第四章 线性方程组 补充题

线性代数补充习题第一章 行列式一、填空题1．220a b a b =，则b a ,满足的条件是________ ．2．若0010413≠xx x，则x 满足的条件是________ ．3．排列3712456的逆序数为________ ． 4．排列123(n 1)n -L 的逆序数为________ ．5．行列式=0001000000000c b a ________ ．6．行列式=-00001002001000ΛΛΛΛΛΛΛΛΛnn ________ ． 7．设行列式12230503--a中，余子式632=M ，则=a ________ ． 二、选择题1．下列行列式中值为0的是（ ）．（A ）行列式中有两行对应元素之和为0 （B ）行列式中对角线上元素全为0（C ）行列式中有两行含有相同的公因子 （D ）行列式中有一行与另一列对应元素成比例2．在函数xx x xxx f 21112)(---=中，3x 的系数是（ ）．（A ）1 （B ）-2 （C ）3 （D ）43．设121=b b ，则=++22121121111b a a a b a a a （ ）．（A ）-2 （B ）-1 （C ）1 （D ）24．设1333231232221131211=a a a a a a a a a ，则111112132121222331313233423423423a a a a a a a a a a a a --=-（ ）． （A ）-12 （B ）12 （C ）-24 （D ）245．设0333231232221131211≠=a a a a a a a a a D ，ij A 是D 元素ij a 的代数余子式（3,2,1,=j i ），若0333223113≠++j j j A a A a A a ，则（ ）．（A ）1=j （B ）2=j （C ）3=j （D ）1=j 或3=j 6．下列选项是偶排列的是（ ）（A ）12435 （B ）54321 （C ）32514 （D ）542317.设001000102001000a =-，则a =( ) （A ）12-（B ）12（C ）1 （D ）-1 8.如果线性方程组12312312313231x x x x x x x x x λλ+-=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩有唯一解，则λ必须满足（ ）（A ）1λ≠ （B ）15λ≠-（C ）15λ≠ （D ）1λ≠- 三、判断题1．交换行列式的两行（列），行列式的值不变．（ ）2．n 阶行列式中，若有n n -2个以上元素为0，则行列式的值为0．（ ）3．333333222222111111d c c b b a d c c b b a d c c b b a +++++++++333222111c b a c b a c b a =333222111d c b d c b d c b +．（ ）4．元素ij a 的代数余子式ij A 与ij a 所在有行、列有关，而与ij a 的值无关．（ ）5．10100001111010001100111001111100010111100010001d c b a dc b a +++=．（ ）6．n 阶行列式中，某行元素全为0，则行列式的值为0．（ ）第一章 行列式1、a b =2、0≠x 且2≠x3、74、05、abc6、!)1(2)1(n n n -- 7、3-二、选择题1、A2、B3、C4、A5、C6、B7、A8、B三、判断题1、×2、√3、×4、√5、√6、√第二章 矩阵一、填空题1．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010501,10001001B x A ，且B A =，则=x ________ ． 2．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=23,1102b a B A ，若BA AB =,则b a ,为 ．3．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101a A ，则=nA ． 4．设()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+-=2011,522A x x x f ，则()=A f ． 5．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5221A ，则A 的伴随矩阵=*A ． 6．设)0(≠-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=cb ad d c b a A ，则A -1= ． 7．若⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a A O21（n i a i ,,2,1,0Λ=≠），则=-1A ．8．设3=A ，且A 为二阶方阵，则=A 3 ．9．已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=012301A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100021B ，则=AB ．10．21121214X ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，则=X ．1．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++c b b a z y y x （ ）． （A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++c b b z y y c b a z y x （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++c b z y b a y x （C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡c b z y b a y x （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++c b a z y x b b a y y x2．设C B A ,,均为n 阶方阵，且E ABC =，则必有（ ）． （A ）E CBA = （B ）E BCA = （C ）E BAC = （D ）E ACB =3．已知矩阵 )(,n m B A m n n m ≠⨯⨯，则下列运算结果不为n 阶方阵的是（ ）． （A ）BA （B ）AB （C ）TBA )( （D ）T T B A 4．若A 是（ ），则必有A A T-=．（A ）可逆矩阵 （B ）三角矩阵 （C ）初等矩阵 （D ）反对称矩阵 5．设B A ,均为n 阶方阵，则下列运算正确的是（ ）．（A ）()kk kB A AB = （B ）A A -=-（C ）()()B A B A B A +-=-22 （D ）若A 可逆，0≠k ，则()111---=A k kA6．矩阵A 经初等行变换化为行阶梯形矩阵后（ ）．（A ） 秩变大 （B ）秩变小 （C ）秩不变 （D ）化为单位方阵 7．设A 是3阶可逆矩阵，λ为实数，如果A A 8=λ，则（ ）． （A ）2=λ （B ）2-=λ （C ）1=λ （D ）8=λ 8．设A 是n 阶方阵，k 为非零实数，则=-kA （ ）．（A ）()A k nn1- （A ）A k n（C ）A k - （D ）A k9．设B A ,均为n 阶矩阵，则必有（ ）．（A ）B A B A +=+ （B ）BA AB = （C ）BA AB = （D ）()111---+=+B A B A三、判断题1．设B A ,都是n m ⨯矩阵，则A B B A +=+．（ ） 2．两个n 阶可逆矩阵之和一定是可逆矩阵．（ ）3．如果A 与B 可交换，且A 可逆，则1-A 与B 可交换．（ ） 4．n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是0=A ．（ ）5．设C B A ,,都是n 阶方阵，且0≠A ，若AC AB =，则C B =．（ ） 6．设B A ,都是n 阶方阵，若0=AB ，则0=B ．（ ） 7．若A 与B 为n 阶方阵，则BA AB =．（ ）8．设A 与B 为n 阶方阵，且A 为对称矩阵，则AB B T 也是对称矩阵．（ ） 9．设A 与B 为n 阶方阵，则B A AB =．（ ）10．若A 和B 皆为n 阶方阵，则必有B A B A +=+．（ ）第二章 矩阵一、填空题1、52、0,11==b a3、⎥⎦⎤⎢⎣⎡101na 4、⎥⎦⎤⎢⎣⎡5014 5、⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1225 6、⎥⎦⎤⎢⎣⎡---a c b d bc ad 17、⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211n a a a O8、27 9、6- 10、1012⎡⎤⎢⎥-⎣⎦二、选择题1、C2、B3、B4、D5、D6、C7、A8、A9、C三、判断题1、√2、×3、√4、×5、√6、×7、×8、√9、√ 10、×第三章 向量组的线性相关性一、填空题1．设()()TT2,3,1,1,1,221-=-=αα，若()T5,,13λα=可由21,αα线性表示 ，则=λ ．2．设()()()1231,2,3,5,4,1ααα===，则12,αα的线性相关性为线性 ．3．设()()()1231,2,3,2,2,1,3,4,3ααα===，则123,,ααα的线性相关性为线性 ．4．若向量组321,,ααα线性无关，则321321211,2,αααβααβαβ++=+==的线性关系为 ． 5．若向量组()()()TTTt t 1,0,0,0,2,1,0,1,12321+==+=ααα的秩为2，则=t ．6．若向量组()()()TTTk k k 0,1,,2,2,,7,1,6321==+=ααα的秩为3，则≠k ．二、选择题1．向量组n ααα,,,21Λ线性无关的充要条件是（ ）． (A) n ααα,,,21Λ均不为零向量(B) n ααα,,,21Λ中任意两个向量的对应分量不成比例 (C) n ααα,,,21Λ中有一个部分向量线性无关(D) n ααα,,,21Λ中任意一个向量都不能由其余1-n 个向量线性表示 2．设向量组321,,ααα线性无关，则与321,,ααα等价的向量组为（ ）． (A) 3221,αααα++ (B) 2121214,3,,αααααα-+ (C) 31312121,,,αααααααα-+-+ (D) 3221,αααα-+ 3．设向量组γβα,,线性无关，δβα,,线性相关，则（ ）． (A) α必可由δγβ,,线性表示 (B) β必不可由δγα,,线性表示 (C)δ必可由γβα,,线性表示 (D) δ必不可由γβα,,线性表示4．设向量组12,s αααL 的秩等于3，则（ ）．(A) 12,s αααL 任意3个向量都线性无关 (B) 12,s αααL 中没有零向量(C) 12,s αααL 任意4个向量都线性相关 (D) 12,s αααL 任意2个向量都线性无关5. 向量组123(,1,1),(1,,1),(1,1,)T T Ta a a ααα==-=-线性相关，则=a （ ）(A) 12-或 (B)13-或 (C) 10或 (D)32或三、判断题1．设向量组r ααα,,,21Λ与s βββ,,,21Λ都线性相关，且可以互相线性表示，则必有s r =．（ ） 2．n 维向量组)1(,,,21>s s αααΛ线性相关的充要条件是其中有一个向量可由其余向量线性表示．（ ） 3．设n 维向量组r ααα,,,21Λ中每一个向量均可由s βββ,,,21Λ线性表示，且s r >，则r ααα,,,21Λ必线性相关．（ ）4．设n ααα,,,21Λ为n 个m 维向量，且m n >，则该向量组必定线性相关．（ ） 5．设321,,ααα是线性无关向量组，则向量组32121105,3,2ααααα+-也线性无关．（ ）6．设向量组r ααα,,,21Λ与s βββ,,,21Λ等价，则r ααα,,,21Λ的任一极大无关组与s βββ,,,21Λ的任一极大无关组可互相线性表示．（ ）第三章 向量组的线性相关性一、填空题1、-82、线性相关3、线性无关4、线性无关5、16、23-和4 二、选择题1、D2、C3、C4、C5、A三、判断题1、×2、√3、√4、√5、√6、√第四章 线性方程组一、填空题1．n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 仅有零解的充分必要条件是 ．2．n 元非齐次线性方程组Ax b =，其增广矩阵记为A% 则方程组有唯一解的充要条件为 ． 3．n 元非齐次线性方程组Ax b =，其增广矩阵记为A% 则方程组有无穷多解的充要条件为 ． 4．若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211k kx x x k x kx x x x kx 无解，则=k ．5．设方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++-=++4224321321321kx x x x kx x kx x x 有唯一解，则≠k ．6．齐次线性方程组()⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+++=++02023202321321321x ax x x a x x x x x 只有零解，则≠a ．7．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-020743032321321321ax x x x x x x x x 有非零解，则=a ．二、选择题1．设A 为n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0=Ax 仅有零解的充分必要条件是系数矩阵A 的秩为r （ ）． (A) m r < (B) n r < (C) m r = (D) n r =2．设n 元齐次线性方程组0=Ax ，若n r A R <=)(，则该方程组的基础解系（ ）．（A ）唯一存在 （B ）共有r n -个 （C ）含有r n -个解向量 （D ）含有无穷多个解向量3．已知321,,ααα是线性方程组0=Ax 的一个基础解系，则必有（ ）． （A ）321,,ααα线性相关 （B ）321,,ααα线性无关（C ）133221,,αααααα+++线性相关 （D ）133221,,αααααα+++不是0=Ax 基础解系 4．方程组⎩⎨⎧=+--=-++032054354325431x x x x x x x x 的一组基础解系是由（ ）个解向量组成的．（A ）2 （B ）1 （C ）3 （D ）05． n 元非齐次线性方程组Ax b =，其增广矩阵记为A % 则方程组无解的充要条件为（ ）． （A ）()(A)r Ar >% （B ）()(A)r A r =% （C ）()(A)r A r <% （D ）()(A)r A r ≠% 6．设s ααα,,,21Λ是n 元齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，则（ ）． （A ）s ααα,,,21Λ线性相关 （B ）0=Ax 的任意1+s 个解向量线性相关 （C ）n A R s =-)( （D ）0=Ax 的任意1-s 个解向量线性相关 7．若321,,ααα是齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系，则（ ）．（A ）133221,,αααααα+++也是0=Ax 的一个基础解系 （B ）基础解系具有唯一性 （C ）133221,,αααααα+++不一定是0=Ax 的基础解系 （D ）以上说法都不对 8．设A 为n m ⨯矩阵，非齐次线性方程组b Ax =的导出组为0=Ax ，若n m <，则（ ）． （A ）b Ax =必有无穷多解 （B ）b Ax =必有唯一解 （C ）0=Ax 必有非零解 （D ）0=Ax 必有唯一解三、判断题1．设21,ξξ为齐次线性方程组0=Ax 的解，1η为非齐次线性方程组b Ax =的解，则22111ξξηk k ++为b Ax =的通解（21,k k 为任意实数）．（ ）2．设21,ξξ为齐次线性方程组0=Ax 的解，21,ηη为非齐次线性方程组b Ax =的解，则()()2121ηηξξ-++为0=Ax 的解．（ ） 3．含有n 个方程的n 元齐次线性方程组0=Ax ，仅有零解的充要条件是0A =.（ ） 4．含有n 个方程的n 元齐次线性方程组0=Ax ，有非零解的充要条件是0A ≠.（ ）5．若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321kx x x x kx x x x kx 有非零解，则k 应满足的条件是0=k 或1=k ．（ ）6．若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=++03 02032321321x kx x x x x kx x 只有零解，则k 应满足的条件是53=k ．（ ）第四章 线性方程组一、填空题1、r n =2、(A)r(A)n r ==% 3、(A)r(A)n r =<% 4、2- 5、1-和2- 6、1-和3 二、选择题1、D2、C3、B4、C5、D6、B7、A8、C三、判断题1、√2、√3、×4、×5、×6、×第五章 矩阵的特征值一、填空题1．设()()TT0,1,2,1,0,121==αα，则内积[]=21,αα ．2．设()Tk 2,1,2=α为单位向量，则=k ．3．设321,,ξξξ是矩阵A 的属于不同特征根321,,λλλ的特征向量，则321,,ξξξ是线性 ． 4．设A 的特征值为1，2-，3，则A 2的特征值为 ．5．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=014020112A ，则A 的特征值为 ． 6．若0λ为A 的一个特征值，则矩阵多项式()A f 有一个特征值为 ． 7．已知三阶矩阵A 的三个特征值为1, -1，2，则()2E A -的特征值为 ．8．设0≠λ为方阵A 的一个特征值，则()13-A 有一个特征值为 ．9．设A 为n 阶方阵，方程组0=Ax 有非零解，则A 必有一个特征值为 ． 10．n 阶矩阵A 可对角化的充分必要条件是A 有 个线性无关的特征向量．11．0是矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a A 01020101的特征值，则=a ．二、选择题1．下列结论中不正确的是（ ）．（A ）若n 维向量α与β正交，则对任意实数l k ,，αk 与βl 也正交； （B ）若n 维向量β与21,αα都正交，则β与21,αα的任意线性组合也正交； （C ）若n 维向量α与β正交，则βα,中至少有一个是零向量； （D ）若n 维向量α与任意n 维向量都正交，则α是零向量． 2．设A 是正交矩阵，则下列结论不正确的是（ ）．（A ）1-A 是正交矩阵 （B ）T A 是正交矩阵 （C ）1±=A （m 是正整数） （D ）kA （1≠k ）是正交矩阵 3．下列说法正确的是（ ）．（A ）因为特征向量都是非零向量，所以它对应的特征值非零； （B ）一个特征值可对应多个特征向量； （C ）一个特征向量可以属于多个特征值； （D ）n 阶矩阵有n 个不同的特征值．4．设n 阶可逆矩阵A 有一特征值为λ，则A *的特征值之一是（ ）． （A ）nA 1-λ （B ）A 1-λ（C ）A λ （D ）nA λ5．设n 阶可逆矩阵A 有一特征值为λ，则1*--A A 的特征值之一是（ ）．（A ）11---λλA （B ）11--+λλA （C ）λλ+-A 1 （D ）λλ--A 16．n 阶方阵A 有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（ ）．（A ）充分而非必要条件 （B ）充要条件 （C ）必要而非充分条件 （D ）无关的条件7．设n λλλ,,,21Λ是n 阶对称矩阵A 的特征值，{}n diag λλλ,,,21Λ=Λ，则（ ）不成立． （A ）A 与()()Λ=r A r （B ）kA 与kΛ相似 （C ）Λ=A （D ）Λ≠A8．下列矩阵中与矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Λ2011相似的是（ ）． （A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2001 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2211 （C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001 （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡10119．矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Λ10000002,210100002y B ,若B A ,相似,则=y （ ）． (A) 1 (B) 2 (C) 1- (D) 2-10．对于实矩阵A ，以下结论正确的是（ ）．（A ）一定有n 个不同的特征值 （B ）存在可逆矩阵B ，使AB B 1-为对角矩阵（C ）它的特征值一定是实数 （D ）属于不同特征值的特征向量一定线性无关三、判断题1．线性无关向量组一定可以化为等价的正交向量组．（ ）2．正交向量组必线性无关．（ ）3．若n 阶方阵A 与B 相似，则A 与B 必有相同的特征值和特征向量．（ ）4．设21,ξξ分别是实对称方阵A 对应于两个不同特征值21,λλ的特征向量，则内积[]0,21=ξξ．（ ）5．n 阶矩阵A 可逆的充要条件是A 的任一特征值不等于0．（ ）6．n 阶矩阵A 可与对角阵相似的充分必要条件是A 有n 个相异的特征值．（ ）7．n 阶矩阵A 可与对角阵相似的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量．（ ）8．n 阶方矩阵A 一定可与对角阵相似．（ ）9.特征多项式相同的矩阵一定相似．（ ）.第五章 矩阵对角化一、填空题1、22、31± 3、无关 4、2，4-，6 5、1-，2，2 6、)(0λf 7、0，1，4 6，11 8、131-λ 9、0 10.n 11. 1二、选择题1、C2、D3、B4、B5、A6、A7、D8、C9、A三、判断题1、√2、√3、×4、√5、√6、×7、√8、√9、×期考大题题型及分值计算题（一）（本大题共2小题，每小题4分，共8分．请写出计算过程、步骤．） １．计算行列式201325143．２.121110212,231123341A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭计算23A B +计算题（二）（本大题共5小题，每题8分，共40分．请写出计算过程、步骤．）1.计算行列式0111101111011110．２．求111011101A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的逆矩阵．３．求向量组()()()()12341,0,3,1,1,3,0,1,2,1,7,2,4,2,14,4T T T Tαααα==--==的秩与它的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示．4．解方程组：1231231234441624x x x x x x x x x ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩5．求⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111020011A 的特征值证明题（6分）设321,,ααα线性无关，3211αααβ--=，3212αααβ-+-=，3213αααβ+--=，证明：321,,βββ线性无关．。

第四章 线性方程组1．线性方程组的基本概念(1)线性方程组的一般形式为：其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等. 线性方程组的解是一个n 维向量(k 1,k 2, …,k n )(称为解向量),它满足当每个方程中的未知数x 用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b 1=b 2=…=b m =0的线性方程组称为齐次线性方程组. n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只有零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组. (2) 线性方程组的其他形式 线性方程组除了通常的写法外,还常用两种简化形式： 向量式 x 1α1+x 2α2+…+n x n α= β， (齐次方程组x 1α1+x 2α2+…+n x n α=0).即[]n a a ,,a 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21=β 全部按列分块，其中β,,21n a a a 如下⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=121111m a a a α ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=222122m a a a α，………，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn n n n a a a 21α, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β 显然方程组有解的充要条件是向量β可由向量组n ααα,,21 线性表示。

矩阵式 AX =β，(齐次方程组AX =0).⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x X 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β其中A 为m n ⨯矩阵，则：① m 与方程的个数相同，即方程组AX =β有m 个方程； ② n 与方程组的未知数个数相同，方程组AX =β为n 元方程。

线性代数第四章练习题答案第一篇：线性代数第四章练习题答案第四章二次型练习4、11、写出下列二次型的矩阵2（1）f(x1,x2,x3)=2x12-x2+4x1x3-2x2x3；（2）f(x1,x2,x3,x4)=2x1x2+2x1x3+2x1x4+2x3x4。

解：（1）因为⎛2f(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3) 0 2⎝⎛2 所以二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为： 0 2⎝0-1-10-1-12⎫⎪-1⎪0⎪⎭⎛x1 x2 x⎝3⎫⎪⎪, ⎪⎭2⎫⎪-1⎪。

0⎪⎭（2）因为⎛0 f(x1,x2,x3,x4)=(x1,x2,x3,x4) 1 1⎝⎛0 1所以二次型f(x1,x2,x3,x4)的矩阵为： 1 1⎝***11⎫⎪0⎪1⎪⎪0⎪⎭⎛x1 x2 x 3 x⎝4⎫⎪⎪⎪，⎪⎪⎭1⎫⎪0⎪。

⎪1⎪0⎪⎭2、写出下列对称矩阵所对应的二次型：⎛1 1（1） -2 1 ⎝212⎛01⎫⎪2⎪1 -2⎪；（2）2 ⎪-1⎪2⎪⎭0⎝12-11212-112012⎫0⎪⎪1⎪2⎪。

1⎪⎪2⎪1⎪⎪⎭-0-2T解：（1）设X=(x1,x2,x3)，则⎛1 f(x1,x2,x3)=XTAX=(x1,x2,x3) -2 1 ⎝2-120-21⎫⎪2⎪-2⎪⎪⎪2⎪⎭⎛x1 x2 x⎝3⎫⎪⎪⎪⎭=x12+2x32-x1x2+x1x3-4x2x3。

（2）设X=(x1,x2,x3,x4)T，则⎛0 1f(x1,x2,x3,x4)=XTAX=(x1,x2,x3,x4)2 -1 0⎝12-11212-11201 2⎫0⎪⎪1⎪2⎪1⎪⎪2⎪1⎪⎪⎭⎛x1 x2 x 3 x⎝4⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎭2=-x2+x4+x1x2-2x1x3+x2x3+x2x4+x3x4。

练习4、21、用正交替换法将下列二次型化为标准形，并写出所作的线性替换。

22（1）f(x1,x2,x3)=2x1+x2-4x1x2-4x2x3；（2）f(x1,x2,x3)=2x1x2-2x2x3；222（3）f(x1,x2,x3)=x1+2x2+3x3-4x1x2-4x2x3。

考研数学之线性代数第四章线性方程组基础与强化训练题（含答案，强烈推荐）习题部分一．填空（每题2分）１．设方程组22112122x x kx x kx x 有非零解，则k。

2．线性方程组960654032321321321x x x x x x x x x 有非零解，则。

3．方程组211111111321x x x aa a有无穷多解，则a。

4．非齐次线性方程组b AX（A 为m n 矩阵）有惟一解的的充分必要条件是____________。

5．设A 是n 阶方阵,21,是齐次线性方程组O AX 的两个不同的解向量,则A。

6．设A 为三阶方阵，秩2A r ，321,,是线性方程组b b AX 的解，已知10131321,，则线性方程组b AX 的通解为。

7．三元线性方程组b AX的系数矩阵的秩2A r ，已知该方程组的两个解分别为1111，1112，则b AX 的全部解可表为。

8．设1686493436227521a A，欲使线性齐次方程组O AX 的基础解系有两个解向量，则a =。

9．当a时，线性方程组233321321321321x ax x ax x x x x x 无解。

10．方程组321011032x x x =0的基础解系所含向量个数是___ ______。

11．若5元线性方程组b AX的基础解系中含有2个线性无关的解向量，则Ar 。

12．设线性方程组414343232121a x x a x x a x x a x x 有解，则4321a ,a ,a ,a 应满足条件。

13．设齐次线性方程组为021nx x x ，则它的基础解系中所包含的向量个数为。

14．设21,是非齐次线性方程组b AX 的解向量，则21是方程组的解向量．15．设s,,,21为非齐次线性方程组b AX 的一组解，如果ssc c c 2211也是该方程组的一个解，则sc c c 21。

16．设矩阵1111110A ，则齐次线性方程组O X A E 的一个基础解系为。

书本p59习10.设n 21a ,,a ,a 是一组n 维向量，已知n 维单位坐标向量n 21e ,e ,e 能由它们线性表示，证明n 21a ,,a ,a 线性无关。

证明：由于任意n 维向量均可由单位坐标向量n 21e ,e ,e 线性表示，所以向量组n 21a ,,a ,a 能由n 21e ,e ,e 线性表示，又由题中条件n 21e ,e ,e 能由n 21a ,,a ,a 线性表示，于是n 21a ,,a ,a 与n 21e ,e ,e 等价，因此它们的秩相等，又向量组n 21e ,e ,e 的秩为n ，所以向量组n 21a ,,a ,a 的秩也为n ，于是n 21a ,,a ,a 线性无关。

与书p137习6及练习八、一（3）相似题.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知1η，2η，3η是它的三个解向量，且1η=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡5432，2η+3η=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321，求该方程组的通解。

解：由四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，知对应齐次线性方程组的基础解系只有一个解向量。

由119页及129页性质知21η-（2η+3η）=（1η-2η）+（1η-3η）=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡6543是对应齐次线性方程组的一个解，由于其不等于0，于是它是一个基础解系，因此原非齐次线性方程组的通解为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡5432+k ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡6543，其中k 为任意实数。

书p138习10设*η是非齐次线性方程组Ax=b 的一个解，1ξ，r n 2,,-ξξ 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。

证明：（1）*η，1ξ，r n 2,,-ξξ 线性无关；（2）*η，*η+1ξ，。

，*η+r -n ξ线性无关。

证明：（1）由*η是非齐次线性方程组Ax=b 的一个解，1ξ，r n 2,,-ξξ 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，于是有A *η=b ， A i ξ=0。

第四章课后习题 及解答1. 证明：T ）（1,1,1,11=α, T ）（1,1,1,12--=α, T ）（1,1,1,13--=α, T ）（1,1,1,14--=α是4R 的一组基, 并求T ）（1,1,2,1=β在这组基下的坐标.证明：0161111111111111111,,,4321≠-=------=）（αααα.R ,,,44321的一组基是αααα∴设β在这组基下的坐标为x ，则x ）（4321,,,ααααβ=，从而 βαααα14321,,,-=）（x⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫--→→⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫------4141414510001000010000111211111111111111111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=∴111541x 2. 已知3R 的两组基为.6,1,1,1,2,5,4,1,3,1,7,3,3,3,2,1,2,1T3T 2T 1T1T 2T 1）（）（）（）（）（）（-======βββααα求：（1）向量T2,6,3）（=γ在基{}321,,ααα下的坐标； （2）基{}321,,ααα到基{}321,,βββ的过渡矩阵； （3）用公式（4.7）求γ在基{}321,,βββ下的坐标。

解：（1）设γ在基{}321,,ααα下的坐标为x ，则：x ）（321,,αααγ=从而 γααα1321,,-=）（x⎪⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛→→ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫112100010001263131732321 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∴112x（2）设基{}321,,ααα到基{}321,,βββ的过渡矩阵为A ，则：A ,,,,321321）（）（αααβββ=从而 ）（）（3211321,,,,A βββααα-= ⎪⎪⎪⎭⎫--- ⎝⎛→→ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫-8124920941712710010001614121153131732321 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=∴81249209417127A （3）设γ在基{}321,,βββ下的坐标为y ，则：x y 1A -= ⎪⎪⎪⎭⎫-⎝⎛→→ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫----4832534153100100111281249209417127⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴83106153414832534153y3. 已知4R 的两组基为.2,1,3,1,2,1,1,2,2,2,1,0,1,0,1,21,0,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,0,1,2,1T4T3T2T1T4T 3T 2T 1）（）（）（）（）（）（）（）（=-===--=-=-=-=ββββαααα（1）求基{}4321,,,αααα到基{}4321,,,ββββ的过渡矩阵；若γ在基{}4321,,,αααα下的坐标为T 0,0,0,1）（，求γ在基{}4321,,,ββββ下的坐标.（2）求基{}4321,,,ββββ到基{}4321,,,αααα的过渡矩阵；若ξ在基{}4321,,,ββββ下的坐标为T 0,1,2,1）（-，求ξ在基{}4321,,,αααα下的坐标.（3）已知向量α在基{}4321,,,αααα下的坐标为T 0,1,2,1）（-，求它在基{}4321,,,ββββ下的坐标.解：（1）设基{}4321,,,αααα到基{}4321,,,ββββ的过渡矩阵为A ，则：A ,,,,,,43214321）（）（ααααββββ=从而 ）（）（432114321,,,,,,A ββββαααα-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→→⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫------0111101011100110001000010000122211120311112021110011112121111 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴010111010111001A 设γ在基{}4321,,,ββββ下的坐标为y ，则：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0001A 1-y⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→→⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫101-01000100001000010001010111010111001 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴101-0y(2) 设基{}4321,,,ββββ到基{}4321,,,αααα的过渡矩阵为B ，则:B ,,,,,,43214321）（）（ββββαααα= ），，，（），，，（432114321B ααααββββ-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫----⎝⎛→→⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫------11111000001111101000100001000011110111121211112221112031111202⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=∴1111100000111110B设ξ在基{}4321,,,αααα下的坐标为x ，则：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1131012101011101011100101-21A x（3）设α在基{}4321,,,ββββ下的坐标为z ，则：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=20130121111110000011111001-21B z 4. 在4R 中找一个向量γ，它在自然基{}4321,,,εεεε和基T4T3T2T13,1,6,6,1,2,3,5,0,1,3,0,1,1,1,2）（）（）（）（===-=ββββ下有相同的坐标.解：设所求坐标为x ，则它满足：x x ）（）（43214321,,,,,,ββββεεεε= 即：0211111163216501=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000110010101001211111163216501 ∴此齐次线性方程组的一般解为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1111k x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==∴1111,,,4321k x ）（可取εεεεγ 5. 已知）（）（）（2,2,1,1,1,1,3,2,1,1,2,1---=-=-=γβα。

线性代数第四章考研辅导资料一、填空选择题1.若非齐次线性方程组123121231,3,31kx x x x kx x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩ 有唯一解，则（）.A ．0k =或3k = B.0k ≠ C.3k ≠ D.0k ≠且3k ≠2.当λ取（ ）时,方程组12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x +-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩λλλλλλ有无穷多解.A.1B.2C.3D.43.非齐次方程组Ax b =中未知量个数为n ,方程个数为m ,系数矩阵A 的秩为r , 则（ ）A.r m =时,方程组Ax b =有解;B.r n =时,方程组Ax b =有唯一解;C.m n =时,方程组Ax b =有唯一解;D.r n <时,Ax b =有无穷解.4.设A 为m n ⨯矩阵,齐次线性方程组0Ax =仅有零解的充分条件是（ ）A.A 的列向量线性无关;B.A 的列向量线性相关;C.A 的行向量线性无关;D.A 的行向量线性相关.5.已知12,ββ是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解,12,αα是对应的齐次线性方程组0Ax =的基础解系,12,k k 为任意常数,则方程组Ax b =的通解是（ ） A.1211212()2k k ββααα-+++ B31211212()2k k ββααα++-+; C.1211212()2k k ββαββ-+++ D31211212()2k k ββαββ++-+6.设123,,ααα是四元非齐次线性方程组Ax b =的三个解向量,且()3R A =,()()T T 1121,2,3,4,0,1,2,3=+=ααα,则线性方程组Ax b =的通解为（ ） A.11213141k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B.10213243k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C.12233445k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D.13243546k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7.设12,αα是非齐次线性方程组Ax b =的解，β是对应的齐次方程组0Ax =的解，则Ax b =必有一个解是（ ）A. 12αα+B. 12αα-C. 12βαα++D.121122βαα++ 8.设A 为n 阶实矩阵，T A 是A 的转置矩阵，则对于线性方程组（Ⅰ）0Ax =和（Ⅱ）T 0A Ax =必有（ ）.A.（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解B ．（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解C ．（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解D ．（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解9.设A 为n 阶实矩阵，且A 中某元素的代数余子式0ij A ≠，则0Ax =的基础解系中所含向量个数为（ ）A.1B.iC.jD.n10.设有非齐次线性方程组Ax b =，下列说法正确的是（ ）A.导出组0Ax =只有零解时，Ax b =只有唯一解；B.导出组0Ax =有非零解时，Ax b =有无穷多解；C.若Ax b =有两个互异解，则Ax b =有无穷多解；D.以上都不对11.设n 阶矩阵A 的各行元素之和为零，且A 的秩为1n -，则线性方程组0Ax =的通解为_____.12.设齐次线性方程组为120n x x x +++=，则它的基础解系所含向量个数为 .13.若非齐次方程组123412341234 242 217411x x x x x x x x x x x x λ+-+=⎧⎪-++=⎨⎪+-+=⎩ 有解，则λ=14.若齐次方程组123123123 0 00x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 有非零解的充分必要条件是λ=15.线性方程组123123123123332x x x x x ax x ax x +-=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解，则a 满足条件16.设12,,,s γγγ为非齐次方程组Ax b =的一组解，且1122s s c c c γ+γ++γ亦为Ax b =的解，则12s c c c +++= 17.五元齐次线性方程组0Ax =的同解方程组为122300x x x +=⎧⎨=⎩，则A 的秩为二、解答题1.求非齐次线性方程组1234123412342 1422221x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩的通解2设方程组123123123(1)0(1)3(1)+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩k x x x x k x x x x k x k ， 问k 取何值时，此方程组（1）有唯一解； （2）无解； （3）有无穷多解？并在有无穷多解时求通解.。

第四章 线性方程组 自测题一、填空题（每小题3分，共15分）1．线性方程组b AX =无解，且,3)(=A r 则=)(b A r .____2．若方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=--=-+106231223232321λλλλλx x x x x x x 有.____=λ3．设A 是方阵，线性方程组X AX =有非零解的充分必要条件是.____4．当________,==b a 时，=A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4813221ba的秩为.2 5．设,0≠A 且A 经若干次第三种初等变换化为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛d 0010000100001，则.____=A二、判断说明题（先判断正确与错误，再简述理由。

每小题5分，共20分）1．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0003213213221x x x x x x x x x λλλλ的系数矩阵为A ，若存在三阶矩阵.0≠B 使得,0=AB 则,1=λ且.0=B2．非齐次线性方程组b AX =有解，若其解不唯一，则必有无穷多个解． 3．设A 是n 阶方阵，0=A 是b AX =有无穷多解的充分必要条件． 4．若齐次线性方程组中方程的个数小于未知量的个数，则方程组必有无穷多解．三. 计算题（每小题15分，共45分）1．k 取何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321kx x x x kx x k x x kx 有唯一解？有无穷多解？无解？2．λ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=--+-=---0)3(14202)8(023)2(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？并求出一般解.3．给定两个线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=--=----=-+331462)(3214321421x x x x x x x x x x I ⎪⎩⎪⎨⎧-=--=---=--+t x x x x nx x x mx x II 121125)(434324321)1(求)(I 的通解)2(t n m ,,取何值时，)(II 与)(I 同解？四、证明题（每小题10分，共20分）1．设方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++3432124321143217438234bx x x x b x x x x b x x x x证明此方程组对任意实数321,,b b b 都有解，并且求它的一切解.2．设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* )(*的系数矩阵A 的秩等于矩阵B=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02121222221111211nn nn n n n n b b b b a a a b a a a b a a a的秩，证明方程组（*）有解.问：逆命题是否成立？为什么？。

第四章 线性方程组1．设齐次方程组1231231230030x ax x ax x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 有非零解，求a 及其通解.解：因为此方程组有非零解，故系数矩阵的行列式为零.2211||1131********a aa a a a ==-+--+=-=-A所以，21a =，即1a =±（1）当1a =时，对此方程组的系数矩阵进行行变换111111120111000011113022000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A原方程组等价于1223200x x x x +=⎧⎨-=⎩, 即 12322x x x x =-⎧⎨=⎩. 取21x =，得1211-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ为方程组的基础解系. 则方程组的通解为1(2,1,1),k k k ==-∈X ξTR .（2）当1a =-时，111111110111001001113000000---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭A原方程组等价于1230x x x -=⎧⎨=⎩取21x =，得()T21,1,0=ξ为方程组的基础解系.故通解为2(1,1,0),TR k k k ==∈X ξ.2．解齐次方程组（1）12341234123420222020x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+++=⎨⎪++-=⎩ （2）12341234123412342350327043602470x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩（3）12341234123420510503630x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++-=⎨⎪+--=⎩ （4）12341234123412343457041113160723023320x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎪⎨-++=⎪⎪-+-=⎩（1）解：对此线性方程组的系数矩阵进行初等行变换211111211010221201310103112100340034---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭A原方程组等价于 132434030340x x x x x x -=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩即 1323439434x x x x x x ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩取34x =，得()T4,9,4,3=-ξ为原方程组的基础解系. 故通解为 ,R k k =∈X ξ.（2）解：对线性方程组的系数矩阵进行初等行变换2315231531271231241361051312471247--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭A 123121231207729011746028250015015000327----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故 ||0≠A ，所以此方程组只有零解,即 T(0,0,0,0)=X .（3）解：对线性方程组的系数矩阵进行初等行变换1211120151015001036130000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A原方程组等价于142320x x x x =-⎧⎨=⎩ 取 2410,.01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得 ()()TT122,1,0,0,1,0,0,1=-=ξξ为方程组的基础解系.所以，原方程组的通解为 112212(,)R k k k k =+∈X ξξ.（4）解：对方程组的系数矩阵进行初等行变换，34571789411131617897213017192023322332--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭A 1789017192000000000-⎛⎫ ⎪-- ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭原方程组等价于123423478901719200x x x x x x x +-+=⎧⎨-+-=⎩ 即 134234313171719201717x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩取 34170,017x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得 ()()TT123,19,17,0,13,20,0,17==--ξξ为方程组的基础解系.故通解为 112212,,k k k k =+∈X ξξR .3．解非齐次方程组（1）1231231232104221138x x x x x x x x -+=⎧⎪+-=⎨⎪+=⎩ （2）12312312312323438213496245x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪+-=⎪⎨-+=-⎪⎪-+=-⎩ （3）1234123412342133344352x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+-+=-⎩（1）解：对此方程组的增广矩阵进行初等行变换3121031210()42121338113081332--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A b 133801011340006--⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭因为 ()23()r r =≠=A A b所以，此方程组无解.（2）解：对此方程组的增广矩阵进行初等行变换231412453821307714()41960141428124507714--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=→⎪ ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A b 12451021011201120000000000000000---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭原方程组等价于 1323212x x x x +=-⎧⎨-=⎩此方程组对应的导出组的基础解系为()T2,1,1=-ξ此方程组的特解为 ()T01,2,0=-η 故方程组的通解为 0k k =+∈X ξηR .（3）解：对此方程组的增广矩阵进行初等行变换2111114352()331340759514352015101810---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭A b 143520759501000--⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪-⎝⎭103520100000595--⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭原方程组等价于 1342343520595x x x x x x -+=-⎧⎪=⎨⎪-=⎩即 142342150915x x x x x ⎧=+⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩此方程组对应导出组的基础解系为 ()T2,0,9,5=ξ特解为 ()T01,0,1,0=η 故通解为 0k k =+∈X ξηR .4．求解非齐次方程组（1）1234523451234512345226323054332x x x x x a x x x x b x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++=⎪⎨+++-=⎪⎪+++-=⎩ （2）1234123412341234230264132716x x x x x x x x x x px x x x x x t+-+=⎧⎪+-+=-⎪⎨+++=-⎪⎪---=⎩（1）解：对此非齐次线性方程组的增广矩阵进行初等行变换111111111101226012263211300122635433120122625a ab b a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪→ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭ 111111111101226012260000030000030000025000001a a b b b a b b a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭①当1a ≠，或3b ≠时，方程组无解; ②当1a =且3b =，方程组有无穷多解; 此时方程组等价于 12345234512263x x x x x x x x x ++++=⎧⎨+++=⎩即 13452345522263x x x x x x x x =++-⎧⎨=---+⎩取 3451000,1,0001x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭得对应的导出组的基础解系()T 11,2,1,0,0=-ξ，()T 21,2,0,1,0=-ξ，()T35,6,0,0,1=-ξ，()T02,3,0,0,0=-η为特解.故通解为1122330k k k =+++X ξξξη， 123,,k k k ∈R . （2）解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换1123011230216410122132710162111610244P P t t --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪------⎪ ⎪→ ⎪ ⎪--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭11230012210080000002P t -⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭①当2t ≠-时，方程组无解.②当2t =-，8P =-时，方程组有无穷多解.此时，原方程组等价于1234234230221x x x x x x x +-+=⎧⎨++=⎩即 13423441221x x x x x x =--⎧⎨=--+⎩则 ()T14,2,1,0=-ξ，()T21,2,0,1=--ξ为导出组的基础解系()T01,1,0,0=-η为方程组的一个特解，故通解为1122012,,k k k k =++∈X ξξηR .③ 2t =-，8P ≠-时，方程组有无穷多解 此时，原方程组等价于12342343230220(8)0x x x x x x x P x +-+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩即 142431210x x x x x =--⎧⎪=-+⎨⎪=⎩则 ()T1,2,0,1=--ξ为导出组的基础解系, ()T01,1,0,0=-η为方程组的一个特解. 故方程组的通解为0k k =+∈X ξηR .5．讨论方程组的解，并求解123123123(3)2(1)23(1)(3)3a x x x a ax a x x aa x ax a x +++=-⎧⎪+-+=⎨⎪++++=⎩解：线性方程组的系数矩阵的行列式为312132132||111112323(1)3333333a a a a a a aa a a aa aa a a a a +++=-=-=-----++++++A21320033a aa a a +=----+221120(1)03a a a a a a a +=-=---+令||0=A ，则0a =或1a =（1）0a =时. 线性方程组的增广矩阵为31203120()0110011030330113⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A b 312001100003⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭因为()23()r r =≠=A Ab所以，此时方程组无解;（2）当1a =时, 41211012()1012012961430000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A b方程组等价于1323229x x x x =-+⎧⎨=-⎩，()T1,2,1=-ξ为导出组的基础解系,()T02,9,0=-η为方程组的一个特解. 故通解为0k k =+∈X ξηR .（3）当0a ≠且1a ≠时，方程组有唯一解.2129a x a +=-，222339a a x a ++=，3239a x a +=. 6．设T T11012,,0,,2180⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭αβγA αβB βα，其中T β是β的转置，求解方程22442=++B A x A x B x γ. 解：将TT T ,,2===A αβB βαβα代入下式得22T TTT4T222=⋅B A x βαβααβαβx αβx = 4TTTT3T2=⋅⋅⋅=A x αβαβαβαβx αβx 442=B x x 由 22442=++B A x A x B x γ 得4T 3T 4222=++x x x γαβαβ3T T32(22)--=αβαβE x γ 3T32(2)-=αβE x γ又 T1101212(10)210211102⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭αβ所以 3110222101122⎛⎫- ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭x γ即 12384001680084168-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭x x x对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换84002100202216800012201228416800000000----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭方程组等价于 1323122+=-⎧⎨-=⎩x x x x ，即1323122x x x x =--⎧⎨=+⎩，121-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ为导出组的基础解系.0120-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭η为方程组的一个特解. 故通解为 0R k k =+∈X ξη. 7．已知向量组12301,2,1110a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭βββ与向量组1231392,0,6317⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα具有相同的秩，且3β可由123,,ααα线性表示，求,a b 的值. 解：因为3β可以由123,,ααα线性表示 所以，1233(,,)=X αααβ有解.即 1231233(,,)(,,)r r =ααααααβ1233(,,)αααβ13913920610612123170010203b b b b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭139210126500030b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 因为 1231233(,,)(,,)r r =ααααααβ所以 1231233(,,)(,,)2r r ==ααααααβ 故50,530bb -==又 123(,,)βββ01101101210310311100003a b a b a b ⎛⎫⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭ 因为 123123(,,)(,,)r r =αααβββ所以 03ab -= 315a b ==.8．设向量组12311111,1,1,11111λλλ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααβ讨论λ取可值时，β不能由123,,ααα线性表示. λ取何值时，β可由123,,ααα唯一线性表示. λ取何值时，β可由123,,ααα线性表示，且有无穷多种表示形式.解：β是否能由123,,ααα线性表示，也即是 非齐次线性方程组123(,,)=αααX β是否有解.321(,,)αααβ211111111111100111101(1)λλλλλλλλλ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+--+-⎝⎭⎝⎭行2111100003λλλλλλ+⎛⎫ ⎪−−→- ⎪ ⎪---⎝⎭行（1）当0λ=时，123123(,,)(,,)2r r ==ααααααβ，则123(,,)=αααX β有无穷多解. 也即β可由123,,ααα线性表示，并且有无穷多表示方法. 121122312(1),k k k k k k =--++∈βαααR ;（2）3λ=-时，123123(,,)23(,,)r r =≠=ααααααβ，故方程组123(,,)=αααX β无解，也即β不能由123,,ααα线性表示;（3）0,3λλ≠≠-时，123123(,,)(,,)r r =ααααααβ，则方程组123(,,)=αααX β有唯一解. 即β可由123,,ααα唯一线性表示.13λ=+β123(,,)ααα. 9．设四阶方阵A 的秩为2，且(1,2,3,4)i i ==A ηb ，其中122334112112,,012002⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ηηηηηη 求非齐次方程组=AX b 的通解.解：因为()2r =A ，故非齐次线性方程组=AX b 的导出组的基础解系含有2个向量又 1231202()()10⎛⎫ ⎪- ⎪=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξηηηη，2342313()()12⎛⎫ ⎪ ⎪=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξηηηη为=AX b 对应导出组的2个线性无关的解向量，即12,ξξ是=AX b 导出组的基础解系0121()2=+ηηη是=AX b 的一个解.故=AX b 的通解为1122012,k k k k =++∈X ξξηR . 10．已知方程组（I ）的通解为1212(0,1,1,0)(1,2,2,1),k k k k =+-∈X T TR设方程组（II ）为 122400x x x x +=⎧⎨-=⎩问方程组（I ）、（II ）是否有非零公共解，若有，求其所有公共解. 解：由题意，（I ）的通解为212121212201212,21201R k k k k k k k k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪=+=∈ ⎪⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭X将X 的表达式代入方程组（II ）得2121222020k k k k k k -++=⎧⎨+-=⎩ 即 12k k =-所以（I ）和（II ）有公共解，并且公共解为()()11,,,1,1,1,1k k k k k k =---=---∈X T TR .11．设四元齐次方程组（I ）为123123423020x x x x x x x +-=⎧⎨++-=⎩ 且已知另一四元齐次方程组（II ）的一个基础解系为T1(2,1,2,1)a =-+α，T 2(1,2,4,8)a =-+α，（1）求方程组（I ）的一个基础解系（2）当a 为何值时，方程组（I ）与（II ）有非零公共解？在有非零公共解时，求出全部非零公共解.解：（1）方程组（I ）123123423020x x x x x x x +-=⎧⎨++-=⎩显然，系数矩阵的秩为2. 对（I ）的系数阵进行初等行变换2310231012113501--⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭故方程组（I ）与1231242335x x x x x x +=⎧⎨+=⎩等价取 1210,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得 ()()TT121,0,2,3,0,1,3,5==ββ为（I ）的一个基础解系.（2）若（I ）、（II ）有非零公共解，即存在不全为0的数1234,,,x x x x ，使11223142x x x x +=+ββαα （*）即 12121234(,,,)0x x x x ⎛⎫⎪ ⎪--= ⎪ ⎪⎝⎭ββαα有非零解 故 1212(,,,)4r --<ββαα. 1212(,,,)ββαα10211021112011223240326351805511a a a a --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪--⎪ ⎪=−−→⎪ ⎪----+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭行1021011200100001a a -⎛⎫⎪- ⎪−−→⎪+ ⎪⎪+⎝⎭行所以 1a =-时，方程组有非零解此时 1342342020x x x x x x -+=⎧⎨+-=⎩即 13423422x x x x x x =-⎧⎨=-+⎩所以 ()()T T122,1,1,0,1,2,0,1=-=-ξξ为（*）的基础解系.将12,ξξ表示式代入（*）得（I ）、（II ）的全部解为()()TT122,1,1,11,2,4,7k k =-+-X （12,k k 为不同时为0的常数）.12．设112224336⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求一秩为2的矩阵B ，使.=AB 0解：先求=AX 0的基础解系112112224000336000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A故齐次线性方程组=AX 0等价于12320x x x ++= 1232x x x =--得 ()()TT121,1,0,2,0,1=-=-ξξ为=AX 0的一个基础解系令 121001--⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，()2r =B 并且 =AB 0.13．设T 2122(),(,,,)ij n n n a x x x ⨯==A X ，方程组=AX 0的一个基础解系为T 12,2(,,,),1,2,,i i i n b b b i n =，求方程组 1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n n b y b y b y b y b y b y b y b y b y +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的通解.解：将题中所求通解的线性方程组记为=BY 0由题意 1112121121121222212222122122220n n n n n n n n n n n n a a a b b b a a a b b b a a a b b b ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 两边取转置1112121121121222212222122122220n n n n n n n n nnn n b b b a a a b b b a a a b b b a a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭故T A 的每一列为=BY 0的解向量.又 =AX 0的基础解系含有n 个向量，所以，()2r n n n =-=A ，则A 的行向量组线性无关. 又 ()r n =B ，所以，A 的行向量组为=BY 0的基础解系.14．已知4阶方阵1234(,,,)=A αααα，其中234,,ααα线性无关，1232=-ααα，如果1234=+++βαααα，求线性方程组=AB β的通解.解：因为234,,ααα线性无关，又123420=-+⋅αααα, 则 ()3r =A . 所以，=AX 0的基础解系只含有1个向量.又 1234200+-+⋅=αααα所以 123412(,,,)100⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭αααα 故 ()T1,2,1,0=-ξ为=AX 0的一个基础解系. 又 1234+++=ααααβ则 123411(,,,)11⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ααααβ 所以 ()T01,1,1,1=η为=AB β的一个特解 故 =AB β的通解为0R k k =+∈X ξη.15．设()ij m n a ⨯=A 的行向量组是某个齐次线性方程组的基础解系. 证明()ij m n b ⨯=B 的行向量组也是该方程组的基础解系⇔存在可逆阵()ij m m p ⨯=P ，使1,1,2,,,1,2,,mij ik kj k b p a i m j n ====∑.解：设m n ⨯A 的行向量组是=CX 0的基础解系，若m n ⨯B 的行向量组也是=CX 0的基础解系, 则A 的行向量组与B 的行向量组等价 故存在可逆阵P ，使得 =B PA , 所以 1mij ik kjk b P a==∑ 1,2,,i m =，1,2,,j n =.反之，若存在可逆阵,()ij m m P ⨯=P P ，使得1,1,2,,;1,2,,mij ik kj k b P a i m j n ====∑则=B PA ，故A 的行向量组与B 的行向量组等价.又 因为A 的行向量组是=CX 0的基础解系. 所以，B 的行向量组也是=CX 0的基础解系.16.设=AX 0的解都是=BX 0的解，则=AX 0与=BX 0同解()()r r ⇔=A B . 证：必要性.若=AX 0与=BX 0同解，则=AX 0与=BX 0具有相同的解空间, 即()()=N A N B 故 ()()n r n r -=-A B , 所以()()r r =A B .充分性.设1,,n r -ξξ是=AX 0的基础解系，()r r =A ，因为=AX 0的解都是=BX 0的解. 所以，1,,n r -ξξ是=BX 0的n r -个线性无关的解向量.又()()r r =A B ，所以，=BX 0的基础解系所含向量的个数为 ()()n r n r n r -=-=-B A因此，1,,n r -ξξ为=BX 0的一个基础解系. 故=AX 0与=BX 0同解.17．设A 为m p ⨯阵，B 为p n ⨯阵，证明=ABX 0与=BX 0同解()()r r ⇔=AB B证：必要性.因为=ABX 0与=BX 0同解，所以，=ABX 0与=BX 0有相同的解空间, 即()()=N AB N B 因此()()n r n r -=-AB B , 故()()r r =AB B . 充分性.设1X 是=BX 0的解，1=BX 0. 则1==ABX A 00. 所以，=BX 0的解都是=ABX 0的解.设1,,n r -ξξ是=BX 0的基础解系，()r r =B ，则1,,n r -ξξ也是=ABX 0的线性无关解向量. 并且，=ABX 0的基础解系所含向量的个数为()()n r n r n r -=-=-AB B所以 1,,n r -ξξ为=ABX 0的基础解系，故=ABX 0与=BX 0同解.18．设A 为m n ⨯阵，B 为m p ⨯阵，证明=AX B 有解()()r r ⇔=A B A证：必要性.A 为m n ⨯阵，B 为m p ⨯阵，=AX B ，则X 为n p ⨯阵 令 1(,,)p =X X X ，1(,,)p =B b b因为 =AX B 所以 1122,,,p p ===AX b AX b AX b 故 12()()()()p r r r r ===A b A b A b A即矩阵B 的列向量组可以由A 的列向量组线性表示 所以 ()()r r =A B A 充分性.若 ()()r r =A B A ，又由1(,,)p =B b b有 ()()()()1,,i r r r r i p ≤≤==A A b A B A所以 ()()1,,i r r i p ==A b A故 12,,,p ===AX b AX b AX b 有解. 设解分别为12,,,p X X X 1212(,,,)(,,,)p p =A X X X b b b即 =AX B 有解.19．设A 为m n ⨯阵，B 为l n ⨯阵，则=AX 0与=BX 0同解⇔()()r r r ⎛⎫== ⎪⎝⎭A AB B证：若=AX 0与=BX 0同解，则⎛⎫= ⎪⎝⎭A XB 0与=AX 0同解.又 ⎛⎫= ⎪⎝⎭A XB 0的解一定是=AX 0的解.由题16， ()r r ⎛⎫= ⎪⎝⎭A A B同理， ()r r ⎛⎫= ⎪⎝⎭A B B故 ()()r r r ⎛⎫== ⎪⎝⎭A A B B .反之，若 ()()r r r ⎛⎫== ⎪⎝⎭A AB B .因为，⎛⎫=⎪⎝⎭A X B 0的解都是=AX 0的解. 所以，由题16，⎛⎫= ⎪⎝⎭A XB 0与=AX 0同解. 又因为⎛⎫= ⎪⎝⎭A X B 0的解都是=BX 0的解，所以 ⎛⎫= ⎪⎝⎭A XB 0与=BX 0同解，故，=AX 0与=BX 0同解.20．设T (),0ij n n a ⨯⎛⎫==⎪⎝⎭Ab A B b ，其中T 12(,,,)n =b b b b ，若()()r r =A B ，则=AX b 有解.证：因为 ()()()()r r r r ≤≤=A A b B A 所以， ()()r r =A b A故 =AX b 有解.21．设A 为(1)n n ⨯-阵，,()n∈=b R B A b ，若b =AX 有解，则||=B 0. 又当()1r n =-A 时，b =AX 有解||⇔=B 0.证：（1）因为A 为(1)n n ⨯-阵，所以()1n ≤-R A .故()()1r r n n =≤-<A b A又 ()=B A b 为n n ⨯阵，故 ||=B 0.（2）若()1r n =-A ，=AX b 有解，则()()1r r n ==-A b A所以||0=B .反之，若||,()1r n ==-B A 0. 故 ()1r n =-B即 ()()()1r r r n ===-A A b B 所以=AX b 有解.22．若方阵A 的行列式为0，则A 的伴随阵*A 各行成比例. 证：因为||0=A ，所以()1r n ≤-A . （1）若()1r n =-A ，则*()1r =A .故*A 的行向量组的秩为1，不妨设第一行1α为行向量的极大无关组，则剩余行向量均可以由1α线性表示，故各行成比例.（2）若()1r n <-A ，则*()0r =A ，即*=A 0，显然各行成比例.23．设(1)(),()ij n n a r n ⨯+==A A ，则方程组0=AX 的任意两解成比例. 证：因为A 为(1)n n ⨯+阵，()r n =A所以，=AX 0的基础解系所含向量个数为(1)1n n +-=. 设ξ为=AX 0的一个基础解系. 则任意解,R k k =∈X ξ. 所以，任意两解成比例.24．设()ij n n a ⨯=A ，且10,1,2,,nijj ai n ===∑，则A 不可逆.证：由于10nijj a==∑故 111⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A 0. 所以，()T1,1,,1=X 是=AX 0的解.即 齐次线性方程组=AX 0有非零解，故||0=A .25．设A 为n n ⨯实矩阵，若对任意n 维非零列向量X ，均有T0>X AX ，则||0.≠A 证：反证，若||0=A则 =AX 0有非零解设1X 是=AX 0的一个非零解，则1=AX 0T T 11100=⋅=X AX X此与对任意 ≠X 0，T0>X AX 矛盾.26．设A 为（实）反对称阵，D 为对角元全大于0的对角阵，则||0+≠A D ，且还有||0.+>A D证：（1）反证，若||0.+=A D 则 ()+=A D X 0有非零解，设为1X1()+=A D X 0进而 T11()0+=X A D XT T 11110+=X AX X DX因为A 为反对称阵，所以 T110=X AX 故 T110=X DX但 1diag(,,),0n i a a a =>D所T110>X DX ，此为矛盾所以, ||0+≠A D . （2）令()||[0,1]f x x x =+∈A D假设 ||0+<A D .因为 (0)||0f =>D ，(1)||0f =+<A D . 由介值定理 存在0(0,1)x ∈使得00()||0f x x =+=A D0001||||0x x x +=+=D A D A 0x D 为对角元全大于0的对角阵. 但由第（1）步 0||0x +≠DA 矛盾. 故||0+>A D . 27．求出平面上n 点(,)(1,2,,(3))i i x y i n n =≥位于一条直线上的充要条件.证：设n 点所共直线为y kx b =+，则关于,k b 的方程组i i y kx b =+ (1,,)i n =有解，从而矩阵12111n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与1122111n n x y x y x y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的秩相等，故11221131nn x y x y r x y ⎛⎫ ⎪ ⎪< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，反之，若 11221131nn x y x y r x y ⎛⎫ ⎪ ⎪< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （1）若12n x x x ==，则此n 点共线.（2）否则，121121n x x r x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，但11221131nn x y x y r x y ⎛⎫ ⎪ ⎪< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 故 11221121nn x y x y r x y ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 从而 12111n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 与 1122111nn x y x y x y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的秩相等. 方程组（未知量为,k b ）1122n nkx b y kx b y kx b y +=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ 有解，于是n 点共线，故平面上n 点(,)1,,;1,,i i x y i n y n ==共线的充要条件是 11221131nn x y x y r x y ⎛⎫ ⎪ ⎪< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 即 11221131n n x y x y r x y ⎛⎫ ⎪ ⎪< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 28．求出平面内n 条直线0(1,2,,)i i i a x b y c i n ++==共点的充分必要条件. 证：若平面内n 条直线0i i i a x b y c ++=(1,2,,)i n =共点，则线性方程组 111222000n n n a x b y c a x b y c a x b y c ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩ 有解，故矩阵1122n n a b a b a b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 与 111222n n n a b c a b c a b c ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的秩相等. 反之，若矩阵1122n n a b a b a b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与111222n n n a b c a b c a b c ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭秩相等，则线性方程组 111222000n n n a x b y c a x b y c a x b y c ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩ 有解，即n 条直线共点.故n 条直线0(1,2,,)i i i a x b y c i n ++==共点的充要条件是 矩阵1122nn a b a b a b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与111222n n n a b c a b c a b c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的秩相等. 29．设T12(,,,)(1,2,,;)i i i in a a a i r r n ==<α是n 维实向量，且12,,,r ααα线性无关，已知T 12(,,,)n b b b ==β是线性方程组11112212122221122000n n n nr r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的非零解向量，试判断向量组12,,,r ααα，β的线性相关性. 解：设有一组数12,,,,r k k k k 使得11220r r k k k k ++++=αααβ成立，因为T 12(,,,)n b b b ==β是线性方程组111122121122221122000n n n n r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的解，且0≠β，故有T(1,2,,)i i r ==αβ即 T(1,2,,)i i r ==βα于是，由1122T T T T 0r r k k k k ++++=βαβαβαββ得 T0k =ββ，但T0≠ββ，故0k =.从而 11220r r k k k +++=ααα由于向量组12,,,r ααα线性无关，所以有120r k k k ====因此，向量组12,,,,r αααβ线性无关.30．已知向量()()()TTT1231,1,0,2,2,1,1,4,4,5,3,11=-=-=-ηηη，是方程组112334411223442122344324335a x x a x a x d x b x x b x d x c x x c x d ⎧+++=⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 的三个解. 求该方程组的通解.解：由已知有()()TT21311,2,1,2,3,6,3,9-=--=-ηηηη是相应的齐次方程组的两个线性无关解.所以，系数矩阵的秩2≤，（因为4()2r -≥A ）.又 系数矩阵134242424335a a ab b cc ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭有二阶子式43035≠所以，系数矩阵的秩2≥. 于是，系数矩阵的秩为2.故齐次方程组的基础解系包含2个向量，即2131,--ηηηη是齐次方程组的基础解系. 因此，该方程组的通解为121231112()()(,)R k k k k -+-+∈ηηηηη.31．设12,,,t ααα是齐次线性方程组0=AX 的基础解系，向量β不是0=AX 的解，试证向量组12,,,,t +++ββαβαβα线性无关.证：设有一组01,,,t k k k 得01112()()()0t t k k k k +++++++=ββαβαβα得 0121122()0t t t k k k k k k k ++++++++=βααα （1）由于12,,,t ααα是齐次线性方程组0=AX 的基础解系，向量β不是0=AX 的解，所以β不能表为1,,t αα的线性组合，所以010t k k k +++=因此（1）式变为 11220t t k k k +++=ααα由于1,,t αα线性无关，所以 120t k k k ====，进而00k =，故向量组12,,,,t +++ββαβαβα线性无关.32．已知齐次方程组（I ）124213224000x x x ax a x ax a x ++=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩的解都满足方程1230x x x ++=，求a 和方程组（I ）的通解.解：（I ）的解都满足1230x x x ++=的充要条件是（I ）与方程组1242132241230000x x x ax a x ax a x x xx ++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪++=⎩同解，于是该方程组系数矩阵的秩等于方程组（I ）的秩，即22110100001110a a a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B 与 2211010000a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A的秩相等，对,A B 都施以行变换得222110100aa a a a ⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭A 2211010000110002a a a a ⎛⎫⎪⎪→ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭B 因此，当0a =时，秩()1=≠A 秩()2=B 不满足题意当0a ≠时 1101010001a a a ⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭A 1101010001100021a a ⎛⎫ ⎪⎪→ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭B 使秩()=A 秩()3=B 的充要条件是12a =，此即12a =为题意所求.把12a =代入方程组（I ）得系数矩阵110011012111000102421100110024⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A 所以 14243411,,22x x x x x x =-=-=方程组（I ）的基础解系为 T11(,,1,1)22=--α通解 为()R k k =∈X α. 33．设121201101t t t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，且方程组0=AX 的基础解系中含有两个解向量，求0=AX 的通解.解：因为4,()2n n r =-=A ，所以()2r =A 对A 施行初等行变换得1112121201011010211t t t t t t ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A 2212120100(1)(1)t t t t ⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪----⎝⎭221012220100(1)(1)tt t t t t --⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪----⎝⎭要使()2r =A ，则必有1t =，此时与0=AX 同解的方程组为13234x x x x x =⎧⎨=--⎩ 得基础解系 ()()TT121,1,1,0,0,1,0,1=-=-ξξ方程组的通解为 112212(,)R k k k k =+∈X ξξ.34．讨论三个平面11111:a x b y c z d π++=，22222:a x b y c z d π++=，33333:a x b y c z d π++=的位置关系解：设111222333a b c a b c a b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，111122223333a b c d a b c d a b c d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A（1）若()()3r r ==A A ，则三平面交于一点，因为三平面的联立方程组仅有唯一解.（2）若()3,()2r r ==A A ，则三平面不相交，因为此时三平面的联立方程组无解. 由()2r =A ，知A 的3个行向量123,,ααα线性相关，故存在3个不全为零的数，123,,k k k 使得1122330k k k ++=ααα，当123,,k k k 都不为零时，三平面中任意两平面的交线与另一平面平行；当123,,k k k 中有一个为零时，三平面中有两平面平行，另一平面与这两平面相交.（3）若()()2r r ==A A ，则三平面相交于一直线，因为此时三平面联立方程组有无穷多解.由于()2r =A ，则A 的3个行向量123,,βββ线性相关. 故存在3个不全为零的数123,,k k k ，使得1122330k k k ++=βββ，当123,,k k k 均不为零时，三平面互异；当123,,k k k 中有一个为零时，三平面中有两平面相重合.（4）若()2r =A ，()1r =A ，则三平面不交，因为此时三平面的联立方程组无解. 由()1r =A ，故三平面平行，又因为()2r =A ，所以三平面中至少有两个互异. （5）若()()1r r ==A A ，则三平面重合，因为此时三平面的方程实际上是一样的.。

第四章 线性方程组 一、要求：1、理解线性方程组的概念，了解线性方程组的消元法与线性变换法解线性方程组。

2、理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。

了解线性方程组解的性质。

3、理解齐次线性方程组的基础解系、通解等概念，掌握线性方程组解的结构及通解的概念，会求解线性方程组。

4、掌握克莱姆法则，并由此得到的相关结论。

二、练习(一)、单项选择题1.若齐次线性方程组1231212320200kx x x x kx x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩ 有非零解，则k =（A ）.A.-2B.2C.0D.-32. 齐次线性方程组123121230 020x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩有非零解的条件是（D ）.A.01μλ≠≠且；B.0μ≠；C.1λ≠；D.01μλ==或.3. 设n 元齐次线方程组AX O =的系数矩阵A 的秩为r ，则AX O =有非零解的充要条件是（D ）. A.rn = B. r n > C.r n ≥ D. r n <4. 线性方程组AX b =（A 为m n ⨯矩阵，B 为增广矩阵）有唯一解的充分必要条件是(B)A.()()R A R B r ==B. ()()R A R B n ==C. ()()R A R B ≠D. ()()R A R B n =< 5.若方程组AX b =有解，则( C )()A ⨯为m n 矩阵A.()r A r n =≠B.0A ≠C.()() b r A r A =D.0A =(二)、填空1. n 元齐次线性方程组AX O =，当 ()R A ＜n 时，线性方程组AX O =有基础解系.2. 若AX B ＝的一个特解为η，AX O =的基础解系为12ξξ、，则AX B ＝的通解为1122k k ηξξ++.3. n 元齐次线性方程组AX O =只有零解的充分必要条件为0A ≠.4. 设方程组123111111112a x a x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭有无穷多解，则a = 15.设m n n l A B O ⨯⨯=，则()()R A R B + ≤ n .(第三章) (三)、计算1. 求解方程组121232313.x x a x x a x x a -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，，（310i i a ==∑）. 解 对增广矩阵施行初等行变换：31321112223311101101100110110111010000000r r r r i i a a a B a a a a a ++=⎛⎫⎪---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-−−−→-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭∑，则()()2R A R B ==，故方程组有解，并有1213222.x x a x x a x a =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩，，方程组的通解为11322.x a a x a a x a =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩，，（a 为任意实数）2.解方程组1234123412343133445980x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪--+=⎨⎪+--=⎩.解 113111*********B=313440407104071159800467100600------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭351001131144717101001044440010000100⎛⎫ ⎪--⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪→--∂-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭与原方程组及导出组同解的原方程组分别为14142424333530444717044400x x x x x x x x x x ⎧⎧+=+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪-=--=⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎪⎪⎩⎩和554411440000ηξ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则特解为，基础解系为 554411.440000ηξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以原方程组的通解为 X=3. 求解方程组123412341234523115361242 6.x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪++-=-⎨⎪+++=-⎩，，.123412341234523115361242 6.x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪++-=-⎨⎪+++=-⎩，，解 15231115231115231153611028414560284145624216014272800000------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭911011523117211110120127272000000000⎛⎫-⎪--⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭对应的线性方程组和对应的齐次线性方程组为1342349117211272x x x x x x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，， 13423491721172x x x x x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，， 令3400x x ==，，得特解()1,2,0,0Tη=- 由对应的齐次线性方程组可得令343410;01x x x x ====，，得基础解系为129111,,1,0,,,0,17722T Tξξ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；所以通解为1122X c c ξξη=++（12c c ，为常数）.4.解方程组1234123412343133445980x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪--+=⎨⎪+--=⎩解113111131111311313440467104671159800467100000------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭93510113112443713710101244244000000000⎛⎫-⎪--⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭对应的线性方程组和对应齐次的线性方程组为134234935244371.244x x x x x x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩， 134234932437.24x x x x x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 令3400x x ==，，得特解51,,0,044Tη⎛⎫=- ⎪⎝⎭由对应齐次的线性方程组得令343410;01x x x x ====，，得基础解系为129337,,1,0,,,0,12244TTξξ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；所以通解为1122X c c ξξη=++（12c c ，为常数）.5. 已知为方程组1231241150132411ηηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，为方程组112334411223442122344324335.a x x a x a x d xb x x b x d xc x x c xd +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩，，的三个解，求该方程组的通解.解 由已知得21311326,1329ηηηη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=-= ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为对应的齐次线性方程组0Ax =的两个线性无关的解向量，所以4()2r A -≥，即()2r A ≤.又因为系数矩阵134242424335a a a Ab b cc ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭中有二阶子式4311035=≠，所以()2r A ≥，于是()2r A =， 故2131,ηηηη--为对应齐次线性方程组0Ax =的基础解系，于是所求通解为()11212311212113126()(),013229x c c c c c c R ηηηηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=+-+-=++∈ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(四)、证明题1.已知线性方程组23112131231222322313233323142434.x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，，，试证：若1234a a a a ，，，两两不相等，则此方程组无解. 证明 方程组的系数矩阵为2112222332441111a a a a A a a a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因为A 为43⨯矩阵，()3r A ≤， 增广矩阵为2311123222233332344411(,)11a a a a a a B A b a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因为||B 是一个范德蒙行列式，所以213141324243()()()()()()B a a a a a a a a a a a a =------因此当1234a a a a ，，，两两不相等时，有0B ≠，从而()4R B =，于是()()R B R A ≠,故此方程组无解.2. 设12s ηηη ，，，是方程组AX B =的s 个解，2s k k 1k ，，，为实数，满足121s k k k +++= .证明1si i i x k η==∑也是它的解.证明 1111s ss s i i i i i i i i i i Ax A k k A k B B k B ηη====⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑∑，所以1si i i x k η==∑也是它的解.3. 设有齐次线性方程组0Ax =和0Bx =，其中,A B 均为m n ⨯矩阵．证明：若0Ax =的解均是0Bx =的解，则()()R A R B ≥.证明 因为0Ax =的解均是0Bx =的解，所以0Ax =的基础解系也是0Bx =的解，因此0Bx =至少有()n R A -个线性无关的解，于是0Bx =的基础解系所含向量个数不少于()n R A -个，即()()n R B n R A -≥-，故()()R A R B ≥．4.设12ηη，为线性方程组AX B ＝的解，证明12ηη-为线性方程组0AX =的解. 证明 因为12ηη，为线性方程组AX B ＝的解， 所以12,A B A B ηη＝＝，故()12-0A B B ηη-== 则12ηη-为线性方程组0AX =的解.。

线性代数练习册第四章习题及答案篇一：线代第四章习题解答第四章空间与向量运算4-1-1、已经明白空间中三个点A,B,C坐标如下：A?2,?1,1?,B?3,2,1?,C??2,2,1? （1）求向量,,的坐标，并在直角坐标系中作出它们的图形；（2）求点A与B之间的间隔．解：(1) (1,3,0), (?5,0,0), (4,?3,0)(2)AB?4-1-2．利用坐标面上和坐标轴上点的坐标的特征，指出以下各点的特别位置：A?3,4,0?; B?0,4,3? ；C?3,0,0? ；D?0,?1,0? 解：A (3，4，0) 在xoy面上B（0，4，3）点在yoz 面上C（3，0，0）在x轴上D（0，－1，0）在y轴上4-1-6. 设u?a?b?2c,v??3b?c，试用a、b、c表示3u?3v．解：3u－2v＝3（a－b＋2c）－2（－3b－c）＝3a＋3b＋8c4-1-7. 试用向量证明：假设平面上的一个四边形的对角线互为平分，那么这个四边形是平行四边形．解：设四边形ABCD中AC与DB交于O，由已经明白AO＝OC，DO＝OB 由于AB＝AO＋OB ＝OC＋DO＝DC,AD=AO+OD=OC+BO=BC 因此ABCD为平行四边形。

4-1-8. 已经明白向量a的模是４，它与轴u的夹角60，求向量a在轴u上的投影．解：.prjuu)4*cos60＝4?r?rcos(r。

3＝23 24-1-9. 已经明白一向量的终点在点B?2,?1,7?，它在x轴、y轴、z轴上的投影依次为4、-4、7，求这向量起点A的坐标解：设起点A为（x,y,z）prjxAB?(2?x0)?4prjyAB?(?1?y)??4 prjzAB?(7?z0)?7解得：x2y?3z0?04-1-12. 求以下向量的模与方向余弦，并求与这些向量同方向的单位向量：（1）a??2,?1,1? ；（2）b??4,?2,2? ；（3）c??6,?3,3? ；（4）d2,1,?1? ．解：（1）a＝（2，－1，1）a?22(1)122cos??22 ??a36cos??126cos a6a6（2）b=(4,-2,2) b?42(2)2 cos2226b3cos??26?2?b666cos b0,, b6b6b366（3）c=(6,-3,3) c?b2(4)3 cos222363cos??336cos??233626 62（4）d=(-2,1,-1)d?(?2)?1?(?1)?6cos??263cos??16d6cosd0??{?,,?66d366与前三向量单位同的d??{?6,,?。

线性代数第四章线性方程组训练题一、单项选择题1．设α1，α2是非齐次方程组Ax=b 的解，β是对应的齐次方程组Ax=0的解，则Ax=b 必有一个解是（ ）A ．α1+α2B ．α1–α2C ．β+α1+α2D ．β+212121α+α 2．设3元非齐次线性方程组Ax=b 的两个解为α=（1，0，2）T ，β=（1，–1，3）T ，且系数矩阵A的秩R(A )=2，则对于任意常数k , k 1, k 2, 方程组的通解可表为（ ）A ．k 1(1,0,2)T +k 2(1,–1,3)TB ．(1,0,2)T +k (1,–1,3)TC ．(1,0,2)T +k (0,1,–1)TD ．(1,0,2)T +k (2,–1,5)T3．已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，α1，α2是其导出组Ax =0的一个基础解系，C 1，C 2为任意常数，则方程组Ax =b 的通解可以表为（ ）A ．)()(212121121αααββ++++C C B ．)()(212121121αααββ+++-C C C ．)()(212121121ββαββ-+++C C D ．)()(212121121ββαββ+++-C C 4.设3元线性方程组Ax=b,A 的秩为2，1η，2η，3η为方程组的解，1η+2η=（2，0，4）T ， 1η+3η=（1，–2，1）T ，则对任意常数k ，方程组Ax=b 的通解为（ ）A ．(1,0,2)T +k(1,–2,1)TB ．(1,–2,1)T +k(2,0,4)TC ．(2,0,4)T +k(1,–2,1)TD ．(1,0,2)T +k(1,2,3)T 5.设1α，2α是Ax=b 的解，η是对应齐次方程Ax=0的解，则（ ） A. η+1α是Ax =0的解B. η+（1α–2α）是Ax=0的解C. 1α+2α是Ax=b 的解D. 1α–2α是Ax=b 的解 6．设A 为5阶方阵，若秩（A ）=3，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中包含的解向量的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5 7．设m ×n 矩阵A 的秩为n –1，且ξ1，ξ2是齐次线性方程组Ax =0的两个不同的解，则Ax =0的通解为（ ）A ．k ξ1，k ∈RB ．k ξ2，k ∈RC ．k ξ1+ξ2，k ∈RD ．k (ξ1–ξ2),k ∈R 8．对非齐次线性方程组A m ×n x =b ，设秩（A ）= r ，则（ ）A ．r =m 时，方程组Ax =b 有解B ．r =n 时，方程组Ax =b 有唯一解C ．m =n 时，方程组Ax =b 有唯一解D ．r <n 时，方程组Ax =b 有无穷多解 9..设A 是4×6矩阵，R （A ）=2，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中所含向量的个数是（ ）A.1B.2C.3D.410.若A 为6阶方阵，齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数为2，则R (A )=( )A.2B.3C.4D.5二、填空题11．设非齐次线性方程组Ax =b 的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-642002*********M M M ，则该方程组的通解为_________.12．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵A 经初等行变换化为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→1)1(0021201321a a a A ，若方程组无解，则a 的取值为____________.13.设A 为33⨯矩阵,且方程组A x =0的基础解系含有两个解向量,则秩R(A )= ___________.14.设矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛54332221t ，若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则数t=____________. 15.设α1，α2是非齐次线性方程组Ax =b 的解.则A （5α2–4α1）=_________.16.设A 是m ×n 实矩阵，若R （A T A ）=5，则R （A ）=_________.17.设线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211111111321x x x a a a 有无穷多个解，则a =_________.三、计算题18．设有非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+++=++12342243214321431x x x x a x x x x x x x问a 为何值时方程组无解？有无穷解？并在有解时求其通解.19．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++362232234232132321x x x x x x x x 的通解. 20.求非齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=+++-=-+++=++++12x x 3x 3x 4x 523x 6x 2x 2x 2x 3x x x 2x 37x x x x x 5432154325432154321的通解.四、证明题21．设α为Ax=0的非零解，β为Ax=b (b ≠0)的解，证明α与β线性无关.22．设η为非齐次线性方程组Ax =b 的一个解，ξ1，ξ2，…，ξr 是其导出组Ax =0的一个基础解系.证明η，ξ1，ξ2，…，ξr 线性无关.。

基本教学要求：1.理解非齐次线性方程组有解的充分必要条件，理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件.2.理解齐次线性方程组的基础解系及通解等概念.3.理解非齐次线性方程组解的结构及通解等概念.4.掌握用线性方程组的初等变换求通解的方法.第四章 线性方程组一、线性方程组1. 线性方程组的表示形式(1)代数形式 11112121n n 12112222n n 2m11m22mn n m a x a x a x b ,a x a x a x b ,a x a x a x b .+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ (4.1)记()11121n 21222n 12n m1m2mn a a a a a a A ,,,a a a ∆⎛⎫ ⎪ ⎪==ααα ⎪⎪⎝⎭()()11121n 121222n 212n m1m2mnm a a a b A a a a b B ,,,,a a a b ∆⎛⎫⎧β⎪⎪⎪==⎨ ⎪⎪αααβ⎪⎩⎝⎭(2)矩阵形式Ax =β. (4.2)(3)向量形式1122n n x x x α+α++α=β. (4.3)2. 基本概念非齐次线性方程组——当(4.1)式中的12m b ,b ,,b 不全为零. 齐次线性方程组——当(4.1)式中的12m b ,b ,,b 全为零.线性方程组的解(解向量)——使(4.1)式成立的12n x ,x ,,x 的一组取值12n c ,c ,,c (T 12n (c ,c ,,c )).解线性方程组(4.1)是指求解的集合(简称解集合).同解线性方程组——解集合完全相同的线性方程组.系数矩阵/增广矩阵——由变量前的系数构成的矩阵A/由变量前的系数与右端常数构成的矩阵B. 线性方程组的初等变换——互换两个方程的位置；用一个不为零的数乘某个方程； 某个方程的倍数加到另一个方程.二、解线性方程组解线性方程组涉及三个问题：1.解的存在性问题；2.解的数目问题；3.解的结构问题. 1. 解的存在性问题(P 86)注意到，线性方程组经初等变换得到的是同解方程组.即()()C C 0Ax CAx C A CA C ≠=β⇔=βββ可逆一般地，对于增广矩阵(A )β，存在可逆矩阵C ，使C 0(A )(CA C )≠ββ=不妨设r E A OO''β⎛⎫⎪''β⎝⎭， (4.4)1即 12x A x ,Ax .''+=β⎧=β⇔⎨''ο=β⎩ (4.4)2其中T T 11r 2r 1n x (x ,,x ),x (x ,,x )+==.由此可见，若''β=ο，则方程组有解，此时R (A)R (A )=β；若''β≠ο，方程组无解，此时R (A)1R (A )+=β.即有如下结论：定理4.1(解的存在定理) 线性方程组(4.2)有解的充分必要条件是R(A)=R(A β). (定理4.1 P 86)例4.1(例4.1 P 86) 判定线性方程组123123123 x 2x 3x 1,2x 3x 4x 5, x 3x 5x 1+-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=-⎩是否有解.解 2131r 2r r r 12311 23 1(A )234501 2313510 122----⎛⎫⎛⎫⎪⎪β=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭32311 23101 2 30 0 0 1---⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭r r r r R(A)=2, R(A β)=3，故无解.2. 解的数目问题方程组(4.2)有解，即同解方程组(4.4)2有解.当r=n 时，由式(4.4)2得同解方程组x '=β，此时方程组有唯一解x '=β. (4.5)1若r<n ，同解方程组为12x A x ''+=β，亦即12x A x ''=β-， (4.5)2其中T T 11r 2r 1n x (x ,,x ),x (x ,,x )+==，此时有无穷多解，称1x 为固定变量，2x 为自由变量.令22x =c ，带入(4.5)2，即得全部解(称为通解)1n r 2x A c,c R x c,-''=β-⎧∈⎨=⎩. (4.6)定理4.2(解的数目定理) n 元线性方程组(4.2)当R(A β)= R(A)=n 时有唯一解；当R(A β)=R(A)<n 时有无穷多个解. (定理4.2 P 88)定理4.3 n 元齐次线性方程组A x =ο，当R(A)=n 时只有零解；当R(A)<n 时有无穷多个解. (定理4.3 P 88)例4.2(例4.2 P 88) λ为何值时，线性方程组123412341234 x 2x 3x x 1,3x 5x 6x 2x 5,2x 3x 3x x +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+-+=λ⎩ 有解？并在有解时求出全部解.解 1231 1(A )3562 52331 -⎛⎫⎪β=- ⎪ ⎪-λ⎝⎭2131r 3r r 2r 1 23 1 1 01 31 2 01 3 1 2λ---⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪---⎝⎭12322r 2r r r r (2)10 31 5 013 1 2 00 0 0 4λ+-⨯--⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪-⎝⎭所以，当λ=4时，R(A)=R(A β)=2，方程有无穷多解，通解为112212123142x 53c c ,x 23c c ,c ,c R x c ,x c ,=-+⎧⎪=-+-⎪∈⎨=⎪⎪=⎩.例4.3(例4.3 P 88) 齐次线性方程组123123123x x +x 0,x x +x 0,x x +x 0λ+=⎧⎪+λ=⎨⎪+λ=⎩ 是否有非零解？3. 解的结构问题(1)齐次线性方程组解的结构解的性质：记V {x Ax }==ο——解集合(V 是向量空间，见本章第三节).，则有 ①如果12,V ξξ∈，那么12V ξ+ξ∈； ②如果V,k ξ∈为任意常数，那么k V ξ∈.推论 齐次线性方程组的任意有限个解的任意线性组合仍然是它的解(P 89).定义4.1 V 的“极大线性无关组”称为齐次线性方程组A x =ο的基础解系. (定义4.1 P 89)定义4.1表明，当A x =ο有无穷多解，其任意一个解都可由其基础解系线性表示.定理4.4(基础解系存在定理) 对于n 元齐次线性方程组A x =ο，如果R(A)=r<n ，则它有基础解系，且基础解系含n-r 个解向量. (定理4.4 P 90)A x =ο的通解(全部解的一般表达式)为(P 91)1122n r n r c c c --ξ+ξ++ξ， 12n r c ,c ,,c R -∈，其中12n r ,,,-ξξξ为A x =ο的一个基础解系.例4.4(类似例4.4 P 91) 解齐次线性方程组12345123451234512345 x x x x x 0,2x x x x 4x 0,4x 3x x x 6x 0, x 2x 4x 4x x 0.+--+=⎧⎪++++=⎪⎨+--+=⎪⎪+---=⎩ 解 213141r 2r r 4r r r 11111111112111401332A 43116013321244101332-------⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪=→⎪ ⎪--- ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭3212422(1)1111110223013320133200000000000000000000r r r r r r r -++---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪----⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.R(A)=2<5，故有无穷多解，同解方程组为13452345334455x 2x 2x 3x ,x 3x 3x 2x x x ,x x ,x x .=---⎧⎪=++⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩ 通解为12312345x 223x 332x c 1c 0c 0010x 001x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，123c ,c ,c R ∈. (其中(-2,3,1,0,0)T , (-2,3,0,1,0)T , (-3,2,0,0,1)T 是一个基础解系.)例4.5(例4.5 P 92) 设4阶矩阵A=(α1,α2,α3,α4)，α1,α2线性无关，α1+α2+α3+α4=ο，α1+2α2-α3-2α4=ο，求齐次线性方程组A x =ο的通解.解 分析：求通解的关键是 .已知条件表明 .(2)非齐次线性方程组解的结构 称A x =ο为A x =β的导出组.解的性质：若记C {x Ax }==β——解集合(C 不是向量空间，见本章第三节)，则 ①如果12,C ξξ∈，那么12V ξ-ξ∈； ②如果C,V η∈ξ∈，那么C η+ξ∈；③如果0C η∈，那么A x =β的任意一个解η都可以表示为0η=η+ξ，其中V ξ∈.A x =β的通解为(P 93)01122n r n r c c c --η+ξ+ξ++ξ，12n r c ,c ,,c R -∈.其中0η是A x =β的一个解(称为特解)，12n r ,,,-ξξξ是A x =ο的一个基础解系.例4.6 解线性方程组123412341234 x 2x 4x 3x 1,3x 5x 6x 4x 1,4x 5x 2x 3x 2.++-=⎧⎪++-=⎨⎪+-+=-⎩ 解 12 431(A )35 641452 32-⎛⎫⎪β=- ⎪ ⎪--⎝⎭213132122r 3r r 4r r 3r r 2r (1)r 1 2 4310165203181561 0873016520 0 00 01 08 730 1 65 20 0 0 0 0---+--⎛⎫⎪→--- ⎪⎪---⎝⎭--⎛⎫⎪→--- ⎪ ⎪⎝⎭--⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭R(A β)=R(A)=2<4，有无穷多解，同解方程组为1342343344x 38x 7x ,x 26x 5x ,x x ,x x .=-+-⎧⎪=-+⎪⎨=⎪⎪=⎩ 通解为121234x 387x 265c c x 010001x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 12c ,c R ∈.(其中(-3,2,0,0)T 为特解，(8,-6,1,0)T , (-7,5,0,1)T 为导出组的一个基础解系.)例4.8(例4.7 P 94) 问a,b 为何值时，线性方程组123412341234234 x x x x 0,2x 3x x 4x 1,3x 2x ax x b, 2x 2x ax 2+++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪-+=⎩ 无解？有唯一解？有无穷多个解？并在有无穷多个解时，求其通解.解 方法一(cramer 法则)4221313242c c c c c c c c c c 2111110002314211132a 131a 31022a022a 210002100(a 4).31a 4002a 4---+--=------==----所以，当a ≠4时，方程组有唯一解.而当a=4时，11110111102314101121(A )3241b 0112b 1022a202242⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪ ⎪β=→⎪ ⎪--+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭10211011210000b 100000--⎛⎫⎪- ⎪→ ⎪+ ⎪⎝⎭. 可见，当b ≠-1时，R(A)=2<R(A|β)=3，此时方程组无解；当b=-1时，R(A)=R(A β)=2，方程组有无穷多个解，同解方程组为1342343344x 12x x ,x 1 x 2x ,x x ,x x .=--+⎧⎪=+-⎪⎨=⎪⎪=⎩ 通解为 121234x 12 1x 112c c x 01 000 1x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 12c ,c R ∈.方法二(初等变换法 P 94)例4.9(例4.6 P 93) 设η1=(1,1,1,1)T , η2=(1,2,3,4)T , η3=(1,-1,2,3)T 都是4元非齐次线性方程组的A x =β的解，且R(A)=2，求方程组A x =β的通解.解 分析：三个解η1,η2,η3说明 ，R(A)=2则说明 .三、向量空间什么是向量空间？向量空间是符合一定条件的集合.为什么讲向量空间？当集合为向量空间时，该集合中的任意一个元素都可由该集合中的“极大线性无关组”线性表示.定义4.2 设V 是非空的n 维向量集合，如果V 对向量的加法和数乘运算是封闭的，则称V 是向量空间. (定义4.2 P 95)集合V 对向量的加法和数乘运算是封闭的是指： (1)如果,V αβ∈，那么V α+β∈； (2)如果V,k R α∈∈，那么k V α∈.例如，齐次线性方程组的解集合V 是向量空间，故也称为解空间；非齐次线性方程组的解集合C 不是向量空间.n 维向量集合R n 是向量空间.由向量组α1,α2,…,αm 的任意线性组合组成的集合L(α1,α2,…,αm )={k 1α1+k 2α2+…+k m αm |k 1,k 2,…,k m ∈R}是一个向量空间，称为由向量α1,α2,…,αm 生成的向量空间.例4.10(例4.8 P 96)定义4.3 设V 和U 是向量空间，如果V ⊂U ，则称V 是U 的子空间. (定义4.3 P 96)例如，n 元齐次线性方程组的解空间V 就是n 维向量空间R n 的一个子空间.定义4.4 向量空间V 的“极大无关组”称为V 的基，“极大无关组”的秩r 称为V 的维数，V 则称为r 维向量空间. (定义4.4 P 96)规定：不存在基的向量空间(即仅含零向量的向量空间)的维数为0.正交基——由正交向量组构成的基 规范正交基——由规范正交向量组构成的基例如，n 元齐次线性方程组的解空间V 是n-R(A)维向量空间，基础解系即是V 的基.R n 是n 维向量空间，标准单位向量组ε1,ε2,…,εn 即是R n 的一组规范正交基.生成空间L(α1,α2,…,αm )是R(α1,α2,…,αm )维向量空间，α1,α2,…,αm 的极大线性无关组即是L(α1,α2,…,αm )的基.例如，集合V 1={(0, a 2,…,a n )|a 2,…,a n ∈R}是向量空间，标准单位向量组e 2,…,e n 是V 1的一组规范正交基，V 1是n-1维向量空间.定义4.5 设α1,α2,…,αr 是向量空间V 的一个基，那么V 中向量α可以表示为α=x 1α1+x 2α2+…+x r αr ，称x 1,x 2,…,x r 为向量α在基α1,α2,…,αr 下的坐标. (定义4.5 P 97)例4.11(例4.9 P 97)解 分析：向量组是基的条件 .如果β1,β2,…,βr 是向量空间V 的另一组基，那么存在可逆矩阵C ，使(β1,β2,…,βr )=(α1,α2,…,αr )C . (4.10)C 称为由基α1,α2,…,αr 到基β1,β2,…,βr 的过渡矩阵.式(4.10)称为基变换公式.设向量α在基β1,β2,…,βr 下的坐标为(y 1,y 2,…,y r )T ，那么1122r r112212r 12r r r y y y y y yy (,,,)(,,,)C y y α=β+β++β⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=βββ=ααα ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.于是，α在基α1,α2,…,αr 下的坐标1122r r x y x y C x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (4.11) 式(4.11)称为坐标变换公式.例4.12(例4.10 P 98) 已知向量空间R 3中的两个基：α1=(1,0,0)T ,α2=(-1,1,0)T ,α3=(-1,-1,1)T ，e 1=(1,0,0)T , e 2=(0,1,0)T , e 3=(0,0,1)T ，求由基α1,α2,α3到基e 1,e 2,e 3的过渡矩阵，并求向量β=(1,2,3)T 在基α1,α2,α3下的坐标.解 α1=e 1，α2=-e 1+e 2，α3=-e 1-e 2+e 3，即(α1,α2,α3)=(e 1,e 2,e 3)111011001--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.于是由基α1,α2,α3到基e 1,e 2,e 3的过渡矩阵C 为1111112011011001001---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C .令β=x 1α1+x 2α2+x 3α3，则β在基α1,α2,α3下的坐标为(x 1,x 2,x 3)T =(α1,α2,α3)-1β=C (e 1,e 2,e 3)-1β= C β=(9,5,3)T .四、习题(P 101)选择题：1.提示：(1,0,1,0)T 是A x =ο的基础解系，则有α1+α3=ο ⇒ 排除A,C与 R(A)=4-1=3 ⇒1234*****A O R(A )1R(A )4R(A),,,1A A O A x 0α⎧≠⇒≥⎪⎧≤-=⎨⎪=⇒⎨⎪=ααα⎪⎩⎩的解都是 ⇒ R(A *)=1 ⇒ 排除B ，选D2. 提示： C 0r 12E A b (A b)(CA Cb)=O O b ≠⎛⎫'→ ⎪⎝⎭不妨 有解表明R(A)=R(A b )，对任意的b 都有解则表明R(A b )=m. 选B3. 选D4. 选C5. 选D6. 提示：|A|=0且A ij ≠0 ⇒ R(A)=n-1 ⇒ 选A7. 选C8. 选C9. 选B10. 选D11. 提示：|A|=0 ⇒ R(A)<nD i ≠0 ⇒ R(A|b )=n 选A12. 选C填空题：1. k=n-r ， r=n2. r=n r<n3. 提示：A 是正交矩阵且a 11=1 ⇒ a 12=a 13=a 21=a 31=0⇒ A(1,0,0)T =(a 11,a 21,a 31)T =(1,0,0)T =b4. 提示：AB=O ⇒ B 的列向量都是A x =ο的解B ≠O ⇒ A x =ο有非零解 ⇒ R(A)<m 或 |A|=05. 提示：AB=AC ⇒ A(B-C)=O ⇒ R(A)<n6. a=-2解答题：2.(3) 解 2131r 4r r 3r 11026110264111105172531100041618------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭23223123r 15r 4r r r r r r (5)11026011755001221001101017001210⨯-++-⨯---⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪--⎝⎭-⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪-⎝⎭R(A)=R(A|β)<4，有无穷多解.同解方程组为14243444x x 1,x x 7, x 2x 10,x x .=+⎧⎪=-⎪⎨=+⎪⎪=⎩ 通解为(1,-7,10,0)T +c(1,1,2,1)T , c ∈R .3. 提示：32121r r 2r r 4r 10110141224122614230001---λλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪λ+→λ+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪λ+-λ+⎝⎭⎝⎭4. 提示：向量β能不能由向量组α1,α2,α3线性表示等同于非齐次线性方程组(α1,α2,α3)x =β是否有解.1 1 1 11 1 11 2a 2 b+2 30 a b+4103a a 2b 303a a 2b 311 110a b+4100a+5b+120--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+--+-⎝⎭⎝⎭-⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭(1)当a=0且b ≠-12/5时， 11 1111110a b+4100 1000a+5b+12000 01--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有R(A)=2<R(A β)=3，此时β不能由向量组α1,α2,α3线性表示.(1) (2)当a+5b+12=0时，R(A)=R(A β)=2，这时β能由向量组α1,α2,α3线性表示，但表示式不唯一.由(2) 11 11 0a b+4100a+5b+12011 1 1101(b 4)a 1101(b 4)a 1a 01 1 1,a 000 0 000 0 0111 1110(b 5)(b 400 114)00 0 0-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭---+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+→-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→-++⎛⎫ ⎪+→ ⎪ ⎪⎝⎭)001 1(b 4),a 0000 0⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎛⎫⎪ ⎪⎪+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩有 1211(1)a a β=-α+α 或 13b 51b 4b 4+β=α+α++. (3) (3)当a(a+5b+12)≠0时，R(A)=R(A β)=3，这时β能由向量组α1,α2,α3唯一线性表示.由11 1111 1 1 0a b+4101(b+4)a 1a 00a+5b+12000 1 010011a 010 1a 001 0--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭， (4) 有1211(1)a aβ=-α+α. (5) 5.提示：方程组(Ⅱ)的系数矩阵的秩=增广矩阵的秩=3.因为方程组(Ⅰ)与方程组(Ⅱ)同解，所以它们的解也是方程组[(Ⅰ)+(Ⅱ)]的解，从而方程组[(Ⅰ)+(Ⅱ)]满足：系数矩阵的秩=增广矩阵的秩=3.23123415161425263r 2r r r r r r r 2r r 2r r (a 1)r r r r r 111111006601212010540012100121 1a1110a 100021b 1401b 212223c 1001c 21100660105400121000--------+--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭---→-53r (b 2)r 5(a 1)4(a 1)00b 242000c 401006601054001210005(a 1)4(a 1)0002(4b)b 4000c 40--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-→ ⎪--- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭因为系数矩阵的秩=增广矩阵的秩=3，所以a-1=0,b-4=0,c-4=0 ⇒ a=1,b=c=4.6. 提示：BA 的行向量都是方程组P x =ο的解⇒ P(BA)T =P(A T B T )=OB ⇒可逆 PA T =O⇒ A 的行向量也都是方程组P x =ο的解7. 提示： AB=O ⇒ B 的列向量都是方程组A x =ο的解B ≠O ⇒ 方程组A x =ο有非零解 ⇒ R(A)<n ，故|A|=08. 提示：设A=(α1,α2,…,αn )，并取x =e i (i=1,2,…,n)，那么由A x =ο即得αi =ο(i=1,2,…,n)，所以A=O.9. 提示：由A η=b ⇒ a=c.10. 提示：11a 14(A B)=1a 112a 1122⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭123r r r a 2a 2a 2001a 112a 1122+++++⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭32r 2r a 2a 1a 2a 100000000000000012112121121101021122033060110211100000120000411100140010a 1012a 1a 1a 1002212010a 1a 12100+=-=≠-≠⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→--→--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫ ⎪→---- ⎪ ⎪---⎝⎭→----2a 1a 1⎧⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎨⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪- ⎪⎪--⎪⎝⎭⎩⎩当a=1时，无解；当a ≠-2且a ≠1时，解唯一；当a=-2时，解不唯一.11. 提示：A ηi =β(i=1,2,…,n)⇒ A(k 1η1+k 2η2+…+k s ηs )=(k 1+k 2+…+k s )β=β⇔ k 1+k 2+…+k s =112. 解 A 的各行元素之和都等于零，即A (1,1,…,1)T =οT ，所以(1,1,…,1)T 是A x =ο的解.另因R(A)=n-1，所以(1,1,…,1)T 是基础解系.于是A x =ο的通解为c(1,1,…,1)T ,c ∈R .13. 提示：设B=(β1,β2,…,βs )，则AB=O ⇔ A(β1,β2,…,βs )=O⇔ A βi =ο，i=1,2,…,s ，⇒ B 的各列都是A x =ο解⇒ R(B)≤n-R(A)⇒ R(A)+R(B)≤n14. 提示：n ijlj j 1A 0,a A 0,i,l 1,2,,n,i l ====≠∑()n ijlj j 1T k1k2kn R(A)n,a A 0,i,l 1,2,,n R(A)n,A A ,A ,,A =⇒<==⇒<=ο∑ 又 ()kl k1k2kn R(A)n 1,A 0A ,A ,,A .≥-⎧⎪≠⇒⎨≠ο⎪⎩ 所以R(A)=n-1，且(A k1, A k2, …,A kn )T 是A x =ο的一个基础解系.15. 提示：234123,,R(A)32⇒ααα⎧=⎨α=α-α⎩线性无关T 1232A(1,2,1,0)α=α-α⇒-=ο，T 1234A(1,1,1,1)β=α+α+α+α⇒=β，故A x =β的通解为(1,1,1,1)T + c(1,-2,1,0)T , c ∈R .16. 提示：因为A≠O,AB=O ，所以R(A)≥1, R(A)+R(B)≤3，因此R(B)≤2.于是若k≠9，则R(B)=2,R(A)=1，此时A x =ο的通解为c 1(1,2,3)T +c 2(3,6,k)T , c 1,c 2∈R.若k=9，则R(B)=1.那么(1)当R(A)=2时，A x =ο的通解为c(1,2,3)T , c ∈R ；(2)当R(A)=1时，A x =ο的同解方程为ax+by+cz=0，通解为c 1(b,-a,0)T +c 2(c,0,-a)T , c 1,c 2∈R .17. V 1是n-1维向量空间，一个基为(1,0,…,0,-1)T , (0,1,…,0,-1)T ,…, (0,0,…,1,-1)T .V 2不是.18. 提示：(1) 因为(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)C ，所求过渡矩阵为C=(α1,α2,α3)-1(β1,β2,β3)=…(2) 设α=(α1,α2,α3)x ，则x =(α1,α2,α3)-1α=…19. 提示：设采购前后仓库A,B,C 三件物品的件数分别为x 0,y 0,z 0和x 1,y 1,z 1，则x 1=0.3y 0+0.5z 0+x 0, y 1=0.3x 0+y 0, z 1=0.6y 0+z 0，即x 0+0.3y 0+0.5z 0 =290,0.3x 0+ y 0 =330,0.6y 0+ z 0=380.五、计算实践实践指导：(1)了解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件.(2)理解齐次线性方程组的基础解系及通解等概念.(3)理解非齐次线性方程组解的结构及通解等概念.(4)掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法.例4.1 a,b 为何值时，线性方程组123123123123(1a)x x x 1, 2x (2a)x 2x 2, 3x 3x (3a)x 3,4x 4x 4x (4a).+++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪++=+⎩ 无解，有解？并在有解时求其解.解 ()1a 11122a 22A 333a 34444a +⎛⎫ ⎪+ ⎪β= ⎪+ ⎪+⎝⎭10a 10a 10a 10a 22a 22333a 34444a ++++⎛⎫ ⎪+ ⎪→ ⎪+ ⎪+⎝⎭. 当a≠-10时，111122a 22(A )333a 34444a ⎛⎫ ⎪+ ⎪β→ ⎪+ ⎪+⎝⎭11111,a 0111111a a 1111a 0,a 000⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪→≠⎪⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪→⎨ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎪==⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩ ⇒ 当a≠-10且a≠0，无解；当a=0，有无穷多个解，通解为(1,0,0)T +c 1(-1,1,0)T +c 2(-1,0,1)T , c 1,c 2∈R.当a=-10时，()9111010201028221411A 337301510000000000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪β→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 14111411012102010320032000000000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1011100140101201012002320013400000000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⇒ 当a=-10，有唯一解(-1/4,-1/2,-3/4)T .例4.2 证明：*n,R(A)n, R(A )1,R(A)n 1,0,R(A)n 1.=⎧⎪==-⎨⎪<-⎩证 *AA A E = ******ij **ij R(A)n A 0A R(A )nAA O R(A)R(A )n R(A)n 1R(A )1A 0R(A )1R(A)n 1A 0A O R(A )0=⇒≠⇒⇒=⎧=⇒+≤⎪=-⇒⇒=⎨∃≠⇒≥⎪⎩<-⇒∀=⇒⇒=可逆＝六、知识扩展1.设A 是m×n 矩阵，B 是n×m 矩阵，则线性方程组AB x =ο[D ].(A)当n>m 时仅有零解；(B)当n>m 必有非零解；(C)当n<m 时仅有零解； (D)当n<m 时必有非零解. （2002 数三）提示：AB 是m×m 矩阵，R(AB)≤min{ R(A), R(B)}⇒ 当m≤n ，R(AB)≤m ，由此推不出R(AB)=m 或必≠m ⇒ 排除A,B ；当n≤m ，R(AB)≤n ⇒ AB x =ο有非零解 ⇒ 排除C ，故选D.2.设A 是m×n 矩阵，A x =ο是A x =β的导出组，则下列结论正确的是[D ].(A)若A x =ο仅有零解，则A x =β有唯一解；(B)若A x =ο有非零解，则A x =β有无穷多个解；(C)若A x =β有无穷多个解，则A x =ο仅有零解；(D)若A x =β有无穷多个解，则A x =ο有非零解.提示：由(A)、(B)推不出R(A)=R(A β)；由(C)、(D)可推出R(A)<n ，故选(D).3.非齐次线性方程组A x =β中未知量个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵的秩为r ，则[A ].(A) 当r=m 时, 则A x =β有解；(B) 当r=n 时, 则A x =β有唯一解；(C) 当n=m 时, 则A x =β有唯一解；(D) 当r<n 时, 则A x =β有无穷多个解.（1997 数四）提示：由(B)、(C)、(D)推不出R(A)=R(A β)，而由(A)可推出R(A)=R(A β)= m ，故选(A).4.设n 阶矩阵A 的伴随矩阵A *≠O ，若η1,η2,η3,η4是非齐次方程组A x =β的互不相等的解，则对应的齐次方程组A x =ο的基础解系[B ].(A)不存在；(B )仅含一个非零解向量；(C)含有两个线性无关的解向量；(D)含有三个线性无关的解向量.提示：A *≠O ⇒ R(A)≥n -1η1,η2,η3,η4是互不相等的解 ⇒ R(A)<n⇒ R(A)=n-1 ⇒ A x =ο的基础解系仅含一个非零解向量，故选D.5.已知非齐次线性方程组123412341234 x x x x 14x 3x 5x x 1ax x 3x bx 1+++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩有3个线性无关的解，(1)证明方程组系数矩阵A 的秩R(A)=2；(2)求a,b 的值及方程组的通解.提示：(1)非齐次线性方程组有3个线性无关的解, 所以其导出组至少有两个解，因此R(A)≤2.又()21321r 4r r 1a r ar 11111(A )43511a 13b 111111011530042a b 4a 542a -+---⎛⎫ ⎪β=-- ⎪ ⎪-⎝⎭-⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪--+--⎝⎭⇒ R(A)≥2 ⇒ R(A)=2(2) R(A)=R(A β)=2 ⇒42a 0a 2b 4a 50b 3-==⎧⎧⇒⎨⎨-+-==-⎩⎩1111112064(A )43511011532133100000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪β=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是通解为(-4,0,3,0)T +c 1(-2,1,1,0)T +c 2(-6,0,5,1)T , c 1,c 2∈R.6.已知四元齐次线性方程组(Ⅰ) 12312342x 3x x 0 x 2x x x 0+-=⎧⎨++-=⎩和另一个四元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系α1=(2,-1,a+2,1)T , α2=(-1,2,4,a+8)T ，(1)求方程组(Ⅰ)的一个基础解系；(2)当a 为何值时，方程组(Ⅰ) 与(Ⅱ)有非零公共解？在有非零公共解时，求出全部非零公共解. （2002 数四）提示：(1) (Ⅰ)的一个基础解系为β1=(5,-3,1,0)T , β2=(-3,2,0,1)T .(2) 设方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)有非零公共解，于是将(Ⅱ)的通解k 1α1+k 2α2代入(Ⅰ)中，得()()()112a 1k 0a 1k a 1k 0+=⎧⎪⎨+-+=⎪⎩ 当a≠-1时，k 1=k 2=0，则(Ⅰ)与(Ⅱ)无非零公共解；当a=-1时，k 1,k 2任意，故此时(Ⅰ)与(Ⅱ)有非零公共解，且全部非零公共解为k 1α1+k 2α2，k 1,k 2为不全为零的任意实数.7.已知向量组β1=(0,1,-1)T ,β2=(a,2,1)T ,β3=(b,1,0)T 与向量组α1=(1,2,-3)T ,α2=(3,0,1)T ,α3=(9,6,-7)T 有相同的秩，且β3可由α1,α2,α3线性表示，求a,b 的值. (2000 数二） (答案：a=15,b=5)提示：()123123αααβββ1390ab 206121317110⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪---⎝⎭ 11103122130124220002a 13b 5⎛⎫ ⎪⎪ ⎪→ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭⇒ R(A)=2因β3可由α1,α2,α3线性表示，故b-5=0，即b=5.()123123αααβββb 51100310a 150=-⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭ 因为R(A)=R(B)=2，故a-15=0，即a=15.8.设A 是实方阵，证明：线性方程组A x =ο与A T A x =ο是同解方程组. （2000数三） 提示：显然A x =ο的解是A T A x =ο的解；反之，若x 是A T A x =ο的解，则x T A T A x =0 ⇔ |A x =ο|=0 ⇔ A x =ο，故x 也是A x =ο的解.9.设向量组(α1,α2,…,αt )是齐次线性方程组A x =ο的一个基础解系，向量β不是方程组A x =ο的解.证明：向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αt 线性无关.提示：方法一由α1,α2,…,αt 是齐次线性方程组A x =ο的一个基础解系，β不是方程组A x =ο的解，知β,α1,α2,…,αt 线性无关.令k 0β+k 1(β+α1)+k 2(β+α2)+…+k t (β+αt )=ο即(k 0+k 1 +k 2+…+k t )β+k 1α1+k 2α2+…+k t αt =ο01t 011t t k k k 0k 0 k 0k 0k 0k 0+++==⎧⎧⎪⎪==⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎪⎪⎪⎪==⎩⎩ 故向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αt 线性无关.方法二由α1,α2,…,αt 是齐次线性方程组A x =ο的一个基础解系，β不是方程组A x =ο的解，知β,α1,α2,…,αt 线性无关.另有()()()()12t 12t t 1t 1 ,,,,111010,,,,BK 001∆+⨯+ββ+αβ+αβ+α⎛⎫ ⎪ ⎪=βααα= ⎪ ⎪⎝⎭ 而K 可逆，故β,β+α1,β+α2,…,β+αt 线性无关.10. 设A 是n 阶矩阵，α是n 维列向量，若秩T AR R(A)α⎛⎫= ⎪αο⎝⎭，则线性方程组[D ].(A) A x =α必有无穷多个解；(B) A x =α必有唯一解；(C) T Ax y α⎛⎫⎛⎫=ο ⎪⎪αο⎝⎭⎝⎭仅有零解； (D) T Ax y α⎛⎫⎛⎫=ο ⎪⎪αο⎝⎭⎝⎭必有非零解. （2001 数三） 提示：T AR R(A)α⎛⎫= ⎪αο⎝⎭ ⇒ T A R n 1α⎛⎫<+ ⎪αο⎝⎭ ⇒ 排除C ，选D 此外，由T AR R(A )R(A)α⎛⎫≥α≥ ⎪αο⎝⎭⇒ R(A α)= R(A) ⇒ A x =α有解，但不能确定是有唯一解，还是有无穷多个解，故排除A,B .11. 设α=(1,2,1)T ,β=(1,1/2,0)T ,γ=(0,0,8)T ,A=αβT ,B=βT α，求解方程2B 2A 2x =A 4x +B 4x +γ. 提示：241120A 210,B 2,A 2A,A 8A 1120⎛⎫ ⎪==== ⎪ ⎪⎝⎭方程化简为8(A-2E)x =γ，解之得x =(1/2,1,0)T +c(1,2,1)T , c ∈R.12.设11a A 010,b 1111λ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=λ-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪λ⎝⎭⎝⎭，已知线性方程组A x =b 存在2个不同的解，(Ⅰ)求λ和a ；(Ⅱ)求方程组A x =b 的通解. (2010(一)(二)(三))13.设矩阵222a 1a 2a A 1a 2a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，现矩阵A 满足方程A x =b ，其中x =(x 1,x 2,…x n )T ,b=(1,0,…,0)T ， (1)求证|A|=(n+1)a n ； (2)a 为何值时，方程组有唯一解？求x 1；(3)a 为何值时，方程组有无穷多解？求通解. (2008(一)(二)(三))提示：(1)2222n2a12a130a1a2a2Aa2a11a2aa2a 2a130a124(n1)a.a31n10an====++或22n n-1n-22n2n n-1n-1n-221n222nnn2a1a2aD2aD a D1a2aD aD a(D aD)a(D aD)a(3a2a)aD(n1)a.--==-⇒-=-=-=-=⇒=+(2)当a≠0时，方程组有唯一解，根据Cramer法则，得n1n11nnD na nxD(n1)a(n1)a--===++.(3)当a=0时，方程有无穷多解，通解为x=(0,1,0,…,0)T+c(1,0,0,…,0)T, c∈R.。

第四章 线性方程组的理论 扩展例题及求解[例1]讨论b a ,取什么值时，下列方程组有唯一解、无穷解或无解。

⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++4234321321321x bx x x bx x x x ax[分析]此类问题根据题目不同有两种方法，若非零方程个数等于未知量个数，可考虑其系数矩阵的行列式是否为零和克莱姆法则处理；一般情况可通过对其增广矩阵施行初等行变换化为行最简形来判断。

[解]：方法一：方程组的系数矩阵的行列式为)1(1211111||--==a b b b aA 。

当0≠b 且1≠a 时，方程组有唯一解。

由克莱姆法则得 )1(142,1,)1(12321-+-==--=a b b ab x b x a b b x 。

当1=a 时，线性方程组的增广矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b b b B 210002010210141213114111。

故当1=a ，12b =时，方程组有无穷解，通解为2,2231=-=x x x 。

当1=a ,12b ≠时，方程组无解。

当0=b 时，线性方程组的增广矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000310141041013101411a a B ,即当0=b 时，无解。

方法二：直接化增广矩阵为阶梯形矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=14200241103114121311411b ab b ab a a b b b a A ,当0≠-b ab 时,即1≠a 且0≠b 时, 3)()(==B r A r ,方程组有唯一解；当1=a ，21=b 时，32)()(<==B r A r ,方程组有无穷解，通解为 2,2231=-=x x x 。

其他情况，)()(B r A r ≠，无解。

[例2] 设ααα123102311351121===-+(,,,),(,,,),(,,,),a α41248=+(,,,)a 及β=+(,,,)1135b 。