第5章线性定常系统的综合现代控制理论1资料PPT课件
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现代控制理论-绪论 PPT课件
控制系统的状态空间描述
系统数学描述的两种基本类型
系统是指由一些相互制约的部分所构成的整体，它可能 是一个由反馈闭合的整体，也可能是某一控制装置或受控对 象。
本章中所研究的系统均假定具有若干输入端和输出端，如图所示。图 中方块以外的部分为系统环境，环境对系统的作用为系统输入，系统对环 境的作用为系统输出，二者分别用向量 u = [u1, u2, …, up]T 和 y = [y1, y2, …, yq]T 表示，它们均为系统的外部变量。描述系统内部每个时刻所处状况的 变量为系统的内部变量，以向量 x = [x1, x2, …, xn]T 表示。
)
控制（输入）向量
y1(t)
y
(t
)
y2
(t
)
ym
(t
)
输出（量测）向量
f1(x1, x2
f
(
x,
u,
t
)
f
2
(
x1
,
x2
fn (x1, x2
, xn , u1, u2 , xn , u1, u2
, xn , u1, u2
,ur ,t)
控制变量 u1 , u2 ,, ur
状态变量 输出变量
x1 , x2 ,, xn 通常并不要求必须是可测量的 y1 , y2 ,, ym 可以直接测量的，又称为量测变量
26
DgXu 中南大学信息学院自动化系
系统的动力学特性一般可用一组一阶微分方程来描述
动态特性 xi (t) fi (x1, x2 , , xn;u1,u2, ur ;t) i 1, 2, , n
第5章线性定常系统的综合-现代控制理论1.ppt
AB0I
KB
I
当n 3时，Qc1 B AB A2B Qc2 B ( A BK)B ( A BK)2 B B AB BKB A2B ABBK BKAB BKBKB
I BK
B AB A2B 0 I
0 0
rank(Qc2 ) rank(Qc1)
KAB KBKB
状态反馈后系统 K A BK, B,C
Qc2 B A BK)B A BK)2 B A BK)n1B
当n 1时，Qc1 Qc2 , rank(Qc2 ) rank(Qc1)
当n 2时，Qc1 B AB Qc2 B (A BK)B B
rank(Qc2 ) rank(Qc1)
x ( A GC)x (B GD)u y Cx Du
x ( A GC)x Bu y Cx
记作：G AGC, B,C WG (s) C sI (A GC ) 1 B
5 闭环系统的能控与能观性 定理5.1-1：状态反馈不改变原系统的能控性， 但却不一定能保证能观性．
证明：设原系统为 0 ：(A, B,C) ，是能控的。 Qc1 BABA2B An1B
H
rm
+
ym1
u v H (Cx Du) v HCx HDu (I HD)1(v HCx)
x A B(I HD)1 HC x B(I HD)1v y C D(I HD)1 HC x D(I HD)1v
若D=0，状态空间表达式为 x ( A BHC)x Bv y Cx
证明
只证充分性。若∑0完全能控，通过状态反馈必成立 （31）
式中，
为期望特征多项式。
式中 数极点)。
（32） 为期望的闭环极点(实数极点或共轭复
1)若∑0完全能控，必存在非奇异变换：
第五章线性定常系统的设计与综合-课件
ห้องสมุดไป่ตู้
（4）以便一个多输入—多输出系统实现“一个输入只控制一个输出”作 为
性能指标，相应的综合问题称为解耦控制问题。
优化型性能指标常取一个相对于状态 x 和控制 u 的二次型积分性能指标，
其形式为：
J(u()) (xTQxuTRu)dt 0
R正定对称;常阵
Q正定对称或半正 常定 阵对 (且 A,称 Q12)为能观测。
第五章 线性定常系统的设计与综合
二 输出反馈 输出反馈，就是将系统的输出量回馈到系统的 输入端，与参考输入一起，对受控对象进行控 制。在现代控制理论中，带输出反馈结构的控 制系统，根据反馈信号回馈点的位置不同，有 两种基本结构。 一种是反馈信号回馈至输入矩阵B的后端， 或者说，回馈点在状态微分处。图5-2为多输 入多输出系统输出反馈的这种结构型式。另一 种是反馈信号回馈至输入距阵B的前端，或者 说，回馈点在参考信号的入口处。图5-3为多 输入多输出系统输出反馈的这种结构型式。
（3）
其中：k 为 p×n常阵，状态反馈矩阵。
F为 p×q常阵，输出反馈矩阵。
v—参考输入向量。 2） 性能指标的类型
性能指标 非优化型性能指标：是一类不等式型的指标，即只要性能达
到或好于期望指标就算实现了综合目标。
优化型性能指标： 是一类极值型指标，综合的目的是要使
性能指标在所有可能值中取为极小（或
通过状态反馈构成闭环系统
x (ABK)xBu y(CDK)xDu
第五章 线性定常系统的设计与综合
一般D=0，可化简为
x (ABK)xBu yCx
闭环传递函数矩阵为
W k(s ) C (s IA B) 1 K B
状态反馈矩阵K的引入，并不增加系统的维 数，但可通过K的选择自由地改变闭环系统 的特征值，从而使系统获得所要求的性能。
（4）以便一个多输入—多输出系统实现“一个输入只控制一个输出”作 为
性能指标，相应的综合问题称为解耦控制问题。
优化型性能指标常取一个相对于状态 x 和控制 u 的二次型积分性能指标，
其形式为：
J(u()) (xTQxuTRu)dt 0
R正定对称;常阵
Q正定对称或半正 常定 阵对 (且 A,称 Q12)为能观测。
第五章 线性定常系统的设计与综合
二 输出反馈 输出反馈，就是将系统的输出量回馈到系统的 输入端，与参考输入一起，对受控对象进行控 制。在现代控制理论中，带输出反馈结构的控 制系统，根据反馈信号回馈点的位置不同，有 两种基本结构。 一种是反馈信号回馈至输入矩阵B的后端， 或者说，回馈点在状态微分处。图5-2为多输 入多输出系统输出反馈的这种结构型式。另一 种是反馈信号回馈至输入距阵B的前端，或者 说，回馈点在参考信号的入口处。图5-3为多 输入多输出系统输出反馈的这种结构型式。
（3）
其中：k 为 p×n常阵，状态反馈矩阵。
F为 p×q常阵，输出反馈矩阵。
v—参考输入向量。 2） 性能指标的类型
性能指标 非优化型性能指标：是一类不等式型的指标，即只要性能达
到或好于期望指标就算实现了综合目标。
优化型性能指标： 是一类极值型指标，综合的目的是要使
性能指标在所有可能值中取为极小（或
通过状态反馈构成闭环系统
x (ABK)xBu y(CDK)xDu
第五章 线性定常系统的设计与综合
一般D=0，可化简为
x (ABK)xBu yCx
闭环传递函数矩阵为
W k(s ) C (s IA B) 1 K B
状态反馈矩阵K的引入，并不增加系统的维 数，但可通过K的选择自由地改变闭环系统 的特征值，从而使系统获得所要求的性能。
课件-现代控制理论-刘豹第三版-第5章
能控性与能观性的判别方法
能观性判别方法
能控性判别方法
表示系统是否可以通过输入控制实现任意状态转移。若系统完全能控，则可以通过设计合适的控制器实现任意状态轨迹的跟踪或镇定；若部分能控或不能控，则存在状态无法被有效控制的风险。
能控性的物理意义
表示系统状态是否可以通过输出完全反映出来。若系统完全能观，则可以通过观测输出信号来准确估计系统状态；若部分能观或不能观，则存在状态无法被准确观测的风险，进而影响控制性能的实现。
控制系统稳定性分析是控制理论的核心内容之一，对于确保控制系统的正常运行具有重要意义。
章节内容结构
稳定性概念及定义
介绍稳定性的基本概念和定义，包括Lyapunov稳定性和BIBO稳定性等。
线性系统稳定性判据
详细阐述线性系统稳定性的判据，如Routh-Hurwitz判据、Nyquist判据和Bode图等。
图解法
状态转移矩阵的计算方法
1
2
3
状态转移矩阵反映了系统在时间间隔内从初始状态到最终状态的动态变化过程。
描述系统状态的动态变化过程
若系统稳定，则状态转移矩阵将逐渐趋于零，表示系统状态将逐渐趋于稳定。
反映系统稳定性
状态转移矩阵是进行系统分析和设计的重要工具，可用于研究系统的稳定性、能控性、能观性等性质。
非线性系统稳定性分析
介绍非线性系统稳定性分析方法，如相平面法、Lyapunov直接法等。
熟练掌握线性系统稳定性的判据和分析方法，能够应用所学知识分析和设计线性控制系统。
了解非线性系统稳定性分析方法的基本原理和应用范围，能够运用所学知识分析和设计简单的非线性控制系统。
掌握稳定性的基本概念和定义，理解不同稳定性定义之间的联系与区别。
第5章-线性定常系统的综合2
6
5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性
5.1.3 从输出到x 的反馈
结构图如下：
u
B
x
x
C
y
A
G
x Ax Bu
y
Cx
Du
若D＝0，则
x Ax Bu Gy Ax Bu G(Cx Du) (A GC)x (B GD)u
y Cx Du
x ( A GC)x Bu y Cx
0 1 0 0
x 0 0
1
x
0 u,
0 2 3 1
y 10 0 0 x
25
5.2 极点配置问题
（2）加入状态反馈 K k0 k1 k2
闭环特征多项式为：
f () I ( A bK ) 3 (3 k2 ) 2 (2 k1) (k0 )
（3）由期望的闭环极点可得期望的特征多项式：
5
5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性 D=0 时，闭环系统传递函数
WH (s) C[sI ( A BHC)]1 B
原受控系统传递函数为：
W0 (s) C(sI A)1 B
则还有以下关系式成立：
WH (s) W0 (s)[I HW0 (s)]1
或
WH (s) [I W0 (s)H ]1W0 (s)
16
5.2 极点配置问题 闭环系统的特征多项式：
f () I ( A bK ) n (an1 kn1) n1 (a1 k1) (a0 k0 )
(3) 欲使闭环极点与期望的极点相符，必须满足：
f () f *()
ai ki ai*
ki ai ai*
K a0 a0* a1 a1*
得： u (I HD)1(HCx v) 代入受控系统：
5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性
5.1.3 从输出到x 的反馈
结构图如下：
u
B
x
x
C
y
A
G
x Ax Bu
y
Cx
Du
若D＝0，则
x Ax Bu Gy Ax Bu G(Cx Du) (A GC)x (B GD)u
y Cx Du
x ( A GC)x Bu y Cx
0 1 0 0
x 0 0
1
x
0 u,
0 2 3 1
y 10 0 0 x
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5.2 极点配置问题
（2）加入状态反馈 K k0 k1 k2
闭环特征多项式为：
f () I ( A bK ) 3 (3 k2 ) 2 (2 k1) (k0 )
（3）由期望的闭环极点可得期望的特征多项式：
5
5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性 D=0 时，闭环系统传递函数
WH (s) C[sI ( A BHC)]1 B
原受控系统传递函数为：
W0 (s) C(sI A)1 B
则还有以下关系式成立：
WH (s) W0 (s)[I HW0 (s)]1
或
WH (s) [I W0 (s)H ]1W0 (s)
16
5.2 极点配置问题 闭环系统的特征多项式：
f () I ( A bK ) n (an1 kn1) n1 (a1 k1) (a0 k0 )
(3) 欲使闭环极点与期望的极点相符，必须满足：
f () f *()
ai ki ai*
ki ai ai*
K a0 a0* a1 a1*
得： u (I HD)1(HCx v) 代入受控系统：
现代控制理论基础线性定常系统的综合PPT课件
任意配置后零极点对消可能导致能控性发生变化10原受控系统ducxbuax二反馈至输入矩阵二反馈至输入矩阵bb前端的系统前端的系统将系统的输出量乘以相应的反馈系数馈送到输入端与参考输人相加其和作为受控系统的控制输入
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
• 带输出反馈结构的控制系统 • 带状态反馈结构的控制系统 • 带状态观测器结构的控制系统 • 解耦控制系统
• 状态观测器： • 状态观测器基于可直接量测的输出变量y和控制变量u来估计状态变量， 是一个物理可实现的模拟动力学系统。
20
第20页/共47页
状态重构： 不是所有的系统状态物理上都能够直接测量得到。需要从系统的 可量测参量，如输入u和输出y来估计系统状态 。
状态观测器： 状态观测器基于可直接量测的输出变量y和控制变量u来估计状态 变量，是一个物理可实现的模拟动力学系统。
（4）确定K阵
由 f *( ) f ( ) 得：6 k 14, 5 k 60, 1 k 200
3
2
1
求得：k1 199, k2 55, k3 8
所以状态反馈矩阵K为： K [199 55 8]
17
第17页/共47页
三、状态反馈下闭环系统的镇定问题
镇定的概念：一个控制系统，如果通过反馈使系统实现渐近稳
5.2 带输出反馈系统的综合
一、反馈至输入矩阵B后端的系统
将系统的输出量乘以相应的负反馈系数，馈送到状态微分处。
v
x
B u
x C
y
A
H
原受控系统
0
( A,
B, C )
：
x y
Ax Cx
Bu
输出反馈控制规律：u Bv Hy
输出反馈系统状态空间描述为：
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
• 带输出反馈结构的控制系统 • 带状态反馈结构的控制系统 • 带状态观测器结构的控制系统 • 解耦控制系统
• 状态观测器： • 状态观测器基于可直接量测的输出变量y和控制变量u来估计状态变量， 是一个物理可实现的模拟动力学系统。
20
第20页/共47页
状态重构： 不是所有的系统状态物理上都能够直接测量得到。需要从系统的 可量测参量，如输入u和输出y来估计系统状态 。
状态观测器： 状态观测器基于可直接量测的输出变量y和控制变量u来估计状态 变量，是一个物理可实现的模拟动力学系统。
（4）确定K阵
由 f *( ) f ( ) 得：6 k 14, 5 k 60, 1 k 200
3
2
1
求得：k1 199, k2 55, k3 8
所以状态反馈矩阵K为： K [199 55 8]
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第17页/共47页
三、状态反馈下闭环系统的镇定问题
镇定的概念：一个控制系统，如果通过反馈使系统实现渐近稳
5.2 带输出反馈系统的综合
一、反馈至输入矩阵B后端的系统
将系统的输出量乘以相应的负反馈系数，馈送到状态微分处。
v
x
B u
x C
y
A
H
原受控系统
0
( A,
B, C )
：
x y
Ax Cx
Bu
输出反馈控制规律：u Bv Hy
输出反馈系统状态空间描述为：
《现代控制理论基础》第2版 现代控制理论基础_上海交通大学_施颂椒等_PPT_第5章
① 定义 有理函数 g(s) 当s 时，
② g(假)设
常n数(s〔) d(s) g(s)〕， 就称为正那么有理函数。
③ g假( 设)那么有理函数。
④
假g(设) 〔 n(s)d(s)
g(〕s) ， 就是 非正那么有理函数。
有理函数阵 G (s) 假设G() 0 ，那G (s么) 是严格正那么有理函数阵〔其每个元均为
G (s) C (sI A )1BD
那么(称A,B,C,D) 是G (s) 的一个实现。
•实现研究的问题
⑴ G (s)可实现为 (A,B,C,D) 的条件问题 ⑵ G (s) 实现的方法
〔5－1〕
•最小实现
如果 (A,B,C,D)是G (s) 的一个实现，那么其所有等价系统也都是其 实现 。 G (s) 可有不同维数的实现，其中维数最小的实现称为最小实 现。它描述了系统的既能控又能观的局部。通常要求的实现 为最小实现。
s 1 s4 s(s1) (s1)s(3) (s1)s(3)
s
1
3
s(s 1 )s( 2 ) (s 1 )s( 2 )s( 3 ) s(s 1 )s( 2 )s( 3 )
G (s) 的特征多项式为：s(s1)s(2)s(3)，deG g(s)4。
⑵ G (s) 可实现为 (A,B,C,D) 的条件
③ 非正那么传递函数〔G() 〕，也存在实现，其实现具有
④ 如下形式
Ex(t)A(xt)Bu(t) y(t)Cx(t)Du(t)
〔5－9〕
式中 E为奇异阵。这种形式的系统称为广义系统，或奇异 系统。(本书不予讨论，在专门文献中研究)
5.2.2 最小实现的性质
如果将例〔5－5〕的传递函数阵写成
G ( s ) G 1 ( s )G 2 ( s )
现代控制理论ppt课件
5.2 极点配置
设状态反馈系统希望的极点为 s1, s2, , sn
其特征多项式为
n
Δ*K (s) (s si ) sn an*1sn1 a1*s a0* i 1
选择 k使i 同次幂系数相同。有
K a0* a0 a1* a1 an*1 an1
而状态反馈矩阵 K KP k0 k1 kn1 9
βn-1sn1 βn-2sn2 β1s sn an-1sn1 a1s a0
β0
(s) (s)
引入状态反馈 u V Kx V KP1x V Kx
令
K KP 1 k0 k1 kn1
其中 k0 , k1, , kn1为待定常数
7
5.2 极点配置
0 1
0 0
5
5.2 极点配置
证明：充分性
线性定常系统
x Ax Bu
y
Cx
经过线性变换 x P1x ，可以使系统具有能控标准形。
0 1 0 0
x
0
0
1
0
0
x
u
0
0 0
1
a0 a1 an1
0 1
y β0 β1 βn1 x
6
5.2 极点配置
系统传递函数：g(s) C[sI A]1b C [sI A]1b
0 0 1 P 0 1 12
16
1 18 144
5.2 极点配置
0 0 1
k kP 4 66 140 1 12
1 18 144
14 186 1220
17
5.2 极点配置
方法二：
k k1 k2 k3
s k1 k2
k3
a*
(
s)
现代控制理论(1-8讲第1-2章知识点)精品PPT课件
dia dt
Ke
I fD Coபைடு நூலகம்st
n f Const
nDJ , f
其中：Kf 为发电机增益常数；Ke 为电动机反电势常数。
(3).电动机力矩平衡方程：J
d
dt
f
Kmia
(Km
-电动机转矩常数)
以上三式可改写为：
d
dt
f J
Km J
ia
dia dt
Ke Ra
La
La
ia
Kf La
if
试写出其状态空间表达式。
解：选择相变量为系统的状态变量，有
•
•
•• •
x1 y x2 y x1 x3 y x2
故
即
•
x1 x2
•
x2 x3
•
x3
a0 a3
x1
a1 a3
x2
a2 a3
x3
1 a3
u
•
0
x 0
a0
a3
1 0 a1 a3
0
0
1 x 0 u
a2
1
a3 a3
a1 y a0 y
bnu (n)
b u (n1) n 1
b0u
(1)
分为两种情况讨论。
一、输入信号不含有导数项：
此时系统的运动方程为：
•
y(n)
a y(n1) n1
a1 y a0 y b u
故选
x1 y
•
x2 y
..
xn1
y(n2)
xn y(n1)
对左边各式求导一次，即有
18
24
2-3 化系统的频域描述为状态空间描述
现代控制理论
5.1.2 输出反馈
设线性定常系统为
Ax Bu x y Cx Du
其输入u ，状态变量 x，输出量y 的维数分别是r，n，m 状态反馈控制律 u Fv Hy
F输入变换阵
D
H输出反馈阵
+ +
v
+
F
u
B
+ +
∫
A
x
C
y
H
u Fv Hy Fv H (Cx Du )
0 0 0 s 3 18s 2 72s det(sI A) 1 s 6 0 1 s 12 0
a 0= 0，a1= 72，a2=18
5.2.1状态反馈极点配置
计算由期望闭环极点组决定的特征多项式
3 2 f ( s) ( s * ) ( s 2 )( s 1 j )( s 1 j ) s 4 s 6s 4 i * i 1 3
性能指标的类型
性能指标实质上是对所要综合的控制系统在运动过程行为 上的一种规定。
非优化型性能指标 (不等式型) 优化性型能指标 (极值型)
（1）镇定问题 （2）极点配置 （3）解耦控制 （4）跟踪问题
J (u()) ( x T Qx uT Ru)dt
0
5.1 反馈控制系统的基本结构
0 1 0 0 0 0 1 0 A bc K 0 0 0 0 1 (an 1 kn 1 ) (a0 k0 ) (a1 k1 )
sI ( Ac bc K ) s n ( an 1 kn 1 ) s n 1 ( a1 k1 ) s ( a0 k0 )
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5 闭环系统的能控与能观性 定理5.1-1：状态反馈不改变原系统的能控性， 但却不一定能保证能观性．
证明：设原系统为 0：(A,B,C) ，是能控的。 Q c1 B A B A 2B A n 1B
状态反馈后系统 KABK,B,C
Q c 2 B A B K ) B A B K ) 2 B A B K ) n 1 B
能将∑0化成能控标准I型：
（33）
式中
受控系统∑0的传递函数为：
2)加入状态反馈增益阵： 可求得对 的闭环状态空间表达式：
（34） （35） （36）
式中 闭环特征多项式为： 闭环传递函数为：
（37）
（38） 3)使闭环极点与给定的期望极点相符，必须满足：
由等式两边 于是得：
同次幂系数对应相等．可解出反馈阵各系数： （39）
参考输入；
Krn
状态反馈系数阵
对单输入系统，K为n维行向量。
uvKx
ur1
B
0 ：x Ax Bu vr1 -
y Cx Du
D
1/sxn1C源自A+ym1
K：x(ABK)xBv y(CDK)xDv
rn
若D=0
K
K：x(ABK)xBv yCx
闭环系统传递函数为： G k(s)C sI(A B K ) 1B
改变了系统的极点。
（1）定理5.2-1 采用状态反馈对 0：(A,B,C)任意配置极 点的充要条件是 0：(A,B,C) 完全能控。
证明
只证充分性。若∑0完全能控，通过状态反馈必成立 （31）
式中，
为期望特征多项式。
式中 数极点)。
（32） 为期望的闭环极点(实数极点或共轭复
1)若∑0完全能控，必存在非奇异变换：
现代控制理论
第5章 线性定常系统的综合
第5章 线性定常系统的综合
➢本章结构
✓ 5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性 ✓ 5.2 极点配置问题 ✓ 5.3 系统镇定问题 ✓ 5.4 状态观测器 ✓ 5.5 利用状态观测器实现状态反馈的系统
5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性
1 问题提出
xAB(IHD)1HCxB(IHD)1v yCD(IHD)1HCxD(IHD)1v
若D=0，状态空间表达式为 x(ABHC)xBv yCx
状 态 反 馈 ： x (A B K )x B v
如果 HCK 输出反馈等价于状态反馈
4 从输出到状态微分ẋ反馈
把输出乘以一个反馈系数，然后反馈到状态微分ẋ端
比较开环系统 0(A,B,C) 与闭环系统 (ABK,B,C)
可见，状态反馈阵K的引入，并不增加系统的维数，但可
通过K的选择自由地改变闭环系统的特征值，从而使系统
获得所要求的性能。
3 输出反馈
把输出乘以一个反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入 相减形成控制律。
D
x Ax Bu y Cx Du
前几章我们介绍的内容都属于系统的描述与分析。系 统的描述主要解决系统的建模、各种数学模型之间的相互 转换等；系统的分析则主要研究系统的定量变化规律(如状 态方程的解，即系统的运动分析等)和定性行为(如能控性、 能观测性、稳定性等)。
而综合与设计问题则与此相反，即在已知系统结构和 系统数学模型的基础上，寻求控制规律，以使系统具有某 种期望的性能。
I BK
B AB A2 B 0 I
0 0
rank (Qc2 ) rank (Qc1 )
KAB KBKB
KB
I
n n, rank (Qc2 ) rank (Qc1 )
状态反馈可能改变系统的能观性，举例说明
x
1 0
2
3
x
0
1
u
y 1 1 x
ranC C kAran 1 1k1 52n
定理5.1-2：输出至参考输入端的反馈不改变原 系统的能观性与能控性．
定理5.1-3：输出至状态导数的反馈不改变原系 统的能观性，但可能改变原系统的能控性．
5.2 极点配置问题
1 问题提出
5.2 极点配置问题
2 采用状态反馈
ur1
B
vr1 +
1/s
xn1
A
C
ym1
rn K
0：(A,B,C)
KABK,B,C
x Ax Bu y Cx Du
ur1
B
D
1/s
xn1
C
+ ym1
x Ax Gy Bu y Cx Du
A
nm G
若D=0，状态空间表达式为
x(AGC)x(BGD)u yCxDu
x (AGC)xBu y Cx
记 作 ： G A G C ,B ,C W G (s)C sI(A G C ) 1B
4)最后，把对应于 的 ，通过如下变换， 得到对应于状态 的 ：
这是由于
的缘故。
5.2 极点配置问题
当 n 1 时 Q c 1 ， Q c 2 ,ra ( Q c 2 ) n rk a ( Q c 1 ) n
当n2时， Qc1B AB
Qc2 B
(ABK)BB
AB0I
KB
I
ran(Q kc2)ran(Q kc1)
当 n 3时， Qc1 B AB A2 B Qc2 B ( A BK )B ( A BK )2 B B AB BKB A2 B ABBK BKAB BKBKB
原系统可观，设状态反馈阵K=[0 4]
1 2 0 x(A-BK)xBv0 1x1u ra n C (k AC B)K ra n 1 1k 1 1 1n
状态反馈系统不能观，原因是当用状态反馈配置的极点与原系
统零点相对消。
原系 G0(s统 )(s1 s)s(13)
反馈 Gf(后 s)(ss1)s(11)
ur1
B
vr1 -
1/s
xn1
C
A
在系统中引入反馈控制律
u vHy
rm H
+
ym1
其中， vr 1
Hrm
参考输入； 输出反馈系数阵
对单输入系统，K为m维行向量。
u vHy
x Ax Bu y Cx Du
ur1
B
vr1 +
D
1/s
xn1
C
A
H
rm
+
ym1
u v H (Cx Du) v HCx HDu (I HD)1(v HCx)
在本章中，我们将以状态空间描述和状态空间方法为 基础，仍然在时域中讨论线性反馈控制规律的综合与设计 方法。
2 状态反馈
ur1
B
vr1 -
0 ：x Ax Bu
D
1/s
xn1
C
A
+
ym1
y Cx Du
rn K
把状态乘以一个反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相减
形成控制律。
uvKx
其中， vr 1