高等代数正规子群与商群

群论的分支规则群论是数学的一个分支，主要研究的是抽象代数结构——群。

群论的分支规则是指在研究群的过程中，如何将一个大的群分解为更小、更简单的子群。

这些子群之间有一定的关系，可以帮助我们更好地理解和研究整个群的性质。

群论的分支规则主要包括以下几点：1. 正规子群：设G是一个群，H是G的一个子群，如果H满足条件(a) H本身是一个群；(b) H中任意两个元素的乘积仍在H中；(c) G中任意一个元素与H中任意一个元素的乘积仍在G中。

那么H 就是G的一个正规子群。

正规子群具有传递性，即如果H和K都是G 的正规子群，且H包含于K，那么K也包含于H。

2. 商群：设G是一个群，H是G的一个正规子群，那么由G中所有与H无关的元素组成的集合（记作G/H）以及G/H上定义的运算（即将G中的元素g和H中的元素h映射到G/H中的(gH)），就构成了一个群，称为G关于H的商群。

商群可以看作是将G分解为不相交的正规子群H的并集。

3. 循环子群：设G是一个有限群，H是G的一个子群，如果存在一个元素g∈G，使得对于任意的h∈H，都有gh=hg。

那么称H为G 的一个循环子群。

循环子群具有封闭性，即如果H是G的一个循环子群，那么H的任何非空子集也是循环子群。

4. 交换子群：设G是一个群，H是G的一个子群，如果H中任意两个元素的乘积都在H中，那么我们称H为G的一个交换子群。

交换子群具有传递性，即如果H和K都是G的交换子群，且H包含于K，那么K也包含于H。

5. 幂零子群：设G是一个有限群，H是G的一个子群，如果存在一个正整数n，使得hn=e（其中e是G的单位元）对于任意的h∈H都成立，那么我们称H为G的一个幂零子群。

幂零子群具有传递性，即如果H和K都是G的幂零子群，且H包含于K，那么K也包含于H。

通过以上分支规则，我们可以将一个复杂的群分解为更小、更简单的子群，从而更好地理解和研究整个群的性质。

（VIII ）正规子群，商群与同态基本定理一、正规子群（不变子群）GH G H Ha aH G a G H 的正规子群，记为为则称，有如果、定义：设=∈∀≤,,1·G 为交换群（Abel 群），G 的子群为正规子群。

·{e}，G 是平凡正规子群（trivial ） HaHa HaHa H h G a H aha G H G H =⊆∈∈∀∈⇔≤---111)3()2(,,)1(,2 则设、判法Eg1.)()(R GL R SL n nEg2.群的中心G G C G x xa ax a G C )(},,|{)(∈∀==Eg3.44S AEg4.)}23)(14(),24)(13(),34)(12(),1{(K 4=四元群，Klein ，44S K ，44A K 正规子群不具有传递性！如H={（1），（12）（34）}，H 左三角K4，K4左三角S4，但是H 不是S4的正规子群。

二、商群的商群关于称为是群则在上述条件下上定义代数运算：在、【商群】：设H G H G HG bH aH H ab bH aH H G G a aH H G G H ),/(/,,)(:/}|{/,1⋅∈∀=⋅∈= .||||/]:[/2H G H G H G G H H G 的阶是，且当时有限群时，中的指数在的阶是、商群 （当G 为加群时，则正规子群N 的陪集为a+N ，商群G/N 的运算为（a+N ）+(b+N)=(a+b)+N ）三、群同态基本定理1、同态的像、同态核设G G f →:是群同态，同态的像}|)({Im G a a f f ∈=，核})(|{ker e a f G a f =∈= 则有：（1）G f ≤Im（2）G f ker 2、群同态基本定理设G G f →:是群同态⇒群同构：f f G Im ker /≅ 特别地，当f 为满射时，G f =Im 则有G f G ≅ker /。

§3.2 正规子群与商群对一般的群G 及N G ≤，左、右陪集不一定相等，即一般aN Na ≠， （见上一章例子，3,{(1),(12)}G S N ==，(13)(13)N N ≠）。

但对某些群G 及其子群N G ≤，总有性质：,a G aN Na ∀∈=。

例如，取3,G S = 3{(1),(123),(132)},N A G ==≤ 则当a 取3(1),(123),(132)A ∈时，总有aN Na =。

而当a 取(12),(13),(23)时， (12){(12),(23),(13)}(12)N N ==，(13){(13),(23),(12)}(13)N N ==，(23){(23),(13),(12)}(23)N N ==，所以3a G S ∀∈=，都有aN Na =。

再比如，交换群的子群总满足上述性质。

设G 是群，N G ≤，若,a G aN Na ∀∈=有，则 称N 是G 的正规子群（Normal subgroup ），记作N G 。

由前面，3A 是3S 的正规子群：33.A S交换群的子群都是正规子群；任何群的中心都是的正规子群：()C G G 。

{}e 和G 总是G 的正规子群，称为平凡正规子群，其余的正规子 群称为非平凡正规子群。

定理1. 设N G ≤，则 1,NG a G aNa N -⇔∀∈⊆有； ⇔,,a G x N ∀∈∀∈ 都有1.axa N -∈例1 证明n n A S 。

例2. 设(){|(),||0}n n G GL R A A M R A =∈≠且，(){|||1}n N SL R A A R A =∈=，且， 证明：N G 。

证明：,X G A N ∀∈∀∈，则111||||||||||||||||1,X AX X A X X A X A ---==== 从而，1X AX N -∈，所以N G 。

例3 证明：{}44(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)K S =。

正規子群與商群bee *108.03.03∼108.03.03順便證明了Lagrange 定理。

1.定義【共軛變換】(conjugation)：x →gxg −1。

【正規子群的定義與符號】：設N 是G 的子群。

若∀n ∈N,∀g ∈G ，gng −1∈N (即共軛不變)，則N 是G 的一個正規子群(normal subgroup)，記為N ▹G 。

這定義顯然來的突兀，應該了解要這一個定義的目的。

2.陪集設H 是G 的一個子集，考慮aH ={ah }(1)我們發現：當a,b ∈G 時，可得aH =bH 或者是aH ∩bH =∅。

於是我們可以用H 當標準把G 中的元素分類，若aH =bH ，則a,b 為同一類。

這樣我們可以得到一個等價關係，並用符號a 表示{b bH =aH }。

同時，用G H表示集合{g }。

g 實際上是一個集合，稱為左陪集(left coset)，我們現在的想法是把coset 拿來當元素，然後定義一個新的群。

當然，這樣我們需要運算，這個運算就採用原先的運算。

即g 1·g 2={g 1h 1g 2h 2}=g 1hg 2(2)因為G 不一定是交換群，所以g 1h 1g 2h 2的順序不可以隨便交換。

*bee 美麗之家:http:/.tw/bee接下來我們必須驗證這一個運算對於陪集來說擁有群的運算性質。

(1)結合律。

顯然o.k.(2)單位元素。

∀h∈H，h=e=H，我們把e視為單位元素。

計算g·e={gh1eh2}=gH=g。

(3)反元素。

設g∈G，看看g是不是有反元素，直覺的想法是找g−1。

計算g·g−1={gh1g−1h2}=ghg−1?===H(3)如果G是交換群，這件事就搞定拉！可是G不一定是交換群，於是得要求∀g∈G,gh1g−1=h,其中h∈H(4)這就是正規子群的要求。

於是利用原先的群運算，如果H是一個【正規子群】，而不僅僅是一個子群，那麼，我們就可以創造一個新的群：商群：GH(quotient group)3.補充(1)如果G是一個交換群，那麼所有的子群H都是正規群。

第⼆章2.群中的等价关系--陪集，共轭，正规⼦群与商群群作为代数结构⾸先是⼀个集合，那么元素间可能有各种等价关系，这些等价关系给出了群的划分，也使群⾃⾝结构的特异性突出。

⼀、陪集 定义 设H是G的⼀个⼦群，a\in G，作集合aH=\{ax|x\in H\}，称aH是关于⼦群H的⼀个左陪集。

类似地，可定义右陪集Ha=\{xa|x\in H\}. 对于陪集，我们有如下性质: (i) aH中元素个数与H⼀样。

（重新排列定理） (ii) H本⾝也是H的⼀个陪集(eH, He). (iii) a在陪集aH中，称a为陪集aH的⼀个代表。

(iV) 设b\in aH，则有aH=bH. 即aH中任⼀元素，均可作aH的⼀个代表。

(V) 由此可以定义等价关系a,b\in G，若a^{-1}b\in H, 则a\sim b. 此等价关系给出G的⼀个划分 G=a_1H\cup a_2H\cup...\cup a_l H. 下⾯重点证明(iV)和(V)。

证明:　(iV)　有b=ah,\, h\in H。

则对\forall h_i\in H，有ah_i=b(h^{-1}h_i). 即aH\subset bH. 同理，bh_i=a(hh_i)\in aH，即bH\subset aH. 故aH=bH. (V)　⾃反: a^{-1}a=e\in H\quad\Rightarrow a\sim a. 对称: a\sim b\quad\Rightarrow a^{-1}b\in H\quad\Rightarrow (a^{-1}b)^{-1}=b^{-1}a\in H\quad\Rightarrow b\sim a. 传递: a\sim b, b\sim c\quad\Rightarrow a^{-1}b,\,b^{-1}c\in H\quad\Rightarrow(a^{-1}b)(b^{-1}c)=a^{-1}c\inH\quad\Rightarrow a\sim c. 定义 群G中⼦群H的相异陪集个数称为H在G中的指数，记为(G:H). 定理2.3(Lagrange定理) n阶群G的⼦群H的阶m是n的⼀个因数。

正规子群与商群Normal Subgroup and Quotient Group●设(H, ⋅) 是群(G, ⋅) 的一个子群，若对于任意g∈G，有gH = Hg，则称(H, ⋅) 是(G, ⋅) 的正规子群(normal subgroup)或正则子群、不变子群，记作H G●在正规子群中左陪集和右陪集相等，因此统称为陪集●例◆Abel群的子群都是正规子群◆n是的正规子群●定理◆群(G, ⋅)的子群(H, ⋅)是(G, ⋅)的一个正规子群当且仅当对于任意g∈G，h∈H，有ghg-1∈H●证明◆ (必要性)对于任意g∈G, h∈H，由于gH=Hg，存在h1∈H使得gh=h1g，即ghg-1= h1∈H◆（充分性）即证明对于任意g∈G，gH=Hg•对于任意h∈H，gh∈gH，由于ghg-1∈H，存在h1∈H使得ghg-1=h1，即gh = h1g∈Hg。

这表明gH⊆Hg•类似地可以证明Hg⊆gH。

于是gH=Hg，即H 是G的一个正规子群设(H, ⋅) 是(G, ⋅) 的一个正规子群，定义G/H为{ Hg|g∈G } ，对于任意Ha, Hb∈G/H 定义G/H上的运算◦为Ha◦Hb=Hab。

则(G/H, ◦) 构成一个群，称为G关于H的商群（quotient group）。

G/H={Hg|g∈G}, Ha◦Hb=Hab ●证明◆(1) 首先证明◦运算是良性定义的：即若Ha=Hx且Hb=Hy，则Hx◦Hy = Ha◦Hb•若Ha=Hx=xH，Hb=Hy=yH，则对于任意h∈H，, h2∈H使得hab=xh1b=xyh2∈xyH。

由此得存在h1到Hab ⊆xyH = Hxy•类似地可以证明Hxy ⊆Hab•因此有Hxy = HabG/H={Hg|g∈G}, Ha◦Hb=Hab ●证明◆(2) ◦运算的封闭性是显然的。

◆(3) ◦运算的结合性由群(G, ⋅) 上运算的结合性易得◆(4) G/H中存在关于◦运算的单位元He=H◆(5) G/H中任何一个元素都存在关于◦运算的逆元：(Ha)-1= Ha-1◆因此(G/H, ◦)构成一个群●G = {π0, π1, π2, π3} ●S = {π0, π1}，T = {π2, π3} ●S 是 G 的正规子群 ●G /S = {S , T }●(G /S , ◦) 是一个商群 π0 = 1 2 3 4 1 2 3 4 π2 = 1 2 3 4 1 2 4 3π1 = 1 2 3 4 2 1 3 4 π3 = 1 2 3 4 2 1 4 3 ◦ {π0, π1} {π2, π3} {π0, π1} {π0, π1} {π2, π3} {π, π} {π, π} {π, π}The END。