常微分方程学习活动6-第三章一阶线性方程组、第四章n阶线性方程的综合练习WORD版

第四讲 常系数线性微分方程组的解法（4课时）一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念, 掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法.三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程：1 新课引入由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组dYAY dx= (3.20) 其中A 是n n ⨯实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法，因为它比较直观.由线性代数知识可知，对于任一n n ⨯矩阵A ，恒存在非奇异的n n ⨯矩阵T ，使矩阵1T AT -成为约当标准型. 为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换Y TZ = (3.21)其中()(,1,2,,),ij T t i j n == det 0T ≠,将方程组(3.20)化为1dZT ATZ dx-= (3.22) 我们知道，约当标准型1T AT -的形式与矩阵A 的特征方程111212122212det()0n n n n nn a a a a a a A E a a a λλλλ---==-2的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵A 的特征根.下面分两种情况讨论.(一) 矩阵A 的特征根均是单根的情形. 设特征根为12,,,,n λλλ这时12100n T AT λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦方程组(3.20)变为11122200n n n dz dx z dz z dx z dz dx λλλ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦(3.23)易见方程组(3.23)有n 个解1110(),00xZ x e λ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 220010(),,()0001n x x n Z x e Z x e λλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦把这n 个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的n 个解12()i i i i x x i i ni t t Y x e e T t λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1,2,,)i n =陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋 李万军3这里i T 是矩阵T 第i 列向量，它恰好是矩阵A 关于特征根i λ的特征向量，并且由线性方程组()0i i A E T λ-=所确定. 容易看出，12(),(),,()n Y x Y x Y x 构成(3.20)的一个基本解组，因为它们的朗斯基行列式()W x 在0x =时为(0)det 0W T =≠. 于是我们得到定理3.11 如果方程组(3.20)的系数阵A 的n 个特征根12,,,,n λλλ彼此互异，且12,,,n T T T 分别是它们所对应的特征向量，则121122(),(),,()n x xxn n Y x e T Y x e T Y x e T λλλ===是方程组(3.20)的一个基本解组. 例1 试求方程组353dxx y z dt dyx y z dt dzx y z dt ⎧=-+⎪⎪⎪=-+-⎨⎪⎪=-+⎪⎩的通解.解 它的系数矩阵是311151313A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦特征方程是311det()1510313A E λλλλ---=---=--4即 321136360λλλ-+-=所以矩阵A 的特征根为1232,3,6λλλ===．先求12λ=对应的特征向量1a T b c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,,a b c 满足方程1111()1310111a a A E b b c c λ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦即0300a b c a b c a b c -+=⎧⎪-+-=⎨⎪-+=⎩可得,0a c b =-=. 取一组非零解，例如令1c =-，就有1,0,1a b c ===-. 同样，可求出另两个特征根所对应的特征向量，这样，这三个特征根所对应的特征向量分别是110,1T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 211,1T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 3121T ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦故方程组的通解是236123()111()012()111t t t x t y t C e C e C e z t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(二) 常系数线性微分方程组的解法复特征根 从上一讲我们已经知道，求解方程组dYAY dx= （3.20） 归结为求矩阵A 的特征根和对应的特征向量问题．现在考虑复根情形．因为A 是实的矩阵，所以复特征根是共轭出现的，设1,2i λαβ=±是一对共轭根，由定理3.11，对应解是陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋 李万军5111(),x Y x e T λ= 222()x Y x e T λ=其中12,T T 是特征向量，这是实变量的复值解，通常我们希望求出方程组（3.20）的实值解，这可由下述方法实现．定理3.12 如果实系数线性齐次方程组()dYA x Y dx= 有复值解()()()Y x U x iV x =+其中()U x 与()V x 都是实向量函数，则其实部和虚部12()()(),()n u x u x U x u x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12()()()()n v x v x V x v x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦证明 因为()()()Y x U x iV x =+是方程组(3.8)的解，所以[]()()()()d dU x dV x U x iV x i dx dx dx+≡+ ()[()()]()()()()A x U x iV x A x U x iA x V x ≡+≡+由于两个复数表达式恒等相当于实部及虚部恒等，所以上述恒等式表明：()()()dU x A x U x dx = , ()()()dV x A x V x dx= 即()U x ,()V x 都是方程组(3.8)的解.证毕.定理3.13 如果12(),(),,()n Y x Y x Y x 是区间(,)a b 上的n 个线性无关的向量函数，12,b b 是两个不等于零的常数，则向量函数组112[()()],b Y x Y x + 212[()()],b Y x Y x - 3(),,()n Y x Y x (3.24)在区间(a, b )上仍是线性无关的.6证明 (反证法) 如果(3.24)线性相关，那么依定义3.1存在n 个不全为零的常数12,,,n C C C ，使得对区间(,)a b 上的所有x 皆有1112221233[()()][()()]()()0n n C b Y x Y x C b Y x Y x C Y x C Y x ++-+++≡所以112211122233()()()()()()0n n C b C b Y x C b C b Y x C Y x C Y x ++-+++≡因为12(),(),,()n Y x Y x Y x 线性无关，从而11220,C b C b += 11220,C b C b -= 30,,0n C C ==从上式可知，11220C b C b ==, 因为12,0b b ≠, 故120C C ==. 即所有常数12,,,n C C C 都等于零，矛盾. 证毕.由代数知识知, 实矩阵A 的复特征根一定共轭成对地出现.即，如果a ib λ=+是特征根，则其共轭a ib λ=-也是特征根. 由定理3.11，方程组(3.20)对应于a ib λ=+的复值解形式是1111222122()()()112()a ib x a ib x a ib x n n n t t it t t it x e T e e t t it ++++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦1Y1112212212(cos sin )axn n t it t it e bx i bx t it +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦11121211212222211221cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin ax ax n n n n t bx t bx t bx t bx t bx t bx t bx t bx eie t bx t bx t bx t bx -+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋 李万军7这里1T 是对应于a ib λ=+的特征向量.由于矩阵A 是实的，所以上述向量的共轭向量是方程组(3.20)对应于特征根a ib λ=-的解，记作()2(),a ib x x e -=2Y T =21T T . 现将上述两个复值解，按下述方法分别取其实部和虚部为1112212212cos sin cos sin 1[()()]2cos sin ax n n t bx t bx t bx t bx x x e t bx t bx -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦12YY 1211222121cos sin cos sin 1[()()]2cos sin ax n n t bx t bx t bx t bx x x e it bx t bx +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦12YY由定理3.12和定理3.13，它们分别是方程组(3.20)的解， 并且由此得到的n 个解仍组成基本解组.例2 求解方程组3dxx y z dt dyx y dt dzx z dt ⎧=--⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩解 它的系数矩阵为111110301--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A特征方程是8111det()110301λλλλ----=--A E 即2(1)(25)0λλλ--+=特征根为11,λ= 2,312i λ=±先求11λ=对应的特征向量为1011⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦T再求212i λ=+所对应的特征向量2T . 它应满足方程组2211((12))120302i a i i b i c ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A E T 0即2020320ia b c a bi a ci ⎧---=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎩ 用2i 乘上述第一个方程两端，得422020320a bi ci a bi a ci ⎧--=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎩陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋 李万军9显见，第一个方程等于第二与第三个方程之和. 故上述方程组中仅有两个方程是独立的，即20320a bi a ci -=⎧⎨-=⎩求它的一个非零解.不妨令2,a i = 则1,3b c ==. 于是212i λ=+对应的解是(12)222sin 22cos 21(cos 2sin 2)1cos 2sin 2333cos 23sin 2i t t t t i i t t e e t i t e t ie t t t +-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故原方程组的通解为123()02sin 22cos 2()1cos 2sin 2()13cos 23sin 2t t t x t t t y x C e C e t C e t z x t t -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(三) 矩阵A 的特征根有重根的情形由定理3.11，我们已经知道，当方程组(3.20)的系数矩阵A 的特征根均是单根时，其基本解组的求解问题，归结到求这些特征根所对应的特征向量. 然而，当矩阵A 的特征方程有重根时，定理3.11不一定完全适用，这是因为，若i λ是A 的i k 重特征根，则由齐次线性方程组()i i λ-=A E T 0所决定的线性无关特征向量的个数i γ, 一般将小于或等于特征根i λ的重数i k . 若i γ=i k ,那么矩阵A 对应的约当标准型将呈现对角阵，其求解方法与3.5.1情形相同.若i γ＜i k ，由线性代数的知识，此时也可以求出i k 个线性无关的特征向量，通常称为广义特征向量，以这些特征向量作为满秩矩阵T 的列向量，可将矩阵A 化成若当标准型10121m ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦-J J T AT J 其中未标出符号的部分均为零无素，而1010i ii i λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦J (1,2,,)i m =是i k 阶约当块，12,m k k k n +++= 12,,,m λλλ是(3.20)的特征根，它们当中可能有的彼此相同.于是，在变换(3.21)下方程组(3.20)化成12m d dx ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦J J Z Z J (3.25) 根据(3.25)的形式，它可以分解成为m 个可以求解的小方程组.为了说清楚这个问题，我们通过一个具体重根的例子，说明在重根情形下方程组(3.20)的基本解组所应具有的结构．对于一般情形，其推导是相似的.设方程组d Dx=YAY （3.26） 中A 是5.5矩阵，经非奇异线性变换=Y TZ 其中()(,1,2,,5)ij t i j ==T 且det 0≠T ，将方程组(3.26)化为d dx=ZJZ (3.27) 我们假定陇东学院数学系常微分方程精品课程教案1112210000100000000010000λλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦J 这时，方程组(3.27)可以分裂为两个独立的小方程组 1112212313dz z z dx dz z dxdz z dx λλλ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩(3.28)4245525dz z z dx dz z dxλλ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (3.29) 在(3.28)中自下而上逐次用初等积分法可解得11123121232332!()xxxC z x C x C e z C x C e z C e λλλ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭=+= 同样对(3.29)可解得2245455()xx z C x C e z C eλλ=+= 这里125,,,C C C 是任意常数.由于在方程(3.28)中不出现45,,z z 在(3.29)中不出现123,,z z z ．我们依次取12345123451234512345123451,00,1,00,1,00,1,00,1C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C =========================可以得到方程组(3.27)的五个解如下11111121232!0,,00000000x xx x x x x e xe e e xe e λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦Z Z Z , 222450000,000x x x e xe e λλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Z Z 从而1111112222002!000()00000000000x x x x x x x x x x exe e e xe x e e xe e λλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Z (3.31) 是方程组(3.27)的一个解矩阵. 又det (0)10=≠Z ,所以(3.31)是方程组(3.27)的一个基本解矩阵.而(3.30)是(3.27)的一个基本解组.现在把(3.30)的每个解分别代入到线性变换Y =TZ 中可得原方程组(3.26)的五个解，1111111211314151,x x x x x t e t e t e t e t e λλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 11111111221222313241425152()(),()()()x x x x x t x t e t x te t x t e t x te t x t e λλλλλ⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦Y陇东学院数学系常微分方程精品课程教案11111211121322122232313323324142432515253()2!()2!()2!()2!()2!x x x x x t x t x t e t x t x t e t x t x t e t x t x t e t x t x t e λλλλλ⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎣⎦Y ,222222222214141524242545343435444445545455()(),()()()x x x x x x x x x x t e t x t e t e t x t e t e t x t e t e t x t e t e t x t e λλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦Y Y而且这五个解构成方程组的一个基本解组.这是因为，若把上面五个解写成矩阵形式12345()[(),(),(),(),()]x x x x x x =Y Y Y Y Y Y 则显然有det (0)0=≠Y T .至此我们已清楚地看到，若J 中有一个三阶若当块，1λ是(3.26)的三重特证根，则(3.26)有三个如下形式的线性无关解，12345()()()(),1,2,3()()i i i x i i i i p x p x x p x e i p x p x λ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y (3.32) 其中每个()(1,2,3,1,2,3,4,5)ki p x i k ==是x 的至多二次多项式.因此(3.32)也可以写成如下形式12012()x x x e λ++R R R其中012,,R R R 都是五维常向量.而对于J 中的二阶若当块，2λ是(3.26)的二重根，它 所对应的(3.26)的两个线性无关解应是如下形式234()x x e λ+R R其中34,R R 也都是五维常向量.最后，我们还应指出，对于方程组(3.20)，若i λ是A 的一个i k 重特征根，则i λ所对应的若当块可能不是一块而是几块，但是它们每一块的阶数都小于或等于i k ，而且这些阶数的和恰好等于i k . 这样，由以上分析我们得到定理3.14 设12,,,m λλλ是矩阵A 的m 个不同的特征根，它们的重数分别为12,,,m k k k . 那么，对于每一个i λ，方程组(3.20)有i k 个形如1122()(),()(),,()()i i i i i x x x k k x x e x x e x x e λλλ===Y P Y P Y P 的线性无关解，这里向量()(1,2,,)i i x i k =P 的每一个分量为x 的次数不高于1i k -的多项式. 取遍所有的(1,2,,)i i m λ=就得到(3.20)的基本解组.上面的定理既告诉了我们当A 的特征根有重根时，线性方程组(3.20)的基本解组的形式，同时也告诉了我们一种求解方法，但这种求解方法是很繁的.在实际求解时，常用下面的待定系数法求解. 为此，我们需要线性代数中的一个重要结论.引理3.1 设n 阶矩阵互不相同的特征根为(1,2,,)i i m λ=，其重数分别是,1212,,,()m m k k k k k k n +++=, 记n 维常数列向量所组成的线性空间为V ，则(1) V 的子集合 {()0,}j kj j λ=-=∈V R A E R R V 是矩阵A 的(1,2,,)j k j m =维不变子空间，并且(2) V 有直和分解 12m =⊕⊕⊕V V V V ;现在，在定理3.14相同的假设下，我们可以按下述方法求其基本解组.陇东学院数学系常微分方程精品课程教案定理3.15 如果j λ是(3.20)的j k 重特征根，则方程组(3.20)有个j k 形如1011()()j j j k x k x x x e λ--=+++Y R R R (3.33) 的线性无关解，其中向量011,,,j k -R R R 由矩阵方程0112210()()2()(1)()0j j j j j j k j k k j k λλλλ--⎧-=⎪⎪-=⎪⎨⎪-=-⎪⎪-=⎩A E R R A E R R A E R R A ER (3.34)所确定.取遍所有的(1,2,,)j j m λ=，则得到(3.20)的一个基本解组.证明 由定理3.14知，若j λ是（3.20）的j k 重特征根，则对应解有（3.30）的形式.将（3.33）代入方程组（3.20）有21121011[2(1)]()j j j j j j k x k x j k j k x k xe x x e λλλ----+++-++++R R R R R R 1011()j j j k x k A x x e λ--=+++R R R消去j x e λ，比较等式两端x 的同次幂的系数（向量），有0112211()()2()(1)()0j j j j j j k j k j k k λλλλ---⎧-=⎪⎪-=⎪⎨⎪-=-⎪⎪-=⎩A E R R A E R R A E R R A ER （3.35）注意到方程组（3.35）与（3.34）是等价的.事实上，两个方程组只有最后一个方程不同，其余都相同．（3.35）与（3.34）同解的证明请见教材．这样，在方程组(3.31)中，首先由最下面的方程解出0R ，再依次利用矩阵乘法求出121,,,j k -R R R . 由引理3.1得知，线性空间V 可分解成相应不变子空间的直和，取遍所有的(1,2,,)j j m λ=，就可以由(3.34)最下面的方程求出n 个线性无关常向量，再由(3.31)逐次求出其余常向量，就得到(3.20)的n 个解. 记这n 个解构成的解矩阵为()x Y ，显然，(0)Y 是由(3.34)最下面的方程求出的n 个线性无关常向量构成，由引理3.1的2)矩阵(0)Y 中的各列构成了n 维线性空间V 的一组基，因此det (0)0≠Y ，于是()x Y 是方程组(3.20)的一个基本解组.例3 求解方程组123213312dy y y dx dy y y dxdy y y dx ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩解 系数矩阵为011101110⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 特征方程为2(2)(1)0λλ-+=特征根为 1232, 1.λλλ===-其中12λ=对应的解是211()11x x e ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 下面求231λλ==-所对应的两个线性无关解.由定理3.15，其解形如陇东学院数学系常微分方程精品课程教案01()()x x x e -=+Y R R并且01,R R 满足0120()()0=⎧⎨=⎩A +E R R A +E R 由于111()111,111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A +E 2333()333333⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A +E 那么由20()0=A +E R 可解出两个线性无关向量11,0-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 101-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦将上述两个向量分别代入01()=A +E R R 中，均得到1R 为零向量.于是231λλ==-对应的两个线性无关解是21()1,0x x e --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 31()01x x e --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 最后得到通解2123111()110101x x x x C e C e C e ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦Y 例4 求解方程组11232123312332dy y y y dx dy y y y dxdy y y y dx⎧=+-⎪⎪⎪=-++⎨⎪⎪=++⎪⎩ 解 系数矩阵是311121111-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦A特征方程为3(2)0λ-= , 有三重特征根1,2,32λ=由定理3.15，可设其解形如22012()()xx x x e =++Y R R R012,,R R R 满足方程组0121230(2)(2)(2)-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩A E R R A E RR A E R 0由于23111101000(2)101,(2)000,(2)000111101000--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦A E A E A E 故0R 可分别取10,0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 01,0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦陇东学院数学系常微分方程精品课程教案再将它们依次代入上面的方程，相应地求得1R 为11,1⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 10,1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 111-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦2R 为120,12⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 00,0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是，可得原方程组三个线性无关解 22212111012()010,()10,011012x x Y x x x e Y x x e ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦2231012()0101112xY x x x e ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦最后方程的通解可写成22112222233111()22()1()11122x x x x x x y x C y x e x x C y x C x x x x x ⎡⎤+--+⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--+⎢⎥⎣⎦本讲要点：1 . 常系数线性微分方程组的解法归结为求出系数阵A的特征根和特征向量。

《常微分方程》课程习题集一、单选题1. 设函数(,),(,)M x y N x y 连续可微, 则方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += 是全微分方程的充分必要条件是 . (A) M N y x ∂∂=∂∂， (B) ,M N x y ∂∂=∂∂ (C) ,M N y x ∂∂≠∂∂ (D) .M N x y ∂∂≠∂∂2. 下面的方程是全微分方程的是 . (A) 0ydx xdy x y-=+， (B) 220y dx x dy +=， (C) 220xy dx x ydy -=， (D)220ydx xdy x y -=-. 3. 设一阶方程2()()(),(()()0)dy p x y q x y r x p x r x dx=++≠，则它是 。

（A ）线性非齐次方程； （B ）伯努利方程；（C ）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。

4. 设一阶方程()(),(0,1)n dy p x y q x y n dx=+≠，则它是 。

（A ）线性非齐次方程； （B ）伯努利方程；（C ）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。

5. 形如'(')y xy y ϕ=+的一阶隐式方程称为 。

（A ）线性非齐次方程； （B ）伯努利方程；（C ）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。

6. 二阶微分方程2100x x x '''++=的通解是 。

（A ）12[cos3sin 3]t x e C t C t -=+,（B ）312[cos sin ]t x e C t C t -=+,（C ）12[cos sin ]t x e C t C t -=+,(D) 312[cos3sin 3]t x e C t C t -=+.7. 二阶微分方程250x x x '''++=的通解是 。

（A ）12[cos sin ]t x e C t C t -=+,（B ）212[cos sin ]t x e C t C t -=+,（C ）12[cos 2sin 2]t x e C t C t -=+,(D) 212[cos 2sin 2]t x e C t C t -=+.8. 二阶微分方程440x x x '''-+=的通解是 。

国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1-6试题及答案国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1-6试题及答案100%通过考试说明：2020年秋期电大把该网络课纳入到“国开平台”进行考核，该课程共有6个形考任务，针对该门课程，本人汇总了该科所有的题，形成一个完整的标准题库，并且以后会不断更新，对考生的复习、作业和考试起着非常重要的作用，会给您节省大量的时间。

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课程总成绩=形成性考核×50%+终结性考试×50%形考任务1题目1本课程的教学内容共有五章，其中第三章的名称是（）．选择一项：A.一阶线性微分方程组B.定性和稳定性理论简介C.初等积分法D.基本定理题目2本课程安排了6次形成性考核任务，第2次形成性考核作业的名称是（）．选择一项：A.第一章至第四章的单项选择题B.第二章基本定理的形成性考核书面作业C.初等积分法中的方程可积类型的判断D.第一章初等积分法的形成性考核书面作业题目3网络课程主页的左侧第3个栏目名称是：（）．选择一项：A.课程公告B.自主学习C.课程信息D.系统学习题目4网络课程的“系统学习”栏目中第一章初等积分法的第4个知识点的名称是（）．选择一项：A.一阶隐式微分方程B.分离变量法C.全微分方程与积分因子D.常数变易法题目5网络课程的“视频课堂”栏目中老师讲课的电视课共有（）讲．选择一项：A.18B.20C.19D.17题目6网络课程主页的左侧“考试复习”版块中第二个栏目名称是：（）．选择一项：A.考核说明B.复习指导C.模拟测试D.各章练习汇总题目7请您按照课程的学习目标、学习要求和学习方法设计自己的学习计划，并在下列文本框中提交，字数要求在100—1000字．答：常微分方程是研究自然现象，物理工程和工程技术的强有力工具，熟练掌握常微分方程的一些基本解法是学习常微分方程的主要任务，凡包含自变量，未知函数和未知函数的导数的方程叫做微分方程。

第三章 存在和唯一性定理一． [内容提要] 本章主要介绍解的存在和唯一性定理、接的延伸和解的最大存在区间等有关问题.解的存在和唯一性定理是微分方程中最常用的定理，学过这一定理之后，对于微分方程的通解概念，才由形式上的理解转为实质上的理解；另外在求近似解之前，都必须从理论上做解的存在唯一性判定.关于解的延伸定理，它把解的存在唯一性定理所得到的、具有局部性的结果，延伸到全局上去.这一定理无论在微分方程的理论研究和实际应用中，都是很有意义的.二． [关键词] 存在和唯一性，解的延伸，毕卡逐次逼近法三． [目的和要求]1． 熟练掌握毕卡逐次逼近法，并用它证明一阶常微分方程初值问题解的存在唯一性定理.2． 了解右端函数连续性保证初值问题解的存在性，李普希茨条件保证初值问题解的唯一性这些事实.3． 理解初值问题解的存在唯一性中解的存在区间的意义，会求其解的存在区间.4． 理解解的延伸概念，理解延伸定理的意义.四．[教学过程]在第二章中我们已经讨论了不少寻找微分方程的通解或通积分的方法，但是我们也看出，多数微分方程是不能通过初等积分法求解的，而很多重要的实际问题又需要用微分方程的解去刻画它.为解决这个矛盾，人们在分析了这些微分方程之后，发现在很多情况下，其实只要能够求出满足一定条件的特解就行了；在另外一些情况下，即使不去求特解和通解，但若能知道解族的某些性质，问题同样可以得到解决，例如第八章中将讨论的稳定性问题.但要求特解，首先必须证明满足某给定条件的解的存在性和唯一性.否则，若要求的解根本不存在，而去求解那显然是荒唐的.或者即使解存在但不唯一，那也不知取哪一个好.此外，解的存在唯一性问题如果不得到解决，要想研究整个解族的性质也会有很多的困难.这样解的存在唯一性问题就是一个十分基本的问题，不解决这个问题，对微分方程的进一步研究就无从谈起.关于初值问题，柯西第一个在很一般的条件下，建立了初值问题解的存在与唯一性定理.以后皮亚诺（Peano ）和毕卡（Picard ）等人又在更广泛的条件下，分别证明了解的存在性和解的唯一性.§1 毕卡存在和唯一性定理关于初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy )2.1()1.1( 的解的存在唯一性，我们将利用著名的Picard 逐次逼近法来证.此方法的主要思想是在所设条件下，构造一个连续函数列，它一致收敛的极限函数正好是所求始值问题的解.采用这个方法不仅证明了解的存在性，而且在证明解的存在唯一性的过程中，还提供了求近似解的构造性途径.定理1 假设：1）),(y x f 在矩形区域a x x R ≤-0:，b y y ≤-0 内连续，记),(max ),(y x f M Ry x ∈=，),min(M b a h =. 2） ),(y x f 对y 满足李普希茨条件（或简称李氏条件），即存在常数0>L ，使得2121),(),(y y L y x f y x f -≤- )3.1(其中R y x y x ∈),(),,(21，则方程)1.1(在区间h x x ≤-0上存在唯一的，满足初值条件)2.1(的解)(x y ϕ=.证明 证明步骤如下：（一） 求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程⎰+=x x dx y x f y y 0),(0 )4.1( 的连续解；（二） 在区间h x x ≤-0上构造一个连续函数序列{})(x y n ，称为毕卡序列；（三） 证明{})(x y n 在区间h x x ≤-0上一致收敛；（四） 证明{})(x y n 的极限函数)(x ϕ是积分方程)4.1(的解；（五）证明满足方程)1.1(和条件)2.1(的解必为)(x ϕ.（一） 求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程⎰+=x x dx y x f y y 0),(0 )4.1( 的连续解.事实上，设)(x y y =是方程)1.1(的解，故有00)()),(,()(y x y x y x f dx x dy =≡，两边从0x 到x 取定积分得到⎰≡-xx dx x y x f x y x y 0))(,()()(0， h x x ≤-0， 即 ⎰+≡xx dx x y x f y x y 0))(,()(0， h x x ≤-0，因此，)(x y y =是)4.1(的定义在h x x ≤-0的连续解.反之，若)(x y y =是)4.1(的的连续解，则有⎰+≡x x dx x y x f y x y 0))(,()(0， h x x ≤-0， )5.1( 微分之，得 ))(,()(x y x f dxx dy ≡. 又把0x x =代入)5.1(，得到00)(y x y =.故)(x y y =是方程)1.1(的定义在h x x ≤-0上，且满足初值条件)2.1(的解.因此，下面我们只需证明积分方程)4.1(在区间h x x ≤-0上有且仅有一个解. （二）在区间h x x ≤-0上，用逐次迭代法构造毕卡连续函数序列{})(x y n .取初值0y 为零次近似：00)(y x y =.利用)4.1(，用零次近似0y 代替积分号下的)(x y ，得到函数⎰+≡xx dx y x f y x y 0),()(001 )6.1(显然，)(1x y 在区间h x x ≤-0上是连续可微的，且由)6.1(推出b Mh x x M dx y x f y x y xx ≤≤-≤≤-⎰00010),()( )7.1(这表明函数)(1x y y =当h x x ≤-0时是连续的，且将位于矩形域R 上，我们称它为一次近似.再利用)4.1(，作出二次近似⎰+≡x x dx x y x f y x y 0))(,()(102， 同样地有b Mh x x M dx x y x f y x y xx ≤≤-≤≤-⎰01020))(,()(， 可以看出，当h x x ≤-0时，函数)(2x y y =也是连续的，且它也完全位于矩形域R 上.一般地，规定了1-n 次近似以后，就可以利用)4.1(式得出n 次近似：⎰-+≡xx n n dx x y x f y x y 0))(,()(10 )8.1(这样，我们就可以得到一个毕卡连续函数序列{})(x y n .用数学归纳法可证，每一个)(x y n 在区间h x x ≤-0上都是连续的.都满足00)(y x y n =，都位于矩形域R 上.（三） 下面证明按上述方法构造的函数序列{})(x y n 在区间h x x ≤-0上一致收敛.要证{})(x y n 在区间h x x ≤-0上一致收敛，只须证明级数+-++-++)]()([])([1010x y x y y x y y n n )9.1(一致收敛，因为)(x y n 是此级数的前1+n 项之和.现在我们对级数)9.1(的各项作估计，为此证明估计式101)!1()()(++-+≤-n nn n x x n ML x y x y ),2,1,0( =n )10.1( 在h x x ≤-0上成立.事实上，当0=n 时，由)7.1(可知)10.1(成立.假设当k n =时)10.1(成立，注意到),(y x f 对y 满足李普希茨条件及)8.1(式，便可推出⎰⎰-≤-+++x x x x k k k k dx x y x f dx x y x f x y x y 00))(,())(,()()(112 ⎰⎰-≤-≤++x x k k xx k k dx x y x y L dx x y x f x y x f 00)()())(,())(,(11⎰++-+≤xx k k dx x x k ML 0101)!1(201)!2(++-+≤k k x x k ML ，所以当当1+=k n 时)10.1(成立，故)10.1(得证. 由于h x x ≤-0，从而11)!1()()(+++≤-n nn n h n ML x y x y . 由此可见，级数)9.1(的每一项的绝对值都不大于收敛正项级数)1()!1(0010-+=++∑∞=+Lh n n ne L M y h n ML y 的对应项，（四） 证明{})(x y n 的极限函数)(x ϕ是积分方程)4.1(的解.现对)8.1(式⎰-+≡xx n n dx x y x f y x y 0))(,()(10 两端取极限，当∞→n 时，注意到收敛的一致性和),(y x f 的一致连续性，就得到⎰+≡xx dx x x f y x 0))(,()(0ϕϕ 这表明)(x ϕ是积分方程)4.1(的连续解，从而也是始值问题)1.1(，)2.1(的解，故存在性获证.（五）证明解的唯一性.设积分方程)4.1(还有另一个解)(x ψ，则由)4.1(推出⎰⎰-≤-xx x x dx x x f dx x x f x x 00))(,())(,()()(ψϕψϕ ⎰-≤xx dx x x L 0)()(ψϕ )11.1( 由于在h x x ≤-0上，)()(x x ψϕ-是连续有界的，故可取它的一个上界K ，则由)11.1(有 0)()(x x LK x x -≤-ψϕ，然后，把它代入)11.1(的右端，得到!2)()()(20x x L K x x -≤-ψϕ. 如此递推，在h x x ≤-0上，可用数学归纳法得到!)(!)()()(0n Lh K n x x L K x x n n≤-≤-ψϕ. 让∞→n ，则上述不等式的右端趋于零，故可推出)()(x x ψϕ=， h x x ≤-0.即积分方程)4.1(的解是唯一的，从而定理得证.[附注1] 由于李普希兹条件比较难于检验，常用),(y x f 在R 上有对y 的连续偏导数来代替.事实上，如果在R 上y f ∂∂存在且连续，则y f ∂∂在R 上有界，设在R 上，M yf ≤∂∂，此时 212112221)(,(),(),(y y M y y yy y y x f y x f y x f -≤-∂-+∂=-θ， 这里10,),(),,(21<<∈θR y x y x .但反过来满足李普希兹条件的函数),(y x f 不一定有偏导数存在.例如，函数y y x f =),(在任何区域都满足李普希兹条件，但它在0=y 处没有导数.[附注2] 设方程)1.1(是线性的，即方程为)()(x q y x p dxdy += )12.1( 那么易知，当)(),(x q x p 在区间],[b a 上为连续时，定理1的一切条件就能满足.[附注3] 在证明定理1中所采用的毕卡逼近法在实用上也是求方程近似解的一种方法.容易证明：第n 次近似解)(x y n 与精确解)(x ϕ在区间h x x ≤-0内的误差估计式为)!1()()(1+≤-+n h L M x x y n n n ϕ. 其中L 是李普希兹常数，M 是),(y x f 在a x x R ≤-0:，b y y ≤-0上的上界.[附注4] 李普希兹条件是初值问题解的唯一性的充分条件，容易举例说明.为了保证初值问题解的唯一性，并非一定要求满足李普希兹条件不可，即李普希兹条件不是初值问题解的唯一性的必要条件.例如，设当0=y 时，0),(=y x f ；当0≠y 时，y y y x f ln ),(=，试讨论初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==0)0(),(y y x f dx dy （*）解的唯一性.易知),(y x f 在全平面上连续，但在点)0,(0x 的任意小的矩形邻域U 内不满足李普希兹条件.事实上，设),(10y x 是U 内的任意一点，01≠y .考虑1111010ln 0ln )0,(),(y y y y x f y x f =-=-，于是有 11010ln )0,(),(y y x f y x f =-，当01→y 时，∞→1ln y ，所以不存在常数0>L ，使 1010)0,(),(y L x f y x f ≤-.但可通过具体求解，证明初值问题（*）的解仍唯一.事实上，0=y 显然是（*）的解.此外0≠y 时，用变量分离法求得0>y 和0<y 的区域内的通解为x Ce e y ±= （**）对于C 的任何有限值，曲线（**）都不与0=y 相遇，因此，对x 轴上的点)0,(0x ，仍只有唯一的积分曲线0=y 经过此点，即0=y 是（*）的唯一解.此例说明，对于Cauchy 问题解的存在性和唯一性，Lipschitz 条件不是必要的.关于初值问题解的唯一性条件的探讨，迄今仍是数学工作者的研究课题之一.下面我们介绍一个由美国数学家Osgood 用较弱的条件来代替李普希兹条件给出的有关解的一个唯一性定理.设函数),(y x f 在区域G 内连续，且满足不等式)(),(),(2121y y F y x f y x f -≤-，其中0)(>r F 是0>r 的连续函数，且瑕积分∞=⎰10)(r r F dr （常数01>r ） 则称),(y x f 在区域G 内对y 满Osgood 条件.显然，李普希兹条件条件是Osgood 条件的特例，因为Lr r F =)(满足上述要求.定理2 （Osgood ） 设),(y x f 在区域G 内对y 满Osgood 条件，则方程),(y x f dx dy =过G 内每点至多有一个解.证明 用反证法.若G 内可以找到一点),(00y x ，使得方程),(y x f dxdy =过点),(00y x 有两个解)(1x y y =和)(2x y y =，且至少有一个01x x ≠，使得)()(1211x y x y ≠，不妨设01x x >，且)()(1211x y x y >.令{})()(],[sup 2110x y x y x x x x =∈=， 则显然有10x x x <≤，且 0)()()(21>-=x y x y x r ， 当1x x x ≤<；0)(=x r .因此))(,())(,()()()(21'2'1'x y x f x y x f x y x y x r -=-=))(())()((21x r F x y x y F =-≤，即 dx x r F x dr ≤))(()(， （1x x x ≤<） 从1x x 到积分上式得x x r F dr r -≤⎰101)(， 其中0)(11>=x r r ，但这不等式左端为∞，右端是一个有限的数，因此矛盾.故定理2得证.再把条件减弱，只要求),(y x f 连续，就未必再有唯一性的结论了. 例如：31y dxdy =，31y 在),(y x 平面上连续，但在包含点)0,(0x 的任何区域上不满足李普希兹条件.这个方程有通解23)(32)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+±=C x x y ， 其中C 为任意常数.还有一个平凡解0)(=x y ，积分曲线如图 所示，从左向右看，每个点)0,(0x 上有三分叉的三条积分曲线，一条是0=y ，还有与0=y 相且的上下两条曲线形积分曲线；事实上，过A 点沿x 轴及①，②，③，④，⑤，⑥，…等曲线的每一条吻合成一条曲线，故过A 点的积分曲线有无穷之多.最后，给出一个不加证明的Peano 存在性定理.证明请参看§2.定理3 设),(y x f 在矩形区域R 内连续，则方程)1.3(在区间h x x ≤-0上至少存在一个满足条件)2.3(的解)(x y y =.这里矩形区域R 和正数h M ,定义同定理1.。

国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务6试题及答案形考任务6常微分方程学习活动6第三章一阶线性方程组、第四章n 阶线性方程的综合练习本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。

一、填空题1．若A (x )在(-∞,+∞)上连续，那么线性齐次方程组Y A Y )(d d x x =，n R Y ∈的任一非零解在1+n R 空间 不能 与x 轴相交．2．方程组n x x xR Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是n + 1维空间中的一条积分曲线． 3．向量函数组Y 1(x ), Y 2(x ),…,Y n (x )线性相关的 必要 条件是它们的朗斯期行列式W (x )=0． 4．线性齐次微分方程组n x x x R Y R Y A Y ∈∈=,,)(d d ，的一个基本解组的个数不能多于n + 1 个． 5．若函数组)()(21x x ϕϕ，在区间),(b a 上线性相关，则它们的朗斯基行列式)(x W 在区间),(b a 上恒等于零 ．6．函数组⎩⎨⎧==x y x y cos sin 21的朗斯基行列式)(x W 是 x x x x x W sin cos cos sin )(-=． 7．二阶方程02=+'+''y x y x y 的等价方程组是⎪⎩⎪⎨⎧--='='y x xy y y y 2111． 8．若)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是二阶线性齐次方程的基本解组，则它们 没有 共同零点．9．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零） ．10．n 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为N 个．11．在方程y″+ p (x )y′+q (x )y = 0中，p (x ), q (x )在(-∞,+∞)上连续，则它的任一非零解在xOy 平面上可以与x 轴横截相交．12．二阶线性方程20y y y '''++=的基本解组是e ,e x x x --．13．线性方程0y y ''+=的基本解组是 cos ,sin x x ．14．方程02=+'+''y x y x y 的所有解构成一个 2 维线性空间．15．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 n 维线性空间．二、计算题1．将下列方程式化为一阶方程组（1）0)()(=++x g x x f x &&&（2）0)()()(321=+'+''+'''y x a y x a y x a y。

3.4 n 阶常系数线性齐次微分方程的解法对于齐次方程（3.4）而言，只要能得到该方程的一个基本解组，即，n 个线性无关的解)(,),(),(21x y x y x y n我们就能得到方程（3.4）的通解.但是，对于一般的n 阶线性齐次微分方程，它的基本解组很难找到.可是，当齐次方程（3.4）的系数),,2,1)((n i x p i =都是实常数时，求它的基本解组的问题却可以转化为求一个一元n 次多项式方程根的问题.如果能够求得这个一元n 次多项式方程的所有根，就能得到方程（3.4）的基本解组，从而也就得到了方程（3.4）的通解了.形如)(1)1(1)(x f y p y p y p y n n n n =+'+++--的方程（其中),,2,1(n i p i =均为实常数），称为n 阶常系数线性微分方程.如果 0)(=x f ，即01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n称为n 阶常系数线性齐次微分方程.如果0)(≠x f ，称为n 阶常系数线性非齐次微分方程.本节主要介绍n 阶常系数线性齐次微分方程的解法，先研究一阶常系数线性齐次微分方程0=+'py y这是一个变量可分离的方程，采用初等积分法，可求得该方程的一个非零解px e x y -=)(.因为方程是一阶的，所以基本解组中只含有一个解，即px e x y -=)(.对于n 阶常系数线性齐次微分方程而言，我们猜想该方程也有形如x e x y λ=)(的解，其中λ是待定常数.为了确定λ，可以将x e x y λ=)(代入方程01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n .这时，需要计算y 的各阶导数)(,,,n y y y '''),,2,1(,)(n i e y x i i ==λλ代入方程得：0)(111=++++--x n n n n e p p p λλλλ因为0>x e λ，所以有0111=++++--n n n n p p p λλλ该一元n 次方程称为常系数线性微分方程的特征方程.该方程的根，称为线性微分方程的特征根.x e x y λ=)(是n 阶常系数线性齐次微分方程的解，当且仅当λ是线性微分方程的特征根.这样，求n 阶常系数线性齐次微分方程的解，就转化为求特征方程的特征根的问题了.下面根据特征根的情况来讨论常系数线性齐次微分方程的解.1、特征根互异首先，假设特征方程有n 个互异的实根n λλλ,,,21 .这时，就可以得到相对应的n 个解x n x x n e x y e x y e x y λλλ===)(,,)(,)(2121因为n λλλ,,,21 两两互异，所以x n x x n e x y e x y e x y λλλ===)(,,)(,)(2121是n 个线性无关的解，即，它们就是齐次微分方程的基本解组，所以齐次微分方程的通解为x n x x n e C e C e C x y λλλ+++= 2121)(.其中n C C C ,,,21 是任意常数.例1 求方程023=+'+''y y的通解.解 特征方程为0232=++λλ即0)2)(1(=++λλ从而，特征根为2,121-=-=λλ 基本解组为x x e x y e x y 221)(,)(--==因此方程的通解为x x e C e C x y 221)(--+= 其中21,C C 是任意常数.例2 求方程045=+'-''y y y 的通解及满足初始条件：4)0(,1)0(='=y y 的特解. 解 特征方程为0452=+-λλ 即0)4)(1(=--λλ 从而，特征根为4,121==λλ 基本解组为x x e x y e x y 421)(,)(==因此方程的通解为 xx e C e C x y 421)(+=其中21,C C 是任意常数.下面来求满足初始条件的特解，将初始条件代入x x e C e C x y 421)(+=x x e C e C x y 4214)(+='得⎩⎨⎧=+=+4412121C C C C 所以1,021==C C ，因此所求的特解为x e x y 4)(=.其次，互异的特征根中含有复根，即n λλλ,,,21 中有复数，不妨设bi a k +=λ（b a ,为实数）.这时，bi a k +=λ所对应的解为x k e x y λ=)(.由于bi a k +=λ为复数，x k e λ应该如何定义呢？定义之后x k e x y λ=)(的求导与k λ为实数时的求导计算是否相同呢？下面我们来解决这些问题.给出复数的代数形式后，我们可以转化为三角形式，例如)sin (cos θθi r bi a z +=+= 其中ab b a r arctan ,22=+=θ. 同时，复数也可以写成指数形式，即θθθi r i r i e e e re bi a z +===+=ln ln所以有)sin (cos )sin (cos ln ln θθθθθi r i e e r i r +=+=+于是有)sin (cos )(bx i bx e e e ax x bi a x k +==+λ.有了定义之后，我们来研究k λ为复数与k λ为实数时的求导计算是否相同.性质1.无论α是实数还是复数，总有x x e e ααα=')(.证明 当α为实数时，上述结论是已知的.那么我们证明α为复数的情形，设bi a +=α，b a ,为实数.因为)sin (cos )(bx i bx e e e ax x bi a x +==+α所以)cos sin ()sin cos ()sin ()cos ()(bx b bx a ie bx b bx a e bx e i bx e e ax ax ax ax x ++-='+'='α x ax ax e bi a bx i bx e b bx i bx i bx i bx a e αα=++=+++=))(sin (cos ])sin (cos )sin (cos [. 由性质1，可得：无论α是实数还是复数，总有x n n x e e ααα=)()(.性质2.无论α是实数还是复数，对任意实数k ，总有x k k x k e x kx e x ααα)()(1+='-.证明 当α为实数时，上述结论是已知的.那么我们证明α为复数的情形，设bi a +=α，b a ,为实数.这时)sin (cos )(bx i bx e x e x e x ax k x bi a k x k +==+α所以)sin ()cos ()('+'='bx e x i bx e x e x ax k ax k x k α)]cos sin (sin [)]sin cos (cos [11bx b bx a e x bx e kx i bx b bx a e x bx e kx ax k ax k ax k ax k +++-+=--])sin (cos )sin (cos [)sin (cos 1b bx i bx i bx i bx a e x bx i bx e kx ax k ax k +++++=-))(sin (cos )sin (cos 1bi a bx i bx e x bx i bx e kx ax k ax k ++++=-x k k e x kx αα)(1+=-.有了上述定义和性质，bi a k +=λ所对应的解为)sin (cos )(bx i bx e e x y ax x k +==λ是满足常系数线性齐次微分方程的.但是，这个解是复数形式的解，下面给出复解的概念，并把复解实数化.定义3.4 函数)(),(x v x u 都是实数函数，设复值函数)()()(x iv x u x y +=是常系数线性齐次微分方程01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n的解，则称复值函数)(x y 为方程的复解.定理3.11设复值函数)()()(x iv x u x y +=是常系数线性齐次微分方程01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n的解，则复值函数的实部)(x u 和虚部)(x v 都是方程的解.证明 因为复值函数)()()(x iv x u x y +=是常系数线性齐次微分方程01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n的解，所以有0))()(())()(())()(())()((1)1(1)(=++'++++++--x iv x u p x iv x u p x iv x u p x iv x u n n n n 即0))()(())()((]))(())([())(())((1)1()1(1)()(=++'+'+++++---x iv x u p x v i x u p x v i x u p x v i x u n n n n n n 即)())(())([()]()())(())([(1)1(1)(1)1(1)(x v p x v p x v i x u p x u p x u p x u n n n n n n n '+++++'+++---- 0)](=+x v p n所以0)()())(())((1)1(1)(=+'+++--x u p x u p x u p x u n n n n0)()())(())((1)1(1)(=+'+++--x v p x v p x v p x v n n n n即，实部)(x u 和虚部)(x v 都是方程的解.我们继续讨论互异特征根中含有复数的情形，如果互异特征根中含有一个复数bi a k +=λ，则该复数根对应一个复解)sin (cos bx i bx e y ax +=而该复解的实部函数bx e x u ax cos )(=和虚部函数bx e x v ax sin )(=都是齐次方程的解，即，该复根bi a k +=λ对应齐次方程的两个解.下面有两个问题需要解决：（1）一个复特征根对应两个解，则解的个数会多于n 个，怎么处理？（2）将复解实数化后得到的解，与实特征根所对应的解组成的函数组是不是基本解组呢？因为方程01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n的系数),,2,1(n i p i =全为实数，所以特征方程就是实系数的，因此，特征根出现复根时，必是共轭出现的.即，bi a +是特征根，则bi a -也是特征根.这样，复解是成对出现的，bi a -所对应的复解为)sin (cos bx i bx e y ax -=这时，它的实部函数和虚部函数同bi a k +=λ的所对应的复解的实部函数和虚部函数等价，因此，这一对共轭的特征根bi a ±=λ对应两个解.故解的个数不会增加，仍然是n 个.而且，实部函数和虚部函数可以由bi a ±=λ所对应的两个复解)sin (cos )(1bx i bx e x y ax +=和)sin (cos )(1bx i bx e x y ax -=来表示，即)]()([21)]sin (cos )sin (cos [21cos )(21x y x y bx i bx e bx i bx e bx e x u ax ax ax +=-++== )]()([21)]sin (cos )sin (cos [21sin )(21x y x y ibx i bx e bx i bx e i bx e x v ax ax ax -=--+== 下面来解决第二个问题，将复解实数化后与实特征根所对应的解组成的函数组仍然是线性无关，从而仍然为齐次方程的基本解组.定理3.12 如果)(,)(),(),(321x y x y x y x y n 是在区间),(b a 上的n 个线性无关的函数，21,k k 是两个非零常数，则函数组)(,),()),()(()),()((3212211x y x y x y x y k x y x y k n -+在区间),(b a 上仍是线性无关的.证明 设函数组)(,)()),()(()),()((3212211x y x y x y x y k x y x y k n -+的线性组合等于零.即0)()())()(())()((3321222111=+++-++x y C x y C x y x y k C x y x y k C n n即0)()()()()()(332221112211=+++-++x y C x y C x y k C k C x y k C k C n n因为函数组)(,)(),(),(321x y x y x y x y n 是线性无关的，所以0,0,0322112211====-=+n C C k C k C k C k C因为21,k k 不为零，由0,022112211=-=+k C k C k C k C 可得：021==C C所以0321=====n C C C C因此，函数组)(,),()),()(()),()((3212211x y x y x y x y k x y x y k n -+在区间),(b a 上仍是线性无关的.解决了上述问题后，互异特征根出现一个复根时，则与它共轭的复数也是特征根，这一对特征根对应一对实数解，而且得到的新函数组仍然为基本解组.如果出现两对共轭的特征根，则会对应两对实数解，而且得到的新函数组仍然为基本解组，依次类推，遇到复数特征根都可以将它所对应的复解实数化. 例3 求方程044=+'+''+'''y y y y的通解.解 特征方程为04423=+++λλλ即0)4)(1(2=++λλ从而，特征根为i 2,13,21±=-=λλ基本解组为x x y x x y e x y x 2sin )(,2cos )(,)(321===-因此方程的通解为x C x C e C x y x 2sin 2cos )(321++=-其中321,,C C C 是任意常数.例4求方程05262)4(=+'+''+'''+y y y y y的通解.解 特征方程为05262234=++++λλλλ即0)52)(1(22=+++λλλ从而，特征根为i i 21,4,32,1±-=±=λλ基本解组为x e x y x e x y x x y x x y x x 2sin )(,2cos )(,sin )(,cos )(4321--==== 因此方程的通解为x e C x e C x C x C x y x x 2sin 2cos sin cos )(4321--+++=其中4321,,,C C C C 是任意常数.2、特征根有重根设1λ是)1(n k k ≤<重特征根（1λ为实数或复数），则1λ对应着齐次方程的一个解x e x y 1)(1λ=.但是，1λ是k 重特征根，相当于k 个特征根，只得到了一个解.这时得到的线性无关解的个数会少于n 个，构不成基本解组.所以k 重特征根1λ应该对应k 个线性无关的解，那除了x e x y 1)(1λ=外还应补上1-k 个解，应该补上哪些解呢？我们先研究二阶常系数线性齐次微分方程有重根的情形. 设二阶齐次方程为0=+'+''qy y p y其中q p 42=.特征方程为02=++q p λλ特征根为22,1p -=λ 则得到二阶齐次方程的一个非零解 x p ex y 21)(-=. 利用刘维尔公式可求得与x p e x y 21)(-=线性无关的另一个解)(2x y ，x p px px x p pdx xe dx ee e dx x y e x y x y 222112)()()(-----==⎰=⎰⎰ 即，当21p -=λ是二重特征根时，除了对应解x p e x y 21)(-=之外，还对应另外一个与x p e x y 21)(-=线性无关的解x p xe x y 22)(-=.与二阶方程类似，我们猜想，当1λ是k 重特征根时，对应的k 个线性无关的解为x k k x x e x x y xe x y e x y 111121)(,,)(,)(λλλ-===下面来证明这个猜想，即证明),,2,1()(11k i e x x y x i i ==-λ是n 阶常系数线性齐次方程01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n的解.首先，特征方程为0111=++++--n n n n p p p λλλ记n n n n p p p P ++++=--λλλλ111)( ，因为1λ是k 重特征根，所以0)()()(1)1(11==='=-λλλk P P P 且0)(1)(≠λk P下面求),,2,1()(11k i e x x y x i i ==-λ的各阶导数，由牛顿—莱布尼兹公式得：x i i i n i n i n n i n n i n n i e x C x C x C x x y 1])()()([))(()1(1)1(111212111111)(λλλλλ----------++''+'+= x i i i n i n i n n i n n i n n i e x C x C x C x x y 1])()()([))(()1(1)1(11111312112111111)1(λλλλλ----------------++''+'+= ………………………………………………………………………………………………………x i i i e x x x y 1])([))((111λλ'+='--代入i n i n n i n i y p y p y p y +'+++--1)1(1)( 得x i i i i i i e x P x P x P x P 1]))(())(())(()([)1(11)1(111111λλλλλ------++''''+''+因为k i ,,2,1 =，所以0)()()(1)1(11==='=-λλλi P P P因此01)1(1)(=+'+++--i n i n n i n i y p y p y p y故),,2,1()(11k i e x x y x i i ==-λ是n 阶常系数线性齐次方程01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n的解.以上只讨论了1λ是重根的情形，对于一般的情形，我们有如下的定理. 定理3.13 如果方程01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n有两两互异的特征根t λλλ,,,21 ，它们的重数分别为1,,,,21≥i t m m m m ，且n m m m t =+++ 21，则齐次方程的基本解组为xm m x x e x x y xe x y e x y 11111121)(,,)(,)(λλλ-===x m m m x m x m e x x y xe x y e x y 22212121121)(,,)(,)(λλλ-+++===……………………………………………………………x m n x m n x m n t t t t t t e x x y xe x y e x y λλλ121)(,,)(,)(-+-+-=== .证明 由上述论证，函数组中的每一个函数都是齐次方程的解.现在只需要证明它们是线性无关的函数组. 设函数组的线性组合等于零，即][11111121x m m x x e x C xe C e C λλλ-+++ ][22212121121x m m m x m x m e x C xe C e C λλλ-+++++++ 0][121=+++++-+-+-x m n x m n x m n t t t t t t e x C xe C e C λλλ .整理可得：x m m e x C x C C 111][121λ-+++ +++++-+++x m m m m m e x C x C C 222111][121λ 0][121=++++-+-+-x m n m n m n t t t t e x C x C C λ .即x m e x P 11)(λ ++x m e x P 22)(λ0)(=+x m t t e x P λ.假设n C C C ,,,21 至少有一个不为零，则)(,),(),(21x P x P x P t m m m 中至少有一个不是零多项式，不妨假定)(x P t m 不恒为零.而)1,,2,1)((-=t i x P i m 至多为1-i m 次多项式，在x m e x P 11)(λ ++x m e x P 22)(λ0)(=+x m t t e x P λ.两边同时乘以x e 1λ-得)(1x P m ++-x m e x P )(122)(λλ0)()(1=+-x m t t e x P λλ.对上式关于x 求1m 次导数，这时有0))(()(11=m m x Px m m x m e x P e x P )()1()()(1221122)())((λλλλ--= ………………………………………x m m x m t tt t e x P e x P )()1()()(111)())((λλλλ--= （其中)()1(x P im 是与)(x P i m 同次数的多项式),,2(t i =） 所以，上式化为0)()()()1()()1(1122=++--x m x m t t e x P e x P λλλλ 再在两边同时乘以x e )(21λλ-得0)()()()1()1(22=++-x m m t te x P x P λλ 对上式关于x 求2m 次导数，这时有0))(()(22=m m x P………………………………………x m m x m t tt t e x P e x P )()2()()()1(222)())((λλλλ--= 所以上式化为0)(0)()2(2=++-x m t te x P λλ 序行此法，最后可得0)()()1(1=---x t m t t te x P λλ 而0)(1≠--x t t e λλ，所以0)()1(=-x P t m t，故0)(=x P t m ，这与)(x P t m 不恒为零矛盾.因此假设不成立，即n C C C ,,,21 全为零.所以，函数组是线性无关的，从而是基本解组.由定理3.13，我们得到了方程的基本解组，从而可以写出齐次方程的通解为][)(11111121x m m x x e x C xe C e C x y λλλ-+++= +++++x m x m xe C e C 212121[λλ ][]12112221x m n x m n x m n x m m m t t t t t t e x C xe C e C e x C λλλλ-+-+--+++++++ .如果在上述基本解组中，出现了复解，那么同单根的情形一样，可以取其实部函数和虚部函数，将复解实数化.例如bi a +=1λ是1m 重的特征根，则与其共轭的复数bi a -=2λ也是1m 重的特征根，这一对共轭的特征根会对应12m 个复解;,,,)(1)()(1x bi a m x bi a x bi a e x xe e +-++.,,,)(1)()(1x bi a m x bi a x bi a e x xe e ----将这12m 个复解实数化，得到12m 个实解;cos ,,cos ,cos 11bx e x bx xe bx e ax m ax ax - .sin ,,sin ,sin 11bx e x bx xe bx e ax m ax ax -由定理3.12知，替换后的函数组仍是基本解组.对于其它复数根，也可以采用同样的处理方法，最后就可以得到方程的n 个线性无关的实解. 例5 求方程096=+'+''y y y的通解.解 特征方程为0962=++λλ即0)3(2=+λ从而，特征根为32,1-=λ基本解组为x x xe x y e x y 3231)(,)(--==因此方程的通解为x x xe C e C x y 3231)(--+=其中21,C C 是任意常数. 例6 求方程0412136)4()5(='+''-'''+-y y y y y的通解.解 特征方程为0412*******=+-+-λλλλλ即0)2()1(22=--λλλ从而，特征根为2,1,05,43,21===λλλ基本解组为x x x x xe x y e x y xe x y e x y x y 2524321)(,)(,)(,)(,1)(=====因此方程的通解为x x x x xe C e C xe C e C C x y 2524321)(++++=其中54321,,,,C C C C C 是任意常数. 例7 求方程08126=+'+''+'''y y y y的通解.解 特征方程为0812623=+++λλλ即0)2(3=+λ从而，特征根为23,2,1-=λ基本解组为x x x e x x y xe x y e x y 2232221)(,)(,)(---===因此方程的通解为)()(23212x C x C C e x y x ++=-其中321,,C C C 是任意常数. 例8 求方程04454)4(=+'+''+'''+y y y y y的通解.解 特征方程为04454234=++++λλλλ即0)1()2(22=++λλ从而，特征根为i ±=-=4,32,1,2λλ基本解组为x x y x x y xe x y e x y x x sin )(,cos )(,)(,)(432221====--因此方程的通解为x C x C x C C e x y x sin cos )()(43212+++=-其中4321,,,C C C C 是任意常数. 例9 求方程0168)4(=+''+y y的通解.解 特征方程为016824=++λλ即0)4(22=+λ从而，特征根为i i 2,24,32,1-==λλ基本解组为x x x y x x y x x x y x x y 2sin )(,2sin )(,2cos )(,2cos )(4321====因此方程的通解为x x C x C x x C x C x y 2sin 2sin 2cos 2cos )(4321+++=其中4321,,,C C C C 是任意常数.。

第四章n阶线性微分方程(10学时)教学目的: 本章主要讨论n阶线性微分方程的基本理论，常数变易法，常系数线性方程的解，n阶线性微分方程的降阶以及二阶线性方程的幂级数解法。

教学要求: 掌握线性微分方程的基本理论和常系数线性方程的解法，会把高阶微分方程降阶以及会用幂级数解法解某些二阶线性方程。

教学重点: 齐次和非齐次线性微分方程的解性质与结构；常数变易思想；常系数齐次线性方程的特征根法和待定系数法；高阶可积类型的解法；幂级数解法。

教学难点: 函数的线性相关性；Wronsky行列式的定义及其性质；特征根法和待定系数法；幂级数解法。

教学方法:讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。

教学手段: 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。

课题导入在第二章介绍了一阶微分方程的解法,在实际应用中，还常常遇到高阶微分方程，本章我们将介绍高阶微分方程的求解方法和理论，在微分方程的理论中，线性微分方程的理论占有非常重要的地位，这不仅是线性微分方程最简单，它的一般理论已被研究得十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础。

本章重点介绍线性微分方程的基本理论和常系数方程的解法，对于高阶方程的降阶问题和二阶线性方程的幂级数解法也作简单介绍。

第一讲§ 4.1 n阶线性微分方程的一般理论(3学时) 教学目的: 本节主要讨论线性齐次和非齐次微分方程的基本概念、基本理论和常数变易法。

教学要求: 掌握线性微分方程的基本概念和基本理论。

教学重点: 齐次和非齐次线性微分方程的解性质与结构；常数变易思想。

教学难点: 函数的线性相关性；Wronsky行列式的定义及其性质。

教学方法: 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。

教学手段: 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。

n阶线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程，它的理论发展十分完善，本节将介绍它的基本理论。

4.1.1. 线性微分方程的一般概念我们将未知函数x及其各阶导数dxdt,…,nndtxd均为一次的n阶微分方程称为n线性微方程，它的一般形式为：++--111)(n n n n dt x d t a dt x d …)()()(1t f t a dt dxt a n n =++- （4.1）其中,2,1)((=i t a i …)n 及)(t f 都是区间b t a ≤≤上的连续函数,如果0)(≡t f ,则方程(4.1)变为++--111)(n n n n dt x d t a dt x d …0)()(1=++-t a dt dxt a n n (4.2)我们称(4.2)为n 阶齐次线性方程，简称齐线性方程,而称(4.1)为非齐线性微分方程，简称非齐线性方程，且通常把(4.2)叫对应于(4.1)的齐线性方程。