江苏省扬州中学2015届高三12月月考文科数学试题 Word版含解析苏教版

江苏省扬州中学高三数学月考试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1. 已知集合M ＝{x |x ＜1}，N ＝{x |lg(2x ＋1)＞0}，则M ∩N ＝ ．(0,1)2. 复数z ＝a ＋i 1－i 为纯虚数，则实数a 的值为 ．13. 不等式|x ＋1|·(2x ―1)≥0的解集为 ． {x |x ＝―1或x ≥12}4. 函数f (x )＝13x －1＋a （x ≠0），则“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的 条件（用“充分不必要”，“必要不充分”“充要”“既非充分又非必要”填写）． 充要5. m 为任意实数时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5必过定点_________．(9,－4)6. 向量a ＝(1,2)、b ＝(－3,2)，若(k a ＋b )∥(a －3b )，则实数k ＝_________．由题意知，a 与b 不共线，故k ∶1＝1∶(－3)，∴k ＝－137. 关于x 的方程cos 2x ＋4sin x －a ＝0有解，则实数a 的取值范围是 ．[－4,4]8. 已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________．4解：x ＋2y ＝8－x ·(2y )≥8－⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22，整理得(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，即(x ＋2y －4) (x＋2y ＋8)≥0．又x ＋2y ＞0，∴x ＋2y ≥4．9. 已知点x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋y ≤2，若ax ＋y ≤3恒成立，则实数a 的取值范围是__________．(－∞,3]10. 已知△ABC 是等边三角形，有一点D 满足→AB ＋12·→AC ＝→AD ，且|→CD |＝3，那么→DA ·→DC＝ ． 311. 若函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是_________．[12,＋∞)解：f '(x )＝2mx ＋1x －2≥0对x ＞0恒成立，2mx 2＋1－2x ≥0∴2m ≥2x －1x 2＝－1x 2＋2x ，令t＝1x ＞0∴2m ≥－t 2＋2t ，∵()－t 2＋2t max ＝1，∴2m ≥1，∴m ≥12． 12. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋ax (x ≤1)2ax －5(x ＞1)，若∃x 1, x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是 ． (－∞,4)13. 将y ＝sin2x 的图像向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图像仍过点⎝⎛⎭⎫π3，32，则φ的2015.10最小值为_______．解法一：点代入y ＝sin(2x －2φ)∴sin(2π3－2φ)＝32∴－2φ＋2π3＝2k π＋π3或－2φ＋2π3＝2k π＋2π3∴φ＝－k π＋π6或φ＝－k π∴φ的最小值为π6． 解法二：结合函数y ＝sin2x 的图形．14. 已知函数f (x )满足f (x )＝f (1x )，当x ∈[1,3]时，f (x )＝ln x ，若在区间[13,3]内，函数g (x )＝f (x )－ax 与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是 ．⎣⎡ln33,⎭⎫1e 二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （本小题满分14分）已知直线1:(2)(3)50l m x m y +++-=和2:6(21)5l x m y +-=． 问：m 为何值时，有：（1）12l l ；（2）12l l ⊥． 解：（1）∵12l l ，∴(2)(21)618m m m +-=+，得4m =或52m =-； 当m ＝4时，l 1：6x ＋7y －5＝0，l 2：6x ＋7y ＝5,即l 1与l 2重合，故舍去．当25-=m 时，1211:50,:665,22l x y l x y -+-=-=即12l l∴当25-=m 时，12l l ．………7分（2）由6(2)(3)(21)0m m m +++-=得1m =-或92m =-；∴当1m =-或92m =-时，12l l ⊥．………14分16. （本小题满分14分）已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω＞0，0＜φ＜π)，其图像经过点M ⎝⎛⎭⎫π3，12，且与x 轴两个相邻的交点的距离为π． （1）求f (x )的解析式；（2）在△ABC 中，a ＝13，f (A )＝35，f (B )＝513，求△ABC 的面积．解：（1）依题意知，T ＝2π，∴ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)∵f (π3)＝sin(π3＋φ)＝12，且0＜φ＜π ∴π3＜π3＋φ＜4π3 ∴π3＋φ＝5π6 即φ＝π2∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ． ………6分（2）∵f (A )＝cos A ＝35，f (B )＝cos B ＝513， ∴A ,B ∈(0,π2)∴sin A ＝45，sin B ＝1213 ………8分∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5665………10分∵在△ABC 中a sin A ＝bsin B ∴b ＝15. ………12分∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×13×15×5665＝84． ………14分17. （本小题满分15分）已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为120º，当k 为何值时， （1）k a －b 与a －k b 垂直；（2）|k a －2b |取得最小值？并求出最小值．解：（1）∵k a －b 与a －k b 垂直，∴(k a －b )·(a －k b )＝0．∴k a 2－k 2a ·b －b ·a ＋k b 2＝0．∴9k －(k 2＋1)×3×2·cos120°＋4k ＝0．∴3k 2＋13k ＋3＝0．∴k ＝－13±1336． ………7分（2）∵|k a －2b |2＝k 2a 2－4k a ·b ＋4b 2＝9k 2－4k ×3×2·cos120°＋4×4 ＝9k 2＋12k ＋16＝(3k ＋2)2＋12．∴当k ＝－23时，|k a －2b |取得最小值为23． ………15分18. （本小题满分15分）如图①，一条宽为1km 的两平行河岸有村庄A 和供电站C ，村庄B 与A 、C 的直线距离都是2km ，BC 与河岸垂直，垂足为D ．现要修建电缆，从供电站C 向村庄A 、B 供电．修建地下电缆、水下电缆的费用分别是2万元/km 、4万元/km ．（1）已知村庄A 与B 原来铺设有旧电缆，但旧电缆需要改造，改造费用是0.5万元/km ．现决定利用此段旧电缆修建供电线路，并要求水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值．（2）如图②，点E 在线段AD 上，且铺设电缆的线路为CE 、EA 、EB ．若∠DCE ＝θ(0≤θ≤ π3)，试用θ表示出总施工费用y (万元)的解析式，并求y 的最小值．解：（1）由已知可得△ABC 为等边三角形，∵AD ⊥CD ，∴水下电缆的最短线路为CD .过D 作DE ⊥AB 于E ，可知地下电缆的最短线路为DE 、AB . ………3分又CD ＝1，DE ＝32，AB ＝2，故该方案的总费用为1×4＋32×2＋2×0.5＝5＋ 3 （万元）． …………6分（2）∵∠DCE ＝θ (0≤θ≤ π3)∴CE ＝EB ＝1cos θ，ED ＝tan θ，AE ＝3－tan θ.则y ＝1cos θ×4＋1cos θ×2＋(3－tan θ)×2＝2×3－sin θcos θ＋2 3 ……9分 令f (θ)＝3－sin θcos θ (0≤θ≤ π3)则f '(θ)＝－cos 2θ－(3－sin θ)(－sin θ)cos 2θ＝3sin θ－1cos 2θ，……11分∵0≤θ≤ π 3，∴0≤sin θ≤32，记sin θ0＝13，θ0∈(0, π3)当0≤θ＜θ0时，0≤sin θ＜13，∴f '(θ)＜0当θ0＜θ≤ π 3时，13＜sin θ≤32，∴f '(θ)＞0∴f (θ)在[0,θ0)上单调递减，在(θ0, π3]上单调递增．……13分∴f (θ)min ＝f (θ0)＝3－13223＝22，从而y min ＝42＋23，此时ED ＝tan θ0＝24，答：施工总费用的最小值为（42＋23）万元，其中ED ＝24. ……15分19. （本小题满分16分）已知a 为实数，函数f (x )＝a ·ln x ＋x 2－4x ．（1）是否存在实数a ，使得f (x )在x ＝1处取极值？证明你的结论； （2）若函数f (x )在[2, 3]上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围；（3）设g (x )＝2a ln x ＋x 2－5x －1＋a x ，若存在x 0∈[1, e]，使得f (x 0)＜g (x 0)成立，求实数a的取值范围．解：（1）函数f (x )定义域为(0,＋∞)，f '(x )＝ax ＋2x －4＝2x 2－4x ＋a x假设存在实数a ，使f (x )在x ＝1处取极值，则f '(1)＝0，∴a ＝2， ……2分此时，f '(x )＝2(x －1)2x，∴当0＜x ＜1时，f '(x )＞0，f (x )递增；当x ＞1时，f '(x )＞0，f (x )递增． ∴x ＝1不是f (x )的极值点．故不存在实数a ，使得f (x )在x ＝1处取极值． ………4分（2）f '(x )＝2x 2－4x ＋a x ＝2(x －1)2＋a －2x，①当a ≥2时，∴f '(x )≥0，∴f (x )在(0,＋∞)上递增，成立； ………6分②当a ＜2时，令f '(x )＞0，则x ＞1＋1－a 2或x ＜1－1－a2，∴f (x )在(1＋1－a2,＋∞)上递增，∵f (x )在[2, 3]上存在单调递增区间，∴1＋1－a2＜3，解得：6＜a ＜2综上，a ＞－6． ………10分（3）在[1,e]上存在一点x 0，使得()()00f x g x <成立，即在[1,e]上存在一点0x ，使得()00h x <，即函数()1ln a h x x a x x+=+-在[1,e]上的最小值小于零．有22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==①当1a e +≥，即1a e ≥-时， ()h x 在[]1e ，上单调递减，所以()h x 的最小值为()h e ，由()10ah e e a e+=+-<可得211e a e +>-， 因为2111e e e +>--，所以211e a e +>-； ………12分 ②当11a +≤，即0a ≤时，()h x 在[]1e ，上单调递增，所以()h x 最小值为()1h ，由()1110h a =++<可得2a <-； ………14分③当11a e <+<，即01a e <<-时，可得()h x 最小值为()()12ln 1h a a a a +=+-+， 因为()0ln 11a <+<，所以，()0ln 1a a a <+<，故()()12ln 12h a a a a +=+-+> 此时不存在0x 使()00h x <成立．综上可得所求a 的范围是：211e a e +>-或2a <-． ………16分解法二：由题意得，存在x ∈[1, e]，使得a (ln x －1x )＞x ＋1x成立．令m (x )＝ln x －1x ，∵m (x )在[1, e]上单调递增，且m (1)＝－1＜0, m (e)＝1－1e ＞0故存在x 1∈(1,e)，使得x ∈[1, x 1)时，m (x )＜0；x ∈(x 1, e]时，m (x )＞0 故存在x ∈[1, x 1)时，使得a ＜x 2＋1x ln x －1成立，·························(☆)或存在x ∈(x 1, e]时，使得a ＞x 2＋1x ln x －1成立，·························(☆☆) ………12分记函数F (x )＝x 2＋1x ln x －1，F(x )＝(x 2－1)ln x －(x ＋1)2(x ln x －1)2当1＜x ≤e 时，(x 2－1)ln x －(x ＋1)2＝(x 2－1)·⎝⎛⎭⎪⎫ln x －x ＋1x －1 ∵G (x )＝ln x －x ＋1x －1＝ln x －2x －1－1递增，且G (e)＝－2e －1＜0∴当1＜x ≤e 时，(x 2－1)ln x －(x ＋1)2＜0，即F (x )＜0∴F (x )在[1, x 1)上单调递减，在(x 1, e]上也是单调递减， ………14分 ∴由条件(☆)得：a ＜F (x )max ＝F (1)＝－2 由条件(☆☆)得：a ＞F (x )min ＝F (e)＝e 2＋1e －1综上可得，a ＞e 2＋1e －1或a ＜－2． ………16分20. （本小题满分16分）已知常数a ＞0，函数f (x )＝13ax 3－4(1－a )x ，g (x )＝ln(ax ＋1)－2xx ＋2．（1）讨论f (x )在(0,＋∞)上的单调性；（2）若f (x )在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上存在两个极值点x 1、x 2，且g (x 1)＋g (x 2)＞0，求实数a 的取值范围． 解：（1）由题意可知：f '(x )＝ax 2－4(1－a )当a ≥1时，f '(x )＞0，此时，f (x )在区间(0,＋∞)上单调递增．当0＜a ＜1时，由f '(x )＝0得：x 1＝2a (1－a )a （x 2＝－2a (1－a )a ＜0舍去）当x ∈(0, x 1)时，f '(x )＜0；当x ∈(x 1,＋∞)时，f '(x )＞0.故f (x )在区间(0, x 1)上单调递减，在区间(x 1,＋∞)上单调递增． 综上所述，当a ≥1时，f (x )在区间(0,＋∞)上单调递增； 当0＜a ＜1时，f (x )在区间(0,2a (1－a )a )上单调递减，在区间(2a (1－a )a,＋∞)上单调递增． ………6分（2）由（1）知，当a ≥1时，f '(x )≥0，此时f (x )不存在极值点， 因而要使得f (x )有两个极值点，必有0＜a ＜1.又∵f (x )的极值点只可能是x 1＝2a (1－a )a 和x 2＝－2a (1－a )a，由g (x )的定义可知，x ＞－1a 且x ≠－2，∴－2a (1－a )a ＞－1a 且2a (1－a )a x ≠2解得：0＜a ＜12或12＜a ＜1 【定义域在这里很重要】 ………8分此时，由（*）式易知，x 1, x 2分别是f (x )的极小值点和极大值点． 而g (x 1)＋g (x 2)＝ln(ax 1＋1)(ax 2＋1)－2x 1x 1＋2－2x 2x 2＋2＝ln[a 2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1]－4x 1x 2＋4(x 1＋x 2)x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝ln(2a －1)2－4(a －1)2a －1＝ln(2a －1)2－22a －1－2………10分令x ＝2a －1，由0＜a ＜12且a ≠12知，当0＜a ＜12时，－1＜x ＜0；当12＜a ＜1时，0＜x＜1 ，记h (x )＝ln x 2＋2x－2．①当－1＜x ＜0时，h (x )＝2ln(－x )＋2x －2，设t ＝－x ∈(0,1)，(t )＝2ln t －2t－2单调递增 ∴(t )＜(1)＝－4＜0∴h (x )＜－4＜0，故当0＜a ＜12时，g (x 1)＋g (x 2)＜0，不合题意，舍去．②当0＜x ＜1时，h (x )＝2ln x ＋2x－2，∴h(x )＝2x －2x 2＝2x －2x2＜0，∴h (x )在(0,1)上单调递减，∴h (x )＞h (1)＝0，故当12＜a ＜1时，g (x 1)＋g (x 2)＞0．综上，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1．………16分附加题(考试时间：30分钟 总分：40分)2015.1021.（选修4—2：矩阵与变换）（本小题满分10分)已知矩阵312221⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A（1）求1-A ；（2）满足AX ＝1-A 二阶矩阵X解：(1) 12143A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦………5分(2)852013X -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦………10分22．（选修4—4：坐标系与参数方程）（本小题满分10分)在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋2sin θ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝3t(t 为参数)，求直线l 被曲线C 所截得的弦长．解：曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0，圆心为(1，1)，半径为2，(3分)直线的直角坐标方程为3x －y －3＝0，(5分)所以圆心到直线的距离为d ＝||3－1－32＝12，(8分) 所以弦长＝22－14＝7.(10分)23.（本小题满分10分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝AC ＝4，AA 1⊥平面ABC ； AB ⊥AC ， （1）求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值； （2）在线段BC 1存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，求BDBC 1的值． 解： （1）如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ,则B (0,3,0),A 1(0,0,4),B 1(0,3,4),C 1(4,0,4), 设平面A 1BC 1的法向量为,,)x y z n =(,则11100A B A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即34040y z x -=⎧⎨=⎩,令3z =,则0x =,4y =,所以(0,4,3)n =.1A 1B 1C ABC同理可得,平面BB 1C 1的法向量为(3,4,0)m =, 所以16cos 25⋅==n m n,m |n ||m |.由题知二面角A 1－BC 1－B 1为锐角, 所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为1625. ………5分 （2）设D (,,)x y z 是直线BC 1上一点,且1BD BC λ=. 所以(,3,)(4,3,4)x y z λ-=-.解得4x λ=,33y λ=-,4z λ=. 所以(4,33,4)AD λλλ=-.由1·0AD A B =,即9250λ-=.解得925λ=. 因为9[0,1]25∈,所以在线段BC 1上存在点D ,使得AD ⊥A 1B .此时,1925BD BC λ==. ………10分 24.（本小题满分10分)（1）证明：①111r r r n n n C C C ++++=；②122212n nn n C C +++=（其中,,01,n r N r n *∈≤≤-）；（2）某个比赛的决赛在甲、乙两名运动员之间进行，比赛共设21n +局，每局比赛甲获胜的概率均为12p p ⎛⎫>⎪⎝⎭，首先赢满1n +局者获胜（n N *∈）. ①若2n =，求甲获胜的概率；②证明：总局数越多，甲获胜的可能性越大（即甲获胜的概率越大）. 解：（1）①()()()()()()()()()111!1!!!()!1!(1)!1!()!1!1!11!r r n nr n n r n r n n C C r n r r n r r n r n C r n r +++++-⎡⎤⎣⎦+=+=-+--+-+==++-+……2分②由①1+122212121=+2n n n nn n n n C C C C +++++=……3分（2）①若2n =，甲获胜的概率()10156)1()1(2322242233+-=-+-+=p p p p p pC p p pC p P ……5分②证明：设乙每一局获胜的概率为q ，则210,1<<=+q q p ． 记在甲最终获胜的概率为n P ，则()nn nn n n n n nn n nn n n n n n n n qC q Cq Cpq p pC q p pC q p pC p P 2221122211...1...++++=++++=++++++所以，()()()()()[]()()[()][][]()()()0122)()()(...)1()1()11(......1...1...11...1...1 (112111212111212211122211212211122211212211211221)3221211212231321211222131222211112221312222111122213122222111<-=-=-=+--=+--+-+++-++-+-=+++++++++-++++=++++--++++=++++-++++=-++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++q C q p C qC q p C qC q p C qC C q p C q C C q C C C q C C q C C q p qC q C q C q q C q C q C qC q C q C p q C q C q C q qC q C q C p q C q C q C p q C q C q C p P P n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n所以1+<n n P P即总局数越多，甲获胜的可能性越大（即甲获胜的概率越大）． ………10分。

江苏省扬州市2015届高三上学期期末考试数学试题一、填空题 （70分）1、集合A ＝{－1,0，2}，B ＝{x ｜｜x ｜＜1}，则A B ＝＿＿＿＿＿＿2、已知i 是虚数单位，则21(1)ii +－的实部为＿＿＿＿＿3、命题P ：“2,230x R x x ∀∈+-≥”，命题P 的否定：＿＿＿＿＿4、在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为＿＿5、如图是一个算法流程图，输出的结果为＿＿＿＿＿6、已知样本6，7，8，9，m 的平均数是8，则标准差是＿＿＿＿7、实数x ，y 满足24011x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为＿＿＿8、已知4(0,),cos 5απα∈=-，则tan()4πα+＝＿＿＿＿ 9、已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线l ：3x y +＝0垂直，且C 的一个焦点到l 的距离为2，则C 的标准方程为＿＿＿＿10、设函数22,2(),2x a x f x x a x ⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩，若f （x ）的值域为R ，是实数a 的取值范围是＿＿＿＿11、已知A （,A A x y ）是单位圆（圆心为坐标极点O ，半径为1）上任一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转3π到OB 交单位圆于点B （,B B x y ），已知m ＞0，若2A B my y -的最大值为3，则m ＝＿＿＿＿ 12、设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x 2＋y 2的最小值是＿＿＿＿ 13、设数列{n a }的前n 项和为Sn ，且114()2n n a -=+-，若对任意*n N ∈，都有1(4)3n p S n ≤-≤，则实数p 的取值范围是＿＿＿＿＿14、已知A （0,1），曲线C ：y ＝log a x 恒过点B ，若P 是曲线C 上的动点，且AB AP 的最小值为2，则a ＝＿＿＿＿＿ 二、解答题（90分）15、（14分）已知函数()sin()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<部分图象如图所示。

江苏省扬州市2015届高三第一学期12月月考数学试卷（考试时间：150分 试卷满分160分）一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．.． 1、已知集合{}(1)0P x x x =-≥，Q ={})1ln(|-=x y x ，则P Q = ▲ . 2、若复数21(1)z a a i =-++(a R ∈)3、垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是 ▲ .4、在等比数列｛n a ｝中,若7944,1a a a ⋅==,则12a 的值是 ▲ .5、在用二分法．．．求方程3210x x --=的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)， 则下一步可断定该根所在的区间为 ▲ .6. 正三棱锥S ABC -中，2BC =，SB =，D E 、分别是棱SA SB 、上的点，Q 为边AB 的中点，SQ CDE ⊥平面，则三角形CDE 的面积为______▲_______．7.已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若62,256382-==S a a a a ，则1a 的值是 ▲ . 8. 设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当zxy取得最大值时，2x y z +-的最大值为 9.由命题“02,2≤++∈∃m x x R x ”是假命题，求得实数m 的取值范围是),(+∞a ，则实数a 的值是▲ .10.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+++≥≥0,12,0k y x x y x （k 为常数），若目标函数y x z +=2的最大值是311，则实数k 的值是 ▲ .11.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=]3,1(,2329]1,0[,3)(x x x x f x ，当]1,0[∈t 时，]1,0[))((∈t f f ，则实数的取值范围是 ▲ .12、过定点P (1,2)的直线在x y 轴与轴正半轴上的截距分别为a b 、,则422a b +的最小值为 ▲ .13．如图，A ，B 是半径为1的圆O 上两点，且∠AOB ＝π3．若点C 是圆O 上任意一点，则→OA ▪→BC 的取值范围为 ▲ ．14、已知{}n a 是首项为a,公差为1的等差数列,1nn na b a +=.若对任意的*n N ∈,都有8n b b ≥成立,则实数a 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分。

2015 年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14 小题，每小题 5 分，共计 70 分）1．（ 5 分）（ 2015?江苏）已知集合 A={1 ，2， 3} ， B={2 ， 4， 5} ，则集合 A∪ B 中元素的个数为 5 ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出 A ∪ B，再明确元素个数解答：解：集合 A={1 ， 2， 3} ，B={2 ， 4， 5} ，则 A ∪ B={1 ，2， 3， 4，5} ；所以 A ∪ B 中元素的个数为 5；故答案为： 5点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2．（ 5 分）（ 2015?江苏）已知一组数据 4，6，5，8， 7，6，那么这组数据的平均数为6．考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：直接求解数据的平均数即可．解答：解：数据 4， 6，5， 8， 7，6，那么这组数据的平均数为：=6．故答案为： 6．点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．3．（ 5 分）（ 2015?江苏）设复数z 满足 z 2=3+4i（ i 是虚数单位），则 z 的模为．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．解答：解：复数 z 满足 z 2=3+4i ，可得 |z||z|=|3+4i|= =5，∴ |z|= ．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．4．（ 5 分）（ 2015?江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为7．考点：伪代码．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I ，S 的值，当 I=10 时不满足条件I＜ 8，退出循环，输出S 的值为 7．解答：解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I ＜ 8， S=3， I=4满足条件I ＜ 8， S=5， I=7满足条件I ＜ 8， S=7， I=10不满足条件I＜ 8，退出循环，输出S 的值为 7．故答案为： 7．点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．（ 5 分）（ 2015?江苏）袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球、 1 只红球、 2只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据题意，把 4 个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答：解：根据题意，记白球为 A ，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出 2 只球，基本事件为 AB 、 AC 1、 AC 2、 BC1、 BC2、C1C2共 6 种，其中 2 只球的颜色不同的是 AB 、 AC 1、AC 2、 BC1、 BC2共 5 种；所以所求的概率是P=．故答案为：．点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．6．（ 5 分）（ 2015?江苏）已知向量=（ 2， 1），=（ 1，﹣ 2），若 m +n =（ 9，﹣ 8）（ m，n∈R），则 m﹣ n 的值为﹣ 3 ．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的坐标运算，求解即可． 解答：=（ 2， 1）， =（1，﹣ 2），若 m +n =（ 9，﹣ 8）解：向量 可得，解得 m=2， n=5，∴ m ﹣ n=﹣3．故答案为：﹣ 3．点评：本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．7．（ 5 分）（ 2015?江苏）不等式 2 ＜ 4 的解集为 （﹣ 1， 2） ．考点 ：指、对数不等式的解法．专题 ：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：利用指数函数的单调性转化为 x 2﹣ x ＜ 2，求解即可． 解答：解； ∵2＜ 4，∴ x 2﹣ x ＜ 2，即 x 2﹣ x ﹣ 2＜ 0，解得：﹣ 1＜ x ＜2故答案为：（﹣ 1， 2）点评：本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．8．（ 5 分）（ 2015?江苏）已知 tan α=﹣ 2， tan （ α+β） = ，则 tan β的值为3 ．考点 ：两角和与差的正切函数． 专题 ：三角函数的求值．分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可．解答：解： tan α=﹣ 2， tan （ α+β） = ，可知 tan （ α+β） == ，即= ，解得 tan β=3． 故答案为： 3．点评：本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．9．（ 5 分）（ 2015?江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 4 的圆锥和底面半径为 2，高为 8 的圆柱各一个， 若将它们重新制作成总体积与高均保持不变， 但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 ．考点 ：棱柱、棱锥、棱台的体积．： 算 ；空 位置关系与距离．分析：由 意求出原来 柱和 的体 ， 出新的 柱和 的底面半径 r ，求出体 ，由前后体 相等列式求得 r ．解答：解：由 意可知，原来 和 柱的体 和 ： ．新 和 柱的底面半径 r ，新 和 柱的体 和 ：．∴，解得：．故答案 ：．点 ：本 考 了 柱与 的体 公式，是基 的 算 ．10．（ 5 分）（ 2015?江 ）在平面直角坐 系xOy 中，以点（1， 0） 心且与直 mx y2m 1=0 （ m ∈R ）相切的所有 中，半径最大的 的 准方程 （ x 1） 2+y 2=2 ．考点 ： 的 准方程； 的切 方程．： 算 ；直 与 ．分析：求出 心到直 的距离 d 的最大 ，即可求出所求 的 准方程．解答：解： 心到直 的距离d==≤，∴ m=1 ， 的半径最大 ，22∴ 所求 的 准方程 （x 1） +y =2．22故答案 ：（ x 1） +y =2 ．点 ：本 考 所 的 准方程，考 点到直 的距离公式，考 学生的 算能力，比 基 ．n 1 n+1n=n+1（ n ∈N * ）， 数列 { } 的前11．（ 5 分）（ 2015?江 ） 数列 {a} 足 a =1，且 aa10 的和 ．考点 ：数列的求和；数列 推式．：等差数列与等比数列．分析：数列 {a n1 n+1 n*），利用 “累加求和 ”可得 a n= ．再} 足 a =1 ，且 aa =n+1（n ∈N利用 “裂 求和 ”即可得出．解答：解： ∵数列 {a n } 足 a 1=1，且 a n+1a n =n+1 （ n ∈N *），∴ 当 n ≥2 ， a n =（a na n ﹣ 1） +⋯+（ a 2a 1） +a 1=+n+ ⋯+2+1=．当 n=1 ，上式也成立，∴ a n =．∴ =2．∴ 数列 {} 的前 n 项的和 S =n==．∴ 数列 {} 的前 10 项的和为．故答案为：．点评：本题考查了数列的 “累加求和 ”方法、 “裂项求和 ”方法、等差数列的前 n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（ 5 分）（ 2015?江苏）在平面直角坐标系 xOy 中， P 为双曲线 x 2﹣ y 2=1 右支上的一个动点，若点 P 到直线 x ﹣ y+1=0 的距离大于 c 恒成立，则实数 c 的最大值为．考点 ：双曲线的简单性质．专题 ：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线 x 2﹣ y 2=1 的渐近线方程为 x ±y=0， c 的最大值为直线 x ﹣ y+1=0 与直线 x ﹣ y=0的距离．解答：解：由题意，双曲线 x 2﹣ y 2=1 的渐近线方程为 x ±y=0 ，因为点 P 到直线 x ﹣ y+1=0 的距离大于 c 恒成立，所以 c 的最大值为直线 x ﹣y+1=0 与直线 x ﹣ y=0 的距离，即 ．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（ 5 分）（ 2015?江苏）已知函数 f （ x ）=|lnx| ， g （ x ） = ，则方程|f （ x ）+g （ x ） |=1 实根的个数为4 ．考点 ：根的存在性及根的个数判断． 专题 ：综合题；函数的性质及应用．分析：：由 |f （ x ）+g （ x ） |=1 可得 g （x ） =﹣ f （ x ）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论． 解答：解：由 |f （ x ） +g （ x ） |=1 可得 g （ x ） =﹣ f （ x ） ±1．g （ x ）与 h （ x ）=﹣ f （ x ） +1 的图象如图所示，图象有两个交点；g（ x）与φ（ x） = f（x） 1 的象如所示，象有两个交点；所以方程 |f（ x） +g（ x） |=1 根的个数4．故答案： 4．点：本考求方程|f（ x）+g（ x）|=1 根的个数，考数形合的数学思想，考学生分析解决的能力，属于中档．14．（ 5 分）（ 2015?江）向量=（ cos，sin+cos）（k=0，1，2，⋯，12），（ a k?a k+1）的．考数列的求和．点：等差数列与等比数列；平面向量及用．：分利用向量数量运算性、两角和差的正弦公式、化和差公式、三角函数的周期性即可析得出．：解解：答+=：=++++=++=++，∴（a k?a k+1）=+++++++⋯+ ++++++ ⋯+=+0+0=．故答案： 9 ．点本考了向量数量运算性、两角和差的正弦公式、化和差公式、三角函数的周期性，考了推理能力与算能力，属于中档．：二、解答（本大共 6 小，共90 分，解答写出文字明、明程或演算步）15．（ 14 分）（ 2015?江）在△ABC 中，已知 AB=2 ， AC=3 ，A=60 °．（1）求 BC 的；（2）求 sin2C 的．考点：余弦定理的用；二倍角的正弦．：解三角形．分析：（ 1）直接利用余弦定理求解即可．（ 2）利用正弦定理求出 C 的正弦函数，然后利用二倍角公式求解即可．解答：解：（ 1）由余弦定理可得：BC 2=AB2+AC22AB ?ACcosA=4+82×2×3× =7，所以 BC=．（ 2）由正弦定理可得：，sinC===，∵ AB ＜ BC ，∴ C 角，则 cosC===．因此 sin2C=2sinCcosC=2 ×=．点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．16．（ 14 分）（ 2015?江苏）如图，在直三棱柱ABC ﹣ A 1B 1C1中，已知 AC ⊥ BC ，BC=CC 1，设AB 1的中点为 D ，B 1C∩BC1=E．求证：（1） DE ∥平面 AA 1C1 C；（2） BC 1⊥ AB 1．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（ 1）根据中位线定理得DE∥AC ，即证 DE∥平面 AA 1C1C；（2）先由直三棱柱得出 CC1⊥平面 ABC ，即证 AC ⊥ CC1；再证明 AC ⊥平面 BCC1B 1，即证 BC 1⊥AC ；最后证明 BC1⊥平面 B 1AC ，即可证出 BC 1⊥ AB 1．解答：证明：（1）根据题意，得；E 为 B 1C 的中点， D 为 AB 1的中点，所以DE∥AC ；又因为 DE ? 平面 AA 1C1C， AC ? 平面 AA 1C1C，所以 DE ∥平面 AA 1C1C；（ 2）因为棱柱ABC ﹣ A 1B1C1是直三棱柱，所以 CC1⊥平面 ABC ，因为 AC ? 平面 ABC ，所以 AC ⊥CC1；又因为 AC ⊥ BC，CC1? 平面 BCC 1B1，BC ? 平面 BCC 1B1，BC ∩CC1=C，所以 AC ⊥平面 BCC 1B 1；又因为 BC 1? 平面平面BCC 1B1，所以 BC 1⊥AC ；因为 BC=CC 1，所以矩形BCC 1B1是正方形，所以 BC 1⊥平面 B1AC ；又因为 AB 1? 平面 B1AC ，所以 BC 1⊥AB 1．点评：本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．17．（ 14 分）（ 2015?江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为 C，计划修建的公路为 l，如图所示， M ，N 为 C 的两个端点，测得点 M 到l 1，l 2的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 N 到 l1， l2的距离分别为 20 千米和 2.5 千米，以 l 2，l1在的直线分别为 x，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线 C 符合函数 y=（其中 a， b 为常数）模型．（1）求 a，b 的值；（2）设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点， P 的横坐标为 t．①请写出公路l 长度的函数解析式f（ t），并写出其定义域；②当 t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．考点：函数与方程的综合运用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（ 1）由题意知，点 M ，N 的坐标分别为（5，40），（ 20，2.5），将其分别代入 y= ，建立方程组，即可求a， b 的值；（ 2）① 求出切线 l 的方程，可得 A ，B 的坐标，即可写出公路l 长度的函数解析式 f （ t），并写出其定义域；②设 g（ t） = ，利用导数，确定单调性，即可求出当t 为何值时，公路 l的长度最短，并求出最短长度．解答：解：（ 1）由题意知，点M ，N 的坐标分别为（ 5， 40），（ 20， 2.5），将其分别代入y= ，得，解得，（ 2）①由（ 1） y= （5≤x≤20），P（ t，），∴ y′=﹣，∴切线 l 的方程为 y﹣=﹣（x﹣t）设在点 P 处的切线 l 交 x， y 轴分别于 A ，B 点，则 A （， 0）， B （0，），∴ f（ t） ==，t∈[5，20]；②设 g（ t） =，则g′（t）=2t﹣=0，解得 t=10，t∈（ 5， 10）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（ 10，20）时，g′（t）＞0，g（ t）是增函数，从而 t=10时，函数g（ t）有极小值也是最小值，∴g（ t）min=300 ，∴ f（ t）min=15 ，答： t=10 时，公路 l 的长度最短，最短长度为15 千米．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．18．（ 16 分）（2015?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆+=1（ a＞b＞ 0）的离心率为，且右焦点 F 到左准线 l 的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过 F 的直线与椭圆交于 A ，B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线l 和 AB 于点 P，C，若 PC=2AB ，求直线AB 的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（ 1）运用离心率公式和准线方程，可得a， c 的方程，解得 a， c，再由 a， b， c 的关系，可得 b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线 AB 的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达10解答：解：（ 1）由题意可得， e= =且 c+ =3，解得 c=1， a= ， 则 b=1 ，即有椭圆方程为（ 2）当 AB ⊥ x 轴， AB=， CP=3，不合题意；当 AB 与 x 轴不垂直，设直线 AB ： y=k （ x ﹣ 1），A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2），将 AB 方程代入椭圆方程可得（ 1+2k 2）x 2﹣ 4k 2x+2（ k 2﹣ 1） =0， 则 x 1+x 2=， x 1x 2=，则 C （ ，），且|AB|= ? = ，若 k=0 ，则 AB 的垂直平分线为 y 轴，与左准线平行，不合题意；则 k ≠0，故 PC ： y+=﹣ （ x ﹣）， P （﹣ 2，），从而 |PC|= ，由 |PC|=2|AB|，可得 =，解得 k= ±1，此时 AB 的方程为y=x ﹣ 1 或 y= ﹣ x+1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式， 同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．19．（ 16 分）（ 2015?江苏）已知函数 f （ x ）=x 3+ax 2+b （a ， b ∈R ）． （1）试讨论 f （ x ）的单调性；（2）若 b=c ﹣a （实数 c 是与 a 无关的常数），当函数 f （ x ）有三个不同的零点时， a 的取值 范围恰好是（﹣ ∞，﹣ 3）∪ （ 1， ） ∪（ ， +∞），求 c 的值．考点 ：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理． 专题 ：综合题；导数的综合应用．分析：（ 1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f （x ）的单调性；（ 2）由（ 1）知，函数 f （ x ）的两个极值为 f （ 0） =b ，f （﹣）=+b ，则函数+y 2=1；，f （ x ）有三个不同的零点等价于f （ 0） f （﹣ ）=b （ +b ）＜ 0，进一步转化为a ＞ 0 时，﹣ a+c ＞ 0 或 a ＜ 0 时，﹣a+c ＜ 0．设 g （ a ） =﹣ a+c ，利用条件即可求 c 的值．解答：解：（ 1） ∵ f （ x ） =x 3+ax 2+b ，∴ f ′（x ） =3x 2+2ax ，令 f ′（x ） =0 ，可得 x=0 或﹣ ．a=0 时， f ′（ x ）＞ 0， ∴ f （ x ）在（﹣ ∞， +∞）上单调递增；a ＞ 0 时， x ∈（﹣ ∞，﹣ ） ∪（ 0， +∞）时， f ′（x ）＞ 0，x ∈（﹣ ，0）时， f ′（ x ） ＜ 0，∴ 函数 f （ x ）在（﹣ ∞，﹣ ），（ 0，+∞）上单调递增，在（﹣ ，0）上单调递减；a ＜ 0 时， x ∈（﹣ ∞，0） ∪（﹣ ， +∞）时， f ′（x ）＞ 0，x ∈（ 0，﹣ ）时， f ′（ x ）＜ 0，∴ 函数 f （ x ）在（﹣ ∞，0），（﹣ ，+∞）上单调递增，在（ 0，﹣）上单调递减；（ 2）由（ 1）知，函数 f （ x ）的两个极值为 f （ 0） =b ，f （﹣ ）=+b ，则函数f （ x ）有三个不同的零点等价于f （ 0） f （﹣）=b （+b ）＜ 0，∵ b=c ﹣ a ，∴ a ＞ 0 时， ﹣ a+c ＞ 0 或 a ＜ 0 时， ﹣ a+c ＜ 0．设 g （ a ） =﹣a+c ，∵ 函数 f （x ）有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是（﹣ ∞，﹣ 3） ∪（ 1， ）∪ （ ， +∞），∴ 在（﹣ ∞，﹣ 3）上， g （ a ）＜ 0 且在（ 1， ） ∪ （ ， +∞）上 g （a ）＞ 0 均恒成立，∴ g （﹣ 3） =c ﹣ 1≤0，且 g （ ）=c ﹣ 1≥0，∴ c=1，此时 f （ x ）=x 3+ax 2+1﹣a=（ x+1 ）[x 2+（ a ﹣ 1）x+1 ﹣ a]，∵ 函数有三个零点，∴ x 2+（a ﹣ 1） x+1﹣ a=0 有两个异于﹣ 1 的不等实根，∴ △ =（ a ﹣ 1） 2﹣ 4（ 1﹣ a ）＞ 0，且（﹣ 1） 2﹣（ a ﹣ 1） +1﹣ a ≠0，解得 a ∈（﹣ ∞，﹣ 3） ∪（ 1， ） ∪ （ ，+∞），综上 c=1．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．20．（ 16 分）（ 2015?江苏）设 1 2 3 4d （ d ≠0）的等差数列． a ，a ， a ． a 是各项为正数且公差为 （1）证明： 2 ， 2 ， 2 ， 2 依次构成等比数列；（2）是否存在 a 1 12 2， a 33， a 44 依次构成等比数列？并说明理由；， d ，使得 a ， ann+kn+2kn+3k依次构成等比数列？并（3）是否存在 a 1，d 及正整数 n ，k ，使得 a 1 ，a 2 ，a 3，a 4 说明理由．考点 ：等比关系的确定；等比数列的性质． 专题 ：等差数列与等比数列．分析：（ 1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明；（ 2）利用反证法，假设存在 a 1 ，d 使得 a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列，推出矛 盾，否定假设，得到结论；（ 3）利用反证法，假设存在 a 1，d 及正整数 n ，k ，使得 a 1 n ，a 2n+k，a 3 n+2k ， a 4n+3k 依次构成等比数列， 得到 a 1n （ a 1+2d ）n+2k =（ a 1+2d ）2 n+k ，且（ a 1+d ）n+k （ a 1+3d ）n+3k =（ a 1+2d ）2（ n+2k ），利用等式以及对数的性质化简整理得到ln （ 1+3t ） ln （ 1+2t ） +3ln （ 1+2t ）ln （ 1+t ）=4ln （1+3t ）ln （ 1+t ），（ ** ），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立．解答：解：（ 1）证明： ∵==2d，（n=1 ， 2，3，）是同一个常数，∴ 2， 2 ， 2 ， 2 依次构成等比数列；（ 2）令 a 1+d=a ，则 a 1，a 2，a 3，a 4 分别为 a ﹣d ，a ，a+d ，a+2d （ a ＞ d ，a ＞﹣ 2d ，d ≠0）假设存在 a 11 22， a 33， a 44依次构成等比数列，， d 使得 a， a43624则 a =（ a ﹣d ）（ a+d ） ，且（ a+d ） =a （ a+2d ） ，令 t=，则 1= （1﹣ t ）（ 1+t ） 3，且（ 1+t ） 6=（ 1+2t ）4，（﹣ ＜ t ＜ 1， t ≠0）， 化简得 t 3+2t 2﹣ 2=0（ * ），且 t 2=t+1 ，将 t 2=t+1 代入（ *）式， t （ t+1） +2（ t+1 ）﹣ 2=t 2+3t=t+1+3t=4t+1=0 ，则 t=﹣ ，显然 t=﹣ 不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在 a 1， d ，使得 a 1，a 2 2， a 33， a 44依次构成等比数列．（ 3）假设存在 a 11 n ，a 2n+k ，a 3n+2k ，a 4n+3k 依次构成等比数，d 及正整数 n ，k ，使得 a列，则 a 1 （ ）（ ） n （ a 1+2d ）n+2k =（ a 1+2d ） 2 n+k ，且（ a 1+d ）n+k （ a 1+3d ）n+3k =（ a 1+2d ）2 n+2k， 分别在两个等式的两边同除以 =a2（ n+k） 2（ n+2k），（ t ＞ ， t ≠0），1， a 1 ，并令 t=则（ 1+2t ）n+2k=（ 1+t ） 2 （n+k ）（ n+2k ），且（ 1+t ） n+k （ 1+3t ）n+3k=（ 1+2t ） 2 ， 将上述两个等式取对数，得（ n+2k ）ln （1+2t ） =2（ n+k ） ln （ 1+t ）， 且（ n+k ） ln （ 1+t ） +（ n+3k ） ln （ 1+3t ） =2（n+2k ）ln （1+2t ），化简得， 2k[ln （ 1+2t ）﹣ ln （ 1+t ） ]=n[2ln （ 1+t ）﹣ ln （ 1+2t ） ]，且 3k[ln （ 1+3t ）﹣ ln （1+t ） ]=n[3ln （ 1+t ）﹣ ln （1+3t ） ] ，再将这两式相除，化简得，ln （ 1+3t ） ln （ 1+2t ） +3ln （ 1+2t ） ln （1+t ）=4ln （ 1+3t ） ln （ 1+t ），（ ** ） 令 g （ t ） =4ln （1+3t ） ln （ 1+t ）﹣ ln （ 1+3t ） ln （ 1+2t ） +3ln （ 1+2t ） ln （ 1+t ），则 g ′（ t ）=[（ 1+3t ）2ln （ 1+3t ）﹣ 3（ 1+2t ） 2ln （ 1+2t ）2+3 （ 1+t ） ln （ 1+t ） ]，令 φ（ t ） =（ 1+3t ）2ln （ 1+3t ）﹣ 3（ 1+2t ）2 ln （1+2t ） +3（ 1+t ）2ln （ 1+t ），则 φ′（t ）=6[ （1+3t ） ln （ 1+3t ）﹣ 2（ 1+2t ） ln （ 1+2t ） +3 （1+t ） ln （ 1+t ） ] ，令 φ1 1（ t ） =φ′（t ），则 φ ′（ t ） =6[3ln （ 1+3t ）﹣ 4ln （ 1+2t ） +ln （ 1+t ） ]， 令 φ2 1 2＞ 0， （ t ） =φ ′（ t ），则 φ ′（ t ） =由 g （ 0） =φ（ 0） =φ1 2 2（ 0） =φ （ 0） =0，φ ′（ t ）＞ 0，知 g （ t ）， φ（ t ）， φ， 0）和（ 0， +∞）上均单调，1（ t ）， φ2（ t ）在（﹣ 故 g （ t ）只有唯一的零点 t=0 ，即方程（ ** ）只有唯一解 t=0 ，故假设不成立，所以不存在n n+k n+2k n+3k依次构成等比数列． a 1， d 及正整数 n ，k ，使得 a 1，a 2 ，a 3 ，a 4 点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分） 【选做题】本题包括 21-24 题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（ 10 分）（ 2015?江苏）如图，在 △ABC 中， AB=AC ， △ ABC 的外接圆 ⊙O 的弦 AE 交BC 于点 D ．求证： △ ABD ∽ △ AEB ．考点 ：相似三角形的判定． 专题 ：推理和证明．分析：直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似．解答：证明： ∵AB=AC ，∴ ∠ABD= ∠C ，又 ∵ ∠ C=∠ E ，∴∠ ABD= ∠ E ，又 ∠ BAE 是公共角，可知： △ ABD ∽ △ AEB ．点评：本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力．【选修 4-2：矩阵与变换】22．（ 10 分）（ 2015?江苏）已知 x ，y ∈R ，向量 = 是矩阵 的属于特征值﹣ 2 的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．考点 ：特征值与特征向量的计算． 专题 ：矩阵和变换．分析：利用 A =﹣ 2 ，可得 A=，通过令矩阵 A 的特征多项式为 0 即得结论．解答：解：由已知，可得 A =﹣ 2 ，即 = = ，则，即 ，∴ 矩阵 A= ，从而矩阵 A 的特征多项式 f （ λ） =（ λ+2）（ λ﹣1），∴ 矩阵 A 的另一个特征值为 1．点评：本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．【选修 4-4：坐标系与参数方程】23．（ 2015?江苏）已知圆2ρsin （ θ﹣ ）﹣ 4=0 ，求圆 C 的半径．C 的极坐标方程为 ρ+2考点 ：简单曲线的极坐标方程．专题 ：计算题；坐标系和参数方程．分析：先根据 x= ρcos θ，y= ρsin θ，求出圆的直角坐标方程，求出半径． 解答： 2 ρsin （ θ﹣ 2ρsin θ﹣4=0 ，解：圆的极坐标方程为 ρ+2 ）﹣ 4=0 ，可得 ρ﹣ 2ρcos θ+2化为直角坐标方程为 x 2+y 2﹣ 2x+2y ﹣ 4=0 ，化为标准方程为（x ﹣ 1）2+（ y+1 ） 2=6，圆的半径 r= ．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式 x= ρcos θ， y=ρsin θ，比较基础，[ 选修 4-5：不等式选讲】24．（ 2015?江苏）解不等式 x+|2x+3| ≥2． 考点 ：绝对值不等式的解法．分析：思路 1（公式法）：利用 |f（ x） |≥g（ x） ? f（ x）≥g（ x），或 f （x）≤﹣ g（ x）；思路 2（零点分段法）：对 x 的值分“x≥”“x＜”进行讨论求解．解答：解法 1： x+|2x+3| ≥2 变形为 |2x+3|≥2﹣ x，得2x+3≥2﹣ x，或 2x+3 ≥﹣（ 2﹣x），即 x≥，或 x≤﹣ 5，即原不等式的解集为{x|x ≥，或x≤﹣5}．解法 2：令 |2x+3|=0 ，得 x=．①当 x≥时，原不等式化为x+ （ 2x+3）≥2，即 x≥，所以 x≥；② x＜时，原不等式化为x﹣（ 2x+3 ）≥2，即 x≤﹣ 5，所以 x≤﹣ 5．综上，原不等式的解集为{x|x ≥，或x≤﹣5}．点评：本题考查了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为： |f（ x） |≥g（x） ? f （x）≥g（ x），或 f （ x）≤﹣ g（x）； |f（ x） |≤g（x） ?﹣g（ x）≤f（ x）≤g（ x）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．【必做题】每题10 分，共计20 分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（ 10 分）（2015?江苏）如图，在四棱锥P﹣ ABCD 中，已知 PA⊥平面 ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ ABC=∠ BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值；（2）点 Q 是线段 BP 上的动点，当直线CQ 与 DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长．考点：二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：以 A 为坐标原点，以AB 、 AD 、AP 所在直线分别为 x、 y、 z 轴建系 A ﹣xyz ．（ 1）所求值即为平面 PAB 的一个法向量与平面 PCD 的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（ 2）利用换元法可得 cos 2＜， ＞ ≤ ，结合函数 y=cosx 在（ 0， ）上的单调性，计算即得结论．解答：解：以 A 为坐标原点，以AB 、AD 、 AP 所在直线分别为 x 、 y 、z 轴建系 A ﹣ xyz 如图，由题可知 B （ 1， 0， 0）， C （1， 1， 0）， D （ 0， 2， 0）， P （ 0，0， 2）．（ 1） ∵AD ⊥ 平面 PAB ，∴=（ 0， 2，0），是平面 PAB 的一个法向量，∵=（ 1， 1，﹣ 2）， =（0， 2，﹣ 2），设平面 PCD 的法向量为=（ x ，y ， z ），由，得 ，取 y=1，得 =（ 1， 1，1），∴ cos ＜， ＞ = = ，∴ 平面 PAB 与平面 PCD 所成两面角的余弦值为；（ 2） ∵=（﹣ 1， 0，2），设 =λ =（﹣ λ， 0， 2λ）（0≤λ≤1），又=（ 0，﹣ 1， 0），则 =+=（﹣ λ，﹣ 1， 2λ），又=（ 0，﹣ 2， 2），从而 cos ＜ ， ＞ = = ，设 1+2 λ=t ， t ∈[1， 3]，则 cos 2＜， ＞ = =≤ ，当且仅当 t= ，即 λ= 时， |cos ＜ ， ＞ |的最大值为 ，因为 y=cosx 在（ 0， ）上是减函数，此时直线CQ 与 DP 所成角取得最小值．又 ∵ BP== ， ∴ BQ= BP=．点：本考求二面角的三角函数，考用空向量解决的能力，注意解方法的累，属于中档．26．（ 10 分）（ 2015?江）已知集合 X={1 ，2，3} ，Y n={1 ，2，3，⋯，n）（n∈N *）， S n={（ a，b） |a 整除 b或整除 a， a∈X ，B ∈Y n} ，令 f（ n）表示集合 S n所含元素的个数．（1）写出 f（6）的；（2）当 n≥6 ，写出 f （n）的表达式，并用数学法明．考点：数学法．：合；点列、数列与数学法．分析：（1） f （ 6） =6+2+ + =13 ；（2）根据数学法的明步，分，即可明．解答：解：（ 1） f（ 6） =6+2+ + =13；（ 2）当 n≥6 ， f （ n） =．下面用数学法明：①n=6 ， f （ 6） =6+2+ + =13，成立；②假 n=k（ k≥6），成立，那么 n=k+1 ， S k+1在 S k的基上新增加的元素在（ 1，k+1 ），（ 2， k+1 ），（ 3， k+1 ）中生，分以下情形：1）若 k+1=6t ， k=6（ t 1）+5 ，此有 f（ k+1）=f （k） +3=（ k+1）+2++，成立；2）若 k+1=6t+1 ，则 k=6t+1 ，此时有 f（ k+1 ） =f （ k） +1=k+2+ + +1=（ k+1 ）+2+ + ，结论成立；3）若 k+1=6t+2 ，则 k=6t+1 ，此时有 f（ k+1 ）=f（k）+2=k+2+ + +2=（ k+1 ）+2+ + ，结论成立；4）若 k+1=6t+3 ，则 k=6t+2 ，此时有 f（ k+1 ） =f （ k） +2=k+2+ + +2=（ k+1 ）+2+ + ，结论成立；5）若 k+1=6t+4 ，则 k=6t+3 ，此时有 f（ k+1 ） =f （ k） +2=k+2+ + +2=（ k+1 ）+2+ + ，结论成立；6）若 k+1=6t+5 ，则 k=6t+4 ，此时有 f（ k+1 ） =f （ k） +2=k+2+ + +2=（ k+1 ）+2+ + ，结论成立．综上所述，结论对满足n≥6 的自然数 n 均成立．点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键．。

扬州市2014—2015学年度第四次调研测试试题高 三 数 学 参 考 答 案第一部分1．已知集合{1,2,4},{2,3,4,5}A B ==，则AB =．{2，4}2．设复数z 满足()132i z i +=-+，则z ＝____________．13i -3．命题“2,10x R x ∀∈+>”的否定是 ．2,10x R x ∃∈+≤ 4．已知α为第三象限角，且tan 2α=，则sin 2α= ．455．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中至少有一名男同学的概率是 ．9106．已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k = －1 7．锐角ABC △中角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，4,5a b ==, ABC △的面积为53, 则c = ．218．用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积是 ．93π 9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2244a S a S =，则12015S S 等于 ．1 10．若函数()cos f x k x =⋅的图象过点(,1)3P π，则该函数图象在P 点处的切线倾斜角等于 ．23π析：∵函数()cos f x k x =⋅的图象经过点(,1)3P π，∴()cos 1233f k k ππ==⇒=，∴x x f cos 2)(=，()2sin f x x '=-，()2sin 333k f ππ'==-=-．11．若直线30x y m ++=截半圆225y x =-所得的弦长为8，则m = ．310-12．平面内四点,,,O A B C 满足4,25,5,0OA OB OC OB OC ===⋅=，则ABC ∆面积的最大值为 ．1513．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，离心率为32，过原点O 且倾斜角为3π的直线l 与椭MDCBA圆E 相交于A 、B 两点，若△AFB 的周长为813413+，则椭圆方程为 ．2214x y +=析：由已知2a b =，椭圆方程可化为：2224x y a +=，将:3l y x =代入得13||13A x a =， 由椭圆对称性，△AFB 的周长=2||24||A a AB a x +=+，可得2a =． 14．已知函数||()()xx f x x R e=∈，12()421()x x g x a a a a R +=-+⋅++-∈， 若{|(g())}R A x f x e =>=，则a 的取值范围是 ．[1,0]- 析：当0x ≥时，1'()x xf x e-=，得()f x 在[)0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数，当1x =时有极大值1e； 当0x <时，1'()0xx f x e -=<恒成立，()f x 是减函数，且(1)f e -=． 设()g x t =，由()f t e >得1t <-，即()1g x <-对x R ∈恒成立，22()(2)21x g x a a a =--++-，当0a >时，2()21g x a a ≤+-，而2211a a +->-，不合题意；当0a ≤时，2()(,1)g x a a ∈-∞+-，∴211a a +-≤-，得10a -≤≤． 15．如图，三棱锥A BCD -中，侧面ABC 是等边三角形，M 是ABC ∆的中心． ⑴若DM BC ⊥，求证AD BC ⊥；⑵若AD 上存在点N ，使//MN 平面BCD ，求AN ND 的值．证⑴连AM 并延长交BC 于E ，连DE因为M 是等边ABC ∆的中心，所以E 是BC 的中点，AE BC ⊥ ……………2分又因为DM BC ⊥，AE DM M =，,AE DM ⊂平面ADE ，所以BC ⊥平面ADE ， ……………5分因为AD ⊂平面ADE ，所以AD BC ⊥； ……………7分⑵,M AE AE ∈⊂平面ADE ，所以M ∈平面ADE ， 因为AD 上存在点N ，所以N ∈平面ADE ，所以MN ⊂平面ADE ， ……………9分又//MN 平面BCD ，平面ADE平面BCD DE =，所以//MN DE ，……………12分在ADE ∆中，因为12AM ME =，所以12AN ND =． (14)分16．ABC ∆的内角,A B 满足2cossin 22A B A B a i j +-=+(单位向量,i j 互相垂直)，且6||2a =． ⑴求tan tan A B 的值； ⑵若2sin 13A =，边长2a =，求边长c ． 解⑴因为2223||2cossin 222A B A B a +-=+=， 即1cos()31cos()22A B A B --+++=， ……………3分所以cos cos sin sin cos cos sin sin 02A B A BA B A B +--=，化简整理，得13t ant a22A B -=，故ta A B =13. ……………7分(2)由(1)可知,A B 为锐角．因为2sin 13A =，所以2tan 3A =，1tan 2B =，tan tan 7tan tan()1tan tan 4A B C A B A B +=-+=-=--，7sin 65C =……………12分 因为正弦定理sin sin a cA C=，所以2271365c =，所以边长755c =． ……………14分17．一件要在展览馆展出的文物近似于圆柱形，底面直径为0.8米，高1.2米，体积约为0.6立方米．为保护文物需要设计各面是玻璃平面的正四棱柱形无底保护罩，保护罩底面边长不少于1.2米，高是底面边长的2倍．保护罩内充满保护文物的无色气体，气体每立方米500元．为防止文物发生意外，展览馆向保险公司进行了投保，保险费用与保护罩的占地面积成反比例，当占地面积为1平方米时，保险费用为48000元．⑴若保护罩的底面边长为2.5米，求气体费用与保险费用的和； ⑵为使气体费用与保险费用的和最低，保护罩应如何设计？ 解⑴2248000500(2.550.6)230052.5⨯-+=； ……………4分⑵保护罩的底面边长为x 米，底面积为S 平方米，体积为V 立方米，总费用为y 元，则 48000500(0.6)y V S=-+=2248000500(20.6)x x x ⋅-+32480001000300x x=+-，（ 1.2x ≥）……9分52339600032'30003000x y x x x -=-=，令'0y =得2x =， 当1.22x ≤<时'0y <，y 递减；当2x >时'0y >，y 递增∴当2x =时，y 有极小值即最小值．答：为了使这两项总费用最低，保护罩的底面边长应设计为2米． ……………14分18．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，右准线为l ，l 与x 轴相交于点T ，且F 是AT 的中点．⑴求椭圆的离心率；⑵过点T 的直线与椭圆相交于,M N 两点，,M N 都在x 轴上方，并且M 在,N T 之间，且2NF MF =．①记,NFM NFA ∆∆的面积分别为12,S S ，求12S S ； ②若原点O 到直线TMN 的距离为204141，求椭圆方程． 解⑴因为F 是AT 的中点，所以22a a c c-+=，即(2)()0a c a c -+=，又a 、0c >，所以2a c =，所以12c e a ==； ……………4分 ⑵①解法一：过,M N 作直线l 的垂线，垂足分别为11,M N ，依题意，11NF MFe NN MM ==， 又2NF MF =，故112NN MM =，故M 是NT 的中点，∴12MNF TNF S S ∆∆= 又F 是AT 中点，∴ANF TNF S S ∆∆=，∴1212S S =；……………8分解法二：∵2a c =，∴3b c =，椭圆方程为2222143x y c c+=，(,0)F c ，(4,0)T c设11(,)M x y ，22(,)N x y ，点M 在椭圆2222143x y c c+=上，即有22211334y c x =-， ∴2222211113()()34MF x c y x c c x =-+=-+-22111111124|2|2422x cx c x c c x =-+=-=- 同理2122NF c x =-，又2NF MF =，故1224x x c -=得M 是,N T 的中点，∴12MNF TNF S S ∆∆=，又F是AT 中点，∴ANF TNFS S ∆∆=，∴1212S S =； ……………8分 ②解法一：设(,0)F c ，则椭圆方程为2222143x y c c+=，由①知M 是,N T 的中点，不妨设00(,)M x y ，则00(24,2)N x c y -，又,M N 都在椭圆上，即有⎧⎪⎨⎪⎩220022220022143(24)4143x y c cx c y c c +=-+=即⎧⎪⎨⎪⎩220022220022143(2)1434x y c c x c y c c +=-+= 两式相减得：220022(2)3444x x c c c --=，解得074x c =， ……………10分可得0358y c =，故直线MN 的斜率为35587644ck c c ==--， ……………13分 直线MN 的方程为5(4)6y x c =--，即56450x y c +-= 原点O 到直线TMN 的距离为454553641c d c ==+，依题意4520414141c =，解得5c =， 故椭圆方程为2212015x y +=． ……………16分解法二：设(,0)F c ，则椭圆方程为2222143x y c c+=，由①知M 是,N T 的中点，故1224x x c -=，直线MN 的斜率显然存在，不妨设为k ，故其方程为(4)y k x c =-，与椭圆联立，并消去y 得：22222(4)143x k x c c c-+=，整理得：222222(43)3264120k x ck x k c c +-+-=，（*）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，依题意：⎧⎪⎨⎪⎩21222221223243641243ck x x k k c c x x k +=+-=+ 由⎧⎨⎩212212324324ckx x k x x c +=+-=解得：⎧⎨⎩ 2122221644316443ck c x k ck cx k +=+-=+ 所以222222221641646412434343ck c ck c k c c k k k +--⨯=+++，解之得：2536k =，即56k =-． 直线MN 的方程为5(4)6y x c =--，即56450x y c +-= 原点O 到直线TMN 的距离为454553641c cd ==+， 依题意4520414141c =，解得5c =， 故椭圆方程为2212015x y +=． ……………16分19．设m 个正数m aa a ,...,,21()*4,m m N ≥∈依次围成一个圆圈．其中1231,,,...,,k k a a a a a -*(,)k m kN <∈ 是公差为d 的等差数列，而111,,,...,,m m k k a a a a a -+是公比为2的等比数列． ⑴若12a d ==，8k =，求数列m a a a ,...,,21的所有项的和m S ； ⑵若12a d ==，2015m <，求m 的最大值； ⑶是否存在正整数k ，满足1211213()k k k k m m a a a a a a a a -++-++++=++++？若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．解⑴依题意16k a =，故数列m a a a ,...,,21即为2，4，6，8，10，12，14，16，8，4共10个数，此时10m =，84m S =， ……………4分⑵由数列1231,,,...,,k k a a a a a -是首项为2、公差为2的等差数列知，2k a k =， 而111,,,...,,m m k k a a a a a -+是首项为2、公比为2的等比数列知，22m k k a +-=， 故有222m kk +-=，12m kk +-=，即k 必是2的整数次幂，由122km k +⋅=知，要使m 最大，k 必须最大，又2015k m <<，故k 的最大值102，从而1010241222m +⋅=，m 的最大值是1033． ……………9分⑶由数列1231,,,...,,k k a a a a a -是公差为d 的等差数列知，1(1)k a a k d =+-， 而111,,,...,,m m k k a a a a a -+是公比为2的等比数列112m kk a a +-=⋅，故1(1)a k d +-112m ka +-=⋅，11(1)(21)m kk d a +--=-又121113()k k k k m m a a a a a a a a -+-+++=++++，12m a a =则11112(1)32212m k ka k k d a --+-=⨯⨯-，即11111[(21)]32(21)2m k m k ka k a a +--+-=⨯-，则11126(21)22m k m k k k +--⋅+=-，即1126212m k m k k k +-+-⋅+=⨯-， 显然6k ≠，则112182166m k k k k +-+==-+-- 所以6k <，将12345k =，，，，一一代入验证知， 当4k =时，上式右端为8，等式成立，此时6m =， 综上可得：当且仅当6m =时，存在4k =满足等式． (16)分20．设函数1()1f x x =-，()1x g x ax =+(其中a R ∈，e 是自然对数的底数）． ⑴若函数()()()F x f x g x =-没有零点，求实数a 的取值范围；⑵若函数(),()f x g x 的图象有公共点P ，且在点P 有相同的切线，求实数a 的值；⑶若()()x f e g x ≤在x ∈[0,)+∞恒成立，求实数a 的取值范围． 解⑴由()()()0F x f x g x =-=得2(1)(1)10a x a x ----=，显然0x =，1x a=-都不是此方程的根，当1a =时，没有实根，则1a ≠，由2(1)4(1)0a a -+-<得：31a -<<， 故当(3a ∈-时，函数()()()F x f x g x =-没有零点； ……………3分⑵21'()f x x=，21'()(1)g x ax =+，设它们的公共点为(,)P P P x y ，则有⎧⎪⎨⎪⎩()()'()'()P P P P P P y f x y g x f x g x ===即⎧⎨⎩()()'()'()P P P P f x g x f x g x ==也就是⎧⎪⎨⎪⎩2211111()(1)P P P P P x x ax x ax -=+=+当1P P ax x +=时111P x -=，无解；当1P P ax x +=-时111P x -=-，12P x =，3a =-；…………8分⑶由题得111x x e ax -≤+在[0,)+∞上恒成立，因为0x ≥，故1[0,1)xe --∈，所以110x e -≥在[0,)+∞上恒成立，故01xax ≥+在[0,)+∞上恒成立，所以，0a ≥. ……………10分 解法一：不等式11x xe ax --≤+恒成立等价于(1)(1)0x ax e x -+--≤在[0,)+∞上恒成立， 令1()(1)(1)1x x ax h x ax e x ax x e -+=+--=-+--，则1'()1x ax a h x a e -+=+-，再设()'()m x h x =，则21'()xax a m x e -+-=，同时，'(0)21m a =-，'(0)0h =，(0)0h =，①当0a =时，1'()0,xm x e =-<，则()'()m x h x =在[0,)+∞上单调递减，∴ '()'(0)=0h x h ≤，∴()h x 在[0,)+∞上单减，∴()(0)=0h x h ≤，即()()x f e g x ≤在[0,)+∞上恒成立，②当102a <≤时，21()'()xa a x a m x e ---=，因为210a a-->，所以'()0m x <，则()'()m x h x =在[0,)+∞上单调递减，∴'()'(0)=0h x h ≤，∴ ()h x 在[0,)+∞上单减，∴()(0)=0h x h ≤，即()()x f e g x ≤在[0,)+∞上恒成立，③当12a >时，21()'()xa a x a m x e ---=，210a a->若210a x a -<<，则'()0m x >，即()'()m x h x =在21(0,)a a-上单调递增，所以'()'(0)0h x h >=即()h x 在21(0,)a a-上也单调递增，∴()(0)=0h x h >，即()()x f e g x ≥，不满足条件. 综上，()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立时，实数a 的取值范围是1[0,]2. ……………16分解法二：不等式11x x e ax --≤+恒成立等价于(1)(1)0x xax e e x +--≤在[0,)+∞上恒成立，设()(1)(1)=(1)(1)xxxh x ax e e x e ax x ax =+---+-+，则'()()xh x e a x x a a =-+-，再设()'()()xm x h x e ax x a a ==-+-，则'()[(1)(21)]xm x e a x a =-+-同时，'(0)21m a =-，(0)'(0)0m h ==，(0)0h =，①当1a ≥时，'(0)21m a =->，故函数'()h x 是(0,)+∞上的增函数所以'()'(0)h x h >=，所以函数()h x 是(0,)+∞上的增函数，所以当(0,)x ∈+∞时，()(0)0h x h >=，即()()x f e g x ≤，与()()x f e g x ≤在[0,)+∞上恒成立不符， ②当102a ≤≤时2101a a -≥-，21'()(1)()01x a m x a e x a -=-+<-，故函数'()h x 是(0,)+∞上的减函数所以'()'(0)0h x h <=，函数()h x 是(0,)+∞上的减函数，所以当(0,)x ∈+∞时，()(0)0h x h ≤=，即()()f x g x ≤在[0,)+∞上恒成立， ③当112a <<时，2101a a -<-，21'()(1)()1x a m x a e x a -=-+-当21(0,)1a x a -∈--时，'()0m x >，故函数'()h x 是21(0,)1a a ---上的增函数所以在21(0,)1a x a -∈--上，'()'(0)0h x h >=， 所以函数()h x 是21(0,)1a a ---上的增函数，所以当21(0,)1a x a -∈--时，()(0)0h x h >=， 即()()x f e g x ≥，与()()x f e g x ≤在[0,)+∞上恒成立不符，综上可得，使()()x f e g x ≤在[0,)+∞上恒成立实数a 的取值范围是1[0,]2． 第二部分21B ．已知矩阵213,125M β ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦，计算2M β． 解法一：矩阵M 的特征多项式为221()4312f λλλλλ- -==-+- -，令()0f λ=， 解得1,λλ==，对应的一个特征向量分别为1211,11αα⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦， ……………5分令12m n βαα=+，得1,4m n =-=，22221212(4)()4()M M M M βαααα=-+=-+22113511431137⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ……………10分解法二：因为221211212M 5 4⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥ 4 5⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ……………5分所以2335537M β5 4⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥4 5⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ……………10分21C ．已知圆C 的极坐标方程是4sin ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立 平面直角坐标系，直线l 的参数方程是32(12x t t y t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩是参数）．若直线l 与圆C 相切，求正数m 的值． 解：由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=，所以2240x y y +-=，即圆C 方程为22(2)4x y +-= ……………4分 又由3212x t y t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消t 得330x y m -+=， ……………8分因为直线l 与圆C 相切，所以|233|22m -+=得4323m =±， 又0m >，所以4323m =+． ……………10分 22．如图，平行四边形ABCD 所在平面与直角梯形ABEF 所在平面互相垂直， 且11,//2AB BE AF BE AF ===，,,2,3AB AF CBA BC P π⊥∠==为DF 中点．⑴求异面直线DA 与PE 所成的角；⑵求平面DEF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的余弦值．解：在ABC ∆中，1,,23AB CBA BC π=∠==，所以2222cos 3AC BA BC BA BC CBA =+-⨯∠=所以222AC BA BC +=，所以AB AC ⊥又因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面A B E F AB =， AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥平面ABEF如图，建立空间直角坐标系{,,}AB AF AC ，则13(0,0,0),(1,0,0),(0,0,3),(1,0,3),(1,1,0),(0,2,0),(,1,)22A B C D E F P -- ⑴33(1,0,3),(,0,)22DA PE =-=- 设异面直线DA 与PE 所成的角为α，则33cos ||||2||||23DA PE DA PE α⋅===⨯⨯ 所以异面直线DA 与PE 所成的角为6π； ……………5分 ⑵(0,2,0)AF =是平面ABCD 的一个法向量，设平面DEF 的一个法向量(,,)n x y z =，(2,1,3),(1,2,3)DE DF =-=-则(,,)(2,1,3)230(,,)(1,2,3)230n DE x y z x y z n DF x y z x y z ⎧⋅=⋅-=+-=⎪⎨⋅=⋅-=+-=⎪⎩， 得33z x y ==，取1x =，则1,3y z ==，故(1,1,3)n =是平面DEF 的一个法向量，设平面DEF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）为β，则25cos ||||5||||25AF n AF n β⋅===⨯⨯． ……………10分 23．设集合{1,0,1}M =-，集合123{(,,)|,1,2,,}n n i A x x x x x M i n =∈=，，， 集合n A 中满足条件“121||||||n x x x m ≤+++≤”的元素个数记为n m S ． ⑴求22S 和42S 的值；⑵当m n <时，求证：n m S 111322n m n +++<+-．解⑴228S =，4232S =； ……………3分 ⑵设集合{0}P =，{1,1}Q =-．若12||||||1n x x x +++=，即123,,n x x x x ，，中有1n -个取自集合P ，1个取自集合Q ，故共有112n n C -种可能，即为112n C ，同理，12||||||2n x x x +++=，即123,,n x x x x ，，中有2n -个取自集合P ，2个取自集合Q ，故共有222n n C -种可能，即为222n C ，……若12||||||n x x x m +++=，即123,,n x x x x ，，中有n m -个取自集合P ，m 个取自集合Q ， 故共有2n m m n C -种可能，即为2m m n C ，所以1122222n m mm n n n S C C C =++⋅⋅⋅+，因为当0k n ≤≤时，1k n C ≥，故10k n C -≥ 所以1122222n m m m n n n S C C C =+++001122112(222)(1)2(1)2m m m m n n n n n n n n C C C C C C ++<+++++-++- 0011221112(222222)(222)m m m m n n m m n n n n n n n C C C C C C ++++=+++++++-++11(12)(22)n n m ++=+--11322n n m ++=-+． ……………10分。

2015年江苏数学高考试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2015•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为．2．（5分）（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为．3．（5分）（2015•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．4．（5分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．5．（5分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．6．（5分）（2015•江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为．7．（5分）（2015•江苏）不等式2＜4的解集为．8．（5分）（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为．9．（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．10．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y ﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．11．（5分）（2015•江苏）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．12．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．13．（5分）（2015•江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为．14．（5分）（2015•江苏）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（a k•a k+1）的值为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．16．（14分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．17．（14分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．18．（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．19．（16分）（2015•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．20．（16分）（2015•江苏）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2015•江苏）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．求证：△ABD∽△AEB．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2015•江苏）已知x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•江苏）已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径．[选修4-5：不等式选讲】24．（2015•江苏）解不等式x+|2x+3|≥2．【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10分）（2015•江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．26．（10分）（2015•江苏）已知集合X={1，2，3}，Y n={1，2，3，…，n）（n∈N*），设S n={（a，b）|a整除b或整除a，a∈X，B∈Y n}，令f（n）表示集合S n所含元素的个数．（1）写出f（6）的值；（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．2015年江苏数学高考试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出A∪B，再明确元素个数解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；所以A∪B中元素的个数为5；故答案为：5点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2．（5分）考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：直接求解数据的平均数即可．解答：解：数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为：=6．故答案为：6．点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．3．（5分）考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．解答：解：复数z满足z2=3+4i，可得|z||z|=|3+4i|==5，∴|z|=．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．4．（5分）考点：伪代码．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．解答：解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I＜8，S=3，I=4满足条件I＜8，S=5，I=7满足条件I＜8，S=7，I=10不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．点评：本题主要考查循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．（5分）考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答：解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=．故答案为：．点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．6．（5分）考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的坐标运算，求解即可．解答：解：向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）可得，解得m=2，n=5，∴m﹣n=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．7．（5分）考点：指、对数不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：利用指数函数的单调性转化为x2﹣x＜2，求解即可．解答：解；∵2＜4，∴x2﹣x＜2，即x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2故答案为：（﹣1，2）点评：本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．8．（5分）考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可．解答：解：tanα=﹣2，tan（α+β）=，可知tan（α+β）==，即=，解得tanβ=3．故答案为：3．点评：本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．9．（5分）考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，由前后体积相等列式求得r．解答：解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：．设新圆锥和圆柱的底面半径为r，则新圆锥和圆柱的体积和为：．∴，解得：．故答案为：．点评：本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．10．（5分）考点：圆的标准方程；圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．解答：解：圆心到直线的距离d==≤，∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故答案为：（x﹣1）2+y2=2．点评：本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．11．（5分）考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得a n=．再利用“裂项求和”即可得出．解答：解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=+n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴a n=．∴=2．∴数列{}的前n项的和S n===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．点评：本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离．解答：解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．解答：解：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1．g（x）与h（x）=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有两个交点；g（x）与φ（x）=﹣f（x）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4．故答案为：4．点评：本题考查求方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（5分）考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用．分析：利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出．解答：解：=+=++++=++=++，∴（a k•a k+1）=+++++++…+++++++…+=+0+0=．故答案为：9．点评：本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）考点：余弦定理的应用；二倍角的正弦．专题：解三角形．分析：（1）直接利用余弦定理求解即可．（2）利用正弦定理求出C的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．解答：解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB＜BC，∴C为锐角，则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．16．（14分）考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C；（2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1．解答：证明：（1）根据题意，得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；（2）因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1；又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1；又因为BC1⊂平面平面BCC1B1，所以BC1⊥AC；因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥平面B1AC；又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1．点评：本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．17．（14分）考点：函数与方程的综合运用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，建立方程组，即可求a，b的值；（2）①求出切线l的方程，可得A，B的坐标，即可写出公路l长度的函数解析式f （t），并写出其定义域；②设g（t）=，利用导数，确定单调性，即可求出当t为何值时，公路l的长度最短，并求出最短长度．解答：解：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，得，解得，（2）①由（1）y=（5≤x≤20），P（t，），∴y′=﹣，∴切线l的方程为y﹣=﹣（x﹣t）设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，则A（，0），B（0，），∴f（t）==，t∈[5，20]；②设g（t）=，则g′（t）=2t﹣=0，解得t=10，t∈（5，10）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（10，20）时，g′（t）＞0，g（t）是增函数，从而t=10时，函数g（t）有极小值也是最小值，∴g（t）min=300，∴f（t）min=15，答：t=10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．18．（16分）考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．解答：解：（1）由题意可得，e==，且c+=3，解得c=1，a=，则b=1，即有椭圆方程为+y2=1；（2）当AB⊥x轴，AB=，CP=3，不合题意；当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0，则x1+x2=，x1x2=，则C（，），且|AB|=•=，若k=0，则AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意；则k≠0，故PC：y+=﹣（x﹣），P（﹣2，），从而|PC|=，由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=±1，此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．19．（16分）考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，进一步转化为a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，利用条件即可求c的值．解答：解：（1）∵f（x）=x3+ax2+b，∴f′（x）=3x2+2ax，令f′（x）=0，可得x=0或﹣．a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；a＞0时，x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，∵b=c﹣a，∴a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立，∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0，∴c=1，此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]，∵函数有三个零点，∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0，解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），综上c=1．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．20．（16分）考点：等比关系的确定；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明；（2）利用反证法，假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，推出矛盾，否定假设，得到结论；（3）利用反证法，假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，得到a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），利用等式以及对数的性质化简整理得到ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln （1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立．解答：解：（1）证明：∵==2d，（n=1，2，3，）是同一个常数，∴2，2，2，2依次构成等比数列；（2）令a1+d=a，则a1，a2，a3，a4分别为a﹣d，a，a+d，a+2d（a＞d，a＞﹣2d，d≠0）假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，则a4=（a﹣d）（a+d）3，且（a+d）6=a2（a+2d）4，令t=，则1=（1﹣t）（1+t）3，且（1+t）6=（1+2t）4，（﹣＜t＜1，t≠0），化简得t3+2t2﹣2=0（*），且t2=t+1，将t2=t+1代入（*）式，t（t+1）+2（t+1）﹣2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0，则t=﹣，显然t=﹣不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列．（3）假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，则a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），分别在两个等式的两边同除以=a12（n+k），a12（n+2k），并令t=，（t＞，t≠0），则（1+2t）n+2k=（1+t）2（n+k），且（1+t）n+k（1+3t）n+3k=（1+2t）2（n+2k），将上述两个等式取对数，得（n+2k）ln（1+2t）=2（n+k）ln（1+t），且（n+k）ln（1+t）+（n+3k）ln（1+3t）=2（n+2k）ln（1+2t），化简得，2k[ln（1+2t）﹣ln（1+t）]=n[2ln（1+t）﹣ln（1+2t）]，且3k[ln（1+3t）﹣ln（1+t）]=n[3ln（1+t）﹣ln（1+3t）]，再将这两式相除，化简得，ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**）令g（t）=4ln（1+3t）ln（1+t）﹣ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t），则g′（t）=[（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t）]，令φ（t）=（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t），则φ′（t）=6[（1+3t）ln（1+3t）﹣2（1+2t）ln（1+2t）+3（1+t）ln（1+t）]，令φ1（t）=φ′（t），则φ1′（t）=6[3ln（1+3t）﹣4ln（1+2t）+ln（1+t）]，令φ2（t）=φ1′（t），则φ2′（t）=＞0，由g（0）=φ（0）=φ1（0）=φ2（0）=0，φ2′（t）＞0，知g（t），φ（t），φ1（t），φ2（t）在（﹣，0）和（0，+∞）上均单调，故g（t）只有唯一的零点t=0，即方程（**）只有唯一解t=0，故假设不成立，所以不存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列．点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）考点：相似三角形的判定．专题：推理和证明．分析：直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似．解答：证明：∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，又∵∠C=∠E，∴∠ABD=∠E，又∠BAE是公共角，可知：△ABD∽△AEB．点评：本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）考点：特征值与特征向量的计算．专题：矩阵和变换．分析：利用A=﹣2，可得A=，通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论．解答：解：由已知，可得A=﹣2，即==，则，即，∴矩阵A=，从而矩阵A的特征多项式f（λ）=（λ+2）（λ﹣1），∴矩阵A的另一个特征值为1．点评：本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•江苏）考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：先根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出圆的直角坐标方程，求出半径．解答：解：圆的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0，化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y﹣4=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2=6，圆的半径r=．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，比较基础，[选修4-5：不等式选讲】24．（2015•江苏）考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式．分析：思路1（公式法）：利用|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；思路2（零点分段法）：对x的值分“x≥”“x＜”进行讨论求解．解答：解法1：x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2﹣x，得2x+3≥2﹣x，或2x+3≥﹣（2﹣x），即x≥，或x≤﹣5，即原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．解法2：令|2x+3|=0，得x=．①当x≥时，原不等式化为x+（2x+3）≥2，即x≥，所以x≥；②x＜时，原不等式化为x﹣（2x+3）≥2，即x≤﹣5，所以x≤﹣5．综上，原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．点评：本题考查了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为：|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；|f（x）|≤g（x）⇔﹣g（x）≤f（x）≤g（x）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10分）（考点：二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz．（1）所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（2）利用换元法可得cos2＜，＞≤，结合函数y=cosx在（0，）上的单调性，计算即得结论．解答：解：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图，由题可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．（1）∵AD⊥平面PAB，∴=（0，2，0），是平面PAB的一个法向量，∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），由，得，取y=1，得=（1，1，1），∴cos＜，＞==，∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为；（2）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），又=（0，﹣2，2），从而cos＜，＞==，设1+2λ=t，t∈[1，3]，则cos2＜，＞==≤，当且仅当t=，即λ=时，|cos＜，＞|的最大值为，因为y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值．又∵BP==，∴BQ=BP=．点评：本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．26．（10分）考点：数学归纳法．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）f（6）=6+2++=13；（2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论．解答：解：（1）f（6）=6+2++=13；（2）当n≥6时，f（n）=．下面用数学归纳法证明：①n=6时，f（6）=6+2++=13，结论成立；②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，S k+1在S k的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论：1）若k+1=6t，则k=6（t﹣1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2++，结论成立；2）若k+1=6t+1，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+++1=（k+1）+2++，结论成立；3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立．综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键．。

扬州市2014—2015学年度第一学期期末调研测试试题高 三 数 学 参 考 答 案第一部分1. {}0 2．12-3. R x ∈∃,0322<-+x x 4. 13 5. 156. 27. -28. 17 9. 221412x y -= 10. (][)12-∞-+∞，，11. 61+ 12.512- 13. [2,3] 14. e 14.解：点(0,1)A ，(1,0)B ，设(,log )a P x x ，则()()1,1,log 1log 1a a AB AP x x x x ⋅=-⋅-=-+． 依题()f x log 1a x x =-+在(0,)+∞上有最小值2且(1)2f =，故1x =是()f x 的极值点，即最小值点．1ln 1'()1ln ln x a f x x a x a-=-=，若01a <<，'()0f x >，()f x 单调增，在(0,)+∞无最小值；故1a >， 设'()0f x =，则log a x e =，当(0,log )a x e ∈时，'()0f x <，当(log ,)a x e ∈+∞时，'()0f x >， 从而当且仅当log a x e =时，()f x 取最小值，所以log 1a e =，a e =． 15⑴由图，212,()1433T A ==--=，得4T =，2πω=，则()2sin()26f x x ππ=+， ……3分由22()2sin()2323f πϕ=⋅+=，得sin()13πϕ+=，所以2()32k k Z ππϕπ+=+∈，又02πϕ<<，得6πϕ=，所以()2sin()26f x x ππ=+； ……7分⑵(1)()2sin()2cos()22sin()2626212y f x f x x x x ππππππ=-+=+-+=-， ……10分因为15[,]22x ∈，故762126x ππππ≤-≤，则1sin()12212x ππ-≤-≤，即2()22f x -≤≤，所以函数(1)()y f x f x =-+的值域为[2,22]-． ……14分16⑴解：E 为AC 中点．理由如下：平面PDE 交AC 于E ，即平面PDE 平面ABC DE =，而//BC 平面PDE ，BC ⊂平面ABC ，所以//BC DE ， ……4分 在ABC ∆中，因为D 为AB 的中点，所以E 为AC 中点； ……7分⑵证：因为PA PB =，D 为AB 的中点，所以AB PD ⊥，因为平面PCD ⊥平面ABC ，平面PCD 平面ABC CD =，在锐角PCD ∆所在平面内作PO CD ⊥于O ，则PO ⊥平面ABC ，…10分 因为AB ⊂平面ABC ，所以PO AB ⊥ 又POPD P =，,PO PD ⊂平面PCD ，则AB ⊥平面PCD ，又PC ⊂平面PCD ，所以AB PC ⊥． ……14分 PABCD E PACO17.解⑴因为BC 过椭圆M 的中心，所以22BC OC OB ==，又,2AC BC BC AC ⊥=，所以OAC ∆是以角C 为直角的等腰直角三角形， ……3分则10(,0),(,),(,),22222a a a a A a C B AB a --=，所以2222()()221a a a b-+=，则223a b =， 所以2262,3c b e ==； ……7分 ⑵ABC ∆的外接圆圆心为AB 中点(,)44a a P ，半径为104a ， 则ABC ∆的外接圆为：2225()()448a a x y a -+-=……10分令0x =，54a y =或4a y =-，所以5()944a a--=，得6a =， （也可以由垂径定理得22109()()442a a -=得6a =） 所以所求的椭圆方程为2213612x y +=． ……15分18⑴以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立坐标系．设(,)P m n ，∵02πθ<<，tan 33θ=∴7cos 14θ=，321sin 14θ=，则9sin 2m OP θ=⋅=，3cos 2n OP θ=⋅=， ……4分依题意，AB ⊥OA ，则OA =92，OB =2OA =9，商业中心到A 、B 两处的距离和为13.5km ． ……7分 ⑵方法1：当AB 与x 轴不垂直时，设AB ：39()22y k x -=-，①令0y =，得3922A x k =-+；由题意，直线OB 的方程为3y x =，②解①②联立的方程组，得932(3)B k x k -=-，∴229323B B B k OB x y x k -=+==-， ∴3993223k y OA OB k k -=+=-++-，由0A x >，0B x >，得3k >，或0k <． ……11分 yxPBOA22228333(33)(53)'2(3)2(3)k k y k k k k --+-=+=--，令'0y =，得33k =-， 当33k <-时，'0y <，y 是减函数；当303k -<<时，'0y >，y 是增函数，∴当33k =-时，y 有极小值为9km ；当3k >时，'0y <，y 是减函数，结合⑴知13.5y >km ．综上所述，商业中心到A 、B 两处的距离和最短为9km ，此时OA =6km ，OB =3km ， 方法2：如图，过P 作PM //OA 交OB 于M ，PN //OB 交OA 于N ，设∠BAO =α，△OPN 中sin(90)sin(30)sin120PN ON OPθθ︒==--，得PN =1，ON =4=PM ， △PNA 中∠NP A =120°-α∴sin sin(120)PN NA αα︒=-得sin(120)sin NA αα︒-= 同理在△PMB 中，sin sin(120)BM PM αα︒=-，得4sin sin(120)MB αα︒=-， s i n (120)4s i n142459s i n s i n (120)y O A O B αααα︒︒-=+=+++≥+=-， ……13分 当且仅当sin(120)4sin sin sin(120)αααα︒︒-=-即sin(120)2sin αα︒-=即3tan 3α=时取等号． 方法3：若设点(,3)B m m ，则AB ：392293322y x m m --=--，得4(4,0)21A m +-， ∴4424211492121OA OB m m m m +=++=-+++≥--， ……13分当且仅当42121m m -=-即32m =时取等号．方法4：设(,0)A n ，AB ：093022y x n n --=--，得2142B x n =+-， 442441(4)5944B OA OB n x n n n n +=+=-+++=-++≥--， ……13分 当且仅当444n n -=-即6n =时取等号． 答：A 选地址离商业中心6km ，B 离商业中心3km 为最佳位置． ……15分19⑴12k =时，121()2n n n a a a ++=+，211n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 是等差数列， ……1分 此时首项11a =，公差211d a a a =-=-，数列{}n a 的前n 项和是1(1)(1)2n S n n n a =+--， ……3分故12015201520152014(1)2a a =+⨯⨯-，即112014(1)2a a =+⨯-，得1a =； ……4分NM P北B OA（没有过程，直接写1a =不给分） ⑵设数列{}n a 是等比数列，则它的公比21a q a a ==，所以1m m a a -=，1m m a a +=，12m m a a ++=， ……6分 ①若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112mm m a aa -+=+，解得：1a =，不合题意；②若m a 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m aa a -+=+，化简得：220a a +-=，解得2a =-（舍1）；11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++；③若2m a +为等差中项，则212m m m a a a ++=+，即112m m m aa a +-=+，化简得：2210a a --=，解得12a =-；11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ……9分 综上可得，满足要求的实数k 有且仅有一个，25k =-； ……10分 ⑶12k =-则121()2n n n a a a ++=-+， 211()n n n n a a a a ++++=-+，32211()n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+， ……12分当n 是偶数时， 12341n n n S a a a a a a -=++++++12341()()()n n a a a a a a -=++++++12()(1)22n na a a =+=+， 当n 是奇数时， 12341n n n S a a a a a a -=++++++123451()()()n n a a a a a a a -=+++++++1231()2n a a a -=++1121[()]2n a a a -=+-+11(1)2n a -=-+，1n =也适合上式， ……15分 综上可得，n S ⎧=⎨⎩11(1),2(1),2n a n a --++n n 是奇数是偶数． ……16分20.⑴解: (0)1f =，'()xf x e =，'(0)1f =， (0)g c =，'()2g x ax b =+，'(0)g b =， ……2分依题意：⎧⎨⎩(0)(0)'(0)'(0)1f g f g ==-，所以⎧⎨⎩1,1c b ==-； ……4分⑵解: 1a c ==，0b =时，2()1g x x =+， ……5分①0x =时，(0)1f =，(0)1g =，即()()f x g x = ②0x <时，()1f x <，()1g x >，即()()f x g x <③0x >时，令2()()()1xh x f x g x e x =-=--,则'()2xh x e x =-. 设()'()=2xk x h x e x =-，则'()=2x k x e -，当ln 2x <时, '()0,()k x k x <单调递减;当ln 2x >时, '()0,()k x k x >单调递增. 所以当ln 2x =时, ()k x 取得极小值, 且极小值为ln2(ln 2)2ln 22ln 40k e=-=->即()'()=20xk x h x e x =->恒成立，故()h x 在R 上单调递增,又(0)0h =,因此,当0x >时, ()(0)0h x h >>,即()g()f x x >. ……9分 综上，当0x <时,()()f x g x <；当0x =时, ()()f x g x =；当0x >时, ()g()f x x >． ……10分 ⑶证法一：①若01a <≤，由⑵知，当0x >时, 21xe x >+.即22xe x ax >≥，所以，01a <≤时，取0m =，即有当()x m ∈+∞，，恒有2xe ax >. ②若1a ≥,()g()f x x >即2x e ax >，等价于2ln()x ax >即2ln ln x x a >+ 令()2ln ln t x x x a =--,则22'()1x t x x x-=-=.当2x >时,'()0,()t x t x >在(2,)+∞内单调递增. 取20x ae =,则202x e ≥>，所以()t x 在0(,)x +∞内单调递增.又2220()2ln ln 43ln 743ln t x e a e a a e a a a a =--=-->--4(1)3(ln )0a a a =-+->即存在2m ae =,当()x m ∈+∞，时，恒有()()f x g x >. ……15分 综上，对任意给定的正数a ，总存在正数m ，使得当()x m ∈+∞，，恒有()()f x g x >. ……16分 证法二：设2()xe h x x=，则3(2)'()x e x h x x -=， 当(0,2)x ∈时，'()0h x <，()h x 单调减，当(2,)x ∈+∞时，'()0h x >，()h x 单调增，故()h x 在(0,)+∞上有最小值，2(2)4e h =， ……12分①若24e a <，则()2h x >在(0,)+∞上恒成立，即当24e a <时，存在0m =，使当(,)x m ∈+∞时,恒有()()f x g x >；②若24e a =，存在2m =，使当(,)x m ∈+∞时,恒有()()f xg x >；③若24e a >，同证明一的②， ……15分综上可得，对任意给定的正数a ，总存在m ,当(,)x m ∈+∞时,恒有()()f x g x >. ……16分第二部分（加试部分）21．A ．设(,)P x y 是曲线1C 上任意一点，点(,)P x y 在矩阵A 对应的变换下变为点(,)P x y '''则有10102x x y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥' ⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即12x xy y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩ ……5分又因为点(,)P x y '''曲线222:14x C y +=上， 故22()()14x y ''+=，从而22()()142x y += 所以曲线1C 的方程是 224x y +=． ……10分B ．由2cos()42πρθ-=-，得曲线1C 的直角坐标系的方程为10x y ++=, ……3分 由2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，得曲线2C 的普通方程为21(11)x y x +=-≤≤, ……7分 由2101x y x y ++=⎧⎨+=⎩，得220x x --=，即2x =（舍去）或1x =-，所以曲线1C 与曲线2C 交点的直角坐标为(1,0)-． ……10分22．在甲靶射击命中记作A ,不中记作A ；在乙靶射击命中记作B ,不中记作B ，其中221331(),()1,(),()1333444P A P A P B P B ==-===-= ……2分 ⑴ξ的所有可能取值为0,2,3,4，则1111(0)()()()()34448P P ABB P A P B P B ξ====⨯⨯=，(2)())()()()()()()P P ABB P ABB P A P B P B P A P B P B ξ==+=+(131113634434448=⨯⨯+⨯⨯=，2(3)()3P P A ξ===，1339(4)()()()()34448P P ABB P A P B P B ξ====⨯⨯=．ξ的分布列为：ξ23 4P148 648 23 9481629023*********E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=， ……7分⑵射手选择方案1通过测试的概率为1P ，选择方案2通过测试的概率为2P ,12931(3)34848P P ξ=≥=+=； 21333133327(3)()()()4444444432P P P BBB P BBB P BB ξ=≥=++=⨯⨯+⨯⨯+⨯=, ……9分因为21P P >，所以应选择方案2通过测试的概率更大． ……10分23⑴当2n =时，01224x a a a =++，0{0,1}a ∈，1{0,1}a ∈，21a =， 故满足条件的x 共有4个，分别为：004x =++，024x =++，104x =++，124x =++,它们的和是22． ……4分 ⑵由题意得，0121,,,,n a a a a -各有n 种取法；n a 有1n -种取法，由分步计数原理可得0121,,,,n a a a a -的不同取法共有(1)(1)n n n n n n n ⋅⋅⋅-=-，即满足条件的x 共有(1)nn n -个， ……6分 当0a 分别取0,1,2,,1n -时，121,,,n a a a -各有n 种取法，n a 有1n -种取法， 故n A 中所有含0a 项的和为21(1)(0121)(1)2n n n n n n n --++++--=；同理，n A 中所有含1a 项的和为21(1)(0121)(1)2n n n n n n n n n --++++--⋅=⋅；n A 中所有含2a 项的和为2122(1)(0121)(1)2n n n n n n n n n --++++--⋅=⋅；……n A 中所有含1n a -项的和为2111(1)(0121)(1)2n n n n n n n n n nn ----++++--⋅=⋅；当n a 分别取1,2,,1i n =-时，0121,,,,n a a a a -各有n 种取法，故n A 中所有含n a 项的和为1(1)(121)2n nnnn n n n n n +-+++-⋅=⋅；所以n A =2121(1)(1)(1)22n n n nn n n n n n n n +---+++++⋅；21(1)1(1)212n n n n n n n n n n n +---=⋅+⋅-1(1)(1)2n n n n n n n +-=+-故1()1n n f n n n +=+-． ……10分。

数学试卷 第1页（共21页） 数学试卷 第2页（共21页） 数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式:圆柱的体积公式:V Sh =圆柱,其中S 是圆柱的底面积,h 是高圆锥的体积公式:13V Sh =圆锥,其中S 是圆锥的底面积,h 是高一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.把答案填在题中的横线上.1.已知集合{1,2,3}A =,{2,4,5}B =,则集合AB 中元素的个数为 . 2.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为 . 3.设复数z 满足234i z =+（i 是虚数单位）,则z 的模为 . 4.根据如图所示的伪代码,5.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球, 从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为 .6.已知向量a (2,1)=,b (1,2)=-,若m a +n b (9,8)=-(,)m n ∈R ,则m n -的值为 .7.不等式224xx-<的解集为 .8.已知tan 2α=-,1tan()=7αβ+,则tan β的值为 .9.现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为 .10.在平面直角坐标系xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线210()mx y m m ---=∈R 相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 .11.设数列{}n a 满足11a =,且*11()n n a a n n +-=+∈Ν,则数列1{}na 的前10项的和为 .12.在平面直角坐标系xOy 中,P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点,若点P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立,则实数c 的最大值为 .13.已知函数()|ln |f x x =,20,01,()|4|2,1,x g x x x ⎧=⎨--⎩＜≤＞则方程|()()|1f xg x +=实根的个数为 .14.设向量a k πππ(cos ,sin cos )(0,1,2,,12)666k k k k =+=⋅⋅⋅,则11(k =∑a k a k+1)的值为 .二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）在ABC △中,已知2AB =,3AC =,60A =︒. （Ⅰ）求BC 的长; （Ⅱ）求sin2C 的值.16.（本小题满分14分）如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,已知AC BC ⊥,1BC CC =,设1AB 的中点为D ,11B C BC E =.求证:（Ⅰ）DE平面11AA C C ;（Ⅱ）11BC AB ⊥.17.（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为1l ,2l ,山区边界曲线为C ,计划修建的公路为l ,如图所示,M ,N 为C 的两个端点,测得点M 到1l ,2l 的距离分别为5 千米和40 千米,点N 到1l ,2l 的距离分别为20 千米和2.5 千米,以2l ,1l 所在的直线分别为x ,y 轴,建立平面直角坐标系xOy ,假设曲线C 符合函数2ay x b=+（其中a ,b 为常数）模型. （Ⅰ）求a ,b 的值;（Ⅱ）设公路l 与曲线C 相切于P 点,P 的横坐标为t . （ⅰ）请写出公路l 长度的函数解析式()f t ,并写出其定义域; （ⅱ）当t 为何值时,公路l 的长度最短?求出最短长度.姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共21页） 数学试卷 第5页（共21页） 数学试卷 第6页（共21页）18.（本小题满分16分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>,且右焦点F 到左准线l 的距离为3. （Ⅰ）求椭圆的标准方程;（Ⅱ）过F 的直线与椭圆交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ,C ,若2PC AB =,求直线AB 的方程.19.（本小题满分16分）已知函数32()=(,)f x x ax b a b ++∈R , （Ⅰ）试讨论()f x 的单调性;（Ⅱ）若b c a =-（实数c 是与a 无关的常数）,当函数()f x 有三个不同的零点时,a 的取值范围恰好是33(,3)(1,)(,)22-∞-+∞,求c 的值.20.（本小题满分16分）设1a ,2a ,3a ,4a 是各项为正数且公差为(0)d d ≠的等差数列, （Ⅰ）证明:12a ,22a ,32a ,42a 依次构成等比数列;（Ⅱ）是否存在1a ,d ,使得1a ,22a ,33a ,44a 依次构成等比数列?并说明理由;（Ⅲ）是否存在1a ,d 及正整数n ,k 使得1n a ,2n k a +,23n k a +,54n ka +依次构成等比数列?并说明理由.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】在A ,B ,C ,D 四小题中只能选做两题,每小题10分,共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A .（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲如图,在ABC △中,AB AC =,ABC △的外接圆O 的弦AE 交 BC 于点D .求证:ABD AEB △∽△.B .（本小题满分10分）选修4—2:矩阵与变换已知,R x y ∈,向量a 11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 10x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属性特征值2-的一个特征向量,矩阵A 以及它的另一个特征值.C .（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程已知圆C 的极坐标方程为2πsin()404ρθ+--=,求圆C 的半径.D .（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲 解不等式||223x x ++≥.【必做题】第22,23题,每小题10分,共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）如图,在四棱锥P ABCD -中,已知PA ⊥平面ABCD ,且四边形ABCD 为直角梯形,π2ABC BAD ∠=∠=,2PA AD ==,1AB BC ==.（Ⅰ）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值;（Ⅱ）点Q 是线段BP 上的动点,当直线CQ 与DP 所成的角最小时,求线段BQ 的长.23.（本小题满分10分）已知集合{1,2,3}X =,*{1,2,3,,}()n Y n n =⋅⋅⋅∈Ν,设{(,)|n S a b a =整除b 或b 整除a ,a X ∈,}n b Y ∈,令()f n 表示集合n S 所含元素的个数. （Ⅰ）写出(6)f 的值;（Ⅱ）当6n≥时,写出()f n 的表达式,并用数学归纳法证明.数学试卷 第7页（共21页） 数学试卷 第8页（共21页） 数学试卷 第9页（共21页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）答案解析数学Ⅰ【解析】{1,2,3,4,5}=A B A B 中的元素个数为【提示】求出A B ，再明确元素个数】集合并集及其运算】1(46x =+【提示】直接求解数据的平均数即可】（【解析】从中随机一次摸出】(2ma nb m n +=+【提示】直接利用向量的坐标运算，求解即可】224xx-<【提示】利用指数函数的单调性转化为】解不等式. 】tan tan(β=31(2)7=-，【提示】直接利用两角和的正切函数，求解即可】221196ππ54+π28=33V 221196ππ8π433r r +=，解得r =【提示】由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径】圆心到切线1n n a a +-(1)1232n n n +==++++=1121n n ⎛- +⎝1111111202121223310111111⎛⎫⎛⎫-+-+-+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 列{}n a 满足11a =，且11()n n a a n n *+=+-∈Ν，利用1)n +0021x y -+又p 220000()()y x x y -=+=00211x y ++的最小值为22c ∴【提示】双曲线2x -数学试卷 第10页（共21页） 数学试卷 第11页（共21页） 数学试卷 第12页（共21页）】πcos 6k ⎛⎝，π(1)ππ(1)ππ(1)ππ(1)ππcos sin sin cos sin sin cos cos cos6666666666k k k k k k k k ++++++++π(1)ππ(1)ππ(1)ππ(1)ππcos sin sin cos cos cos sin sin cos 6666666666k k k k k k k k ++++⎡⎤⎡++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦π(1)cos 66k +1111100π(1)π)cos cos 66k k k k k k a +==+=+∑∑π(1)πππcos33sin 6636k k +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππsin 36k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭1)33k k a +=【提示】利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周cos 4AB AC A =+2sin 6021sin 7AB A BC ==317=-=cos 2C C =⨯（Ⅰ）直接利用余弦定理求解即可1BC CC C =1ACB C C =，，所以1BC AB ⊥∥平面1AA C数学试卷 第13页（共21页） 数学试卷 第14页（共21页） 数学试卷 第15页（共21页）(0,)⎫+∞⎪⎭时，(0,)+∞上单调递增，在2,0),3a ⎛-+∞ ⎝,0)，2,3a ⎛- ⎝2(0)3a f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭333)1,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上()0g a <，且在3,2⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭30≥因此c =()33),3,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭.综上（Ⅰ）分类讨论，利用导数的正负，即可得出()f x 的单调性；(0)b =，24a f a ⎛⎫-=2(0)3a f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，3427a a -+数学试卷 第16页（共21页） 数学试卷 第17页（共21页） 数学试卷 第18页（共21页）（Ⅱ）利用反证法，假设存在1a d ，使得2341234,,,a a a a 依次构成等比数列，推出矛盾，否定假设，得到结论.（Ⅲ）利用反证法，假设存在1a d ，及正整数n k ，，使得231234,,,n n k n k n ka a a a +++依次构成等比数列，得到22()111(2)()n n kn k a a d a d +++=+，且32(2)111()(3)(2)n kn k n k a d a d a d +++++=+，利用等式以及对数的性质化简整理得到l n (13)l n (12)3l t t t t t t +++++=++，多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立.【考点】等比数列的判定,等差数列、等比数列的性质,等差、等比数列的性质.数学Ⅱ(附加题)【考点】解含绝对值的不等式.{},,AB AD AP 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系的坐标为(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P .（Ⅰ）因为AD 平面PAB ，所以AD 是平面的一个法向量，(0,2,0)AD =因为(1,1,PC =，(0,2,PD =0=m PC ，0=m PD ，即20y z -=所以(1,1,1)=m 是平面PCD 33<>==，AD m AD m AD m，3. （Ⅱ）因为(1,0,2)BP =-，设(,0,2BQ BP λλ==-()01λ≤≤，又(0,CB =-(,CQ CB BQ λ=+=-(DP =-110CQ DP CQ DP CQ DP<>==，，则2cos ,CQ DP <>=,CQ DP <>的最大值为所成角取得最小值，又因为9,CQ DP <>≤数学试卷第19页（共21页）数学试卷第20页（共21页）数学试卷第21页（共21页）。

2013-2014学年度第二学期高二期末调研测试数 学 （文科）试 题（全卷满分160分，考试时间120分钟）2014．6【试卷综评】本次期末试卷，能以大纲为本，以教材为基准，全面覆盖了种植基础这本书所有知识点，试卷不仅有基础题，也有一定的灵活性的题目，试卷基本上能考查学生对知识的掌握情况，实现体现了新课标的新理念，试卷注重了对学生的思维能力、计算能力、解决问题能力的考查，本试卷重视了基础，难度不大，有较强的灵活性。

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．设集合{1,2,3}A =,集合{2,2}B =-,则AB = ▲ ．【知识点】交集及其运算．【答案解析】{2}解析 ：解：∵集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}， ∴A ∩B={2}．故答案为：{2}．【思路点拨】利用交集的运算法则求解． 2．i 为虚数单位，复数21i-= ▲ ． 【知识点】复数代数形式的乘除运算．【答案解析】1i +解析 ()()21111ii i i +==+-+，故答案为：1i +．【思路点拨】根据复数代数形式的除法法则可求． 3．函数()lg(1)f x x =+的定义域为 ▲ ． 【知识点】函数的定义域及其求法．【答案解析】(1,)-+∞解析 ：解：由x+1＞0，得x ＞﹣1，所以原函数的定义域为1,¥(-+)．故答案为1,¥(-+)．【思路点拨】函数给出的是含对数式的复合函数，求其定义域，需保证真数大于0．【典型总结】本题考查了函数定义域及其求法，解答的关键是保证构成函数式的每一部分都有意义．4．“0ϕ=”是“函数()sin()f x x ϕ=+为奇函数”的▲ 条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写） 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【答案解析】充分不必要 解析 ：解：若0ϕ=，则()sin()f x x ϕ=+=sinx 为奇函数，即充分性成立， 若()sin()f x x ϕ=+为奇函数，则k j p =，0ϕ=不一定成立，即必要性不成立，即“0ϕ=”是“函数()sin()f x x ϕ=+为奇函数”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要【思路点拨】根据函数奇偶性的定义，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 5．函数x y e =在1x =处的切线的斜率为 ▲ ． 【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案解析】e 解析 ：解：由x y e =，得x y e ?，x 1y |e =\?． 即函数x y e =在1x =处的切线的斜率为e ．故答案为：e ．【思路点拨】求出原函数的导函数，得到函数y=e x 在x=1处的导数，即函数y=e x 在x=1处的切线的斜率．【典型总结】本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值． 6．若tan θ+1tan θ=4则sin2θ= ▲ ． 【知识点】二倍角的正弦．【答案解析】12解析 ：解：若tan θ+1tan θ =4，则sin2θ=2sin θcos θ= 2222sin cos 2tan 211sin cos tan 12tan tan q q q q q q q q===++， 故答案为12．【思路点拨】先利用正弦的二倍角公式变形，然后除以1，将1用同角三角函数关系代换，利用齐次式的方法化简，可求出所求．7．点A （2,2）关于直线x-y-1=0的对称点'A 的坐标为 ▲ ． 【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【答案解析】（3，1） 解析 ：解：设点A （2，2）关于直线x-y-1=0的对称点A ′的坐标为B （a ，b ），则由 b 211a 2a 2b 21022＝＝-⎧⨯-⎪⎪-⎨++⎪--⎪⎩求得a 3b 1＝＝⎧⎨⎩，故点B （3，1），故答案为：（3，1）．【思路点拨】设点A （2，2）关于直线x-y-1=0的对称点A ′的坐标为B （a ，b ），利用垂直及中点在轴上这两个条件，求出a 、b 的值，可得答案． 8．函数()sin cos f x x x =-的值域为 ▲ ． 【知识点】两角和与差的正弦函数． 【答案解析】[解析 ：解：f （x ）=sinx ﹣cosx==，∵∈[﹣1，1]．∴．∴函数f （x ）=sinx ﹣cosx 的值域为．故答案为：． 【思路点拨】由f （x ）=sinx ﹣cosx=，即可得出．9．==⋅⋅⋅= 则21n m += ▲ ． 【知识点】归纳推理．【答案解析】2014 解析 ：解：由题意对于=2，此时n=7，m=2，所以==2；对于 =3，此时m=3，n=26，所以==3；对于=4，此时m=4，n=63，所以==4；可见，m 的值是等号左边根号下和式前面的数，而化简后的结果就是m 的值， ∴=2014中的m 即为2014，∴此时则=2014．故答案为2014.【思路点拨】根据前面几项分别求出各自对应的m ，n ，然后计算出相应的，再进行归纳推理，给出一般性结论．【典型总结】本题考查了归纳推理的知识与方法，一般是先根据前面的有限项找出规律，然后再求解；这个题就是根据问题先求出每个等式中的m ，n ，然后再代入求值，根据前面的几个值反映出的规律下结论；注意：这种归纳推理是不完全归纳，因此得出的结论未必适合后面所有的情况．10．已知函数2|1|=1x y x --的图象与函数=2y kx -的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是 ▲ ．【知识点】分类讨论的数学思想;根的存在性;根的个数判断．【答案解析】(0,1)(1,4)解析 ：解：y===函数y=kx ﹣2的图象恒过点（0，﹣2） 在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx ﹣2的图象结合图象可实数k 的取值范围是（0，1）∪（1，4） 故答案为：（0，1）∪（1，4）【思路点拨】先化简函数的解析式，在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx ﹣2的图象，结合图象，可得实数k 的取值范围．11．已知函数()f x 是定义在[4,)-+∞上的单调增函数，且对于一切实数x ，不等式22(cos )(sin 3)f x b f x b -≥--恒成立，则实数b 的取值范围是 ▲ ．【知识点】函数单调性的性质．【答案解析】1[2解析 ：解：∵函数f （x ）是定义在[4,)-+∞上的单调增函数，且对于一切实数x ，不等式22(cos )(sin 3)f x b f x b -≥--恒成立，22222cosx b sin x b 34cosx sin x b b 3sin xb 1\吵\吵﹣﹣﹣﹣，﹣﹣﹣且﹣，22221555cosx sin x cosx [1]sin x [01]b b 3b 102444=+-?蝄?﹣（），，，，﹣﹣且﹣，∴实数b 的取值范围是1[2．故答案为：1[2．【思路点拨】根据函数f （x ）是定义在[﹣4，+∞）上的单调增函数，且对于一切实数x ，不等式f （cosx ﹣b 2）≥f （sin 2x ﹣b ﹣3）恒成立，可得cosx ﹣b 2≥sin 2x ﹣b ﹣3≥﹣4，即cosx ﹣sin 2x≥b2﹣b ﹣3且sin 2x≥b ﹣1，从而可求实数b 的取值范围．12．设T S ,是R 的两个非空子集，如果存在．．一个从S 到T 的函数)(x f y =满足； (i)}|)({S x x f T ∈=；(ii)对任意S x x ∈21,，当21x x <时,恒有)()(21x f x f <．那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下4对集合： ①,{1,1}S R T ==-； ②*,S N T N ==；③{|13},{|810}S x x T x x =-≤≤=-≤≤； ④{|01},S x x T R =<<=其中，“保序同构”的集合对的对应的序号是 ▲ (写出所有“保序同构”的集合对的对应的序号)．【知识点】命题的真假判断与应用． 【答案解析】②③④ 解析 ：解：①S=R ，T={﹣1，1}，不存在函数f （x ）使得集合S ，T “保序同构”； ②S=N ，T=N *，存在函数f （x ）=x+1，使得集合S ，T “保序同构”； ③S={x|﹣1≤x ≤3}，T={x|﹣8≤x ≤10}，存在函数f （x ）=x+7，使得集合S ，T “保序同构”； ④S={x|0＜x ＜1}，T=R ，存在函数f （x ）=x+1，使得集合S ，T “保序同构”． 其中，“保序同构”的集合对的对应的序号②③④． 故答案为：②③④．【思路点拨】对每个命题依次判断即可.13．已知点(1,2),(1,2),(5,2)A B C --，若分别以,AB BC 为弦作两外切的圆M 和圆N ， 且两圆半径相等，则圆的半径为 ▲ ．若分别以AB ，BC 为弦作两外切的圆M 和圆N ，且两圆半径相等，∴B 是两圆圆心的中点，圆M 的圆心在y 轴上，M （0，b ），两圆外切，切点定是B ，两圆半径相等． ∴圆N （2，4-b ），∵|NB|=|NC|，，∴解得：b=5，【思路点拨】由题意判断B 是两圆圆心的中点，圆M 的圆心在y 轴上，M （0，b ），两圆外切，切点定是B ，两圆半径相等．得到圆N （2，4-b ），通过|NB|=|NC|，求出b ，然后求出圆的半径．14．若关于x 的不等式2xax e ≥的解集中的正整数解有且只有3个， 则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【知识点】函数恒成立问题．【答案解析】4[,)16e e 解析 ：解：由题意知a ＞0，则2xax e ≥化为a，令f （x ）=，则f ′（x ）=，当0＜x ＜2时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减；当x ＞2时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增． ∴f （x ）min =f （2）=，又f （1）=e ，f （3）=，f （4）=，且f （4）＞f （1）＞f （3），不等式ax 2≥e x的解集中的正整数解有且只有3个， ∴e ≤a ＜，即实数a 的取值范围是[e ，），故答案为：[e ，）．【思路点拨】由题意知a ＞0，则ax 2≥e x化为a ，令f （x ）=，利用导数可求得f （x ）的最小值f （2），根据f （x ）的单调性和函数值f （1）、f （3）、f （4）的大小关系可得答案． 二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）已知a R ∈，命题2:"[1,2],0"p x x a ∀∈-≥，命题2:",220"q x R x ax a ∃∈++-=． ⑴若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；⑵若命题""p q ∨为真命题，命题""p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围． 【知识点】复合命题的真假；命题的真假判断与应用． 【答案解析】⑴1a £⑵1a >或21a -<<． 解析 ：解：⑴因为命题2:"[1,2],0"p x x a ∀∈-≥，令2()f x x a =-，根据题意，只要[1,2]x ∈时，min ()0f x ≥即可， ……4分 也就是101a a -≥⇒≤； ……7分 ⑵由⑴可知，当命题p 为真命题时，1a ≤，命题q 为真命题时，244(2)0a a ∆=--≥，解得21a a ≤-≥或 ……11分 因为命题""p q ∨为真命题，命题""p q ∧为假命题，所以命题p 与命题q 一真一假，当命题p 为真，命题q 为假时，12121a a a ≤⎧⇒-<<⎨-<<⎩，当命题p 为假，命题q 为真时，11-21a a a a >⎧⇒>⎨≤≥⎩或，综上：1a >或21a -<<． ……14分 【思路点拨】（1）由于命题2:"[1,2],0"p x x a ∀∈-≥，令2()f x x a =-，只要[1,2]x ∈时，min ()0f x ≥即可；（2）由（1）可知，当命题p 为真命题时，1a ≤，命题q 为真命题时，244(2)0a a ∆=--≥，解得a 的取值范围．由于命题“p ∨q”为真命题，命题“p ∧q”为假命题，可知：命题p 与命题q 必然一真一假，解出即可． 16．（本小题满分14分）已知函数()2cos()(0,)6f x x x R πωω=+>∈的最小正周期为10π．⑴求函数()f x 的对称轴方程； ⑵设,[0,]2παβ∈，56516(5),(5)35617f f ππαβ+=--=，求cos()αβ+的值． 【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换；两角和与差的余弦函数． 【答案解析】⑴55()6x k k Z p p =-+ ⑵1385-解析 ：解：⑴由条件可知，21105T ππωω==⇔=， ……4分则由155()566x k x k k Z ππππ+=⇒=-+∈为所求对称轴方程； ……7分⑵56334(5)cos()sin ,cos 352555f ππαααα+=-⇔+=-⇔==， 因为[0,]2πα∈，所以6334)cos()sin ,cos 52555πααα=-⇔+=-⇔==，516815(5)cos ,sin 6171717f πβββ-=⇔==，因为[0,]2πβ∈，所以516815(5)cos ,sin 6171717f πβββ-=⇔== … …11分4831513cos()cos cos sin sin 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-． ……14分【思路点拨】（1）由周期求得15w =，由1()56x k k Z pp += ，求得对称轴方程．（2）由[0,]2πα∈，[0,]2πβ∈, 56(5)35f p a +=-，可得sinα 的值，可得cosα的值．由 516(5)617f p b -=，求得cosβ的值，可得sinβ 的值，从而求得 cos （α+β）=cosαcosβ﹣sin αsinβ 的值．17．（本小题满分14分）已知函数2()1f x ax bx =++（,a b 为实数，0,a x R ≠∈），(),0()(),0f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩．⑴若(1)0f -=，且函数()f x 的值域为[0,)+∞，求()F x 的表达式；⑵设0,0,0mn m n a <+>>，且函数()f x 为偶函数，求证：()()0F m F n +>． 【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用． 【答案解析】⑴2m =⑵ -5 解析 ：解：⑴由题意，232n=，则5n =； ……3分由通项15(0,1,,5)r r rr T C m x r +==，则3r =，所以33580C m =，所以2m =；…7分⑵即求56(12)(1)x x +-展开式中含2x 项的系数，56011220122555666(12)(1)[(2)(2)]()x x C C x C x C C x C x +-=+++⋅⋅⋅-++⋅⋅⋅22(11040)(1615)x x x x =+++⋅⋅⋅-++⋅⋅⋅，……11分 所以展开式中含2x 项的系数为11510(6)4015⨯+⨯-+⨯=-． ……14分 【思路点拨】（1）根据2n =32求得n 的值．在通项，令x 的幂指数r=3，可得展开式中含x 3项的系数为，从而求得m 的值．（2）本题即求（1+2x ）5（1﹣x ）6展开式中含x 2项的系数，利用通项公式展开化简可得展开式中含x 2项的系数． 18．（本小题满分16分）如图，某市新体育公园的中心广场平面图如图所示，在y 轴左侧的观光道曲线段是函数sin()(0,0,0)y A x A ωϕωϕπ=+>><<，[4,0]x ∈-时的图象且最高点B （-1，4），在y 轴右侧的曲线段是以CO 为直径的半圆弧． ⑴试确定A ，ω和ϕ的值；⑵现要在右侧的半圆中修建一条步行道CDO （单位：米），在点C 与半圆弧上的一点D 之间设计为直线段（造价为2万元/米），从D 到点O 之间设计为沿半圆弧的弧形（造价为1万元/米）．设DCO θ∠=(弧度)，试用θ来表示修建步行道的造价预算，并求造价预算的最【知识点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【答案解析】⑴23p j =⑵()g θ在6πθ=时取极大值，也即造价预算最大值为（63+）万元．解析 ：解：⑴因为最高点B （-1，4），所以A =4；又(4,0)E -， 所以1(4)3124TT =---=⇒=， 因为2126T ππωω==⇒=……5分代入点B （-1，4），44s i n [(1)]s i n ()166ππϕϕ=⨯-+⇒-=， 又203πϕπϕ<<⇒=； ……8分⑵由⑴可知：24sin(),[4,0]63y x x ππ=+∈-，得点C即CO =取CO 中点F ，连结DF ，因为弧CD 为半圆弧，所以2,90DFO CDO θ∠=∠=︒，即2DO θ== ，则圆弧段DO造价预算为万元，Rt CDO ∆中，CD θ=，则直线段CD造价预算为θ万元，所以步行道造价预算()g θθ=+，(0,)2πθ∈． ……13分由'()sin )2sin )g x θθ=-+=-得当6πθ=时，'()0g θ=，当(0,)6πθ∈时，'()0g x >，即()g θ在(0,)6π上单调递增；当(,)62ππθ∈时，'()0g x <，即()g θ在(,)62ππ上单调递减 所以()g θ在6πθ=时取极大值，也即造价预算最大值为（6+）万元．……16分 【思路点拨】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．（2）由题意可得CO =CO 中点F ，求得圆弧段造价预算为万元，直线段CD 造价预算为θ万元，可得步行道造价预算()g θθ=+， 再利用导数求出函数g （θ）的单调性，从而求得g （θ）的最大值．19．⑵设点交x①若解析 ：解：(2,0),(2,0),(0,2)A B C -，直线:20AC x y -+=， ……2分⑴设l ：0x y b ++=2=则b =±l ：0x y +±=； ……5分⑵①CM ：0x -=，圆心到直线CM 的距离d ==所以弦CM 的长为2=；（或由等边三角形COM ∆亦可） ……9分 ②解法一：设直线CM 的方程为：2(y kx k =+存在，0,1)k k ≠≠±，则2(,0)D k-由2224y kx x y =+⎧⎨+=⎩，得22(1)40k x kx ++=，所以0x =或241k x k =-+， 将241k x k =-+代入直线CM ，得22221k y k -=+，即222422(,)11k k M k k --++，……12分 则11BMk k k -=+，BM ：1(2)1k y x k -=-+，:201:(2)1AC BM l x y k l y x k -+=⎧⎪⎨-=-⎪+⎩，(2,22)N k k -- 得1ND k k k =+，所以212111ND MB k k k k k k --=-=++为定值． ……16分解法二：设00(,)M x y ，则2200002,0,4x x x y ≠±≠+=，直线002:2CM y l y x x -=+， 则002(,0)2x D y -，002MB y k x =-，直线00:(2)2BM y l y x x =--，又:2AC l y x =+ AC 与BM 交点00000004224(,)22x y y N x y x y -------，02000022000000000004242242224422ND y x y y y k x x y x x y y y y x y ---==---+------ 将22004x y =-，代入得00022ND y k x y -=+-， ……13分 所以200000002000000002(2)248222424ND MB y y x y y x y k k x y x x x x y y ---+--=-=+---+-+， 得220000000000220000000000248248214424842ND MB x y y x y x y y x y k k y x x y y y x x y y --+---+--===--+-+--+-为定值．…16分 【思路点拨】（1）先求直线AC 的方程，设出切线方程，利用点线距离等于半径，即可求与直线AC 垂直的圆的切线方程；（2）①求出CM 的方程，圆心到直线CM 的距离，即可求弦CM 的长；②确定N ，D 的坐标，表示出2ND MB k k -，即可证明2N D M B k k -为定值．20．（本小题满分16分）已知函数2()(,)f x ax bx a b R =+∈，函数()ln g x x =．⑴当0=a 时，函数)(x f 的图象与函数)(x g 的图象有公共点，求实数b 的最大值； ⑵当0b =时，试判断函数)(x f 的图象与函数)(x g 的图象的公共点的个数；⑶函数)(x f 的图象能否恒在函数()y bg x =的图象的上方？若能，求出,a b 的取值范围；若不能，请说明理由．【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【答案解析】⑴实数b 的最大值为1b e =；⑵1(,)2a e? 时，无公共点， 1(,0]{}2a e ∈-∞⋃时，有一个公共点，1(0,)2a e∈时，有两个公共点； ⑶0,0a b =>或0,0a b >≥时函数)(x f 的图象恒在函数()y bg x =的图象的上方．解析 ：解：⑴bx x f a =∴=)(0 ,由一次函数与对数函数图象可知两图象相切时b 取最大值， ……1分 设切点横坐标为0x ，1(),()f x b g x x''==， 000011,,ln b x x e b e bx x ⎧=⎪∴∴=∴=⎨⎪=⎩, 即实数b 的最大值为1b e =； ……4分 ⑵2ln 0,0,()()x b x f x g x a x =>∴=⇔=， 即原题等价于直线y a =与函数2ln ()x r x x=的图象的公共点的个数， ……5分 '432ln 12ln ()x x x x r x x x --==， ()r x ∴在递增且1()(,)2r x e∈-∞，()r x 在)+∞递减且1()(0,)2r x e∈， 1(,)2a e∴∈+∞时，无公共点， 1(,0]{}2a e∈-∞⋃时，有一个公共点， 1(0,)2a e ∈时，有两个公共点； ……9分 ⑶函数)(x f 的图象恒在函数()y bg x =的上方，即()()f x bg x >在0x >时恒成立， ……10分 ①0a <时()f x 图象开口向下，即()()f x bg x >在0x >时不可能恒成立，②0a =时ln bx b x >，由⑴可得ln x x >，0b ∴>时()()f x bg x >恒成立，0b ≤时()()f x bg x >不成立， ③0a >时，若0b <则2ln a x x b x -<，由⑵可得2ln x x x -无最小值，故()()f x bg x >不可能恒成立， 若0b =则20ax >，故()()f x bg x >恒成立，若0b >则2(ln )0ax b x x +->，故()()f x bg x >恒成立， ……15分 综上，0,0a b =>或0,0a b >≥时函数)(x f 的图象恒在函数()y bg x =的图象的上方． ……16分【思路点拨】（1）由a=0，可得f （x ）=bx ，由一次函数与对数函数图象可知两图象相切时b 取最大值，利用导数的几何意义即可得出；（2）由于b=0，x＞0，可得，即原题等价于直线y=a与函数r（x）=的图象的公共点的个数，利用导数研究函数r（x）的单调性即可得出；（3）函数f（x）的图象恒在函数y=bg（x）的上方，即f（x）＞bg（x）在x＞0时恒成立．对a，b分类讨论，再利用（1）（2）的结论即可得出．【典型总结】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、导数的几何意义，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力．。

2015年江苏高考数学真题及答案(精校版)2绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I参考公式： 圆柱的体积公式：shV=圆柱，其中s 为圆柱的表面积，h 为高. 圆锥的体积公式：sh V 31=圆锥，其中s 为圆锥的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题 - 第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字3上．． 1. 已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合BA Y 中元素的个数为 ▲ ．2. 已知一组数据4, 6, 5, 8, 7, 6，则这组数据的平均数为 ▲ ．3. 设复数z 满足iz 432+=（i 是虚数单位），则z 的模为 ▲ ．4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．5. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球. 从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ▲ ． 6. 已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若ma +nb =)8,9(-(R n m ∈,), nm -的值为 ▲ ．7. 不等式422<-xx 的解集为 ▲ ．1←S1←IWhile48. 已知2tan -=α，71)tan(=+βα，则βtan 的值为▲ ．9. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个. 若将它们重新制作成总体积和高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 ▲ ． 10. 在平面直角坐标系x O y 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ▲ ． 11. 设数列{}na 满足11=a，且11+=-+n a an n (*N n ∈), 则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧na1前10项的和为 ▲ ．12. 在平面直角坐标系x O y 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点，若点P 到直线51=+-y x 的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 ▲ ． 13. 已知函数x x f ln )(=，⎪⎩⎪⎨⎧>--≤<=,1,24,10,0)(2x x x x g ，则方程1)()(=+x g x f 实根的个数为 ▲ ．14. 设向量a k=(6cos 6sin ,6cos πππk k k +)，(12,,2,1,0Λ=k )，则∑=+⋅111)(k k ka a的值为▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 在ABC ∆中，已知ο60,3,2===A AC AB .（1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值.616．（本题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知BC AC⊥， 1CC BC =，设1AB 的中点为D ，E BCC B =11I . 求证：（1）C C AA DE 11//平面；（2）11AB BC ⊥.17.（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建 一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，，山区边 界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ，的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ，所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角ABCDEA BC7坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2a y xb =+（其中a ，b 为常数）模型. （1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t .①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域；②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度.18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>2，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；8（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于 点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程.19.（本小题满分16分） 已知函数),()(23R b a b ax xx f ∈++=.（1）试讨论)(x f 的单调性；BAO x ylP C9（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞Y Y ，求c 的值.20.（本小题满分16分）设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列（1）证明：31242,2,2,2a a a a 依次成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a aa a 依次成等比10数列，并说明理由；（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得kn k n k n n a a a a 342321,,,+++依次成等比数列，并说明理由.★ 启用前绝密2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学II21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.（选修4—1：几何证明选讲）如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D求证：ABD ∆∽AEB ∆ 注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有A 、B 、C 、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．考试时间30分钟．考试结束后，请将答题卡交回. 2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知R y x ∈,，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量，矩阵A 以及它的另一个特征值.C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知圆C 的极坐标方程为222sin()404πρρθ+--=，求圆C 的半径. AB C ED O （第21D.（选修4—5：不等式选讲）解不等式|23|3x x ++≥【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题．．．．卡．的指定区域内．．．．．．. 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯 形，2ABC BAD π∠=∠=,2,1PA AD AB BC ==== （1）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长23．（本小题满分10分） 已知集合{}3,2,1=X ，{})(,,3,2,1*N n n Yn ∈=Λ，{,),(a b b a b a S n 整除或整除= }n Y b X a ∈∈,，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.（1）写出(6)f 的值；（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明.PAB C D Q。

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸．．．相应的位置)1．已知全集{}1,2,3,4U =,集合{}=12A ，,{}=23B ，,则()=U A B ð ▲ ． 2．已知1sin ,3α=且(,)2παπ∈，则tan α＝ ▲ ．3．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且41016a a =，则10a = ▲ ． 4．函数()()2sin cos f x x x =-的最小正周期是 ▲ ． 5．不等式13x x+<的解集为 ▲ ． 6．设函数()32f x x ax bx c =+++的图象过点A (2，1)，且在点A 处的切线方程为2x －y + a = 0， 则a + b + c = ▲ ．7．若函数ln 26y x x =+-的零点为0x ，则满足0≤k x 的最大整数k = ▲ ．8．已知函数||)(a x e x f -=(a 为常数)，若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围是▲ ．9．已知∆ABC 中，A(1, 3)，AB 、AC 边上的中线所在直线方程分别为x y -+=210 和y -=10，则边BC 所在直线方程为 ▲ ．10．已知0m ≠,函数32()22x m x f x x m x -≤⎧=⎨-->⎩，()，()，若(2)(2)f m f m-=+，则实数m 的值为__▲_ ．11．设0x ≥，0y ≥且21x y +=，则223x y +的最小值为 ▲ ．12．已知数列{a n }是等差数列，且a 7a 6＜－1，它的前n 项和S n 有最小值，则S n 取到最小正数时n 的值为 ▲ ．13．已知二次函数()241f x cx x a =-++的值域是[)1,+∞，则19a c +的最小值是 ▲ .14．已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为/()f x ，满足/()()f x f x <，且(1)y f x =+为偶函数，(2)1f =，则不等式()x f x e <的解集为 ▲ ．二、解答题(本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．已知函数2()sin 21f x x x =++.（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，若2()log f x t ≥恒成立，求t 的取值范围.16.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ，∠ABC =45°，DC =1，AB =2， PA ⊥平面ABCD ，PA =1.（1）求证：AB ∥平面PCD ；（2）求证：BC ⊥平面PAC ； （3）若M 是PC 的中点，求三棱锥M -ACD 的体积.17．设集合在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且228cos21b C a=-．（1）求11tan tan A C+的值；（2）若8tan 15B =，求tan A 及tan C 的值.18．如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD ，设梯形部件ABCD 的面积为y 平方米. （1）按下列要求写出函数关系式：①设2CD x =(米)，将y 表示成x 的函数关系式；②设()BOC rad θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式. （2）求梯形部件ABCD 面积y 的最大值．19．已知函数3()3f x ax ax =-，2()ln g x bx c x =+，且()g x 在点（1，(1)g ）处的切线方程为210y -=.（1）求()g x 的解析式；（2）求函数()()()F x f x g x =+的单调递增区间.20．已知各项均为整数的数列{}n a 满足31a =-，74a =，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求出所有的正整数m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=．盐城市时杨中学 高三年级第二次调研考试 数学试题（文科）参考答案一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)二、解答题 (本大题共6个小题，共90分)15．解：(I)()2sin(2)13f x x π=-+.………………………………………………………………3分∴函数()f x 最小正周期是T π=. …………………………………………………5分 当222232k x k p p p p p-??，即5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈,函数()f x 单调递增区间为5[,]()k k k Z ππππ-+∈.……………………………8分 (II),62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，220,33x ππ⎡⎤∴-∈⎢⎥⎣⎦，()2sin(2)13f x x π∴=-+的最小值为1， ……………………………………………12分 由2()log f x t ≥恒成立，得2log 1t ≤恒成立.所以t 的取值范围为(0，2] ………………………………………………………………14分 16．解：(1)证明 ∵AB ∥DC ，且AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD 。

江苏省扬州中学2014～2015学年第二学期开学检测高三数学卷注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1．已知集合{113}A =-，，，}5,3,1{=B ，则=B A ▲ ． 2．复数212a ii-+（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3．右图是一个算法的流程图，则最后输出的S = ▲ ． 4．从1,3,5,7这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的和小于9的概率是 ▲ ． 5．已知样本7,5,,3,4x 的平均数是5,则此样本的方差为 ▲ ． 6．已知函数()2sin()(0)6f x x πωω=->的最小正周期为π，则f (x )在[0,]2π上的单调递增区间为[a ，]b ，则实数a b += ▲ ．7．已知体积相等的正方体和球的表面积分别为1S ，2S ，则321)(S S 的值是 ▲ ．8. 抛物线212y x =-的准线与双曲线22162x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积等 于 ▲ ．9．已知32x ≥，则22211x x x -+-的最小值为 ▲ ．10．在平面直角坐标系xOy中，若曲线()sin cos f x x x =(a 为常数)在点(,())33f ππ处的切线与直线0132=++y x 垂直，则a 的值为 ▲ ．11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21n n a S An Bn +=++（0A ≠）则1B A-=___▲___．12．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()|2|f x x x =-．若关于x 的方程2()()0(,)f x af x b a b R ++=∈恰有10个不同实数解，则a 的取值范围为___▲ ．13．在直角ABC ∆中，2,AB AC ==，斜边BC 上有异于端点两点B C 、的两点E F 、，且=1EF ，则AE AF ⋅的取值范围是 ▲ ． 14．已知三个正数,,a b c 满足3a b c a ≤+≤，223()5b a a c b ≤+≤，则2b ca-的最小值 是 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（本小题满分14分）设平面向量a ＝(cos ,sin )x x，(cos )b x x =+，(sin ,cos )c αα=，x R ∈． （1）若a c ⊥，求cos(22)x α+的值；（2）若0α=，求函数()(2)f x a b c =⋅-的最大值，并求出相应的x 值．16（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 为棱BC 的中点，1,AB BC BC BB ⊥⊥，111,AB AB BB === 求证：(1) 1A B⊥平面ABC ； (2)1A B ∥平面1AC D .17（本小题满分14分）如图，椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>和圆2222:C x y b +=，已知椭圆1C 过点(1,)2，焦距为2.C(1) 求椭圆1C 的方程；(2) 椭圆1C 的下顶点为E ，过坐标原点O 且与坐标轴不重合的任意直线l 与圆2C 相交于点A B 、，直线EA EB 、与椭圆1C 的另一个交点分别是点P M 、.设PM 的斜率为1k ，直线l 斜率为2k ，求21k k 的值.18（本小题满分16分）在距A 城市45千米的B 地发现金属矿，过A 有一直线铁路AD ．欲运物资于A ，B 之间，拟在铁路线AD 间的某一点C 处筑一公路到B ．现测得BD =45BDA ∠=（如图）．已知公路运费是铁路运费的2倍，设铁路运费为每千米1个单位，总运费为y ．为了求总运费y 的最小值，现提供两种方案：方案一：设AC x =千米；方案二设BCD θ∠=．（1）试将y 分别表示为x 、θ的函数关系式()y f x =、()y g θ=；（2）请选择一种方案，求出总运费y 的最小值，并指出C 点的位置．19（本小题满分16分）已知数列{}n a 、{}n b 满足1=n b a ，110k k k k b b a a --=≠，其中2,3,,k n =，则称{}n b 为{}n a 的“生成数列”．（1）若数列12345a a a a a ，，，，的“生成数列”是1,2,3,4,5，求1a ；（2）若n 为偶数，且{}n a 的“生成数列”是{}n b ，证明：{}n b 的“生成数列”是{}n a ； （3）若n 为奇数，且{}n a 的“生成数列”是{}n b ，{}n b 的“生成数列”是{}n c ，…，依次将数列{}n a ，{}n b ，{}n c ，…的第(1,2,,)i i n =项取出，构成数列:,,,i i i i a b c Ω．探究：数列i Ω是否为等比数列，并说明理由．20（本小题满分16分）已知函数2()f x x ax b =++，()ln g x x =．（1）记()()()F x f x g x =-,求()F x 在[1,2]的最大值；（2）记()()()f x G xg x =，令4a m =-，24()b m m R =∈，当210<<m 时，若函数()G x 的3个极值点为123123,,()x x x x x x <<，（ⅰ）求证：321120x x x <<<<；（ⅱ）讨论函数()G x 的单调区间（用123,,x x x 表示单调区间）．高三第二学期期初联考数学附加题(考试时间：30分钟 总分：40分)21.（［选做题］请考生在A 、B 、C 、D 四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分．A ．（本小题满分10分，几何证明选讲）如图，P 是⊙O 外一点，P A 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B ，C ，PC ＝2P A ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E . 证明： AD ·DE ＝2PB 2.B ．（本小题满分10分，矩阵与变换）设矩阵12M x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2411N ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，若02513MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M 的特征值．C ．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为：122x ty t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ．直线l 与圆相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D ．（本小题满分10分，不等式选讲）已知实数z y x ,,满足123=++z y x ，求22232z y x ++的最小值.［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，AP ＝1，ADE 为线段PD 上一点，记PE PD λ=． 当12λ=时，二面角D AE C --的平面角的余弦值为23． （1）求AB 的长； （2）当13λ=时，求直线BP 与直线CE 所成角的余弦值．23.（本小题满分10分)已知数列{}n a 通项公式为11n n a AtBn -=++，其中,,A B t 为常数，且1t >，n N *∈．等D式()()()()1022020122022111x x b b x b x b x ++=+++++⋅⋅⋅++，其中()0,1,2,,20i b i =⋅⋅⋅为实常数．（1）若0,1A B ==，求1021n nn a b=∑的值；（2）若1,0A B ==，且()1011212222n n nn ab =-=-∑，求实数t 的值．高三第二学期期初联考数学参考答案一、填空题1．{1,1,3,5}-； 2．4； 3．9； 4．23； 5．2； 6．3π； 7．6π； 8． 9．2； 10．23-；11．3； 12．(2,1)--； 13．11[,9)4； 14．185-．二、解答题15．解：（1）若a c ⊥，则0a c ⋅=， ………2分 即()cos sin sin cos 0,sin 0x x x ααα+=+= ………4分 所以()()2cos 2212sin 1x x αα+=-+=. ………6分（2）若()0,0,1c α==则………10分………12分所以max ()5,2()6f x x k k Z ππ==-∈. ………14分()()()()(()2cos ,sin cos 2cos cos sin sin 212sin 214sin 3f x a b c x x x x x x x x x x x π=⋅-=⋅+-=++-=-+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭16．证明：（1）因为1111,,,AB BC BC BB ABBB B AB BB ABB ⊥⊥=⊂、平面，所以111BC ABB AB ABB ⊥⊂平面,又平面，所以1AB BC ⊥； ………3分又因为1111,AB A B BB AA ====，得22211AA AB A B =+，所以1A B AB ⊥. ………6分 又AB BC ABC ABBC B ⊂=、平面，，所以1A B ⊥平面ABC ； ………8分（2）连接1AC 交1AC 与点E ，连接DE ，在1A BC ∆中，D E 、分别为1BC AC 、的中点，所以1//DE A B ，又111,A B AC D DE AC D ⊄⊂平面平面，所以1A B ∥平面1AC D ．………14分17．解：（1）解法一：将点代入椭圆方程，解方程组，求得222,1a b ==，所以椭圆1C 的方程为2212x y +=． ………4分解法二：由椭圆的定义求得2a =，所以椭圆1C 的方程为2212x y +=． ………4分说明：计算错全错.（2）由题意知直线,PE ME 的斜率存在且不为0，PE EM ⊥， 不妨设直线PE 的斜率为(0)k k >，则:1PE y kx =-，AC由221,1,2y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2224,2121,21k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩或0,1,x y =⎧⎨=-⎩ 222421(,)2121k k P k k -∴++. ………6分用1k -去代k ，得22242(,)22k k M k k --++， ………8分 则2113PMk k k k-== ………10分由221,1,y kx x y =-⎧⎨+=⎩得2222,11,1k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩或0,1,x y =⎧⎨=-⎩ 22221(,)11k k A k k -∴++. ………12分则2212OAk k k k -==，所以2132k k =． ………14分评讲建议：此题还可以求证直线PM 恒过定点，求PME ∆面积的最大值.18.解：(1)在ABD ∆中，由余弦定理解得AD=63 ………2分 方案一：在ABC ∆中，222222227)36(7245cos 45245+-=-+=⋅-+=x x x A x x BC 2227)36(22)(+-+=+=∴x x BC AC x f ………5分方案二：在BCD ∆中，θθsin 2745sin sin 227==BC ，θθθθθsin )cos (sin 27)45sin(sin 227+=+= CD ， θθθθθθθsin cos 22736)sin cos sin sin 2(2763221)(-+=+-+=+-=⋅+⋅=BC CD AD BC AC g ………9分 (2)若用方案一，则8100)144(23)4572(4)(457222222222=+--+⇒+-=-⇒+-+=y x y x x x x y x x x y………11分 由0≥∆得327360891720)8100(3)144(222+≥⇒≥--⇒≥-+-y y y y y………14分32736min +=∴y ，这时39363144-=-=yx ，C 距A 地)3936(-千米 ………16分若用方案二，则θθθθθ222sin cos 2127sin cos )cos 2(sin 27-=--='y ………11分 )(θg 在↓)3,0(π，在↑),3(ππ32736232122736min +=-+=∴y ………14分 这时3πθ=，C 距A 地)3936(-千米 ………16分19．（1）解：151b a ==，4544520a a a =⨯⇒=同理，32131,10,55a a a ===. ………4分 （写对一个i a 得1分，总分4分） （2）证明：1n b b = 1212232311n n n nb b a a b b a a b b a a --=== ………7分∵n 为偶数，将上述n 个等式中第2，4，6，…，n 这2n个式子两边取倒数，再将这n 个式子相乘得：1234523451234112341111111n n n n nb b b b b a a a a a b b b b b b a a a a a a --⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ ∴1n b a = ………9分因为1n a b =，11(2,3,,)k k k k a a b b k n --==所以根据“生成数列”的定义，数列{}n a 是数列{}n b 的“生成数列”. ………10分（3）证明：因为11(2,3,,)i ii i a a b i n b --==，所以111(2,3,,)i i i i b i n a a b --==.所以欲证i Ω成等差数列，只需证明1Ω成等差数列即可. ………12分 对于数列{}n a 及其“生成数列”{}n b1n b b = 1212232311n n n nb b a a b b a a b b a a --===∵n 为奇数，将上述n 个等式中第2，4，6，…，1n -这12n -个式子两边取倒数，再将这n 个式子相乘得：12345123451123421123421111111n n n n nn n n n b b b b b b b a a a a a a a b b b b b b a a a a a a ------⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅ ∴21111n n n n n a b a bb a a a a =⇒==因为1n a b =，11(2,3,,)k k k k a a b b k n --==数列{}n b 的“生成数列”为{}n c ，因为22111111,nn n a b c c b b a c a ===⇒= 所以111,,a b c 成对比数列. 同理可证，111111,,;,,,b c d c d e 也成等比数列. 即 1Ω是等比数列.所以 i Ω成等差数列. ………16分20.解：（1）x b ax x X F ln )(2-++=（0>x ）x ax x x a x X F 1212)('2-+=-+= ………2分令0)('=x F ，得04821<+--=a a x ，04822>++-=a a x()()xx x x x X F 212)('--=………3分列表如下：易知()()(){}2,1max max F F x F =而()()()()32ln 2ln 42121-+-=-++-++=-a b a b a F F 所以当32ln -≤a 时， ()()11max ++==b a F x F当32ln ->a 时，()()2ln 422max -++==b a F x F ………5分（2）（ⅰ）()xm mx x x G ln 4422+-=，()()xxm x m x x G 2ln 12ln 22'⎪⎭⎫⎝⎛-+-=令()12ln 2-+=x m x x h ，()222'x mx x h -= 又()x h 在()m ,0上单调减，在()+∞,m 上单调增，所以()()1ln 2min +==m m h x h 因为函数()x G 有3个极值点，所以01ln 2<+m 所以em 10<< ………7分所以当210<<m 时，()04ln 121ln 211ln 2<-=+<+=m m h ，()0121<-=m h 从而函数()x G 的3个极值点中，有一个为m 2，有一个小于m ，有一个大于1………9分 又321x x x <<，所以m x <<10，m x 22=，13>x 即2021x x <<，3212x m x <<=，故321120x x x <<<< ………11分 （ⅱ）当()1,0x x ∈时，()012ln 2>-+=xmx x h ，02<-m x ，则()0'<x G ，故函数()x G 单调减；当()21,x x x ∈时，()012ln 2<-+=xmx x h ，02<-m x ，则()0'>x G ，故函数()x G 单调增；当()1,2x x ∈时，()012ln 2<-+=xmx x h ，02>-m x ，则()0'<x G ，故函数()x G 单调减；当()3,1x x ∈时，()012ln 2<-+=xmx x h ，02>-m x ，则()0'<x G ，故函数()x G 单调减；当()+∞∈,3x x 时，()012ln 2>-+=xmx x h ，02>-m x ，则()0'>x G ，故函数()x G 单调增；综上，函数()x G 的单调递增区间是()21,x x ()+∞,3x ，单调递减区间是()1,0x ()1,2x ()3,1x 。

江苏省扬州中学2015-2016学年度第一学期质量检测 高三数学试卷 2015.12.18一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知集合{1,3},{0,1,},{0,1,3},A B a A B a ==⋃==则 ▲ ． 2．如果复数()21aiz a R i +=∈+为纯虚数，则z = ▲ ． 3．如右图程序运行的结果是 ▲ ．4．小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面． 他把4枚硬币叠成一摞（如右图），则所有相邻两枚硬币中 至少有一组同一面不相对的概率是 ▲ ．5．甲､乙两个样本数据的茎叶图（如右图），则甲､乙两样 本方差中较小的一个方差是 ▲ ．6．已知三个球的半径1R 、2R 、3R 满足2312R R R =+， 记它们的表面积分别为1S 、2S 、3S ，若1319S S ==，， 则2S = ▲ ． 7．经过函数1y x=上一点M 引切线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，O 为坐标原点,记OAB ∆的面积为S ,则S = ▲ ． 8．函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的图象如右图所示，若2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则ω= ▲ ．9．在△ABC 中，,,A B C ∠∠∠所对边的长分别为a ，b ，c ．已知a ＋ 2c ＝2b ，sinB ＝2sinC ，则sin 2C ＝ ▲ ．10．如右图，线段AB 的长度为2，点,A B 分别在x 轴的正半轴(第10题图 )BO CAy x(第4题图 )(第8题图 )（第3题图）112a b i ←←←While 4i ≤1a a bb ab i i ←+←←+ End WhilePrint b(第5题图)和y 轴的正半轴上滑动，以线段AB 为一边，在第一象限内作等边三角形ABC ，O 为坐标原点，则OC OB ⋅uuu r uur的取值范围是 ▲ ．11．已知动圆C 与直线20x y ++=相切于点()02A -，，圆C 被x 轴所截得的弦长为2，则满足条件的所有圆C 的半径之积是 ▲ ． 12．已知函数()2f x x x =-，则不等式()()21fx f -<的解集为 ▲ ．13．集合{}1007*(,)(1)(2)()6,,A m n m m m n m Z n N =++++++=∈∈L ，则集合A 中的元素个数为 ▲ ．14．实数12310082015,,,x x x x x L L ，满足1230x x x ≤≤≤≤L 1008x ≤≤L 2015x ≤13≤如果它们的平方组成公差721007d =的等差数列，当1223x x x x -+-++L 2014|x - 2015|x 取最小值时，1008x = ▲ ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为()1,3，点N 的坐标为()cos ,sin x x ωω，其中0ω>，设()ON OM x f ⋅=（O 为坐标原点）.（Ⅰ）若2ω=，A ∠为ABC ∆的内角，当()1=A f 时，求A ∠的大小；（Ⅱ）记函数()()y f x x R =∈的值域为集合G ，不等式02<-mx x 的解集为集合P .当G P ⊆时，求实数m 的最大值.16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，D ，E 分别为A 1C 1，BB 1的中点，B 1C ⊥AB ，侧面BCC 1B 1为菱形．求证：（Ⅰ）DE ∥平面ABC 1； （Ⅱ）B 1C ⊥DE ．ACDA 1B 11E17．（本小题满分14分）某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m 万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x 个月的需求总量y （万吨）与x 的函数关系为*2(0,116,)y px p x x =>≤≤∈N ，若区域外前4个月的需求总量为20万吨．（Ⅰ）试求出当第x 个月的石油调出后，油库内储油量M （万吨）与x 的函数关系式； （Ⅱ）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m 的取值范围．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为63.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）（1）设椭圆C 上的任一点00(,)R x y ，从原点O 向圆()()()22200:0R x x y y mm -+-=>引两条切线，设两条切线的斜率分别为()1212,0k k k k ≠，当12k k 为定值时求m 的值；（2）在（1）的条件下，当两条切线分别交椭圆于,P Q 时，试探究22OP OQ +是否为定值，若是，求出其值；若不是，请说明理由． 19．（本小题满分16分）设函数3()(,,0)3a f x x cx a c a =+∈≠R ． （Ⅰ）若3a =-，函数()y f x =在[2,2]-的值域为[2,2]-，求函数()y f x =的零点； （Ⅱ）若2a =，(1)3f '=，()()31g x x m =-+．（1）对任意的[]1,1-∈x ,()()f x g x '≤恒成立, 求实数m 的最小值；(2)令()()()1x f x f x ϕ''=+-,若存在[]1,0,21∈x x 使得()()()m g x x ≥-21ϕϕ,求实数m 的取值范围.20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 为等差数列，12a =，{}n a 的前n 和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+对任意的n *∈N 恒成立.（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）是否存在非零整数λ，使不等式112111(1)(1)(1)cos 2n n a a a a πλ+--⋅⋅⋅⋅⋅⋅-<对一切n *∈N 都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.（Ⅲ）各项均为正整数的无穷等差数列{}n c ，满足391007c a =，且存在正整数k ，使139,,k c c c 成等比数列，若数列{}n c 的公差为d ，求d 的所有可能取值之和．高三数学附加题 2015.12.1821．（选修4－2 矩阵与变换）（本小题满分10分）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．22．（选修4－4 坐标系与参数方程）（本小题满分10分）在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2αα=⎧⎨=+⎩x y （α为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标.23．（本小题满分10分）抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记底面上所得的数字分别为x ，y ．记x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示x y 的整数部分，如：312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，设ξ为随机变量，x y ξ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． （Ⅰ）求概率(1)P ξ=；（Ⅱ）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．24．（本小题满分10分）数学运算中，常用符号来表示算式，如0ni i a =∑=0123n a a a a a +++++L ，其中i N ∈，n N +∈.（Ⅰ）若0a ，1a ，2a ，…，n a 成等差数列，且00a =，公差1d =，求证：()0nii n i a C ==∑12n n -⋅；（Ⅱ）若22201221(1)nknn k x a a x a x a x =+=++++∑L ，20nn i i b a ==∑，记11[(1)]n i i n i n i d b C ==+-∑，且不等式(1)n n t d b ⋅-≤对于*n N ∀∈恒成立，求实数t 的取值范围.高三数学质量检测参考答案 2015.12.18一、填空题：1． 3 2． 2 3． 96 4．875．23 6．4 7． 2 8．2 9．2410． (]0,3 11． 1012．())11,-⋃+∞ 13． 2016 14． 二、解答题：15．解：(Ⅰ)由题意()⎪⎭⎫⎝⎛+=+=+=⋅=32sin 22cos 32sin cos 3sin πωωx x x x x ON OM x f 3分当()1=A f 时，2132sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA ，75130,2,2333366A A A πππππππ<<∴<+<∴+=Q 或， 12114ππ==∴A A 或. ……7分 （Ⅱ）由()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=3sin 2cos 3sin πωωωx x x x f 得，()f x 的值域[]2,2-=G ， ……10分又02=-mx x 的解为m x x ==21,0，故要使G P ⊆恒成立， 只需[]2,2-∈m ，所以m 的最大值为2. ……14分16．解：（Ⅰ）如图，取AA 1的中点F ，连DF ，FE ． 又因为D ，E 分别为A 1C 1，BB 1的中点， 所以DF ∥AC 1，EF ∥AB ．因为DF ⊄平面ABC 1，AC 1⊂平面ABC 1，故DF ∥平面ABC 1． ……3分 同理，EF ∥平面ABC 1．因为DF ，EF 为平面DEF 内的两条相交直线，所以平面DEF ∥平面ABC 1． ……5分 因为DE ⊂平面DEF ，所以DE ∥平面ABC 1． ……7分 （Ⅱ）因为三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1为菱形， 故B 1C ⊥BC 1． ……9分又B 1C ⊥AB ，且AB ，BC 1为平面ABC 1内的两条相交直线，所以B 1C ⊥平面ABC 1． ……12分 而平面DEF ∥平面ABC 1，所以B 1C ⊥平面DEF ，因为DE ⊂平面DEF ，所以B 1C ⊥DE ． ……14分 17．解：（Ⅰ）由条件得20242100p p =⋅⇒=，所以*(116,)y x x x =≤≤∈N 2分1010M mx x x =--，（*116,x x ≤≤∈N ）． ……4分（Ⅱ）因为030M ≤≤，所以()*10100116,101030mx x x x x mx x x ⎧+--≥⎪≤≤∈⎨+--≤⎪⎩N 恒成立， ……6分()*101116,201m x x x x m x x ⎧≥-++⎪⎪⇒≤≤∈⎨⎪≤++⎪⎩N 恒成立， ……8分 t x=，则：114t ≤≤， 221010111420101m t t t m t t ⎧≥-++⎛⎫⇒≤≤⎨ ⎪≤++⎝⎭⎩恒成立， ……10分 AC DA 1B 11E ACDA 1B 11E F由221711010110()1224m t t t t ⎛⎫≥-++=--+≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得72m ≥（4x =时取等号）， 212010114m t t t ⎛⎫≤++≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得194m ≤（16x =时取等号）． ……13分答：m 的取值范围是71924m ≤≤． ……14分 18．解：（Ⅰ）依题意，22c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得a c ==则b = 所以椭圆C 的方程为2212412x y +=． ……4分 （Ⅱ）（1）依题意，两条切线方程分别为12,y k x y k x ==，由m =,化简得()2222201001020x m k x y k y m --+-=，同理()2222202002020x m k x y k y m --+-=．所以12,k k 是方程()22222000020x m k x y k y m --+-=的两个不相等的实数根，22012220y m k k x m-∴=-. ……7分 因为220012412x y +=，所以22001122y x =-，所以220122201122x m k k x m --=-. 据2202201122x m t x m--=-,t为定值得：m =……10分 （2）由（1）得，1212k k =-，设1122(,),(,)P x y Q x y ,则121212y y x x ⋅=-,所以2222121214y y x x =， 因为221122221241212412x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以2211222211221122y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ……13分所以22221212111(12)(12)224x x x x --=，所以221224x x +=，221212y y +=， 所以2236OP OQ +=． ……16分 19．解：（Ⅰ）当3a =-时，32(),()3f x x cx f x x c '=-+=-+① 若0c ≤，则()0f x '≤恒成立，函数()y f x =单调递减，又函数()y f x =在[2,2]-的值域为[2,2]-，(2)2(2)2f f -=⎧∴⎨=-⎩，此方程无解．……2分② 若0c >，则()0,f x x '=∴= （i2，即12c >时，(2)2(2)2f f =⎧⎨-=-⎩，此方程组无解；（ii2≤≤312c ≤≤时，2(2f f ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以c=3；（iii）2，即3c <时，(2)2(2)2f f -=⎧⎨=-⎩，此方程无解．由①、②可得，c=3．3()3f x x x ∴=-+的零点为：1230,x x x === ……6分(Ⅱ) 由2a =，(1)3f '=得：()323f x x x =+，()221f x x '=+， ……7分又)()1g x x m =+，对任意的[]1,1-∈x()g x ≤恒成立⇔m x x +-≤+)13(122．当0=x 时，1≥m ， ……8分 又1=m 时，对任意的[]1,1-∈x,))2221)12121x x x ⎡⎤-+=-⎣⎦)()2110x x =--≤，即1=m 时，1)13(122+-≤+x x ，∴实数m 的最小值是1，即min 1m =． ……10分(Ⅲ) 法1：由题意可知()()m x x 3max 21≥-ϕϕ，()()2222121121033x x x +-+=-≥Q 在[]1,0∈x 上恒成立， ∴()136122+≥+x x 在[]1,0∈x 上恒成立； ……12分 由(Ⅱ)得：1)13(122+-≤+x x 在[]1,0∈x 上恒成立， ……13分∴)11)1x x +≤≤-+．又因为当[]1,0∈x 时,[]1,01∈-x ，∴)111)(1)1x x -+≤≤-+．∴()()()()11)13(1)13(1136136+--++-≤≤+-++x x x x x ϕ， 即()136+≤≤x ϕ，621min=⎪⎭⎫⎝⎛ϕ，()()1310max max +==ϕϕ，……15分∴()()613max 21-+=-x x ϕϕm 3≥.∴2331-+≤m . ……16分 法2：]21)1(21[21)1(212)(2222+-++=+-++=x x x x x ϕ，……12分 设)22,1(),22,0(),0,(-B A x P ，则()PB PA x +=2)(ϕ，由下图得： (),3min==+AB PB PA ()2622max +=+=+OB OA PB PA ， ∴31)(,6)(max min +==x x ϕϕ，∴()()613max 21-+=-x x ϕϕm 3≥，1m ∴≤+- ……16分 20．解：（Ⅰ）法1：设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q .因为2112233(1)24()n n n a b a b a b a b n n +*+++⋅⋅⋅+=-⋅+∈N令1,2,3n =分别得114a b =，112220a b a b +=，11223368a b a b a b ++=，又12a =所以1122332,21648a b a b a b ==⎧⎪=⎨⎪=⎩即22(2)(2)163440(22)(2)48d q d d d q +=⎧⇒--=⎨+=⎩， 得11236d q ⎧=-⎪⎨⎪=⎩或2222d q =⎧⎨=⎩，经检验2,2d q ==符合题意，2,63d q =-=不合题意，舍去. 所以2,2nn n a n b ==. ……4分 法2：因为2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+ ①对任意的n *∈N 恒成立则1112233-1-1(2)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+（2n ≥） ②①-②得12(2)n n n a b n n +=⋅≥，又114a b =，也符合上式，所以12()n n n a b n n +*=⋅∈N由于{}n a 为等差数列，令n a kn b =+，则12n n n b kn b+⋅=+，因为{}n b 为等比数列，则12[(1)](1)()n n b n k n b q b n kn b --+==-+（为常数）， 即2(2)(22)0qk k n bq kq b k n qb -+--+-=对于*n N ∀∈恒成立，202200qk k bq kq b k qb -=⎧⎪∴--+=⎨⎪-=⎩，所以2,0q b ==． 又12a =，所以2k =，故2,2nn n a n b ==． ……4分（Ⅱ）由2n a n =，得11cos cos(1)(1)2n n a n ππ++=+=-，设n b =1(1)n n b λ+-<．∵0n b >，且1211n n n b b ++=>，∴1n n b b +>，数列{}n b 单调递增. ……6分 假设存在这样的实数λ，使得不等式1(1)n n b λ+-<对一切n *∈N 都成立，则 ①当n 为奇数时，得min 1()n b b λ<==；② 当n 为偶数时，得min 2()n b b λ-<==，即λ>综上，λ⎛∈ ⎝，由λ是非零整数，可知存在1λ=±满足条件． ……9分（Ⅲ）易知d=0，成立． ……10分 当d>0时，3911382014201438c c d c d =+=⇒=-，39(39)2014(39)k c c k d k d =+-=+-，[][]22391(201438)2014(39)2014,38(53)2014(39)20142014,k c c c d k d d k d =⇒-+-=⇒-+-=⨯()()53201439532014d k d ⇒-+-=⨯⎡⎤⎣⎦，()23953(77)0(39)53(77)k d k d k d k ⇒--+-=⇒-=-，395353107(53)395377kd d k d k d ⇒-=-⨯⇒-=-⨯， ……12分*39537739(53)5339537753385338393953535353d d k N d d d d-⨯-+⨯-⨯⨯⨯===-=+∈----，又120143838(53)0530c d d d d =-=->⇒->⎧⎨>⎩Q ，05353d ∴<-<，531,2,19d ∴-=，52,51,34d ∴=，所以公差d 的所有可能取值之和为137．……16分高三数学附加题试卷参考答案 2015.12.1821．解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11可得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即c ＋d ＝6； ……3分由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，即3c －2d ＝－2． ……6分解得⎩⎨⎧c ＝2，d ＝4．即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 2 4， A 的逆矩阵是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23 －12 －13 12 ． ……10分 22．解：因为直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ，所以直线l的普通方程为y =， 3分又因为曲线C 的参数方程为2cos 1cos2x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），所以曲线C 的直角坐标方程为[]()212,22y x x =∈-， ……6分 联立解方程组得00x y =⎧⎨=⎩或6x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩．根据x的范围应舍去6x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩,故P 点的直角坐标为(0,0)． ……10分23．解：（Ⅰ）依题意，实数对（x ，y ）共有16种，使1x y ξ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦的实数对（x ，y ）有以下6种：()()()()()()1,1,2,2,3,2,3,3,4,3,4,4，所以()631168P ξ===； ……3分 （Ⅱ）随机变量ξ的所有取值为0，1，2，3，4.0ξ=有以下6种：()()()()()()1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4，所以()630168P ξ===；2ξ=有以下2种：()()2,1,4,2，所以()212168P ξ===；3ξ=有以下1种：()3,1，所以()1316P ξ==；4ξ=有以下1种：()4,1，所以()1416P ξ==； ……7分所以ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3 4 P383818116116()331111701234888161616E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， ……9分答：ξ的数学期望为1716． ……10分24．解：（Ⅰ）由已知得，等差数列的通项公式为n a n =，则()0nii n i a C ==∑12012n n n n n a a C a C a C ++++L 01120()(2)n n n n n n n n a C C C C C nC =+++++++L L 因为11k k n n kC nC --=，所以122n n n n C C nC +++L 011111()n n n n n C C C ----=+++L ，所以()0nii n i a C ==∑1022n n a n -⋅+⋅=12n n -⋅. ……4分（Ⅱ）令1x =，则223202(14)22222421n nnn i i a =-=++++==⋅--∑L ，令1x =-，则20[(1)]0n ii i a =-=∑，所以20nn i i b a ==∑1(242)412n n =⋅-=-， ……6分根据已知条件可知，012233(41)(41)(41)(1)(41)n n nn n n n n n d C C C C C =--+---++--L01223301234[(4)(4)(4)(4)][(1)]1n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C =+-+-+-++---+-+++-+L L(14)(11)1(3)1n n n =---+=-+，所以(3)1n n d =-+， ……8分将41n n b =-、(3)1n n d =-+代入不等式(1)n n t d b ⋅-≤得，(3)41n n t ⋅-≤-，当n 为偶数时，41()()33n n t ≤-，所以22415()()333t ≤-=；当n 为奇数时，41[()()]33n n t ≥--，所以1141[()()]133t ≥--=-；综上所述，所以实数t 的取值范围是5[1,]3-. ……10分。