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§8 子群一、子群的定义定义若群G的非空子集H对于G的乘法来说作成一个群, 则称H为G的子群, 记为H ≤G .例1 设G是一个群, 则H1 = G和H2 = { e } 都是G的子群(平凡子群).非平凡子群H也叫真子群, 记为H <G .例2 对于普通乘法来说, C*是一个群. R*是C*的一个子群.例3 在整数加群Z中, H = { 2n | n∈Z } 是一个子群.推论设H ≤G, 则H的单位元就是G的单位元e ; ∀a∈H, a 在H中的逆元就是a在G中的逆元.二、子群的判别定理1 群G的非空子集H作成G的子群的充要条件是(i) ∀a, b∈H⇒ab∈H；(ii )∀a∈H⇒a -1∈H.定理2 群G的非空子集H作成G的子群的充要条件是(iii) ∀a, b∈H⇒ab -1∈H.定理3 群G的非空有限子集H作成G的子群的充要条件是(i) ∀a, b∈H ⇒ab∈H.三、子群的生成设G是一个群, 取定a∈G, 作子集H = { a n | n∈Z }.则H是G的一个子群. H叫做元a生成的(循环)子群:H = ( a ) .例4 G = { 1, -1, i, -i} 关于普通乘法作成一个群( i是虚数单位) . 由元- 1 生成的循环子群为H = ( -1 ) = { 1, -1 }.例5 在模6的剩余类加群Z6中, 由元[ 2 ] 生成的循环子群为H = ( [ 2 ] ) = { [ 0 ], [ 2 ], [ 4 ] }.四、循环群的子群定理4 循环群的子群仍为循环群.例6 在模6的剩余类加群Z6是循环群, 所以其子群都是循环子群. 故Z6的所有子群为H0 = ( [ 0 ] ) = { [ 0 ] };H1 = ( [ 1 ] ) = ( [ 5 ] ) = Z6= { [ 0 ], [ 1 ], [ 2 ], [ 3 ], [ 4 ], [ 5 ] };H2 = ( [ 2 ] ) = ( [ 4 ] ) = { [ 0 ], [ 2 ], [ 4 ] };H3 = ( [ 3 ] ) = { [ 0 ], [ 3 ] }.。
§2.6正规子群和商群§2.6.1正规子群的概念定义1 设G 为群，H ≤G ，若G g ∈∀有 gH=Hg则称H 为G 的正规子群（或不变子群），记为H G 。
注：1°任何群都有两个平凡的正规子群：{e}，G 。
2°若G 为Abel 群，则∀H ≤G ⇒ H G 。
3°指数为2的子群H 必为正规子群。
n A n S ！例子：设G ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫≠∈⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛0,,10r Q s r s r 易见，G 对矩阵的乘法构成群。
若H ＝101s s Q⎧⎛⎞⎫∈⎨⎬⎜⎟⎝⎠⎭⎩⇒H G 。
§2.6.2正规子群的性质定理1 设H 是G 的子群，则以下命题是相互等价的：（1）G a ∈∀，有Ha aH =。
（2）G a ∈∀ ，H h ∈∀有H aha ∈−1。
（3）G a ∈∀ ，有H aHa ⊆−1。
（4）G a ∈∀ ，有H aHa =−1。
证明：（1）⇒（2）： G a ∈∀ ，H h ∈∀有Ha ah ∈，于是H h ∈∃1使a h ah 1= ⇒ H h aha ∈=−11。
（2）⇒（3）：G a ∈∀ ，H h ∈∀有H h ∈∀，自然有H aHa ⊆−1。
（3）⇒（4）： G a ∈∀，有H aHa ⊆−1，同样有H a H a ⊆−−−111)(，于是H h ∈∀，有H h ha a ∈=−11 ，得111−−∈=aHa a ah h 1−⊆⇒aHa H ，故H aHa =−1。
（4）⇒（1）：由H aHa =−1⇒Ha a aHa =−)(1，即Ha aH =。
注：1°检验一个子群是否为正规子群，可用上述条款中的任意一款。
如上例中，任取G s r a ∈⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1，H t h ∈⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=11，要证H G ，检验H rt s r r t s r aha∈⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−−−111111111，所以H G 。
