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第三节 条件概率与全概率公式先由一个简单的例子引入条件概率的概念.内容分布图示★ 概念引入★ 条件概率的定义 ★ 例1 ★ 例2★ 乘法公式★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 全概率公式 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9★ 贝叶斯公式 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12★ 例13 ★ 例14★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题1-4内容要点：一、 条件概率的概念在解决许多概率问题时,往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率. 如在事件A 发生的条件下,求事件B 发生的条件概率,记作)|(A B P .定义1 设B A ,是两个事件, 且0)(>A P , 则称)()()|(A P AB P A B P = (1) 为在事件A 发生的条件下,事件B 的条件概率.相应地，把)(B P 称为无条件概率。
一般地，)|(A B P )(B P ≠.注: 1. 用维恩图表达(1)式.若事件A 已发生,则为使B 也发生,试验结果必须是既在A 中又在B 中的样本点,即此点必属于AB .因已知A 已发生,故A 成为计算条件概率)|(A B P 新的样本空间.2. 计算条件概率有两种方法:a) 在缩减的样本空间A 中求事件B 的概率，就得到)|(A B P ；b) 在样本空间S 中，先求事件)(AB P 和)(A P ，再按定义计算)|(A B P 。
二、乘法公式由条件概率的定义立即得到:)0)(()|()()(>=A P A B P A P AB P (2)注意到BA AB =, 及B A ,的对称性可得到:)0)(()|()()(>=B P B A P B P AB P (3)(2)和(3)式都称为乘法公式, 利用它们可计算两个事件同时发生的概率.三、全概率公式全概率公式是概率论中的一个基本公式。
它使一个复杂事件的概率计算问题，可化为在不同情况或不同原因或不同途径下发生的简单事件的概率的求和问题。
第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
)!(!!n m n m C n m -=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
例1．1：方程xx x C C C 76510711=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。
例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A．120种B．140种 C．160种D．180种(4)一些常见排列①特殊排列②相邻③彼此隔开④顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？①3个舞蹈节目排在一起；②3个舞蹈节目彼此隔开；③3个舞蹈节目先后顺序一定。
例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？①重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？②对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？③ 顺序问题例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） 例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） 例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
概率论与数理统计复习提纲概率论与数理统计总复习第⼀讲随机事件及其概率⼀随机事件，事件间的关系及运算 1.样本空间和随机事件 2.事件关系,运算和运算律⑴事件的关系和运算⑶运算律:交换律,结合律,分配律；对偶律: B A B A ?=?,B A B A ?=?；⼆概率的定义和性质 1.公理化定义(P7)2.概率的性质(P8.五个) ⑴)(1)(A P A P -=；⑵)()()()(AB P B P A P B A P -+=?；3.古典概型和⼏何概型4.条件概率 )()()|(A P AB P A B P =三常⽤的计算概率的公式1.乘法公式 )()()()()(B A P B P A B P A P AB P ==2.全概率公式和贝叶斯公式(P17-20.) 四事件的独⽴性1.定义:A 和B 相互独⽴ )()(B P A B P =或)()()(B P A P AB P ?=，2.贝努利试验在n 重贝努利试验中，事件=k A {A 恰好发⽣k 次})0(n k ≤≤的概率为：k n nk n k p p C A P --=)1()(第⼆讲随机变量及其概率分布⼀随机变量及其分布函数1.随机变量及其分布函数 )()(x X P x F ≤=)(+∞<<-∞x2.分布函数的性质(P35.四个)⑴0)(lim =-∞→x F x ；1)(lim =+∞→x F x ；(常⽤来确定分布函数中的未知参数)⑵)()()(a F b F b X a P -=≤<(常⽤来求概率) ⼆离散型随机变量及其分布律1.分布律2.常⽤的离散型分布三连续型随机变量 1.密度函数 ?∞-=xdt t f x F )()(2.密度函数的性质(P39.七个) ⑴1)(=?+∞∞-dx x f ；（常⽤来确定密度函数中的参数）⑵?=≤adx x f b X a P )()(；（计算概率的重要公式）⑶对R x ∈?，有0)(==c X P (换⾔之,概率为0的事件不⼀定是不可能事件). 3.常⽤连续型分布重点:正态分布:)0,(21)(22)(>=--σσµσπσµ都是常数，x ex f标准正态分布)1,0(N :2221)(x ex -=π四随机变量函数的分布1.离散情形设X 的分布律为则)(X g Y =的分布律为2.连续情形设X 的密度函数为)(x f X ,若求)(X g Y =的密度函数,先求Y 的分布函数,再通过对其求导,得到Y 的密度函数。
、第三章习题详解:1_2 勺一2-〉+2「x〉0 y〉0 3.1设二维随机向量(X』)的分布函数为：尸(兀刃二—八’0. 其他求p {l<x <2,3<y<5 }・解：因为F(2, 5)二 1 —2-2—2〃+ 2 ・，F(L5)二1-2--2-+2-6尸(2)3)二 1 ----- 2-3 + 2y , F(U)二 1 — 2八一27 +所以P(1<X<23<K<5) = F(2, 5)-尸(1,5)-尸(2, 3) + F(l,3)” 25 + 21帶唱3. 2盒中装有3个黑球,2个白球•现从中任取4个球，用X表示取到的黑球的个数，用Y表示取到的白球的个数，求住力的概率分布.解:因为X+K二4,所以(X,F)的可能取值为(2,2), (3, 1)c c 3p(x 二2』二1)二o, P(X 二2, y 二2)二二-二0. 6de 2P& 二3, y 二1)二二—二0.4, P(X二3, y 二2)二0故(Xf)的概率分布为3・3将一枚均匀的硕币抛掷3次，用X表示在3次中出现正面的次数，用丫表示3次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求(x,r)的概率分布.解：因为Y二|X—(3—X)冃2X—31,又X的可能取值为0丄2,3所以(X, 7)的可能取值为(0, 3), (1, 1), (2, 1), (3, 3)且p(x 二o, r 二3)二4)3 = , P(x 二i, r 二i)二C；(较(穿二 |2 o 2 2 oP(X =2, y 二1)二,P(X=3, r 二3)二(i)3二i卩（6_ —刃, lo,⑴确定常数a;⑵求 p{x<o. 5, y<1.5 } (3)求 P{(X, Y) e D},这里 D 是由 x = O f y = 0. x+y = 1 这三条直 线所围成的三角形区域.解：(1)因为匸匸 / (x, y 〃xdy 二[[d(6 - X - y)dxdy=a[[_刁(6_兀_刃‘ k/x = y£ [ (6~x)2- ^~x)2Vx =2G ( (5 - x)dx - 9a I (兀)刃访二1,得9a=L 故&二1/9・ J-x J-x⑵ P(X <0. 5, y <1. 5)二 f°『£ (6 — x — y)dxdy1 严 51 r " f 1 o 5 39 ,二詁0 [(6—小-㊁厂° g 二胡g (6~x)飞炖P {(X, y) GD}二 jj/U 刃必心=£dx1~A二討［3-小-弱 肚二包（11-12—讼諾3.4设二维随机向量（X,Y ）的概率密度函数为: 0<x<L0<y <2,其他y)dy3. 6向一个无限平面靶射击，设命中点（X,Y ）的概率密度函数为/ （兀刃二 ---- -- : -- ,_oovx, y v+oo,7r （i + £ +求命中点与靶心（坐标原点）的距离不超过G 的概率.解：叱+厂如广颂册严二2兀丄•芥宀］ =171 2 1+厂 o 「1771 + £3. 7设二维随机向量（X 』）的概率分布如下表所示，求X 和Y 的边缘概率分布.12e 〃<2r-v)3. 5设二维随机向量（X 』）的概率密度函数为：/ （X, V ）二＜ （0. Q 0, y > 0,其他(1) 求分布函数F (兀刃；(2) 求P{Y<X}解：(1)求分布函数尸么—丿；当x>0』>0.F(x, y) - j f(u f v)dudv =£ £ 2「匚小dudv =2J ； e ^udu e ^'dv =(l-e (1 -e其他情形，由于/（x 』）二0,显然有尸（兀刃二0。
