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子群的判定条件及其应用子群是群的一个重要概念，指的是一个群的一个子集，该子集同时也是一个群。
在群论中，有着许多子群的判定条件及其应用。
本文将介绍这些判定条件以及它们的应用。
（1）拉格朗日定理。
拉格朗日定理是群论中的一个基本定理，它指出群的任何一个子群的阶（元素数）都是原群阶的约数。
也就是说，如果H是G的一个子群，那么|H|一定是|G|的约数。
（2）子群判别法。
如果一个非空集合H满足以下三个条件，则H是一个群G的子群：① 乘法封闭性。
对于a，b∈H，必须有ab∈H。
② 逆元封闭性。
对于H中的每个元素a，都存在一个元素a-1∈H，使得aa-1=e，其中e是群G的单位元。
③ 结合律。
对于H中的每个元素a，b和c，必须满足(a·b)·c=a·(b·c)。
（3）循环子群判定法。
如果一个子集H由一个群G的某个元素a产生，即H={a^n|n∈Z}，那么H是G的一个循环子群。
（4）正/负因子子群。
如果G是一个乘法群，那么一个由G中的正元素（即，那些乘起来仍为正元素的元素）构成的子集H也是G的子群。
同样地，一个由G中的负元素（即，那些乘起来仍为正元素的元素的相反数）构成的子集也是G的子群。
2. 子群的应用（1）群分类。
子群可以帮助我们对群进行分类。
通过检查一个群的所有子群，我们可以确定该群的一些性质，例如是否是阿贝尔群（交换群）、有限群还是无限群、是否具有某些特殊的子群等等。
（2）群同构。
如果两个群具有相似的子群结构，那么它们就是同构的。
因此，我们可以通过比较它们的子群来确定群是否同构。
（3）应用于密码学。
群论在密码学中有着广泛的应用，其中就包括子群。
例如，如果我们将一些固定的数用来生成一个子群，那么这个子群的阶可以被用于加密和解密信息。
（4）应用于几何学。
几何学中的变换群涉及到一些子群，例如面对称群、球面旋转群等。
这些子群对于理解几何变换和对称性起着关键作用。
总之，子群的判定条件及其应用在群论中具有重要意义。
【关键字】精品有限群的几乎次正规子群与可解性摘要：引进几乎次正规子群的概念，应用某些子群的几乎次正规性给出了有限群为可解群的若干充分条件。
关键词：几乎次正规子群可解群有限群在群论中，人们常常利用有限群g的子群的性质来研究原群的结构。
1996年王燕鸣引进了c-正规的概念，称有限群g的子群h在g中c-正规的，如果存在g的正规子群k，使得g=hk且h∩k≤hg。
2003年张新建等减弱c-正规的条件，给出了s-正规子群的概念，称有限群g的子群h在g中s-正规的, 如果存在g的次正规子群k，使得g=hk且h∩khsg,其中hsg是包含在h中的g的最大次正规子群。
2006年杨高才从另一个方面减弱了c-正规的条件，给出了几乎正规子群的概念，称有限群g的子群h在g中几乎正规，如果存在g的正规子群n，使得nh和n∩h都是g的正规子群。
本文将引入一个比s-正规和几乎正规更加广泛的概念——几乎次正规，并研究某些子群具有几乎次正规性质的有限群的结构。
文中的所有群皆为有限群，soc(g)表示g的基柱；h g表示h是g的正规子群；h g表示h是g 的次正规子群；h≤g表示h是g的子群;h＜g表示h是g的真子群；sylp(g)表示群g的sylowp-子群集合；表示某一素数集；(g)表示|g|的素因子的集；p,q表示素数。
所用的概念和符号参照文献[4]。
1 基本概念定义1 群g的子群h称为在g中几乎次正规，如果存在g的一个次正规子群n，使得nh 和n∩h都是g的次正规子群。
注：显然s-正规子群, 几乎正规子群和次正规子群一定是几乎次正规子群。
但反之不真。
事实上，设g=s4为四次对称群，h1={(1),(1,2,3),(1,3,2)}是g的几乎次正规子群，但不是g 的s-正规子群，也不是g的次正规子群。
h2={(1),(1,2),(3,4)}是g的几乎次正规子群，但不是g的几乎正规子群。
为了获得本文的主要结果，我们先证明下面的引理。
-----------------------------------Docin Choose -----------------------------------豆 丁 推 荐↓精 品 文 档The Best Literature----------------------------------The Best Literature2009年 1月 China Water Transport January 2009收稿日期：2008-12-10作者简介：王娜儿（1979-），女，浙江舟山人，浙江海洋学院数理与信息学院讲师，研究方向为群论。
判定正规子群的若干条件及方法王娜儿（浙江海洋学院 数理与信息学院，浙江 舟山 316004）摘 要：本文给出了判定群的子群成为正规子群的若干条件，并应用这些条件解决某些实际问题，本文的结论对如何寻找正规子群有一定的启示。
关键词：正规子群；可解群；单群中图分类号：O171 文献标识码：A 文章编号：1006-7973（2009）01-0264-02一、前言正规子群是群论中非常重要的子群，它在研究群可解性、同构分类等方面扮演尤为重要的角色。
事实上，对于群G ，如何确定子群H 是否为G 的正规子群对于判定G 是否可解起到关键作用。
所以讨论子群成为正规子群的条件也显得非常的重要，本文从正规子群的定义出发，给出了子群成为正规子群的若干条件，并应用部分条件解决实际问题。
二、判定正规子群的已知结果定义1：G 是群，≤H G 。
若g G ∀∈，有=gH Hg ，则称H 是G 的正规子群．记为H G 。
定理1：,≤H G 则下述条件等价： （1）a G ∀∈，有aH Ha =； （2）a G ∀∈，有⊆aH Ha ；（3）a G ∀∈，有1−⊆aHa H ；（4）a G ∀∈，有1aHa H −=；（5）a G ∀∈，h H ∈均有1aha H −∈。
定理2：设,()≤H G N H 表示H 的正规化子，则⇔ H G ()=G N H 。
§3.4 正规子群同态基本定理在本节中讨论群的同态基本定理。
首先考虑一种特殊的等价关系。
3.4.1 定理H是G的子群，在G上定义二元关系~如下：a ~ b当且仅当ab-1∈H，则~是G上等价关系。
证(1) 任给a∈G，都有aa-1 = e∈H，所以a ~ a；(2) 任给a, b∈G，如果a ~ b，则ab-1∈H，所以ba-1 = (b-1)-1a-1 = (ab-1)-1∈H，因此b ~ a；(3) 任给a, b, c∈G，如果a ~ b且b ~ c，则ab-1, bc-1∈H，所以ac-1 = aec-1 = a(b-1b)c-1 = (ab-1)(bc-1)∈H，因此a ~ c。
■这种等价关系记为~H，称为由H生成的等价关系。
由H生成的等价关系中的等价类有一个明显的表示。
3.4.2 定理H是G的子群，~H是由H生成的等价关系。
(1) 任给a∈G，都有a= Ha = {ha | h∈H}。
特别地，e= He = H。
(2) 任给a∈G，都有|a|= |H|。
证(1) 任给x∈a，都有x ~H a，由~H的定义得xa-1∈H，设xa-1 = h∈H，则x = xe = x(a-1a) =(xa-1)a = ha，因此y∈Ha。
任给x∈Ha，都存在h∈H，使得x = ha，所以xa-1 = (ha)a-1 = h(aa-1) = he = h∈H，由~H的定义得x ~H a，因此x∈|a|。
(2) 取H到a的映射F：H→a F(h) = ha。
显然F是满射。
任给x, y∈H，如果F(x) = F(y)，则xa = ya，由消去律得x = y，所以F是单射。
因为F是双射，所以|a| = |H|。
■因为e= H，所以a~H b当且仅当ab-1∈H=e当且仅当ab-1~H e。
1定理3.4.2的(2)告诉我们，商集G/~H中每个元素（作为G的子集）的基数都是|H|，这样的元素共有|G/~H|个，所以有：3.4.3 定理如果H是G的子群，则| G | = |H|⋅|G/~H|。
（VIII ）正规子群，商群与同态基本定理一、正规子群（不变子群）GH G H Ha aH G a G H 的正规子群，记为为则称，有如果、定义：设=∈∀≤,,1·G 为交换群（Abel 群），G 的子群为正规子群。
·{e}，G 是平凡正规子群（trivial ） HaHa HaHa H h G a H aha G H G H =⊆∈∈∀∈⇔≤---111)3()2(,,)1(,2 则设、判法Eg1.)()(R GL R SL n nEg2.群的中心G G C G x xa ax a G C )(},,|{)(∈∀==Eg3.44S AEg4.)}23)(14(),24)(13(),34)(12(),1{(K 4=四元群，Klein ，44S K ，44A K 正规子群不具有传递性！如H={（1），（12）（34）}，H 左三角K4，K4左三角S4，但是H 不是S4的正规子群。
二、商群的商群关于称为是群则在上述条件下上定义代数运算：在、【商群】：设H G H G HG bH aH H ab bH aH H G G a aH H G G H ),/(/,,)(:/}|{/,1⋅∈∀=⋅∈= .||||/]:[/2H G H G H G G H H G 的阶是，且当时有限群时，中的指数在的阶是、商群 （当G 为加群时，则正规子群N 的陪集为a+N ，商群G/N 的运算为（a+N ）+(b+N)=(a+b)+N ）三、群同态基本定理1、同态的像、同态核设G G f →:是群同态，同态的像}|)({Im G a a f f ∈=，核})(|{ker e a f G a f =∈= 则有：（1）G f ≤Im（2）G f ker 2、群同态基本定理设G G f →:是群同态⇒群同构：f f G Im ker /≅ 特别地，当f 为满射时，G f =Im 则有G f G ≅ker /。
正规子群的判定条件
在群论中，一个子集要成为一个正规子群，需要满足以下条件：
1. 封闭性：该子集对于群的乘法运算封闭，即对于任意的元素a和b属于该子集，它们的乘积ab也属于该子集。
2. 单位元：该子集包含原群的单位元素，即恒等元素e。
3. 逆元：对于该子集中的任意元素a，它的逆元素a⁻¹也属于该子集。
4. 对称性：对于该子集中的任意元素a和原群中的任意元素g，如果ag和ga都属于该子集，则称该子集是正规子群。
具体来说，如果一个子集N满足对于任意的元素a属于N和任意的元素g属于原群G，都有ag和ga都属于N，那么N就是G的正规子群。
正规子群的重要性在于它们可以作为群的商空间，用于定义群的商群和因子群等概念，进一步研究群的结构和性质。
