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（VIII ）正规子群，商群与同态基本定理一、正规子群（不变子群）GH G H Ha aH G a G H 的正规子群，记为为则称，有如果、定义：设=∈∀≤,,1·G 为交换群（Abel 群），G 的子群为正规子群。
·{e}，G 是平凡正规子群（trivial ） HaHa HaHa H h G a H aha G H G H =⊆∈∈∀∈⇔≤---111)3()2(,,)1(,2 则设、判法Eg1.)()(R GL R SL n nEg2.群的中心G G C G x xa ax a G C )(},,|{)(∈∀==Eg3.44S AEg4.)}23)(14(),24)(13(),34)(12(),1{(K 4=四元群，Klein ，44S K ，44A K 正规子群不具有传递性！如H={（1），（12）（34）}，H 左三角K4，K4左三角S4，但是H 不是S4的正规子群。
二、商群的商群关于称为是群则在上述条件下上定义代数运算：在、【商群】：设H G H G HG bH aH H ab bH aH H G G a aH H G G H ),/(/,,)(:/}|{/,1⋅∈∀=⋅∈= .||||/]:[/2H G H G H G G H H G 的阶是，且当时有限群时，中的指数在的阶是、商群 （当G 为加群时，则正规子群N 的陪集为a+N ，商群G/N 的运算为（a+N ）+(b+N)=(a+b)+N ）三、群同态基本定理1、同态的像、同态核设G G f →:是群同态，同态的像}|)({Im G a a f f ∈=，核})(|{ker e a f G a f =∈= 则有：（1）G f ≤Im（2）G f ker 2、群同态基本定理设G G f →:是群同态⇒群同构：f f G Im ker /≅ 特别地，当f 为满射时，G f =Im 则有G f G ≅ker /。
§3.2 正规子群与商群对一般的群G 及N G ≤，左、右陪集不一定相等，即一般aN Na ≠， （见上一章例子，3,{(1),(12)}G S N ==，(13)(13)N N ≠）。
但对某些群G 及其子群N G ≤，总有性质：,a G aN Na ∀∈=。
例如，取3,G S = 3{(1),(123),(132)},N A G ==≤ 则当a 取3(1),(123),(132)A ∈时，总有aN Na =。
而当a 取(12),(13),(23)时， (12){(12),(23),(13)}(12)N N ==，(13){(13),(23),(12)}(13)N N ==，(23){(23),(13),(12)}(23)N N ==，所以3a G S ∀∈=，都有aN Na =。
再比如，交换群的子群总满足上述性质。
设G 是群，N G ≤，若,a G aN Na ∀∈=有，则 称N 是G 的正规子群（Normal subgroup ），记作N G 。
由前面，3A 是3S 的正规子群：33.A S交换群的子群都是正规子群；任何群的中心都是的正规子群：()C G G 。
{}e 和G 总是G 的正规子群，称为平凡正规子群，其余的正规子 群称为非平凡正规子群。
定理1. 设N G ≤，则 1,NG a G aNa N -⇔∀∈⊆有； ⇔,,a G x N ∀∈∀∈ 都有1.axa N -∈例1 证明n n A S 。
例2. 设(){|(),||0}n n G GL R A A M R A =∈≠且，(){|||1}n N SL R A A R A =∈=，且， 证明：N G 。
证明：,X G A N ∀∈∀∈，则111||||||||||||||||1,X AX X A X X A X A ---==== 从而，1X AX N -∈，所以N G 。
例3 证明：{}44(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)K S =。
正規子群與商群bee *108.03.03∼108.03.03順便證明了Lagrange 定理。
1.定義【共軛變換】(conjugation)：x →gxg −1。
【正規子群的定義與符號】：設N 是G 的子群。
若∀n ∈N,∀g ∈G ，gng −1∈N (即共軛不變)，則N 是G 的一個正規子群(normal subgroup)，記為N ▹G 。
這定義顯然來的突兀，應該了解要這一個定義的目的。
2.陪集設H 是G 的一個子集，考慮aH ={ah }(1)我們發現：當a,b ∈G 時，可得aH =bH 或者是aH ∩bH =∅。
於是我們可以用H 當標準把G 中的元素分類，若aH =bH ，則a,b 為同一類。
這樣我們可以得到一個等價關係，並用符號a 表示{b bH =aH }。
同時，用G H表示集合{g }。
g 實際上是一個集合，稱為左陪集(left coset)，我們現在的想法是把coset 拿來當元素，然後定義一個新的群。
當然，這樣我們需要運算，這個運算就採用原先的運算。
即g 1·g 2={g 1h 1g 2h 2}=g 1hg 2(2)因為G 不一定是交換群，所以g 1h 1g 2h 2的順序不可以隨便交換。
*bee 美麗之家:http:/.tw/bee接下來我們必須驗證這一個運算對於陪集來說擁有群的運算性質。
(1)結合律。
顯然o.k.(2)單位元素。
∀h∈H，h=e=H，我們把e視為單位元素。
計算g·e={gh1eh2}=gH=g。
(3)反元素。
設g∈G，看看g是不是有反元素，直覺的想法是找g−1。
計算g·g−1={gh1g−1h2}=ghg−1?===H(3)如果G是交換群，這件事就搞定拉！可是G不一定是交換群，於是得要求∀g∈G,gh1g−1=h,其中h∈H(4)這就是正規子群的要求。
於是利用原先的群運算，如果H是一個【正規子群】，而不僅僅是一個子群，那麼，我們就可以創造一個新的群：商群：GH(quotient group)3.補充(1)如果G是一個交換群，那麼所有的子群H都是正規群。
第⼆章2.群中的等价关系--陪集，共轭，正规⼦群与商群群作为代数结构⾸先是⼀个集合，那么元素间可能有各种等价关系，这些等价关系给出了群的划分，也使群⾃⾝结构的特异性突出。
⼀、陪集 定义 设H是G的⼀个⼦群，a\in G，作集合aH=\{ax|x\in H\}，称aH是关于⼦群H的⼀个左陪集。
类似地，可定义右陪集Ha=\{xa|x\in H\}. 对于陪集，我们有如下性质: (i) aH中元素个数与H⼀样。
（重新排列定理） (ii) H本⾝也是H的⼀个陪集(eH, He). (iii) a在陪集aH中，称a为陪集aH的⼀个代表。
(iV) 设b\in aH，则有aH=bH. 即aH中任⼀元素，均可作aH的⼀个代表。
(V) 由此可以定义等价关系a,b\in G，若a^{-1}b\in H, 则a\sim b. 此等价关系给出G的⼀个划分 G=a_1H\cup a_2H\cup...\cup a_l H. 下⾯重点证明(iV)和(V)。
证明: (iV) 有b=ah,\, h\in H。
则对\forall h_i\in H，有ah_i=b(h^{-1}h_i). 即aH\subset bH. 同理，bh_i=a(hh_i)\in aH，即bH\subset aH. 故aH=bH. (V) ⾃反: a^{-1}a=e\in H\quad\Rightarrow a\sim a. 对称: a\sim b\quad\Rightarrow a^{-1}b\in H\quad\Rightarrow (a^{-1}b)^{-1}=b^{-1}a\in H\quad\Rightarrow b\sim a. 传递: a\sim b, b\sim c\quad\Rightarrow a^{-1}b,\,b^{-1}c\in H\quad\Rightarrow(a^{-1}b)(b^{-1}c)=a^{-1}c\inH\quad\Rightarrow a\sim c. 定义 群G中⼦群H的相异陪集个数称为H在G中的指数，记为(G:H). 定理2.3(Lagrange定理) n阶群G的⼦群H的阶m是n的⼀个因数。
§3.2 正规子群与商群对一般的群G 及N G ≤，左、右陪集不一定相等，即一般aN Na ≠， （见上一章例子，3,{(1),(12)}G S N ==，(13)(13)N N ≠）。
但对某些群G 及其子群N G ≤，总有性质：,a G aN Na ∀∈=。
例如，取3,G S = 3{(1),(123),(132)},N A G ==≤ 则当a 取3(1),(123),(132)A ∈时，总有aN Na =。
而当a 取(12),(13),(23)时， (12){(12),(23),(13)}(12)N N ==，(13){(13),(23),(12)}(13)N N ==，(23){(23),(13),(12)}(23)N N ==，所以3a G S ∀∈=，都有aN Na =。
再比如，交换群的子群总满足上述性质。
设G 是群，N G ≤，若,a G aN Na ∀∈=有，则 称N 是G 的正规子群（Normal subgroup ），记作N G 。
由前面，3A 是3S 的正规子群：33.A S交换群的子群都是正规子群；任何群的中心都是的正规子群：()C G G 。
{}e 和G 总是G 的正规子群，称为平凡正规子群，其余的正规子 群称为非平凡正规子群。
定理1. 设N G ≤，则 1,NG a G aNa N -⇔∀∈⊆有； ⇔,,a G x N ∀∈∀∈ 都有1.axa N -∈例1 证明n n A S 。
例2. 设(){|(),||0}n n G GL R A A M R A =∈≠且，(){|||1}n N SL R A A R A =∈=，且， 证明：N G 。
证明：,X G A N ∀∈∀∈，则111||||||||||||||||1,X AX X A X X A X A ---==== 从而，1X AX N -∈，所以N G 。
例3 证明：{}44(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)K S =。
近世代数凯莱定理证明概述说明1. 引言1.1 概述近世代数是研究代数结构的一个重要分支，它在数学和物理学领域中有着广泛的应用。
凯莱定理是近世代数中一项非常重要的定理，它关于群论的一个基本结果。
证明凯莱定理是近世代数领域内的一项经典研究课题，对于加深对近世代数以及群论的认识具有重要意义。
1.2 文章结构本文将围绕凯莱定理的证明展开详细讨论。
首先，在引言部分概述凯莱定理以及文章内容。
之后，我们会介绍近世代数的背景知识，包括定义与基本概念、关键定理和结果以及基础工具与技巧。
接下来，我们将会详细讲解凯莱定理的介绍与意义，包括凯莱定理的历史背景、核心内容以及在数学和物理中的应用。
然后，我们会对近世代数凯莱定理证明进行详述，包括准备工作与思路分析、主要步骤与推导过程以及重要细节与关键观察点。
最后，我们将进行结论与展望，总结回顾凯莱定理证明的要点，并对近世代数的未来发展进行展望和可能性探讨。
1.3 目的本文的目的是系统地介绍近世代数中凯莱定理的证明过程，帮助读者深入理解该定理以及相关的数学背景知识。
通过阅读本文，读者可以掌握凯莱定理证明所需的基本概念、技巧和推导过程，并在此基础上拓宽对近世代数领域的认识。
同时，本文也旨在引起读者对未来近世代数研究方向的思考，并为可能出现的新颖应用提供一些启示。
2. 近世代数的背景知识2.1 定义与基本概念:近世代数是代数学的一个分支，主要研究从16世纪到19世纪中叶的代数学发展。
在这个时期，代数学经历了一系列重要的转变和创新，从传统的基于几何概念和计算方法的代数进化为一门由抽象代数结构和符号运算定义的理论。
在近世代数中，人们广泛研究了群、环和域等抽象结构以及它们之间的关系。
群是指在一个集合上定义了一个二元运算，并满足一些特定的性质，如封闭性、结合律、单位元和逆元等。
环是指在一个集合上定义了两个二元运算，并满足一些特定的性质，如封闭性、结合律、分配律等。
域则是在一个集合上定义了两个二元运算，并满足更多特定性质，如交换律以及每个非零元素都有乘法逆元素等。
§3.2 正规子群与商群对一般的群G 及N G ≤，左、右陪集不一定相等，即一般aN Na ≠， （见上一章例子，3,{(1),(12)}G S N ==，(13)(13)N N ≠）。
但对某些群G 及其子群N G ≤，总有性质：,a G aN Na ∀∈=。
例如，取3,G S = 3{(1),(123),(132)},N A G ==≤ 则当a 取3(1),(123),(132)A ∈时，总有aN Na =。
而当a 取(12),(13),(23)时， (12){(12),(23),(13)}(12)N N ==，(13){(13),(23),(12)}(13)N N ==，(23){(23),(13),(12)}(23)N N ==，所以3a G S ∀∈=，都有aN Na =。
再比如，交换群的子群总满足上述性质。
设G 是群，N G ≤，若,a G aN Na ∀∈=有，则 称N 是G 的正规子群（Normal subgroup ），记作N G 。
由前面，3A 是3S 的正规子群：33.A S交换群的子群都是正规子群； ()C G G 。
{}e 和G 总是G 的正规子群，称为平凡正规子群，其余的正规子 群称为非平凡正规子群。
定理1. 设N G ≤，则 1,NG a G aNa N -⇔∀∈⊆有； ⇔,,a G x N ∀∈∀∈ 都有1.axa N -∈例1 证明n n A S 。
例2. 设(){|(),||0}n n G GL R A A M R A =∈≠且，(){|||1}n N SL R A A R A =∈=，且， 证明：N G 。
证明：,X G A N ∀∈∀∈，则111||||||||||||||||1,X AX X A X X A X A ---==== 从而，1X AX N -∈，所以N G 。
例3 证明：{}44(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)K S =。
证明：注意，4K 中除单位元之外其余3个元素是4S 中仅有的2阶偶置换。
现44,x K S σ∀∈∀∈，则1x σσ-的阶为2且是偶置换，从而14x K σσ-∈，故44K S 。
由,H K K N H N ≤≤⇒≤，即子群具有传递性。
但正规子群不具有传递性，即由,H K K N 推不出HN 。
例如，由例3，44K S 。
现取{}44(1),(12)(34)B K =≤，由于4K 是 交换群，显然有44B K 。
但是4B 不是4S 的正规子群，因为取4(13)S ∈，有{}{}44(13)(13),(1234)(13),(1432)(13)B B =≠=。
上一章有：一个群的两个子群的乘积不一定是子群，但是下面 定理表明：两个正规子群的乘积还是正规子群。
1）设N G ，H G ≤，记{|,}NH nh n N h H =∈∈，则NH G ≤；（2）若N G ，H G ，则.NH G证明 （1）注意NH G NH HN ≤⇔=。
(,)nh NH n N h H ∀∈∈∈，由N G 有hN Nh =，故nh Nh hN HN ∈=⊆，从而NH HN ⊆。
同理可证HN NH ⊆。
所以NH HN =，NH G ≤。
（2）首先由（1）NH G ≤。
其次，a G ∀∈，有()()()()()()a NH aN H Na H N aH N Ha NH a =====，所以 .NH G设:f G G →是群G 到群G 的满同态，则（1）()NG f N G ⇒，即正规子群的像还是正规子群； （2）1()N G f N G -⇒，即正规子群的逆像还是正规子群。
证明 （1）设N G ，有上一节有()f N G ≤。
再(),,n f N a G ∀∈∀∈ 由f 满射有,,n N a G ∈∈ 使得(),()n f n a f a ==。
于是1111()()()()()()()ana f a f n f a f a f n f a f ana ----===。
由于N G ，所以1ana N -∈，从而1()ana f N -∈，即()f N G 。
（2）可类似证明，见上一节。
定义：设N G ≤，用G N 表示N 在G 中的全部陪集的集合（不分 左、右），即{|}G aH a G H =∈。
在G N 中定义运算如下：,,G aN bN N ∀∈ 规定 ((()aN bN ab N ⋅））=。
定理4. G N 关于上面定义的运算构成群，叫做G 对N 的商群。
其中，GN 的单位元为eN N =；11()aN a N --=。
例4. 设4{,,,}G K e a b c ==，取{,}N e a =，则可验证：NG （G 交换群），此时{}{,,,}{,},{,}G eN aN bN cN e a b c N ==。
{,}e a 是G N 的单位元，{,}{,}{,}e a b c b c =；{,}{,}{,}b c b c e a =。
例5. 设,n G S = ,n N A = 则{,}n n n n S A B A =，其中n B 是全体奇置换 的集合。
n A 是n n S A 的单位元，n n n A B B =，n n n B B A =注意，n B 可以写成(12).n n B A =注意：在商群G N 中，a G ∀∈，有()k k aN a N =；||(:)G G N N =；对有限群还有||||(:)||G G G N N N ==。
商群的应用 定理5 设G 是一个pn 阶的有限交换群，其中p 是素数，则G 有 p 阶元，从而G 有p 阶子群。
证明 对n 用数学归纳法。
当1n =时，G 是p 阶循环群，G 的非单位元都是p 阶元，定理成立。
假设定理对阶数为(1)pk k n ≤<的有限交换群成立，以下证对阶数 为pn 的有限交换群也成立。
a G ∀∈且a e ≠。
（1）若||p a ，令||a ps =，则||s a p =，s a G ∈，s a 是G 的一个p 阶元， 定理成立。
（2）若p 不整除||a ，记||a m =，则1,(,)1m m p ≠=。
由于||||a G ， 即|m pn ，所以|m n 。
令H a =<>，由G 交换群得H G ，且 ||||G n G p H H m ==。
此时G H 是一个(1)n pk k n m ≤=<阶的有限交 换群。
由归纳假设，G H 存在p 阶元，设为()bH b G ∈，||bH p =。
令||b r =，则()r r bH b H eH H ===，从而|p r 。
设r pt =，由 ||b r pt ==得||t b p =，t b 是G 的一个p 阶元，定理成立。
推论 pq (,p q 为互异素数)阶交换群必为循环群。
证明 设||G pq =，G 交换群。
由定理5，G 有p 阶元a 和q 阶元b 。
又因为,p q 为互异素数，且ab ba =，所以||||ab pq G ==，从而 G 是由ab 生成的循环群。
例如，623=⨯阶交换群只能是6阶循环群；1025=⨯阶交换群只 能是10阶循环群，…。
注意：推论对非交换群不成立。
例如3||623S ==⨯，3S 不是循环群.（1）哈密尔顿群：如果G 是一个非交换群，且G 的每个子群都是正规子群，则称G 是一个哈密尔顿群。
例6 四元数群{}81,,,,1,,,Q i j k i j k =----是哈密尔顿群。
证明 首先8Q 是非交换群。
其次由Lagrange 定理及其推论，可以找出8Q 的真子群只有{}1,1-，{}1,1,,i i --，{}1,1,,j j --，{}1,1,,k k --。
其中{}1,1-显然是8Q 的正规子群。
对{}1,1,,N i i =--，不难检验{}1,,,,1,,,x i j k i j k ∀∈----， xN Nx =恒成立，所以{}1,1,,i i --是 8Q 的正规子群。
同理，{}1,1,,j j --，{}1,1,,k k --也是8Q 的正规子群。
从而8Q 是哈密尔顿群。
注意：1，2，3，5，7阶群都是循环群，因而是交换群，从而都 不是哈密尔顿群。
再由上一节例3和习题，4阶和6阶群也都不 是哈密尔顿群。
因此，例4表明，四元数群8Q （8阶）是阶数最小的哈密尔顿群。
（2）单群：阶数大于1且只有平凡正规子群的群称为单群（交换非交换都可以）。
例如，素数阶的群一定是单群。
另外，由例3得交错群4A 不是 单群，因为44K A 。
而23,A A （1阶，3阶）显然是单群。
又当 5n ≥时，可以证明n A 都是单群（证明略）。
这样，4A 是所有交 错群中唯一的非单群。
另外还可以证明：当3n ≥且4n ≠时，n S 的正规子群只有{(1)}， n A 和它自己n S ，这样n S 几乎是单群（仅有一个非平凡正规子群）。
单群可以分为交换单群和非交换单群两大类。
其中有限交换 单群的结构非常简单，即有限交换群G 是单群当且仅当它是素数阶的循环群。
证明 首先，素数阶的循环群一定是单群。
反之，设G 是一个有限交换单群且||1G n =>。
a G ∀∈且a e ≠， 若||a n <，由于G 是交换群，所以由a 生成的子群a <>是G 的 一个非平凡正规子群，这与G 是单群矛盾。
因此必有||a n =， 这样G 是一个n 阶循环群。
再由循环群的子群定理，n 必为素数。
（否则，n 的每个正因子都对应一个真子群，与G 是单群矛盾）。
这样G 只能是素数阶的循环群。
非交换单群的确定远比交换单群复杂。
