3概率论第三讲(3学时)

现代概率论03：测度空间（1）⽬录第三讲 测度空间(1)2.1 测度的定义及性质2.1.1 测度的公理化定义本节主要讨论测度的定义及性质，在此之前需要引⼊⼏个概念：⾮负集函数：给定空间 X 上的集合系 E ，将定义在 E 上，取值于 [0,∞] 上的函数称为⾮负集函数，常⽤希腊字母 µ,ν,τ,⋯ 来表⽰。

可列可加性：如果对任意可列个两两不交的集合 {A n ∈E,n ≥1} 满⾜ ∞⋃n =1A n ∈E ，均有µ∞⋃n =1An=∞∑n =1µ(An ),则称⾮负集函数 µ 具有可列可加性。

有限可加性：如果对任意有限个两两不交的集合 {A k ∈E,1≤k ≤n } 满⾜ n⋃k =1Ak∈E ，均有µn⋃k =1Ak=n∑k =1µ(Ak ),则称⾮负集函数 µ 具有有限可加性。

可减性：如果对 ∀A ,B ∈E ，满⾜ A ⊂B ，且有 B −A ∈E ，只要 µ(A )<∞ ，就有µ(B −A )=µ(B )−µ(A ),则称⾮负集函数 µ 具有可减性。

本节的核⼼是测度的公理化定义，具体如下：测度的公理化定义：指的是在抽象空间的集合上建⽴的测度。

设 E 是 X 上的集合系，且 ∅∈E 。

若 E 上的⾮负集函数 µ 满⾜：(1) µ(∅)=0 ；(2) 可列可加性，则称 µ 为 E 上的测度。

若 µ(A )<∞, ∀A ∈E ，则称测度 µ 为有限测度。

()()若 ∀A ∈E ，存在 {A n ∈E,n ≥1} ，使得 ∞⋃n =1An⊃A ，则称测度 µ 为 σ 有限测度。

命题 2.1.1：测度具有有限可加性和可减性。

命题 2.1.2：设 X ⊂R, E =Q R ，F 是 R 上⾮降右连续的实值函数。

第三讲 条件概率1．引例例1 将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的情况。

设事件A 为"至少有一次为H"，事件B 为"两次掷出同一面". 现在求已知事件A 已经发生条件下事件B 发生的概率. 解：样本空间为S=(HH,HT,TH,TT},A={HH,HT,TH}, B={HH,TT}.于是, 在A 发生的条件下B 发生的概率,记为P(B|A),为.31)|(=A B P另外, 易知4/34/131)|(,41)(,43)(====A B P AB P A P 故有)1.5()()()|(A P AB P A B P =2. 条件概率的定义：设A,B 是两个事件, 且P(A)>0, 称)2.5()()()|(A P AB P A B P =为在事件A 发生条件下事件B 发生的条件概率.不难验证, 条件概率P (·|A)符合概率定义中的三个条件. 故§3中对概率所证明的一些重要结果都适用于条件概率. 例如, 对于任意事件B 1,B 2有 P(B 1⋃B 2|A)=P(B 1|A)+P(B 2|A)-P(B 1B 2|A).§5 条件概率条件概率是概率论中的一个重要概念, 所考虑的是事件A 已发生的条件下，事件B 发生的概率.已知事件A 已发生, 知道"TT"不可能发生. 即知试验所有可能结果所成的集合就是A, A 中共有3个元素, 其中只有HH ∈B.对于一般古典概型问题, 若仍以P(B|A)记事件A 已经发生的条件下B 发生的概率, 则关系式(5.1)仍然成立. 事实上, 设试验的基本事件总数为n, A 所包含的基本事件数为m(m>0), AB 所包含的基本事件数为k, 即有)()(//)|(A P AB P n m n k m k A B P ===非负性: 对任一事件B, 有P(B|A)≥ 0;规范性: 对于必然事件S, 有P(S|A)=1;可列可加性: 设B 1,B 2,...,是两两互斥事件,()A B P A B P i i i i ||11∞=∞=⋃=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃例２ 一盒子装有4只产品, 其中有3只一等品, 1只二等品, 从中取产品两次, 每次任取一只, 作不放回抽样. 设事件A 为"第一次取到的是一等品", 事件B 为"第二次取到的是一等品". 试求条件概率P(B|A).解易知此属古典概型问题.试验E(取产品两次, 记录其号码)的样本空间S 中的样本点总数为=1314C C 12，事件A 中的样本点数为=1313C C 9，事件AB 中的样本点数为=1213C C 6。

《概率论与数理统计》教学大纲课程名称：概率论与数理统计英文名称：Probability Theory and Mathematical Statitics课程编号：09420003学时数及学分：54学时 3学分教材名称及作者：《概率论与数理统计》（第三版）, 盛骤、谢式干、潘承毅编出版社、出版时间：高等教育出版社，2001年本大纲主笔人：邓娜一、课程的目的、要求和任务概率统计是一门重要的理论性基础课，是研究随机现象统计规律性的数学学科，本课程的任务是使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决、处理实际不确定问题的基本技能和基本素质。

通过本课程的学习，要使学生初步理解和掌握概率统计的基本概念和基本方法，了解其基本理论，学习和训练运用概率统计的思想方法观察事物、分析事物以及培养学生用概率统计方法解决实际问题的初步能力。

概率统计的理论和方法的应用是非常广泛的，几乎遍及所有科学技术领域，工农业生产和国民经济的各个部门，例如使用概率统计方法可以进行气象预报，水文预报以及地震预报，产品的抽样检验，在研究新产品时，为寻求最佳生产方案可以进行试验设计和数据处理，在可靠性工程中，使用概率统计方法可以给出元件或系统的使用可靠性以及平均寿命的估计，在自动控制中，可以通过建立数学模型以便通过计算机控制工业生产，在通讯工程中可用以提高抗干扰和分辨率等。

所以我院各专业学习概率统计是非常必要的，它也是学习专业课的基础。

二、大纲的基本内容及学时分配本课程的教学要求分为三个层次。

凡属较高要求的内容，必须使学生深入理解、牢固掌握、熟练应用。

其中，概念、理论用“理解”一词表述，方法、运算用“熟练掌握”一词表述。

在教学要求上一般的内容中，概念、理论用“了解”一词表述，方法、运算用“掌握”表述。

对于在教学上要求低于前者的内容中，概念、理论用“会”一词表述，方法、运算用“知道”表述（一）随机事件及其概率1、理解随机实验、随机事件、必然事件、不可能事件等概念。

《概率论》课程教学大纲ProbabiIity一、课程基本信息学时：48学分：3考核方式：考试。

期末成绩、平时成绩各占总成绩的70%和30%课程简介：《概率论》是一门研究和探索客观世界随机现象规律的数学学科。

它以随机现象为研究对象,是数学的分支学科,在金融、保险、经济与企业管理、工农业生产、医学、地质学、气象与自然灾害预报等等方面都起到非常重要的作用。

随着计算机科学的发展，以及功能强大的统计软件和数学软件的开发，这门学科得到了蓬勃的发展，它不仅形成了结构宏大的理论，而且在自然科学和社会科学的各个领域应用越来越广泛。

因此，将《概率论》这门课程定为必修基础课。

二、课程性质与教学目的《概率论》是统计学专业学生一门重要的专业基础必修课，在教学培养计划中列为基础主干课程。

通过本课程的学习，使学生不但比较系统的掌握概率论的基础知识，而且使学生学到随机数学的基础研究方法，另外训练学生严密的科学思维及分析问题解决问题的能力，为学生学习后继课打下良好的基础。

学习本课程要求学生具备必要的数学分析、高等代数等基础知识。

三、教学方法与手段以课堂教学为主，并结合案例分析与课程设计等手段使学生较好的掌握概率论中的重点和难点，提高学生的逻辑思维能力和数据分析模型的学以致用能力。

五、推荐教材和教学参考资源推荐教材：张超龙、杨建富编《概率论与数理统计教程》，中国农业出版社。

教学参考资源：1.沈恒范，《概率论与数理统计教程》，高等教育出版社，20052.盛骤等，《概率论与数理统计》，高等教育出版社，20083.华东师范大学数学系，《概率论与数理统计教程》，高等教育出版社，19804.张玉春、刘玉凤，《概率论与数理统计学习指导》，国防工业出版社，2008。

第三讲 拉格朗日插值逼近（下）()sin 2(),02,3,5,8,01,1,,,3xi i f x e x x n n i n ππ=≤≤=== 选择插值节点分别得到次、5次、8次拉格朗日插值应用实例多项式.()()()()()()3333000()2,0,1,21,33j i j i j j i i i i i i x x l x x x i x i P x f x f x π===≠⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦--==∏∑∑()()()()()()5550500()2,0,1,2,3,4,552j i j i j j i i i i i i P x f x f x x x l x x x i x i π===≠⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣-==⎦-∑∏∑()()()()()()8880800()2,0,1,2,3,4,5,6,7,83j i i j i j j i i i i P x f x f x x x l x x x i x i π=≠==⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣-=⎦-=∑∏∑如图所示，随着插值节点的增加,拉格朗日插值多项式的逼近效果越来越好.()()21(),||1,10.50.25,0.2,1250,1,,48,1042i f x x x i i i xi =≤=-++= 选择插值节点分别得到次、8次、10次拉格朗日插例值多项式()()()()()()440004410.5,0,1,2,3,1(4)j i j i i i i i i j j iP x f x f x x i i x x l x x x ===≠⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-+=--∏∑∑()()()()()()888008010.25,0,1,2,3,4,5,6,827,()i i i j i j i j j i i i P x f x f x x x l i x x x x i ===≠⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦-=-+=-∑∑∏()()()()()()101001010003()j i j i j i i j ii i x x P x f x f l x x x x ===≠⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦--∏∑∑如图所示，在逼近效果比较好,但是靠近[0.2,0.2]区间端点处逼近效果不好,随着节点的增加,拉格朗拉格朗日插值逼近插值误差估计定理()()(1)01(1)110()[,]()[,],,()(,[,]()()()4,[),]()(1)!()().n n n n n n n n n n j j f x a b f x a b x x x a b R x f x f R x x n x x P x a b x ξξωω++++==+=-=-∈∏ 设在上连续,在上存在，是上互异的点,则插值余项有如下估计其中拉格朗日插值逼近[][]()012(),,,,n f x x a b a b a x x x x b P x ∈=<<<<= 函数对进行分割分段线性函数满足:()(),0,1,2,,i i P x f x i n== 分段插值数学描述()()()11111,,,1,2,,i i i i i i i i i i x x x x P x f x f x x x x x x x x i n-------=+--∈=⎡⎤⎣⎦分段逼近分段光滑函数应用：样条函数逼近。