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概率论与数理统计第二版课后答案第一章：概率论的基本概念与性质1.1 概率的定义及其性质1.概率的定义：概率是对随机事件发生的可能性大小的度量。
在概率论中，我们将事件A的概率记为P(A)，其中P(A)的值介于0和1之间。
2.概率的基本性质：–非负性：对于任何事件A，其概率满足P(A) ≥ 0。
–规范性：对于样本空间Ω中的全部事件，其概率之和为1，即P(Ω) = 1。
–可列可加性：对于互不相容的事件序列{Ai}（即Ai∩Aj = ∅，i ≠ j），有P(A1∪A2∪…) = P(A1) + P(A2) + …。
1.2 随机事件与随机变量1.随机事件：随机事件是指在一次试验中所发生的某种结果。
–基本事件：对于只包含一个样本点的事件，称为基本事件。
–复合事件：由一个或多个基本事件组成的事件称为复合事件。
2.随机变量：随机变量是将样本空间Ω上的每个样本点赋予一个实数的函数。
随机变量可以分为两种类型：–离散型随机变量：其取值只可能是有限个或可列无穷个实数。
–连续型随机变量：其取值在某个区间内的任意一个值。
1.3 事件的关系与运算1.事件的关系：事件A包含于事件B（记作A ⊆ B）指的是事件B发生时，事件A一定发生。
如果A ⊆ B且B ⊆ A，则A与B相等（记作A = B）。
–互不相容事件：指的是两个事件不能同时发生，即A∩B = ∅。
2.事件的运算：对于两个事件A和B，有以下几种运算：–并：事件A和事件B至少有一个发生，记作A∪B。
–交：事件A和事件B同时发生，记作A∩B。
–差：事件A发生而事件B不发生，记作A-B。
第二章：条件概率与独立性2.1 条件概率与乘法定理1.条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为事件A在事件B发生的条件下的条件概率，记作P(A|B)。
–条件概率的计算公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
2.乘法定理：对于任意两个事件A和B，有P(A∩B) = P(A|B) * P(B) =P(B|A) * P(A)。
概率论与数理统计第3章课后题答案第三章连续型随机变量3.1 设随机变数 的分布函数为F(x)，试以F(x)表示下列概率：（1）P( a)；（2）P( a)；（3）P( a)；（4）P( a) 解：（1）P( a) F(a 0) F(a)；（2）P( a) F(a 0)；（3）P( a)=1-F(a)；（4）P( a) 1 F(a 0)。
3.2 函数F(x) 11 x2是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果（1） x（2）0 x ，在其它场合适当定义；（3）- x 0，在其它场合适当定义。
解：（1）F(x)在（- , ）设随机变数 具有对称的分布密度函数p(x)，即p(x) p( x),证明：对任意的a 0,有（1）F( a) 1 F(a)12ap(x)dx；（2）P（ a) 2F(a) 1；（3）P( a) 2 1 F(a) 。
证：（1）F( a)ap(x)dx 1ap(x)dx=1ap( x)dx 1ap(x)dx=1 F(a) 1 （2）P( ap(x)dxap(x)dxa12a0ap(x)dx；ap(x)dx 2 p(x)dx，由（1）知1-F(a)故上式右端=2F(a) 1；12ap(x)dx。
（3）P( a) 1 P( a) 1 [2F(a) 1] 2[1 F(a)]3.5 设F1(x)与F2(x)都是分布函数，又a 0,b 0是两个常数，且a b 1。
证明F(x) aF1(x) b F2(x)也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？证：因为F1(x)与F2(x1) F2(x2)，于是F(x1) aF1(x1) b F2(x1) aF1(x2) b F2(x2) F(x2)F2(x都是分布函数，当x1 x2时，F1(x1) F1(x2)，又xlimF(x) lim[aF1(x) b F2(x)] 0xlimF(x) lim[aF1(x) b F2(x)] a b 1xxF(x 0) aF1(x 0) b F2(x 0) aF1(x) b F2(x) F(x)所以，F(x)也是分布函数。
概率论第三章习题参考解答1. 如果ξ服从0-1分布, 又知ξ取1的概率为它取0的概率的两倍, 求ξ的期望值 解：由习题二第2题算出ξ的分布率为ξ0 1 P1/32/3因此有E ξ=0×P (ξ=0)+1×P (ξ=1)=2/3+2η, ξ与η的分布律如下表所示:: 求周长的期望值, 用两种方法计算, 一种是利用矩形长与宽的期望计算, 另一种是利用周长的分布计算.解: 由长和宽的分布率可以算得E ξ=29×P (ξ=29)+30×P (ξ=30)+31×P (ξ=31) =29×0.3+30×0.5+31×0.2=29.9E η=19×P (η=19)+20×P (η=20)+21×P (η=21) =19×0.3+20×0.4+21×0.3=20 由期望的性质可得E ζ=2(E ξ+E η)=2×(29.9+20)=99.8而如果按ζ的分布律计算它的期望值, 也可以得E ζ=96×0.09+98×0.27+100×0.35+102×0.23+104×0.06=99.8 验证了期望的性质.4. 连续型随机变量ξ的概率密度为⎩⎨⎧><<=其它)0,(10)(a k x kx x aϕ又知Eξ=0.75, 求k 和a 的值。
解: 由性质⎰+∞∞-=1)(dx x ϕ得111)(|10110=+=+==++∞∞-⎰⎰a kx a k dx kx dx x a aϕ即k =a +1(1)又知75.022)(|10211=+=+===+++∞∞-⎰⎰a kx a k dx kx dx x x E a a ϕξ得k =0.75a +1.5(2)由(1)与(2)解得0.25a =0.5, 即a =2, k =36. 下表是某公共汽车公司的188辆汽车行驶到发生一次引擎故障的里程数的分布数列.若表中各以组中值为代表. 从188辆汽车中, 任意抽选15辆, 得出下列数字: 90, 50, 150, 110, 90, 90, 110, 90, 50, 110, 90, 70, 50, 70, 150. (1)求这15个数字的平均数; (2) 计算表3-9中的期望并与(1)相比较.解: (1) 15个数的平均数为(90+50+150+110+90+90+110+90+50+110+90+70+50+70+150)/15 = 91.33 (2) 按上表计算期望值为(10×5+30×11+50×16+70×25+90×34+110×46+130×33+150×16+170×2)/188 =96.177. 两种种子各播种300公顷地, 调查其收获量, 如下表所示, 分别求出它们产量的平均值解: 假设种子甲的每公顷产量数为, 种子乙的每公顷产量数为, 则 E ξ=(4500×12+4800×38+5100×40+5400×10)/100=4944 E η=(4500×23+4800×24+5100×30+5400×23)/100=49598. 一个螺丝钉的重量是随机变量, 期望值为10g , 标准差为1g . 100个一盒的同型号螺丝钉重量的期望值和标准差各为多少?(假设各个螺丝钉的重量相互之间独立) 解: 假设这100个螺丝钉的重量分别为ξ1, ξ2,…, ξ100, 因此有E ξi =10, Dξi =102=12=1, (i =1,2,…,100), 设ξ为这100个螺丝钉的总重量，因此∑==1001i i ξξ，则ξ的数学期望和标准差为gD D D kgg E E E i ii i i i i i 1011001)(1000101001001100110011001=⨯==⎪⎭⎫⎝⎛====⨯==⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∑====ξξξσξξξξ9. 已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的期望值.解: 假设ξ为取出5个产品中的次品数, 又假设ξi 为第i 次取出的次品数, 即, 如果第i 次取到的是次品, 则ξi =1否则ξi =0, i =1,2,3,4,5, ξi 服从0-1分布,而且有 P {ξi =0}=90/100, P {ξi =1}=10/100, i =1,2,3,4,5因此, E ξi =10/100=1/10, 因为∑==51i iξξ因此有5.010155151=⨯==⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==i i i i E E E ξξξ10. 一批零件中有9个合格品和3个废品, 在安装机器时, 从这批零件中任取一个, 如果取出的是废品就不再放回去. 求取得第一个合格品之前, 已经取出的废品数的数学期望和方差. 解: 假设在取到第一个合格品之前已取出的废品数为ξ, 则可算出0045.02201101112123}3{041.02209109112123}2{2045.0119123}1{75.0129}0{==⋅⋅====⋅⋅===⋅=====ξξξξP P P P因此有319.009.0409.0)(409.090045.04041.02045.03.030045.02041.02045.0222===-==⨯+⨯+==⨯+⨯+=ξξξξξE E D E E11. 假定每人生日在各个月份的机会是同样的, 求3个人中生日在第一个季度的平均人数. 解: 设三个随机变量ξi ,(i =1,2,3), 如果3个人中的第i 个人在第一季度出生, 则ξi =1, 否则ξi =0, 则ξi 服从0-1分布, 且有 P (ξi =1)=1/4, 因此E ξi =1/4, (i =1,2,3)设ξ为3个人在第一季度出生的人数, 则ξ=ξ1+ξ2+ξ3, 因此Eξ=E (ξ1+ξ2+ξ3)=3Eξi =3/4=0.7512. ξ有分布函数⎩⎨⎧>-=-其它1)(x e x F xλ, 求E ξ及D ξ. 解: 因ξ的概率密度为⎩⎨⎧>='=-其它)()(x e x F x xλλϕ, 因此 ()λλλϕξλλλλλ11)(0=-=+-=-===∞+-∞+-∞+-+∞-+∞-+∞∞-⎰⎰⎰⎰xx xxxe dx e xe e xd dx ex dx x x E()2220222222)(|λξλλϕξλλλλ==+-=-===⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-+∞-+∞-+∞∞-E dx xe ex e d x dx ex dx x x E x x x x22222112)(λλλξξξ=-=-=E E D13. ⎪⎩⎪⎨⎧<-=其它1||11)(~2x x x πϕξ, 求E ξ和D ξ.解: 因φ(x )是偶函数, 因此Eξ=0,则D ξ=Eξ2-(Eξ)2=Eξ2 因此有⎰⎰-===+∞∞-1222212)(dx xx dx x x E D πϕξξ令θθθd dx x cos ,sin ==则上式=2112sin 21212cos 2sin 12||20202022=+=+=⎰⎰ππππθπθπθθπθθπd d 即D ξ=1/2=0.516. 如果ξ与η独立, 不求出ξη的分布直接从ξ的分布和η的分布能否计算出D (ξη), 怎样计算?解: 因ξ与η独立, 因此ξ2与η2也独立, 则有[]()()222222)()()(ηξηξξηξηξηE E E E E E D -=-=17. 随机变量η是另一个随机变量ξ的函数, 并且η=e λξ(λ>0), 若E η存在, 求证对于任何实数a 都有λξλξEe ea P a⋅≤≥-}{.证: 分别就离散型和连续型两种情况证. 在ξ为离散型的情况: 假设P (ξ=x i )=p i , 则λξλξλλλξEe e e E p e p ep a P a a i i a x ax i a x ax i i i i i --∞=-≥-≥==≤≤=≥∑∑∑][){)(1)()(在ξ为连续型的情况假设ξ的概率密度为φ(x ), 则λξλξλλλϕϕϕξEe e Ee dx x e dx x edx x a P a a a x aa x a--+∞∞--+∞-+∞==≤≤=≥⎰⎰⎰)()()()()()(}{证毕.18. 证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过1/4.证: 设ξ为一次试验中事件A 发生的次数, 当然最多只能发生1次, 最少为0次, 即ξ服从0-1分布, P {ξ=1}=P (A )=p , P {ξ=0}=1-p =q ,则4121412124141)1(222≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⋅+-=-=-=p p p p p p p D ξ19. 证明对于任何常数c , 随机变量ξ有 D ξ=E (ξ-c )2-(Eξ-c )2证: 由方差的性质可知D (ξ-c )=Dξ, 而2222)()()]([)()(c E c E c E c E c D ---=---=-ξξξξξ证毕.20. (ξ,η)的联合概率密度φ(x ,y )=e -(x +y )(x ,y >0), 计算它们的协方差cov (ξ,η). 解: 由φ(x ,y )=e -(x +y )(x ,y >0)可知ξ与η相互独立, 因此必有cov (ξ,η)=0.21. 袋中装有标上号码1,2,2的3个球, 从中任取一个并且不再放回, 然后再从袋中任取一球, 以ξ, η分别记为第一,二次取到球上的号码数, 求ξ与η的协方差.,P {ξ=2}=P {η=2}=2/3, P {ξ=1}=P {η=1}=1/3, E ξ=E η=35322311=⨯+⨯38314312312},{)(2121=⨯+⨯+⨯====∑∑==i j j i ijP E ηξξη则913538)(),cov(22-=-=⋅-=ηξξηηξE E E22. (ξ , η)只取下列数组中的值：)0,2()31,1()1,1()0,0(--且相应的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12. 求ξ与η的相关系数ρ, 并判断ξ与η是否独立? 解: ξ与的联合分布表及各边缘分布计算表如下表所示: 因此1212260121=⨯+⨯+⨯-=ξE 1225125412512=⨯+⨯=ξE 144275144251225)(22=-=-=ξξξE E D 3613311121311270=⨯+⨯+⨯=ηE 1083731121912=+⨯=ηE 129627512961691237129616910837)(22=-⨯=-=-=ηηηE E D 36133112131)(-=-⨯-=ξηE则4322211236171336131253613)(),cov(-=⨯⨯-=⋅--=⋅-=ηξξηηξE E E 相关系数804.027522127543236122211296275144275432221),cov(-=-=⨯⨯⨯-=⨯-==ηξηξρD D, 计算ξ与η的相关系数ρ, 并判断ξ与η是否独立? 解: 由上表的数据的对称性可知与η的边缘分布一样, 算出为 P (ξ=-1)=P (η=-1)=3/8 P (ξ=0)=P (η=-0)=2/8P (ξ=1)=P (η=1)=3/8 由对称性可知Eξ=Eη=0831831=⨯+⨯-. 081818181)(=+--=ξηE 因此cov (ξ,η)=E (ξη)-E (ξ)E (η)=0 则ρ=0而P (ξ=0,η=0)=0≠P {ξ=0}P {η=0}=1/16因此ξ与η不独立. 这是一个随机变量间不相关也不独立的例子.24. 两个随机变量ξ与η, 已知Dξ=25, Dη=36, ρξη=0.4, 计算D (ξ+η)与D (ξ-η). 解:374.065236252),cov(2)]()[()]([)(854.065236252),cov(2)]()[()]([)(2222=⨯⨯⨯-+=-+=-+=---==---=-=⨯⨯⨯++=++=++=-+-==+-+=+ξηξηρηξηξηξηξηηξξηξηξηξρηξηξηξηξηηξξηξηξηξD D D D D D E E E E E D D D D D D D E E E E E D《概率论与数理统计》复习资料一、填空题（15分）题型一：概率分布的考察 【相关公式】（P379）【相关例题】 1、设(,)XU a b ，()2E X =，1()3D Z =，则求a ，b 的值。
习题2参考答案2.1 X 23456789101112P1/36 1/18 1/12 1/95/36 1/65/36 1/9 1/12 1/18 1/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae 。
故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=11220202111120202222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+= 2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++ =11[1()]1441314k k lim →∞-=-（2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--=2.6解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯= 1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= 12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--=2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.8 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e - （2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.9解：设应配备m 名设备维修人员。
概率论第3章作业题解与知识点讲解归纳一、第三章习题详解:3.1设二维随机向量(,)X Y 的分布函数为:1222,0,0,(,)0,x y x y x y F x y ----⎧--+≥≥=⎨⎩其他求}{12,35P X Y <≤<≤.解:因为 257(2,5)1222F ---=--+,6512221)5,1(---+--=F5322221)3,2(---+--=F ,4312221)3,1(---+--=F所以 )3,1()3,2()5,1()5,2()53,21(F F F F Y X P +--=≤<≤< 765473322222128----=--+==3.2 盒装有3个黑球, 2个白球. 现从任取4个球, 用X 表示取到的黑球的个数, 用Y 表示取到的白球的个数, 求(X , Y ) 的概率分布.解:因为X + Y = 4,所以(X ,Y )的可能取值为(2,2),(3,1)且 0)1,2(===Y X P ,6.053)2,2(452223=====C C C Y X P 4.052)1,3(451233=====C C C Y X P ,0)2,3(===Y X P 故(X ,Y )3.3 将一枚均匀的硬币抛掷3次, 用X 表示在3次出现正面的次数, 用Y 表示3次出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值,求(X ,Y ) 的概率分布.解:因为|32||)3(|-=--=X X X Y ,又X 的可能取值为0,1,2,3所以(X ,Y )的可能取值为(0,3),(1,1), (2,1),(3,3)且 81)21()3,0(3====Y X P ,83)21()21()1,1(2113====C Y X P 83)21()21()1,2(1223====C Y X P ,81)21()3,3(3====Y X P故(X ,Y )的概率分布为3.4设二维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为:(6),01,02,(,)0,a x y x y f x y --≤≤≤≤⎧=⎨⎩其他 (1) 确定常数a ;(2) 求}{0.5, 1.5P X Y ≤≤(3) 求{(,)}P X Y D ∈,这里 D 是由0,0,1x y x y ==+=这三条直线所围成的三角形区域.解:(1)因为dxdy y x a dxdy y x f ⎰⎰⎰⎰--=+∞∞-+∞∞-102)6(),(dx x x a dx y x a ⎰⎰---=---=102210202])4()6[(2])6(21[a dx x a 9)5(210=-=⎰由1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ,得9a =1,故a =1/9.(2) dxdy y x Y X P ⎰⎰--=≤≤5.005.10)6(91)5.1,5.0( dx x dx y y x ⎰⎰--=--=5.005.005 .102]89)6(23[91]21)6([91125)687(5.00=-=⎰dx x (3) 1101{(,)}(,)(6)9xDP X Y D f x y dxdy dx x y dy -∈==--⎰⎰⎰⎰278)1211(181]21)6([9110210102=--=--=⎰⎰-dx x x dx y y x x3.5 设二维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为:(2)2, 0,0,(,)0,x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他(1) 求分布函数(,)F x y ; (2) 求}{P Y X ≤解:(1) 求分布函数(,)F x y ; 当0,0x y >>,(2)220(,)(,)22(1)(1)yxyxxyu v uv x y F x y f u v dudv edudv e du e dv e e -+-----∞-∞====--⎰⎰⎰⎰⎰⎰其他情形,由于(,)f x y =0,显然有(,)F x y =0。
《概率论与数理统计及其应用》（第二版）第三章习题参考解答1、52}7{,51}6{}5{}4{========X P X P X P X P 529)(=X E 2、2914}7{,296}6{,295}5{,294}4{========Y P Y P Y P Y P 29175)(=Y E 3、设X 为取到的电视机中包含的次品数，2,1,0,}{3123102===-k C C C k X P k k2)(=X E4、设X 为所得分数5,4,3,2,1,61}{===k k X P 12,11,10,9,8,7,361}{===k k X P 1249)(=X E5、（1）由}6{}5{===X P X P ，则λλλλ--=e e!6!565解出6=λ，故6)(==λX E（2）由于∑∑∞=-∞=--=-11212211)1(66)1(k k k k kk k ππ不是绝对收敛，则)(X E 不存在。
6、（1）691)()(03=⋅==⎰⎰∞+-∞+∞-dx xe x dx x xf X E x（2）⎰⎰⎰+∞+∞+∞∞-==-==525210150)251()()(dx x x xd x xdF X E 7、41)1(42)()(105=-⋅==⎰⎰+∞∞-dx x x x dx x xf X E8、2ln 23)11(2)()(212-=-⋅==⎰⎰+∞∞-dx x x dx x xf X E 9、0)1(23)1(23)()(102012=-⋅++⋅==⎰⎰⎰-+∞∞-dx x x x dx x x x dx x xf X E10、由4,3,2,1,0,)1(}{44=-==-k p p C k X P k kk)21)(1(4)2(sinp p p XE --=π11、R 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它,00,1)(ax a x f30332416)(6)(a dx a x dx x f x V E aπππ=⋅=⋅=⎰⎰∞+∞-12、564103410329440920*********)()())((-∞+--∞+∞--=⋅+⋅==⎰⎰⎰e dx xe dx xe x dx x f x g X g E x x13、Y 1的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=1,110,)1(10,0)(11111min y y y y y F nY 1的概率密度为⎩⎨⎧<<-=-其它,010,)1()(1111min y y n y f n 11)1()()(1111111min 11+=-⋅==⎰⎰-+∞∞-n dy y n y dy y f y Y E n Y n 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,0,0)(max n n nn n n y y y y y FY n 的概率密度为⎩⎨⎧<<=-其它,010,)(1max n n n n y ny y f1)()(11max +=⋅==⎰⎰-+∞∞-n ndy ny y dy y f y Y E n n nn n n n n 14、XXp kY4)(,2)(==Y E X E143}2,2{4})1,2{}2,1{(2}1,1{1)(===⋅+==+==⋅+==⋅=Y X P Y X P Y X P Y X P XY E 41}2,0{)2(})2,1{}1,0{()1(}0,2{2})1,2{}0,1{(1)(-===⋅-+==+==⋅-+==⋅+==+==⋅=-Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X E 3}2,2{10}1,2{8}0,2{6}2,1{7}1,1{5}0,1{3}2,0{4}1,0{2)23(===⋅+==⋅+==⋅+==⋅+==⋅+==⋅+==⋅+==⋅=+Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X E 15、143}2,2{2})1,2{}2,1{}1,1{(1)),(min(===⋅+==+==+==⋅=Y X P Y X P Y X P Y X P Y X E 149}2,2{52}1,2{31}1,1{21}2,0{2})2,1{}1,0{(1))1/((===⋅+==+==⋅+==⋅+==+==⋅=-Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P X Y E 16、⎰⎰-=⋅=10105224)(xxydy x dx X E ⎰⎰-=⋅=10105224)(x xydy y dx Y E⎰⎰-=⋅=101015224)(xxydy xy dx XY E 17、400}14{)2000(}13{)1000(}11{1000}10{2000)(==⋅-+=⋅-+=⋅+=⋅=X P X P X P X P Y E622222106.1}14{)2000(}13{)1000(}11{1000}10{2000)(⨯==⋅-+=⋅-+=⋅+=⋅=X P X P X P X P Y E6221044.1))(()()(⨯=-=Y E Y E Y D18、σπσσ2)(0222=⋅=⎰∞+-dx exx X E x2022222)(22σσσ=⋅=⎰∞+-dx exx X E xσπσπ22)(,)22())(()()(222-=-=-=X D X E X E X D().14)()(-==πX E X D CV X19、∑∞=-=-=111)1()(k k pp p k X E∑∞=--=-=121222)1()(k k ppp p k X E2221))(()()(ppX E X E X D -=-= 20、（1）θθθ1)(1-=⋅=⎰∞++k kdx xk x X E k k（2）由于+∞=⋅⎰+∞θθdx xx 2，则当)(,1X E k 时=不存在。
习题3.21． 设二维离散随机变量(X , Y ) 的可能值为(0, 0)，(−1, 1)，(−1, 2)，(1, 0)，且取这些值的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12，试求X 与Y 各自的边际分布列． 解：因X 的全部可能值为−1, 0, 1，且12512131}1{=+=−=X P ， 61}0{==X P ， 125}1{==X P ， 故X 的边际分布列为12561125101PX − 因Y 的全部可能值为0, 1, 2，且12712561}0{=+==X P ， 31}1{==X P ， 121}2{==X P ， 故Y 的边际分布列为12131127210PY2． 设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧>>−−−=−−−−−.,0,0,0,e e e 1),(},max{122121其他y x y x F y x y x y x λλλλλ 试求X 与Y 各自的边际分布函数．解：当x ≤ 0时，F (x , y ) = 0，有F X (x ) = F (x , + ∞) = 0，当x > 0时，⎩⎨⎧≤>−−−=−−−−−.0,0,0,e e e 1),(},max{122121y y y x F y x y x y x λλλλλ 有 x y x y x y x y X x F x F 1122121e 1]e e e 1[lim ),()(},max{λλλλλλ−−−−−−+∞→−=−−−=∞+=，故⎩⎨⎧≤>−=−.0,0,0,e 1)(1x x x F x X λ 当y ≤ 0时，F (x , y ) = 0，有F Y ( y ) = F (+ ∞, y ) = 0，当y > 0时，⎩⎨⎧≤>−−−=−−−−−.0,0,0,e e e 1),(},max{122121x x y x F y x y x y x λλλλλ 有 y y x y x y x x Y y F y F 2122121e 1]e e e 1[lim ),()(},max{λλλλλλ−−−−−−+∞→−=−−−=+∞=，故⎩⎨⎧≤>−=−.0,0,0,e 1)(2y y y F y Y λ 3． 试求以下二维均匀分布的边际分布：⎪⎩⎪⎨⎧≤+=.,0,1,π1),(22其他y x y x p解：当x < −1或x > 1时，p X (x ) = 0，当−1 ≤ x ≤ 1时，2111π2π1),()(22x dy dy y x p x p x x X −===∫∫−−−∞+∞−， 故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−−=.,0,11,1π2)(2其他x x x p X当y < −1或y > 1时，p Y ( y ) = 0，当−1 ≤ y ≤ 1时，2111π2π1),()(22y dx dx y x p y p y y Y −===∫∫−−−∞+∞−， 故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−−=.,0,11,1π2)(2其他y y y p Y4． 设平面区域D 由曲线y = 1/ x 及直线y = 0，x = 1，x = e 2所围成，二维随机变量(X , Y ) 在区域D 上服从均匀分布，试求X 的边际密度函数．解：因平面区域D 的面积为2ln 122e 1e 1===∫x dx xS D ， 则(X , Y ) 的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(,0,),(,21),(D y x D y x y x p 当x < 1或x > e 2时，p X (x ) = 0，当1 ≤ x ≤ e 2时，xdy dy y x p x p x X 2121),()(10===∫∫∞+∞−， 故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0,e 1,21)(2其他x x x p X5． 求以下给出的(X , Y ) 的联合密度函数的边际密度函数p x (x ) 和p y ( y )：（1）⎩⎨⎧<<=−.,0;0,e ),(1其他y x y x p y （2）⎪⎩⎪⎨⎧−<<+=.,0;10),(45),(222其他x y y x y x p（3）⎪⎩⎪⎨⎧<<<=.,0;10,1),(3其他x y x y x p解：（1）当x ≤ 0时，p X (x ) = 0，当x > 0时，x xyxy X dy dy y x p x p −+∞−+∞−+∞∞−=−===∫∫e e e ),()(1，故⎩⎨⎧≤>=−.0,0;0,e )(x x x p x X 当y ≤ 0时，p Y ( y ) = 0， 当y > 0时，y yy Y y dx dx y x p y p −−+∞∞−===∫∫e e ),()(01，故⎩⎨⎧≤>=−.0,0;0,e )(y y y y p y Y （2）当x ≤ −1或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当−1 < x < 1时，)1(85)21(45)(45),()(41022102222x y y x dy y x dy y x p x p x x X −=+=+==−−+∞∞−∫∫，故⎪⎩⎪⎨⎧<<−−=.,0;11),1(85)(4其他x x x p X当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0，当0 < y < 1时，y y xy x dx y x dx y x p y p y y yyY −+=+=+==−−−−−−+∞∞−∫∫1)21(65)31(45)(45),()(113112， 故⎪⎩⎪⎨⎧<<−+=.,0;10,1)21(65)(其他y y y y p Y （3）当x ≤ 0或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当0 < x < 1时，111),()(03=⋅===∫∫+∞∞−xx dy x dy y x p x p xX ， 故⎩⎨⎧<<=.,0;10,1)(其他x x p X当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0， 当0 < y < 1时，y y x dx xdx y x p y p y y Y ln ln 1ln ln 1),()(1−=−====∫∫+∞∞−， 故⎩⎨⎧<<−=.,0;10,ln )(其他y y y p Y6． 设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,6),(2其他x y x y x p 试求边际密度函数p x (x ) 和p y ( y )． 解：当x ≤ 0或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当0 < x < 1时，)(66),()(22x x dy dy y x p x p xxX −===∫∫+∞∞−，故⎩⎨⎧<<−=.,0,10),(6)(2其他x x x x p X 当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0， 当0 < y < 1时，)(66),()(y y dx dx y x p y p yyY −===∫∫+∞∞−，故⎪⎩⎪⎨⎧<<−=.,0,10),(6)(其他y y y y p Y7． 试验证：以下给出的两个不同的联合密度函数，它们有相同的边际密度函数．⎩⎨⎧≤≤≤≤+=.,0,10,10,),(其他y x y x y x p ⎩⎨⎧≤≤≤≤++=.,0,10,10),5.0)(5.0(),(其他y x y x y x g 证：当x < 0或x > 1时，p X (x ) = 0，当0 ≤ x ≤ 1时，5.0)21()(),()(1021+=+=+==∫∫+∞∞−x y xy dy y x dy y x p x p X ，则⎩⎨⎧≤≤+=.,0,10,5.0)(其他x x x p X 当y < 0或y > 1时，p Y ( y ) = 0， 当0 ≤ y ≤ 1时，5.0)21()(),()(10210+=+=+==∫∫+∞∞−y xy x dx y x dx y x p y p Y ，则⎩⎨⎧≤≤+=.,0,10,5.0)(其他y y y p Y 并且当x < 0或x > 1时，g X (x ) = 0，当0 ≤ x ≤ 1时，5.0)5.0(21)5.0()5.0)(5.0(),()(1021+=+⋅+=++==∫∫+∞∞−x y x dy y x dy y x g x g X ，则⎩⎨⎧≤≤+=.,0,10,5.0)(其他x x x g X 当y < 0或y > 1时，g Y ( y ) = 0，当0 ≤ y ≤ 1时，5.0)5.0()5.0(21)5.0)(5.0(),()(1021+=+⋅+=++==∫∫+∞∞−y y x dx y x dx y x g y g Y ，则⎩⎨⎧≤≤+=.,0,10,5.0)(其他y y y g Y 故它们有相同的边际密度函数．8． 设随机变量X 和Y 独立同分布，且P {X = −1} = P {Y = −1} = P {X = 1} = P {Y = 1} = 1/2，试求P {X = Y }．解：因X 和Y 独立同分布，且P {X = −1} = P {Y = −1} = P {X = 1} = P {Y = 1} = 1/2，则(X , Y ) 的联合概率分布21212141411214141111ji p p X Y ⋅⋅−− 故P {X = Y } = P {X = −1, Y = −1} + P {X = 1, Y = 1} = 1/2．9． 甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X 和Y 分别表示甲和乙的命中次数，试求P {X ≤ Y }． 解：因X 的全部可能取值为0, 1, 2，且P {X = 0} = 0.8 2 = 0.64，32.08.02.012}1{=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P ，P {X = 2} = 0.2 2= 0.04， 又因Y 的全部可能取值为0, 1, 2，且P {Y = 0} = 0.5 2 = 0.25，5.05.05.012}1{=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==Y P ，P {Y = 2} = 0.5 2= 0.25，则(X , Y ) 的联合概率分布25.05.025.004.001.002.001.0232.008.016.008.0164.016.032.016.00210ji p p X Y ⋅⋅故P {X ≤ Y } = 1 − P {X > Y } = 1 − P {X = 1, Y = 0} − P {X = 2, Y = 0} − P {X = 2, Y = 1} = 0.89． 10．设随机变量X 和Y 相互独立，其联合分布列为3/19/19/121321b x c a x y y y X Y试求联合分布列中的a , b , c ．解：因c a p ++=⋅911，9431912+=++=⋅b b p ，911+=⋅a p ，b p +=⋅912，c p +=⋅313， 根据独立性，知81495919422222++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⋅==⋅⋅b b b b p p b p ， 可得0814942=+−b b ，即0922=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−b ， 故92=b ； 再根据独立性，知⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⋅==⋅⋅91969194911221a a b p p p ，可得6191=+a ，故181=a ； 由正则性，知1953191912131=+++=+++++=∑∑==c b a b c a p i j ij ，可得94=++c b a ，故6118394==−−=b ac ． 11．设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X ~ U (0, 1)，Y ~ Exp (1)．试求（1）X 与Y 的联合密度函数；（2）P {Y ≤ X }；（3）P {X + Y ≤ 1}．解：（1）因X 与Y 相互独立，且边际密度函数分别为⎩⎨⎧<<=.,0,10,1)(其他x x p X ⎩⎨⎧<≥=−.0,0,0,e )(y y y p y Y故X 与Y 的联合密度函数为⎩⎨⎧≥<<==−.,0,0,10,e )()(),(其他y x y p x p y x p y Y X （2）1111101e 1e 1)e ()e 1()e (e }{−−−−−−=−+=+=−=−⋅==≤∫∫∫∫x x x y xy x dx dx dy dx X Y P ；（3）11110110101010e )e ()e 1()e (e }1{−−−−−−−=−=−=−⋅==≤+∫∫∫∫x x x y xy x dx dx dy dx Y X P ．12．设随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,0,10,3),(其他x y x x y x p 试求（1）边际密度函数p x (x ) 和p y ( y )；（2）X 与Y 是否独立．解：（1）当x ≤ 0或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当0 < x < 1时，2033),()(x xdy dy y x p x p xX ===∫∫+∞∞−，故⎩⎨⎧<<=.,0,10,3)(2其他x x x p X 当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0， 当0 < y < 1时，)1(23233),()(2121y x xdx dx y x p y p yyY −====∫∫+∞∞−， 故⎪⎩⎪⎨⎧<<−=.,0,10),1(23)(2其他y y y p Y （2）因⎪⎩⎪⎨⎧<<<<−=.,0,10,10),1(29)()(22其他y x y x y p x p Y X 即p x (x ) p y ( y ) ≠ p (x , y )，故X 与Y 不独立．13．设随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<=.,0,10,||,1),(其他y y x y x p 试求（1）边际密度函数p x (x ) 和p y ( y )；（2）X 与Y 是否独立．解：（1）当x ≤ −1或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当−1 < x < 0时，x dy dy y x p x p xX +===∫∫−+∞∞−11),()(1，当0 ≤ x < 1时，x dy dy y x p x p xX −===∫∫+∞∞−11),()(1，故⎪⎩⎪⎨⎧<≤−<<−+=.,0,10,1,01,1)(其他x x x x x p X当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0，当0 < y < 1时，y dx dx y x p y p yyY 21),()(===∫∫−+∞∞−，故⎩⎨⎧<<=.,0,10,2)(其他y y y p Y（2）因⎪⎩⎪⎨⎧<<<≤−<<<<−+=.,0,10,10),1(2,10,01),1(2)()(其他y x x y y x x y y p x p Y X 即p x (x ) p y ( y ) ≠ p (x , y )，故X 与Y 不独立．14．设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数如下，试问X 与Y 是否相互独立？（1）⎩⎨⎧>>=+−.,0;0,0,e ),()(其他y x x y x p y x （2）+∞<<∞−++=y x y x y x p ,,)1)(1(π1),(222；（3）⎩⎨⎧<<<=.,0;10,2),(其他y x y x p （4）⎩⎨⎧<+<<<<<=.,0;10,10,10,24),(其他y x y x xy y x p（5）⎩⎨⎧<<<<−=.,0;10,10),1(12),(其他y x x xy y x p（6）⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0;1,421),(22其他y x y x y x p解：（1）因x e − (x + y ) = x e −x ⋅ e −y 可分离变量，x > 0, y > 0是广义矩形区域，故X 与Y 相互独立；（2）因)1π(1)1π(1)1)(1(π122222y x y x +⋅+=++可分离变量，−∞ < x , y < +∞是广义矩形区域， 故X 与Y 相互独立；（3）因0 < x < y < 1不是矩形区域，故X 与Y 不独立；（4）因0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < x + y < 1不是矩形区域，故X 与Y 不独立；（5）因12xy (1 − x ) = 12x (1 − x ) ⋅ y 可分离变量，0 < x < 1, 0 < y < 1是矩形区域，故X 与Y 相互独立； （6）因x 2 < y < 1不是矩形区域，故X 与Y 不独立．15．在长为a 的线段的中点的两边随机地各取一点，求两点间的距离小于a / 3的概率．解：设X 和Y 分别表示这两个点与线段中点的距离，有X 和Y 相互独立且都服从[0, a / 2]的均匀分布，则(X , Y ) 的联合密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=.,0,20,20,4),(2其他a y a x a y x pa a故所求概率为922321}3{22=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛×==<+a a S S aY X P DG ． 16．设二维随机变量(X , Y ) 服从区域D = {(x , y ): a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d }上的均匀分布，试证X 与Y 相互独立． 证：因(X , Y ) 的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤−−=.,0;,,))((1),(其他d y c b x a c d a b y x p当x < a 或x > b 时，p X (x ) = 0，当a ≤ x ≤ b 时，a b dy c d a b dy y x p x p d c X −=−−==∫∫+∞∞−1))((1),()(， 则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−=.,0;,1)(其他b x a a b x p X当y < c 或y > d 时，p Y ( y ) = 0，当c ≤ y ≤ d 时，cd dx c d a b dx y x p y p b aY −=−−==∫∫+∞∞−1))((1),()(， 则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−=.,0;,1)(其他d y c c d y p Y因p x (x ) p y ( y ) = p (x , y )， 故X 与Y 相互独立．17．设X 1, X 2, …, X n 是独立同分布的正值随机变量．证明n k n k X X X X E n k ≤=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++,11L L ．证：因X 1, X 2, …, X n 是独立同分布的正值随机变量，则由对称性知),,2,1(1n i X X X niL L =++同分布，且满足101<++<niX X X L ，可得⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++n i X X X E L 1存在，且⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++n n n n X X X E X X X E X X X E L L L L 11211，因11111211=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++n n n n n n X X X X E X X X E X X X E X X X E L L L L L L ， 则n X X X E X X X E X X X E n n n n 111211=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++L L L L ， 故n k n k XX X X E n k≤=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++,11L L ．习题3.31． 设二维随机变量(X , Y ) 的联合分布列为09.007.004.0222.011.007.0120.015.005.00321X Y 试分布求U = max{X , Y } 和V = min{X , Y } 的分布列．解：因P {U = 1} = P {X = 0, Y = 1} + P {X = 1, Y = 1} = 0.05 + 0.07 = 0.12；P {U = 2} = P {X = 0, Y = 2} + P {X = 1, Y = 2} + P {X = 2, Y = 2} + P {X = 2, Y = 1}= 0.15 + 0.11 + 0.07 + 0.04 = 0.37；P {U = 3} = P {X = 0, Y = 3} + P {X = 1, Y = 3} + P {X = 2, Y = 3} = 0.20 + 0.22 + 0.09 = 0.51； 故U 的分布列为51.037.012.0321P U因P {V = 0} = P {X = 0, Y = 1} + P {X = 0, Y = 2} + P {X = 0, Y = 3} = 0.05 + 0.15 + 0.20 = 0.40； P {V = 1} = P {X = 1, Y = 1} + P {X = 1, Y = 2} + P {X = 1, Y = 3} + P {X = 2, Y = 1}= 0.07 + 0.11 + 0.22 + 0.04 = 0.44；P {V = 2} = P {X = 2, Y = 2} + P {X = 2, Y = 3} = 0.07 + 0.09 = 0.16； 故V 的分布列为16.044.040.0210P V2． 设X 和Y 是相互独立的随机变量，且X ~ Exp (λ )，Y ~ Exp (µ )．如果定义随机变量Z 如下⎩⎨⎧>≤=.,0,,1Y X Y X Z 当当 求Z 的分布列．解：因(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧>>==+−.,0,0,0,e )()(),()(其他y x y p x p y x p y x Y X µλλµ 则∫∫∫+∞+∞+−+∞+∞+−−⋅==≤==0)(0)(e )(e }{}1{xy x xy x dx dy dx Y X P Z P µλµλλλµµλλµλλλµλµλ+=+−==+∞+−+∞+−∫0)(0)(e e xx dx ，µλµ+==−==}1{1}0{Z P Z P ，故Z 的分布列为µλλµλµ++PZ 13． 设随机变量X 和Y 的分布列分别为4/12/14/1101P X − 2/12/110P Y已知P {XY = 0} = 1，试求Z = max{X , Y }的分布列．解：因P {X 1 X 2 = 0} = 1，有P {X 1 X 2 ≠ 0} = 0，即P {X 1 = −1, X 2 = 1} = P {X 1 = 1, X 2 = 1} = 0，可得 (X , Y ) 的联合分布列为因{Z P {Z P 故Z 4．（1）X （2）X 解：（1）(X , 因P {Z = 0} = P {X = 0, Y = 0} = 0.25；P {Z = 1} = 1 − P {Z = 0} = 0.75； 故Z 的分布列为75.025.010P Z（2）因P {Z = k } = P {X = k , Y ≤ k } + P {X < k , Y = k } = P {X = k } P {Y ≤ k } + P {X < k } P {Y = k }p p p p p p p p k k i i kj j k 1111111)1()1()1()1(−−=−=−−−⋅−+−⋅−=∑∑p p p p p p p p p p k k k k 111)1()1(1)1(1)1(1)1(1)1(−−−−⋅−−−−+−−−−⋅−= = (1 − p ) k − 1 p ⋅ [2 − (1 − p ) k − 1 − (1 − p ) k ]故Z = max{X , Y }的概率函数为p z (k ) = (1 − p ) k − 1 p ⋅ [2 − (1 − p ) k − 1 − (1 − p ) k ]，k = 1, 2, …．5． 设X 和Y 为两个随机变量，且73}0,0{=≥≥Y X P ，74}0{}0{=≥=≥Y P X P ， 试求P {max{X , Y } ≥ 0}．解：设A 表示事件“X ≥ 0”，B 表示事件“Y ≥ 0”，有73)(=AB P ，74)()(==B P A P ， 故75737474)()()()(}0},{max{=−+=−+==≥AB P B P A P B A P Y X P U ．6． 设X 与Y 的联合密度函数为⎩⎨⎧>>=+−.,0,0,0,e ),()(其他y x y x p y x 试求以下随机变量的密度函数（1）Z = (X + Y )/2；（2）Z = Y − X ．解：方法一：分布函数法（1）作曲线簇z yx =+2，得z 的分段点为0，当z ≤ 0时，F Z (z ) = 0，当z > 0时，∫∫∫−+−−+−−⋅==z x z y x zx z y x Z dx dy dx z F 2020)(2020)(]e [e )(z z x z z x z z x dx 2202202e )12(1)e e ()e e (−−−−−+−=−−=+−=∫，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = (X + Y )/2为连续随机变量， 故Z = (X + Y )/2的密度函数为⎩⎨⎧≤>=′=−.0,0,0,e 4)()(2z z z z F z p z Z Z （2）作曲线簇y − x = z ，得z 的分段点为0，当z ≤ 0时，∫∫∫∫+∞−−+−+∞−++−+∞−++−−=−⋅==zx z x zz x y x zzx y x Z dx dy dx z F e []e [e )()2(0)(0)(z z z z x z x e 21e e 21e e 21)2(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=+∞−−+−， 当z > 0时，∫∫∫∫+∞−+−+∞++−+∞++−+−=−⋅==0)2(0)(0)(]e e []e [e )(dx dx dy dx z F x z x z x y x zx y x Zz z x z x −−+∞−+−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=e 2111e 21e e 210)2(，因分布函数F Z (z )连续，有Z = Y − X 为连续随机变量，故Z = Y − X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=′=−.0,e 21,0,e 21)()(z z z F z p zzZ Z 方法二：增补变量法 （1）函数2yx z +=对任意固定的y 关于x 严格单调增加，增补变量v = y ，可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=,,2y v y x z 有反函数⎩⎨⎧=−=,,2v y v z x 且21012=−=′′′′=vz vzy y x x J ， 则∫∫+∞∞−+∞∞−−=⋅−=dv v v z p dv v v z p z p Z ),2(22),2()(，作曲线簇z yx =+2，得z 的分段点为0， 当z ≤ 0时，p Z (z ) = 0，当z > 0时，z z z Z z dv z p 2202e 4e 2)(−−==∫， 故Z = (X + Y )/2的密度函数为⎩⎨⎧≤>=−.0,0,0,e 4)(2z z z z p z Z（2）函数z = y − x 对任意固定的y 关于x 严格单调增加，增补变量v = y ，可得⎩⎨⎧=−=,,y v x y z 有反函数⎩⎨⎧=−=,,v y z v x 且11011−=−=′′′′=v z vzy y x x J ， 则∫+∞∞−−=dv v z v p z p Z ),()(，作曲线簇y − x = z ，得z 的分段点为0， 当z ≤ 0时，zz v z v Z dv z p e 21e 21e )(0202=−==+∞+−+∞+−∫， 当z > 0时，z zzv z z v Z dv z p −+∞+−+∞+−=−==∫e 21e 21e )(22， 故Z = Y − X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=−.0,e 21,0,e 21)(z z z p zzZ 7． 设X 与Y 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,0,10,3),(其他x y x x y x p 试求Z = X − Y 的密度函数．解：方法一：分布函数法作曲线簇x − y = z ，得z 的分段点为0, 1， 当z < 0时，F Z (z ) = 0，当0 ≤ z < 1时，31203102102123233333)(z z z x x xzdx dx x xdy dx xdy dx z F z z zz z xzx z x Z −=+=+=+=∫∫∫∫∫∫−，当z ≥ 1时，F Z (z ) = 1，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = X − Y 为连续随机变量， 故Z = X − Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=′=.,0,10),1(23)()(2其他z z z F z p Z Z方法二：增补变量法函数z = x − y 对任意固定的y 关于x 严格单调增加，增补变量v = y ，可得⎩⎨⎧=−=,,y v y x z 有反函数⎩⎨⎧=+=,,v y v z x 且11011==′′′′=vz vzy y x x J ， 则∫+∞∞−+=dv v v z p z p Z ),()(，作曲线簇x − y = z ，得z 的分段点为0, 1，当z ≤ 0或z ≥ 1时，p Z (z ) = 0， 当0 < z < 1时，)1(23)(23)(3)(210210z v z dv v z z p z z Z −=+=+=−−∫， 故Z = X − Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=.,0,10),1(23)(2其他z z z p Z 8． 某种商品一周的需要量是一个随机变量，其密度函数为⎩⎨⎧≤>=−.0,0,0,e )(1t t t t p t设各周的需要量是相互独立的，试求（1）两周需要量的密度函数p 2 (x )；（2）三周需要量的密度函数p 3 (x )． 解：方法一：根据独立伽玛变量之和仍为伽玛变量设T i 表示“该种商品第i 周的需要量”，因T i 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=−−.0,0,0,e )2(1)(121t t t t p t可知T i 服从伽玛分布Ga (2, 1)，（1）两周需要量为T 1 + T 2，因T 1与T 2相互独立且都服从伽玛分布Ga (2, 1)，故T 1 + T 2服从伽玛分布Ga (4, 1)，密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=−−−.0,0,0,e 61.0,0,0,e )4(1)(3142x x x x x x x p x x （2）三周需要量为T 1 + T 2 + T 3，因T 1, T 2, T 3相互独立且都服从伽玛分布Ga (2, 1)，故T 1 + T 2 + T 3服从伽玛分布Ga (6, 1)，密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=−−−.0,0,0,e 1201.0,0,0,e )6(1)(5163x x x x x x x p xx 方法二：分布函数法（1）两周需要量为X 2 = T 1 + T 2，作曲线簇t 1 + t 2 = x ，得x 的分段点为0，当x ≤ 0时，F 2 (x ) = 0，当x > 0时，∫∫∫−−−−−−−−−⋅=⋅=xt x t t t xt x t t t t dt dt t t dt x F 02110221121221121)e e (e e e )( ∫−−+−−=xt x dt t t xt t 0111121]e e )[(1xt t x t t x t t 0121213111e e e 212131⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−−−11)1(e e e 212131233−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−−−x x x x x x xxx x x x x x −−−−−−−−=e 61e 21e e 132， 因分布函数F 2 (x )连续，有X 2 = T 1 + T 2为连续随机变量， 故X 2 = T 1 + T 2的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=′=−.0,0,0,e 61)()(322x x x x F x p x（2）三周需要量为X 3 = T 1 + T 2 + T 3 = X 2 + T 3，作曲线簇x 2 + t 3 = x ，得x 的分段点为0，当x ≤ 0时，F 3 (x ) = 0，当x > 0时，∫∫∫−−−−−−−−−⋅=⋅=x x x t t x x x x t x t x dx dt t x dx x F 003322003332232332232)e e (e 61e e 61)(∫−−+−−=x x x dx x x x x x 0232323242]e e )[(6`12 xx x x x x x x x x x x x 0222324242522222e 6e 6e 3e e 41415161⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−−−−− )1(e e e 21e 61e 4141516123455−−−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−−−−−x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x −−−−−−−−−−−−=e 1201e 241e 61e 21e e 15432， 因分布函数F 3 (x ) 连续，有X 3 = T 1 + T 2 + T 3为连续随机变量， 故X 3 = T 1 + T 2 + T 3的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=′=−.0,0,0,e 1201)()(533x x x x F x p x 方法三：卷积公式（增补变量法）（1）两周需要量为X 2 = T 1 + T 2，卷积公式∫+∞∞−−=2222)()()(21dt t p t x p x p T T ，作曲线簇t 1 + t 2 = x ，得x 的分段点为0， 当x ≤ 0时，p 2 (x ) = 0， 当x > 0时，xxx xxxt t x x t x t dt t xt dt t t x x p −−−−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=⋅−=∫∫e 61e3121e )(e e )()(30322202222022)(2222， 故X 2 = T 1 + T 2的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=−.0,0,0,e 61)(32x x x x p x（2）三周需要量为X 3 = T 1 + T 2 + T 3 = X 2 + T 3，卷积公式∫+∞∞−−=3333)()()(32dt t p t x p x p T X ，作曲线簇x 2 + t 3 = x ，得x 的分段点为0，当x ≤ 0时，p 3 (x ) = 0，21当x > 0时，∫∫−−−−−+−=−=x x xt t x dt t xt t x t x dt t t x x p 03433323233033)(333e )33(61e e )(61)(33 x xx x t x t x t x t −−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−=e 1201e 51432161505343233323， 故X 3 = T 1 + T 2 + T 3的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=−.0,0,0,e 1201)(53x x x x p x9． 设随机变量X 与Y 相互独立，试在以下情况下求Z = X + Y 的密度函数：（1）X ~ U (0, 1)，Y ~ U (0, 1)； （2）X ~ U (0, 1)，Y ~ Exp (1)． 解：方法一：分布函数法（1）作曲线簇x + y = z ，得z 的分段点为0, 1, 2，当z < 0时，F Z (z ) = 0，当0 ≤ z < 1时，2020002121)(1)(z x zx dx x z dy dx z F zz zxz Z =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−==∫∫∫−，当1 ≤ z < 2时，1121110110110)(211)(111)(−−−−−−−−−=−+=+=∫∫∫∫∫∫z z z z xz z Zx z z dx x z dx dy dx dy dx z F121221)1(21122−−=+−−−=z z z z ， 当z ≥ 2时，F Z (z ) = 1，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = X + Y 为连续随机变量， 故Z = X + Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤−<≤=′=.,0,21,2,10,)()(其他z z z z z F z p Z Z（2）作曲线簇x + y = z ，得z 的分段点为0, 1，当z < 0时，F Z (z ) = 0， 当0 ≤ z < 1时，z z x z zx z zx z y z xz y Z z x dx dx dy dx z F −+−+−−−−−+−=−=−=−⋅==∫∫∫∫e 1)e ()e 1()e (e )(0000，当z ≥ 1时，z z x z x z x z y xz y Z x dx dx dy dx z F −−+−+−−−−−+−=−=−=−⋅==∫∫∫∫e e 1)e ()e 1()e (e )(111110，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = X + Y 为连续随机变量， 故Z = X + Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥−<≤−=′=−−.0,0,1,e )1(e ,10,e 1)()(z z z z F z p z z Z Z方法二：卷积公式（增补变量法） 卷积公式∫+∞∞−−=dy y p y z p z p Y X Z )()()(，（1）作曲线簇x + y = z ，得z 的分段点为0, 1, 2，2当z ≤ 0或z ≥ 2时，p Z (z ) = 0， 当0 < z < 1时，z dy z p zZ ==∫01)(，当1 ≤ z < 2时，z dy z p z Z −==∫−21)(11，故Z = X + Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤−<≤=.,0,21,2,10,)(其他z z z z z p Z（2）作曲线簇x + y = z ，得z 的分段点为0, 1，当z ≤ 0时，p Z (z ) = 0，当0 < z < 1时，z zy z y Z dy z p −−−−=−==∫e 1)e (e )(0，当z ≥ 1时，zz z z z yzz yZ dy z p −+−−−−−−−=+−=−==∫e )1(e ee )e (e)(111，故Z = X + Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥−<≤−=−−.0,0,1,e )1(e ,10,e 1)(z z z z p z z Z10．设随机变量X 与Y 相互独立，试在以下情况下求Z = X /Y 的密度函数：（1）X ~ U (0, 1)，Y ~ Exp (1)； （2）X ~ Exp (λ1)，Y ~ Exp (λ2)． 解：方法一：分布函数法（1）作曲线簇z yx=，即直线簇z x y =，得z 的分段点为0，当z ≤ 0时，F Z (z ) = 0， 当z > 0时，)e 1(e)(e)e (e)(111011zz x zx zx yz x yZ z z dx dx dy dx z F −−−∞+−∞+−−=−==−⋅==∫∫∫∫，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = X /Y 为连续随机变量， 故Z = X /Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>−−=′=−−.0,0;0,e 1e 1)()(11z z z z F z p z z Z Z（2）作曲线簇z yx =，即直线簇z xy =，得z 的分段点为0，当z ≤ 0时，F Z (z ) = 0，当z > 0时，∫∫∫∫∞+−−∞+∞+−−∞+∞+−−⋅=−⋅⋅=⋅=0101021212121ee)e(eee)(dx dx dy dx z F zx xzx yxzx yxZ λλλλλλλλλλ2110)(2110)(12121eeλλλλλλλλλλλ+=+−==+∞+−∞++−∫z z zdx xzxz，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = X /Y 为连续随机变量，zz故Z = X /Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=′=.0,0;0,)()()(22121z z z z F z p Z Z λλλλ方法二：增补变量法（1）函数z = x / y 对任意固定的y 关于x 严格单调增加，增补变量v = y ，可得⎩⎨⎧==,,/y v y x z 有反函数⎩⎨⎧==,,v y zv x 且v z v y y x x J vz vz==′′′′=10， 则∫+∞∞−⋅=dv v v zv p z p Z ||),()(，作曲线簇x / y = z ，得z 的分段点为0，当z ≤ 0时，p Z (z ) = 0，当z > 0时，z z z z v z vZ z z v vdv z p 1111010e 1e 11e 11e )1(e )(−−−−−−−=+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=+−=⋅=∫，故Z = X /Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>−−=−−.0,0;0,e 1e 1)(11z z z z p z z Z（2）作曲线簇x / y = z ，得z 的分段点为0，当z ≤ 0时，p Z (z ) = 0，当z > 0时，+∞+−∞+−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++−=⋅⋅=∫)(22121210212121e )(1e e )(v z v zv Z z z v vdv z p λλλλλλλλλλλλ 22121)(λλλλ+=z ， 故Z = X /Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=.0,0;0,)()(22121z z z z p Z λλλλ 11．设X 1 , X 2 , X 3为相互独立的随机变量，且都服从(0, 1)上的均匀分布，求三者中最大者大于其他两者之和的概率．解：设A i 分别表示X i 大于其他两者之和，i = 1, 2, 3，显然A 1 , A 2 , A 3两两互不相容，且P (A 1) = P (A 2) = P (A 3)， 则P (A 1∪A 2∪A 3) = P (A 1) + P (A 2) + P (A 3) = 3P (A 3) = 3P {X 3 > X 1 + X 2} 因X 1 , X 2 , X 3相互独立且都服从(0, 1)上的均匀分布，则由几何概型知61121131}{213=××=+>X X X P ， 故21}{3)(213321=+>=X X X P A A A P U U ． 12．设随机变量X 1与X 2相互独立同分布，其密度函数为⎩⎨⎧<<=.,0;10,2)(其他x x x p1试求Z = max {X 1, X 2} − min {X 1, X 2}的分布． 解：分布函数法，二维随机变量(X 1, X 2) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0;10,10,4),(212121其他x x x x x x p 因Z = max {X 1, X 2} − min {X 1, X 2} = | X 1 − X 2 |，作曲线簇 | x 1 − x 2 | = z ，得z 的分段点为0, 1， 当z < 0时，F Z (z ) = 0， 当0 ≤ z < 1时，∫∫∫∫+−−=⋅−=−=−−111221311221112211)2(41221421)(11zzz x zzx Z dx x z zx x x x dx dx x x dx z F323823244232414123244142444212123141z z z z z z z z x z zx x z +−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−−=，当z ≥ 1时，F Z (z ) = 1，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = max {X 1, X 2} − min {X 1, X 2}为连续随机变量， 故Z = max {X 1, X 2} − min {X 1, X 2}的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<+−=′=.,0;10,34438)()(3其他z z z z F z p Z Z13．设某一个设备装有3个同类的电器元件，元件工作相互独立，且工作时间都服从参数为λ 的指数分布．当3个元件都正常工作时，设备才正常工作．试求设备正常工作时间T 的概率分布． 解：设T i 表示“第i 个元件正常工作”，有T i 服从指数分布Exp (λ)，分布函数为3,2,1.0,0,0,e 1)(=⎩⎨⎧≤>−=−i t t t F t i λ，则设备正常工作时间T = min {T 1, T 2, T 3}，分布函数为F (t ) = P {T = min {T 1, T 2, T 3} ≤ t } = 1 − P {min {T 1, T 2, T 3} > t } = 1 − P {T 1 > t }P {T 2 > t }P {T 3 > t }= 1 − [1 − F 1 (t )][1 − F 2 (t )][1 − F 3 (t )]当t ≤ 0时，F (t ) = 0，当t > 0时，F (t ) = 1 − (e − λ t )3 = 1 − e − 3λ t ，故设备正常工作时间T 服从参数为3λ 的指数分布Exp (3λ)，密度函数为⎩⎨⎧≤>=′=−.0,0,0,e 3)()(3t t t F t p t λλ14．设二维随机变量(X , Y ) 在矩形G = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}上服从均匀分布，试求边长分别为X 和Y的矩形面积Z 的密度函数．解：二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=.,0,10,20,21),(其他y x y x p 方法一：分布函数法矩形面积Z = XY ，作曲线族xy = z ，得z 的分段点为0, 2， 当z ≤ 0时，F Z (z ) = 0，1当0 < z < 2时，∫∫∫∫∫∫+=+=20020102212121)(z z z z Z dx x z dx dy dx dy dx z F x z)ln 2(ln 22ln 222z z z x z z z −+=+=， 当z ≥ 2时，F Z (z ) = 1，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = XY 为连续随机变量， 故矩形面积Z = XY 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=′=.,0,20),ln 2(ln 21)()(其它z z z F z p Z Z 方法二：增补变量法矩形面积Z = XY ，函数z = xy 对任意固定的y ≠ 0关于x 严格单调增加，增补变量v = y ， 可得⎩⎨⎧==,,y v xy z 有反函数⎪⎩⎪⎨⎧==,,v y v z x 且v vzv y y x x J vz vz1112=−=′′′′=， 则∫+∞∞−⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛=dv vv v z p z p Z 1,)(， 作曲线族xy = z ，得z 的分段点为0, 2， 当z ≤ 0或z ≥ 2时，p Z (z ) = 0， 当0 < z < 2时，)ln 2(ln 212ln 210ln 2121)(1212z z v dy v z p z zZ −=−===∫， 故矩形面积Z = XY 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=.,0,20),ln 2(ln 21)(其它z z z p Zz。
习 题3.11． 在10件产品中有2件一等品，7件二等品和1件次品．从这10件产品中任意抽取3件，用X 表示其中的一等品数，Y 表示其中的二等品数，求(,)X Y 的分布列．解 X 的可能取值为0，1，2；Y 的可能取值为0，1，2，3，因此(,)X Y 的可能取值为{(,):0,1,2;0,1,2,3}i j i j ==，且有217131021(0,2)120C C P X Y C ⋅====， 3731035(0,3)120C P X Y C ====， 11127131014(1,1)120C C C P X Y C ⋅⋅====，122731042(1,2)120C C P X Y C ⋅====， 21213101(2,0)120C C P X Y C ⋅====， 21273107(2,1)120C C P X Y C ⋅====． 由此，(,)X Y 的分布列可以由下表给出4． 设(,)X Y 的密度函数为e 0(,)0y x y f x y -⎧<<=⎨⎩，；，其它.，求(1)P X Y +≤．解 11112210(1)e d d d e d 1e 2e xyy xx y x yP X Y x y x y -----+<<+===+-⎰⎰⎰⎰≤≤．5． 设(,)X Y 的密度函数为, 04,0(,)Axy x y f x y⎧⎪=⎨⎪⎩≤≤≤；0, 其它. ，求：(1)常数A ；(2){1,1}P X Y ≤≤．解 （1）由联合密度函数的性质(,)d d 1f x y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰，有4d d 1x Axy y =⎰，得 332A =．（2）1001,104,0331(1,1)d d d d 323264x y x y P X Y xy x y x x y y ===⎰⎰⎰≤≤≤≤≤≤≤． 10． 袋中有2只白球和3只黑球，从中连取两次，每次取一只． 定义下列随机变量：1, 0, X ⎧=⎨⎩第一次取到白球；第一次取到黑球. 1, 0, Y ⎧=⎨⎩第二次取到白球；第二次取到黑球. 分别就有放回抽取和无放回抽取两种情形，求：(1) (,)X Y 的联合分布列；(2)两次摸到同样颜色球的概率．解 （1）有放回抽样：由事件的独立性条件得(,)X Y 的联合分布列为339(0,0)5525P X Y ===⋅=， 326(0,1)5525P X Y ===⋅=， 236(1,0)5525P X Y ===⋅=， 224(1,1)5525P X Y ===⋅=． 如下表两次摸到同样颜色球的概率为9413(0,0)(1,1)252525P X Y P X Y ==+===+=． （2）无放回抽样：由乘法定理得(,)X Y 的联合分布列为326(0,0)5420P X Y ===⋅=， 326(0,1)5420P X Y ===⋅=， 236(1,0)5420P X Y ===⋅=， 212(1,1)5420P X Y ===⋅=． 如下表两次摸到同样颜色球的概率为(0,0)(1,1)0.30.10.4P X Y P X Y ==+===+=．习 题3.22． 已知(,)X Y 的联合分布函数为()1e e e 0,0(,) 0x y x y x y F x y ---+⎧--+>>=⎨⎩， ；， 其它. ， 求：（1）边缘分布函数；（2）联合密度函数及边缘密度函数；（3）判断X 与Y 的独立性．解 （1）1e ,(0())lim (,)X y x F x F x y x →+∞-=->=1e ,(0())lim (,)Y x y F y F x y y →+∞-=->=即有 1e ,0;()0,0.x X x F x x -⎧->=⎨⎩≤， 1e ,0;()0,0.y Y y F y y -⎧->=⎨⎩≤． （2）(2)(,e ,0,0;0)(,),x y F x y f x x y x y y -+⎧>>⎨=∂∂=∂⎩其它. ()0ed ee d e ()(,,)d ()0x y xx X y y y f x f x x y y +∞-+∞+∞+--∞--===>=⎰⎰⎰ ()ed ee d e ()(,,)d ()0x y yy Y x x x f y f x y y x +∞-+∞+∞+--∞--===>=⎰⎰⎰故 e ,0;()0,0.x X x f x x -⎧>=⎨⎩≤， e ,0;()0,0.y Y y f y y -⎧>=⎨⎩≤． （3）由于 (,)()()X Y f x y f x f y =，所以,X Y 相互独立．3． 一个盒子中有三只乒乓球，一只白色，两只黄色，现从袋中有放回的任取两次，每次取一只，以X ，Y 分别表示第一次、第二次取到球的颜色．求：（1）X 和Y 的联合分布列；（2）X 和Y 的边缘分布列；（3）判断X 和Y 的独立性．解 定义下列随机变量：1, 2, X ⎧=⎨⎩第一次取到白球;第一次取到黄球. 1, 2, Y ⎧=⎨⎩第二次取到白球;第二次取到黄球.（1）在有放回取球条件下111(1,1)339P X Y ===⋅=， 122(1,2)339P X Y ===⋅=，212(2,1)339P X Y ===⋅=， 224(2,2)339P X Y ===⋅=．（2）边缘分布列（3）由于{,}{}{},1,2;1,2P X i Y j P X i P Y j i j ====⋅===，所以,X Y 相互独立．5． 随机变量(,)X Y 在区域{(,)|,}x y a x b c y d <<<<上服从均匀分布，求(,)X Y 的联合密度函数与边缘密度函数，判断随机变量,X Y 是否独立．解 区域{(,)|,}x y a x b c y d <<<<的面积为()()D S b a d c =--， 所以(,)X Y 的联合密度函数1,,;()()(,)a x b c y d b a d c f x y ⎧<<<<⎪--=⎨⎪⎩0, 其它. X 和Y 的边缘密度函数11()(,)d d ,()()()d X c f x f x y y y a x b b a d c b a+∞-∞===<<---⎰⎰11()(,)d d ,()()()b Y a f y f x y x x c y d b a d c d c+∞-∞===<<---⎰⎰ 故 ,1;()X a x b f x b a ⎧⎪⎨⎪⎩<<=-0, 其它.， ,1 ;()Yc yd f y d c ⎧⎪⎨⎪⎩<<=-0, 其它.． 由于 (,)()()X Y f x y f x f y =，所以,X Y 独立．8． 甲、乙两人各自独立进行两次射击，命中率分别为0.2，0.5，求甲、乙命中次数X 与Y 的联合概率分布．解 依题意，~(2,0.2),~(2,0.5)X b Y b ，据公式()(1)k kn k nP X k C p p -==-可算得X 和Y 的概率分布分别为012~0.640.320.04X ⎛⎫ ⎪⎝⎭，012~0.250.50.25Y ⎛⎫ ⎪⎝⎭．由X 和Y 的独立性可得X 和Y 的联合概率分布为习 题3.31. （1）max(,)012340.10.150.250.40.1=M X Y P ；min(,)01230.440.340.140.08=m X Y P ；（2）012345670.0440.10.1750.290.2270.110.0460.008+M m P .5. 设随机变量（X ,Y ）的密度函数为301,0(,)0 x x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩其它.，；，求12().-≤P X Y （修改后的题）解 121()(,)2-≤-≤=⎰⎰x y P X Y f x y dxdy1121102219113381616++-===⎰⎰⎰⎰xx x xdx dy xdx dy6. 设随机变量X 与Y 独立，它们的概率密度分别为201()0 X x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它.，；， 201()0 Y y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它.，；， 求1().+≤P X Y （修改后的题）解 因为X 与Y 独立，所以（X ,Y ）的密度函数为401,01(,)()()0 X Y xy x y f x y f x f y ≤≤≤≤⎧==⎨⎩其它.，；， 1(1)(,)+≤+≤=⎰⎰x y P X Y f x y dxdy 11120142(1)6-==-=⎰⎰⎰x dx xydy x x dx习 题3.42． 设X 与Y 的联合密度为()e 0,0(,)0 x y x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它.，；，， 求()P X Y <及()E XY ．解 （1）设D 为{0,0,}X Y X Y >><所围区域，则()2200011()e d d e d e d e d e 22x y x y x xx DP X Y x y x y x +∞+∞+∞-+----+∞<====-=⎰⎰⎰⎰⎰． （2）()0()()d d e d d x y E XY xyf xy x y xy x y +∞+∞+∞+∞-+-∞-∞==⎰⎰⎰⎰e d e d 1x y x x y y +∞+∞--==⎰⎰．4． 设~(1)Y E 且0,(1,2)1,.k Y k X k Y k ⎧==⎨>⎩≤；，求：（1）1X 与2X 的联合概率分布；（2）12()E X X +．解 （1）e 0~()0,0., -⎧=⎨<⎩y y Y f y y 10,11,1⎧=⎨>⎩Y X Y ，20,21,2.⎧=⎨>⎩Y X Y12(,)X X 有四个可能取值：(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)，且由题意，有11120(0,0)(1,2)(1)e d 1e y P X X P Y Y P Y y --======-⎰≤≤≤，12(0,1)(1,2)0P X X P Y Y ===>=≤，212121(1,0)(1,2)(12)e d e e y P X X P Y Y P Y y ---===>=<==-⎰≤≤，2122(1,1)(1,2)(2)e d e y P X X P Y Y P Y y +∞--===>>=>==⎰．1X 与2X 的联合概率分布为（2）12X X +的概率分布为 121122012()~1e e e e X X ----⎛⎫+ ⎪--⎝⎭故 11221212()0(1e )1(e e )2e e e E X X ------+=⨯-+⨯-+⨯=+．5． 设随机变量X 和Y 的联合分布在以点(0,1)、(1,0)、(1,1)为顶点的三角形区域D 上服从均匀分布，求随机变量U X Y =+的方差．解 方法1X 和Y 的联合密度函数为 2, (,);(,)0, x y D f x y ∈⎧=⎨⎩其它.11012()(,)d d 2d d 3x E X xf x y x y x x y +∞+∞-∞-∞-===⎰⎰⎰⎰，11222011()(,)d d 2d d 2x E X x f x y x y x x y +∞+∞-∞-∞-===⎰⎰⎰⎰，从而 221()()[()]18D X E X E X =-=．同理，21(),()318E Y D Y ==．11015()2d d 12x E XY x x y y -==⎰⎰，1(,)()()()36Cov X Y E XY E X E Y =-=-，1()()()2(,)18D X Y D X D Y Cov X Y +=++=．方法211014()()()d d d 2()d 3x E X Y x y f xy x y x x y y +∞+∞-∞-∞-+=+=+=⎰⎰⎰⎰， 112220111[()]()()d d d 2()d 6x E X Y x y f xy x y x x y y +∞+∞-∞-∞-+=+=+=⎰⎰⎰⎰，221()[()][()]18D X YE X Y E X Y +=+-+=．习 题3.52． 在n 次独立试验中，事件A 在第i 次试验中发生的概率为(01,1,2,)i i p p i <<=，证明：事件A 发生的频率依概率收敛于A 发生概率的平均值．证明 设X 表示在n 次试验中事件A 发生的次数，若引入随机变量1,0,第次试验中发生;第次试验中不发生.i i A X i A ⎧⎪⎨⎪⎩=，12,i n =，，，则1ni i X X ==∑．且i X 服从0—1分布，01~1i ii X p p ⎛⎫⎪-⎝⎭，故 (),()(1)i i i i i i i E X p D X p p p q ==-=．由于 22()()4140≥i i i i i i i p q p q p q p q -=+-=-，故 1(),1,2,,4i i i D X p q i n ==≤，即i X 12,i n =，，方差有公共的上界. 因此由切比雪夫大数定律可知，对任意的0ε>，有1111lim ()1n ni i n i i P X E X n n ε→∞==⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑∑， 即 11lim 1n i n i X P p n n ε→∞=⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑．可见，事件A 发生的频率依概率收敛于A 发生概率的平均值．5． 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用载重量为5吨的汽车承运，利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱才能保障不超载的概率大于0.977．解 设n 为所求的箱数，且设i X 为第i 箱的重量(1,2,,)i n =．由题意，知()5i E X ==．且将12,,,n X X X 视为独立同分布的随机变量．又n 箱的重量1nn i i Y X ==∑，易算得()50n E Y n ==根据林德贝格—莱维中心极限定理，n Y 近似服从正态分布(50,25)N n n ．依题意n 需满足{5000}0.977≤n P Y >，即有{5000}≤n P Y P =0.977(2)ΦΦ≈>=2>，即 1010000n +<．x =，则有210210000x x +-<，解得9.9x <（舍去负的下界）． 因此，298.01n x =<，即最多可以装98箱可保证不超载的概率大于0.977． 6． 已知相互独立的随机变量1ξ,2ξ,…,50ξ都服从泊松分布，记501i i X ξ==∑，求(3)P X ≥．解 因为1ξ,2ξ,…,50ξ独立同分布，且(),()(1,2,,50)i i E D i ξλξλ===．根据林德贝格—莱维中心极限定理，X 近似服从正态分布(50,50)N λλ．(3)1P X P Φ==-≥．7． 某保险公司经多年的资料统计表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，在随意抽查的100家索赔户中被盗的索赔户数为随机变量X ．（1）写出X 的概率分布；（2）利用棣莫佛—拉普拉斯定理，求被盗的索赔户数不少于14户且不多于30户的概率的近似值．解 设A ={抽查到被盗索赔户}，则()0.2p P A ==． 依题意，~(,)(100,0.2)X b n p b =，因此分布律为100100{}0.20.8,(0,1,,100)kk k P X k C k -==⋅⋅=．（2）()20,()(1)16E X np D X np p ===-=，根据棣莫佛—拉普拉斯定理，{1430}{140.5300.5}P X P X ≈-+≤≤≤≤13.5202030.52020{}{1.625 2.625}4444X X P P ----==-≤≤≤≤(2.625)[1(1.625)]0.995710.94790.9436ΦΦ=--≈-+=．8． 在n 次独立重复试验中, 成功率为0.75, 要使“试验成功的频率在0.74~0.76之间” 的概率不小于0.90，则至少要进行多少次试验?解 设12,,,n X X X 表示n 次重复独立试验的各次试验中事件成功的次数，则 12~(,0.75)n X X X b n +++．且在n 次试验中事件成功发生的频率12nX X X X n+++=满足21(1)0.1875()0.75,()(1)p p E X p D X np p n n n-===-==．利用棣莫弗-~(0,1)X N ，所以{0.740.76}{0.01}P X P X p <<=-<P ⎫=<P =<21Φ=-．故要“试验成功的频率在0.74~0.76之间” 的概率不小于0.90， 即{0.740.76}0.90P X <<≥，只需210.90Φ-≥，0.95Φ≥，查表知(1.645)0.95Φ= 1.645，或5074n ≥． 9． 设某车间有150台机床独立工作， 已知每台机床在运转时耗电量都是5(千瓦)．因检修等原因，每台机床平均只有60%的时间在运转．问配电室至少要供给这个车间多少电才能以99.9%的概率保证这个车间不致因供电不足而影响机床工作．解 设X 表示150台机床中同时运转的机床台数，则~(150,0.6)X b ．设配电室需供应k 千瓦电，能以99.9%的概率保证车间正常工作．由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，有{5}{}0.9995k P X k P X Φ=≈≤≤≥． 解得 540.5k ≥.故至少供应540.5千瓦电力才能以99.9%的概率保证车间正常工作．10． 某公司电话总机有200台分机，每台分机有6 %的时间用于外线通话，假定每台分机用于外线是相互独立的，问该总机至少应装多少条外线，才能有95%的把握确保各分机需用外线时不必等候．解 设X 表示200分机同时使用外线的数目，则~(200,0.06)X b ．设总机至少应装k 条外线，才能有95%的把握确保各分机需用外线时不必等候．由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，有()12,()(1)11.28E X np D X np p ===-={}0.95P X k P Φ=≈≤≥． 而(1.645)0.95Φ= 1.645解得 17.03k ≥.故至少应装18条外线，才能有95%的把握确保各分机需用外线时不必等候．11． 某工厂生产的一批零件，合格率为95%，今从中抽取1 000件，求不合格的件数在40到60之间的概率．解 设X 表示1 000件零件中不合格品的件数，则~(1000,0.05)X b ．()50,()(1)47.5E X np D X np p ===-=，由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，有{4060}{400.5600.5}P X P X =-+≤≤≤≤2(1.524)1P Φ⎫==- 20.935710.8714=⨯-=．12． 有一大批种子, 其中良种占20%，从中任取5 000粒，问这些种子中良种所占比例与20% 的绝对差小于0.01的概率．解 设X 表示所取5 000粒种子中良种的粒数，则~(5000,0.2)X b ．()1000,()(1)800E X np D X np p ===-=，由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，有{}{}0.20.011000501000500.55000X P P X P X ⎧⎫⎪⎪-<=-<=-<+⎨⎬⎪⎪⎩⎭2(1.785)1P Φ⎫=<=- 20.96291=⨯-=0.925 8．古今名言 敏而好学，不耻下问——孔子业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随——韩愈兴于《诗》，立于礼，成于乐——孔子己所不欲，勿施于人——孔子读书破万卷，下笔如有神——杜甫读书有三到，谓心到，眼到，口到——朱熹立身以立学为先，立学以读书为本——欧阳修读万卷书，行万里路——刘彝黑发不知勤学早，白首方悔读书迟——颜真卿书卷多情似故人，晨昏忧乐每相亲——于谦书犹药也，善读之可以医愚——刘向莫等闲，白了少年头，空悲切——岳飞发奋识遍天下字，立志读尽人间书——苏轼鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书——李苦禅立志宜思真品格，读书须尽苦功夫——阮元非淡泊无以明志，非宁静无以致远——诸葛亮熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟——孙洙《唐诗三百首序》书到用时方恨少，事非经过不知难——陆游问渠那得清如许，为有源头活水来——朱熹旧书不厌百回读，熟读精思子自知——苏轼书痴者文必工，艺痴者技必良——蒲松龄声明访问者可将本资料提供的内容用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律的规定，不得侵犯本文档及相关权利人的合法权利。
