正规子群和群基本同态定理

本科毕业论文题目群论四大定理的探讨专业数学与应用数学作者姓名庄静学号**********单位聊城大学数学科学学院指导教师李令强2014 年 05 月教务处编原创性声明本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下，独立进行研究取得的成果。

除文中已经引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料。

对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均在文中以明确的方式表明。

本人承担本声明的相应责任。

学位论文作者签名：日期：指导教师签名:日期：目录1.引言 (1)2.群同态与同构基本定理 (2)2.1 群同态与同构 (2)2.2 群同态基本定理 (6)2.3 群同构基本定理 (7)2.4 群同态与同构的意义 (10)3.有限群理论重要定理 (11)3.1 Sylow定理 (11)3.2 有限交换群的基本定理 (16)4.定理的应用 (22)4.1 群同态与同构定理的应用 (22)4.2 Sylow定理和有限交换群基本定理的应用 (23)5.小结 (27)6.参考文献 (28)7.致谢 (29)摘要在了解有关群论的基本定义的基础上把握群论的四大定理:群同态基本定理；群同构基本定理；Sylow定理；有限交换群基本定理，理解并掌握定理的深刻含义.群同态基本定理与群同构基本定理主要探讨的是有关群的结构、数量、联系的问题,在这两个定理的研究中，是从已知的群出发，来研究与之相关联的群，一步一步慢慢引申，更进一步来研究各类群之间的联系，把成千上万的，看起来杂乱无章的群进行归类，再研究每一类群的内在结构.有限群又是群论中非常值得研究的一类群，先通过介绍Sylow引理，循序渐进的探讨了Sylow三大定理的逻辑证明过程.紧接着又进一步探讨了另一种特殊的而又重要的群——有限交换群，探究这一类群是为了对群进行分解，分解成我们所熟知的一些群类，便于研究与应用.在最后论述这四大定理的一些应用，从而说明其重要性.关键词：群；群同态基本定理；群同构基本定理；Sylow定理；有限交换群基本定理.AbstractOn the basis of the understanding about the basic definition of group theory to grasp the four theorems of group theory: Group; Group of homomorphism fundamental theorem; The basic theorem; The Sylow theorem; The basic theorem of finite Abelian group, understand the profound meaning and master theorem. Group of homomorphism fundamental theorem and the basic theorem mainly discussed about the group structure, the number and contact problem.To solve this problem is to rely on basic theorem group homomorphism and isomorphism theorems, in the study of these two theorems, starting from the known group, to the research of the group, step by step slowly extended, further to study the connection between the various groups, tens of thousands of, seem to be the group are classified, then study the internal structure each group. A finite group is a very worthy of study groups in group theory. This paper first introduce Sylow lemma theorem of Sylow, step by step on three theorems of the logic process of proof. Followed by a further discussion group important another special and -- finite abelian groups, study of this group is to decompose into the group, we know some class of groups, for research and application. In the last of the four theorems are discussed some applications ,to show its importance.Key words: Group; Group of homomorphism fundamental theorem; The basic theorem; The Sylow theorem; The basic theorem of finite Abelian group.1.引言群论有着悠久的历史，现在已发展成一门范围广泛和内容十分丰富的数学分支，在近世代数和整个数学中占有重要地位.对于映射的同态与同构已有所了解，而近世代数很少考察一般的映射,近世代数的研究对象是代数系统.其中群是最简单的代数系统，因为它在一个集合中只定义了一种代数运算.群的同构与同态在研究中有着它的重要作用，随着现代数学的高度抽象化和广泛应用，群的同构和同态的研究也越来越受到人们的重视.所以本文将对群论中的同态与同构进行一定的深入研究，了解其中的含义及内在意义.群的同态与同构都是研究群与群之间关系的重要手段.同构映射是群之间保持运算的映射，存在同构映射的两个群可以看成同一个群，因为它们有相同的群结构.代数中最基本与最重要的课题就是搞清楚各种代数体系在同构意义下的分类.而同态映射只要求保持运算，显然它比同构映射更灵活，它能研究两个不同构的群之间的联系.特别重要的是几个同态定理，如同态基本定理告诉我们，两个群在满同态的条件下蕴含着一个群同构.在处理一些同构问题时，我们也常常反过用这个定理，也就是说先构造出满同态.保持运算的映射既然能研究两个代数体系之间的一些关系，那么对于复杂一些的代数体系我们就可以用一些简单的代数系统去研究它们.有一种特殊的群——有限群，是值得我们深入研究的，这就要求我们必须认真把握与其有关的两大定理.2.群同态与同构基本定理2.1 群同态与同构定义：如果G 与F 是两个群，如果有一个G 到F 的映射Φ保持运算，即 )()()(b a ab ΦΦ=Φ ),(G b a ∈∀则称Φ为群G 与群F 的一个同态映射.当Φ又是满射时，则称群G 与F 同态，并表示为G ∽F .当Φ是一个双射时，称Φ为群G 到群F 的一个同构映射.如果群G 到群F 存在同构映射，就称群G 与群F 同构，记为G ≌F .群G 到自身的同态映射与同构映射，分别称为群G 的自同态映射和自同构映射，简称为群G 的自同态和自同构.注意：⑴ 同态具有方向性，即G 与F 同态，不一定G 与F 同态；⑵ 显然只含有恒元的群与任何群同态[]1.（映射规则取为乘群元素的逆一般不考虑这种同态）同态是一种等价关系①.它虽是满映射，但并不是一一映射，即F 的一个元素可对应着G 的多个元素.性质1 设G 是一个群，G 是一个有代数运算（也称为乘法）的集合.如果G 满同态于G ，则G 也是一个群.证明 因为G ∽G ，G 是群，其乘法满足结合律，所以G 的乘法也满足结合①等价关系的定义：集合M 的一个关系R 满足以下条件： ⑴. 对M 中任意元素a 都有aRa ； (反身性)⑵. 如果,aRb 必有bRa ； （对称性)⑶. 如果bRc aRb ,，必有aRc . (传递性)律.设e 是群G 的单位元，a 是G 的任一元素，又设Φ是G 到G 的满同态，且在Φ之下 ,,a a e e →→于是 a e ea →.但是,a ea =故a a e =.即e 是G 的单位元.又设 11--→a a则 a a a a 11--→但是,1e a a =-故e a a =-1.即1-a 是a 的单位元. 因此G 也是一个群.应注意性质1，如果集合G 与G 各有一个代数运算，且G ∽G ，则当G 为群时，G 不一定是群.而且性质1的意义在于，要验证一个集合G 对所指的代数运算作成群，可找一个已知群，并通过同态来实现.性质2 设Φ是群G 到群F 的一个同态映射（不一定是满射）.则群G 的单位元的像是群F 的单位元，G 的元素a 的逆元的像是a 的像的逆元.即11--=a a 或 ()()11--Φ=Φa a 例1 令{=G 全体正负奇数}，代数运算为数的普通乘法；又{}1,1-=G 关于数的普通乘法作成群，令 :Φ正奇数1→，负奇数1-→.则易知Φ是G 到G 的一个同态满射，故G ∽G .G 是群，但G 却不是群.例2 证明：{}3,2,1,0=G 对代数运算r b a = （r 为b a +用4除所得余数）作成一个群.证明 令Z 是整数加群，则易知':x x →Φ )(Z x ∈∀是Z 到G 得一个同态满射，其中'x 为x 整数用4除所得余数.由于Z 是群，故由性质1知，G 也是群. 这样在证明G 是一个群时，可以减少一些麻烦的验算过程.性质3 设Φ是群G 到G 的一个同态映射（不一定是满射），则⑴ 当H ≤G ①时，有()G H ≤Φ，且H ∽()H Φ；⑵ 当G H ≤时，有()G H ≤Φ-1，,且在Φ之下诱导出()H 1-Φ到H 的一个同态映射.证明 ⑴ 任取()H b a Φ∈,，且在Φ之下令 b b a a →→,，其中H b a ∈,.由于G H ≤，故H ab ∈，且 b a ab →. 从而()H b a Φ∈，即()H Φ对G 的乘法封闭，且H ∽()H Φ但H 是子集，从而()H Φ也是群且是G 的子群.⑵ 当G H ≤时，由于()H 1-Φ显然非空，任取()H b a 1,-Φ∈，且在Φ之下令 b b a a →→,.则11--→b a ab ，①符号“G H ≤”表示群H 是群G 的子群，即H 是G 的非空子集，如果H 本身对G 的乘法也做成一个群，则称H 为群G 的子群.其中H b a ∈,，而G H ≤，故H b a ∈-1，从而()H ab 11--Φ∈. 即()G H ≤Φ-1，且显然Φ诱导出()H 1-Φ到H 的一个同态映射.性质4 群G 到群G 的同态映射Φ是单射[]2的充要条件是，群G 的单位元e 的逆像只有e .证明 必要性显然，下证充分性.设Φ是群G 到群G 的任一同态映射，且在Φ之下e 的逆像只有e ，又设在Φ之下 b b a a →→,，当b a ≠时，必有b a ≠：因若b a =，则由于 e b a ab =→--11，故b a e ab ==-,1，矛盾.因此，Φ是单射.性质5 设N 是群G 的任一正规子群①，则G ∽N G ，即任何群都与其商群②同态.证明 在群G 与商群N G 之间建立以下映射：)(:G a aN a ∈∀→τ， 这显然是G 到N G 的一个满射.① 正规子群的定义：设N 是群G 的一个子群，若果对G 中每个元素a 都有 Na aN =，即N aNa=-1，则称N 是群G 的一个正规子群（或不变子群）. ② 商群的定义：将正规子群H 及其全部陪集作为元素，以陪集乘法定义为群乘法而形成的新群称之G 相对正规子群H 的商群，通常记为H G /.商群的单位元素为H ，各个陪集是商群的其它元素.又任取G b a ∈,，则有))(()(bN aN N ab ab =→，即τ是G 到N G 的同态满射，故G ∽N G .今后称群G 到商群N G 的这个同态满射τ为G 到商群N G 的自然同态.2.2 群同态基本定理群同态基本定理： 设Φ是群G 到群G 的一个同态满射，则Φ=Ker N 是G 的正规子群，且 G N G ≅/.证明 首先，由于G 的单位元是G 的一个正规子群，由此可知，其所有逆象的集合，即ΦΦ=Ker N 的核也是G 的一个正规子群.其次，设 a a →Φ: ),(G a G a ∈∈ 则在G 与N G /间建立以下映射： )(:a a aN Φ=→σ⑴ 设bN aN =，则N b a ∈-1.于是 b a e b a b a ===--,11即N G /中的每个陪集在σ之下在G 中只有一个象，因此，σ确N G /为到G 的一个映射；⑵ 任取G a ∈，则因Φ是满射，故有G a ∈使a a =Φ)(.从而在σ之下元素a 在N G /中有逆象aN ，即σ为到G 的一个满射； ⑶ 又若bN aN ≠，则N b a ∉-1，从而b a e b a ≠≠-,1，即σ为N G /到G 的一个单射.因此，σ是N G /到G 的一个双射.又由于有 b a ab abN bN aN =→=))((故σ为同构映射，从而G N G ≅/.应注意，本定理中的Φ是一个同态满射.如果Φ只是一个同态映射（不一定是满射），虽然也有ΦKer 是群G 的正规子群，但最后结论应改为 ΦKer G ≌()Φ=ΦIm G .由上一节的性质5和群同态基本定理知：G G −→−Φ，)(a a a Φ=→；又G N G G −→−−→−στ，)(a a aN a Φ=→→，其中Φ=Ker N .因此，στ=Φ.上一节的性质5表明，任何群都同它的商群同态[]3；本节群同态基本定理表明，如果一个群G 同另一个群G 同态，则这个群G 在同构意义下是G 的一个商群.因此，在同构意义下，两个的意思是：每个群能而且只能同它的商群同态.这是群论中最重要的结论之一，在很多场合下，都要经常用到这个事实. 另外，由群同态基本定理的证明知，若G ∽G ，且同态核①是N ，则G 中每个元素的全体逆象恰好是关于N 的一个陪集.G 中元素与陪集的这种对应不仅是一个双射，而且是一个同构映射.2.3 群同构基本定理这部分我们将介绍三个定理，这三个定理在群论的研究中都很重要，它们的证明有多种方法，其中有的与群同态基本定理有直接的关系.① 设Φ是群G 到群Ｆ的一个同态映射，G 的单位元在Φ之下所有逆像作成的集合，叫作Φ的核，记为ΦKer .定理 1（第一同构定理[]4） 设Φ是群G 到群'G 的一个同态满射，又N Ker ⊆Φ是G 的正规子群，)(N N Φ=，则N G /≅N G /证明 令τ：N G G →()N a a Φ→ （G a ∈∀）⑴ τ是映射：设b a =（G b a ∈,），因为Φ是同态映射，故()()b a Φ=Φ从而()()N b N a Φ=Φ，即τ是G 到N G 的映射.⑵ τ是满射：任取N G N a ∈（G a ∈），则因Φ是满同态，故有G a ∈使()a a =Φ从而在τ之下N a 有逆像a ，即τ是满射.⑶ τ保持运算：在τ之下有()()()()()N b N a N b a N ab ab b a Φ⋅Φ=ΦΦ=Φ→=⋅，故τ为G 到N G 的同态满射.又因为τKer ={G a ∈|()}N a =τ={G a ∈|()}N N a =Φ ={G a ∈|()}N a ∈Φ={G a ∈|()}N a 1-Φ∈={G a ∈|()}N ΦΦ-1={G a ∈|}N a ∈=N故由群同态基本定理知 N G ≌N G .以上的同构当然也可以写成 N G ≌()()N G ΦΦ但应注意，定理1中的Φ必须是满同态而且N 必须是G 的包含核Φker 的正规子群. 另外，此定理的证明也可以是找一个τ是商群N G 到N G 的一个同构映射，依次证明τ是映射，是单射，满射且保持运算.定理2（第二同构定理） 设G 是群，又G H ≤，N 是G 的正规子群，则N H 是H 的正规子群，并且)/(/N H H N HN ≅证明 因为G H ≤，N 是G 的正规子群，故G HN ≤，且N 是HN 的正规子群，又易知xN x →Φ: )(H x ∈∀是子群H 到商群N HN /的同态满射，且核为N H ，故由群同态基本定理知： N H 是H 的正规子群且 N H H ≌N HN从而结论成立.定理3（第三同构定理[]5） 设G 是群，又N 是G 的正规子群，N G H /≤.则 ⑴ 存在G 的惟一子群H ⊇N ，且N H H /=；⑵ 又当H 是N G /的正规子群时，有惟一的H 是G 的正规子群使 NH H /=且 N H N G H G ///≅ 证明 ⑴ 设在自然同态G :σ∽N G / 之下H 的逆象为H ，则G H H N ≤=⊆-)(1σ，且因σ是满同态，故可知 []H H H ==-)()(1σσσ但又知，N H H /)(=σ故 N H H /=由同态基本定理的定理，由于G 中含N 的不同子群其象也不同，故可知这样的H 也是惟一的.⑵ 当H 是N G /的正规子群时，由2.3.1中的定理2可知，G 有惟一正规子群N H ⊇使N H H /=，又由于在自然同态G ∽N G /之下有N H ⊇，且H 的象是N H /，故由第一同构定理知， N H H G H G ///≅此定理表明，商群N G /的子群仍为商群，且呈N H /形，其中H 是G 的含N 的子群；又H 是G 的正规子群当且仅当N H /是N G /的正规子群.通过群同构三大定理的证明过程我们看出，群同态基本定理是群同构三大定理的基础，通过群同态基本定理只要找准同态核就能很容易的找出一对具有同构关系的群.2.4 群同态与同构的意义由群同态基本定理知，在同构的意义下，任何群都能而且只能与其商群同态.所以要特别强调一下群同构的意义[]6.设}{ ,,,c b a M =是一个有代数运算 的群，而M {} ,,,c b a =是另一个有代数运算 的群.如果M ≌M ，且在这个同构之下，c c b b a a →→→,,…则根据同构的定义，c b a = 当且仅当c b a = .这就是说，除去元素本身的性质和代数运算名称与所用的符号不同之外，从运算的性质看，M 与M 并没有任何实质性的差别.更具体的说，就是由M 仅根据代数运算所推演出来的一切性质和结论.都可以自动地全部转移到与M 同构的一切代数系统上去.因此，在近世代数中常把同构的代数系统等同起来，甚至有时候不加区分.这正表现出这门学科所研究的问题的实质所在.3.有限群理论重要定理有限群是代数学的一个重要分支，它在群的理论中占有非常重要的地位.有限群之所以重要，不仅因为这种理论对数学本身特别是群产生重要影响，而且在实际应用中，例如在理论物理、量子力学、量子化学以及结晶学等方面都有广泛应用，所以本节将集中介绍有限群理论中两个最基本最重要的内容，即Sylow 定理和有限交换群①基本定理.3.1 Sylow 定理为了证明Sylow 定理，下面先介绍重陪集概念及其简单性质.定义1 设K H ,为群G （不一定有限）的两个子集，又令G x ∈，则称G 的子集{hxk HxK =|}K k H h ∈∈,为群G 关于子群K H ,的重陪集.简称HxH 为关于子群H 的一个重陪集.引理1 对群G 的任二重陪集Hxk 与HyK ，若≠HyK HxK φ，则必有HyK HxK =.证明 由于≠HyK HxK φ，故有元素∈a HyK HxK .令()K k H h yk h xk h a i i ∈∈==,2211则HyK k yk h h x ∈=--112211.从而对任意K k H h ∈∈,，有HyK k k k y h hh hxk ∈=--)()(112211①如果对群G 中任意二元素b a ,均有a b b a =，即群的代数运算满足交换律，则称G 为交换群.而且群G 中只含有有限个元素，则称群G 为有限交换群.因此，HyK HxK ⊆.同理有HxK HyK ⊆.故HyK HxK =.下面的引理回答了包含在重陪集HxK 内的H 右陪集有多少个. 引理2 在群G 的重陪集HxK 中，含子群H 的右陪集的个数等于（H :K Hx x 1- ）；含子群K 的左陪集的个数等于（H :1-xKx H ）.证明 设{Hxk S =|}K k ∈， {k Hx x K T )(1-= |}K k ∈； 并令)()(:1K k k Hx x K Hxk ∈∀→Φ-如果),(2121K k k Hxk Hxk ∈=，则Hx x k k H x k xk 11211121,----∈∈⋅，从而Hx x K k k 1121--∈ .因此 2111)()(k Hx x K k Hx x K --= ，这说明Φ是S 到T 的一个映射.类似证明，可知Φ是单射，又显然Φ是满射.因此Φ是S 到T 的一个双射.同理可证引理中的另一结论.引理3[]7 设H Hx H Hx H Hx G r 21=是有限群G 关于子群H 的重陪集分解，则对任意)(H N Ha ⊂，都有某个j Hx 使)1(r j Hx Ha j ≤≤=.证明 因为任何右陪集必含于某个重陪集之中，故不妨设 H Hx Ha j ⊆，r j ≤≤1，于是H Hx a j ∈.令),(2121H h h h x h a j ∈=，则1211--=ah h x j .据此，并根据)(H N Ha a ⊆∈与Ha aH =便可得Ha Hx j =，即j Hx Ha =.定理1（ 第一Sylow 定理——存在性和包含性[]8 ） 设G 是有限群，且m p G s =，其中p 是素数，s 是正整数，p 不整除m .则对G 的每个)1,,1,0(-=s i p i 阶子群H ，总存在G 的1+i p 阶子群K ，使H 是K 的正规子群.证明 设G 关于)0(s i p i <≤阶子群H 的重陪集分解为 H Hx H Hx H Hx G r 21=， ⑴ 且H Hx j 是由j t 个H 的右陪集所组成.于是由引理2及⑴知：.,,2,1),:(1r j Hx x H H t j j j ==-⑵r t t t H G +++= 21):( ⑶ 又因为)0(s i p G i <≤=，故):():(H G p H G H m p G i s ===，从而p |):(H G ，于是分别由⑶及⑵得p |r t t t +++ 21，j t |r j p i,,2,1 = ⑷ 下证：j t =1 )(H N Hx j ⊆⇔.1) 设j t =1 .由⑵得1=):(1j j Hx x H H -，因此j j j j Hx x Hx x H H 11--⊆= . 但是j j Hx x H 1-=，故j j Hx x H 1-=，)(,H N x Hx H x j j j ⊆=.从而)(H N Hx j ⊆2）设)(H N Hx j ⊆，由于j j Hx x ∈，故H Hx x Hx H x j j j j ==-1,.从而1):(1==-j j j Hx x H H t .由引理3，正规化子集)(H N 内的右陪集均呈j Hx 形，故以上说明：在r t t t ,,21中1=j t 的个数就是)(H N 中右陪集的个数，也就是指数):)((H H N ,从而由⑷知：p |):)((H H N 或 p |H H N )(. 于是商群H H N )(有p 阶子群.又由群的第三同构定理，此p 阶子群设为H K （H 为K 的正规子群且)(H N K ≤），从而H 为K 的正规子群且1+=⋅=⋅=i i p p p H H K K .于是当0=i 时10=p 阶子群（即单位元群）总存在，从而以上论证表明s p p p ,,,2 阶子群总是存在的，且其中的i p 还是1+i p 阶子群的正规子群.特别其中的s p 阶子群就是G 的Sylow p -子群.定理2（第二Sylow 定理——共轭性[]9） 设G 是有限群，p 是素数.则G 的所有Sylow p -子群恰好是群G 的一个共轭子群类.证明 设,m p G s =p 不整除m .显然，与Sylow p -子群共轭的子群都是Sylow p -子群.下面进一步证明：G 的任意二Sylow p -子群必共轭.设K H ,是群G 的任二Sylow p -子群，从而s p K H ==.根据引理1，设G 关于K H ,的重陪集分解为K Hx K Hx K Hx G r 21=，且重陪集中H 的右陪集的个数为r i Hx x K K t i i i ,,2,1):(1 ==-. 由此得r t t t H G +++= 21):(. ⑴ 由于):(H G H G =和s p H =，故p 不整除):(H G ；又因为每个i t 都是p 的非负整数次幂，故由⑴知，至少有一个1=i t .例如不妨设11=t ，即1):(111=-Hx x K K ，从而111111Hx x Hx x K K --⊆= .但是s p Hx x K ==-111，故 111Hx x K -=，即H 与K 共轭.因此，G 的全体Sylow p -子群恰好是一个共轭子群类.例3 求出三元对称群3S 的所有Sylow p -子群.解 由于3263⋅==S ，故当素数3,2≠p 时，3S 的Sylow p -子群就是3S 的10=p 阶子群，即{})1(.3S 的Sylow2-子群（p =2）有3个，即{}{}{})23(),1(,)13(),1(,)12(),1(321===H H H .它们是3S 的一个共轭子群类.最后，3S 的Sylow3-子群（p =3）只有一个，即{})132(),123(),1(4=H .它当然是3S 的一个正规子群.定理3（第三Sylow 定理——计数定理[]10） 设G 是有限群，且m p G s =，其中p 是素数，p 不整除m .若的Sylow p -子群共有k 个，则k |G 且p |1-k ，即)(mod 1p k ≡.证明 首先，设H 是群G 的一个Sylow p -子群，则))(:(H N G k =.从而k |G .其次，根据引理1，设H Hx H Hx H Hx G r 21=是G 关于H 的重陪集分解，并设):(1i i i Hx x H H t -= ),,2,1(r i =是H Hx i 中含H 的右陪集的个数，则r t t t H G +++= 21):( ⑴ r t t t ,,,21 中共有):)((H H N 个是1，而其余的i t 都是p 的正整数次幂.于是由⑴知： p |):)(():(H H N H G - ⑵ 但是):)(():)(())(:():(H H N k H H N H N G H G =⋅=， ⑶ 故由⑵知，p 整除):)(():)((H H N H H N k -，即p |)1():)((-⋅k H H N ⑷ 又因为现在的H 是群G 的一个Sylow p -子群，故p 不整除):(H G ，从而由⑶知， p 不整除):)((H H N ，再由⑷得p |1-k ，即)(mod 1p k ≡.本节所论述的Sylow 定理是有限群中非常重要的定理，三个定理都与素数p 有关，三个定理是彼此相关的.对于任意的素数p ，首先论述G 的Sylow p -子群是否存在？接着的定理回答了，如果存在，有多少个及它们之间有什么样的关系？3.2 有限交换群的基本定理上一节利用Sylow 定理证明了有限交换群可以分解成它的Sylow 子群的直积.但Sylow 子群不一定是循环群，也不一定是不可分解群，所以本节将进一步加细这种分解，从而得到有限交换群的基本定理.为证明有限交换群的基本定理，先证明以下引理1 设a 是群G 的一个有限阶元素，且G H ≤.又设k 是使H a k ∈得最小正整数，则1） 当H a s ∈时，k |s ；2） 当e H a ≠ 时，a k <.证明 1）令k r r kq s <≤+=0,. 则由于G H ≤，故H a a a a a a q k s r r kq s ∈⋅=⋅=-)(,再由k 最小性知，0=r .因此，k |s .2）因为e H a ≠ ，故有e b H a b ≠∈, .令H a b s ∈=. 因为H e a a∈=，故由k 的最小性知，a k ≤. 如果a k =，则由1）知，a |s .于是e a b s ==，这与e b ≠矛盾.因此，a k ≤.定理1（有限交换群基本定理[]11 ） 任何阶大于1的有限交换群G 都可以唯一的分解为素幂阶循环群（从而为不可分解群）的直积：n a a a G ⨯⨯⨯= 21， 其中i a 是i a i p （i p 为素数，n i ,,2,1 =且0>i a ）阶循环群.我们称每个素数幂i a i p （n i ,,2,1 =）为G 的初等因子，而称其全体{}n a n a a p p p ,,2121为群G 的初等因子组. 证明 由于阶大于1的有限交换群都可以唯一的分解为其Sylow 子群的直积，故只需假设G 是素幂阶有限交换群即可.因此，设a p G =， p 是素数， a 是正整数.1）存在性.设n a a a G ,,,21 =，且n a a a ,,,21 是G 的使n a a a +++ 21最小的一组n 元生成系.即对G 的任一n 元生成系n x x x ,,,21 均有n a a a +++ 21≤n x x x +++ 21.下证n a a a G ⨯⨯⨯= 21. ⑴ 为此，令n t t i a a a a H 111+-=， n t ,,2,1 =因此，要证⑴成立显然只需证明：n t eH a t t ,,2,1 ==. 设若不然，例如不防设r i eH a i i ,,2,1 =≠，n r t e H a j j ,,1 +==，其中1≥r .现令i k 是使),,2,1(r i H a i k i i =∈得最小正整数，且不妨设),,,m in(211r k k k k =. 则由于i a i H e a i ∈=，故由引理，i k |i a .但是，a p G =，故每个i a （从而每个i k ）都是p 的方幂.于是1k |i k r i ,,2,1 =. ⑵特别地，由引理还可知：11a k < ⑶ 再由于11k a n a a a H 321=∈，故可令n r r s n s r s r s s s a a a a a a 13211321++=. ⑷ 但是∈j s j a n r j e H a j j ,,1,+==故n r j e a j s j ,,1, +==.于是由⑷知：r s r s s k a a a a 321321=. ⑸由此等式又可知i s i H a i ∈，从而再由引理，i k |i s .再由⑵知，1k |i s （r i ,,2,1 =）.令r i q k s i i ,,2,1,1 == ⑹并且，令r q r q a a a b --= 2211. ⑺ 则由此可知r q r q a a b a 2211=.从而n a a b G ,,,21 =，即n a a b ,,,21 也是群G 的一组n 元生成系.然而由⑺以及⑸、 ⑹可知e a a a b r q k r q k k k ==--12111211 ， 于是由⑶知，111a k b <≤.从而n a a b +++ 21<n a a a +++ 21, 这与n a a a +++ 21的最小性矛盾，所以⑴成立.2）唯一性.设r a a a G ⨯⨯⨯= 21s b b ⨯⨯⨯= 21⑻是G 的两种这样的分解，且其初等因子组分别为：{}r m m m ,,,21 ， {}s n n n ,,,21 ，其中每个i m 和每个j n ()s j r i ,,2,1;,,2,1 ==都是p 的方幂.不妨假定r m m m ≥≥≥ 21，s n n n ≥≥≥ 21.若s r ≠且不妨设s r <.① 若r r n m n m == ,11，则由⑻知，G 的阶按第一种分解为=r m m m 21s n n n 21，而按第二种分解又为⋅r n n n 21s r n n 1+，这显然是不可能的.② 若1111,--==t t n m n m ，但t t n m >.则令{}G x x H t n ∈=，并由此容易知道G H ≤，且由⑻有t t t t n s n n r n b b a a H ⨯⨯=⨯⨯= 11. 因为i i m a =，故()r i m n m a i t i n i t ,,2,1,, ==. 但因i m 与j n 都是p 的方幂，故),2,1(t i m n i t =.从而H 的阶按第一种分解为正整数),(,,),(,,,,,11121r t r t t t t t t t t t m n m m n m n m n m n m n m ++-， 之积.同理，H 的阶按第二种分解又为正整数1,,1,,,,121 tt t t n n n n n n - 之积.显然也是不可能的.因此，由①与②可知：s r =且i i n m =（r i ,,2,1 =），从而i a ≌i .亦即G 的两种分解的初等因子组相同.应注意，如果有限交换群G 的初等因子组为{}n k n k k p p p ,,2121，则其中的素数n p p p ,,,21 不一定是互异的，甚至也可以是完全相同的.另外，在G 的两种这样的分解中，如果i i b a =，则只能肯定i a ≌i b ，但不一定有 i a =i b .由定理1知，一个有限交换群完全由其初等因子组所决定.定理2 两个阶大于1的有限交换群同构的充要条件是，二者有相同的初等因子组.由前面的讨论可知，循环群是完全研究清楚了的一个群类.现在由定理1与定理2可知，有限交换群也是完全研究清楚的另一个重要群类.这两类群在群论的整个研究中占重要的地位并起着基本的作用.另外，由本节的讨论我们可知，有限交换群的初等因子的概念和理论，完全类似于高等代数中 -矩阵的初等因子的概念和理论.所以可以进行类比的理解学习.4.定理的应用4.1 群同态与同构定理的应用研究各种代数体系就是要解决这些代数体系的下面三个问题：存在问题、数量问题以及结构问题.如果这些问题都得到完满的解答就算达到了目的.研究群时，需要明白共有多少个不同的群，每个群的结构如何，结构相同的群如何对待等.对群进行比较时,采用的主要工具就是同态和同构. 群的同构是一个等价关系，通过同构群的意义我们知道，彼此同构的群具有完全相同的性质.这样通过对群的比较,从而揭示出两个群的某些共同性质,以至区别二者的异同.在群论中，主要研究本质上不同的群之间的关系，所以同构是群论中非常重要的手段.这无疑是在群的研究中具有重要意义的基本观念和基本理论,同时也是实践性很强的基本方法.群同态与同构在群论中最重要的应用就是便于分类[]12，这样可以把千千万万的群归纳为几类，因此只要研究透彻每一类的具有代表性的群后就可以知晓群论中群的特点，便于在各个领域的灵活运用.为了深入研究代数系统的结构，须将同类型的代数系加以比较，以得到这种体系更为本质的性质，使得将这种类型的代数系统分类成为可能，分类的目的就是减少研究对象，即通过对少数特殊代数系的研究，把结果移植到与其有相同或相似结构的对象中.同构与同态就是实现这种分类的主要途径，也是代数学的最基本的研究工具.对于同构的群G 与G ,我们认为G 与G 是代数相同的,因为这是对于近世代数所研究的问题来说,除了符号与名称上的区别之外,二者没有实质的差异.例4 设两个群{}+,Z 和{},Z ，其中：{};,3,2,1,0,1,2,3, ---=Z{}{},10,10,10,10,10,10,10,103210123---=∈=Z n Z n作,:Z Z →ϕn n 10→，（Z n ∈∀）显然，ϕ是双射，且：()()()n m m n n m n m ϕϕϕ⋅=⋅==++101010于是知：Z Z ≅{},Z +与{},Z 这两个群没有实质性的差异，其中一个是另一个以不同符号和名称实现出来的结果.例5（循环群的结构定理]13[）设a G =是由生成元a 生成的循环群，则⑴ 当a =∞时，G ={} ,,,,,,212a a e a a a --=为无限循环群，且与整数加群Z 同构.⑵ 当a =n 时，G =a ={}12,,,,-n a a a e 为n 阶循环群，且与n 次单位根群n U 同构.由于群间的同构关系具有反身性，对称性和传递性，故此定理说明，凡无限循环群都彼此同构，凡有限同阶循环群都彼此同构，而不同的群，由于不能建立双射，当然不能同构.这样，抽象地看，即在同构意义下，循环群只有两种，即整数加群Z 和n 次单位根群n U .所以循环群的存在问题，数量问题，构造问题已彻底解决.4.2 Sylow 定理和有限交换群基本定理的应用作为Sylow 定理的一个应用，我将证明下述定理：定理1 设G 是有限群，pq G =，其中q p ,是互异的素数，且p 不整除1-q ，q 不整除1-p ，则G 是一个循环群①.证明 由第三Sylow 定理，G 的Sylow p -子群的个数k 整除pq G =，且 ① 循环群的定义：如果群G 可以由一个元素a 生成，即，则称G 为由a 生成的一个循环群，并称a 为的G 一个生成元。

（VIII ）正规子群，商群与同态基本定理一、正规子群（不变子群）GH G H Ha aH G a G H 的正规子群，记为为则称，有如果、定义：设=∈∀≤,,1·G 为交换群（Abel 群），G 的子群为正规子群。

·{e}，G 是平凡正规子群（trivial ） HaHa HaHa H h G a H aha G H G H =⊆∈∈∀∈⇔≤---111)3()2(,,)1(,2 则设、判法Eg1.)()(R GL R SL n nEg2.群的中心G G C G x xa ax a G C )(},,|{)(∈∀==Eg3.44S AEg4.)}23)(14(),24)(13(),34)(12(),1{(K 4=四元群，Klein ，44S K ，44A K 正规子群不具有传递性！如H={（1），（12）（34）}，H 左三角K4，K4左三角S4，但是H 不是S4的正规子群。

二、商群的商群关于称为是群则在上述条件下上定义代数运算：在、【商群】：设H G H G HG bH aH H ab bH aH H G G a aH H G G H ),/(/,,)(:/}|{/,1⋅∈∀=⋅∈= .||||/]:[/2H G H G H G G H H G 的阶是，且当时有限群时，中的指数在的阶是、商群 （当G 为加群时，则正规子群N 的陪集为a+N ，商群G/N 的运算为（a+N ）+(b+N)=(a+b)+N ）三、群同态基本定理1、同态的像、同态核设G G f →:是群同态，同态的像}|)({Im G a a f f ∈=，核})(|{ker e a f G a f =∈= 则有：（1）G f ≤Im（2）G f ker 2、群同态基本定理设G G f →:是群同态⇒群同构：f f G Im ker /≅ 特别地，当f 为满射时，G f =Im 则有G f G ≅ker /。

群同态三大基本定理群同态三大基本定理是群论中的重要结果，包括同态基本定理、同构基本定理和同态映射定理。

这些定理对于研究群及其结构和性质具有重要意义。

本文将分别介绍和阐述这三大基本定理。

一、同态基本定理同态基本定理是群同态理论的基石，它表明了群同态的基本性质。

该定理断言，对于任意群G和H，如果存在一个由G到H的群同态φ，则G的核Ker(φ)是G的一个正规子群，且G/ Ker(φ)与φ(G)同构。

其中，核是指同态映射φ的零空间，即使得φ(g) = e_H的所有元素g构成的子集。

同态基本定理的证明思路是，首先证明Ker(φ)是G的一个正规子群，然后构造一个映射ψ: G/Ker(φ) → φ(G)，通过ψ(gKer(φ)) = φ(g)将G/Ker(φ)的元素映射到φ(G)的元素，证明ψ是一个双射，并且保持群运算。

因此，G/Ker(φ)与φ(G)同构。

二、同构基本定理同构基本定理是群论中的一个重要结果，它给出了同构的判定条件。

该定理指出，如果存在一个双射φ: G → H，且满足φ(xy) = φ(x)φ(y)，那么G与H是同构的。

换句话说，如果两个群之间存在一个双射，且保持群运算，那么这两个群是同构的。

同构基本定理的证明思路是，首先证明φ是一个同态映射，即φ(xy)= φ(x)φ(y)成立。

然后证明φ的逆映射存在，即存在一个映射ψ: H → G，使得ψ(φ(x)) = x和φ(ψ(y)) = y对于所有的x∈G和y∈H 成立。

最后，证明ψ也是一个同态映射，即ψ(xy) = ψ(x)ψ(y)成立。

因此，φ和ψ构成了G和H之间的同构关系。

三、同态映射定理同态映射定理是群同态理论中的一个重要结果，它给出了同态映射的性质。

该定理指出，如果φ: G → H是一个群同态，那么φ(G)是H的一个子群，且φ(G)的阶是G的核Ker(φ)的阶的整数倍。

同态映射定理的证明思路是，首先证明φ(G)是H的一个子群。

然后证明φ(G)的阶是G的核Ker(φ)的阶的整数倍。

§3.4 正规子群同态基本定理在本节中讨论群的同态基本定理。

首先考虑一种特殊的等价关系。

3.4.1 定理H是G的子群，在G上定义二元关系~如下：a ~ b当且仅当ab-1∈H，则~是G上等价关系。

证(1) 任给a∈G，都有aa-1 = e∈H，所以a ~ a；(2) 任给a, b∈G，如果a ~ b，则ab-1∈H，所以ba-1 = (b-1)-1a-1 = (ab-1)-1∈H，因此b ~ a；(3) 任给a, b, c∈G，如果a ~ b且b ~ c，则ab-1, bc-1∈H，所以ac-1 = aec-1 = a(b-1b)c-1 = (ab-1)(bc-1)∈H，因此a ~ c。

■这种等价关系记为~H，称为由H生成的等价关系。

由H生成的等价关系中的等价类有一个明显的表示。

3.4.2 定理H是G的子群，~H是由H生成的等价关系。

(1) 任给a∈G，都有a= Ha = {ha | h∈H}。

特别地，e= He = H。

(2) 任给a∈G，都有|a|= |H|。

证(1) 任给x∈a，都有x ~H a，由~H的定义得xa-1∈H，设xa-1 = h∈H，则x = xe = x(a-1a) =(xa-1)a = ha，因此y∈Ha。

任给x∈Ha，都存在h∈H，使得x = ha，所以xa-1 = (ha)a-1 = h(aa-1) = he = h∈H，由~H的定义得x ~H a，因此x∈|a|。

(2) 取H到a的映射F：H→a F(h) = ha。

显然F是满射。

任给x, y∈H，如果F(x) = F(y)，则xa = ya，由消去律得x = y，所以F是单射。

因为F是双射，所以|a| = |H|。

■因为e= H，所以a~H b当且仅当ab-1∈H=e当且仅当ab-1~H e。

1定理3.4.2的(2)告诉我们，商集G/~H中每个元素（作为G的子集）的基数都是|H|，这样的元素共有|G/~H|个，所以有：3.4.3 定理如果H是G的子群，则| G | = |H|⋅|G/~H|。

群的同态定理同态基本定理设f:G→H为群同态,那么同态核Ker f◃G,且G/Ker f≃Im f.反过来如果K◃G,那么映射π:G→G/K,g↦gK是⼀个满同态且其同态核K erπ=K.我们把π称为⾃然同态.这个定理的证明是容易的,告诉我们的是正规⼦群和同态核可以认为是⼀样的,也就是说⼀个正规⼦群可以看做某个群同态的同态核,反之同态核⼀定是正规⼦群.与⾼等代数中线性变换在⼦空间上的限制类似,我们考虑群同态在⼦群上的限制：设f:G→G′是⼀个群同态,⽽H是G的⼦群,我们考虑f在H上的限制f|H,我们有如下的结论:第⼀同构定理设K◃G,H≤G,那么H/H∩K≃HK/K此处蕴含着H∩K◃H以及K◃HK.证明对于⾃然同态π:G→G/K,我们考虑π在H上的限制π|H,⾸要问题是要知道π(H)的结构,按照⾃然同态的定义显然有π(H):={hK:h∈H}=HK/K此处如果直接写成H/K是有问题的,因为K未必是H的⼦群,所以商群未必有意义.所以这⾥⽤HK来进⾏修正.并且显然K erπ|H=H∩K,从⽽根据同态基本定理可知H/H∩K≃HK/K从证明过程可以看出第⼀同构定理就是⾃然同态在⼦群上的限制得到的同态基本定理。

另⼀个问题如果K◃G我们希望清楚商群G/K的⼦群是什么形式的,设A是G/K的⼦群,那么A由⼀些左陪集构成,我们把A中左陪集的全体代表元构成的集合记作H,即H:={a:aK∈A},不难验证H构成G的⼦群且K⊂H.由于K◃G,那么K◃H,从⽽商群H/K有意义了,不难发现A=H/K.以上分析说明商群G/K的⼦群必形如H/K,其中H是G的包含K的⼦群.进⼀步的,如果H/K是G/K的正规⼦群，要求H也是G的正规⼦群,反过来是否成⽴呢?我们有如下的第⼆同构定理:设G是群,K◃G,⾃然同态π:G→G/K建⽴了群G的包含K的⼦群和商群G/K的⼦群之间的⼀⼀对应,并且把包含K的正规⼦群对应成G/K的正规⼦群.详⾔之：若K⊂H≤G等价于π(H)/K≤G/K;K⊂H◃G等价于π(H)/K◃G/K.进⼀步的有G/H≃(G/K)/(H/K)证明命∑1:={H≤G:K≤H≤G}即为G的包含K的⼦群的全体,∑2:={H/K:K◃H≤G}即为商群G/K的⼦群的全体,考虑映射f:∑1→∑2,H↦H/K我们来说明这是⼀个双射：⾸先如果H1/K=H2/K,那么∀h∈H1有hK∈H2/K⇒h∈H2⇒H1⊂H2,同理H2⊂H1,从⽽H1=H2,这说明f是单射;再来说明f是满射,对G/K的任意⼦群H/K,经过前⾯的分析我们知道必然有H≤G,这便说明了f是满的.综上可知这是⼀个⼀⼀映射.再者如果H∈∑1且H◃G,那么对任意的aK∈H/K以及gK∈G/K有gK⋅aK⋅(gK)−1=gag−1K∈H/K从⽽H/K◃G/K;反之如果H/K◃G/K,那么对任意的aK∈H/K,gK∈G/K(也就是a∈H,g∈G)有gK⋅aK⋅(gK)−1=gag−1K∈H/K⇒gag−1∈H,从⽽H◃G.最后再来说明最后⼀个同构的式⼦,仅需考虑同态ϕ:G/K→G/H,gK↦gH,⾸先需要说明的是这个定义是⽆⽭盾的,即若aK=bK,那么b−1a∈K⊂H⇒aH=bH.再者显然这是⼀个同态,根据同态基本定理有(G/K)/K erϕ≃G/H,⽽若gK∈K erϕ,那么gH=H⇒g∈H⇒K erϕ⊂H/K;另⼀⽅⾯若h∈H,那么ϕ(hK)=hH=H⇒hK∈Kerϕ⇒H/K⊂K erϕ,综上H/K=K erϕ.从⽽G/H≃(G/K)/(H/K)Processing math: 100%。

群论是数学中的一个重要分支，研究群的结构与性质。

在群论中，同态同构和正规子群是两个关键概念。

同态同构指的是两个群之间元素间的一种对应关系，保持群的操作性质。

具体来说，如果有两个群G和H，一个函数f：G→H被称为同态同构，如果对于任意的a，b∈G，f(a⋅b)=f(a)⋅f(b)。

这意味着同态同构将群G中的运算保持到群H中。

同时，同态同构还要满足以下几个条件：（1）f(eG)=eH，其中eG和eH分别是群G和H 的单位元；（2）f(a(-1))=f(a)(-1)，其中a^(-1)表示a在G中的逆元；（3）f是一个双射。

这些条件保证同态同构在保持群的结构与性质上是严格相等的。

正规子群是一个群的子群，具有特殊的性质。

一个群G的子群N被称为正规子群，如果对于任意的a∈G和n∈N，有a⋅n⋅a^(-1)∈N。

也就是说，一个正规子群在进行群操作后仍然保持在子群中。

正规子群在群论中是非常重要的，它们可以用来构造新的群，并研究群的结构。

同态同构和正规子群之间有一个重要的关系，即同态像的核与正规子群的关系。

同态像是指同态同构f的象f(G)，即f(G)={f(a)|a∈G}，这是群G的所有元素经过同态映射后得到的集合。

核是指同态同构f的零空间，即核(f)={a∈G|f(a)=eH}，其中eH是群H的单位元。

显然，核是群G的一个子群。

然而，当核是正规子群时，同态像更特殊。

事实上，正规子群是同态像的核的充分必要条件。

这个结论被称为同态基本定理。

同态基本定理是群论中的一个基本结果，它建立了同态同构与正规子群之间的联系。

通过同态基本定理，我们可以通过研究任意一个同态同构来研究它的核和同态像，进而深入理解群的结构与性质。

这在抽象代数学中起到了重要的作用，并且被广泛应用于各个领域，如数论、几何学以及密码学等。

总之，群论中的同态同构和正规子群是两个基本概念，同态同构将一个群的结构保持到另一个群中，而正规子群在群操作后仍然保持在子群中。

同态分解定理同态分解定理是代数学中的一个重要定理，它在理论和实际应用中起到了重要的作用。

同态分解定理的核心观点是将一个群分解为其他群的直积的形式，这种分解可以帮助我们更好地理解群的性质和结构。

同态分解定理可以用下面的形式陈述：对于任意一个群G和一个正规子群N，存在一个同态满射phi：G->G/N，使得核心Ker(phi)等价于N，即G/N ≈ G/Ker(phi)。

其中，G/N表示G模N的商群，Ker(phi)表示phi的核心。

同态分解定理的证明需要用到正规子群和商群的一些基本性质。

首先，我们可以证明phi是一个同态满射，即phi(g1 * g2) =phi(g1) * phi(g2)对任意的g1, g2∈G成立。

其次，Ker(phi)是G 的一个正规子群，即对任意的a∈Ker(phi)，g∈G有g * a *g⁻¹∈Ker(phi)。

最后，我们可以证明G/N ≈ G/Ker(phi)，即通过phi的同态满射，将G分解为G/N和G/Ker(phi)两个群的直积形式。

同态分解定理的意义在于将原本复杂的群结构分解为多个简单的群结构的直积。

这种分解使得我们可以更好地理解群的性质和结构。

通过研究G/N和G/Ker(phi)两个群的性质，我们可以得到对原始群G的更深入的认识。

同态分解定理在实际应用中也有很多重要的应用。

例如，在密码学中，同态分解定理被用来设计和分析一些加密算法。

它可以帮助我们理解和分析密码系统的安全性。

另外，在计算机科学中，同态分解定理也被应用于并行计算和分布式系统中，可以帮助我们设计高效的算法和协议。

同态分解定理在数学研究和实际应用中都具有重要的意义。

它通过将一个复杂的群结构分解为多个简单的群结构的直积，帮助我们更好地理解群的性质和结构。

它不仅在理论研究中得到了广泛的应用，也在实际应用中发挥了重要的作用。

同态分解定理的深入研究将有助于我们对群论的更深入理解，推动代数学和应用数学的发展。