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第四章 线性方程组【基本要求】1. 理解线性方程组有解的判定定理2. 理解齐次线性方程组的基础解系、通解、一般解等概念及解的结构。
3．理解非齐次线性方程组解的结构4. 熟练掌握用初等行变换求线性方程组通解的方法。
【主要内容】<1>齐次线性方程组：① 齐次方程组0=Ax 恒有零解；当()n A R <时有无穷多解，其基础解系中解向量的个数是)(A r n −，即自由未知量的个数。
② 设是A n m ×阶矩阵，齐次方程组0=Ax 有非零解的充要条件是即的列向量线性相关；充分条件是n A r <)(A n m <（即方程个数<未知数个数） ③ 若是阶方阵，则有非零解的充要条件是A n 0=Ax 0=A <2>非齐次线性方程组：① 设是A n m ×阶矩阵，方程组b Ax =有解⇔系数矩阵的秩等于增广矩阵A A 的秩可由的列向量⇔b A n ααα,,,21 线性表出⇔n ααα,,,21 与b n ,,,,21ααα 是等价向量组。
② 设是A n m ×阶矩阵,则方程组b Ax =无解⇔()()A r A r ≠；有唯一解b Ax =⇔n A r A r ==)()(;b Ax =有无穷多解⇔n A r A r <=)()(<3>解的联系：① 若21,ξξ是b Ax =的解，则21ξξ−是0=Ax 的解。
② 若ξ是b Ax =的解，η是0=Ax 的解，则ηξ+仍是b Ax =的解。
③ 若有唯一解，则只有零解；反之，当b Ax =0=Ax 0=Ax 只有零解时，没有无穷多解（可能无解，也可能只有唯一解）。
b Ax =【典型例题】例１ 求解齐次线性方程组 解: 将系数矩阵化为上阶梯形⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−+++=−−+−=−+++=−+++076530230553203454321543215432154321xx x x x x x x x x x x x x x x x x x xA B =−−−−−−⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎯→⎯⎯⎯−−−⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟=1114321355113213156711143011310000000000行变换 所以 R A r n n r (),,,===−=253 即方程组(1)有无穷多解 ,其基础解系中有三个线性无关的解向量。
第四章 线性方程组1．线性方程组的基本概念(1)线性方程组的一般形式为：其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等. 线性方程组的解是一个n 维向量(k 1,k 2, …,k n )(称为解向量),它满足当每个方程中的未知数x 用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b 1=b 2=…=b m =0的线性方程组称为齐次线性方程组. n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只有零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组. (2) 线性方程组的其他形式 线性方程组除了通常的写法外,还常用两种简化形式： 向量式 x 1α1+x 2α2+…+n x n α= β， (齐次方程组x 1α1+x 2α2+…+n x n α=0).即[]n a a ,,a 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21=β 全部按列分块，其中β,,21n a a a 如下⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=121111m a a a α ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=222122m a a a α，………，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn n n n a a a 21α, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β 显然方程组有解的充要条件是向量β可由向量组n ααα,,21 线性表示。
矩阵式 AX =β，(齐次方程组AX =0).⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x X 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β其中A 为m n ⨯矩阵，则：① m 与方程的个数相同，即方程组AX =β有m 个方程； ② n 与方程组的未知数个数相同，方程组AX =β为n 元方程。
