§3.2 不变子群和商群

构成 ( Z , ) 的一个分类：
[0],[1],[2],[3]
Z 4 Z 4 Z 0 , 1 , 2 , 3
①分类中存在一个特殊的类[0]=4Z是Z的不变 子群；每个类正好是这个子群乘上这个类中 任取定的一个元素[i]=i+[0].
② 运算[a][b]=[a+b]
商群有下列常用的性质:
1)商群 G / N 的阶＝ [G : N ]. 2)如果 G 是有限群, 则商群
N 3)有限群的商群还是有限群, 且其任一
商群的阶是群阶数的因数.
G / N 的阶＝ [G : N ] ＝
G
.
G , 则 e eN N 为商群 G / N 的单位元, a 1 N 为 aN 的逆元.
近世代数
§3-2 正规子群和商群
1. 正规子群的定义 2.正规子群的性质
3.商群
判定子群的充要条件
定理2 设 H 是群 G 的非空子集, 则 H G 的充分必要条件是： (1) a, b H ，有 ab H 1 (2) a H ，有 a H 定理3 设 H 是群 G 的非空子集, 则 H G (3) a, b H ，有 a 1b H . 定理4 设 H 是群 G 的非空有限子集, 则 H G a, b H ，有 ab H (*).
五、商群
G / N {aN | a G } N G 关于 aN bN ( ab) N 做成群.
证明： ① N G / N ，故非空； ② 有乘法运算 ( aN )( bN ) ( ab) N ； ③ ( aNbN )cN aN ( bNcN ) ( abc ) N ，有结合律； ④ (eN )(aN ) aN ,有左单位元 eN N ； 1 ⑤ ( a N )( aN ) eN ,有逆元.
G S {(1}, (12), (13), (23), (123), (132)} 3 例4 H {(1), (12)} N {(1), (123), (1 3 2)}
解： 因为 H (13) {(13), (123)}
(13) H {(13), (132)} ，所以 H 不是 G 的不变子群.
4) N
5)交换群的任一子群都是交换群, 且其商群 也是交换群.
(aN )(bN ) ( ab) N ( ba) N ( bN )( aN )
6)循环群的任一子群为不变子群，任一商群 都是循环群. （设 G ( a ) 为循环群, N G 由于循环群为交换群，且循环群的子群为 循环群，故 N
例2
n次交代群A n 是n次对称群Sn的一个正规子群. 证 :由于任意n次置换与其逆 有相同的奇偶
1
性, 从而易知A n 1 A n , 故 A n Sn .
思考题
我们知道“子群”的概念具有传递性: N H ，H G N G ，那么“正规子群”是否也具有传递性呢？ N H, H G N G ？ 例3 S4
性质3 群 G 的任何两个不变子群的交还是 G的不变子群.
四、不变子群的性质（续）
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定理2 群 G 与 G 同态， 的同态满射，则
(1)
是G
G
到G
H
G H (H )
G H (H )
1
(2) H
G
四、不变子群的性质（续） 定理3 不变子群与子群的乘积是子群；
不变子群与不变子群的乘积是不变子群.
定理6

有限交换群G为单群的充分必要条件是, G 为素数阶群.
设 G 为素数.则G是一个素阶循环群, 从而 反之, 设G是单群且 G n 1.在G中任取 元素a e.若 a n , 则由于G是交换群, 故 e a G. 这与G是单群矛盾.因此必 a n , 从而G a 为n阶循环群, 再由定理5可知, n必为素数. G显然是一个单群.
K4 {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} B4 {(1), (12)(34)} B4 K 4 K 4 S4 B4 不是 S4 的不变子群.
四、不变子群的性质 性质1
N H , H G ，但 N 未必是 G
的不变子群，即无传递性. 性质2
N H G ，且 N G，则 N H .
五、商群
G / N {aN | a G} N G 关于 aN bN ( ab) N 做成群.
定义 2
G ，则称 G / N {aN | a G} 关于 aN bN ( ab) N 做成的群为 G 关于
设N
N 的商群.
特例----剩余类加群
例
整数加群 ( Z , )，模4的剩余类：
1 , i , j , k . 而 1 G显然.又令 N i , x G , 则由于N {1,1, i,i, }, 故易知 {x , x , xi , xi } {x , x , ix ,ix }, 即xN Nx , 从而 i G. 同理可证 j 与 k 也是G的正规子群. 因此G是一个哈密尔顿群 .
因为 (1) N {(1), (123), (132)} N (1 )
(12) N {(12), (23), (13)} N (1 2)
，所以 N 是 G 的不变子群.
思考 能找出S3的所有不变子群吗？
复习
不变子群的定义
例子
不变子群的判定
定义 1 N G 且 a G , aN Na ,则称 N 是群 G 的一个不变子群（或正规子群） ，记作 N
证明:
小结 1.正规子群的定义及性质 2.商群及哈密尔顿群 作业：2. 3. 7

推论

Pq(p,q互为素数) 阶交换群必为循环群.
六 哈密顿群与单群 定义2 设G是一个非交换群.如果G的每个子群都是G 的正规子群,则称G是一个哈密尔顿群. 定义3 阶大于1且只有平凡正规子群的群,称为单群. 例6 四元数群 G={1,i, j, k, -1 –i, -j, -k} 是一个哈密尔顿群. 证: 首先,G是非交换群显然.其次,由上一章习题2.7 知G的非平凡子群只有
a ps, 则 a s p, 定理成立. 若p不整除 a , 令 a m 1, 则(m, p) 1. 由于 m pn, n p , H m 故m n.令H a , 则由于G是交换群, 故 n 1 n. m 于是由归纳假设, 群 G 有p阶元, 任取其一 H 设为bH, 且 b r , 则 G (bH) r b r H r H, 从而p r , 令r pt, 则 b t p.
G.
r
r r
bN a N ( aN ) 所以 G / N {bN | b G} (aN ) 为循环群.）
b G , b a
练习：
1. 设G 为整数加群, N 5 g g G （1）证明 N
G ；（2）求 G / N .
2. G S3 , N {(1), (123), (132)}
定义 1 N G 且 a G , aN Na ,则称 N 是群 G 的一个不变子群（或正规子群） ，记作 N
二、不变子群的定义
G .
例1 任意群 G 的两个平凡子群都是不变子群. 例2 任意群 G 的中心
C (G ) {c G | a G, ca ac}
都是不变子群.(证明) 例3 交换群的子群 都是不变子群. 如，nZ是Z的正规子群.
（1）证明 N
G ；（2）求 G / N .
六、 商群的应用


定理5 设G是一个pn阶有限交换群,其中p是一个素数,则G有p阶元 素,从而有p阶子群. 证:
对n用数学归纳法. 当n 1时, G是p阶循环群, 则G的生成元就是一个p阶 元, 定理成立. 假定定理对阶为pk(1 k n)的交换群成立, 下证对 阶为pn的交换群G定理成立. 在G中任取a e, 若p a , 令
二、不变子群的定义
G .
例1 任意群 G 的两个平凡子群都是不变子群. 例2 任意群 G 的中心
C (G ) {c G | a G, ca ac}
都是不变子群.(证明) 例3 交换群的子群 都是不变子群. 如，nZ是Z的正规子群.
三、不变子群的判定
定理1
设
N G ，则 N 是 G 的不变子群 a G ,有 aN Na a G ,有 aNa1 N a G ，n N ,有 ana1 N