§3.4 正规子群同态基本定理在本节中讨论群的同态基本定理。
首先考虑一种特殊的等价关系。
3.4.1 定理H是G的子群，在G上定义二元关系~如下：a ~ b当且仅当ab-1∈H，则~是G上等价关系。
证(1) 任给a∈G，都有aa-1 = e∈H，所以a ~ a；(2) 任给a, b∈G，如果a ~ b，则ab-1∈H，所以ba-1 = (b-1)-1a-1 = (ab-1)-1∈H，因此b ~ a；(3) 任给a, b, c∈G，如果a ~ b且b ~ c，则ab-1, bc-1∈H，所以ac-1 = aec-1 = a(b-1b)c-1 = (ab-1)(bc-1)∈H，因此a ~ c。
■这种等价关系记为~H，称为由H生成的等价关系。
由H生成的等价关系中的等价类有一个明显的表示。
3.4.2 定理H是G的子群，~H是由H生成的等价关系。
(1) 任给a∈G，都有a= Ha = {ha | h∈H}。
特别地，e= He = H。
(2) 任给a∈G，都有|a|= |H|。
证(1) 任给x∈a，都有x ~H a，由~H的定义得xa-1∈H，设xa-1 = h∈H，则x = xe = x(a-1a) =(xa-1)a = ha，因此y∈Ha。
任给x∈Ha，都存在h∈H，使得x = ha，所以xa-1 = (ha)a-1 = h(aa-1) = he = h∈H，由~H的定义得x ~H a，因此x∈|a|。
(2) 取H到a的映射F：H→a F(h) = ha。
显然F是满射。
任给x, y∈H，如果F(x) = F(y)，则xa = ya，由消去律得x = y，所以F是单射。
因为F是双射，所以|a| = |H|。
■因为e= H，所以a~H b当且仅当ab-1∈H=e当且仅当ab-1~H e。
1定理3.4.2的(2)告诉我们，商集G/~H中每个元素（作为G的子集）的基数都是|H|，这样的元素共有|G/~H|个，所以有：3.4.3 定理如果H是G的子群，则| G | = |H|⋅|G/~H|。
■这个结果用在有限群上就有：3.4.4 定理Lagrange定理G是有限群。
任给G的子群H，都有|H| | |G|。
■如果|a| = d，则|<a>| = d，所以有：3.4.5 定理G是有限群。
任给a∈G，都有|a| | |G|。
■现在考虑正规的等价关系。
群只有一个运算⋅，所以群上的正规等价关系是条件是：如果x ~ y, a ~ b，则xa ~ yb。
这个条件称为正规性条件。
3.4.6 引理~是群G上的正规等价关系。
(1) 任给a, b∈G，如果a ~ b，则a-1 ~ b-1。
(2) e是G的子群。
证(1) 显然有a-1~a-1, b-1~b-1，由正规性得a-1ab-1 ~ a-1bb-1，所以b-1 ~ a-1，由对称性得a-1 ~ b-1。
(2)2.1 e∈e。
2.2 任给a, b∈e，都有a ~ e, b ~ e，由正规性得ab ~ ee= e，所以ab∈e。
2.3 任给a∈e，都有a ~ e，由(1)得a-1 ~ e-1 = e，所以a-1∈e。
■3.4.7 定理G是群，~是G上的正规等价关系，则存在G的子群H，使得~ = ~H。
证取G的子群H =e，证明~ = ~H。
如果a ~ b，则由正规性得ab-1 ~ bb-1 = e，所以ab-1∈e= H，因此a ~H b。
23如果a ~H b ，则由~H 的定义得ab -1∈H =e ，所以ab -1~ e ，由正规性ab -1b ~ eb ，所以a ~ b 。
■定理3.4.7说明了G 上任何一个正规等价关系都是由G 的子群生成的，但并不是每个子群都能生成正规等价关系。
3.4.8 定义 正规子群 H 是G 的子群，如果~H 是正规等价关系，则称H 是G 的正规子群，记为H G 。
3.4.9 例 {e }和G 都是G 的正规子群。
如果群G 除{e }和G 外没有其它正规子群，则称G 为单群。
3.4.10 例 G 是有限群，H ＜G 。
如果||||H G = 2，则H G 。
特别地，因为|S ||S |n n= 2，所以A n S n 。
取a ∉H =e ，则G /~H ={e ,a }，任给x ∈G ，都有x ~H e 或x ~H a ，因此⌝(x ~H e ) 当且仅当 x ~H a 。
先证明如果x ~H y ，则x -1 ~H y -1。
设x ~H y 。
如果x -1 ~H e ，则x ~H e ，所以y ~H e ，所以y -1 ~H e ，所以y -1 ~H e ，因此x -1 ~H y -1。
如果x -1 ~H a ，则⌝(x -1 ~H e )，所以⌝(x ~H e )，所以⌝(y ~H e )，所以⌝(y -1 ~H e )，所以y -1 ~H a ，因此x -1 ~H y -1。
再证~H 是正规的。
设x ~H s ，y ~H t ，则由以上所证得y -1 ~H t -1，所以x ~H y -1 当且仅当 s ~H t -1。
如果xy ~H e ，则x (y -1)-1 ~H e ，所以x ~H y -1，所以s ~H t -1，所以s (t -1)-1 ~H e ，所以st ~H e ，因此xy ~ st 。
如果xy ~H a ，则⌝(xy ~H e )，所以⌝(x (y -1)-1 ~H e )，所以⌝(x ~H y -1)，所以⌝(s ~H t -1)，所以⌝(s (t -1)-1 ~H e )，所以⌝(st ~H e )，所以st ~H a ，因此xy ~ st 。
3.4.11 例 G 是一个群，集合Z(G ) = {a | a ∈G 且任给x ∈G ，都有ax = xa}称为G的中心，Z(G)是G的正规子群。
先证Z(G)是G的子群。
任给a, b∈Z(G)，任给x∈G，都有(ab-1)x = a(b-1x) = a(x-1b)-1 = a(bx-1)-1 = a(xb-1) = (ax)b-1= (xa)b-1 = x(ab-1)，所以ab-1∈Z(G)。
再证Z(G)是G的正规子群。
如果x ~Z(G)s，y ~Z(G)t，则由~Z(G)的定义得xs-1, yt-1∈Z(G)，所以xs-1yt-1∈Z(G)，由yt-1∈Z(G)得s-1yt-1 = yt-1s-1，所以xy(st)-1 = xyt-1s-1 = xs-1yt-1∈Z(G)，由~Z(G)的定义得xy ~Z(G)st。
■用H本身的条件来刻画更为方便。
3.4.12 定理H是G的子群。
H是G正规子群当且仅当任给a∈G，任给h∈H，都有aha-1∈H。
证设H是G正规子群。
任给a∈G，任给h∈H，都有h ~H e，由正规性得ah ~H ae = a，由~H的定义得aha-1∈H。
设任给a∈G，任给h∈H，aha-1∈H。
如果x~H s，y~H t，则由~H的定义得xs-1∈H且yt-1∈H，由xs-1∈H得s-1x= x-1(xs-1)x∈H，所以s-1xyt-1∈H，因此xy(st)-1= xyt-1s-1 = s(s-1xyt-1)s-1∈H，由~H的定义得xy~H st。
■3.4.13 例同构保持正规子群不变。
H1＜G1且H2＜G2，如果H1≌H2且G1≌G2，则H1 G1当且仅当H2 G2。
3.4.14 例交换群的每个子群都是正规子群，因为在交换群中有aha-1 = h。
特别地，n Z是Z的正规子群。
3.4.15 例取例3.2.5中的群R*×R，则{1}×R是它的正规子群，而R*×{0}不是它的正规子群。
任给<a, b>∈R*×R，任给<1, h>∈{1}×R，都有<a, b><1, h><a, b>-1 = <1, bh>∈{1}×R。
取<1, 1>∈R*×R，<2, 0>∈R*×{0}，则4<1, 1><2, 0><1, 1>-1 = <2, -1>∉R*×{0}。
和子群不一样，正规子群没有传递性。
从H K且K G一般不能得到H G。
如虽有B A4且A4 S4，但没有B S4。
但关于子群的另一性质对于正规子群仍然成立。
3.4.16 定理如果H G，K＜G且H⊆K，则H K。
■因为每个正规的等价关系都是由正规子群生成，我们用正规子群来重述群的商结构。
3.4.17 定理<G, ⋅, e>是群，H G，则<G / ~H, ⋅, >是群。
证(1)任给x,y,z∈G / ~H，(x y)z=zx=x(y z)。
(yz(=)xy)(2) 任给x∈G / ~H，e x=ex=x。
(3) 任给x∈G / ~H，取1-x∈G / ~H，则x1-x=1-xx=e。
■群<G, ⋅, e>的商结构<G / ~H, ⋅, e>称为商群，因为~H由H生成，而e= H，所以也把商群<G / ~H, ⋅, e>记为<G / H, ⋅, H>，简记为G / H。
由定理3.4.15还可知，在商群<G / ~H, ⋅, e>中，a的逆元素a-1就是1-a。
3.4.18 例n≥1，Z对于n Z的商群Z / n Z≌Z / n。
3.4.19 例由定理2.3.14可知In(G)＜Aut(G)，由习题3.3.8可知，任给ηa∈In(G)，任给σ∈Aut(G)，都有σ◦ηa◦σ-1∈In(G)，所以In(G) Aut(G)。
Aut(G)对于In(G)的商群Aut(G) / In(G)称为G的外自同构群。
以下考虑群的同态，G1和G2是两个群，σ是G1到G2的映射。
σ是同态条件是：(1) σ(e1) = e2。
(2) 任给a, b∈G，都有σ(ab) = σ(a)σ(b)。
53.4.20 定理如果σ是G1到G2的同态，则任给a∈G，都有σ(a-1) = σ(a)-1。
证同定理3.2.23。
■3.4.21 例H是G的子群，取σ：H→Gσ(a) = a则σ是H到G的单同态，因为σ(e) = e, σ(ab) = ab = σ(a)σ(b)。
如果H是G的真子群，则σ不是满同态。
3.4.22 例F：S n→U2F(σ) = sgn(σ) 是S n到U2的同态，因为F(e) = 1, F(σ◦τ) = sgn(σ◦τ) = sgn(σ)sgn(τ) = F(σ)F(τ)。
显然，F 是满同态。
3.4.23 例取例3.2.5中的群R*×R，取σ：R*×R→R* σ(<a, b>) = a则σ是R*×R到R*的满同态，因为σ(<1, 0>) = 1，σ(<a1, b1><a2, b2>) = σ(<a1a2, a1b2+b1>) = a1a2=σ(<a1, b1>)σ(<a2, b2>)。
