高等代数教案第四章线性方程组

第四章：线性方程组一、 本章的教学目标及基本要求所谓线性方程组,其形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.,,m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 (4.0.1) 其中n x x ,, 1代表n 个未知量,m 是方程个数,)11(n j m i a ij ,,；,, ==被称为方程组的系数,)1(m i b i , ,=是常数项.方程组中未知量个数n 与方程个数m 不一定相等.系数ij a 的第一个角标i 表示它在第i 个方程,第二个角标j 表示它是未知量j x 的系数.因为未知量的幂次是1,故称为线性方程组.如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项,这个线性方程组就确定了.确切地说,线性方程组(4.0.1)可以用下列矩阵来表示:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m mn m m n n b a a a b a a a b a a a 21222221111211(4.0.2) 实际上,给定矩阵(4.0.2),除去代表未知量的字母外,线性方程组(4.0.1)就确定了,而采用什么字母来代表未知量是无关紧要的.以后如无特别声明,类似(4.0.2)的矩阵就被看做一个线性方程组.对于线性方程组(4.0.1),设n m ij a A ⨯=][,T 1)(n x x ,, =x ,T 1)(m b b ,, =b ,由矩阵乘法的定义知,它可被表为b x =A . (4.0.3)当n m =,A 是一个n 阶方阵.若0det ≠A ,它存在唯一解,可用克莱姆法则求得.若0det =A ,或n m ≠,方程组(4.0.3)在什么条件下有解；如果有解,解是否唯一；如果解不唯一而且有无穷个,这些解是否可用简要形式表示以及如何表示等等问题,即为本章讨论的主要内容.1 齐次线性方程组在线性方程组(4.0.3)中,若T)00(,, ==θb ,则有 θx =A . (4.1.1)这被称为与线性方程组(4.0.3)对应的齐次线性方程组,A 被称为它的系数矩阵.线性方程组的三种初等变换,与矩阵的三种行初等变换完全对应. 任何矩阵均可经有限次行初等变换化为行最简形.性质1 若1ξx =,2ξx =是θx =A 的解,则21ξξx +=也是θx =A 的解.性质2 若ξx =是θx =A 的解,k 为任意实数,则ξx k =也是θx =A 的解.θx =A 的全部解构成一个线性空间,记为S ,被称为齐次线性方程组θx =A 的解空间.定理4.1.1 齐次线性方程组(4.1.1)有非零解的充要条件是n A R <)(.解空间S 的基又被称为方程组(4.1.1)的基础解系.求得基础解系,就求得了全部解. 通解.显然,T )00(,, =θ是齐次线性方程组的解,被称为零解或平凡解.2 非齐次线性方程组在线性方程组(4.0.3)中,若T )00(,, =≠θb ,则它被称为非齐次线性方程组.与它对应的矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m mn m m n n b a a a b a a a b a a a B 21222221111211 是一个)1(+⨯n m 矩阵,它由系数矩阵n m ij a A ⨯=][加上一列T 1)(m b b ,, =b 组成,即 ][b A B =.称B 为线性方程组(4.0.3)的增广矩阵.性质1 若1ηx =,2ηx =是b x =A 的解,则12ηηx -=是对应齐次线性方程组θx =A 的解.性质2 若ηx =是b x =A 的解,ξx =是对应齐次线性方程组θx =A 的解,则ηξx +=是b x =A 的解.性质3 非齐次线性方程组的通解是对应齐次方程组的通解加上自身的任意一个解. 定理4.2.1 非齐次线性方程组b x =A 有解的充要条件是)()(B R A R =,即系数矩阵和增广矩阵有相同的秩.定理4.2.2设非齐次线性方程组b x =A 的系数矩阵A 及增广矩阵B 的秩相等:r B R A R ==)()(,未知量个数为n .则它有唯一解的充要条件是n r =；它有无穷多解的充要条件是n r <.二、本章教学内容的重点和难点1、齐次及非齐次线性方程组的解法2、理解解空间与前面空间的关系。

第四章 线性方程组一 综述线性方程组是线性代数的主要内容之一.本章完满解决了关于线性方程组的三方面的问题,即何时有解、有解时如何求解、有解时解的个数,这在理论上是完美的.作为本章的核心问题是线性方程组有解判定定理（相容性定理）,为解决这个问题,从中学熟知的消元法入手,分析了解线性方程组的过程的实质是利用同解变换,即将方程的增广矩阵作行变换和列的换法变换化为阶梯形（相应得同解方程组）,由此相应的简化形式可得出有无解及求其解.为表述由此得到的结果,引入了矩阵的秩的概念,用它来表述相容性定理.其中实质上也看到了一般线性方程组有解时,也可用克莱姆法则来求解（由此得所谓的公式解——用原方程组的系数及常数项表示解）.内容紧凑,方法具体.其中矩阵的秩的概念及求法也比较重要,也体现了线性代数的重要思想（标准化方法）.线性方程组内容的处理方式很多,由于有至少五种表示形式,其中重要的是矩阵形式和线性形式,因而解线性方程组的问题与矩阵及所谓线性相关性关系密切；本教材用前者（矩阵）的有关问题讨论了有解判定定理,用后者讨论了（有无穷解时）解的结构.实际上线性相关性问题是线性代数非常重要的问题,在以后各章都与此有关.另外,从教材内容处理上来讲,不如先讲矩阵及线性相关性,这样关于线性方程组的四个问题便可同时讨论. 二 要求掌握消元法、矩阵的初等变换、秩、线性方程组有解判定定理、齐次线性方程组的有关理论. 重点：线性方程组有解判别法,矩阵的秩的概念及求法.4.1 消元法一 教学思考本节通过具体例子分析解线性方程组的方法——消元法,实质是作方程组的允许变换（同解变换）化为标准形,由此得有无解及有解时的所有解.其理论基础是线性方程组的允许变换（换法、倍法、消法）是方程组的同解变换.而从形式上看,施行变换的过程仅有方程组的系数与常数项参与,因而可用矩阵（线性方程组的增广矩阵）表述,也就是对（增广）矩阵作矩阵的行（或列换法）初等变换化为阶梯形,进而化为标准阶梯形,其体现了线性代数的一种重要的思想方法——标准化的方法. 二 内容要求主要分析消元法解线性方程组的过程与实质,以及由同解方程组讨论解的情况（存在性与个数）,为下节作准备,同时指出引入矩阵的有关问题（初等变换等）的必要性,矩阵的初等变换和方程组的同解变换间的关系. 三 教学过程1．引例：解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++25342333513121321321321x x x x x x x x x （1）定义：我们把上述三种变换叫做方程组的初等变换,且依次叫换法变换、倍法变换、消法变换. 2．消元法的理论依据TH4.1.1初等变换把一个线性方程组变为与它同解的线性方程组（即线性方程组的初等变换是同解变换.）3．转引在上面的讨论中,我们看到在对方程组作初等变换时,只是对方程组的系数与常数项进行了运算,而未知数没有参加运算,也就是说线性方程组有没有解以及有什么样的解完全决定于它的系数和常数项,因此在讨论线性方程组时,主要是研究它的系数和常数项.因而消元法的过程即用初等变换把方程组化为阶梯形方程组,来解决求解问题,此可转用另一种形式表述.为此引入：4．矩阵及其初等变换 1）概念定义 1 由t s ⨯个数ij c 排成的一个s 行t 列（数）表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛st s s t t c c c c c c c c c 212222111211叫做一个s 行t 列（或t s ⨯）矩阵.ij c 叫做这个矩阵的元素；常用大写字母A 、B 等表示矩阵,有时为明确t s ⨯矩阵记为t s A ⨯或()t s ij c A ⨯=.定义补 由线性方程组⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111的系数作成的矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211叫做线性方程组的系数矩阵,用A 表示；由它的系数和常数项作成的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛m mnm nn b a a b a a b a a 122211111叫做线性方程组的增广矩阵,用A 表示. 2）矩阵的初等变换定义2 矩阵的（列）初等变换指的是对一个矩阵作下列变换 （1）交换矩阵的两行（列）； （换法变换）（2）用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）；（倍法变换） （3）用一个数乘某行（列）后加到另一行（列）.（消法变换） 3）线性方程组的同解变换与矩阵的初等变换的关系显然,对一个线性方程组施行的同解变换即一个方程组的初等变换,相当于对它的增广矩阵施行对应的行初等变换；而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵.因此将要通过化简矩阵来讨论化简方程组的问题,这样做不仅讨论起来方便,而且能够给予我们一种方法,就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组,而不必每次把未知量写出（我国古代数学书《九章算术》（三世纪）中就是用这种方法解线性方程组的,成为算筹.）下面的问题是,化简到什么形式、什么程度,理论上将给予解决.4）矩阵经初等变换（行、列）化为阶梯形矩阵 TH4.1.2设A 是一个m 行n 列矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211,则A 可经过一系列行初等变换和第一种列初等变换化为如下形式：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛**********+00000000000010001011rr b ； 进而化为以下形式：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++0000000000001000001000011212111 rn rr n r n r c c c c c c .其中"",,,0*≤≤≥n r m r r 表示不同的元素. 5）用矩阵的初等变换解线性方程组对线性方程组：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 （1） 由定理1其系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211可经过行初等变换和列换法变换化为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++0000000000001000001000011212111 rn rr n r n r c c c c c c ；则对其增广矩阵作同样的初等变换可化为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++m r r rn rr nr d d d c c d c c B 00000000100001111111,从而方程组（1）与B 所对应的方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===+++=+++=++++++++++m r r n rn r rr r n n r r n n r r d d d y c y c y dy c y c y d y c y c y 00111221122111111 （2）在某种意义上同解（此n y y y ,,,21 是n x x x ,,,21 的一个重新排序）.下面讨论（2）的解的情况：情形1：当m r <且m r d d ,,1 +不全为零时,因有矛盾式（2）无解,故（1）无解. 情形2：当m r =或m r <且01===+m r d d 时,（2）直观上无矛盾式,且与（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++++++++rn rn r rr r n n r r n n r r d y c y c y d y c y c y d y c y c y 11221122111111 同解. 当n r =时,（3）即为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===nn d y d y d y 2211有唯一解；当n r =<时,（3）即为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=---=---=++++++nrn r rr r r n n r r nn r r y c y c d y y c y c d y y c y c d y 11211222111111,于是任给n r y y ,,1 +一组值n r k k ,,1 +,可得（3）的一个解：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==---=---=---=++++++++n n r r n rn r rr r r n n r r nn r r k y k y k c k c d y kc k cd y k c k c d y 1111211222111111,这也是（1）的解,由n r k k ,,1 +的任意性（1）有无穷多解.例1 解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--+=++---=-+=+++215928252342532432143214214321x x x x x x x x x x x x x x x .解：对增广矩阵作行初等变换：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=000000000613211002321021215921825213104251321A 所原方程组与方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+613212321243421x x x x x 同解,故原方程组的一般解为⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=434212161321223x x x x x .4.2 矩阵的秩 线性方程组可解判别法一 教学思考1．本节在上节消元法对线性方程组的解的讨论的基础上,引入了矩阵的秩的概念,以此来表述有解判定定理,在有解时从系数矩阵的秩与未知数的个数间的关系可讨论解的个数,其中在有无数解时引入了一般解与通解的概念.2．矩阵的秩的概念是一个重要的概念,学生易出问题.定义的表述不易理解,应指出秩是一个数（非负整数）r ,其含义是至少有一个r 阶非零子式,所有大于r 阶（若有时）子式全为0.重要的是“秩”的性质——初等变换下不变,提供了求秩的另一方法——初等变换法.3．本节内容与上一节和下一节互有联系,结论具体,方法规范,注意引导总结归纳. 二 内容要求1． 内容：矩阵的秩、线性方程组可解判定定理2． 要求：掌握矩阵的秩的概念、求法及线性方程组求解判定定理 二 教学过程1．矩阵的秩 （1）定义1）在矩阵s t A ⨯中,任取k 行k 列（,k s t ≤）位于这些行列交点处的元素构成的k 阶行列式叫作矩阵A 的一个k 阶子式.2）矩阵s t A ⨯中,不等于零的子式的最大阶数叫做矩阵A 的秩；若A 没有不等于零的子式,认为其秩为零.A 的秩记为秩（A ）或()r A .2．矩阵的秩的初等变换不变性TH4.2.1矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.3．一般线性方程组解的理论对线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 （1） 由上节知,对（1）的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211可经过行初等变换和列换法变换化为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++0000000000001000001000011212111 rn rr n r n r c c c c c c ； 则对其增广矩阵作同样的初等变换可化为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++m r r rn rr n r d d d c c d c c B 0000000000100001111111.则（1）与B 相应的方程组同解；由上节讨论知：当m r =或m r <且01===+m r d d 时,即()()r A r A =时（1）有解；当m r <且m r d d ,,1 +不全为零时,即()()r A r A <时,（1）无解.总之：（1）有解()()r A r A ⇔=,且在（1）有解时：当r n =,即()()r A r A n ==时有唯一解；当r n <,即()()r A r A n =<时有无穷解.此即TH4.2.2-3线性方程组（1）有解()()()r A r A r ⇔==；当r n =,即()()r A r A n ==时有唯一解；当r n <,即()()r A r A n =<时有无穷解.例1 判断方程组有无解？有解时,求一般解.123451234523451234513233226654331x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=-⎪⎨+++=⎪⎪+++-=-⎩ 例2 对λ进行讨论,何时方程组有解,无解；有解时求一般解.12312321231x x x x x x x x x λλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 4.3 线性方程组的公式解一 教学思考1．本节在理论上解决了当线性方程组有解时,用原方程组的系数和常数项将解表示出来——即公式解,结论的实质是克拉默法则的应用.其中过程是在有解判定的基础上选择r 个适当方程而得,可归纳方法步骤（方程的选择、自由未知量的选择）,内容规范完整,理论作用较大,实用性较小.2．作为特殊的线性方程组——齐次线性方程组的解的理论有特殊的结果,易于叙述和理解,需注意其特殊性（与一般的区别,解的存在性、解的个数等）. 二 内容要求1．内容：线性方程组的公式解,齐次线性方程组的解2．要求：了解线性方程组的公式解,掌握齐次线性方程组的解的结论 三 教学过程1．线性方程组的公式解本节讨论当方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 （1）有解时,用方程组的系数和常数项把解表示出来的问题——公式解.处理这个问题用前面的方法——消元法是不行的,因为这个过程使得系数和常数项发生了改变,但其思想即化简得同解线性方程组的思想是重要的,所以现今能否用其它方法把（1）化简得同解方程组且系数和常数项不变,才可能寻求公式解.为此看例,考察12311232123322,()233,()47,()x x x G x x x G x x x G +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ （2）显然123,,G G G 间有关系3122G G G =+,此时称3G 是12,G G 的结果（即可用12,G G 线性表示）.则方程组（2）与⎩⎨⎧=+-=-+)(332)(2223211321G x x x G x x x 同解.同样地,把（1）中的m 个方程依次用12,,,m G G G 表示,若在这m 个方程中,某个方程i G 是其它若干个方程的结果,则可把（1）中的i G 舍去,从而达到化简的目的.即现在又得到化简（1）的方法：不考虑（1）中那些是其它若干个方程的结果,而剩下的方程构成与（1）同解的方程组.现在的问题是这样化简到何种程度为止,或曰这样化简的方程组最少要保留原方程组中多少个方程.由初等变换法,若（1）的()r A r =,则可把（1）归结为解一个含有r 个方程的线性方程组.同样TH4.3.1设方程组（1）有解,()()(0)r A r A r ==≠,则可以在（1）中的m 个方程中选取r 个方程,使得剩下的m r -个方程是这r 个方程的结果.因而解（1）归结为解由这r 个方程组成的方程组.下看如何解方程组：此时原方程组与111122111111112211r r r r n n r r rr r rr r rn n r a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b ++++++++++=⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪++++++=⎩⎭同解. 当r n =时有唯一解,且上述方程组的系数行列式不等于0,由克拉姆法则可得其解（公式解）. 当r n <时有无穷多解,取12,,,r r n x x x ++为自由未知量,将这些项移至等号右端得：111122111111112211r r r r n n r r rr r r rr r rn n a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x +++++++=---⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪+++=---⎩⎭视12,,,r r n x x x ++为任意数,由克拉姆法则可得11,,rr D D x x DD==； （其中11111111111r r n n rJ r r rr r rn n rra b a x a x a D a b a x a x a ++++---=---）其展开为12,,,r r n x x x ++的表达式,且为用原方程组的系数及常数项表示的,因而是公式表示的一般解的形式.2．齐次线性方程组的解的理论齐次线性方程组1111110n n m mn n a x a x a x a x ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩ （2）总有（零）解,因而关注的是其非零解的情况,由解的个数定理易得：TH4.3.2（2）有非零解()r A n ⇔<.Cor1：若（2）中m n <,则有非零解.（因()r A m n ≤<）Cor2：含有n 个未知数n 个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式为0.（由秩的定义易得）。

线性方程组的解法教案一、引言线性方程组是数学中常见的一个重要概念，解决线性方程组问题是解析几何、线性代数等学科的核心内容。

本文将介绍线性方程组的基本概念和解法，帮助读者更好地理解和应用线性方程组。

二、线性方程组的基本概念1. 定义：线性方程组由一组线性方程组成，每个方程中的未知数的最高次数都为1，且系数皆为实数或复数。

线性方程组可以表示为以下形式：a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b₁a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b₂...a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = bₙ其中，a₁、a₂、...、aₙ分别为系数，x₁、x₂、...、xₙ为未知数，b₁、b₂、...、bₙ为常数项。

2. 解的概念：对于线性方程组，找到一组使得所有方程都成立的值，即为其解。

如果线性方程组存在解，则称其为相容的；如果不存在解，则称其为不相容的。

三、线性方程组的解法1. 列主元消去法列主元消去法是解决线性方程组的常用方法之一。

具体步骤如下：(1) 将线性方程组化为增广矩阵形式，写成增广矩阵[A|B]的形式。

(2) 对增广矩阵进行初等行变换，化简成上三角形矩阵[U|C]的形式，即上面的元素都为0。

(3) 从最后一行开始，按列主元所在的列进行回代求解，得到每个未知数的值。

2. 矩阵的逆和逆的应用矩阵的逆是解决线性方程组的另一种有效方法。

具体步骤如下：(1) 将线性方程组化为矩阵形式，即AX = B。

(2) 若矩阵A可逆，即存在逆矩阵A⁻¹，则方程组的解可以表示为X = A⁻¹B。

3. 克拉默法则克拉默法则是解决线性方程组的另一种方法，适用于方程组的系数矩阵为方阵的情况。

具体步骤如下：(1) 将方程组的系数矩阵记为A，常数项矩阵记为B。

(2) 分别计算方程组系数矩阵的行列式D和将常数项矩阵替换为方程组系数矩阵第i列后的新矩阵Di的行列式Di，并计算比值di = Di / D。

《线性代数》教案一、引言1. 课程目标：使学生理解线性代数的基本概念，掌握线性方程组的求解方法，了解矩阵和行列式的基本性质，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

2. 教学内容：本章主要介绍线性代数的基本概念、线性方程组的求解方法、矩阵和行列式的基本性质。

3. 教学方法：采用讲授法、案例分析法、讨论法等多种教学方法，引导学生主动探究、积极思考。

二、线性方程组1. 教学目标：使学生理解线性方程组的含义，掌握线性方程组的求解方法，能够运用线性方程组解决实际问题。

2. 教学内容：（1）线性方程组的概念及其解的含义；（2）线性方程组的求解方法（高斯消元法、矩阵法等）；（3）线性方程组在实际问题中的应用。

3. 教学方法：通过具体案例分析，引导学生理解线性方程组的概念，运用高斯消元法和矩阵法求解线性方程组，并讨论线性方程组在实际问题中的应用。

三、矩阵及其运算1. 教学目标：使学生理解矩阵的概念，掌握矩阵的运算方法，了解矩阵在数学和实际中的应用。

2. 教学内容：（1）矩阵的概念及其表示方法；（2）矩阵的运算（加法、数乘、乘法）；（3）矩阵的其他相关概念（逆矩阵、转置矩阵等）；（4）矩阵在数学和实际中的应用。

3. 教学方法：通过具体的例子，引导学生理解矩阵的概念，掌握矩阵的运算方法，探讨矩阵在其他相关概念中的应用，并了解矩阵在数学和实际中的重要作用。

四、行列式1. 教学目标：使学生理解行列式的概念，掌握行列式的计算方法，了解行列式在线性方程组求解中的应用。

2. 教学内容：（1）行列式的概念及其表示方法；（2）行列式的计算方法（按行（列）展开、性质的应用等）；（3）行列式在线性方程组求解中的应用。

3. 教学方法：通过具体的例子，引导学生理解行列式的概念，掌握行列式的计算方法，并了解行列式在线性方程组求解中的应用。

五、线性空间与线性变换1. 教学目标：使学生了解线性空间的概念，掌握线性变换的定义和性质，了解线性变换在数学和实际中的应用。

高等代数教案(北大版)-高等代数试题以及解答一、线性方程组1. 定义线性方程组，并说明线性方程组的解的概念。

2. 线性方程组的求解方法：高斯消元法、克莱姆法则。

3. 线性方程组的解的性质：唯一性、存在性。

4. 线性方程组在实际应用中的例子。

二、矩阵及其运算1. 定义矩阵，说明矩阵的元素、矩阵的行和列。

2. 矩阵的运算：加法、减法、数乘、矩阵乘法。

3. 矩阵的转置、共轭、伴随矩阵。

4. 矩阵的行列式、行列式的性质和计算方法。

三、线性空间与线性变换1. 定义线性空间，说明线性空间的基、维数。

2. 线性变换的定义，线性变换的矩阵表示。

3. 线性变换的性质：线性、单调性、可逆性。

4. 线性变换的应用：线性映射、线性变换在几何上的意义。

四、特征值与特征向量1. 特征值、特征向量的定义。

2. 矩阵的特征多项式、特征值和特征向量的计算方法。

3. 特征值和特征向量的性质：特征值的重数、特征向量的线性无关性。

4. 对称矩阵的特征值和特征向量。

五、二次型1. 二次型的定义，二次型的标准形。

2. 二次型的矩阵表示，矩阵的合同。

3. 二次型的性质：正定、负定、不定。

4. 二次型的判定方法，二次型的最小值和最大值。

六、向量空间与线性映射1. 向量空间的概念，包括基、维数和维度。

2. 线性映射的定义，线性映射的性质，如线性、单调性和可逆性。

3. 线性映射的表示方法，包括矩阵表示和坐标表示。

4. 线性映射的应用，如线性变换、线性映射在几何上的意义。

七、特征值和特征向量的应用1. 特征值和特征向量的计算方法，包括特征多项式和特征方程。

2. 特征值和特征向量的性质，如重数和线性无关性。

3. 对称矩阵的特征值和特征向量的性质和计算。

4. 特征值和特征向量在实际问题中的应用，如振动系统、量子力学等。

八、二次型的定义和标准形1. 二次型的定义，包括二次型的标准形和矩阵表示。

2. 二次型的矩阵表示，包括矩阵的合同和相似。

3. 二次型的性质，如正定、负定和不定。