当2t ≤时，不等式m n k S S tS +>都成立.另一方面，当2t >时，令1m k =+，()*1,2n k k N k =-∈≥， 则()()22111222m n d d S S k k c k ⎛⎫⎡⎤+=++-+-⨯ ⎪⎣⎦⎝⎭()2122222d d k k c ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭， 2122k d d S k c k ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 则()()22112222222k m n d d d d tS S S tk c tk k k c ⎛⎫⎛⎫-+=+--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()21(2)2d t d k k t c k d ⎛⎫=--+-- ⎪⎝⎭， 因为02dt d ->，20k k -≥， 所以当1(2)dk t c >-时，()0k n m tS S S -+>，即m n k S S tS +<.不满足任意性.所以2t ≤ .综上，t 的最大值为2.【点睛】本题考查了数列的新定义、等差数列的定义以及等差数列的前n 项和公式，属于难题.第Ⅱ卷（附加题，共40分）21.已知矩阵22a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1223N ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且1001MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵M ；（2）直线l 在矩阵M 对应的变换作用下变为直线30x y +=，求直线l 的方程.【答案】（1）3221M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦（2）30x y -=.【解析】 【分析】（1）利用待定系数或公式即可求解.（2）设直线l 上任一点(),x y 在矩阵M 对应的变换作用下变为()','x y ，代入直线即可求解. 【详解】解：（1）用待定系数或公式42622212102014323a a a MN b b b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢+++⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦+⎣⎦， 解得3a =-，1b =-，可求得3221M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；（2）设直线l 上任一点(),x y 在矩阵M 对应的变换作用下变为()','x y ，即3232'212'x x y x y x y y --+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦在30x y +=上，则32630x y x y -++-=，即30x y -=，所以直线l 的方程为30x y -=. 【点睛】本题考查了矩阵的变换，需掌握矩阵的运算公式，属于基础题.22.在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为313x t y t=⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C ：)4πρθ=-，求直线l 被曲线C 截得的弦长.【解析】 【分析】将直线的参数方程消去参数t 化为普通方程，将圆的极坐标方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后根据勾股定理即可求解. 【详解】解：把直线方程l ：313x ty t=⎧⎨=-⎩化为普通方程为1x y +=.圆2sin 2cos 4πρθρθθ⎛⎫=-⇒=- ⎪⎝⎭， 即22sin 2cos ρρθρθ=-，化为普通方程为22220x x y y ++-=， 即()()22112x y ++-=，圆心C 到直线l 的距离d ==所以直线l 被圆C 截得的弦长为=.【点睛】本题考查了直线参数方程化为普通方程、曲线的极坐标方程化为普通方程，直线与圆相交几何法求弦长，属于基础题.23.某商场举行元旦促销回馈活动，凡购物满1000元，即可参与抽奖活动，抽奖规则如下：在一个不透明的口袋中装有编号为1、2、3、4、5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次（每次摸出的小球均不放回口袋），编号依次作为一个三位数的个位、十位、百位，若三位数是奇数，则奖励50元，若三位数是偶数，则奖励100m 元（m 为三位数的百位上的数字，如三位数为234，则奖励1002200⨯=元）. （1）求抽奖者在一次抽奖中所得三位数是奇数的概率； （2）求抽奖者在一次抽奖中获奖金额X 概率分布与期望()E X .【答案】（1）35（2）见解析，期望是150元. 【解析】 【分析】（1）首先利用排列求出摸三次的总的基本事件个数：31560n A ==；然后利用分步计数原理求出个位的排法、十位百位的排法求出三位数是奇数的基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.（2）获奖金额X 的可能取值为50、100、200、300、400、500，求出各个随机变量的分布列，利用均值公式即可求解.【详解】解：（1）因为总的基本事件个数31560n A ==，摸到三位数是奇数的事件数1223436n A A ==，所以1363605P ==； 所以摸到三位数是奇数的概率35.（2）获奖金额X 的可能取值为50、100、200、300、400、500，3(50)5P X ==，1321(100)6010P X ⨯⨯===，1311(200)6020P X ⨯⨯===，1321(300)6010P X ⨯⨯===，1311(400)6020P X ⨯⨯===，1321(500)6010P X ⨯⨯===，获奖金额X 的概率分布为均值311111()5010020030040050015051020102010E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=元. 所以期望是150元.【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式、离散型随机变量的分布列以及数学期望，属于中档题.24.（1）证明：()1*111,11k k n n C C n N k N k n ++=∈∈++； （2）计算：001122202020202020202020202020111(1)(1)(1)(1)232021C C C C -+-+-++-；（3）计算：2020202002(1)2k kk C k =-+∑. 【答案】（1）见解析（2）12021（3）12043231【解析】 【分析】（1）利用组合数的运算即可求证.（2）利用组合数的运算与性质即可证出. （3）方法一：设02(1)2nk kn n k a C k ==-+∑，可得()11111221(1)(1)22n k k k n n n n k a C C k n ----==+-++-++∑，再利用组合数的运算性质即可求解；方法二：202020202020022020!2(1)(1)(1)2!(2020)!(2)(1)kkk k k k Ck k k k k ==+-=-⋅⋅+-++∑∑，根据组合数的运算即可求解.【详解】解：（1）1111!1(1)!111!()!1(1)!()!1k k n n n n C C k k k n k n k n k n +++=⋅=⋅=++-++-+； （2）01122202020202020202020202020111(1)(1)(1)(1)232021C C C C -+-+-++- 2020202012020202100111(1)(1)120212021kk k k k k C C k +===-=-=+∑∑. （3）设02(1)2nkkn nk a Ck ==-+∑， 则()11111221(1)(1)22n k k k n n n n k a C C k n ----==+-++-++∑ 11111122(1)(1)22nn kk k kn n n n k k k a Ca C k n k ----===+-=+-++∑∑ ()1100222(1)(1)02n nk k k kn n n n n k k a C C a a n k n --==⎧⎫=+---=+-⎨⎬+⎩⎭∑∑. 所以121221n n n n n n n a a a a n n n ---=⇒=⋅+++1(1)32(2)(1)54n n a n n -⋅⋅⋅-⋅=⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅⋅， 又113a =，所以2!2!1(2)!n nn n a n C +==+. 所以20202020202020202020222022211(1)2kkk Ca k C C =-===+∑ 11101120212043231==⨯.（结果没化简，不扣分）方法二：202020202020022020!2(1)(1)(1)2!(2020)!(2)(1)k kk k k k Ck k k k k ==+-=-⋅⋅+-++∑∑ 20202022!2(1)(1)(2)!(2020)!20222021k k k k k =+=-⋅⋅+-⨯∑20202202202(1)(1)20222021k k k k C +==⋅-⋅+⋅⨯∑ 20202202202(1)(21)20222021k k k k C +==⋅-⋅+-⋅⨯∑ 202020202220222022002(1)(2)(1)20222021k k k k k k k C C ++==⎡⎤=⋅-⋅+⋅--⋅⎢⎥⨯⎣⎦∑∑ 2020202012220212022002(1)2022(1)20222021k k k k k k C C +++==⎡⎤=⋅-⋅⋅--⋅⎢⎥⨯⎣⎦∑∑ ()20201120221120212022022022(1)(11)1(1)20222021k k k C C ++=⎡⎤=⋅--⋅-----⎢⎥⨯⎣⎦∑ ()202122022(11)11202220222021⎡⎤=⋅-⋅--+-⎣⎦⨯ 21120222021101120212043231===⨯⨯. 【点睛】本题考查了组合数的运算与性质，掌握组合数的运算性质是解题的关键，属于难题.。

江苏扬州市 2020 高三数学调研测试卷含参考答案班级：高三( )班姓名：成绩：2020.3一、填空题：本大题共 14 个小题，每小题 5 分，共 70 分. 请把答案写在答题卡相应位置上.1. 函数 y sin(2x  ) 的最小正周期为．3【答案】2. 函数 f (x) x2 2(a 3)x 1 在区间 (, 3) 上单调递减，则实数 a 的取值范围是.【答案】{a|a≤6}3. 已知焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 3x 4 y 0 ，则双曲线的离心率为.【答案】 544. 已知函数 f (x) xex ax （其中 e 为自然对数的底数）为偶函数，则实数 a 的值为．ex【答案】1 5. 在 ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且ADDB，BE2EC，记ABa，ACb，若  DE xa yb ，则 x y 的值为．【答案】 12 【解析】因为ADDB，BE2EC  ，所以 DB 1 AB ， BE 2BC 2 (AC AB)   ，且 AB a, AC b .所以   DE DB BE 1 a 2 (b a)1 a 2 b2 ，又  DE xa3  yb .32363所以根据平面向量基本定理得， x 1 , y 2 ，所以 x y 1 ．6326. 已知各项均为正数的等比数列{an } 满足 a3 4 ， S3 7 ，则 a2 的值为．【答案】2【解析】设等比数列{a } 的公比为 q ，由题可得 4 4 4 7 ，即 3q2 4q 4 0 ，nq2 q解之得 q 2 (舍)或 q 2 ，所以 a a3 2 .3 7. 已知 x ， y 为正数，且12q 4 1 ，则 x y 的最小值为．【答案】72 x y【解析】因为 1 4 1 ，则x y 2 x y 2 [(2 x) y]( 1 4) 2 3  y 4(2 x) 34 7 ．2 x y2 x y2 x y8. 函数 f (x) Asin(x )(A 0 ，0) 的部分图象如图所示．若函数 y  f (x) 在区间[m ， n] 上的值域为[ 2, 2]，则 n m 的最小值是．【答案】3【 解 析 】 函 数 f (x) Asin(x )(A 0 ， 0) 的 部 分 示．T 28 ，解得，当 x 2 时， A 2 ，所以 sin(图象如图所 ) 1 ，解42得2k(k Z ) ，当 k 0 时0 ．由于函数 y  f (x) 2sin( x) 在区间[m ， n] 上的值域为[ 2, 2]， 4所以当 n 2 时取得最大值，当 x 1 时，函数取得最小值，则 n m 的最小值为 2 (1) 3 ．1/69. 已知函数 f (x) x x 3x ，若 f (a)  f (a 2 2) 0 ，则实数 a 的取值范围为.【答案】 (2,1)x2  3x, x  0, 【解析】函数 f (x) x x 3x x2  3x, x  0. 则 f (x) f (x) ，即函数 f (x) 为奇函数，且在 R 上单调递增，若 f (a)  f (a 2 2) 0 ，则 f (a2 2) f (a)  f (a) ，所以 a2 2 a ，解得： 2 a 1 .10. 已知 A, B 为平面内的两点， AB 2 ， M 是 AB 的中点，点 P 在该平面内运动，且满足 PA  3PB ，则PM 的最大值为．【答案】 2  3 【解答】以 AB 所在直线为 x 轴， AB 的中点 M 为原点建立平面直角坐标系，令 A(1,0) ， B(1,0) .设 P(x, y) ，由 PA  3PB 列方程并整理得， (x 2)2 y2 3 ，故 P 点轨迹为以(2,0)为圆心， 3 为半径的圆，所以 PMmax 2  3 .11. 已知 1 2x 4x a 0 对一切 x (，1]上恒成立，则实数 a 的取值范围是．【答案】 (3 ， )4 【解析】1 2x 4x a 0 可化为 a 1 2x 22 x 2x ，令t2x，由x (，1]，得 t[ 1，4x )，则at 2t，t2t(t1)21在[ 1，)上递减，2 当 t 1 时， t2 t 取得最大值为 3 ，所以 a 3 ．2 4224412. 已知椭圆 x2 y2 1(a b 0) 的上顶点为 B ，若椭圆上离点 B 最远的点为椭圆的下顶点，则椭圆离心率的取值范围为a2 b2．【答案】 (0 ， 2 ] 2【解析】设点 P(x, y) 是椭圆上的任意一点，因为 x 2  y2 1 ，则 x2 a2 (1 y2 ) ，则|PB |2 x2( yb)2a2(1y2)(yb)2(1 aa2)2 y2b2 2bya2b2．b2b22b b2 b3所以关于 y 的二次函数的对称轴为 y  ．2(1 a2 ) c2因为椭圆上离点 Bb2 最远的点为椭圆的下顶点，所以 b3b ，即 b21 ，所以 2c2a2，解得 0e2．c2c22所以椭圆离心率的取值范围为 (0, 2 ]．2a b c 2,13. 已知 a,b, c R ，且满足 则 c 的取值范围为．a2 b2 c2 2,【答案】[0, 4]3【解析】 22 (a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 2 2(ab ac bc) ，所以 ab ac bc 1，即 ab c(a b) 1 ，又因为 a b 2 c ，所以 ab c(2 c) 1 ，即 ab 1 2c c2 ，故可将 a ， b 看成是关于 x 的方程 x2 (2 c)x (12c c2 ) 0 的两根，所以△ (2 c)2 4(1 2c c2 ) 3c2 4c 0 ，解得 0 c 4 ，所以 c 的取值范围为[0, 4] .332/614. 已知函数 f (x) x4 ,x…2, 若关于 x 的方程 f (x) kx 有且仅有 1 个实根，则实数 k 的取值范围(x  1)3, 0  x  2,是．【答案】 (， 0] [1 ，1] 2【答案】画出函数 f (x) 和 y kx 的图象，如图，点 A(2,2) ， B(2,1) .k 1 ， k 1 . 由数 形结 合可 得直 线的斜 率 k 满足 k„ 0 或者OB 2OA1 „ k„ 1时，函数 f (x) 的图象和直线 y kx 有 1 个交点.2所以实数 k 的取值范围是： (， 0] [1 ，1]． 2二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分. 请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 15. 设向量 a (sin x,3 cos x) ( x [0 ，]) ， b (1,1) ， c(1,1)．(1)若(ab)∥ c，求实数x 的值；(2) 若 a b 1 ，求 sin(x  ) 的值．2 6【答案】(1) 因为 (a b)∥c (sin x 1) ( 3 cos x 1) 0 ，所以 sin x  3 cos x 2 2( 1sin x 3cosx)2sin(x)1，又 x [0,] x [, 222 ] ，所以 x  5 3x  ．3 33326 (2) 因为 a b sin x 3 cos x  1 2(1 sin x 3 cos x) 1 ，所以sin(x2)1，所以sin(x2)2 2sin((x 2 ))2 cos(x2)．又x [034，] 且 sin(x2)16 0 x2(23,2) ，33433所以 cos(x 2 )  1 sin 2(x 2) 1 ( 1) 2 15 ，所以sin(x  ) 3344615 ． 4…7 分 …14 分16. 如图，在 ABC 中， B ， AB 3 ， AD 为边 BC 上的中线，记 BAD ，且 cos2 5 ．45(1) 求 AD 的长；(2) 求 sinC 的值．【答案】(1) 在 ABD 中， B ， AB 3 ， AD 为边 BC 上的中线.4因为 cos2 5 ，所以 sin51 cos2 2 1 ( 55 )25， 5在 △ABD 中， B ADB ，所以 ADB 3，43/6所以 sin ADB sin( 3) sin 3coscos 3sin4442 2 5 ( 252 2) 5 5310 10.在 △ABD 中，由正弦定理得AB sin ADBsBinDAD sin B，即33 10BD5AD2，3 5则 BD 35 103 5 53 101010 5 23 22 ， AD  2 3 2 10  5 .3 102 3 10…7 分1010(2) 由(1)知， BC 2BD 2 2 ，在 △ABC 中，由余弦定理得 AC2 AB2 BC2 2AB BC cosB ，所以 AC 2 32 (22)2 2 322cos 5，所以AC5，43 2在 △ABC中，由正弦定理得AB sin CsAinCB，所以 sin C AB sin B AC2 3 10 . 5 10…14 分17. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 ABC 的顶点坐标分别是 A(0,0) ， B(2,2) ， C(1, 3) ，记 ABC 外接圆为圆 M ．(1) 求圆 M 的方程；(2) 在圆 M 上是否存在点 P ，使得 PA2 PB2 4 ？若存在，求点 P 的个数；若不存在，说明理由．【答案】(1) 根据题意，设 ABC 外接圆圆 M 的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0 ，F 0ABC 的顶点坐标分别是 A(0,0) ， B(2, 2) ， C(1,3)，则有 2D2E8 0，D  3E 4 0解得： D 4 ， E 0 ， F 0 ，则圆 M 的方程为 x2 y2 4x 0 .…7 分(2) 设 P 的坐标为 (x, y) .因为 PA2 PB2 4 ，所以 x2 y2 (x 2)2 (y 2)2 4 ； 化简可得 x y 3 0 ，即 P 的轨迹为直线 x y 3 0 ；…11 分圆心 M 到直线 x y 3 0 的距离 d | 2 3 |  2 2 ， 1 1 2则直线 x y 3 0 与圆 M 相交，故满足条件的点 P 有 2 个．…14 分18. 如图，已知椭圆 E : x2  y2 1(a b 0) 的离心率为 3 ，过左焦点 F ( 3 ，0) 且斜率为 k 的直线交椭a2 b22圆 E 于 A ， B 两点，线段 AB 的中点为 M ，直线 l : x 4ky 0 交椭圆 E 于 C ， D 两点．(1) 求椭圆 E 的方程；(2) 求证：点 M 在直线 l 上； (3) 是否存在实数 k ，使得 SBDM 3SACM ？若存在，求出 k 的 值．若不存在，说明理由．【答案】(1) 因为左焦点 F ( 3 ， 0) ，则 c  3 ，离心率为 3 ，则 c  3 ，即有 a 2 ， b 1 ，2a2则椭圆 E 的方程为 x2 y2 1 ； …4 分44/6(2) 证明：设 A( x1 ， y1) ， B( x2 ， y2 ) ， M ( x0 ， y0 ) 设直线 AB : y k(x  3) ，y  k(x  由 3) 消去 y ，得 (14k 2 )x2 83k 2 x 12k2 4 0 ，x2  4y2  4所以x1x28 3k 2 1 4k 2，x0x1 x2 24 3k 2 1 4k 2，y0k (x 03)  3k ， 1 4k 2因为 4 3k 2 4k  3k 0 ，所以点 M 在直线 l 上；1 4k 21 4k 2…10 分(3) 由(2)知点 A 到直线 CD 的距离与点 B 到直线 CD 的距离相等，因 BDM 的面积是 ACM 面积的 3 倍，所以 DM 3CM ，又| OD || OC | ，于是 M 是 OC 的中点，设点 C 的坐标为 ( x3 ， y3 )则y0 y3，因为x 4ky22，解得 y23 1， 22x 4y 41 4k于是y324 y02，所以 1 1 4k24 (34kk22)，解得12k1，所以k82． 4…16 分19. 已知函数 f (x) 2x3 ax2 1(a R)．(1) 若 a 3 ，求函数 f (x) 的单调区间；(2) 当 a 0 时，若函数 f (x) 在[1 ，1]上的最大值和最小值的和为 1，求实数 a 的值．【答案】(1) 因为 f (x) 2 x3 ax2 1 ， 所以由 f (x) 6x2 2ax 2x(3x a) 0 ，得 x 0 ， x a ，123当 a 3 时，由 f (x) 0 得 x 0 或 x 1，即函数 f (x) 在 (, 0) 和 (1,) 上单调递增，由 f (x) 0 得 0 x 1，即函数 f (x) 在 (0,1) 上单调递减，所以函数 f (x) 的单调递增区间为 (, 0) ， (1,) ，单调递减区间为 (0,1) .…4 分(2) 当 a 0 时，函数 f (x) 在 (, 0) ， (a , ) 上单调递增，在 (0, a) 上单调递减，33aa3此时函数 f (x) 有两个极值点，极大值为 f (0) 1，极小值为 f ( ) 1  ，327且 f (1) a 1 ， f (1) 3 a .…6 分①若a1 ，即 a 3 时，f (x) max f (0) 1 ，此时f (1)  f (1) ，所以f (x) minf (1) a 1，3由 f (x)max f (x)min 1 可得 1 (a 1) 1 ，即 a 1，不符合题意，舍去.10 分② 若 0 a 1 ，即 0 a 3 时，比较 f (1) 与 f (0) 的大小.31°若 f (1)  f (0) ，即 3 a 1 ，也即 0 a 2 时，此时 f (x)max  f (1) 3 a ，aa3又因为 f ( ) 1  0 ， f (1) a 1 0 ，所以 f (x)min  f (1) 1 a ，3271 由 f (x)max f (x)min 1 可得 (3 a) (1 a) 1 ，即 a  ，符合题意.213 分2° 若 f (1)  f (0) ，即 3 a 1 ，即 2 a 3 时，此时 f (x)max f (0) 1 .aa3又因为 f ( ) 1  0 ， f (1) a 1 0 ，所以 f (x)min  f (1) 1 a ，3275/6由 f (x)max f (x)min 1 可得 1 (1 a) 1 ，即 a 1 ，不符合题意. 综上所述，所求实数 a 的值为 1 ．2…16 分20. 已知常数 a 0 ，数列{a } 的前 n 项和为 S ， a 1 ，且 a Sn a(n 1) ．n(1) 求证：数列{an } 为等差数列；n1nn(2) 若 b 3n (1)n a ，且数列{b } 是单调递增数列，求实数 a 的取值范围；nnn(3) 若 a 1 ，数列{c } 满足： c  an ，对于任意给定的正整数 k ，是否存在 p ， q N* ，使2nnan 2019ck  cp  cq ？若存在，求 p ， q 的值（只要写出一组即可）；若不存在，说明理由．【解答】(1)因为 anSn a(n 1) ，所以 S n nanan(n 1) ， S n 1(n 1)an 1 a(n1)n ，2分n所以 an1  (n  1)an1  nan  2an ，化简得： an1  an  2a （常数），所以数列{an } 是以 1 为首项，公差为 2a 的等差数列；4分nn(2) 由(1)知 an 1 2a(n 1) ，又因为 bn 3 (1) an ， bn bn1 ，所以 n 3n(1)ann13n1(1) an1 ，所以nn(1) [1 (2n 1)a] 3 .① 当 n 是奇数时，因为 [1 (2n 1)a] 3n ，所以 a 3 n 1 ， n 1，3，5，7，n令 f (n) 3 1 ，所以 a  f (n)2n 13n 2 1 3n 1 4(4n 3)3n 4. 因为 f (n 2) f (n) 0 ，2n 1max2n 3 2n 1 (2n 1)(2n 3)所以 f (1)  f (3)  f (5)  f (n) ，且 f (1) 4 ，所以 a 4 ；7分② 当 n 是偶数时，因为 1 (2n 1)a 3n ，所以 a 3n 1 ， n 2 ，4，6，8，2n 1令 g(n)  3n 1 ，所以 a g(n)3n 2 1 3n 1 4(4n 3)3n 4，又因为 g (n 2) g (n) 0 ，2n 1min2n 3 2n 1 (2n 1)(2n 3)所以 g(2) g(4) g(6) g(n) ，且 g(2) 8 ，所以 a g(2) 8 .33综上可得：实数 a 的取值范围是 (4, 8) ． 310 分(3) 由(1)知， an n ，又因为 cn  n ， n 2019设对任意正整数 k ，都存在正整数 p ， q ，使 ck cp cq ，所以kk 2019 pp 2019qq 2019，所以pk(q 2019) q k，…12 分令 q k 1 ，则 p k (k 2020) （或 q 2k ， p 2k 2019)ck ck (k 2020) ck 1 （或 ck c2k 2019 c2k ) .…16 分6/6。

2020届高三模拟考试试卷化学2020.5本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分120分，考试时间100分钟。

可能用到的相对原子质量：H—1C—12N—14O—16Na—23Al—27Cl—35.5Fe—56第Ⅰ卷(选择题共40分)单项选择题：本题包括10小题，每小题2分，共20分。

每小题只有一个选项符合题意。

1. 油脂和蛋白质是人体必需的营养素。

下列关于它们的说法正确的是()A. 都易溶于水B. 组成元素都相同C. 都属于有机高分子D. 都可以发生水解反应2. 制备过碳酸钠(2Na2CO3·3H2O2)的过程会发生副反应2H2O2===2H2O＋O2↑。

下列表示反应中相关微粒的化学用语正确的是()A. 中子数为8的碳原子：86CB. H2O2的结构式：H—O—O—HC. Na＋的结构示意图：D. H2O的电子式：H··O··H3. 下列有关物质的性质与用途具有对应关系的是()A. NaHCO3能与NaOH反应，可用作食品疏松剂B. N2的化学性质稳定，可用作粮食保护气C. Fe2(SO4)3易溶于水，可用作净水剂D. Al(OH)3受热易分解，可用于制胃酸中和剂4. 室温下，下列各组离子在指定溶液中能大量共存的是()A. 3%的H2O2溶液：H＋、SO2－3、Cl－B. 0.1 mol·L－1 NaOH溶液：NH＋4、SO2－4、NO－3C. 0.1 mol·L－1 FeCl3溶液：Na＋、SCN－、Cl－D. 0.1 mol·L－1 Na2CO3溶液：K＋、Cl－、OH－5. 下列实验操作不能达到实验目的的是()A. 用装置甲制备NH3B. 用装置乙除去SO2气体中的少量HClC．用湿润的红色石蕊试纸检验NH3D. 中和滴定时，滴定管用待装的试液润洗2～3次，减小实验误差6. 下列有关化学反应的叙述正确的是()A. 高温下SiO2与C反应得到高纯硅B. Fe在Cl2中燃烧生成FeCl2C. 氯水在光照条件下生成O 2D. S 在O 2中燃烧生成SO 37. 下列指定反应的离子方程式正确的是( )A. 用氨水溶解AgCl 沉淀：Ag ＋＋2NH 3·H 2O===[Ag(NH 3)2]＋＋2H 2OB. 向醋酸中加入少量碳酸钙粉末：2H ＋＋CaCO 3===Ca 2＋＋CO 2↑＋H 2OC. 用稀硝酸清洗试管内壁上的Cu 2O ：3Cu 2O ＋14H ＋＋2NO －3===6Cu 2＋＋2NO ↑＋7H 2OD. 向Al 2(SO 4)3溶液中加入过量Ba(OH)2溶液：2Al 3＋＋3SO 2－4＋3Ba2＋＋6OH －===2Al(OH)3↓＋3BaSO 4↓8. 短周期主族元素X 、Y 、Z 、W 的原子序数依次增大，已知X 的最外层电子数是电子层数的3倍，X 、W 同主族，Y 的原子半径在短周期主族元素中最大，Z 的最高化合价和最低化合价的代数和为零。

绝密★启用前江苏省扬州市普通高中2020届高三毕业班下学期第二次高考模拟考试数学试题2020年5月(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|－1＜x ＜2}，B ＝{x|x ＞0}，则A ∩B ＝________．2. 已知(1－i)z ＝2＋i ，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为________．3. 已知某校高一、高二、高三年级分别有1 000，800，600名学生，现计划用分层抽样的方法抽取120名学生去参加社会实践，则在高三年级需抽取________名学生． S ←0For I From 1 To 5S ←S ＋IEnd ForPrint S4. 如图伪代码的输出结果为________．5. 若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥－1，x ＋y －1≤0，则2x －y 的最小值为________．6. 已知a ∈{－1,1},b ＝{－3,1,2},则直线ax ＋by －1＝0不经过第二象限的概率为________．7. 已知双曲线x 24－y 2b 2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合,则该双曲线的虚轴长为________．8. 已知α为锐角,且cos(α＋π6)＝13,则cos α＝________． 9. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1a 6＝3a 3,且a 4与a 5的等差中项为2,则S 5＝________．10. 在正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中,AB ＝2,AA 1＝3,O 为上底面ABCD 的中心．设正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1与正四棱锥OA 1B 1C 1D 1的侧面积分别为S 1,S 2,则S 1S 2＝________． 11. 已知曲线C ：f(x)＝x 3－x,直线l ：y ＝ax －a,则“a ＝－14”是“直线l 与曲线C 相切”的____________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分又不必要”)12. 已知x ＞0,y ＞0,则x ＋y x ＋16xy的最小值为________． 13. 已知点D 为圆O ：x 2＋y 2＝4的弦MN 的中点,点A 的坐标为(1,0),且AM →·AN →＝1,则OA →·OD →的最小值为________．14. 在数列{a n }中,a 1＝1,a n ＋1＝⎩⎨⎧a n ＋1，n 4∉N *，a n ，n 4∈N *.设{a n }的前n 项和为S n,若S 4n ≤λ·2n －1恒成立,则实数λ的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题,共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中,已知2S ＝bccos A,其中S 为△ABC 的面积,a,b,c 分别为角A,B,C 的对边．(1) 求角A 的值；(2) 若tan B ＝65,求sin 2C 的值．。

2020届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)2020．5一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|－1＜x ＜2}，B ＝{x|x ＞0}，则A ∩B ＝________．2. 已知(1－i)z ＝2＋i ，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为________．3. 已知某校高一、高二、高三年级分别有1 000，800，600名学生，现计划用分层抽样的方法抽取120名学生去参加社会实践，则在高三年级需抽取________名学生．S ←0For I From 1 To 5 S ←S ＋I End For Print S4. 如图伪代码的输出结果为________．5. 若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥－1，x ＋y －1≤0，则2x －y 的最小值为________．6. 已知a ∈{－1，1}，b ＝{－3，1，2}，则直线ax ＋by －1＝0不经过第二象限的概率为________．7. 已知双曲线x 24－y 2b 2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的虚轴长为________．8. 已知α为锐角，且cos(α＋π6)＝13，则cos α＝________．9. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1a 6＝3a 3，且a 4与a 5的等差中项为2，则S 5＝________．10. 在正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，O 为上底面ABCD 的中心．设正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1与正四棱锥OA 1B 1C 1D 1的侧面积分别为S 1，S 2，则S 1S 2＝________．11. 已知曲线C ：f(x)＝x 3－x ，直线l ：y ＝ax －a ，则“a ＝－14”是“直线l 与曲线C 相切”的____________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分又不必要”)12. 已知x ＞0，y ＞0，则x ＋y x ＋16xy的最小值为________．13. 已知点D 为圆O ：x 2＋y 2＝4的弦MN 的中点，点A 的坐标为(1，0)，且AM →·AN →＝1，则OA →·OD →的最小值为________．14. 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧a n ＋1，n4∉N *，a n ，n4∈N *.设{a n }的前n 项和为S n ，若S 4n ≤λ·2n－1恒成立，则实数λ的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，已知2S ＝bccos A ，其中S 为△ABC 的面积，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．(1) 求角A 的值；(2) 若tan B ＝65，求sin 2C 的值．16.(本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BC ＝B 1C ，O 为四边形ACC 1A 1对角线的交点，F 为棱BB 1的中点，且AF ⊥平面BCC 1B 1.求证：(1) OF ∥平面ABC ；(2) 四边形ACC 1A 1为矩形．17. (本小题满分14分)某厂根据市场需求开发三角花篮支架(如图)，上面为花篮，支架由三根细钢管组成．考虑到钢管的受力和花篮质量等因素，设计支架应满足：① 三根细钢管长均为1米(粗细忽略不计)，且与地面所成的角均为θ(π6≤θ≤π3)；② 架面与架底平行，且架面三角形ABC 与架底三角形A 1B 1C 1均为等边三角形；③ 三根细钢管相交处的节点O 分三根细钢管上、下两段之比均为2∶3.定义：架面与架底的距离为“支架高度”，架底三角形A 1B 1C 1的面积与“支架高度”的乘积为“支架需要空间”．(1) 当θ＝π3时，求“支架高度”；(2) 求“支架需要空间”的最大值．18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(1，22)，且椭圆的离心率为22.直线l ：y ＝x ＋t 与椭圆E 相交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交椭圆E 于C ，D 两点．(1) 求椭圆E 的标准方程； (2) 求线段CD 长的最大值；(3) 求AC →·AD →的值．19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝a(x －1x)(a ∈R )，g(x)＝ln x.(1) 当a ＝1时，解不等式：f(x)－g(x)≤0； (2) 设u(x)＝xf(x)－g(x)．①当a ＜0时，若存在m ，n ∈(0，＋∞)(m ≠n)，使得u(m)＋u(n)＝0，求证：mn ＜1； ②当a ＞0时，讨论u(x)的零点个数．20. (本小题满分16分) 对数列{a n }，规定{Δa n }为数列{a n }的一阶差分数列，其中Δa n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．规定{Δ2a n }为{a n }的二阶差分数列，其中Δ2a n ＝Δa n ＋1－Δa n (n ∈N *)．(1) 已知数列{a n }的通项公式a n ＝n 2(n ∈N *)，试判断{Δa n }，{Δ2a n }是否为等差数列，请说明理由；(2) 若数列{b n }是公比为q 的正项等比数列，且q ≥2，对于任意的n ∈N *，都存在m ∈N *，使得Δ2b n ＝b m ，求q 所有可能的取值构成的集合；(3) 设各项均为正数的数列{c n }的前n 项和为S n ，且Δ2c n ＝0.对满足m ＋n ＝2k ，m ≠n 的任意正整数m ，n ，k ，都有c m ≠c n ，且不等式S m ＋S n ＞tS k 恒成立，求实数t 的最大值.2020届高三模拟考试试卷(十五)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 22b ，M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1223，且MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001. (1) 求矩阵M ；(2) 若直线l 在矩阵M 对应的变换作用下变为直线x ＋3y ＝0，求直线l 的方程．22.(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ，y ＝1－3t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C ：ρ＝22sin (θ－π4)，求直线l 被曲线C 截得的弦长．23. (本小题满分10分)某商场举行元旦促销回馈活动，凡购物满1 000元，即可参与抽奖活动，抽奖规则如下：在一个不透明的口袋中装有编号为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次(每次摸出的小球均不放回口袋)，编号依次作为一个三位数的个位、十位、百位，若三位数是奇数，则奖励50元，若三位数是偶数，则奖励100m 元(m 为三位数的百位上的数字，如三位数为234，则奖励100×2＝200元)．(1) 求抽奖者在一次抽奖中所得三位数是奇数的概率；(2) 求抽奖者在一次抽奖中获奖金额X 的概率分布与数学期望E(X)．24.(本小题满分10分)(1) 求证：1k ＋1C k n ＝1n ＋1C k ＋1n ＋1(n ∈N *，k ∈N )；(2) 计算：(－1)0C 02 020＋(－1)112C 12 020＋(－1)213C 22 020＋…＋(－1)2 02012 021C 2 0202 020； (3) 计算：∑2 020k ＝0(－1)k C k 2 0202k ＋2.2020届高三模拟考试试卷(扬州) 数学参考答案及评分标准1. {x|0＜x ＜2}2. 1023. 304. 155. －16. 16 7. 25 8. 3＋2269. 121 10.3105 11. 充分不必要 12. 42 13. －1 14. λ≥33215. 解：(1) 因为2S ＝bccos A ，所以2×12bcsin A ＝bccos A ，则sin A ＝cos A ．(3分)在△ABC 中，因为A ∈(0，π)，所以sin A ＝cos A ＞0， 所以tan A ＝1，(5分) 所以A ＝π4.(7分)(2) 由(1)知A ＝π4，又tan B ＝65，所以tan(A ＋B)＝tan(π4＋B)＝1＋tan B1－tan B＝1＋651－65＝－11.(9分)在△ABC 中，因为A ＋B ＋C ＝π，所以tan C ＝－tan(A ＋B)＝11，所以sin 2C ＝2sin Ccos C ＝2sin Ccos C sin 2C ＋cos 2C ＝2tan C1＋tan 2C ＝2×111＋112＝22122＝1161.(14分)16. 证明：(1) 取AC 中点D ，连结OD.在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为平行四边形，BB 1∥CC 1∥AA 1，且BB 1＝AA 1.因为O 为平行四边形ACC 1A 1对角线的交点，所以O 为A 1C 的中点．又D 为AC 的中点，所以OD ∥AA 1，且OD ＝12AA 1.(2分)又BB 1∥AA 1，BB 1＝AA 1，所以OD ∥BB 1，且OD ＝12BB 1.又F 为BB 1的中点，所以OD ∥BF ，且OD ＝BF ，所以四边形ODBF 为平行四边形，所以OF ∥BD.(5分)因为BD ⊂平面ABC ，OF ⊄平面ABC ， 所以OF ∥平面ABC.(7分)(2) 因为BC ＝B 1C ，F 为BB 1的中点，所以CF ⊥BB 1.因为AF ⊥平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B 1，所以AF ⊥BB 1.(9分)因为CF ⊥BB 1，AF ⊥BB 1，CF ⊂平面AFC ，AF ⊂平面AFC ，CF ∩AF ＝F ， 所以BB 1⊥平面AFC.(11分)又AC ⊂平面AFC ，所以BB 1⊥AC. 又由(1)知BB 1∥CC 1，所以AC ⊥CC 1.在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为平行四边形， 所以四边形ACC 1A 1为矩形．(14分)17. 解：(1) 因为架面与架底平行，且AA 1与地面所成的角为π3，AA 1＝1米，所以“支架高度” h ＝1×sinπ3＝32(米)．(4分) (2) 过O 作OO 1⊥平面A 1B 1C 1，垂足为O 1.又O 1A 1⊂平面A 1B 1C 1，所以OO 1⊥O 1A 1.又AA 1与地面所成的角为θ，所以O 1A 1＝35cos θ.同理O 1C 1＝O 1B 1＝35cos θ，所以O 1为等边三角形A 1B 1C 1的外心，也为其重心， 所以B 1C 1＝A 1O 1·32×23＝35cos θ·3＝335cos θ，S △A 1B 1C 1＝34×(335cos θ)2＝273100cos 2θ. 记“支架需要空间”为V ，则V ＝273100cos 2θ·sin θ，θ∈[π6，π3]．(8分)令t ＝sin θ，则t ∈⎣⎡⎦⎤12，32.所以V ＝273100(1－t 2)t ＝273100(t －t 3)，t ∈⎣⎡⎦⎤12，32.又V′＝273100(1－3t 2)＝－813100(t 2－13)＝－813100(t ＋33)(t －33)，则当t ∈(12，33)时，V ′＞0，V 单调递增；当t ∈(33，32)时，V ′＜0，V 单调递减，所以当t ＝33时，V max ＝273100[33－(33)3]＝273100×33×23＝950(立方米)．(13分) 答：(1) 当θ＝π3时，“支架高度”为32米；(2) “支架需要空间”的最大值为950立方米．(14分)18. 解：(1) 设椭圆E 的焦距为2c(c ＞0)，则e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22，可知a 2＝2b 2.(2分)因为椭圆E 过点(1，22)， 所以1a 2＋12b 2＝1，解得a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(4分)(2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋t ，x 2＋2y 2＝2得3x 2＋4tx ＋2t 2－2＝0. 又直线l ：y ＝x ＋t 与椭圆E 相交于A ，B 两点，所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－43t ，x 1x 2＝2t 2－23，且Δ＝(4t)2－4×3×(2t 2－2)＞0，则－3＜t ＜ 3.(6分)设AB 的中点为M(x M ，y M )，则x M ＝x 1＋x 22＝－23t ，y M ＝x M ＋t ＝13t ，所以AB 的中垂线的方程为y ＝－x －13t ，即直线CD 的方程为y ＝－x －13t.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －13t ，x 2＋2y 2＝2得27x 2＋12tx ＋2t 2－18＝0，则⎩⎨⎧x 3＋x 4＝－49t ，x 3x 4＝2t 2－1827，(8分) 所以CD ＝（x 4－x 3）2＋（y 4－y 3）2＝1＋（－1）2·（x 3＋x 4）2－4x 3x 4 ＝2·（－49t ）2－4×2t 2－1827＝2·－881t 2＋83. 又t ∈(－3，3)，所以当t ＝0时，CD max ＝2×83＝433.(10分) (3) 由(2)知AC →·AD →＝(x 3－x 1，y 3－y 1)·(x 4－x 1，y 4－y 1) ＝(x 3－x 1)(x 4－x 1)＋(y 3－y 1)(y 4－y 1)＝(x 3－x 1)(x 4－x 1)＋(－x 3－x 1－43t)(－x 4－x 1－43t)＝x 3x 4－(x 3＋x 4)x 1＋x 21＋x 3x 4＋(x 1＋43t)(x 3＋x 4)＋x 21＋83tx 1＋169t 2＝2x 3x 4＋43t(x 3＋x 4)＋2x 21＋83tx 1＋169t 2.(13分) 又⎩⎨⎧x 3＋x 4＝－49t ，x 3x 4＝2t 2－1827，3x 21＋4tx 1＋2t 2－2＝0，所以AC →·AD →＝2x 3x 4＋43t(x 3＋x 4)＋23(3x 21＋4tx 1)＋169t 2 ＝2×2t 2－1827＋43t ×(－49t)＋23(2－2t 2)＋169t 2＝(427－1627－3627＋4827)t 2＝0.(16分) 19. (1) 解：设h(x)＝f(x)－g(x)＝x －1x －ln x ，则h′(x)＝1＋1x 2－1x ＝x 2－x ＋1x 2＝（x －12）2＋34x 2＞0，所以h(x)在(0，＋∞)上递增．又h(1)＝0，所以0＜x ＜1，所以f(x)－g(x)≤0的解集为(0，1)．(4分) (2) ①证明：由u(m)＋u(n)＝0得a(m 2－1)－ln m ＋a(n 2－1)－ln n ＝0， 即a(m 2＋n 2－2)－ln m －ln n ＝0，又a ＜0，所以a(m 2＋n 2－2)－ln m －ln n ＝0≤a(2mn －2)－ln(mn)． 因为m ≠n ，所以“＝”不成立．(7分) 思路一：设mn ＝t ，v(t)＝a(2t －2)－ln t(t ＞0)，则v′(t)＝2a －1t＜0，所以v(t)在(0，＋∞)上单调递减．又v(1)＝0，所以t ＜1，即mn ＜1.(10分) 思路二：假设mn ≥1，则2mn －2≥0，ln(mn)≥0，所以a(2mn －2)－ln(mn)≤0， 这与a(2mn －2)－ln(mn)＞0矛盾，故mn ＜1.(10分) ②解：u(x)＝xf(x)－g(x)＝a(x 2－1)－ln x ，当a ＞0时，u ′(x)＝2ax －1x ＝2ax 2－1x .令u′(x)＝0得x ＝±12a(负值舍去)． 所以当x ∈(0，12a)时，u ′(x)＜0，u(x)为减函数； 当x ∈(12a，＋∞)时，u ′(x)＞0，u(x)为增函数． 又u(1)＝0， 1° 当12a ＝1，即a ＝12时，u(x)有1个零点；(12分) 2° 当12a ＜1，即a ＞12时，由u(1)＝0可知u(12a)＜u(1)＝0， 又u(e －a )＞0，且e －a ＜1，所以u(x)在(0，1)上有1个零点，故此时u(x)有2个零点；(14分) 3° 当12a ＞1，即0＜a ＜12时，由u(1)＝0可知u(12a)＜u(1)＝0， 令φ(x)＝ln x －(x －1)，则φ′(x)＝1x －1＝1－x x，所以当x ∈(0，1)时，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)单调递减，所以φ(x)max ＝φ(1)＝0，故ln x ≤x －1，则－ln x ≥－(x －1)．所以u(x)＞a(x 2－1)－(x －1)，所以u(1a －1)＞0，且1a －1＞1，所以u(x)在(1，＋∞)上有1个零点，故此时u(x)有2个零点．综上，当a ＝12时，u(x)有1个零点；当a ＞0时a ≠12时，u(x)有2个零点．(16分)20. 解：(1) 因为a n ＝n 2，所以Δa n ＝a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1，则Δa n ＋1－Δa n ＝2.又Δa 1＝3，所以{Δa n }是首项为3，公差为2的等差数列．因为Δ2a n ＝Δa n ＋1－Δa n ＝2，则{Δ2a n }是首项为2，公差为0的等差数列．(2分)(2) 因为数列{b n }是公比为q 的正项等比数列，所以b n ＝b 1q n －1.又Δ2b n ＝Δb n ＋1－Δb n ＝b n ＋2－b n ＋1－(b n ＋1－b n )＝b n ＋2－2b n ＋1＋b n ，且对任意的n ∈N *，都存在m ∈N *，使得Δ2b n ＝b m ，所以对任意的n ∈N *，都存在m ∈N *，使得b 1q n ＋1－2b 1q n ＋b 1q n －1＝b 1q m －1，即(q －1)2＝q m －n .因为q ≥2，所以m －n ≥0. 1° 若m －n ＝0，则q 2－2q ＋1＝1，解得q ＝0(舍)或q ＝2，即当q ＝2时，对任意的n ∈N *，都有Δ2b n ＝b n .2° 若m －n ＝1，则q 2－3q ＋1＝0，解得q ＝3－52(舍)或q ＝3＋52，即当q ＝3＋52时，对任意的n ∈N *，都有Δ2b n ＝b n ＋1.3° 若m －n ≥2，则q m －n ≥q 2＞(q －1)2，故对任意的n ∈N *，不存在m ∈N *，使得Δ2b n＝b m .综上所述，q 所有可能的取值构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，3＋52.(8分) (3) 因为Δ2c n ＝0，所以Δ2c n ＝Δc n ＋1－Δc n ＝c n ＋2－c n ＋1－(c n ＋1－c n )＝c n ＋2－2c n ＋1＋c n ＝0，所以c n ＋2－c n ＋1＝c n ＋1－c n ，所以{c n }是等差数列．设{c n }的公差为d ，则c n ＝c 1＋(n －1)d. 若d ＝0，则c m ＝c n ；若d ＜0，则当n ＞1－c 1d 时，c n ＜0，与数列{c n }的各项均为正数矛盾，故d ＞0.(10分)由等差数列前n 项和公式可得S n ＝d 2n 2＋(c 1－d2)n ，所以S n ＋S m ＝d 2n 2＋(c 1－d 2)n ＋d 2m 2＋(c 1－d 2)m ＝d 2(n 2＋m 2)＋(c 1－d2)(m ＋n)，S k ＝d 2(m ＋n 2)2＋(c 1－d 2)·m ＋n2.又m ≠n ，m 2＋n 22＞（m ＋n ）24，所以S n ＋S m ＝d 2(n 2＋m 2)＋(c 1－d 2)(m ＋n)＞d 2·（m ＋n ）22＋(c 1－d 2)(m ＋n)＝2S k ， 则当t ≤2时，不等式S m ＋S n ＞tS k 都成立．(12分)另一方面，当t ＞2时，令m ＝k ＋1，n ＝k －1(k ∈N *，k ≥2)，则S m ＋S n ＝d 2[(k ＋1)2＋(k －1)2＋(c 1－d 2)·2k]＝d 2(2k 2＋2)＋2k(c 1－d 2)， S k ＝d 2k 2＋(c 1－d 2)k ， 则tS k －(S m ＋S n )＝d 2tk 2＋(c 1－d 2)tk －d 2(2k 2＋2)－2k(c 1－d 2) ＝(d 2t －d)(k 2－k)＋(t －2)c 1k －d. 因为d 2t －d ＞0，k 2－k ≥0，所以当k ＞d （t －2）c 1，tS k －(S n ＋S m )＞0，即S m ＋S n ＜tS k . 综上，t 的最大值为2.(16分)2020届高三模拟考试试卷(扬州)数学附加题参考答案及评分标准21. 解：(1) 用待定系数或公式可求得M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 2 2－1.(5分) (2) 设直线l 上任一点(x ，y)在矩阵M 对应的变换作用下为(x′，y ′)，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 2 2－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3x ＋2y 2x －y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′在x ＋3y ＝0上，(8分) 则－3x ＋2y ＋6x －3y ＝0，即3x －y ＝0，所以直线l 的方程为3x －y ＝0.(10分)22. 解：把直线的方程l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ，y ＝1－3t (t 为参数)化为普通方程为x ＋y ＝1.(3分) 圆ρ＝22sin (θ－π4)化为普通方程为x 2＋2x ＋y 2－2y ＝0， 即(x ＋1)2＋(y －1)2＝2.(6分) 圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22.(8分) 所以直线l 被圆C 截得的弦长为2（2）2－（22）2＝ 6.(10分)23. 解：(1) 因为n ＝A 35＝60，m ＝A 13A 24＝36，所以P 1＝3660＝35. 答：摸到三位数是奇数的概率是35.(4分) (2) 获奖金额X 的可能取值为50，100，200，300，400，500，则P(X ＝50)＝35，P(X ＝100)＝1×3×260＝110，P(X ＝200)＝1×3×160＝120， P(X ＝300)＝1×3×260＝110，P(X ＝400)＝1×3×160＝120，P(X ＝500)＝1×3×260＝110，(7分) 获奖金额X 的概率分布为数学期望E(X)＝50×35＋100×110＋200×120＋300×110＋400×120＋500×110＝150元． 答：期望是150元．24. 解：(1)1k ＋1C k n ＝1k ＋1·n ！k ！（n －k ）！＝1n ＋1·（n ＋1）！（k ＋1）！（n －k ）！＝1n ＋1C k ＋1n ＋1.(2分)(2) (－1)0C 02 020＋(－1)112C 12 020＋(－1)213C 22 020＋…＋(－1)2 02012 021C 2 0202 020＝∑2 020k ＝0(－1)k 1k ＋1C k 2 020＝12 021∑2 020k ＝0(－1)k C k ＋12 021＝12 021.(4分) (3) (解法1)设a n ＝∑n k ＝0(－1)k C k n 2k ＋2， 则a n ＝1＋∑n －1k ＝1(－1)k (C k n －1＋C k －1n －1)2k ＋2＋(－1)n 2n ＋2＝a n －1＋∑n k ＝1(－1)k C k －1n －12k ＋2＝a n －1＋2n ∑n k ＝1(－1)k C k n k k ＋2＝a n －1＋2n ⎣⎡⎦⎤∑n k ＝0 （－1）k C k n －∑n k ＝0 （－1）k C k n 2k ＋2＝a n －1＋2n(0－a n )，(7分) 所以a n ＝n n ＋2a n －1⇒a n ＝n n ＋2·n －1n ＋1a n －2＝…＝n （n －1）·…·3·2（n ＋2）（n ＋1）·…·5·4a 1. 又a 1＝13，所以a n ＝n ！2！（n ＋2）！＝1C n n ＋2. 所以∑2 020k ＝0(－1)k C k 2 0202k ＋2＝a 2 020＝1C 2 0202 022＝1C 22 022＝11 011×2 021＝12 043 231.(结果没化简，不扣分)(10分)(解法2)∑2 020k ＝0(－1)k C k 2 0202k ＋2＝∑2 020k ＝0(－1)k · 2 020！k ！（2 020－k ）！·2（k ＋1）（k ＋2）（k ＋1） ＝∑2 020k ＝0(－1)k · 2 022！（k ＋2）！（2 020－k ）！·2（k ＋1）2 022×2 021＝22 022×2 021·∑2 020k ＝0(－1)k ·(k －1)·C k ＋22 022 ＝22 022×2 021·∑2 020k ＝0(－1)k ·(k ＋2－1)·C k ＋22 022 ＝22 022×2 021·⎣⎡⎦⎤∑2 020k ＝0 （－1）k ·（k ＋2）·C k ＋22 022－∑2 020k ＝0 （－1）k ·C k ＋22 022 ＝22 022×2 021·⎣⎡⎦⎤∑2 020k ＝0（－1）k ·2 022·C k ＋12 021－∑2 020k ＝0 （－1）k ＋2·C k ＋22 022 ＝22 022×2 021·⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2 022∑2 020k ＝0 （－1）k ＋1·C k ＋12 021－[（1－1）2 022－1－C 22 022（－1）1] ＝22 022×2 021·{－2 022·[(1－1)2 021－1]＋1－2 022} ＝22 022×2 021＝11 011×2 021＝12 043 231.(结果没化简，不扣分)(10分)。

江苏省扬州市高邮中学2020届高三下学期5月模拟考试数学试题一、填空题(★) 1. 若集合，，则______.(★) 2. 已知，，若与互为共犯复数，则________．(★★) 3. 执行如图所示的程序框图,输出的值为____．(★★) 4. 某校共有400名学生参加了一次数学竞赛，竞赛成绩都在[50，100]内，且频率分布直方图如图所示(成绩分组为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，则在本次竞赛中，得分不低于80分的人数为______．(★★) 5. 若将甲、乙两个球随机放入编号为1，，的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，号盒子中各有一个球的概率是．(★★) 6. 已知函数.若，则实数的最小值为______.(★★)7. 如图，在正方体中，点在上，三棱锥的体积记为，正方体的体积记为，则________．(★★★) 8. 已知双曲线的离心率，过焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线交另一条渐近线与，则________．(★★★) 9. 已知函数的图象关坐标原点对称，则不等式的解集为________．(★★★) 10. 如图，在等腰直角中，，分别为斜边的三等分点（靠近点），过作的垂线，垂足为，若，则________．(★★★★) 11. 已知实数，满足，，且，则的最小值为________．(★★★) 12. 在平面直角坐标系中，为直线上在第三象限内的点，，以线段为直径的圆（为圆心）与直线相交于另一个点，，则圆的标准方程为________.(★★★) 13. 已知函数与的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数变化时，实数的取值范围为______________.(★★★★) 14. 已知数列满足，若正整数使得成立，则________．二、解答题(★★★) 15. 在中，角，，的对边分别为．已知，，．（1）求的值；（2）求的值．(★★★) 16. 如图，在直三棱柱中，，，点，分别为和的中点，（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．(★★★) 17. 如图，，是某景区的两条道路（宽度忽略不计，为东西方向）， Q为景区内一景点， A为道路上一游客休息区，已知，（百米）， Q到直线，的距离分别为3（百米），（百米），现新修一条自 A经过 Q的有轨观光直路并延伸至道路于点 B，并在 B处修建一游客休息区.（1）求有轨观光直路的长；（2）已知在景点 Q的正北方6百米的 P处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟，表演时，喷泉喷洒区域以 P为圆心， r为半径变化，且 t分钟时，（百米）（，）.当喷泉表演开始时，一观光车S（大小忽略不计）正从休息区B沿（1）中的轨道以（百米/分钟）的速度开往休息区 A，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由.(★★★) 18. 如图，已知椭圆 M：经过圆 N：与 x轴的两个交点和与 y轴正半轴的交点.（1）求椭圆 M的方程；（2）若点 P为椭圆 M上的动点，点 Q为圆 N上的动点，求线段 PQ长的最大值；（3）若不平行于坐标轴的直线交椭圆 M于 A 、 B两点，交圆 N于 C 、 D两点，且满足求证:线段 AB的中点 E在定直线上.(★★★★★) 19. 已知函数．（1）若时，函数有最大值为-1，求 b的值；（2）若时，设，为的个不同的极值点，证明：；（3）设，为的两个不同零点，证明．(★★★★) 20. 已知数列是无穷数列，若存在常数，使得对任意的成立，则称数列其有性质．（1）若数列满足：，其中，是数列的前项和，试判断是否具有性质．（2）若数列是等差数列，且数列具有性质，求数列的通项公式；（3）若正整数数列满足，且，若数列具有性质，求数列的通项公式．(★) 21. 在平面直角坐标系中，已知，，．设变换，对应的矩阵分别为，，求对依次实施变换，后所得图形的面积．(★★) 22. 在直角坐标系中，已知，曲线参数方程为（其中为参数），直线的参数方程为（为参数），若直线与曲线交于，两点，求的值．(★★) 23. 如图，在直三棱柱中，，，，分别是棱，的中点，点在直线上．（1）求直线与平面所成的角最大时，线段的长度；（2）是否存在这样的点，使平面与平面所成的二面角为，如果存在，试确定点的位置；如果不存在，请说明理由．(★★★) 24. 设集合，对的每一个4元子集，将其中的元素从小到大排列并取出每个集合中的第2个数，记取出的所有数的和为．（1）求的值；（2）求证：为定值．。

江苏省南通市、扬州市、泰州市高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．设复数z满足（1+2i）•z=3（i为虚数单位），则复数z的实部为______．2．设集合A={﹣1，0，1}，，A∩B={0}，则实数a的值为______．3．如图是一个算法流程图，则输出的k的值是______．4．为了解一批灯泡（共5000只）的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试，其使用寿命（单位：h）如表：使用寿命[500，700）[700，900）[900，1100）[1100，1300）[1300，1500]只数 5 23 44 25 3根据该样本的频数分布，估计该批灯泡使用寿命不低于1100h的灯泡只数是______．5．电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力．某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是______．6．已知函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象如图所示，则a+b的值是______．7．设函数（0＜x＜π），当且仅当时，y取得最大值，则正数ω的值为______．8．在等比数列{a n}中，a2=1，公比q≠±1．若a1，4a3，7a5成等差数列，则a6的值是______．9．在体积为的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，AB=1，BC=2，BD=3，则CD长度的所有值为______．10．在平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣2，0）的直线与圆x2+y2=1相切于点T，与圆相交于点R，S，且PT=RS，则正数a的值为______．11．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，+∞），满足f（x+2）=f（x），若当x∈[0，2）时，f（x）=|x2﹣x﹣1|，则函数y=f（x）﹣1在区间[﹣2，4]上的零点个数为______．12．如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3．点B、C 分别在m、n上，，则的最大值是______．13．实数x，y满足﹣y2=1，则3x2﹣2xy的最小值是______．14．若存在α，β∈R，使得，则实数t的取值范围是______．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．在斜三角形ABC中，tanA+tanB+tanAtanB=1．（1）求C的值；（2）若A=15°，，求△ABC的周长．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点．求证：（1）AP∥平面C1MN；（2）平面B1BDD1⊥平面C1MN．17．植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：方案①多边形为直角三角形AEB（∠AEB=90°），如图1所示，其中AE+EB=30m；方案②多边形为等腰梯形AEFB（AB＞EF），如图2所示，其中AE=EF=BF=10m．请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足=2．（1）若点P的坐标为（2，），求椭圆的方程；（2）设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且=m，直线OA，OB的斜率之积为﹣，求实数m的值．19．设函数f（x）=（x+k+1），g（x）=，其中k是实数．（1）若k=0，解不等式•f（x）≥•g（x）；（2）若k≥0，求关于x的方程f（x）=x•g（x）实根的个数．20．设数列{a n}的各项均为正数，{a n}的前n项和，n∈N*．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）等比数列{b n}的各项均为正数，，n∈N*，且存在整数k≥2，使得．（i）求数列{b n}公比q的最小值（用k表示）；（ii）当n≥2时，，求数列{b n}的通项公式．[附加题]21．在平面直角坐标系xOy中，设点A（﹣1，2）在矩阵对应的变换作用下得到点A′，将点B （3，4）绕点A′逆时针旋转90°得到点B′，求点B′的坐标．[附加题]22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．23．一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k倍的奖励（k∈N*），且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X元．（1）求概率P（X=0）的值；（2）为使收益X的数学期望不小于0元，求k的最小值．（注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！）24．设S4k=a1+a2+…+a4k（k∈N*），其中a i∈{0，1}（i=1，2，…，4k）．当S4k除以4的余数是b（b=0，1，2，3）时，数列a1，a2，…，a4k的个数记为m（b）．（1）当k=2时，求m（1）的值；（2）求m（3）关于k的表达式，并化简．江苏省南通市、扬州市、泰州市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．设复数z满足（1+2i）•z=3（i为虚数单位），则复数z的实部为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（1+2i）•z=3，得，∴复数z的实部为．故答案为：．2．设集合A={﹣1，0，1}，，A∩B={0}，则实数a的值为1．【考点】交集及其运算．【分析】由A，B，以及两集合的交集确定出a的值即可．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={a﹣1，a+}，A∩B={0}，∴a﹣1=0或a+=0（无解），解得：a=1，则实数a的值为1，故答案为：13．如图是一个算法流程图，则输出的k的值是17．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的k的值，当k=17时满足条件k＞9，退出循环，输出k 的值为17．【解答】解：模拟执行程序，可得k=0不满足条件k＞9，k=1不满足条件k＞9，k=3不满足条件k＞9，k=17满足条件k＞9，退出循环，输出k的值为17．故答案为：17．4．为了解一批灯泡（共5000只）的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试，其使用寿命（单位：h）如表：使用寿命[500，700）[700，900）[900，1100）[1100，1300）[1300，1500]只数 5 23 44 25 3根据该样本的频数分布，估计该批灯泡使用寿命不低于1100h的灯泡只数是1400．【考点】频率分布表．【分析】利用频率、频数与样本容量的关系进行求解即可．【解答】解：根据题意，估计该批灯泡使用寿命不低于1100h的灯泡的只数为5000×=1400．故答案为：1400．5．电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力．某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，由“立德树人”主题被该队选中的对立事件是从社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力选两个主题，利用对立事件概率计算公式能求出“立德树人”主题被该队选中的概率．【解答】解：电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，某参赛队从中任选2个主题作答，基本事件总数n==10，“立德树人”主题被该队选中的对立事件是从社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力选两个主题，∴“立德树人”主题被该队选中的概率p=1﹣=．故答案为：．6．已知函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象如图所示，则a+b的值是．【考点】对数函数的图象与性质；函数的图象．【分析】由函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象过（﹣3，0）点和（0，﹣2）点，构造方程组，解得答案．【解答】解：∵函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象过（﹣3，0）点和（0，﹣2）点，∴，解得：∴a+b=，故答案为：7．设函数（0＜x＜π），当且仅当时，y取得最大值，则正数ω的值为2．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据题意，得出ω+=+2kπ，k∈Z，求出ω的值即可．【解答】解：∵函数，且0＜x＜π，ω＞0，∴＜ωx+＜ωπ+，又当且仅当时，y取得最大值，∴＜ωx+＜ωπ+＜，∴ω+=，解得ω=2．故答案为：2．8．在等比数列{a n}中，a2=1，公比q≠±1．若a1，4a3，7a5成等差数列，则a6的值是．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意和等差数列可得q的方程，解方程由等比数列的通项公式可得．【解答】解：∵在等比数列{a n}中a2=1，公比q≠±1，a1，4a3，7a5成等差数列，∴8a3=a1+7a5，∴8×1×q=+7×1×q3，整理可得7q4﹣8q2+1=0，分解因式可得（q2﹣1）（7q2﹣1）=0，解得q2=或q2=1，∵公比q≠±1，∴q2=，∴a6=a2q4=故答案为：9．在体积为的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，AB=1，BC=2，BD=3，则CD长度的所有值为．【考点】棱锥的结构特征．【分析】由已知求得△BCD的面积，再由面积公式求得sinB，进一步求得cosB，再由余弦定理求得CD长度．【解答】解：如图，在四面体ABCD中，∵AB⊥平面BCD，∴AB为以BCD为底面的三棱锥的高，∵，AB=1，∴由，得．又BC=2，BD=3，得，得sinB=，∴cosB=．当cosB=时，CD2=22+32﹣2×2×3×=7，则CD=；当cosB=﹣时，CD2=22+32﹣2×2×3×（）=19，则CD=．∴CD长度的所有值为，．故答案为：，．10．在平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣2，0）的直线与圆x2+y2=1相切于点T，与圆相交于点R，S，且PT=RS，则正数a的值为4．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设过点P（﹣2，0）的直线方程为y=k（x+2），由直线与圆相切的性质得k=，不妨取k=，由勾股定理得PT=RS=，再由圆心（a，）到直线y=（x+2）的距离能求出结果．【解答】解：设过点P（﹣2，0）的直线方程为y=k（x+2），∵过点P（﹣2，0）的直线与圆x2+y2=1相切于点T，∴=1，解得k=，不妨取k=，PT==，∴PT=RS=，∵直线y=（x+2）与圆相交于点R，S，且PT=RS，∴圆心（a，）到直线y=（x+2）的距离d==，由a＞0，解得a=4．故答案为：4．11．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，+∞），满足f（x+2）=f（x），若当x∈[0，2）时，f（x）=|x2﹣x﹣1|，则函数y=f（x）﹣1在区间[﹣2，4]上的零点个数为7．【考点】函数零点的判定定理．【分析】如图所示，y=g（x）=f（x）﹣1=，再利用f（x+2）=f（x），可得x∈[2，4]上的图象．由函数f（x）是R上的偶函数，可得g（x）也是R上的偶函数，结合图象即可得出零点个数．【解答】解：如图所示，y=g（x）=f（x）﹣1=，再利用f（x+2）=f（x），可得x∈[2，4]上的图象．由函数f（x）是R上的偶函数，可得g（x）也是R上的偶函数，利用偶函数的性质可得x∈[﹣2，0）上的图象．x∈[0，2）时，g（0）=g（1）=0，x∈[2，4]时，g（2）=g（4）=g（0）=0，g（3）=g（1）=0．x∈[﹣2，0）时，g（﹣2）=g（2）=0，g（﹣1）=g（1）=0．指数可得：函数g（x）共有7个零点．故答案为：7．12．如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3．点B、C 分别在m、n上，，则的最大值是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立如图所示的坐标系，得到点A、B、C的坐标，由，求得a+b=±3，分类讨论，利用二次函数的性质求得的最大值．【解答】解：由点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3，可得平行线m、n间的距离为2，以直线m为x轴，以过点A且与直线m垂直的直线为y轴建立坐标系，如图所示：则由题意可得点A（0，1），直线n的方程为y=﹣2，设点B（a，0）、点C（b，﹣2），∴=（a，﹣1）、=（b，﹣3），∴+=（a+b，﹣4）．∵，∴（a+b）2+16=25，∴a+b=3，或a+b=﹣3．当a+b=3时，=ab+3=a（3﹣a）+3=﹣a2+3a+3，它的最大值为=．当a+b=﹣3时，=ab+3=a（﹣3﹣a）+3=﹣a2﹣3a+3，它的最大值为=．综上可得，的最大值为，故答案为：．13．实数x，y满足﹣y2=1，则3x2﹣2xy的最小值是6+4．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出双曲线的参数方程，代入所求式，运用切割化弦，可得+= [（1﹣sinα）+（1+sinα）]（+），展开再由基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：由﹣y2=1，可设x=2secα，y=tanα，则3x2﹣2xy=12sec2α﹣4secαtanα=﹣==+，其中﹣1＜sinα＜1，[（1﹣sinα）+（1+sinα）]（+）=12++≥12+2=12+8，当且仅当=，解得sinα=3﹣2（3+2舍去），取得最小值．则3x2﹣2xy的最小值是6+4．故答案为：6+4．14．若存在α，β∈R，使得，则实数t的取值范围是[，1]．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由α≤α﹣5cosβ，得到cosβ＜0，由已知α≤t，即，令，则f′（t）=，令f′（t）=0，则sinβ=0，当sinβ=0时，f（t）取得最小值，然后由t≤α﹣5cosβ，即，令，则．令f′（t）=0，则sinβ=0．当sinβ=0时，f（t）取得最大值．【解答】解：∵α≤α﹣5cosβ，∴0≤﹣5cosβ．∴cosβ＜0．∵α≤t，∴，即．令，则f′（t）==，令f′（t）=0，则sinβ=0．∴当sinβ=0时，f（t）取得最小值．f（t）=．∵t≤α﹣5cosβ，∴α≥t+5cosβ．∴即．令，则．令f′（t）=0，则sinβ=0．当sinβ=0时，f（t）取得最大值．f（t）=．则实数t的取值范围是：[，1]．故答案为：[，1]．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．在斜三角形ABC中，tanA+tanB+tanAtanB=1．（1）求C的值；（2）若A=15°，，求△ABC的周长．【考点】两角和与差的正切函数；正弦定理．【分析】（1）由条件利用两角和差的正切公式，诱导公式求得tanC的值可得C的值．（2）由条件利用正弦定理、两角和差的正弦公式求得a、b的值，可得△ABC的周长．【解答】解：（1）斜三角形ABC中，∵tanA+tanB+tanAtanB=1，∴tanA+tanB=1﹣tanAtanB，∴tan（A+B）==1，即﹣tanC=1，tanC=﹣1，∴C=135°．（2）若A=15°，则B=30°，∵，则由正弦定理可得===2，求得a=2sin（45°﹣30°）=2（sin45°cos30°﹣cos45°sin30°）=，b=•2=1，故△ABC的周长为a+b+c=+1+=．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点．求证：（1）AP∥平面C1MN；（2）平面B1BDD1⊥平面C1MN．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出四边形AMC1P为平行四边形，从而AP∥C1M，由此能证明AP∥平面C1MN．（2）连结AC，推导出MN⊥BD，DD1⊥MN，从而MN⊥平面BDD1B1，由此能证明平面B1BDD1⊥平面C1MN．【解答】证明：（1）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点，∴AM=PC1，又AM∥CD，PC1∥CD，故AM∥PC1，∴四边形AMC1P为平行四边形，∴AP∥C1M，又AP⊄平面C1MN，C1M⊂平面C1MN，∴AP∥平面C1MN．（2）连结AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD，又M、N分别为棱AB、BC的中点，∴MN∥AC，∴MN⊥BD，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，又MN⊂平面ABCD，∴DD1⊥MN，而DD1∩DB=D，DD1、DB⊂平面BDD1B1，∴MN⊥平面BDD1B1，又MN⊂平面C1MN，∴平面B1BDD1⊥平面C1MN．17．植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：方案①多边形为直角三角形AEB（∠AEB=90°），如图1所示，其中AE+EB=30m；方案②多边形为等腰梯形AEFB（AB＞EF），如图2所示，其中AE=EF=BF=10m．请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．【考点】定积分在求面积中的应用；基本不等式．【分析】设方案①，②的多边形苗圃的面积分别为S1，S2，根据基本不等式求出S1的最大值，用导数求出S2的最大值，比较即可．【解答】解：设方案①，②的多边形苗圃的面积分别为S1，S2，方案①，设AE=x，则S1=x（30﹣x）≤ []2=，当且仅当x=15时，取等号，方案②，设∠BAE=θ，则S2=100sinθ（1+cosθ），θ∈（0，），由S2′=100（2cos2θ+cosθ﹣1）=0得cosθ=（cosθ=﹣1舍去），∵θ∈（0，），∴θ=，当S2′＞0，解得0＜x＜，函数单调递增，当S2′＜0，解得＜x＜，函数单调递减，∴当θ=时，（S2）max=75，∵＜75，∴建立苗圃时用方案②，且∠BAE=．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足=2．（1）若点P的坐标为（2，），求椭圆的方程；（2）设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且=m，直线OA，OB的斜率之积为﹣，求实数m的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知得A（﹣1，﹣），代入椭圆，得，再由椭圆离心率为，得=，由此能求出椭圆方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），推导出P（﹣2x1，﹣2y1），（﹣2x1﹣x2，﹣2y1﹣y2）=m （x3﹣x2，y3﹣y2），从而得到（）+（）﹣（）=1，由直线OA，OB的斜率之积为﹣，得到=0，由此能求出实数m的值．【解答】解：（1）∵A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足=2，点P的坐标为（2，），∴A（﹣1，﹣），代入椭圆，得，①∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，∴=，②联立①②，解得a2=2，b2=1，∴椭圆方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），∵=2，∴P（﹣2x1，﹣2y1），∵=m，∴（﹣2x1﹣x2，﹣2y1﹣y2）=m（x3﹣x2，y3﹣y2），∴，∴，代入椭圆，得=1，即（）+（）﹣（）=1，③∵A，B在椭圆上，∴+=1，=1，④∵直线OA，OB的斜率之积为﹣，∴=﹣，结合②，知=0，⑤将④⑤代入③，得=1，解得m=．19．设函数f（x）=（x+k+1），g（x）=，其中k是实数．（1）若k=0，解不等式•f（x）≥•g（x）；（2）若k≥0，求关于x的方程f（x）=x•g（x）实根的个数．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）若k=0，先化简不等式即可解不等式•f（x）≥•g（x）；（2）若k≥0，化简方程f（x）=x•g（x），然后讨论k的取值范围即可得到结论．【解答】解：（1）若k=0，f（x）=（x+1），g（x）=，则不等式•f（x）≥•g（x）等价为•（x+1）≥•，此时，即x≥0，此时不等式等价为（x+1）x≥（x+3），即2x2+x﹣3≥0，得x≥1或x≤﹣，∵x≥0，∴x≥1，即不等式的解集为[1，+∞）．（2）若k≥0，由f（x）=x•g（x）得（x+k+1）=x，①．由得，即x≥k，∴当x≥0时x﹣k+1＞0，方程①两边平方整理得（2k﹣1）x2﹣（k2﹣1）x﹣k（k+1）2=0，（x≥k），②当k=时，由②得x=，∴方程有唯一解，当k ≠时，由②得判别式△=（k +1）2（3k ﹣1）2， 1）当k=时，判别式△=0，方程②有两个相等的根x=，∴原方程有唯一解．2）0≤k ＜且k ≠时，方程②整理为[（2k ﹣1）x +k （k +1）]（x ﹣k ﹣1）=0， 解得x 1=，x 2=k +1，由于判别式△＞0，∴x 1≠x 2，其中x 2=k +1＞k ，x 1﹣k=≥0，即x 1≥k ，故原方程有两解，3）当k ＞时，由2）知，x 1﹣k=＜0，即x 1＜k ，故x 1不是原方程的解，而x 2=k +1＞k ，则原方程有唯一解，综上所述，当k ≥或k=时，原方程有唯一解， 当0≤k ＜且k ≠时，原方程有两解．20．设数列{a n }的各项均为正数，{a n }的前n 项和，n ∈N *．（1）求证：数列{a n }为等差数列； （2）等比数列{b n }的各项均为正数，，n ∈N *，且存在整数k ≥2，使得．（i ）求数列{b n }公比q 的最小值（用k 表示）； （ii ）当n ≥2时，，求数列{b n }的通项公式．【考点】数列的求和；等差关系的确定． 【分析】（1）数列{a n }的前n 项和，n ∈N *．利用递推关系可得：a n ﹣a n ﹣1=2，再利用等差数列的通项公式即可得出．（2）（i ）由（1）可得：a n =2n ﹣1，S n =n 2．根据存在整数k ≥2，使得．可得b 1=．b n =k 2•．由，n ∈N *，可得：q n ﹣k ≥，当n=k 时，上式恒成立．当n ≥k +1时，可得：（n ﹣k ）lnq=2，利用导数研究其单调性可得：的最大值为k ，q ≥．当n ≤k ﹣1时，q ≤．可得q 的最小值为（整数k ≥2）． （ii ）由题意可得：q ∈N *，由（i ）可知：q ∈，（k ≥2），可得：q ≥＞1，q ≤≤4，q ∈{2，3，4}，分类讨论即可得出．【解答】（1）证明：∵数列{a n }的前n 项和，n ∈N *．∴当n=1时，，解得a 1=1．当n ≥2时，a n =S n ﹣S=﹣，化为：（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣2）=0，∵数列{a n }的各项均为正数，∴a n +a n ﹣1＞0（n ≥2），a n ﹣a n ﹣1=2，∴数列{a n}是等差数列，公差为2．（2）解：（i）由（1）可得：a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，S n=n2．∵存在整数k≥2，使得．∴，可得b1=．∴b n==k2•，∵，n∈N*，∴k2•q n﹣k≥n2，∴q n﹣k≥，当n=k时，上式恒成立．当n≥k+1时，可得：（n﹣k）lnq=2，∴≥，令f（x）=，（x＞1），则f′（x）=，令g（t）=1﹣t+lnt，（0＜t＜1），则g′（t）=＞0，因此函数g（t）在（0，1）内单调递增，∴g（t）＜g（1）=0，∴f′（x）＜0，∴函数f（x）在（1，+∞）为减函数，∴的最大值为k，∴≥k，∴q≥．当n≤k﹣1时，q≤．∴q的最小值为（整数k≥2）．（ii）由题意可得：q∈N*，由（i）可知：q∈，（k≥2），∴q≥＞1，q≤≤4，∴q∈{2，3，4}，当q=2时，≤2≤，只能取k=3，此时b n=，舍去．当q=3时，≤3≤，只能取k=2，此时b n=4，舍去．当q=4时，≤4≤，只能取k=3，此时b n=22n﹣3，符合条件．综上可得：b n=22n﹣3．[附加题]21．在平面直角坐标系xOy中，设点A（﹣1，2）在矩阵对应的变换作用下得到点A′，将点B（3，4）绕点A′逆时针旋转90°得到点B′，求点B′的坐标．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】设B′（x，y），=，求得A′的坐标，写出向量，，=，即可求得x和y，求得点B′的坐标．【解答】解：设B′（x，y），由题意可知：=，得A′（1，2），则=（2，2），=（x﹣1，y﹣2），即旋转矩阵N=，则=，即=，解得：，所以B′的坐标为（﹣1，4）．[附加题]22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】直线（t为参数），消去参数t化为普通方程．由曲线（θ为参数），利用倍角公式可得y=1﹣2sin2θ，联立解出，再利用两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：直线（t为参数）化为普通方程：y=2x+1．由曲线（θ为参数），可得y=1﹣2sin2θ=1﹣2x2（﹣1≤x≤1），联立（﹣1≤x≤1），解得，或，．∴A（﹣1，﹣1），B（0，1），∴|AB|==．23．一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k倍的奖励（k∈N*），且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X元．（1）求概率P（X=0）的值；（2）为使收益X的数学期望不小于0元，求k的最小值．（注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！）【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）事件“X=0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，由此能求出P（X=0）．（2）依题意，X的可能取值为k，﹣1，1，0，分别求出相应的概率，由此求出E（X），进而能求出k的最小值．【解答】解：（1）事件“X=0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，则P（X=0）=3×=．（2）依题意，X的可能取值为k，﹣1，1，0，且P（X=k）=（）3=，P（X=﹣1）=（）3=，P（X=1）=3×=，P（X=0）=3×=，∴参加游戏者的收益X的数学期望为：E（X）==，为使收益X的数学期望不小于0元，故k≥110，∴k的最小值为110．24．设S4k=a1+a2+…+a4k（k∈N*），其中a i∈{0，1}（i=1，2，…，4k）．当S4k除以4的余数是b（b=0，1，2，3）时，数列a1，a2，…，a4k的个数记为m（b）．（1）当k=2时，求m（1）的值；（2）求m（3）关于k的表达式，并化简．【考点】整除的定义．【分析】（1）当k=2时，由题意可得数列a1，a2，…，a8中有1个1或5个1，其余为0，可得m（1）=；（2）依题意，数列a1，a2，…，a4k中有3个1，或7个1，或11个1，或（4k﹣1）个1，其余为0，然后用组合数表示m（3），同理用组合数表示m（1），结合m（1）=m（3），求出m（1）+m（3），即可求得m （3）．【解答】解：（1）当k=2时，数列a1，a2，…，a8中有1个1或5个1，其余为0，∴m（1）=；（2）依题意，数列a1，a2，…，a4k中有3个1，或7个1，或11个1，或（4k﹣1）个1，其余为0，∴m（3）=，同理得：m（1）=，∵，∴m（1）=m（3）．又m（1）+m（3）==24k﹣1，∴m（3）=24k﹣2=42k﹣1．。

江苏省扬州市2020届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|－1＜x ＜2}，B ＝{x|x ＞0}，则A ∩B ＝________．2. 已知(1－i)z ＝2＋i ，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为________．3. 已知某校高一、高二、高三年级分别有1 000，800，600名学生，现计划用分层抽样的方法抽取120名学生去参加社会实践，则在高三年级需抽取________名学生．S ←0For I From 1 To 5 S ←S ＋I End For Print S4. 如图伪代码的输出结果为________．5. 若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥－1，x ＋y －1≤0，则2x －y 的最小值为________．6. 已知a ∈{－1，1}，b ＝{－3，1，2}，则直线ax ＋by －1＝0不经过第二象限的概率为________．7. 已知双曲线x 24－y 2b 2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的虚轴长为________．8. 已知α为锐角，且cos(α＋π6)＝13，则cos α＝________．9. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1a 6＝3a 3，且a 4与a 5的等差中项为2，则S 5＝________． 10. 在正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，O 为上底面ABCD 的中心．设正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1与正四棱锥OA 1B 1C 1D 1的侧面积分别为S 1，S 2，则S 1S 2＝________．11. 已知曲线C ：f(x)＝x 3－x ，直线l ：y ＝ax －a ，则“a ＝－14”是“直线l 与曲线C 相切”的____________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分又不必要”)12. 已知x ＞0，y ＞0，则x ＋y x ＋16xy的最小值为________．13. 已知点D 为圆O ：x 2＋y 2＝4的弦MN 的中点，点A 的坐标为(1，0)，且AM →·AN →＝1，则OA →·OD →的最小值为________．14. 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧a n ＋1，n4∉N *，a n ，n4∈N *.设{a n }的前n 项和为S n ，若S 4n ≤λ·2n －1恒成立，则实数λ的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)在△ABC 中，已知2S ＝bccos A ，其中S 为△ABC 的面积，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边． (1) 求角A 的值；(2) 若tan B ＝65，求sin 2C 的值．16.(本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BC ＝B 1C ，O 为四边形ACC 1A 1对角线的交点，F 为棱BB 1的中点，且AF ⊥平面BCC 1B 1.求证：(1) OF ∥平面ABC ； (2) 四边形ACC 1A 1为矩形．某厂根据市场需求开发三角花篮支架(如图)，上面为花篮，支架由三根细钢管组成．考虑到钢管的受力和花篮质量等因素，设计支架应满足：① 三根细钢管长均为1米(粗细忽略不计)，且与地面所成的角均为θ(π6≤θ≤π3)；② 架面与架底平行，且架面三角形ABC 与架底三角形A 1B 1C 1均为等边三角形；③ 三根细钢管相交处的节点O 分三根细钢管上、下两段之比均为2∶3.定义：架面与架底的距离为“支架高度”，架底三角形A 1B 1C 1的面积与“支架高度”的乘积为“支架需要空间”．(1) 当θ＝π3时，求“支架高度”；(2) 求“支架需要空间”的最大值．18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(1，22)，且椭圆的离心率为22.直线l ：y ＝x ＋t 与椭圆E 相交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交椭圆E 于C ，D 两点． (1) 求椭圆E 的标准方程； (2) 求线段CD 长的最大值； (3) 求AC →·AD →的值．已知函数f(x)＝a(x －1x )(a ∈R )，g(x)＝ln x.(1) 当a ＝1时，解不等式：f(x)－g(x)≤0； (2) 设u(x)＝xf(x)－g(x)．①当a ＜0时，若存在m ，n ∈(0，＋∞)(m ≠n)，使得u(m)＋u(n)＝0，求证：mn ＜1； ②当a ＞0时，讨论u(x)的零点个数．20. (本小题满分16分)对数列{a n }，规定{Δa n }为数列{a n }的一阶差分数列，其中Δa n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．规定{Δ2a n }为{a n }的二阶差分数列，其中Δ2a n ＝Δa n ＋1－Δa n (n ∈N *)．(1) 已知数列{a n }的通项公式a n ＝n 2(n ∈N *)，试判断{Δa n }，{Δ2a n }是否为等差数列，请说明理由；(2) 若数列{b n }是公比为q 的正项等比数列，且q ≥2，对于任意的n ∈N *，都存在m ∈N *，使得Δ2b n ＝b m ，求q 所有可能的取值构成的集合；(3) 设各项均为正数的数列{c n }的前n 项和为S n ，且Δ2c n ＝0.对满足m ＋n ＝2k ，m ≠n 的任意正整数m ，n ，k ，都有c m ≠c n ，且不等式S m ＋S n ＞tS k 恒成立，求实数t 的最大值.2020届高三模拟考试试卷(十五)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 22b ，M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1223，且MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001. (1) 求矩阵M ；(2) 若直线l 在矩阵M 对应的变换作用下变为直线x ＋3y ＝0，求直线l 的方程．22.(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ，y ＝1－3t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C ：ρ＝22sin (θ－π4)，求直线l 被曲线C 截得的弦长．23. (本小题满分10分)某商场举行元旦促销回馈活动，凡购物满1 000元，即可参与抽奖活动，抽奖规则如下：在一个不透明的口袋中装有编号为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次(每次摸出的小球均不放回口袋)，编号依次作为一个三位数的个位、十位、百位，若三位数是奇数，则奖励50元，若三位数是偶数，则奖励100m 元(m 为三位数的百位上的数字，如三位数为234，则奖励100×2＝200元)．(1) 求抽奖者在一次抽奖中所得三位数是奇数的概率；(2) 求抽奖者在一次抽奖中获奖金额X 的概率分布与数学期望E(X)．24.(本小题满分10分)(1) 求证：1k ＋1C k n ＝1n ＋1C k ＋1n ＋1(n ∈N *，k ∈N )；(2) 计算：(－1)0C 02 020＋(－1)112C 12 020＋(－1)213C 22 020＋…＋(－1)2 02012 021C 2 0202 020； (3) 计算：∑2 020k ＝0(－1)k C k 2 0202k ＋2.2020届高三模拟考试试卷(扬州)数学参考答案及评分标准1. {x|0＜x ＜2}2. 1023. 304. 155. －16. 16 7. 25 8. 3＋2269. 121 10.3105 11. 充分不必要 12. 42 13. －1 14. λ≥33215. 解：(1) 因为2S ＝bccos A ，所以2×12bcsin A ＝bccos A ，则sin A ＝cos A ．(3分)在△ABC 中，因为A ∈(0，π)，所以sin A ＝cos A ＞0， 所以tan A ＝1，(5分) 所以A ＝π4.(7分)(2) 由(1)知A ＝π4，又tan B ＝65，所以tan(A ＋B)＝tan(π4＋B)＝1＋tan B1－tan B＝1＋651－65＝－11.(9分)在△ABC 中，因为A ＋B ＋C ＝π，所以tan C ＝－tan(A ＋B)＝11，所以sin 2C ＝2sin Ccos C ＝2sin Ccos C sin 2C ＋cos 2C ＝2tan C1＋tan 2C ＝2×111＋112＝22122＝1161.(14分)16. 证明：(1) 取AC 中点D ，连结OD.在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为平行四边形，BB 1∥CC 1∥AA 1，且BB 1＝AA 1. 因为O 为平行四边形ACC 1A 1对角线的交点，所以O 为A 1C 的中点． 又D 为AC 的中点，所以OD ∥AA 1，且OD ＝12AA 1.(2分)又BB 1∥AA 1，BB 1＝AA 1，所以OD ∥BB 1，且OD ＝12BB 1.又F 为BB 1的中点，所以OD ∥BF ，且OD ＝BF ，所以四边形ODBF 为平行四边形，所以OF ∥BD.(5分)因为BD ⊂平面ABC ，OF ⊄平面ABC ， 所以OF ∥平面ABC.(7分)(2) 因为BC ＝B 1C ，F 为BB 1的中点，所以CF ⊥BB 1.因为AF ⊥平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B 1，所以AF ⊥BB 1.(9分) 因为CF ⊥BB 1，AF ⊥BB 1，CF ⊂平面AFC ，AF ⊂平面AFC ，CF ∩AF ＝F ， 所以BB 1⊥平面AFC.(11分) 又AC ⊂平面AFC ，所以BB 1⊥AC. 又由(1)知BB 1∥CC 1，所以AC ⊥CC 1.在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为平行四边形， 所以四边形ACC 1A 1为矩形．(14分)17. 解：(1) 因为架面与架底平行，且AA 1与地面所成的角为π3，AA 1＝1米，所以“支架高度” h ＝1×sinπ3＝32(米)．(4分) (2) 过O 作OO 1⊥平面A 1B 1C 1，垂足为O 1. 又O 1A 1⊂平面A 1B 1C 1，所以OO 1⊥O 1A 1.又AA 1与地面所成的角为θ，所以O 1A 1＝35cos θ.同理O 1C 1＝O 1B 1＝35cos θ，所以O 1为等边三角形A 1B 1C 1的外心，也为其重心， 所以B 1C 1＝A 1O 1·32×23＝35cos θ·3＝335cos θ，S △A 1B 1C 1＝34×(335cos θ)2＝273100cos 2θ. 记“支架需要空间”为V ，则V ＝273100cos 2θ·sin θ，θ∈[π6，π3]．(8分)令t ＝sin θ，则t ∈⎣⎡⎦⎤12，32.所以V ＝273100(1－t 2)t ＝273100(t －t 3)，t ∈⎣⎡⎦⎤12，32.又V′＝273100(1－3t 2)＝－813100(t 2－13)＝－813100(t ＋33)(t －33)，则当t ∈(12，33)时，V ′＞0，V 单调递增；当t ∈(33，32)时，V ′＜0，V 单调递减，所以当t ＝33时，V max ＝273100[33－(33)3]＝273100×33×23＝950(立方米)．(13分) 答：(1) 当θ＝π3时，“支架高度”为32米；(2) “支架需要空间”的最大值为950立方米．(14分)18. 解：(1) 设椭圆E 的焦距为2c(c ＞0)，则e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22，可知a 2＝2b 2.(2分)因为椭圆E 过点(1，22)， 所以1a 2＋12b 2＝1，解得a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(4分)(2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋t ，x 2＋2y 2＝2得3x 2＋4tx ＋2t 2－2＝0. 又直线l ：y ＝x ＋t 与椭圆E 相交于A ，B 两点，所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－43t ，x 1x 2＝2t 2－23，且Δ＝(4t)2－4×3×(2t 2－2)＞0，则－3＜t ＜ 3.(6分)设AB 的中点为M(x M ，y M )，则x M ＝x 1＋x 22＝－23t ，y M ＝x M ＋t ＝13t ，所以AB 的中垂线的方程为y ＝－x －13t ，即直线CD 的方程为y ＝－x －13t.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －13t ，x 2＋2y 2＝2得27x 2＋12tx ＋2t 2－18＝0，则⎩⎨⎧x 3＋x 4＝－49t ，x 3x 4＝2t 2－1827，(8分) 所以CD ＝（x 4－x 3）2＋（y 4－y 3）2＝1＋（－1）2·（x 3＋x 4）2－4x 3x 4 ＝2·（－49t ）2－4×2t 2－1827＝2·－881t 2＋83. 又t ∈(－3，3)，所以当t ＝0时，CD max ＝2×83＝433.(10分)(3) 由(2)知AC →·AD →＝(x 3－x 1，y 3－y 1)·(x 4－x 1，y 4－y 1) ＝(x 3－x 1)(x 4－x 1)＋(y 3－y 1)(y 4－y 1)＝(x 3－x 1)(x 4－x 1)＋(－x 3－x 1－43t)(－x 4－x 1－43t)＝x 3x 4－(x 3＋x 4)x 1＋x 21＋x 3x 4＋(x 1＋43t)(x 3＋x 4)＋x 21＋83tx 1＋169t 2＝2x 3x 4＋43t(x 3＋x 4)＋2x 21＋83tx 1＋169t 2.(13分) 又⎩⎨⎧x 3＋x 4＝－49t ，x 3x 4＝2t 2－1827，3x 21＋4tx 1＋2t 2－2＝0，所以AC →·AD →＝2x 3x 4＋43t(x 3＋x 4)＋23(3x 21＋4tx 1)＋169t 2 ＝2×2t 2－1827＋43t ×(－49t)＋23(2－2t 2)＋169t 2＝(427－1627－3627＋4827)t 2＝0.(16分) 19. (1) 解：设h(x)＝f(x)－g(x)＝x －1x －ln x ，则h′(x)＝1＋1x 2－1x＝x 2－x ＋1x 2＝（x －12）2＋34x 2＞0，所以h(x)在(0，＋∞)上递增．又h(1)＝0，所以0＜x ＜1，所以f(x)－g(x)≤0的解集为(0，1)．(4分) (2) ①证明：由u(m)＋u(n)＝0得a(m 2－1)－ln m ＋a(n 2－1)－ln n ＝0， 即a(m 2＋n 2－2)－ln m －ln n ＝0，又a ＜0，所以a(m 2＋n 2－2)－ln m －ln n ＝0≤a(2mn －2)－ln(mn)． 因为m ≠n ，所以“＝”不成立．(7分) 思路一：设mn ＝t ，v(t)＝a(2t －2)－ln t(t ＞0)，则v′(t)＝2a －1t ＜0，所以v(t)在(0，＋∞)上单调递减． 又v(1)＝0，所以t ＜1，即mn ＜1.(10分)。

2020届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)2020．5一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|－1＜x ＜2}，B ＝{x|x ＞0}，则A ∩B ＝________．2. 已知(1－i)z ＝2＋i ，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为________．3. 已知某校高一、高二、高三年级分别有1 000，800，600名学生，现计划用分层抽样的方法抽取120名学生去参加社会实践，则在高三年级需抽取________名学生．S ←0For I From 1 To 5 S ←S ＋I End For Print S4. 如图伪代码的输出结果为________．5. 若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥－1，x ＋y －1≤0，则2x －y 的最小值为________．6. 已知a ∈{－1，1}，b ＝{－3，1，2}，则直线ax ＋by －1＝0不经过第二象限的概率为________．7. 已知双曲线x 24－y 2b 2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的虚轴长为________．8. 已知α为锐角，且cos(α＋π6)＝13，则cos α＝________．9. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1a 6＝3a 3，且a 4与a 5的等差中项为2，则S 5＝________．10. 在正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，O 为上底面ABCD 的中心．设正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1与正四棱锥OA 1B 1C 1D 1的侧面积分别为S 1，S 2，则S 1S 2＝________．11. 已知曲线C ：f(x)＝x 3－x ，直线l ：y ＝ax －a ，则“a ＝－14”是“直线l 与曲线C 相切”的____________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分又不必要”)12. 已知x ＞0，y ＞0，则x ＋y x ＋16xy的最小值为________．13. 已知点D 为圆O ：x 2＋y 2＝4的弦MN 的中点，点A 的坐标为(1，0)，且AM →·AN →＝1，则OA →·OD →的最小值为________．14. 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧a n ＋1，n4∉N *，a n ，n4∈N *.设{a n }的前n 项和为S n ，若S 4n ≤λ·2n－1恒成立，则实数λ的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，已知2S ＝bccos A ，其中S 为△ABC 的面积，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．(1) 求角A 的值；(2) 若tan B ＝65，求sin 2C 的值．16.(本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BC ＝B 1C ，O 为四边形ACC 1A 1对角线的交点，F 为棱BB 1的中点，且AF ⊥平面BCC 1B 1.求证：(1) OF ∥平面ABC ；(2) 四边形ACC 1A 1为矩形．17. (本小题满分14分)某厂根据市场需求开发三角花篮支架(如图)，上面为花篮，支架由三根细钢管组成．考虑到钢管的受力和花篮质量等因素，设计支架应满足：① 三根细钢管长均为1米(粗细忽略不计)，且与地面所成的角均为θ(π6≤θ≤π3)；② 架面与架底平行，且架面三角形ABC 与架底三角形A 1B 1C 1均为等边三角形；③ 三根细钢管相交处的节点O 分三根细钢管上、下两段之比均为2∶3.定义：架面与架底的距离为“支架高度”，架底三角形A 1B 1C 1的面积与“支架高度”的乘积为“支架需要空间”．(1) 当θ＝π3时，求“支架高度”；(2) 求“支架需要空间”的最大值．18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(1，22)，且椭圆的离心率为22.直线l ：y ＝x ＋t 与椭圆E 相交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交椭圆E 于C ，D 两点．(1) 求椭圆E 的标准方程； (2) 求线段CD 长的最大值；(3) 求AC →·AD →的值．19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝a(x －1x)(a ∈R )，g(x)＝ln x.(1) 当a ＝1时，解不等式：f(x)－g(x)≤0； (2) 设u(x)＝xf(x)－g(x)．①当a ＜0时，若存在m ，n ∈(0，＋∞)(m ≠n)，使得u(m)＋u(n)＝0，求证：mn ＜1； ②当a ＞0时，讨论u(x)的零点个数．20. (本小题满分16分) 对数列{a n }，规定{Δa n }为数列{a n }的一阶差分数列，其中Δa n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．规定{Δ2a n }为{a n }的二阶差分数列，其中Δ2a n ＝Δa n ＋1－Δa n (n ∈N *)．(1) 已知数列{a n }的通项公式a n ＝n 2(n ∈N *)，试判断{Δa n }，{Δ2a n }是否为等差数列，请说明理由；(2) 若数列{b n }是公比为q 的正项等比数列，且q ≥2，对于任意的n ∈N *，都存在m ∈N *，使得Δ2b n ＝b m ，求q 所有可能的取值构成的集合；(3) 设各项均为正数的数列{c n }的前n 项和为S n ，且Δ2c n ＝0.对满足m ＋n ＝2k ，m ≠n 的任意正整数m ，n ，k ，都有c m ≠c n ，且不等式S m ＋S n ＞tS k 恒成立，求实数t 的最大值.2020届高三模拟考试试卷(十五)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 22b ，M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1223，且MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001.(1) 求矩阵M ；(2) 若直线l 在矩阵M 对应的变换作用下变为直线x ＋3y ＝0，求直线l 的方程．22.(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ，y ＝1－3t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C ：ρ＝22sin (θ－π4)，求直线l 被曲线C 截得的弦长．23. (本小题满分10分)某商场举行元旦促销回馈活动，凡购物满1 000元，即可参与抽奖活动，抽奖规则如下：在一个不透明的口袋中装有编号为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次(每次摸出的小球均不放回口袋)，编号依次作为一个三位数的个位、十位、百位，若三位数是奇数，则奖励50元，若三位数是偶数，则奖励100m 元(m 为三位数的百位上的数字，如三位数为234，则奖励100×2＝200元)．(1) 求抽奖者在一次抽奖中所得三位数是奇数的概率；(2) 求抽奖者在一次抽奖中获奖金额X 的概率分布与数学期望E(X)．24.(本小题满分10分)(1) 求证：1k ＋1C k n ＝1n ＋1C k ＋1n ＋1(n ∈N *，k ∈N )；(2) 计算：(－1)0C 02 020＋(－1)112C 12 020＋(－1)213C 22 020＋…＋(－1)2 02012 021C 2 0202 020； (3) 计算：∑2 020k ＝0(－1)k C k 2 0202k ＋2.2020届高三模拟考试试卷(扬州)数学参考答案及评分标准1. {x|0＜x ＜2}2. 1023. 304. 155. －16. 16 7. 25 8. 3＋2269. 121 10.3105 11. 充分不必要 12. 42 13. －1 14. λ≥33215. 解：(1) 因为2S ＝bccos A ，所以2×12bcsin A ＝bccos A ，则sin A ＝cos A ．(3分)在△ABC 中，因为A ∈(0，π)，所以sin A ＝cos A ＞0， 所以tan A ＝1，(5分) 所以A ＝π4.(7分)(2) 由(1)知A ＝π4，又tan B ＝65，所以tan(A ＋B)＝tan(π4＋B)＝1＋tan B1－tan B＝1＋651－65＝－11.(9分)在△ABC 中，因为A ＋B ＋C ＝π，所以tan C ＝－tan(A ＋B)＝11，所以sin 2C ＝2sin Ccos C ＝2sin Ccos C sin 2C ＋cos 2C ＝2tan C1＋tan 2C ＝2×111＋112＝22122＝1161.(14分)16. 证明：(1) 取AC 中点D ，连结OD.在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为平行四边形，BB 1∥CC 1∥AA 1，且BB 1＝AA 1.因为O 为平行四边形ACC 1A 1对角线的交点，所以O 为A 1C 的中点．又D 为AC 的中点，所以OD ∥AA 1，且OD ＝12AA 1.(2分)又BB 1∥AA 1，BB 1＝AA 1，所以OD ∥BB 1，且OD ＝12BB 1.又F 为BB 1的中点，所以OD ∥BF ，且OD ＝BF ，所以四边形ODBF 为平行四边形，所以OF ∥BD.(5分)因为BD ⊂平面ABC ，OF ⊄平面ABC ， 所以OF ∥平面ABC.(7分)(2) 因为BC ＝B 1C ，F 为BB 1的中点，所以CF ⊥BB 1.因为AF ⊥平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B 1，所以AF ⊥BB 1.(9分)因为CF ⊥BB 1，AF ⊥BB 1，CF ⊂平面AFC ，AF ⊂平面AFC ，CF ∩AF ＝F ， 所以BB 1⊥平面AFC.(11分)又AC ⊂平面AFC ，所以BB 1⊥AC. 又由(1)知BB 1∥CC 1，所以AC ⊥CC 1.在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为平行四边形， 所以四边形ACC 1A 1为矩形．(14分)17. 解：(1) 因为架面与架底平行，且AA 1与地面所成的角为π3，AA 1＝1米，所以“支架高度” h ＝1×sinπ3＝32(米)．(4分) (2) 过O 作OO 1⊥平面A 1B 1C 1，垂足为O 1.又O 1A 1⊂平面A 1B 1C 1，所以OO 1⊥O 1A 1.又AA 1与地面所成的角为θ，所以O 1A 1＝35cos θ.同理O 1C 1＝O 1B 1＝35cos θ，所以O 1为等边三角形A 1B 1C 1的外心，也为其重心， 所以B 1C 1＝A 1O 1·32×23＝35cos θ·3＝335cos θ，S △A 1B 1C 1＝34×(335cos θ)2＝273100cos 2θ. 记“支架需要空间”为V ，则V ＝273100cos 2θ·sin θ，θ∈[π6，π3]．(8分)令t ＝sin θ，则t ∈⎣⎡⎦⎤12，32.所以V ＝273100(1－t 2)t ＝273100(t －t 3)，t ∈⎣⎡⎦⎤12，32.又V′＝273100(1－3t 2)＝－813100(t 2－13)＝－813100(t ＋33)(t －33)，则当t ∈(12，33)时，V ′＞0，V 单调递增；当t ∈(33，32)时，V ′＜0，V 单调递减，所以当t ＝33时，V max ＝273100[33－(33)3]＝273100×33×23＝950(立方米)．(13分) 答：(1) 当θ＝π3时，“支架高度”为32米；(2) “支架需要空间”的最大值为950立方米．(14分)18. 解：(1) 设椭圆E 的焦距为2c(c ＞0)，则e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22，可知a 2＝2b 2.(2分)因为椭圆E 过点(1，22)， 所以1a 2＋12b 2＝1，解得a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(4分)(2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋t ，x 2＋2y 2＝2得3x 2＋4tx ＋2t 2－2＝0. 又直线l ：y ＝x ＋t 与椭圆E 相交于A ，B 两点，所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－43t ，x 1x 2＝2t 2－23，且Δ＝(4t)2－4×3×(2t 2－2)＞0，则－3＜t ＜ 3.(6分) 设AB 的中点为M(x M ，y M )，则x M ＝x 1＋x 22＝－23t ，y M ＝x M ＋t ＝13t ，所以AB 的中垂线的方程为y ＝－x －13t ，即直线CD 的方程为y ＝－x －13t.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －13t ，x 2＋2y 2＝2得27x 2＋12tx ＋2t 2－18＝0，则⎩⎨⎧x 3＋x 4＝－49t ，x 3x 4＝2t 2－1827，(8分) 所以CD ＝（x 4－x 3）2＋（y 4－y 3）2＝1＋（－1）2·（x 3＋x 4）2－4x 3x 4 ＝2·（－49t ）2－4×2t 2－1827＝2·－881t 2＋83. 又t ∈(－3，3)，所以当t ＝0时，CD max ＝2×83＝433.(10分) (3) 由(2)知AC →·AD →＝(x 3－x 1，y 3－y 1)·(x 4－x 1，y 4－y 1) ＝(x 3－x 1)(x 4－x 1)＋(y 3－y 1)(y 4－y 1)＝(x 3－x 1)(x 4－x 1)＋(－x 3－x 1－43t)(－x 4－x 1－43t)＝x 3x 4－(x 3＋x 4)x 1＋x 21＋x 3x 4＋(x 1＋43t)(x 3＋x 4)＋x 21＋83tx 1＋169t 2＝2x 3x 4＋43t(x 3＋x 4)＋2x 21＋83tx 1＋169t 2.(13分) 又⎩⎨⎧x 3＋x 4＝－49t ，x 3x 4＝2t 2－1827，3x 21＋4tx 1＋2t 2－2＝0，所以AC →·AD →＝2x 3x 4＋43t(x 3＋x 4)＋23(3x 21＋4tx 1)＋169t 2 ＝2×2t 2－1827＋43t ×(－49t)＋23(2－2t 2)＋169t 2＝(427－1627－3627＋4827)t 2＝0.(16分) 19. (1) 解：设h(x)＝f(x)－g(x)＝x －1x －ln x ，则h′(x)＝1＋1x 2－1x ＝x 2－x ＋1x 2＝（x －12）2＋34x 2＞0，所以h(x)在(0，＋∞)上递增．又h(1)＝0，所以0＜x ＜1，所以f(x)－g(x)≤0的解集为(0，1)．(4分) (2) ①证明：由u(m)＋u(n)＝0得a(m 2－1)－ln m ＋a(n 2－1)－ln n ＝0， 即a(m 2＋n 2－2)－ln m －ln n ＝0，又a ＜0，所以a(m 2＋n 2－2)－ln m －ln n ＝0≤a(2mn －2)－ln(mn)． 因为m ≠n ，所以“＝”不成立．(7分) 思路一：设mn ＝t ，v(t)＝a(2t －2)－ln t(t ＞0)，则v′(t)＝2a －1t＜0，所以v(t)在(0，＋∞)上单调递减．又v(1)＝0，所以t ＜1，即mn ＜1.(10分) 思路二：假设mn ≥1，则2mn －2≥0，ln(mn)≥0，所以a(2mn －2)－ln(mn)≤0， 这与a(2mn －2)－ln(mn)＞0矛盾，故mn ＜1.(10分) ②解：u(x)＝xf(x)－g(x)＝a(x 2－1)－ln x ，当a ＞0时，u ′(x)＝2ax －1x ＝2ax 2－1x .令u′(x)＝0得x ＝±12a(负值舍去)． 所以当x ∈(0，12a)时，u ′(x)＜0，u(x)为减函数； 当x ∈(12a，＋∞)时，u ′(x)＞0，u(x)为增函数． 又u(1)＝0， 1° 当12a ＝1，即a ＝12时，u(x)有1个零点；(12分) 2° 当12a ＜1，即a ＞12时，由u(1)＝0可知u(12a)＜u(1)＝0， 又u(e －a )＞0，且e －a ＜1，所以u(x)在(0，1)上有1个零点，故此时u(x)有2个零点；(14分) 3° 当12a ＞1，即0＜a ＜12时，由u(1)＝0可知u(12a)＜u(1)＝0， 令φ(x)＝ln x －(x －1)，则φ′(x)＝1x －1＝1－x x，所以当x ∈(0，1)时，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)单调递减，所以φ(x)max ＝φ(1)＝0，故ln x ≤x －1，则－ln x ≥－(x －1)．所以u(x)＞a(x 2－1)－(x －1)，所以u(1a －1)＞0，且1a －1＞1，所以u(x)在(1，＋∞)上有1个零点，故此时u(x)有2个零点．综上，当a ＝12时，u(x)有1个零点；当a ＞0时a ≠12时，u(x)有2个零点．(16分)20. 解：(1) 因为a n ＝n 2，所以Δa n ＝a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1，则Δa n ＋1－Δa n ＝2.又Δa 1＝3，所以{Δa n }是首项为3，公差为2的等差数列．因为Δ2a n ＝Δa n ＋1－Δa n ＝2，则{Δ2a n }是首项为2，公差为0的等差数列．(2分)(2) 因为数列{b n }是公比为q 的正项等比数列，所以b n ＝b 1q n －1.又Δ2b n ＝Δb n ＋1－Δb n ＝b n ＋2－b n ＋1－(b n ＋1－b n )＝b n ＋2－2b n ＋1＋b n ，且对任意的n ∈N *，都存在m ∈N *，使得Δ2b n ＝b m ，所以对任意的n ∈N *，都存在m ∈N *，使得b 1q n ＋1－2b 1q n ＋b 1q n －1＝b 1q m －1，即(q －1)2＝q m －n .因为q ≥2，所以m －n ≥0. 1° 若m －n ＝0，则q 2－2q ＋1＝1，解得q ＝0(舍)或q ＝2，即当q ＝2时，对任意的n ∈N *，都有Δ2b n ＝b n .2° 若m －n ＝1，则q 2－3q ＋1＝0，解得q ＝3－52(舍)或q ＝3＋52，即当q ＝3＋52时，对任意的n ∈N *，都有Δ2b n ＝b n ＋1.3° 若m －n ≥2，则q m －n ≥q 2＞(q －1)2，故对任意的n ∈N *，不存在m ∈N *，使得Δ2b n＝b m .综上所述，q 所有可能的取值构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，3＋52.(8分) (3) 因为Δ2c n ＝0，所以Δ2c n ＝Δc n ＋1－Δc n ＝c n ＋2－c n ＋1－(c n ＋1－c n )＝c n ＋2－2c n ＋1＋c n ＝0，所以c n ＋2－c n ＋1＝c n ＋1－c n ，所以{c n }是等差数列． 设{c n }的公差为d ，则c n ＝c 1＋(n －1)d. 若d ＝0，则c m ＝c n ；若d ＜0，则当n ＞1－c 1d 时，c n ＜0，与数列{c n }的各项均为正数矛盾，故d ＞0.(10分)由等差数列前n 项和公式可得S n ＝d 2n 2＋(c 1－d2)n ，所以S n ＋S m ＝d 2n 2＋(c 1－d 2)n ＋d 2m 2＋(c 1－d 2)m ＝d 2(n 2＋m 2)＋(c 1－d2)(m ＋n)，S k ＝d 2(m ＋n 2)2＋(c 1－d 2)·m ＋n2.又m ≠n ，m 2＋n 22＞（m ＋n ）24，所以S n ＋S m ＝d 2(n 2＋m 2)＋(c 1－d 2)(m ＋n)＞d 2·（m ＋n ）22＋(c 1－d 2)(m ＋n)＝2S k ，则当t ≤2时，不等式S m ＋S n ＞tS k 都成立．(12分)另一方面，当t ＞2时，令m ＝k ＋1，n ＝k －1(k ∈N *，k ≥2)， 则S m ＋S n ＝d 2[(k ＋1)2＋(k －1)2＋(c 1－d 2)·2k]＝d 2(2k 2＋2)＋2k(c 1－d2)，S k ＝d 2k 2＋(c 1－d 2)k ， 则tS k －(S m ＋S n )＝d 2tk 2＋(c 1－d 2)tk －d 2(2k 2＋2)－2k(c 1－d 2) ＝(d 2t －d)(k 2－k)＋(t －2)c 1k －d. 因为d 2t －d ＞0，k 2－k ≥0，所以当k ＞d （t －2）c 1，tS k －(S n ＋S m )＞0，即S m ＋S n ＜tS k . 综上，t 的最大值为2.(16分)2020届高三模拟考试试卷(扬州)数学附加题参考答案及评分标准21. 解：(1) 用待定系数或公式可求得M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 2 2－1.(5分) (2) 设直线l 上任一点(x ，y)在矩阵M 对应的变换作用下为(x′，y ′)，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 2 2－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3x ＋2y 2x －y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′在x ＋3y ＝0上，(8分) 则－3x ＋2y ＋6x －3y ＝0，即3x －y ＝0，所以直线l 的方程为3x －y ＝0.(10分)22. 解：把直线的方程l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ，y ＝1－3t (t 为参数)化为普通方程为x ＋y ＝1.(3分) 圆ρ＝22sin (θ－π4)化为普通方程为x 2＋2x ＋y 2－2y ＝0， 即(x ＋1)2＋(y －1)2＝2.(6分) 圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22.(8分) 所以直线l 被圆C 截得的弦长为2（2）2－（22）2＝ 6.(10分) 23. 解：(1) 因为n ＝A 35＝60，m ＝A 13A 24＝36，所以P 1＝3660＝35. 答：摸到三位数是奇数的概率是35.(4分) (2) 获奖金额X 的可能取值为50，100，200，300，400，500，则P(X ＝50)＝35，P(X ＝100)＝1×3×260＝110，P(X ＝200)＝1×3×160＝120， P(X ＝300)＝1×3×260＝110，P(X ＝400)＝1×3×160＝120，P(X ＝500)＝1×3×260＝110，(7分) 获奖金额X 的概率分布为数学期望E(X)＝50×35＋100×110＋200×120＋300×110＋400×120＋500×110＝150元． 答：期望是150元．24. 解：(1)1k ＋1C k n ＝1k ＋1·n ！k ！（n －k ）！＝1n ＋1·（n ＋1）！（k ＋1）！（n －k ）！＝1n ＋1C k ＋1n ＋1.(2分)(2) (－1)0C 02 020＋(－1)112C 12 020＋(－1)213C 22 020＋…＋(－1)2 02012 021C 2 0202 020＝∑2 020k ＝0(－1)k 1k ＋1C k 2 020＝12 021∑2 020k ＝0(－1)k C k ＋12 021＝12 021.(4分) (3) (解法1)设a n ＝∑n k ＝0(－1)k C k n 2k ＋2， 则a n ＝1＋∑n －1k ＝1(－1)k (C k n －1＋C k －1n －1)2k ＋2＋(－1)n 2n ＋2＝a n －1＋∑nk ＝1(－1)k C k －1n －12k ＋2＝a n －1＋2n ∑n k ＝1(－1)k C k n k k ＋2 ＝a n －1＋2n ⎣⎡⎦⎤∑n k ＝0 （－1）k C k n －∑n k ＝0 （－1）k C k n 2k ＋2＝a n －1＋2n(0－a n )，(7分) 所以a n ＝n n ＋2a n －1⇒a n ＝n n ＋2·n －1n ＋1a n －2＝…＝n （n －1）·…·3·2（n ＋2）（n ＋1）·…·5·4a 1. 又a 1＝13，所以a n ＝n ！2！（n ＋2）！＝1C n n ＋2. 所以∑2 020k ＝0(－1)k C k 2 0202k ＋2＝a 2 020＝1C 2 0202 022＝1C 22 022＝11 011×2 021＝12 043 231.(结果没化简，不扣分)(10分)(解法2)∑2 020k ＝0(－1)k C k 2 0202k ＋2＝∑2 020k ＝0(－1)k · 2 020！k ！（2 020－k ）！·2（k ＋1）（k ＋2）（k ＋1） ＝∑2 020k ＝0(－1)k · 2 022！（k ＋2）！（2 020－k ）！·2（k ＋1）2 022×2 021＝22 022×2 021·∑2 020k ＝0(－1)k ·(k －1)·C k ＋22 022 ＝22 022×2 021·∑2 020k ＝0(－1)k ·(k ＋2－1)·C k ＋22 022 ＝22 022×2 021·⎣⎡⎦⎤∑2 020k ＝0 （－1）k ·（k ＋2）·C k ＋22 022－∑2 020k ＝0 （－1）k ·C k ＋22 022 ＝22 022×2 021·⎣⎡⎦⎤∑2 020k ＝0（－1）k ·2 022·C k ＋12 021－∑2 020k ＝0 （－1）k ＋2·C k ＋22 022 ＝22 022×2 021·⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2 022∑2 020k ＝0 （－1）k ＋1·C k ＋12 021－[（1－1）2 022－1－C 22 022（－1）1] ＝22 022×2 021·{－2 022·[(1－1)2 021－1]＋1－2 022}＝22 022×2 021＝11 011×2 021＝12 043 231.(结果没化简，不扣分)(10分)。

2020年江苏省扬州市高考数学模拟试卷（5月份）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A ={−2,0，1，3}，B ={−1,0，1，2}，则A ∩B =______．2. 设i 是虚数单位，则复数i 3−2i =_______。

3. 某高中学校有高一学生600人，高二学生500人，高三学生500人，现通过分层抽样抽取一个容量为320的样本，则高三学生应抽取的人数为__________． 4. 如图所示的伪代码运行的结果为________．5. 已知实数x ，y 满足约束条件{x −y +3≥0,x +2y ≥0,x ≤2,则z =3x +y 的最小值为________． 6. 已知a ，b ∈{−3,−2,−1,1，2，3}且a ≠b ，则复数z =a +bi 对应点在第二象限的概率为______.(用最简分数表示) 7. 双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)右支上一点P 到左焦点的距离是到右准线距离的6倍，则该双曲线离心率的范围为________．8. 已知α为锐角，cosα=45，则sin(π6+α)= ______ ．9. 已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，若a 2a 3=2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5=________．10. 已知正四棱锥S −ABCD ，AB =2，SA =√7，求正四棱锥S −ABCD 的表面积______ 11. “a =1”是“函数f(x)=x+1x+sinx −a 2为奇函数”的______条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要“)．12. 已知正数x ，y 满足x +y =1，则4x+1+9y+2的最小值是______．13. 已知AB 是圆O 的一条弦，M 是AB 中点，且AB =2，则OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 14. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1=1，a 2=2，S n +a n+1=a n+2−1(n ∈N∗)，记b n =a n+1(a n+2−1)(a n+1−1)，数列{b n }的前n 项和为T n ，若对∀n ∈N ∗，k >T n 恒成立，则k 的取值范围为______．二、解答题（本大题共10小题，共130.0分）15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且√3a c=2−cosAsinC．(1)求角A的大小；(2)若cos(B+π6)=14，求cos C的值．16.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，M，N分别为AB，B1C1的中点．(1)求证：MN//平面AA1C1C；(2)若CC1=CB1，CA=CB，平面CC1B1B⊥平面ABC，求证：AB⊥平面CMN．17.一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O和一个矩形ABCD构成，AB=1米，如图所示．小球从A点出发以5v的速度沿半圆O轨道滚到某点E处后，经弹射器以6v的速度沿与点E切线垂直的方向弹射到落袋区BC内，落点记为F.设∠AOE=θ弧度，小球从A到F所需时间为T．(1)试将T表示为θ的函数T(θ)，并写出定义域；(2)当θ满足什么条件时，时间T最短．18.已知椭圆E:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，又点A(1,√2)在该椭圆上．(1)求椭圆E的方程；(2)若斜率为√2的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，求△ABC的最大面积．19.已知函数f(x)=alnx−bx−3(a∈R且a≠0)．(1)若a=b，求函数f(x)的单调区间；(2)当a=1时，设g(x)=f(x)+3，若g(x)有两个相异零点x1，x2，求证：lnx1+lnx2>2．20. 各项均为正数的数列{a n }中，前n 项和S n =(a n +12)2． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，k ，使得a m ，a m+5，a k 成等比数列？若存在，求出m 和k 的值，若不存在，请说明理由．21. 求曲线2x 2−2xy +1=0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线方程，其中M =[1002]，N =[10−11]．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是{x =ty =t +1(t 为参数)，曲线C 的参数方程是为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求直线l 和曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)已知射线OP ：θ1=α(其中0<α<π2)与曲线C 交于O ，P 两点，射线OQ ：θ2=α+π2与直线l 交于Q 点，若△OPQ 的面积为1，求α的值和弦长|OP|．23.某商场举行抽奖促销活动，在该商场消费的顾客按如下规则参加抽奖活动：3个白球、2个黑球(每次只能抽取一个，且不放回抽取)，若抽得红球，获奖金10元；若抽得白球，获奖金20元；若抽得黑球，获奖金40元，(1)若某顾客在该商场当日消费金额为2000元，求该顾客获得奖金70元的概率；(2)若某顾客在该商场当日消费金额为1200元，获奖金ξ元．求ξ的分布列和E(ξ)的值．k−1；24.(1)求证：kC n k=nC n−1(2)求证：C n1+2C n2+3C n3+⋯+nC n n=n×2n−1(n∈N∗)．-------- 答案与解析 --------1.答案：{0,1}解析：解：∵集合A={−2,0，1，3}，B={−1,0，1，2}，∴A∩B={0,1}．故答案为：{0,1}．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：i解析：【分析】本题考查复数的四则运算，属于基础题．【解答】解：因为i3−2i=−i+2i=i．故答案为i．3.答案：100解析：【分析】本题考查了分层抽样，属于基础题.先求出高三学生所占的比例，再由样本容量即可求出结果．【解答】解：因为高三学生所占的比例为500600+500+500=516，样本容量为320，故高三学生应抽取的人数为320×516=100．故答案为100．4.答案：15解析：【分析】本题考查算法语句中的赋值语句，属容易题.根据赋值语句依次计算即可．【解答】解：按算法语句的顺序执行A的值依次为1，3，6，10，15，结果为15．故答案为15．5.答案：−5解析：解：由实数x ，y 满足约束条件{x −y +3≥0x +2y ≥0x ≤2作出可行域如图， 联立{x −y +3=0x +2y =0，解得A(−2,1)，化目标函数z =3x +y 为y =−3x +z ， 由图可知，当直线y =−3x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为3×(−2)+1=−5．故答案为：−5．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6.答案：310解析：解：∵a ，b ∈{−3,−2,−1,1，2，3}且a ≠b ， 则(a,b)点共有(−3,−2)，(−3,−1)，(−3,1)，(−3,2)，(−3,3)， (−2,−3)，(−2,−1)，(−2,1)，(−2,2)，(−2,3)， (−1,−3)，(−1,−2)，(−1,1)，(−1,2)，(−1,3)， (1,−3)，(1,−2)，(1,−1)，(1,2)，(1,3)， (2,−3)，(2,−2)，(2,−1)，(2,1)，(3,1)，(3,−3)，(3,−2)，(3,−1)，(3,1)，(3,2)，共30种情况 其中a <0，b >0，即复数z =a +bi 对应点在第二象限共有： (−3,1)，(−3,2)，(−3,3)，(−2,1)，(−2,2)， (−2,3)，(−1,1)，(−1,2)，(−1,3)，共9种情况 故复数z =a +bi 对应点在第二象限的概率P =930=310 故答案为：310由已知中a ，b ∈{−3,−2,−1,1，2，3}且a ≠b ，我们可以列举出所有(a,b)点的个数及复数z =a +bi 对应点在第二象限的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，即可得到答案．本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，其中分别计算出基本事件的总数及满足条件的基本事件个数是解答本题的关键．7.答案：1<e≤2或3≤e<6解析：【分析】设P到右准线d的距离为d，则d≥a−a2c，求出P到右焦点的距离，P到左焦点的距离，利用双曲线的定义，结合d≥a−a2c，建立不等式，即可确定双曲线离心率的范围．【解答】解：由题意，设P到右准线d的距离为d，则d≥a−a2c，根据第二定义，可得P到右焦点的距离为ed，因为右支上一点P到左焦点的距离是到右准线距离的6倍，所以P到左焦点的距离为6d，所以6d−ed=2a，所以d=2a6−e(e<6)，所以2a6−e ≥a−a2c，所以26−e ≥1−1e，所以e2−5e+6≥0，所以e≤2或e≥3，因为1<e<6，所以1<e≤2或3≤e<6．故答案为1<e≤2或3≤e<6．8.答案：4+3√310解析：解：∵α为锐角，cosα=45，则sinα=35，∴sin(π6+α)=sinπ6cosα+cosπ6sinα=12×45+√32×35=4+3√310，故答案为：4+3√310．由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再利用两角和的正弦公式求得sin(π6+α)的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式，属于基础题．9.答案：31解析：【分析】本题主要考查了等差数列的性质和等比数列的求和，解决此类问题常用基本量法，属基础题．用a1和q表示出a2和a3代入a2⋅a3=2a1求得a4，再根据a4+2a7=a4+2a4q3，求得q，进而求得a1，代入S5即可．【解答】解：a2⋅a3=a1q⋅a1q2=2a1，∴a1q3=a4=2，a4+2a7=a4+2a4q3=2×54，∴q=12，a1=a4q3=16，故S5=16(1−125)1−12=31，故答案为31．10.答案：4√6+4解析：【分析】本题考查棱锥表面积的求法，求表面积先求棱锥的侧高，是解答本题的关键．要求棱锥的表面积，先求出棱锥的高，再计算出侧高，进而得到棱锥的表面积．【解答】解：设点S在底面ABCD的射影O为底面正方形ABCD的中心，连接OA，∵SO⊥底面ABCD，∴SO⊥OA，又OA=√22+222=√2，在Rt△SAO中，高SO=√SA2−OA2=√(√7)2−(√2)2=√5，过点O作OE⊥BC，垂足为E，连接SE，则SE⊥BC，在Rt△SOE中，OE=12AB=1，则SE=√OS2+OE2=√(√5)2+12=√6，∴正四棱锥S−ABCD的表面积为4×12×2×√6+22=4√6+4．故答案为4√6+4．11.答案：充分不必要解析：【分析】本题考查了函数的奇偶性、方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由函数f(x)=x+1x+sinx−a2为奇函数，可得f(x)+f(−x)=0，化为：a2=1，解得a，即可判断出结论．【解答】解：由函数f(x)=x+1x+sinx−a2为奇函数，∴f(x)+f(−x)=x+1x +sinx−a2+−x+1−x−sinx−a2=0，化为：a2=1，解得a=±1．∴“a=1”是“函数f(x)=x+1x+sinx−a2为奇函数”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．12.答案：254解析：【分析】本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．由4x+1+9y+2=14×[4+9+4(y+2)x+1+9(x+1)y+2]，再根据基本不等式即可求出答案．【解答】解：正数x，y满足x+y=1，则x+1+y+2=4，则4x+1+9y+2=14(4x+1+9y+2)[(x+1)+(y+2)]=14×[4+9+4(y+2)x+1+9(x+1)y+2]≥14×(13+12)=254，当且仅当4(y+2)x+1=9(x+1)y+2时，即x=35，y=25时取等号，故答案为：254．13.答案：−2解析：解：如图：由题意可得OM ⊥AB ，OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，|MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1． ∴OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0+1×2cos180°=−2． 故答案为：−2．由题意可得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，|MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0+MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用两个向量的数量积的定义求出结果．本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于中档题．14.答案：[1,+∞)解析：解：数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1=1，a 2=2，S n +a n+1=a n+2−1(n ∈N ∗)，当n ≥2时，可得S n−1+a n =a n+1−1， 相减可得a n +a n+1−a n =a n+2−a n+1， 即a n+2=2a n+1，易得a 3=4，则a 3 =2a 2，a 2=2a 1， 则{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列， 则a n =2n−1， 记b n =a n+1(a n+2−1)(a n+1−1)=2n(2n+1−1)(2n −1)=12n −1−12n+1−1，数列{b n }的前n 项和为T n =1−122−1+122−1−123−1+⋯+12n −1−12n+1−1 =1−12n+1−1<1，对∀n ∈N ∗，k >T n 恒成立，可得k ≥1， 可得k 的取值范围是[1,+∞)． 故答案为：[1,+∞)．运用数列的递推式，可得a n+2=2a n+1，则a n =2n−1，记b n =a n+1(an+2−1)(a n+1−1)=12n −1−12n+1−1，由数列的求和方法：裂项相消求和，可得T n ，由不等式成立问题解法，可得k 的范围．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查不等式恒成立问题解法，以及运算能力，属于中档题．15.答案：解：(1)由正弦定理可得，，即，又，，，即．，，，，又．解析：本题主要考查三角形中正弦定理、诱导公式，两角和差的三角函数公式，属于基础题．(1)利用正弦定理和辅助角公式即可求出角A．(2)求cos C时注意利用凑角．16.答案：解：(1)取A1C1的中点P，连接AP，NP．因为C1N=NB1，C1P=PA1，A1B1.所以NP//A1B1，NP=12在三棱柱ABC−A1B1C1中，A1B1//AB，A1B1=AB．AB．故NP//AB，且NP=12AB．因为M为AB的中点，所以AM=12所以NP=AM，且NP//AM．所以四边形AMNP为平行四边形．所以MN//AP.因为AP⊂平面AA1C1C，MN⊄平面AA1C1C，所以MN//平面AA1C1C.(2)因为CA=CB，M为AB的中点，所以CM⊥AB.因为CC1=CB1，N为B1C1的中点，所以CN⊥B1C1.在三棱柱ABC−A1B1C1中，BC//B1C1，所以CN⊥BC．因为平面CC1B1B⊥平面ABC，平面CC1B1B∩平面ABC=BC，CN⊂平面CC1B1B，所以CN⊥平面ABC.因为AB⊂平面ABC，所以CN⊥AB.因为CM⊂平面CMN，CN⊂平面CMN，CM∩CN=C，所以AB⊥平面CMN.解析：本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定．(1)取A1C1的中点P，连接AP，NP，由题可证MN//AP，即可得出;(2)由题可得CM⊥AB，再证CN⊥平面ABC，得到CN⊥AB，即可得出．17.答案：解：(1)过O作OG⊥BC于G，则OG=1，，，弧长AE=θ，所以，θ∈[π4,3π4]，，记，θ0∈[π4,3π4]，θ(π4,θ0)θ0(θ0,3π4)T′(θ)−0+T(θ)↘↗故当时，时间T最短．解析：本题考查学生的阅读理解能力及数学建模能力，考查导数在求函数最值方面的应用，属于中档题．(1)过O作OG⊥BC于G，，，弧长AE=θ，即可求解，(2)利用导数法即可求θ满足的条件．18.答案：解：(1)依题意，得{ca =√22a2=b2+c21 b2+2a2=1，解得{a=2b=√2c=√2，∴椭圆的方程为x22+y24=1．(2)设B(x1,y1)，C(x2,y2)，设直线BC的方程为y=√2x+m，则有{y=√2x+mx22+y24=1，消去由并整理得4x2+2√2mx+(m2−4)=0，由Δ=(2√2m)2−16(m2−4)=−8m2+64>0，解得−2√2<m<2√2，由根与系数的关系，得：x1+x2=−√22m，x1x2=m2−44，|BC|=√1+2|x1−x2|=√1+2·√(x12)212 =√62√8−m2，设d为点A到直线BC的距离，则d=√2−√2+m|√(√2)2+(−1)2=√33|m|，∴S△ABC=12|BC|⋅d=√24√m2(8−m2)，∵√m2(8−m2)≤m2+8−m22=4，当且仅当m=±2时取等号，满足−2√2<m<2√2，∴当m=±2时，△ABC的面积取得最大值√2．解析：本题考查直线与椭圆方程的综合应用，椭圆中的最值问题，是较难题．(1)利用离心率以及点的坐标满足椭圆方程，求解椭圆的几何量，即可得到椭圆的方程．(2)BC的方程为y=√2x+m，与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式，求出三角形的面积，利用基本不等式求最大值．19.答案：解：(1)由f(x)=alnx−bx−3知f′(x)=a(1−x)x，当a>0时，函数f(x)的单调增区间是(0,1)，单调减区间是(1,+∞)，当a<0时，函数f(x)的单调增区间是(1,+∞)，单调减区间是(0,1)；(2)证明：g(x)=lnx−bx，设g(x)的两个相异零点为x1，x2，设x1>x2>0，∵g(x1)=0，g(x2)=0，∴lnx1−bx1=0，lnx2−bx2=0，∴lnx 1−lnx 2=b(x 1−x 2)，lnx 1+lnx 2=b(x 1+x 2)， 要证lnx 1+lnx 2>2，即证b(x 1+x 2)>2， 即lnx 1−lnx 2x 1−x 2>2x 1+x 2，即ln x1x 2>2(x 1−x 2)x 1+x 2，设t =x1x 2>1，上式转化为lnt >2(t−1)t+1，t >1，设ℎ(t)=lnt −2(t−1)t+1，∴ℎ′(t)=(t−1)2t(t+1)>0， ∴ℎ(t)在(1,+∞)上单调递增， ∴ℎ(t)>ℎ(1)=0， ∴lnt >2(t−1)t+1，∴lnx 1+lnx 2>2．解析：本题主要考查导数与单调性的关系、不等式恒成立，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，考查转化思想与分类讨论思想、构造法的应用． (1)先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出；(2)设x 1>x 2>0，要证lnx 1+lnx 2>2，即证b(x 1+x 2)>2，即证ln x1x 2>2(x 1−x 2)x 1+x 2，设t =x1x 2>1，上式转化为lnt >2(t−1)t+1，t >1，够造函数ℎ(t)=lnt −2(t−1)t+1，根据导数和函数的最值的关系即可证明．20.答案：解：(1)∵S n =(a n +12)2， ∴S n−1=(a n−1+12)2,n ≥2，两式相减得a n =(a n +12)2−(a n−1+12)2,n ≥2，整理得(a n +a n−1)(a n −a n−1−2)=0， ∵数列{a n }的各项均为正数， ∴a n −a n−1=2，n ≥2， ∴{a n }是公差为2的等差数列， 又S 1=(a 1+12)2得a 1=1，∴a n =2n −1；(2)假设存在正整数m ，k ，使得a m ，a m+5，a k 成等比数列，即a m+52=a m ⋅a k即(2m +9)2=(2m −1)⋅(2k −1)， ∵(2m −1)≠0， ∴2k −1=(2m+9)22m−1=2m +19+1002m−1，∵2k −1∈Z ，∴2m −1为100的约数，∴当2m −1=1，m =1，k =61， 当2m −1=5 ，m =3， k =23， 当2m −1=25，m =13，k =25． 故存在．解析：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、“裂项求和”方法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．(1)利用递推关系得(a n +a n−1)(a n −a n−1−2)=0，数列{a n }的各项均为正数，可得a n −a n−1=2，n ≥2，利用等差数列的通项公式即可得出；(2)假设存在正整数m ，k ，使得a m ，a m+5，a k 成等比数列，即a m+52=a m ⋅a k .可得2k −1=(2m+9)22m−1=2m +19+1002m−1，进而得出．21.答案：解：∵M =[1002]，N =[10−11]． ∴MN =[1002][10−11]=[10−22]，设P(x′,y′)是曲线2x 2−2xy +1=0上任意一点，点P 在矩阵MN 对应的变换下变为点P′(x,y)， 则有[x y ]=[10−22][x′y′]=[x′−2x′+2y′] 于是x′=x ，y′=x +y2．代入2x′2−2x′y′+1=0得xy =1，所以曲线2x 2−2xy +1=0在MN 对应的变换作用下 得到的曲线方程为xy =1.所以曲线2x 2−2xy +1=0在MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为xy =1．解析：由已知中M =[1002]，N =[10−11].可得MN ，P(x′,y′)是曲线2x 2−2xy +1=0上任意一点，点P 在矩阵MN 对应的变换下变为点P′(x,y)，则有[x y ]=[10−22][x′y′]=[x′−2x′+2y′]，得到x′=x ，y′=x +y2，代入曲线2x 2−2xy +1=0可得变换后的曲线方程．本题考查矩阵的乘法、几种特殊的矩阵变换，其中根据已知中的矩阵M ，N ，计算出MN ，是解答的关键．22.答案：解：(Ⅰ)直线l 的参数方程是{x =ty =t +1(t 为参数)，转换为直角坐标方程为：x −y +1=0． 转换为极坐标方程为：ρcosθ−ρsinθ+1=0．曲线C的参数方程是为参数)，转换为直角坐标方程为：(x−2)2+y2=4，转换为极坐标方程为：ρ=4cosθ．(Ⅱ)由于0<α<π2，所以|OP|=4cosα，，|OQ|=1sinα+cosα，所以S△OPQ=12|OP||OQ|=2cosαcosα+sinα=1，所以tanα=1，由于0<α<π2，故α=π4，所以|OP|=4cosπ4=2√2．解析：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；(Ⅱ)利用三角函数关系式的恒等变换和三角形的面积公式的应用求出结果．23.答案：解：(1)某顾客在该商场当日消费金额为2000元时，该顾客共有4次抽奖机会，顾客获得奖金70元，由两种可能，抽中3红球，1黑球；抽中1红球，3白球；∴改顾客获得70元奖金的概率为P=C43C21+C41C33C94=221；(2)X=1200时，共有2次抽奖机会，ξ的取值为20，30，40，50，60，80，∴P(ξ=20)=C42C92=16，P(ξ=30)=C41C31C92=13，P(ξ=40)=C32C92=112，P(ξ=50)=C41C21C92=29，P(ξ=60)=C31C21C92=16，P(ξ=80)=C22C92=136，∴ξ的分布列ξ 20 3040 50 60 80P16131122916136E(ξ)=20×16+30×13+40×112+50×29+60×16+80×136=40， ∴数学E(ξ)的值40．解析：(1)X =2000时，顾客共有4次抽奖机会，顾客获得奖金70元，由两种可能，抽中3红球，1黑球；抽中1红球，3白球，由概率公式即可求得P =C 43C 21+C 41C 33C 94=221；(2)X =1200时，共有2次抽奖机会，ξ的取值为20，30，40，50，60，80，分别求得其概率，求得分布列和数学期望E(ξ)的值．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，解题时要注意排列组合知识的合理运用，是中档题．24.答案：(1)证明：kC nk=k ·n!k!(n−k )!=n (n−1)!(k−1)![(n−1)−(k−1)]!=nC n−1k−1． (2)证明：由kC n k =nC n−1k−1得： C n 1+2C n 2+⋯+nC n n=n (C n−10+⋯+C n−1n−1)=n ×2n−1．解析：本题考查的是组合数公式的运用，在解题过程中注意式子变形要准确． (1)本题可直接运用组合数公式将题目中的组合数展开，再对式子进行变形即可求证． (2)本题可利用(1)中的结论将每一项进行变形即可求证．。

扬州市高三考前调研测试试 题Ⅰ（全卷满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置） 1．已知{}{}0,1,2,2,4A B ==，则A B ⋃= ▲ ．2．若复数z 满足(2)1i z i -=+，则复数z 在复平面上对应的点在第 ▲ 象限.3．随着社会的发展，食品安全问题渐渐成为社会关注的热点，为了提高学生的食品安全意识，某学校组织全校学生参加食品安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如下图所示，数据的分组依次为[)20,40，[)40,60，[)60,80，[)80,100，若该校的学生总人数为3000，则成绩不超过60分的学生人数大约为 ▲ .4．在区间()0,5内任取一个实数m , 则满足34m <<的概率为▲ .5．如图是一个算法流程图，则输出S 的值为 ▲ ．6．函数1()()42x f x =-的定义域为 ▲ . 7．已知双曲线2221(0)20x y a a -=>的一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的焦距为 ▲ . 8．已知1sin ,(0,)32πθθ=∈，则tan 2θ= ▲ . 9．已知圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角等于2π的扇形，则这个圆锥的体积是 ▲ s ←1S ←S ×k开始输出S结束YNk>5 第5题k ←1k ← k +1 第3题10．已知圆22:2220(C x y ax y a +--+=为常数）与直线y x =相交于,A B 两点，若3ACB π∠=，则实数a = ▲ .11、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若53a =，1040S =， 则n nS 的最小值为 ▲ ． 12．若动直线(x t t R =∈）与函数2()cos ()4f x x π=-，()3sin()cos()44g x x x ππ=++的图象分别交于,P Q 两点，则线段PQ 长度的最大值为 ▲ .13．在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，M 是直线DE 上的动点.若ABC ∆的面积为2，则2BC MC MB +⋅的最小值为 ▲ .14．已知函数221,(0,1]()1,(1,)kx x x f x kx x ⎧+-∈=⎨+∈+∞⎩有两个不相等的零点12,x x ，则1211x x +的最大值为 ▲ . 二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，若2222a c ac b ++=，10sin A =. ⑴求sin C 的值；⑵若2a =，求ABC ∆的面积. 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为梯形，CD ∥AB ，AB =2CD ， AC 交BD 于O ，锐角∆P AD 所在平面⊥底面ABCD ，P A ⊥BD ，点Q 在侧棱PC 上，且PQ =2QC . 求证：⑴P A ∥平面QBD ；⑵BD ⊥ AD .17．（本小题满分14分）如图是一座桥的截面图，桥的路面由三段曲线构成，曲线AB 和曲线DE 分别是顶点在路面A 、E 的抛物线的一部分，曲线BCD 是圆弧，已知它们在接点B 、D 处的切线相同，若桥的最高点C 到水平面的QA B C D P O距离6H=米，圆弧的弓高1h=米，圆弧所对的弦长10BD=米.（1）求弧¼BCD所在圆的半径；（2）求桥底AE的长.18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的左顶点(2,0)A，且点(1,)2-在椭圆上，1F、2F分别是椭圆的左、右焦点。

江苏省扬州市2020版数学高三理数第二次模拟考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知函数集合，则的面积是（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高三上·龙泉驿月考) 设有下面四个命题：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数，则 .其中的真命题为（）A .B .C .D .3. （2分）已知等比数列{an}满足a1=， a3a5=4（a4-1），则a2=（）A . 2B . 1C .D .4. （2分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（）A . 14斛B . 22斛C . 36斛D . 66斛5. （2分）△ABC中，∠C=90°，且CA=CB=3，点M满足，则=（）A . 18B . 3C . 15D . 96. （2分） (2016高二下·芒市期中) 已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A .B .C .D .7. （2分） (2020高三上·泸县期末) 将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若的对称中心为坐标原点，则关于函数有下述四个结论：① 的最小正周期为②若的最大值为2，则③ 在有两个零点④ 在区间上单调其中所有正确结论的标号是（）A . ①③④B . ①②④C . ②④D . ①③8. （2分） (2019·广西模拟) 如图是国家统计局今年4月11日发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图．（注：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比），根据该折线图，下列结论错误的是（）A . 2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨B . 2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌C . 2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大D . 2019年3月全国居民消费价格环比变化最快9. （2分）已知A，B，C是平面上不共线的三点，点O在△ABC内，且 +3 +5 = ．若向△ABC 内（含边界）投一颗麦粒，则麦粒落在△AOB内（含边界）的概率为（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高一上·历城期中) 已知函数f（x）= ，则f（log23）=（）A . 6B . 3C .D .11. （2分）(2017·沈阳模拟) 已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，点M与双曲线C的焦点不重合，点M关于F1 ， F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在双曲线的右支上，若|AN|﹣|BN|=12，则a=（）A . 3B . 4C . 5D . 612. （2分） (2019高三上·朝阳月考) 在平面直角坐标系中，设为边长为1的正方形内部及其边界的点构成的集合．从中的任意点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为，．所有点构成的集合为M，M中所有点的横坐标的最大值与最小值之差记为；所有点构成的集合为N，N中所有点的纵坐标的最大值与最小值之差记为．给出以下命题：① 的最大值为：② 的取值范围是；③ 恒等于0．其中所有正确结论的序号是（）A . ①②B . ②③C . ①③D . ①②③二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若（1+2x）n（n∈N*）二项式展开式中的各项系数之和为an ，其二项式系数之和为bn ，则=________．14. （1分）(2018·河北模拟) 设变量满足不等式组，则的取值范围是________．15. （1分） (2016高二上·温州期末) 抛物线C：y2=2x的准线方程是________，经过点P（4，1）的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，F为抛物线的焦点，则 =________．16. （1分） (2017高一下·正定期末) 已知数列的首项为，且，若，则数列的前项和 ________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分）(2017·临沂模拟) 在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2 ，a+c=4，求△ABC的面积．18. （10分）(2017·宜宾模拟) 在某单位的职工食堂中，食堂每天以3元/个的价格从面包店购进面包，然后以5元/个的价格出售．如果当天卖不完，剩下的面包以1元/个的价格卖给饲料加工厂．根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如下图所示．食堂某天购进了90个面包，以x（单位：个，60≤x≤110）表示面包的需求量，T（单位：元）表示利润．（Ⅰ）求T关于x的函数解析式；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于100元的概率；（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中间值的概率（例如：若需求量x∈[60，70），则取x=65，且x=65的概率等于需求量落入[60，70）的频率），求T的分布列和数学期望．19. （10分） (2016高三上·沙坪坝期中) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，直线PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，BC=2AB=2AD=4BE=4．（I）求证：直线DE⊥平面PAC．（Ⅱ）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．20. （10分）(2015·三门峡模拟) 已知F1 ， F2分别为椭圆C1：（a＞b＞0）的上下焦点，其F1是抛物线C2：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|= ．（1）试求椭圆C1的方程；（2）与圆x2+（y+1）2=1相切的直线l：y=k（x+t）（t≠0）交椭圆于A，B两点，若椭圆上一点P满足，求实数λ的取值范围．21. （10分） (2018高三上·鹤岗月考) 已知函数的图像在处的切线与直线平行.（1）求函数的极值；（2）若，求实数m的取值范围.22. （10分）(2017·新课标Ⅲ卷文) [选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（10分）（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0，M为l3与C的交点，求M的极径．23. （10分）(2018·雅安模拟) 已知函数（其中）.（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。