第讲正规子群与群论的基本课题第讲正规子群与群论的基本

北大群论讲义群论作为数学中的一个重要分支，对于数学和其他领域都具有重要的影响。

北大群论讲义作为一份权威的讲义资料，系统地介绍了群论的基本概念、性质和定理，是学习群论的重要参考资料之一。

首先，群论的基本概念是群的定义，群的运算，群的性质等。

群论讲义详细介绍了群的定义，即满足封闭性、结合律、单位元、逆元四个性质的代数结构。

讲义还介绍了群的运算，包括群的加法和乘法运算，以及群的性质，如群的阶、子群、同态等重要性质。

其次，群论讲义还介绍了群的基本定理，如拉格朗日定理、群的同态基本定理、群的同态基本定理等。

这些定理是群论的基础，对于理解群的结构和性质至关重要。

拉格朗日定理是群论中的重要定理之一，它说明了群的子群的阶必须能整除群的阶。

群的同态基本定理则说明了群的同态的核和像的性质，是群同态的基本定理之一。

另外，群论讲义还介绍了群的群同态、群的同构、群的正规子群等概念。

群的群同态是群论中的重要概念，它描述了群之间的映射，保持群的结构和运算的映射。

群的同构是群的同态的特殊情况，即群之间的双射同态。

群的正规子群是群的特殊的子群，它的左陪集和右陪集相等，具有重要的性质和应用。

总的来说，北大群论讲义系统地介绍了群论的基本概念、性质和定理，是群论的重要参考资料之一。

群论作为数学的一个重要分支，对于数学的发展和应用有重要的影响。

群论的概念和定理不仅在数学中具有重要的地位，还在物理、化学、计算机等领域有着广泛的应用。

希望学习群论的同学可以通过学习北大群论讲义，深入理解群论的基本概念和定理，为将来的学习和研究奠定坚实的基础。

群论的学习不仅可以提高学生的抽象思维能力，还可以培养学生的逻辑推理能力，是数学学习的重要内容之一。

浅谈正规子群与理想一、正规子群是群论的核心部分，对刻画群的性质有十分重要的作用.下面给出正规子群的定义：定义：一个群G 的一个子群N 叫做一个正规子群，假如对G 的每一个元a 来说，都有N a aN =.例1、交换群G 的任意子群H 都是G 的正规子群。

因为对任意a G ∈,有{|}{|}aH ah h H ha h H Ha=∈=∈=.由于正规子群仅要求G 的两个形如aH 与H a 的子集相等，这与G 中任何两个元素a ,b 可交换，即ab ba =，是有区别的，关于这一点，要引起我们的注意.理想的定义：设I 是环R 的一个非空子集，如果 (1)对任意,a b I ∈,有a b I -∈(2)对任意a I ∈,任意r R ∈,有,ar ra R ∈ 则称I 是环R 的一个理想.由于（1），一个理想是一个加群。

由于（2），I 对于乘法来说是闭的，所以一个理想一定是一个子环，但（2）不仅要求I 的两个元的乘积必须在I 里，而且进一步要求，I 的一个任意元同R 的一个任意元的乘积都必须在I 里.例1、 在整数环Z 中1{2|}2I n n Z Z =∈=，2{|}I an n Z aZ =∈=, ()a Z ∈,则1I ,2I 是Z的理想.二、下面我们给出正规子群与理想性质的比较（一）性质1：设H 是G 的子群，则以下几个命题是互相等价的： (1)对任意a G ∈,有aH H a = (2)对任意a G ∈,任意的h H ∈,有1aha H -∈ (3)对任意a G ∈,有1aHa H -⊆ (4)对任意a G ∈有1aHa H -=. 证明：(1)⇒(2)：对任意a G∈,任意的h H ∈,有111ah H a ah h a ahah H-∈⇒=⇒=∈(2)⇒ (3):1aha H -∈，推出1aha H -⊆(3)⇒ (4) 由对任意的a G ∈，有1aha H -⊆，因而也有，即1a Ha H -⊆.故对任意的h H ∈，有11a ha h -=,所以111h ah a aH a --=∈，得1H aha -⊆，故1aHa H -= (4) ⇒(1) 所以11()aH a H aH a a H a aH H a --=⇒=⇒=.例：设{|,,0}01rs G r s Q r⎛⎫=∈≠⎪⎝⎭，则G 对于矩阵的乘运算做成一个群，且1110101r s r r s ---⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令1{|}01t H t Q ⎛⎫=∈⎪⎝⎭,容易验证H 是G 的一个子群。

§3.4 正规子群同态基本定理在本节中讨论群的同态基本定理。

首先考虑一种特殊的等价关系。

3.4.1 定理H是G的子群，在G上定义二元关系~如下：a ~ b当且仅当ab-1∈H，则~是G上等价关系。

证(1) 任给a∈G，都有aa-1 = e∈H，所以a ~ a；(2) 任给a, b∈G，如果a ~ b，则ab-1∈H，所以ba-1 = (b-1)-1a-1 = (ab-1)-1∈H，因此b ~ a；(3) 任给a, b, c∈G，如果a ~ b且b ~ c，则ab-1, bc-1∈H，所以ac-1 = aec-1 = a(b-1b)c-1 = (ab-1)(bc-1)∈H，因此a ~ c。

■这种等价关系记为~H，称为由H生成的等价关系。

由H生成的等价关系中的等价类有一个明显的表示。

3.4.2 定理H是G的子群，~H是由H生成的等价关系。

(1) 任给a∈G，都有a= Ha = {ha | h∈H}。

特别地，e= He = H。

(2) 任给a∈G，都有|a|= |H|。

证(1) 任给x∈a，都有x ~H a，由~H的定义得xa-1∈H，设xa-1 = h∈H，则x = xe = x(a-1a) =(xa-1)a = ha，因此y∈Ha。

任给x∈Ha，都存在h∈H，使得x = ha，所以xa-1 = (ha)a-1 = h(aa-1) = he = h∈H，由~H的定义得x ~H a，因此x∈|a|。

(2) 取H到a的映射F：H→a F(h) = ha。

显然F是满射。

任给x, y∈H，如果F(x) = F(y)，则xa = ya，由消去律得x = y，所以F是单射。

因为F是双射，所以|a| = |H|。

■因为e= H，所以a~H b当且仅当ab-1∈H=e当且仅当ab-1~H e。

1定理3.4.2的(2)告诉我们，商集G/~H中每个元素（作为G的子集）的基数都是|H|，这样的元素共有|G/~H|个，所以有：3.4.3 定理如果H是G的子群，则| G | = |H|⋅|G/~H|。

（VIII ）正规子群，商群与同态基本定理一、正规子群（不变子群）GH G H Ha aH G a G H 的正规子群，记为为则称，有如果、定义：设=∈∀≤,,1·G 为交换群（Abel 群），G 的子群为正规子群。

·{e}，G 是平凡正规子群（trivial ） HaHa HaHa H h G a H aha G H G H =⊆∈∈∀∈⇔≤---111)3()2(,,)1(,2 则设、判法Eg1.)()(R GL R SL n nEg2.群的中心G G C G x xa ax a G C )(},,|{)(∈∀==Eg3.44S AEg4.)}23)(14(),24)(13(),34)(12(),1{(K 4=四元群，Klein ，44S K ，44A K 正规子群不具有传递性！如H={（1），（12）（34）}，H 左三角K4，K4左三角S4，但是H 不是S4的正规子群。

二、商群的商群关于称为是群则在上述条件下上定义代数运算：在、【商群】：设H G H G HG bH aH H ab bH aH H G G a aH H G G H ),/(/,,)(:/}|{/,1⋅∈∀=⋅∈= .||||/]:[/2H G H G H G G H H G 的阶是，且当时有限群时，中的指数在的阶是、商群 （当G 为加群时，则正规子群N 的陪集为a+N ，商群G/N 的运算为（a+N ）+(b+N)=(a+b)+N ）三、群同态基本定理1、同态的像、同态核设G G f →:是群同态，同态的像}|)({Im G a a f f ∈=，核})(|{ker e a f G a f =∈= 则有：（1）G f ≤Im（2）G f ker 2、群同态基本定理设G G f →:是群同态⇒群同构：f f G Im ker /≅ 特别地，当f 为满射时，G f =Im 则有G f G ≅ker /。

群论正规化子引理
群论中的正规化子引理（也称为拉格朗日定理）是一个非常重要的结果。

它描述了群的子群和正规子群之间的关系。

正规化子引理陈述如下：
设$G$是一个有限群，$H$是$G$的一个子群。

则$H$在$G$中的左陪集的个数（记作$[G:H]$）等于$G$的阶数除以$H$的阶数，即$[G:H]=\frac{|G|}{|H|}$。

简言之，正规化子引理告诉我们，对于一个有限群$G$的子群$H$，左陪集的个数与$H$的阶数成正比。

特别地，如果
$H$是$G$的正规子群，则左陪集的个数是相同的，即$[G:H]=|G/H|$。

正规化子引理的证明比较简单，可以使用群的等价关系（左陪集的等价关系）和乘法原理来进行推导。

正规化子引理在群论中有广泛的应用。

例如，它可以用来证明某些群的阶数必须是特定形式的等结果。

另外，正规化子引理还可以用来推导群的同构定理，即如果存在一个群同构，那么它们的较小子群和正规子群之间的关系也是对应的。

总之，正规化子引理是群论中的一个基本结果，它揭示了子群和正规子群之间的重要关系，对于研究群结构和性质非常有价值。

课程思政教学设计-《群论》1. 课程简介本课程旨在引导学生深入了解群论的基本概念、原理和应用，培养学生的逻辑思维和抽象推理能力，以及加强学生的团队合作和沟通能力。

2. 教学目标- 熟悉群论的基本概念和术语- 掌握群论的基本性质和操作方法- 能够运用群论解决实际问题- 培养学生的团队合作和沟通能力3. 教学大纲第一章：群论基础- 群的定义- 群的性质和基本运算- 子群和陪集第二章：群同构和同态- 同构和同态的概念和性质- 同构定理和同态定理第三章：正规子群和商群- 正规子群的定义和性质- 商群和商映射- 商群定理第四章：群的生成和循环群- 子群的生成- 循环群的定义和性质- 循环群的分类第五章：群的作用和置换群- 群的作用和轨道- 置换群的定义和性质- 置换群的分类第六章：有限群和群的分类- 有限群的性质和分类- 有限单群的定理- 素数阶群和有限循环群4. 教学方法本课程将采用以下教学方法：- 讲授理论知识，结合具体例子进行解释和演示- 引导学生进行小组讨论和合作实践- 布置作业和课堂练，检验学生的理论掌握情况- 设计案例分析和实际应用任务，培养学生的问题解决能力5. 教学评估- 平时成绩：包括出勤情况、课堂表现、小组合作等因素，占总评成绩的30%- 作业和课堂练：包括理论题和计算题，占总评成绩的40% - 期末考试：综合考核学生对群论理论和应用的掌握情况，占总评成绩的30%6. 参考书目- 高等数学（第七版），北京师范大学出版社- 群论导论（第三版），清华大学出版社- Abstract Algebra, David S. Dummit and Richard M. Foote, Wiley以上为《群论》的课程思政教学设计，旨在提供学生全面掌握群论基本知识和方法的机会，并培养学生的逻辑思维和团队合作能力。

希望学生通过本课程的学习，能够拓展思维视野，运用群论解决实际问题，并在日常生活中体现出对共同社会价值的思考和追求。

不变子群之间相互对易,群与其所有不变子群同态一、不变子群（正规子群）的概念1. 定义- 设 G 是一个群，H 是 G 的一个子群，如果对于任意的 g∈ G，都有 gHg^-1=H，则称 H 是 G 的不变子群（正规子群），记作 Hleft G。

- 这里 gHg^-1={ghg^-1h∈ H}。

2. 不变子群的一些性质- 对于交换群（阿贝尔群）G，G 的任意子群都是不变子群。

因为对于任意 g∈G，h∈ H（H 是 G 的子群），有 ghg^-1=gg^-1h = h∈ H。

二、不变子群之间相互对易1. 对易的含义- 在群论中，这里说不变子群之间相互对易，可能是指对于群 G 的两个不变子群 H_1 和 H_2，满足某种交换性相关的性质。

2. 证明示例（假设一种简单情况）- 设 G 是一个群，H_1left G，H_2left G。

- 考虑 h_1∈ H_1，h_2∈ H_2，因为 H_1left G，对于任意 g∈ G，gH_1g^-1=H_1，同理 gH_2g^-1=H_2。

- 由于 H_1 和 H_2 都是不变子群，我们可以通过一些群的运算和不变子群的性质来推导 h_1h_2 = h_2h_1。

（具体的推导可能因群的结构和已知条件而不同，这里只是一个思路框架）三、群与其所有不变子群同态1. 同态的定义- 设 G 和 G' 是两个群，φ:G→ G' 是一个映射，如果对于任意的 a,b∈ G，都有φ(ab)=φ(a)φ(b)，则称φ是从 G 到 G' 的一个同态映射。

2. 群 G 与其不变子群 Hleft G 同态的证明思路- 定义一个自然的映射π:G→ G/H（其中 G/H 是 G 关于 H 的商群），π(g)=gH。

- 首先证明π是一个映射，即对于任意 g∈ G，π(g) 的定义是唯一的。

- 然后证明π满足同态的性质，即对于任意 a,b∈ G，π(ab)=(ab)H=aHbH=π(a)π(b)。

群论-群论基础物理学中的群论——群论基础主讲翦知渐群论教材教材与参考书教材：⾃编参考书群论及其在固体物理中的应⽤参考书：群论及其在固体物理中的应⽤（徐婉棠）物理学中的群论（马中骐）物理学中的群论基础（约什）群论-群论基础第章群论基础第⼀章群的基本概念和基本性质§1.1 集合与运算§1.2群的定义和基本性质§1.3 ⼦群及其陪集13§1.4 群的共轭元素类§1.5 正规⼦群和商群§1.6 直积和半直积16§1.7 对称群§1.8 置换群§1.1集合与运算抽象代数的基本概念1集合抽象代数研究的对象什么都不是，所以什么都是集合的直乘：C=A×B，表⽰“C的元素是由A和B两个集合的元素构成的⼀对有序元”，也称为A和B的直乘，⽤符号表⽰即：, a2,…, a i,…}，B={b1, b2,…, b j,…}，则集合设A={aA}B b b}则集合1C=A×B={(a i,b j)| a i∈A, b j∈B}是A与B的直乘。

定义设是两个集合若有种规则使得2映射定义：设A 与B 是两个集合，若有⼀种规则f ，使得A 的每⼀个元素在B 上都有唯⼀的元素与之对应，这种对应规则f 的⼀个映射记为就称为A 到B 的个映射，记为f ：A → Bf ：x → y = f ( x ) ,或写为f y f (),式中y 称为x 在B 上的象，⽽x 称为y 在A 上的原象。

对应规则函数对应规则：函数满射单射⼀⼀映射逆映射：f -1恒等映射：e变换恒等映射：体系A 的⼀个⾃⾝映射f 称为A 的⼀个变换，若f 是⼀⼀映射则称为对称变换⼀⼀变换有性质：射，则称为对称变换。

变换有性质：f f -1= f -1f = e3⼆元运算定义：若对A 上的每对有序元(a, b ) ，在A 上有唯确定的A每⼀对a,b)A上有唯⼀确定的c与之对应，即有⼀规则R 使得A×A → A，则R 称为A上的⼀个⼆元运算，记为()()R：A×A → A，或R：a, b ) →c= R(a, b)⼀般记为c = a·b，或c = ab。