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第3课 概率论选讲

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人教A版高中数学必修三第三章3.1.2概率的意义课件

人教A版高中数学必修三第三章3.1.2概率的意义课件
投篮次数 40 50 60 100 200 240 300 进球次数 30 40 48 85 166 192 228
m
进球频率 0.75 0.8 0.8 0.85 0.8 0.8 0.76.
（1）计算表中进球的频率； （2）这位运动员投篮一次，进球的概率
1点 2点 3点 4点 5点 6点
这
1点 2
3
4
5
6
7
样
的
2点 3
4
5
6
7
8
游
3点 4
5
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7
8
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戏
4点 5
6
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8
9 10
公
平
5点 6
7
8
9 10 11
吗
6点 7
8
9 10 11 12
?
问题引入 新课探究 课堂小练 课堂小结
2、决策中的概率思想
思考：如果连续10次掷一枚色子，结果都是 出现1点，你认为这枚色子的质地均匀吗？为 什么？ 两种想法：
问题引入 新课探究 课堂小练 课堂小结
豌豆杂交试验的子二代结果
性状
显性
隐性
显性:隐性
子叶的颜色 黄色 6022 绿色 2001 3.01:1
种子的性状 圆形 5474 皱皮 1850 2.96:1
茎的高度
长茎 787 短茎 277
2.84:1
问题引入 新课探究 课堂小练 课堂小结
遗传机理中的统计规律
问题引入 新课探究 课堂小练 课堂小结
问题1：有人说，既然抛掷一枚硬币出现正面的 概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的 硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上。
你认为这种想法确吗？

第3次课--条件概率全概率公式

第3次课--条件概率全概率公式
解： 设 A 表示“患有癌症”， A 表示“没有癌症”，B表示“实
验反应为阳性”，则由条件得
概率论与数理统计
2013
练习：某工厂生产的产品中９６％是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为 是次品的概率为０.０２，一个次品被认为是合格品的概率为０.０５，求在被检 查后认为是合格品产品确是合格品的概率． 解：设A={产品确为合格品} ， B={产品被认为是合格品}
分析：如果设事件A为“第一次取到正品”，事件B为“第二次取 到正品”，则问题转化为求条件概率P(B|A).
〖解〗：由条件可得：
P(A) 3 4 12 , P(AB) 3 2 6 ,
5 4 20
5 4 20
故有
P(B | A) P(AB) 1 . P(A) 2
概率论与数理统计
3
2013
【例2】 : 某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为 0.5，既下雪又下雨的概率为0.1，求： （1）在下雨条件下下雪的概率； （2）这天下雨或下雪的概率.
解 ：设A={下雨}，B={下雪}.
（1） P(B | A) P( AB) 0.1 0.2
P( A) 0.5
（2）P(A B) P(A) P(B) P(AB) 0.3 0.5 0.1 0.7
概率论与数理统计
2013
二、条件概率的性质
1、条件概率也是概率.因而也满足概率的三条公 理及其各个性质。
P（A|B）
Байду номын сангаас
概率论与数理统计
2013
显然，P(A|B)≠P(A)=1/2。
此外,在样本空间 中易计算得:P(B)=3/4,P(AB)=
1/4,且有
P(A | B) P(AB) . P(B)

人教版高中数学必修3第三章概率《3.1.1 随机事件的概率》教学PPT

人教版高中数学必修3第三章概率《3.1.1 随机事件的概率》教学PPT

1061
0.5181
4040
2048
0.5069
12000
6019
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12012
05005
30000
14984
0.4996
72088
36124
0.5011
我们看到，当试验次数很多时，出现正面的 频率值在0.5附近摆动.
上述试验表明，随机事件A在每次试验中是否 发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随 着试验次数的增加，事件A发生的频率呈现出一定 的规律性，这个规律性是如何体现出来的？
有些事情的发生是偶然的，有些事情的发生是必然的.
但是偶然与必然之间往往有某种内在联系.
例如，北京地区一年四季的变化有着确定的、必 然的规律，但北京地区一年里哪一天最热，哪一天最 冷，哪一天降雨量最大，那一天降雪量最大等，又是 不确定的、偶然的.
基本概念
1、随机事件: 在条件S下可能发生也可能 不发生的事件，叫做相对于 条件S的随机事件，简称随 机事件.
这些事件会发生吗？是什么事件？
不可能发生，不可能发生，不可能事件
确定事件
考察下列事件： （1）某人射击一次命中目标； （2）任意选择一个电视频道，它正在播放
新闻； （3）抛掷一个骰子出现的点数为奇数.
这些事件一定会发生吗？他们是什么事件？
可能发生也可能不发生，随机事件.
对于随机事件，知道它发生的可能性大小是 非常重要的.
2、必然事件: 在条件S下一定会发生的事 件，叫做相对于条件S的必 然事件，简称必然事件.
3、不可能事件: 在条件S下一定不会发生的事 件，叫做相对于条件S的不可 能事件，简称不可能事件.
4、确定事件: 必然事件与不可能事件统称为 相对于条件S的确定事件，简称 确定事件.

概率论 高等院校概率论课件JXHD3-3

概率论 高等院校概率论课件JXHD3-3

§3.3 相关系数与相关阵一．协方差(Covariance) 与相关系数当Y X ，独立时，0))((=-=--EXEY EXY EY Y EX X E 定义3-5 设X 与Y 是两个随机变量，若))((EY Y EX X E --存在，则称其为随机变量X 与Y 的协方差，记为)(Cov Y X ，，即)(Cov Y X ， =))((EY Y EX X E -- （3-17）称 DY DX Y X XY ),(Cov =ρ （3-18） 为X 与Y 的相关系数或标准协方差。

Correlation Coefficient Standard Covariance由前讨论知)(Cov Y X ， EXEY EXY -= （3-19）且易证下面的等式DY DX Y X D +=+)(+2)(Cov Y X ， （3-20） 由协方差的定义容易得到它有如下性质：（1）)(Cov Y X ，=)(Cov X Y ，；（2）)(Cov bY aX ，=ab )(Cov Y X ，，其中b a ，为常数；（3）)(Cov 21Y X X ，+=)(Cov 1Y X ，+)(Cov 2Y X ， 只证（3），其它自证。

（3）)(Cov 21Y X X ，+=)(Cov 1Y X ，+)(Cov 2Y X ，事实上，)(Cov 21Y X X ，+))](([2121EY Y X X E X X E -+-+=+--=))([(11EY Y EX X E )])((22EY Y EX X --+--=))((11EY Y EX X E ))((22EY Y EX X E --)(Cov 1Y X ，=)(Cov 2Y X ，+ 定理3-4 设XY ρ是随机变量X 与Y 的相关系数，则有1≤XY ρ；且1=XY ρ的充要条件是X 与Y 依概率1线性相关，即存在常数b a ，使1}{=+=bX a Y P 。

浙大概率论与数理统计课件第3章节 2

浙大概率论与数理统计课件第3章节 2

0
例2：某足球队在任何长度为 t 的时间区间内得黄牌 或红牌 的次数N t 服从参数为 t 的Poisson分布, 记X i为比赛 进行ti 分钟后的得牌数, i 1, 2 t2 t1 。 试写出X 1 , X 2的联合分布。
e t t 解：P N t k , k 0,1, 2, k!
§1 二维随机变量
问题的提出
例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身 高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的。需 要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身 高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一 样本空间的两个随机变量。 例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的 弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而 它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。
( x 2 )2 2 22
两个边缘分布都是 一维正态分布， 并且都不依赖于参数
同理 fY ( y )
2 2
1
e
,
y
•1
3
§3 条件分布
P( A) 0, 正如对两事件A,B，若 可以考虑条件概率一样，对二维离 P( B | A) 散型随机变量(X,Y)，其分布律为：
为在Y y j 条件下，随机变量X 的条件分布律；
同样，对于固定的xi， 若 P( X xi ) 0，则称：
P(Y y j | X xi ) P( X xi，Y y j ) P( X xi ) pij pi j 1, 2
为在X xi 条件下，随机变量Y的条件分布律。
2
fY ( y)


y 6dx 6( y y ), f ( x, y)dx y 0,

人教A版高中数学必修3《三章 概率 3.1 随机事件的概率 3.1.2 概率的意义》示范课课件_21

人教A版高中数学必修3《三章 概率 3.1 随机事件的概率 3.1.2 概率的意义》示范课课件_21

豌豆杂交试验的子二代结果
性状
子叶的 颜色 种子的 性状
茎的高度
显性 黄色 6022
圆形 5474
长茎 787
隐性 绿色 2001
皱皮 1850
短茎 277
你能从这些数据中发现什么规律吗？
孟德尔的豌豆实验表明，外表完全相同 的豌豆会长出不同的后代，并且每次试 验的显性与隐性之比都接近3︰1，这种 现象是偶然的，还是必然的？我们希望 用概率思想作出合理解释.
3.利用概率思想正确处理和解释实际问题，是 一种科学的理性思维，在实践中要不断巩固和 应用，提升自己的数学素养.
思考7：在遗传学中有下列原理： （1）纯黄色和纯绿色的豌豆均由两个特 征因子组成，下一代是从父母辈中各随 机地选取一个特征组成自己的两个特征. （2）用符号AA代表纯黄色豌豆的两个特 征，符号BB代表纯绿色豌豆的两个特征. （3）当这两种豌豆杂交时，第一年收获 的豌豆特征为：AB.把第一代杂交豌豆再 种下时，第二年收获的豌豆特征为： AA， AB，BB.
（4）对于豌豆的颜色来说．A是显性因子，
B是隐性因子.当显性因子与隐性因子组合时，
表现显性因子的特性，即AA，AB都呈黄色；
当两个隐性因子组合时才表现隐性因子的特
性，即BB呈绿色．
在第二代中AA，AB，BB出现的概率分别是多
少？黄色豌豆与绿色豌豆的数量比约为多少？
P( AA) 1 1 1 P(BB) 1 1 1
22 4
22 4
P( AB) 1 1 1 1 44 2
黄色豌豆(AA，AB)︰绿色豌豆(BB)
小结作业
1.概率是描述随机事件发生的可能性大小的 一个数量，即使是大概率事件，也不能肯定 事件一定会发生，只是认为事件发生的可能 性大. 2.孟德尔通过试验、观察、猜想、论证，从 豌豆实验中发现遗传规律是一种统计规律， 这是一种科学的研究方法，我们应认真体会 和借鉴.

精品课程《概率论》ppt课件(全)


第一章 概率论的基本概念
前言
1. 确定性现象和不确定性现象.
2. 随机现象: 在个别试验中其结果呈现出 不确定性,在大量重复试验中其结果又 具有统计规律性.
3. 概率与数理统计的广泛应用.
§1.随机试验
举例: E1: 抛一枚硬币，观察正(H)反(T)面的情况.
E2: 将一枚硬币抛两次,观察正反面出现的情况.
成 为 数学 分支
1713年<<猜 度术>> 2
棣莫佛(1667-1754): <<分析杂论>>
中心极限定理(CLT)(1901 年), 乘法原理，正态分布等。
蒲丰(1707-1788)：蒲丰问题
几何概率
拉普拉斯(1749-1827)：1812《概率分析理论》
概率的古典定义
泊松(1781-1840)：推广了大数定理，提出了Poisson分布等.
A的对立事件A记 ,A也 为称A 为不发.生
若A与B互为对立事件，A则 B记 ,或为
BA.
B
A
BA
S
(1)若A, B二事件互为对立事件, 则A,B必互不相容, 但反之不真.
(2)必然事件与不可能事件互为对立事件，
S或S.
(3)ABABAAB
7.事件的运算律:
交换律: A B B A ； A B B A
P(B| A
)nnA ABnnA AB nn
P(AB P(A)
)
1. 定义: 设A, B是两个事件, 且P(A)>0, 称
P(B| A) P(AB ) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件,即

2019-2020人教B版数学必修3 第3章 3.1.3 频率与概率课件PPT

栏目导航
3．如何用概率知识解释天气预报中的“降水”？ [提示] 天气预报中的“降水”是一个随机事件，概率只是说 明这个随机事件发生的可能性的大小，概率值越大，说明在一次试 验中事件发生的可能性越大，但在一次试验中，“降水”这个事件 是否发生还是随机的．
栏目导航
【例1】 下列说法正确的是( ) A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两小孩， 则一定为一男一女 B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖 C．10张票中有1 张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大 D．10张票中有1 张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都 是0.1
[思路探究] 抓住事件的概率是在大量试验基础上得到，它只 反映事件发生的可能性大小．
栏目导航
D [一对夫妇生两小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)， (女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2， 当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或 者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人 摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1， 所以C不正确，D正确．]
第三章 概 率
3.1 事件与概率 3.1.3 频率与概率
栏目导航
学习目标
核心素养
1.在具体情境中，了解随机事件发生 1.通过频率与概率的学习，培
的不确定性和频率的稳定性．(重点) 养数学抽象的数学核心素
2．正确理解概率的意义，利用概率 养．
知识正确理解现实生活中的实际问 2．借助概率知识理解现实生
第5个病人的治愈率为 ( )
A．1
1 B.5
4 C.5
D．0
B [由概率的意义知，第5个病人的治愈率仍为15，与前4个病人

概率论3ppt课件


••
•
•中心• • •
•
••中•••心•• •••
••
甲炮射击结果
乙炮射击结果
较好
因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 .
(1）方差的定义
设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]2}<∞，
则称 D(X)=E{[X-E(X)]2 } 为X的方差. 称 D( X )为X标准差.
• • • • •a•• • • •
2)若C是常数,则D(CX)= C2 D(X);
3) 若X1与X2 独立，则
D(X1+X2)=D(X1)+D(X2);
可推广为：若X1,X2,…,Xn相互独立,则
n
n
D[ X i ] D( X i )
i 1
i 1
3 常见分布的数学期望和方差
离散型
两点分布 P( X 0) 1 p, P( X 1) p E( X ) p D( X ) p(1 p)
D(Y ) (6 8)2 0.2 (7 8)2 0.1 (8 8)2 0.4 (9 8)2 0.1 (10 8)2 0.2 1.8 送甲去参加奥运会更合理。
Y 6 7 8 9 10
Pk 0.2 0.1 0.4 0.1 0.2
(2）方差的性质
1)设C是常数,则D(C)= 0;
=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2} =E(X2)-2[E(X)]2 +[E(X)]2 =E(X2)-[E(X)]2
展开
利用期望 性质
例3.要在甲乙两射手之间选送一个人去参加奥运会， 已知两人的射击成绩的分布律分别为：
X 6 7 8 9 10
Pk 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
Y 6 7 8 9 10

概率论与数理统计图文课件最新版-第3章-多维随机变量及其分布


比如:
概率统计
比如：
1 x y 0
F( x, y) 0 x y 0
对这二元函数来验证第4条性质。
现找 4 个点如下：
( x2 , y2 ) (1, 1); ( x1, y2 ) (1, 1)
( x2 , y1 ) (1, 1); ( x1, y1 ) (1, 1)
F(1,1) F(1,1) F(1, 1) F(1, 1)
0
x 0, y 0 其它
求: (1) 分布函数 F( x, y)
(2) ( X ,Y )落在G内的概率
其中 G: x y 1 及 x 轴、y 轴所围区域
解: (1) Q
x
F(x, y)
y
f ( x, y)dxdy
当 x 0, y 0 时
xy
F( x, y)
0 dx 0
2,4,8,10,14,16,20这7个 数不能被3整除,但能
被2整除
6,12,18这3个数能被2 整除,又能被3整除
不难验证:
1 1
7473
pi j 0, 0 0 pi j 21 21 21 21 1
概率统计
故 得： (X,Y) 的 联合分布 律为:
XY
0 1
01
7
4
21 21
7
P( x1 X x2 , y1 Y y2 )
F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y1 ) F ( x1, y2 )
如图:
y
y2 L
y1 L M
M
x
0 x1
x2
概率统计
2. 二维随机变量分布函数 F(x,y) 的性质
性质1 F(x,y) 分别对 x 和 y 单调非减, 即:
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牛顿-莱布尼茨公式展示了微分与积分的基本关系: 在一定程度上微分与积分互 为逆运算.
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管枫
数学基础班第 3 课课件：概率论选讲
积分学: 微积分基本定理：牛顿-莱布尼茨公式
管枫
数学基础班第 3 课课件：概率论选讲
积分学
小结 (积分学) 积分的代数意义是无穷求和，几何意义是带符号的体积 微分和积分在一定程度上互为逆运算 熟悉微分公式有助于计算积分 多重积分可以理解成是依次进行的单重积分
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管枫
数学基础班第 3 课课件：概率论选讲
积分学: 微积分基本定理：牛顿-莱布尼茨公式
Theorem (牛顿-莱布尼茨公式) 如果 f (x) 是定义在闭区间 [a, b] 上的可微函数, 那么就有 ∫b
a
f ′ (t)dt = f (b) − f (a)
不定积分表示为 ∫ f ′ (t)dt = f (x) + C
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管枫
数学基础班第 3 课课件：概率论选讲
积分学: 微积分基本定理：牛顿-莱布尼茨公式
Example 函数
1 xα
= x−α 的不定积分
d n 我们知道幂函数的导数公式 dx x = n · xn−1 . 反向思维如果 n − 1 = −α，那么 n = −α + 1. 所以令 f (x) = x−α+1 ，那么 f ′ (x) = (−α + 1) · x−α . 于是当 α ̸= 1 时， ∫ 1 1 dx = +C α x (1 − α)xα−1 d 当 α = 1 的时候呢，我们熟知 dx ln(x) = 1/x. 所以 ∫ 1 dx = ln(x) + C x
数学基础班第 3 课课件：概率论选讲
记号
本节课常用数学记号
b ∫ a
Rn f (x) f (x)dx X E (X ) V ar(x) µn (x)
实坐标空间 函数 函数积分 随机变量 随机变量的期望 随机变量的方差 随机变量的 n 阶矩
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概率其实就是集合的大小比例，而概率函数或者概率密度函数可以理解为比较 . . . . . . . . . . . . . . . . 大小时候的权重 . . . . . . . . . . . . . . . . .
管枫 数学基础班第 3 课课件：概率论选讲
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随机变量与概率：贝叶斯公式
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管枫
数学基础班第 3 课课件：概率论选讲
共轭分布 如果参数的后验分布与先验分布属于同一类分布，那么我们说这 种先验分布为共轭分布 (Conjugate prior). 比如 似然函数为正态分布时, 如果 σ 已知，关于 µ 的正太分布是 共轭分布 似然函数为正态分布时, 如果 µ 已知，关于 σ 的反 Gamma 分布是共轭分布 具体共轭分布列表可以参考 https:///wiki/Conjugate_prior 共轭分布的好处在于，先验与后验分布属于一个大类，这样计算 和理解上都比较方便.
数学基础班第 3 课课件：概率论选讲
管枫
七月在线
July, 2016
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管枫
数学基础班第 3 课课件：概率论选讲
主要内容
积分学
– 理解积分：无穷求和，体积
– 微积分基本定理：牛顿-莱布尼茨公式
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管枫
数学基础班第 3 课课件：概率论选讲
随机变量与概率
小结 (随机变量与概率) 概率可以理解为事件所代表的集合在全概率空间中的比例 对于概率分布参数的先验分布有不同的观点 如果参数先验分布与后验分布属于同一类，则叫做共轭分布
Example 函数 ln(x) 的不定积分
1 令 f (x) = x ln(x) − x，则 f ′ (x) = 1 · ln(x) + x · x − 1 = ln(x). 根据牛顿-莱布尼茨公式我们得到 ∫ ∫ ln(t)dt = f ′ (t)dt = x ln(x) − x + C
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本课对这两种观点相关的方法都进行介绍，本章介绍的先验分布，以及共轭分 布将来会出现在贝叶斯学习中，而下一章的极大似然估计方法就更像是 Frequentists 的做法
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管枫
数学基础班第 3 课课件：概率论选讲
随机变量与概率：概率密度函数的积分
离散随机变量 假设随机变量 X 的取值域为 Ω = {xi }∞ i=1 ，那么对于任何一个 xi ，事件 X = xi 的概率记为 P (xi ). 对于 Ω 的任何一个子集 S = {xki }∞ i=1 ，事件 X ∈ S 的概率为 P (S ) =
a
对于连续型随机变量，概率为概率密度函数的积分. 不论是离散还是连续型随机变量, 概率函数和概率密度函数 的定义域即为这个随机变量的值域. 作为一个特殊的概率函数，分布函数定义为 Φ(x) = P (X < x).
我们在此课中只考虑几乎处处连续的概率密度函数，我们不考虑离散，连续混 . . . . . . . . . . . . . . . . 合型的随机变量 . . . . . . . . . . . . . . . . .
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管枫
数学基础班第 3 课课件：概率论选讲
积分学: 多变量积分
多变量函数的积分 如果一个函数 f (x, y ) 有多个变量，那么在矩形 [a, b] × [c, d] 上 的多重积分可以看成是每一个变量的依次积分 ∫d ∫b f (x, y )dxdy
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管枫
数学基础班第 3 课课件：概率论选讲
积分学: 理解积分：无穷求和，体积
Definition (单变量函数黎曼积分) 令 f (x) 为开区间 (a, b) 上的一个连续函数，对于任何一个正整 −a) 数 n 定义,xi = a + i(bn 求和式： Sn (f ห้องสมุดไป่ตู้ =
管枫 数学基础班第 3 课课件：概率论选讲
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随机变量与概率：如何理解概率
事件的概率 整个概率空间是一个事件，这个事件一定发生所以全空间的 概率为 1 事件是随机变量值域的子集 S 事件的概率则表示 S 里面概率之和或概率密度之积分. 事件的条件概率 条件也是事件，也可表示为随机变量值域的子集:A 条件概率里面的事件，又是这个条件的子集:S ∩ A ⊂ A 事件的条件概率则表示 S ∩ A 在 A 里面所占的比例. 故而 (S ∩A) P (S |A) = PP (A)
贝叶斯公式 如果 A, B 是两个事件，那么条件概率满足公式 P (A|B ) = P (B |A)P (A) P (B )
利用前面的定义我们知道，事件 A, B 同时发生的概率为 P (A ∩ B ), 一方面 P (A ∩ B ) = P (B |A)P (A) 另一方面对称的有 P (A ∩ B ) = P (A|B )P (B ) 所以 P (B |A)P (A) = P (A|B )P (B ), 两边同时除以 P (B ) 就得到 了贝叶斯公式.
概率空间
– 随机变量与概率：概率密度函数的积分
– 条件概率 – 共轭分布
大数定律和中心极限定理
– 随机变量的矩
– 切比雪夫不等式 – 大数定律 – 中心极限定理
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管枫
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数学基础班第 3 课课件：概率论选讲
积分学: 理解积分：无穷求和，体积
理解积分 代数意义: 无穷求和 几何意义: 函数与 X 轴之间的有向面积
此处课堂画图举例说明
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