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第3讲概率论

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概率论与数理统计第3讲

概率论与数理统计第3讲
6
6
定义 1.2 设P(A)>0，则B对A的条件概率为
P( AB ) P( B | A) P( A) (1.10)
7
7
P( AB ) P( B | A) P( A)
(1.10)
但是不要以为通常的概率论问题都是根据式 (1.10)计算条件概率的，其实不然。在解 决许多问题时，条件概率是通过对试验 进行控制而更改了样本空间而得到的， 就是说，修改随机试验使得那个条件事 件A上升为必然事件或者新的样本空间， 然后再通过试验、思考或者计算得到 P(B|A)。
18
18
P( AB ) P( B | A) P( A)
(1.10)
因为如此，所以经常倒是利用式(1.10)来计算 P(AB)，即有如下的乘法法则： 定理 1.7 (乘法法则) 对两个事件A,B, 设 P(A)>0，则下式成立： P(AB)=P(A)P(B|A) (1.11)
19
19
P(AB)=P(A)P(B|A) (1.11) 这样的乘法法则可以推广到三个甚至更 多个事件上去。例如对于事件A，B，C， 就有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) 这是因为上式右边头两项的乘积就是 P(AB)，再利用一次公式(1.11)就可得结 果。
22
22
而这道题当然也可以完全用古典概型的办法 来算，考虑上面的P(A)和P(B|A)乘到一起 5 4 就是 8 7 分母上正好是8个元素取两个的排列数， 是有次序地抽两个球的基本事件总数， 而分子上则是5个白球取两个的排列数， 这是在一个56个基本事件的试验中进行 计算，当然思考就复杂一些。
A C B
图1-3
28
28
从图中不难看出，事件A和B都是压住了内接 圆的一半，所以 1 P( A | C ) P( B | C ) 2

概率第3讲

概率第3讲

定义1 若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同. 称这种试验为 古典概型.
二、古典概型中事件概率的计算
记 A={摸到2号球}
P(A)=? P(A)=1/10 记 B={摸到红球} P(B)=?
2
1 2 3 4 5 6 8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
若三个事件两互斥，则和的概率为 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)
例1.在所有的两位数10~99中任取一个数， 求这个数能被2或能被3整除的概率。
解：设A表示能被2整除，B表示能被3整除
P( A B) P( A) P( B) P( AB) 45 30 15 0.667 90 90 90
P(B)=6/10
记 B={摸到红球} P(B)=6/10
静态
动态
这里实际上是从“比例” 转化为“概率”
当我们要求“摸到红 球”的概率时，只要找出 它在静态时相应的比例.
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
定义2 设试验E是古典概型, 其样本空间Ω由 n个样本点组成 , 事件A由k个样本点组成 . 则 定义事件A的概率为： A包含的样本点数 P(A)＝k/n＝ Ω中的样本点总数
由于将一颗骰子抛掷4次,共有 6 6 6 6 =1296种等可能结果, 而导致事件 A ={4次抛掷中都未出“6”点} 的结果数有5 5 5 5=625种 因此
625 P( A) = =0.482 1296
P ( A) 1 P ( A ) =0.518
于是
例3 有r 个人，设每个人的生日是365天的 任何一天是等可能的，试求事件“至少有两 人同生日”的概率. 解：令 A={至少有两人同生日} 则 A ={ r 个人的生日都不同} 为求P(A), 先求P( A )

人教版高中数学必修3第三章概率《3.1.1 随机事件的概率》教学PPT

人教版高中数学必修3第三章概率《3.1.1 随机事件的概率》教学PPT

1061
0.5181
4040
2048
0.5069
12000
6019
0.5016
24000
12012
05005
30000
14984
0.4996
72088
36124
0.5011
我们看到，当试验次数很多时，出现正面的 频率值在0.5附近摆动.
上述试验表明，随机事件A在每次试验中是否 发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随 着试验次数的增加，事件A发生的频率呈现出一定 的规律性，这个规律性是如何体现出来的？
有些事情的发生是偶然的，有些事情的发生是必然的.
但是偶然与必然之间往往有某种内在联系.
例如，北京地区一年四季的变化有着确定的、必 然的规律，但北京地区一年里哪一天最热，哪一天最 冷，哪一天降雨量最大，那一天降雪量最大等，又是 不确定的、偶然的.
基本概念
1、随机事件: 在条件S下可能发生也可能 不发生的事件，叫做相对于 条件S的随机事件，简称随 机事件.
这些事件会发生吗？是什么事件？
不可能发生，不可能发生，不可能事件
确定事件
考察下列事件： （1）某人射击一次命中目标； （2）任意选择一个电视频道，它正在播放
新闻； （3）抛掷一个骰子出现的点数为奇数.
这些事件一定会发生吗？他们是什么事件？
可能发生也可能不发生，随机事件.
对于随机事件，知道它发生的可能性大小是 非常重要的.
2、必然事件: 在条件S下一定会发生的事 件，叫做相对于条件S的必 然事件，简称必然事件.
3、不可能事件: 在条件S下一定不会发生的事 件，叫做相对于条件S的不可 能事件，简称不可能事件.
4、确定事件: 必然事件与不可能事件统称为 相对于条件S的确定事件，简称 确定事件.

第一章 概率论的基本概念(第3讲)

第一章 概率论的基本概念(第3讲)

第1.7节 事件的独立性
三、n个事件相互独立定义
n个事件 A1 , A2 , A3 ,..., An 相互独立的定义为：
P( Ai Aj ) = P( Ai )P( Aj ), i < j, i, j = 1,2,..., n P( Ai Aj Ak ) = P( Ai )P( Aj )P( Ak ), i < j < k, i, j, k = 1,2,..., n ... P( A1 A2 ...An ) = P( A1 )P( A2 )...P( An )
解: (1)设A=甲中, B=乙中, C=目标被击中, 所求
P(A|C)=P(AC)/P(C) =P(A)/[P(A)+P(B)-P(A)P(B)]
(C=A∪B)
=0.6/0.8=3/4
第1.7节 事件的独立性
二、三个事件相互独立定义
对于三个事件 A, B, C 的相互独立定义为： P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) P ( AC ) = P ( A ) P (C ) P ( BC ) = P ( B ) P (C ) P ( ABC ) = P ( A ) P ( B ) P (C )
C
k n
pk q n−k
(k
=
0,1,L, n)
P( A1 A2 ...Ak Ak+1 Ak+2 ...An ) = pkqn−k (前k次成功)
第1.8节 独立试验序列
二、考察概率
(2) 第 k 次试验首次“成功”的概率为
qk−1 p(k = 0,1,2,L)
第1.8节 独立试验序列
三、例题：Leabharlann 第1.9节 几何概率和概率的数学定义

概率论与数理统计第3讲

概率论与数理统计第3讲

3
一般地, 对于A,B两个事件, P(A)>0, 在事件A发 生的条件下事件B发生的概率称为条件概率 条件概率, 条件概率 记为P(B|A).
4
例1 一个家庭中有两个小孩, 已知其中一个是 女孩, 问另一个也是女孩的概率是多少(假定 男生女生是等可能的)? 解 由题意, 样本空间为 Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)} A表示事件"其中一个是女孩", B表示事件"两 个都是女孩", 则有 A={(男,女),(女,男),(女,女)} B={(女,女)} 由于事件A已经发生, 所以这时试验的所有可 能结果只有三种, 而事件B包含的基本事件只 占其中的一种, 所以有P(B|A)=1/3.
20
例5 已知某厂家的一批产品共100件, 其中有5 件废品. 为慎重起见, 某采购员对产品进行不 放回的抽样检查, 如果在被他抽查的5件产品 中至少有一件是废品, 则他拒绝购买这一产品. 求采购员拒绝购买这批产品的概率. 解设 Ai={被抽查的第i件产品是废品}, i=1,2,3,4,5, A={采购员拒绝购买}, 5 则 A= A
17
例3 活到50岁的概率为0.90718, 活到51岁的概 率为0.90135. 问现在已经50岁的人, 能够活到 51岁的概率是多少? 解 记A={活到50岁}, B={活到51岁}. 则B⊂A. 因此, AB=B. 要求P(B|A). 因为P(A)=0.90718, P(B)=0.90135, P(AB)=P(B)=0.90135, 从而 P ( AB ) 0.90135 P ( B | A) = = ≈ 0.99357 P ( A) 0.90718 由此可知, 该城市的人在50岁到51岁之间死亡 的概率约为0.00643. 在平均意义下, 该年龄段 中每千个人中约有6.43人死亡. 18

概率论与数理统计第3讲_OK

概率论与数理统计第3讲_OK

首先先排n个男生的排法共有n!种，
再排m个女生，总共排法有
C
m n1
m!
种。
所以，p
n!
m!C
m n1
(n m)!
Cm n1
Cm nm
.
思考题：如果这n+m个学生不是排成一列，而是 排成一个圆状，首尾相接，这时，任意两个女生
都不相邻的概率是多少？
(C
m n
/
C
m n
m
1
)
2021/9/5
26
例9：从5双不同的鞋子中任y 取4只，这4只鞋
子中“至少有两只配成一双”（事件A）的
概率是多少？
13579
解：
2 4 6 8 10
首先间接考虑，分别用组合和排列来做：考
虑对立事件，A {4只中没有两只配成一双}
2021/9/5
27
例9:从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少
有两只配成一双”（事件A）的概y 率是多少？
解：首先间接考虑，分别用组合和排列来做：考
解 设A={所取球恰好含m个白球,n个黑球}
样本点总数为
M N
mn
,
A 所包含的样本点个数为
M N
m
n
.
故
P(
A)
M m
N n
MN
m
n
2021/9/5
9
问题1设袋中有M个白球和 Ny个黑球, 现从袋中
无放回地依次摸出m+n个球,求所取球恰好含m 个白球,n个黑球的概率?
第四节 等可能概型(古典概型)
➢排列组合公式 ➢古典概型 ➢典型例题 ➢小结
2021/9/5
1

概率第一章第3讲 ppt课件

P(B|A)
2020/12/27
6 例1 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两 次，每次取一个，取后不放回。
(1)已知第二次取到红球，求第一次也取到红球的概率； (2)求第二次取到红球的概率； (3)求两次均取到红球的概率。
解 设A:第一次取到红球,B:第二次取到红球
(1)P( A | B) 1 (2)P(B) 21 3 2 2
P(B A) P( AB) P( A)
2020/12/27
11
例2 一盒中混有100只新、旧乒乓球，各有红、白两
色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的
是一只红球，试求该红球是新球的概率。
设A:从盒中随机取到一只红球。
红白
B:从盒中随机取到一只新球。 新 40 30
nA 60 nAB 40
设事件组A1, A2,…,An组成样本空间Ω的一个划分， 且设 P(Ai)>0, (i=1,2,…n),则
n
P(B)＝ P(Ai )P(B | Ai ) i 1
此公式称为全概率公式。
例4 有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为 0.3，0.2，0.1，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，0；求他 迟到的概率。
P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2)...P(An|A1…An－1)
2020/12/27
14 三、全概率公式与贝叶斯公式
在概率论中，我们经常利用已知的简单事件的概率， 推算出未知的复杂事件的概率。
为此，常须把一个复杂事件分解为若干个互不相容 的简单事件的和，再由简单事件的概率求得最后结 果。 完备事件组
2020/12/27
19
3、贝叶斯公式(Bayes)

概率论第3讲.ppt


例2： 下列表达式中，其值为.T.的表达式是（ D ）
（A）”ABC” > ”ASC” .AND. .T. .OR. .NOT.23<>60/2 （B）”BAS” $ ”FOXBAS” .AND. ”林” $”张际林” .AND. .F. （C）”BASIC“ == ”BAS“ .AND. ”XY” $ ”EFG”+ ”XY” .OR. .NOT. .T. （D）.NOT. 2**3<>8 .AND. “PUT” $ ”COMP”+”UTER”
• SQRT( ):求平方根函数 【格式】 SQRT(<数值型表达式>) 如：SQRT(4) → 2
LEN函数
取字符串的长度函数
【格式】 LEN（<字符串表达式>） 【例3-8】 取字符串长度值。
? LEN("Visual FoxPro") 13
SUBSTR函数
取子串函数 【格式】 SUBSTR（字符串表达式，起始值[,取值长度]） 【例3-9】 在下列字符串中取出子串。 ? SUBSTR("FoxPRO",2,2) && 从第二个字符开始取出2个字符
【例3-6】 比较值的大小。 ?MAX("WE","YOU") YOU ?MIN(CTOD("12/20/03"),CTOD("10/14/99")) 10/14/99
取模函数
取模函数
【格式】 MOD（<数值表达式1>，<数值表达式2>）
【功能】 取数值表达式1除以数值表达式2所得的余数。
【例3-7】 求下列各数的取模值。
出生日期 10/25/58 04/09/52 06/19/61 11/28/77 08/25/48 07/26/60 07/28/58 05/17/56 12/09/59 12/15/78

概率论第三章课件


f ( x , y ) d x d y , G
例5 设二维随机变量(X，Y )具有概率密度
ke( 2 x y ) , f ( x, y) 0,
x 0, y 0 其它
(1)确定系数k；(2)求分布函数F(x，y)；(3)求概率 P{X≤Y}。 解 (1)由于
反过来还可以证明，任意一个具有上述四个性 质的二元函数，必定可以作为某个二维随机变量的 联合分布函数。 对于n维随机向量(X1，X2，…，Xn )可类似定义 分布函数如下：
对任意n个实数x1 , x2 ,, xn , n元函数 F ( x1 , x2 ,, xn ) P{ X 1 x1 , X 2 x2 ,, X n xn } 称为n维随机向量( X 1 , X 2 ,, X n )的分布函数, 或随机 向量( X 1 , X 2 ,, X n )的联合分布函数 它有类似于二维 , 随机变量的分布函数的 性质.
如果将(X，Y)看作平面上随机点的坐标，则 F(x，y)=P{X≤x，Y≤y} 就表示点(X，Y)落在图（1）中阴影部分的概率。
y
X x ,Y y
( x, y)
o
图（1）
x
y
这时，点 (X，Y)落入任一 y2 矩形区域 y1 {x1＜ X ≤x2，y1＜ Y ≤y2} 的概率，可运用概率的加法 性质求得(借助图(2))： O
G
3、说明
几何上, z f ( x, y ) 表示空间的一个曲面 .
表示介于 f (x, y)和 xoy 平面之间的空间区域的 全部体积等于1.
P {( X ,Y ) G }

P{ ( X ,Y ) G }的值等于以G为底 , 以曲面z f ( x , y ) 为顶面的柱体体积.

概率论与数理统计3讲


基本事件数m C52,则
P( A)
m n
C52 C82
5 4 1 2 1 2 8 7
5 0.357 14
例2 一批产品共200个, 废品有6个, 求(1)这批 产品的废品率; (2)任取3个恰有一个是废品 的概率;(3)任取3个全非废品的概率
解求的设概P(率A),,则P(A1), P(A0)分别表示(1),(2),(3)中所
2
p
阴影部分面积 正方形面积
T2
(T t)2 T2
1 1 t T
2
介绍蒙特卡洛试验技术
我们知道象掷硬币这样的试验作一次是很费 时间的. 但是计算机出现以后, 通常都有一 个随机函数, 此随机函数每次调用的返回值 都不一样, 会产生一个随机的数字, 因此我 们就可以利用这样一个随机的数字进行反 复的试验来求出我们所希望的事件的概率. 特别是有一些事件的概率求起来非常困难, 但用计算机进行仿真试验, 就可以通过统计 的办法求出概率的近似值, 这叫做蒙特卡洛 试验.
A S
则必然有 P( A) m( A)
(3.2)
m(S)
如样本空间S为一线段或一空间立体, 则 向S投点的相应概率仍可用上式确定, 但
m(·)应理解为长度或体积.
例 某人一觉醒来, 发觉表停了, 他打开收音 机, 想听电台报时, 设电台每正点报时一次, 求他(她)等待时间短于10分钟的概率.
解 以分钟为单位, 记上一次报时时刻为0, 则 下一次报时时刻为60, 于是这个人打开收音 机的时间必在(0,60), 记”等待时间短于10分 钟”为事件A, 则有
解 设事件A={第二个邮筒恰有一封信}
事件B={前两个邮筒中各有一封信}
两封信投入4个邮筒共有44种投法, 而组成事 件A的投法有23种, 组成事件B的投法则只有 2种, 因此
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S中的样本点总数
注：计算事件A及样本空间中样本点数目时， 必须考虑同一个样本空间，并采用相同的计 数方法。 如：一个考虑顺序，另一个也必须考虑；一 个考虑组合，另一个也考虑组合。
五、古典概率常见模型
模型一：摸球模型（有放回、无放回）
例 一个袋子中装有a+b个球，其中a个黑球，b 个白球，现采用有放回及无放回摸球方式，从 中随意抽取n个球， 问：恰好有k个黑球的概率?
1)
C nk n
例1 一个袋子中装有10个大小相同的球，其 中4个黑球，6个率
解： 从袋中任取3球，共 C130 ? 120 种取法。
(1)设“取到3个白球”为事件A
P(A)=
CC?13630
20 120
1 6
问：下列概率计算是否正确，若否错在何处？
或古典概型.
二、古典概型中事件概率的计算
记 A={摸到2号球} 2
P(A)=?
P(A)=1/10 记 B={摸到红球}
1 2 345 6
P(B)=? P(B)=6/10
85 1946 7 2 3 10
记 B={摸到红球} P(B)=6/10
这里实际上是从“比例” 转化为“概率”
当我们要求“摸到红 球”的概率时，只要找出 它所占的相应的比例.
无放回摸球模型
该模型，可将球看作有差异的，考虑其组合情况
从a+b个球中，有放回取n次的组合，共
Cn ab
种
设“取出的n个球中，恰好k个黑球”为事件A
A发生的可能性，共
Cak C？bnk
种
A发生, 可分下列步骤(无放回)
(1)从a个黑球中任取k个，可能的组合，共 Cak 种
(2)从b个白球中任取n-k个的组合，共
(2)设“从袋中任取3球，恰好2白1黑”为事件B
B发生的排列C，32共P62P41 3？60和C32 62种41=432
分三步： 1、在3个位置上任取2个位置，用来放黑球 2、上述2个位置，从6个白球中任取2个排上 3、在剩余位置，从4个黑球中任取1个排上
古典概型概率计算公式：
A包含的样本点数
P(A)＝k/n＝
Ω ={1,2,…,10} , 且每个样本点(或者说 基本事件)出现的可能 性相同 .
称这样一类随机试验 为古典概型.
如i =2
2
1 7
98345106
定义1 若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同.
称这种试验为 有穷等可能随机试验
(2)设“从袋中任取3球，恰好2白1黑”为事件B
B发生的取法，共 C62C？41 60 种
P(B)= 60 1 120 2
例2 一个袋子中装有10个大小相同的球，其 中4个黑球，6个白球,从中任取3个球
求（无放回抽取）恰好取到2白1黑的概率 （有放回抽取）恰好取到2白1黑的概率
解： 考虑顺序，从袋中任取3球，P共130 720?和103种排列。
C nk b
种
P( A)
Cak
Cnk b
Cn ab
服从超几何分布
模型二：分球入箱（盒子）模型
例3 将n个球随意地放入N个箱子中（N>=n） 其中每个球都等可能地放入任意一个箱子，求 下列各事件的概率：
不妨设n个小 球均可辨认
…
12 3
…N
（1）指定的n个箱子各放一球；
（2）每个箱子最多放入一球；
85 1946 7 2 3 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
因为抽取时这些球是 10个球中的任一个被取 完全平等的，因此10个球 出的机会都是1/10 中的任一个被取出的机会 是相等的，均为1/10.
85 1946 7 2 3 10
我们用 i 表示取到 i号球， i =1,2,…,10 . 则该试验的样本空间
排列组合的基本知识：
加法原理： m1 m2 mn
乘法原理： m1 m2 mn
排列：（从n个元素中任取r个排成一列）
n 有重复排列数： k
无重复排列数： Ank (Pnk ) n (n 1) (n k 1)
组合数：（从n个元素中任取r个元素的组合）
Cnk n (n 1)
(n k!
k
85 1946 7 2 3 10
定义2 设试验E是古典概型, 其样本空间Ω由n 个样本点组成 , 事件A由k个样本点组成 . 则定 义事件A的概率为：
A包含的样本点数
P(A)＝k/n＝
Ω中的样本点总数
称此概率为古典概率. 这种确定概率的方法 称为古典方法 .
这样就把求概率问题转化为计数问题 .
排列组合是计算古典概率的重要工具 .
我们首先引入的计算概率的数学模型， 是在概率论的发展过程中最早出现的研究 对象，通常称为
古典概型
一、古典概型 试验结果
ω 1, ω 2, …， ω N
你认为哪个 结果出现的 可能性大？
常常把这样的试验结果称为“等可能的”.
例如，一个袋子中装有 10个大小、形状完全相同 的球. 将球编号为1－10 . 把球搅匀，蒙上眼睛，从 中任取一球.
（3）某指定的箱子不空；
(1)
P( A)
A63 A130
(
对
)
(2)
P(
A)
A63 C130
(
错)
错在何处：计算样本空间样本点总数和所求事件 所含样本点数计数方法不同.
例1 一个袋子中装有10个大小相同的球，其 中4个黑球，6个白球。求 （2）从袋子中任取3球，恰好2白1黑的概率
解： 从袋中任取3球，共 C130 ? 120 种取法。
P( A)
Cnk akbnk (a b)n
服从二项分布
Cnk
ak (a b)k
bnk (a b)nk
Cnk
a
a
b
k
a
b
b
nk
Cnk pk qnk 每次摸球，摸到
黑球的概率p
每次摸球，摸到 白球的概率q
以上每次摸球，只有两种可能的结果（黑球或 白球）。这样的实验称为伯努利实验，其中 p+q=1
有放回摸球模型
将球看成有区别的，不妨编号，将每次取出的小球的 编号，依次登记在n个位置，形成一个排列
从a个黑球和b个白球中，有放回取n次，形成 的排列，共 (a b)n 种
设“取出的n个球中，恰好k个黑球”为事件A
A发生的可能性，共 Cnk ak？bnk
种
A发生, 可分下列步骤(有放回)
(1)在n个位置中，选出k个，用于放黑球，共 Cnk 种 (2)从a个黑球中任取k个，排在上述位置，共 a k 种 (3)从b个白球中任取n-k个，排在其余位置，共bnk 种