第三章5 线性定常系统的稳定误差计算3.6(1)

ae ( s )
E ( s) R( s ) 1 1 1 s( s 1)
2
s( s 1) 2 s s1
s s2 [C0 C1 s C2 s 2 ](1 s s 2 ) C0 C1 s C2 s 2 C3 s 3 C0 s C1 s 2 C2 s 3 C0 s 2 C1 s 3
(1) 动态误差系数法解决问题的思路
E ( s) 1 1 1 (i ) 2 Φe ( s ) Φe (0) Φe (0) s Φe (0) s Φe (0) s i R( s ) 1! 2! i! 1 (i ) C i Φ e ( 0) i 0, 1, 2, i!
自动控制原理
西北工业大学自动化学院
自动控制原理教学组
自动控制原理
本次课程作业（12）
3 —29, 30, 33, 37, 39
课程回顾
§3.6.1 误差与稳态误差
误差定义: (1)按输入端定义误差；(2)按输出端定义误差 稳态误差： (1)静态误差； (2)动态误差
§3.6.2 计算稳态误差的一般方法
时域分析法小结（3）
4．若二阶系统处于无阻尼状态，则系统的
时域分析法小结（2）
2．某0型单位反馈系统的开环增益为K，则在
1 2 输入下，系统的稳态误差为 r (t ) t 2
○
○
A ． 0；
B． ；
C． 1 K；
* D． A K 。
3．动态系统 0 初始条件是指 t<0 时系统的 A．输入为 0 ； B．输入、输出以及它们的各阶导数为 0； C．输入、输出为 0； D．输出及其各阶导数为 0。
( s 1)(4 s 1) A2 A1 A3 s A4 2 2 2 2 2 s ( s s 1) s s s s 1

典型输入下的稳态误差与 静态误差系数(P110-111) r(t)=R· 1(t) R(s)=R/s R(s) E(s) C(s) G(s)H(s) R ess= kp 1+ lim k s→0 sν 1 E(s)=R(s) r(t)=V· R(s)=V/s2 t 1+G(s)H(s) V ess= kv k 若系统稳定, lim s· ν s s→0 则可用终值定理求ess r(t)=At2/2 R(s)=A/s3 R(s) ess= lim s A s→0 k GH 1+ ν 0 0 ess= s 2· k ka lim s ν s s→0
封面
3-6目录
1.误差与稳态误差 2.系统类型 3.阶跃输入作用下的稳态误差与静态位置误差 系数 4.斜坡输入作用下的稳态误差与静态速度误差 系数 5.加速度输入作用下的稳态误差与静态加速度 误差系数 6.扰动作用下的稳态误差 7.减小或消除稳态误差的措施
误差定义(P107-109)
R(s) E(s)
不同的型别(表3-6)
稳态误差
静态误差系数
R· 1(t) V· t At2/2
R· 1(t)
R
0型
V· t
At2/2
kp
kv
ka
1+ k
∞
V
∞
k
0
k
0
Ⅰ型
Ⅱ型
0 0
k
∞
A
∞
∞
0
k
0
k
∞
r(t)=At2/2 r(t)=R· 1(t) 小结： A R 1 e与k的关系 s ess= s→0 e2ss= 与ν的关系 k e 1+ lim 表中误差为无穷时系统还稳定吗? 2· k lim s r(t)=V·2 t sν ν s→0 s→0 3 e与r的关系 s (t ) 1(t ) 2t 3t 时如何快速求出 ss ? r e

J.Z. Xiao, CEIE, HBU
s1 s0
a n ,1
a n +1,1
14
2、劳斯稳定判据
线性系统稳定 劳斯表中第一列元素各值全部为正。 如果劳斯表第一列中的元素出现小于零的数值，则系统不稳定， 且第一列各元素符号的改变次数，等于特征方程的正实部根的数目。 例3-6 设系统特征方程为
s 4 + 2 s 3 + 3s 2 + 4 s + 5 = 0
sin( γ t + ϕ )
lim e βt sin(γt + ϕ ) = 0
t →∞
( β < 0) ( β > 0)
运动模态
lim e βt sin(γt + ϕ ) = ∞
3）重根：设 α 为q重根
t →∞
eαt ,
te α t , L t q −1e α t
lim t r eαt = 0
t →∞
2 0 0 （0）0 8
4 12 8
8
设： F ( s ) = 2 s 4＋8＝0 可以求出以原点对称的根为
−1 ± j ， 1 ± j
×
ε
64
1
Im
×
ε
1 -1
×
J.Z. Xiao, CEIE, HBU
s0
Re
8
-1 ×
第一列数值有两次符号变化，故本例 系统不稳定，且有两个正实部根。
20
二、劳斯稳定判据的应用
3 4 5
5
s3 s2
s1
s0
5
1 ai−2,1 ai−2, j＋1 aij = − ai−1,1 ai−1,1 ai−1, j+1

统的稳态误差总是不可避免的；

当稳态误差足够小可以忽略不计的时候，可以认为
系统的稳态误差为零，这种系统称为无差系统，而 稳态误差不为零的系统则称为有差系统； 应当强调的是，只有当系统稳定时，分析系统的稳 态误差才有意义！！

一、误差与稳态误差
根据控制系统的一般结构，可定义系统的误差与稳态 误差。 N(s)
1 查表可知，系统的稳态误差为：ess 6 2.4 Ka
六、给定稳态误差级数的计算
如果系统的给定参考输入不单纯是前述三种基本类
型时，稳态误差终值难以求得；
当稳态误差是时间的函数时，稳态误差终值仅能给
出时间趋于无穷大时的答案，而不能提供误差怎样随 时间变化的信息，也就是说，稳态误差随时间的变化 规律不能用计算稳态误差终值的方法求得； 稳态误差级数概念可以推广到包括几乎任意时间函数的输入，并且其计算结果能充源自显示稳态误差随时间变化的规律。
1 Er (s) R(s) e (s) R(s) 1 G (s)
假定输入信号r(t)是任意分段连续函数，则可以利用 卷积公式计算给定误差：
er (t ) e (t ) r (t ) d
0 t
式中 er (t )
由于对应于扰动量的响应就是扰动误差，扰动误 差的象函数即为：En ( s ) = Φn ( s ) N ( s ) 式中Φn(s)——系统的扰动误差传递函数。
Go ( s ) Go ( s ) Φn ( s ) = = 1 + Gc ( s )Go ( s ) H ( s ) 1 + G ( s )
s 0
则
式中 K a lim s 2 G ( s ) Ka为加速度误差系数，或称抛物线误差常数。

0 ν=0
Kv
K ν=1
∞ ν=2
GsHssK vG0sH0s
线性系统的时域分析法（5）
The Principle of Automatic Control
3.加速度输入
R(t)=Rt2/2 即 R(s)=R/s3
essRls im0sv2svKs2
∞
ν=0,1
ess
R/K ν=2
s 0
e
sRs
lim
s0 1GsHs
使用条件：sE(s)的极点都位于 s左半平面或原点。
线性系统的时域分析法（5）
The Principle of Automatic Control
例1：设某单位反馈系统 Gs 1
Ts 求 r(t)=sinωt 时，控制系统的稳态误差。
解： Φes1G 1ss1 s/T
当 r(t)=sinωt 时
Rs
s2
ω ω2
E s esR s
e t L 1 E s T 2 T 2 1 e t/T T 2 T 2 1 co t T T 2 s 2 2 2 1 si tn
式中：
G 0 sH 0 s 1 1 T 1 1 s s1 1 T 2 2 s s 1 1 T m m s s
当s→0时，G0(s)H0(s)→1
线性系统的时域分析法（5）
The Principle of Automatic Control
0
ν=3
sR s
RR
e lim
lim

ss s 01 G sH s s 0s2 G sH s K
a
K als i0s m 2G (s)H (s)ls i0m sK v2

∏ (s z j )
( s sk )∏ ( s 2 + 2ζ lω l s + ω l2 ) ∏
k =1 l =1 q j =1 r
m
式中,0<ζl<1,q+2r=n. 则脉冲响应为
K (t ) = ∑ Ak e
k =1 q sk t
+ ∑ Bl e ζ lω l t sin(ω dl t + β l )
例 3-5 设系统的特征方程式为
s 4 + 2 s 3 + 3s 2 + 4 s + 5 = 0
试用劳斯判据判别系统的稳定性,若不稳定指出右根数. 解:列劳斯表 s4 s3 s2 s1 s0
1 2 1 -6 5
3 4 5 0 0
5 0 0 0 0
该表第一列元素符号不全为正,因而系统是不稳定 的;且第一列元素符号变化了两次,所以特征方程有二 个根在s的右半平面.
3.5 线性定常系统的稳定性及稳定判据 稳定是控制系统能够正常运行的首要条件.
对系统进行各类品质指标的分析必须在系统稳定的前提下 进行.
自动控制理论的基本任务(之一)
分析系统的稳定性问题 提出保证系统稳定的措施
一,稳定的概念和定义
x0 x0 (a) 稳定的 (b) 不稳定的
球 的 平 衡 状 态
x0 (c) 大范围稳定的
2,劳斯稳定判据(Routh's stability criterion) 闭环特征方程
a0 s n + a1s n 1 + a2 s n 2 + an 1s + an = 0 ( a0 > 0 )
将各项系数,按下面的格式排成劳斯表 sn a0 a2 a4 a6 sn-1 a1 a3 a5 a7 sn-2 b1 b2 b3 b4 sn-3 c1 c2 c3 c4 … … … … … s2 e1 e2 s1 f1 s0 g1

Time (sec)
从图形中体会误差和稳态误差
单位斜坡函数输入时的稳态误差 1 当输入为R ( s ) 2 时（单位斜坡函数） s sR ( s ) 1 1 1 e lim ss s 0 K 1 G ( s ) lim s G ( s ) lim K k k v G ( s ) s 0 0 1 s 0 s K lim s G s )称为速度误差系数； 式中： v k(
r(t)=1(t)
R(t) E(s)
0.8
N(s)
C(t)
G1 ( s)
+ G ( s) 2
H(s)=2
C(s)
Amplitude
B(s)
H ( s)
System: untitled1 Final Value: 0.5
0.6
0.4
System: untitled1 Settling Time (sec): 7.37
1.8 1.6 1.4 1.2 System: untitled2 Settling Time (sec): 6.81
1 0 GG G 1 2 s 1 .6 7 s 1
R(t) E(s)
N(s)
-
G1 ( s)
+ G ( s) 2
C(s)
B(s)
H ( s)
System: untitled2 Final Value: 1
0.2
etC tC r
5 0 GG G 1 2 s 1 .6 7 s 1
0 5 10 15 Time (sec) 20 25 30
r 1 Cr (t ) H 2
(t)
0
35
非单位反馈情况：
>> step(feedback(tf(50*[0.0,1],conv([1,0],[1.67,1])),2),0:.01:35)

E(s)=R(s)-C(s) N(s) G1(s) H(s) En(s)=C希-C实= –Cn(s) G2(s) C(s)
ˊ ˊ C(s) 1 R(s) E(s) G(s) H(s) H(s)
总误差怎么求？ 总误差怎么求？
典型输入下的稳态误差与静态误差系数
R(s) E(s)
G(s)H(s)
C(s)
4 按输入的稳态补偿 输入的稳态补偿
s→0 s→0
3 按输入的全补偿 输入的
设系统稳定， 设系统稳定，R(s)= 1/s2 则 k2 S essr= limsEr(s)= lim 1- S Gr(s) ∴G (s)=
k1k2
r
k2
减小和消除误差的方法(1,2) 减小和消除误差的方法(1,2)
1 按扰动的全补偿 按扰动的全
R(s) E(s)
Gn(s) k1 T1s+1
N(s)
k2 s(T2s+1)
C(s)
(T1s+1)+ k1Gn(s) N(s) 令R(s)=0,En(s) = -C(s) = s (T s+1)(T s+1) + k1k2 1பைடு நூலகம்2 令分子=0， 令分子 ，得Gn(s) = - (T1s+1)/k1
r(t)=At2/2 R(s)=A/s3
ess=
ess=
A k lim s2· ν s s→0
ka
取不同的ν 取不同的
R·1(t)
R
0型 型 Ⅰ型 Ⅱ型
稳态误差
静态误差系数
V·t
At2/2
R·1(t)
V·t
At2/2
1+ k
∞
V

由于表中第三行只有一 个元素，且为零。
利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并 以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。
辅助多项式：F（S）=2S2+2 F’(s)=4S
辅助方程：F（S）=2S2+2=0
系统有两虚根
2019/9/15
第三章 线性系统的时域分析法
21
例如，一个控制系统的特征方程为
k 1
q
r
r
C(t) A0
Ajepjt
B eknkt k
sin nk
1k2t
C eknkt k
cosnk
1k2t
j 1
k 1
k 1
t0
(3 49)
稳态分量
瞬态分量 系统的结构和参数确定
一个在零输入下的稳定系统，在参考输入信号作用 下仍将继续保持稳定
判别特征方程式根在S平面上的具体分布，过程如下：
如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方 程式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。
若劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等 于特征方程式的根在S的右半平面上的个数，系统不稳定。
2019/9/15
第三章 线性系统的时域分析法
15
例3-5 已知一调速系统的特征方程式为
2019/9/15
第三章 线性系统的时域分析法
系统不稳定，且有两 个根位于S平面的右 半平面上
19
2:劳斯表中出现全零行
某行所有的元素为零或某行仅有一个元素且为零
表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实 根或共轭虚根。
这种情况，可利用系数全为零行的上一行系数构 造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数 来代替表中系数为全零的行,完成劳斯表的排列。

3.6.1 误差的基本概念
误差=误差的瞬态分量+误差的稳态分量
稳态误差=误差的稳态分量
终值定理：
前提条件为：sE(s)在虚 轴和右半平面是解析的。
ess e() lime(t) limsE(s)
t
s0
3.6.1 误差的基本概念
R(S) E(s) G1(S)
N(s)
C(s)
G2(S)
C(s)

(Kis
1) Ts2
K s

K
R(s)
E(s)

Ts2 s Ts2
Ki Ks sK
R(s)
由于该系统为二阶系统，由各项
系数为正可知，系统稳定。
3.6.7 提高系统控制精度的措施
ess
lim sE(s) s0
E(s)

Ts2 s Ts2
Ki Ks sK
Kp

lim G(s)H (s)
s0

lim
s0
s 1 s(s 3)


Kv

lim sG(s)H (s)
s0

1 3
Ka

lim s2G(s)
s0

0
3.6.2 给定作用下的稳态误差计算
G(s) s 1 ,.....r(t) (2 t 0.5t 2 ) 1(t) s(s 3)
s0
G(s)H (s)

K s
G0 (s)
1,...Ka 0,...essr ,
静态加速度误差系数


2,...Ka

K ,...essr

C K

2Z 3 + 4Z 2 − Z − 1 = 0
式中有负号，显然有根在 S = −1 列劳斯表
的右方。
S3 S2
2 4 1 − 2 −1
−1 −1
第一列的系数符号变化了一次，表示原方 程有一个根在垂直直线 S = −1 的右方。
S
1
S0
请看例题
例3-9
已知一单位反馈控制系统如图3-21所示，试回答 1 Gc ( s ) = 1 时，闭环系统是否稳定？ 2
∴ −1 < K < 11.9
劳斯判据特殊情况 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等 于零或没有其余项。 解决的办法 是以一个很小的正数
ε
来代替为零的这项
据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列 若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数 就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不 稳定 如果第一列 ε 上面的系数与下面的系数符号相同，则表 示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定
3 2
S3 S2 S1
1
50
排劳斯表
第一列均为正值，S全部位于左半平面， 故 系统稳定
S0
15 20 750 − 20 15 20
2
Gc ( s ) =
K p ( s + 1) s
Gc ( s )G ( s ) =
20 K p ( S + 1) S 2 ( S + 5)( S + 10)
开环传递函数 闭环特征方程为 列劳斯表
dF ( s ) = 8s 3 + 24 s ds
± j 2 , ± j2
显然这个系统 处于临界(不) 稳定状态。
F ( s ) = 2 s 4 + 12 s 2 + 16 s = 2( s 4 + 6 s 2 + 8) = 2( s 2 + 2)( s 2 + 4) = 0

e(s)R(s)
e(s)E R((ss))1G(1 s)H(s) ——系统误差传函
29.04.2020
❖ 稳态误差ess
twinkle state steady state
error
error
e(t)ets(t)ess(t) ltim ets(t) 0 ess ltimess(t)
e s s l ti m e ( t) l t im [ e ts ( t) e s s ( t) ] l ti m e s s ( t)
元件的不灵敏、 零点漂移、老化 及机械间隙、摩 擦
29.04.2020
❖ 给定稳态误差(由给定输入引起的稳态误差)和 扰动稳态误差(由扰动输入引起的稳态误差)
系统的性质不同两种误差在稳态性能分析的地位不同 随动系统要求系统输出量以一定的精度跟随输入
量的变化，因而用给定稳态误差来衡量系统的稳态性 能。
2,2型系统
3 , 使 系 统 稳 定 相 当 困 难 ， 一 般 很 少 采 用 。
29.04.2020
三 典型输入信号作用下系统的稳态误差ess和稳
态误差系数(Kp、Kv、Ka)
1、单位阶跃输入作用下的稳态误差
将R(s)=1/s代入ess
esslsi m 01G (s s)H (s)1 slsi m 01G (1 s)H (s)
输出端定义：理想输出值与实际输出值的差值为系 统误差。
R (s)
1 C ( s ) E (s)
C (s)
G(s)H(s)
H (s)
－
29.04.2020
E(s)C(s)C(s)R(s)C(s) H(s)
两种误差的比较
从输入端定义的误差在实际的物理系统中可 以测量，便于实施控制，具有一定的物理意义；从 输出端定义的误差在实际的物理系统中有时无法测 量(主要指理想输出)，因此只具有数学意义。 两种误差之间的关系