第四章线性方程组自测试卷及参考答案

第四章 线性方程组1．线性方程组的基本概念(1)线性方程组的一般形式为：其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等. 线性方程组的解是一个n 维向量(k 1,k 2, …,k n )(称为解向量),它满足当每个方程中的未知数x 用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b 1=b 2=…=b m =0的线性方程组称为齐次线性方程组. n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只有零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组. (2) 线性方程组的其他形式 线性方程组除了通常的写法外,还常用两种简化形式： 向量式 x 1α1+x 2α2+…+n x n α= β， (齐次方程组x 1α1+x 2α2+…+n x n α=0).即[]n a a ,,a 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21=β 全部按列分块，其中β,,21n a a a 如下⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=121111m a a a α ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=222122m a a a α，………，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn n n n a a a 21α, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β 显然方程组有解的充要条件是向量β可由向量组n ααα,,21 线性表示。

矩阵式 AX =β，(齐次方程组AX =0).⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x X 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β其中A 为m n ⨯矩阵，则：① m 与方程的个数相同，即方程组AX =β有m 个方程； ② n 与方程组的未知数个数相同，方程组AX =β为n 元方程。

线性代数第四章练习题答案第一篇：线性代数第四章练习题答案第四章二次型练习4、11、写出下列二次型的矩阵2（1）f(x1,x2,x3)=2x12-x2+4x1x3-2x2x3；（2）f(x1,x2,x3,x4)=2x1x2+2x1x3+2x1x4+2x3x4。

解：（1）因为⎛2f(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3) 0 2⎝⎛2 所以二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为： 0 2⎝0-1-10-1-12⎫⎪-1⎪0⎪⎭⎛x1 x2 x⎝3⎫⎪⎪, ⎪⎭2⎫⎪-1⎪。

0⎪⎭（2）因为⎛0 f(x1,x2,x3,x4)=(x1,x2,x3,x4) 1 1⎝⎛0 1所以二次型f(x1,x2,x3,x4)的矩阵为： 1 1⎝***11⎫⎪0⎪1⎪⎪0⎪⎭⎛x1 x2 x 3 x⎝4⎫⎪⎪⎪，⎪⎪⎭1⎫⎪0⎪。

⎪1⎪0⎪⎭2、写出下列对称矩阵所对应的二次型：⎛1 1（1） -2 1 ⎝212⎛01⎫⎪2⎪1 -2⎪；（2）2 ⎪-1⎪2⎪⎭0⎝12-11212-112012⎫0⎪⎪1⎪2⎪。

1⎪⎪2⎪1⎪⎪⎭-0-2T解：（1）设X=(x1,x2,x3)，则⎛1 f(x1,x2,x3)=XTAX=(x1,x2,x3) -2 1 ⎝2-120-21⎫⎪2⎪-2⎪⎪⎪2⎪⎭⎛x1 x2 x⎝3⎫⎪⎪⎪⎭=x12+2x32-x1x2+x1x3-4x2x3。

（2）设X=(x1,x2,x3,x4)T，则⎛0 1f(x1,x2,x3,x4)=XTAX=(x1,x2,x3,x4)2 -1 0⎝12-11212-11201 2⎫0⎪⎪1⎪2⎪1⎪⎪2⎪1⎪⎪⎭⎛x1 x2 x 3 x⎝4⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎭2=-x2+x4+x1x2-2x1x3+x2x3+x2x4+x3x4。

练习4、21、用正交替换法将下列二次型化为标准形，并写出所作的线性替换。

22（1）f(x1,x2,x3)=2x1+x2-4x1x2-4x2x3；（2）f(x1,x2,x3)=2x1x2-2x2x3；222（3）f(x1,x2,x3)=x1+2x2+3x3-4x1x2-4x2x3。

考研数学之线性代数第四章线性方程组基础与强化训练题（含答案，强烈推荐）习题部分一．填空（每题2分）１．设方程组22112122x x kx x kx x 有非零解，则k。

2．线性方程组960654032321321321x x x x x x x x x 有非零解，则。

3．方程组211111111321x x x aa a有无穷多解，则a。

4．非齐次线性方程组b AX（A 为m n 矩阵）有惟一解的的充分必要条件是____________。

5．设A 是n 阶方阵,21,是齐次线性方程组O AX 的两个不同的解向量,则A。

6．设A 为三阶方阵，秩2A r ，321,,是线性方程组b b AX 的解，已知10131321,，则线性方程组b AX 的通解为。

7．三元线性方程组b AX的系数矩阵的秩2A r ，已知该方程组的两个解分别为1111，1112，则b AX 的全部解可表为。

8．设1686493436227521a A，欲使线性齐次方程组O AX 的基础解系有两个解向量，则a =。

9．当a时，线性方程组233321321321321x ax x ax x x x x x 无解。

10．方程组321011032x x x =0的基础解系所含向量个数是___ ______。

11．若5元线性方程组b AX的基础解系中含有2个线性无关的解向量，则Ar 。

12．设线性方程组414343232121a x x a x x a x x a x x 有解，则4321a ,a ,a ,a 应满足条件。

13．设齐次线性方程组为021nx x x ，则它的基础解系中所包含的向量个数为。

14．设21,是非齐次线性方程组b AX 的解向量，则21是方程组的解向量．15．设s,,,21为非齐次线性方程组b AX 的一组解，如果ssc c c 2211也是该方程组的一个解，则sc c c 21。

16．设矩阵1111110A ，则齐次线性方程组O X A E 的一个基础解系为。

第四章 线性方程组1．线性方程组的基本概念(1)线性方程组的一般形式为：其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等. 线性方程组的解是一个n 维向量(k 1,k 2, …,k n )(称为解向量),它满足当每个方程中的未知数x 用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b 1=b 2=…=b m =0的线性方程组称为齐次线性方程组. n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只有零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组. (2) 线性方程组的其他形式 线性方程组除了通常的写法外,还常用两种简化形式： 向量式 x 1α1+x 2α2+…+n x n α= β， (齐次方程组x 1α1+x 2α2+…+n x n α=0).即[]n a a ,,a 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21=β 全部按列分块，其中β,,21n a a a 如下⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=121111m a a a α ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=222122m a a a α，………，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn n n n a a a 21α, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β 显然方程组有解的充要条件是向量β可由向量组n ααα,,21 线性表示。

矩阵式 AX =β，(齐次方程组AX =0).⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x X 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β其中A 为m n ⨯矩阵，则：① m 与方程的个数相同，即方程组AX =β有m 个方程； ② n 与方程组的未知数个数相同，方程组AX =β为n 元方程。

第四章向量组的线性相尖性441基础练习1.设有斤维向量组e，，•••、％与几，02,...，仇若存在两组不全为零的数人、入，…，九和k], kzM使(人+灯⑦+—(心+k丿a卄(石一k) 0汁…+(入一n『#m=0则( )(A)(X、，吆…,J和0户卩2,…,“也都线性相矢(B)(ZI,么2,…，么加和0F“2,..., 0加都线性无矢(C)么汁伤，…，时门曲g—fip…，久线性无矢(D)e+伤，…，皤//”，5_卩[，…，线性相尖2.设如如一os与为，卩2,…，久为两个料维向量组，且R@\, a2, -,a s) = /?(/?… /?2,= r，则( )(A)当s = t吋，两向量组等价；(B)两向量组等价；(C)幻…,冬，卩7几)二”(D)当向量组如S被向量组伤，卩2,…,戸,线性表示时，两个向量组等价.3.设/是4阶方阵，且同=0,则/中( )(A)必有一列元素全为零；(B)必有两列元素成比例；(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合；(D)任一列向量是其余列向量的线性组合.4.设力是矩阵，〃是矩阵，贝％)(A)当m > n时，必有14B | HO ；(B)当m > n时，必有(C)当HKD时，必有IMIW；(D)当m < n时，必有IMIP5.设向量组勺，血，他线性无尖，向量几可由勺，么2,么3线性表示，而向量02不能由(A) z a2,k/?7+/?2线性无尖；(B)血竝,冬，k/?7+y?2线性相矢；(C) a J9购么3, 0/+k“2线性无尖；(D)么勿，/ 线性相尖.6.设有向量组勺=(1,- 1,2,4), « = 0,3,1,2), «=(3,0,7,14),勺=(1,-2,2,0)与冬=(2丄5,10), 则向量组的极大线性无尖组是( )(A) °人3 ；(B) ar a2,弘；(C) ap a?, a.门(D) z av a4, as.7.设有向量组a=(a,0,c)fa=(b,c,0),a5=(0,a,b)线性无尖，则a,也c必须满足矢系式.& 向量组a=(l,2,3,4), (i2=(2,3,4,5), a3=(3,4,5,6),恥=(4,5,6,7)的秩等于 ___________________ . 9•已知向量组a =(1,2,-1,1),血=(2,0,0),购=(0,-4,5,-2)的秩为2,则.r 1 2 -2-10 •设矩阵/=2 1 2，向量a=(a,l,l),,已知/la与么线性无矢，则心_________________30 411•向量空间r二(x,2x,y)lx,yG R ｝的维数是______________________________ ，它的基a= _________ ,a2 = __________ .向量么=(3,6,-4)在基勺下的坐标是________________ . 12 ・设有向量组a, =(2,4,7); a2 =(3,2,5);^=(5,6,Q; “ = (1,3,5),当上为何值时，“能由舛42 线性表示？13.设有向量组a, =(2,1,5,3)；血=(1,-1,2,1);佝=(0,3,1,1);恥=(1,2,3,2);少=(-1,1,-2,-8)求向量组的秩和它的一个极大线性无尖组•14.设有向量组© =(1,1,1);血=(1,1,-1);试把P表为a, ,a2用3的线性组合.X,-2X2+X3+X4 • X5 二02XI+x 厂Xq-Xd+Xq 二015 •求方程组12 3 4 5的基础解系和通解.X(+7X2 ・ 5%3 ・5x4+5x5 二03x r X2-2X3+X4-X5 二0*X!-2X2+3X3-4X4=4x?-x.+xd =316•求方程组 2 3 4的通解.XI • 3X2-3X4 二1-7X2+3X3+X4 二-34.4.2提高练习1 .已知a, =(1,0,2,5/, a? =(1,1,3,5/, =Q,」a + 2,l)r他二(l,2,4，a+ 8 几0 = (1,10 +3,5)T(1)a,b为何值时，0不能表示为a…a2,a3,a4的线性组合；(2)a, b为何值时，“有⑦皿2,偽皿4的唯一线性表示，并写出该表达式.2.设向量线性相矢，而其屮任何卩1个向量线性无矢，证明存在不全为零的数《,©, • • •& 便滋+••• + ©%=()・3•设ai9a29a3线性无尖，证明 /?( =a)-2a2 +2a3，/?2 二加-a A py = 2a)-a2 +3a3 线性无尖•4.验证向量a. =(l,-l,0)r,a2 =(2丄3/,=(3,1,2/是疋的一个基，并分别将向量件二(5Q7)丁，仏二(一9,一&・13卩用这个基表示.5.已知H的两个基T3<3<5><A:a)=1/<2 二11；B卩严3,02 =-1'03 二4<2<2><2<3,J2求基力到基〃的过渡矩阵C6•设由向量么〕二(0丄2),血二(1,3,5)，么3二(2丄0)生成的向量空间为V】，由向量几二(1,2,3),仏二(一1，0,1)生成的向量空间为V2,试证匕二V2・7•设/?”的3个基分别为1）求由基（2）到基（1）的过渡矩阵;2）求向S.a 二e 【+e2"・e3在基（2）下的坐标; 3） 求向量fl = 3ej+ 2es -3A4在基（1）下的坐标;4） 求由基（2）到基（3）的过渡矩阵.8.设加个n 维向量a 〕9ay«”线性无矢，P 为n 阶方阵‘证明:向量组Pa?Pa2, - .Pan1,<o>v9、6具有相同的秩，且“3可由向量组（2）线「7(3)： VI(--I疋2 =1 0 <0 • •<i>r-P了-1 1 、6 二 ?.1<o><0,[1 1 ?也二 311d 丿线性无尖的充耍条件是IPL0.na29•已知向量组（1）：fi 二T0]],“2= ri 丿< 1、n3向量组（2） : a2，亿>二佝二严）A \/(?)作性表不，求* b 的值.，03=10•已知3阶方阵力与3维向量X，使得向量组X9AX9A2X线性无尖，且满足A3X =3A X-2A2X ;1)记P二(x, Axjxj.求3 阶方阵B使A = PBP-;2）计算行列式・A%! + 兀 2 + 兀 3= 1问2取何值时,(1) o 可由勺，J 么3线性表示，且表达式唯一？ (2) "可由勺，《2,冬线性表示，但表达式不唯一？ (3) “不能由勺，色线性表示？x ( +X2+&3 =413. k 为何值时，线性方程组w -x, + kx 2 + x 3 = A:2X]_ 勺 + 2 兀 3 =-4有唯一解、无解、有无穷个解?在有解时求出其全部解. 14. 己知二（1，0,2,3）,力二（1丄3,5）,«3二（1，一 1 卫 + 2,1）,如二（124卫 + &）,，（1 丄/? +3,5）.(1)心b 为何值时，“不能表示为勺，j s 他的线性组合?(2)么/?为何值时，“可表示为么” J 5么4的线性组合？并写出该表示式.11 •讨论并求解方程组<%! + AX2 +X3 = A.12•设有3维列向量a =x]+兀 2+ 7C 3 = Q215. 已知下列线性方程组 兀1+兀〉一2兀4 = 一6(1){4 西-X2 -X3-X4 = 1； 3兀L 兀2_兀3 = 3 ⑴求出方程组⑴的通解；(2)当⑵中的参数明/为何值时‘方程组⑴与(2)同解?X] + inx? -XS -XA --5 72X1 —七一2 兀二—1 121第四章参考解答4.4.1基础练习：1. （D ）提示：由题设知，入 5+0） + 希 a+02 + - • • + An J&+Q + kg-卩）+・・・=o又知人，易，…，无，k 、，心…，红不全为零，均+伤,a 2+#2,臥盘，a 厂卩p 卩卫…，亦仇线性相尖.2. （D ）提示：设向量组A ：弘幻 …，匕：向量组B ： P],'T（因向量组/可被向量组B 表示），则用為？仞二/? （C ）o L所以％® r 故选（D ）3. （C ）提示：因仏2,则R （/） v4, /经初等列变换化为阶梯阵〃，〃必有零列，该列就是其余列的线性组合.4. （B ）提示：也习 时，R （4） <n<m,又R （4B ）vR 么），则«BX m ，为降阶方阵,所以AB=O.«/'a /A =orf4-k(A ir/+A 2 厂2+7丿Ta 、 M =B «3«3g+02_A_又勺，j 冬线性无尖，且肉不能由勺，叫冬线性表示，则R勺，J 他，妙+几线性无尖•这个结论肯定了（A ）而排除了（B ），对条件（C ），取R 二0即与5. （A ）提示：由可由勺,5幺3线性表示知件二人勺+入么仝+入冬，那么 (4)二R0?>4,即题设矛盾，可排除•对于（D），取21时与（A）中炉1相同，已知（A）正确，从而否定（D）・6.(B)1. abcO ・提示:ar n 冬线性无尖。

1习题4.1（线性方程组解的结构）一、下列齐次线性方程组是否有非零解？分析：n 阶方阵A ，AX=0有非零解0()A R A n ⇔=⇔<；仅有零解0()A R A n ⇔≠⇔=（1）123412341234123442020372031260x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪--+=⎪⎨++-=⎪⎪--+=⎩ ；解：11421112317213126A ----=---213241311420054045402168r r r r r r ---=-------21054054544544004016821682168r r -=---=-=-≠--------仅有零解。

（2）12451234123453020426340x x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪-+-=⎨⎪-++-=⎩ .分析：n 元齐次线性方程组有非零解()R A n ⇔≤；仅有零解()R A n ⇔= 解：()35R A n ≤<=，有非零解（即有无穷多解）。

二、求齐次线性方程组12341234123420363051050x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩的一个基础解系。

解：322112314123512110121101201036130004000010051015000400000r r r r r r r r r A --------=--→-→--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以原方程组等价于1243200x x x x +-=⎧⎨=⎩（24,x x 可取任意实数）原方程组的通解为1122134220x k k x k xx k =-+⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩（12,k k R ∈）2改写为11221211123422222101000000001x k k k k x k k x k k x x k k -+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（12,k k R ∈）因此齐次线性方程组的基础解系为1221100001ξξ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，三、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知η1，η2，η3是它的三个解向量，且()12345Tη=，()231234Tηη=+, 求该方程组的通解。

第四章　向量组的线性相关性1 设v1(1 1 0)T v2(0 1 1)T v3(3 4 0)T求v1v2及3v12v2v3解v1v2(1 1 0)T(0 1 1)T(10 11 01)T(1 0 1)T3v12v2v33(1 1 0)T 2(0 1 1)T (3 4 0)T(31203 31214 30210)T(0 1 2)T2 设3(a1a)2(a2a)5(a3a) 求a其中a1(2 5 1 3)Ta2(10 1 5 10)T a3(4 1 1 1)T解由3(a1a)2(a2a)5(a3a)整理得(1 2 3 4)T3 已知向量组A a1(0 1 2 3)T a2(3 0 1 2)T a3(2 3 0 1)TB b1(2 1 1 2)T b2(0 2 1 1)T b3(4 4 1 3)T证明B组能由A组线性表示但A组不能由B组线性表示证明由知R(A)R(A B)3 所以B组能由A组线性表示由知R(B)2 因为R(B)R(B A) 所以A组不能由B组线性表示4 已知向量组A a1(0 1 1)T a2(1 1 0)TB b1(1 0 1)T b2(1 2 1)T b3(3 2 1)T证明A组与B组等价证明由知R(B)R(B A)2 显然在A中有二阶非零子式故R(A)2 又R(A)R(B A)2 所以R(A)2 从而R(A)R(B)R(A B) 因此A组与B组等价5 已知R(a1a2a3)2 R(a2a3a4)3 证明(1) a1能由a2a3线性表示(2) a4不能由a1a2a3线性表示证明 (1)由R(a2a3a4)3知a2a3a4线性无关故a2a3也线性无关又由R(a1 a2a3)2知a1a2a3线性相关故a1能由a2a3线性表示(2)假如a4能由a1a2a3线性表示则因为a1能由a2a3线性表示故a4能由a2a3线性表示从而a2a3a4线性相关矛盾因此a4不能由a1a2a3线性表示6 判定下列向量组是线性相关还是线性无关(1) (1 3 1)T (2 1 0)T (1 4 1)T(2) (2 3 0)T (1 4 0)T (0 0 2)T解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A因为所以R(A)2小于向量的个数从而所给向量组线性相关(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B因为所以R(B)3等于向量的个数从而所给向量组线性相无关7 问a取什么值时下列向量组线性相关？a1(a 1 1)T a2(1 a 1)T a3(1 1 a)T解以所给向量为列向量的矩阵记为A由如能使行列式等于0，则此时向量组线性相关（具体看书后相应答案）8 设a1a2线性无关a1b a2b线性相关求向量b用a1a2线性表示的表示式解因为a1b a2b线性相关故存在不全为零的数12使(a1b)2(a2b)01由此得设则b c a1(1c)a2c R9 设a1a2线性相关b1b2也线性相关问a1b1a2b2是否一定线性相关？试举例说明之（也可看书后答案）解不一定例如当a1(1 2)T, a2(2 4)T, b1(1 1)T, b2(0 0)T时有a1b1(1 2)T b1(0 1)T, a2b2(2 4)T(0 0)T(2 4)T而a1b1a2b2的对应分量不成比例是线性无关的10 举例说明下列各命题是错误的(1)若向量组a1a2a m是线性相关的则a1可由a2a m线性表示解设a1e1(1 0 0 0) a2a3a m0则a1a2a m线性相关但a1不能由a2a m线性表示(2)若有不全为0的数12m使a1m a m1b1m b m01成立则a1a2a m线性相关, b1b2b m亦线性相关解有不全为零的数12m使a1m a m 1b1m b m01原式可化为(a1b1) m(a m b m)01取a1e1b1a2e2b2a m e m b m其中e1e2e m为单位坐标向量则上式成立而a1 a2a m和b1b2b m均线性无关(3)若只有当12m全为0时等式a1m a m1b1m b m01才能成立则a1a2a m线性无关, b1b2b m亦线性无关解由于只有当12m全为0时等式由1a1m a m1b1m b m0成立所以只有当12m全为0时等式(a1b1)2(a2b2) m(a m b m)01成立因此a1b1a2b2a m b m线性无关取a1a2a m0取b1b m为线性无关组则它们满足以上条件但a1a2a m线性相关(4)若a1a2a m线性相关, b1b2b m亦线性相关则有不全为0的数12m使a1m a m0 1b1m b m01同时成立解a1(1 0)T a2(2 0)T b1(0 3)T b2(0 4)Ta12a2 01221b12b2 01(3/4)210 与题设矛盾1211 设b1a1a2b2a2a3 b3a3a4 b4a4a1证明向量组b1b2b3b4线性相关证明由已知条件得a1b1a2a2b2a3 a3b3a4 a4b4a1于是a1 b1b2a3b1b2b3a4b1b2b3b4a1从而b1b2b3b40这说明向量组b1b2b3b4线性相关12 设b1a1b2a1a2b r a1a2 a r且向量组a1a2a r线性无关证明向量组b1b2b r线性无关证明已知的r个等式可以写成上式记为BAK因为|K|10 K可逆所以R(B)R(A)r从而向量组b1b2b r线性无关13 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组(1)a1(1 2 1 4)T a2(9 100 10 4)T a3(2 4 2 8)T解　由知R(a1a2a3)2 因为向量a1与a2的分量不成比例故a1a2线性无关所以a1 a2是一个最大无关组(2)a1T(1 2 1 3) a2T(4 1 5 6) a3T(1 3 4 7)解由知R(a1T a2T a3T)R(a1a2 a3)2 因为向量a1T与a2T的分量不成比例故a1T a2T 线性无关所以a1T a2T是一个最大无关组14 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组(1)解因为所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)解因为所以第1、2、3列构成一个最大无关组（关于14的说明：14题和书上的14题有些不同，答案看书后的那个）15 设向量组(a 3 1)T (2 b 3)T(1 2 1)T (2 3 1)T的秩为2 求a b解设a1(a 3 1)T a2(2 b 3)T a3(1 2 1)T a4(2 3 1)T因为而R(a1a2a3a4)2 所以a2 b516 设a1a2a n是一组n维向量已知n维单位坐标向量e1e2e n能由它们线性表示证明a1a2a n线性无关证法一记A(a1a2a n) E(e1e2e n) 由已知条件知存在矩阵K使EAK两边取行列式得|E||A||K|可见|A|0 所以R(A)n从而a1a2a n线性无关证法二因为e1e2e n能由a1a2a n线性表示所以R(e1e2e n)R(a1a2a n)而R(e1e2e n)n R(a1a2a n)n所以R(a1a2a n)n从而a1a2a n线性无关17 设a1a2a n是一组n维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示证明必要性设a为任一n维向量因为a1a2a n线性无关而a1a2a n a 是n1个n维向量是线性相关的所以a能由a1a2a n线性表示且表示式是唯一的充分性已知任一n维向量都可由a1a2a n线性表示故单位坐标向量组e1 e2e n能由a1a2a n线性表示于是有nR(e1e2e n)R(a1a2a n)n即R(a1a2a n)n所以a1a2a n线性无关18 设向量组a1a2a m线性相关且a10证明存在某个向量a k (2km) 使a k能由a1a2a k1线性表示证明因为a1a2a m线性相关所以存在不全为零的数12m使a12a2m a m01而且23m不全为零这是因为如若不然则1a10由a10知10 矛盾因此存在k(2km) 使0 k1k2m0k于是a12a2k a k01a k(1/k)(1a12a2k1a k1)即a k能由a1a2a k1线性表示19 设向量组B b1b r能由向量组A a1a s线性表示为(b1b r)(a1a s)K其中K为sr矩阵且A组线性无关证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)r证明　令B(b1b r) A(a1a s) 则有BAK必要性设向量组B线性无关由向量组B线性无关及矩阵秩的性质有rR(B)R(AK)min{R(A) R(K)}R(K)及R(K)min{r s}r因此R(K)r充分性因为R(K)r所以存在可逆矩阵C使为K的标准形于是(b1b r)C( a1a s)KC(a1a r)因为C可逆所以R(b1b r)R(a1a r)r从而b1b r线性无关20 设证明向量组12n与向量组12n等价证明将已知关系写成将上式记为BAK因为所以K可逆故有ABK1由BAK和ABK1可知向量组12n与向量组12n可相互线性表示因此向量组12n与向量组12n等价21 已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x3A x A2x且向量组x A x A2x线性无关(1)记P(x A x A2x) 求3阶矩阵B使APPB解因为APA(x A x A2x)(A x A2x A3x)(A x A2x 3A x A2x)所以(2)求|A|解由A3x3A x A2x得A(3x A x A2x)0因为x A x A2x线性无关故3x A x A2x0即方程A x0有非零解所以R(A)3 |A|0（从22题开始，凡涉及到基础解系问题的，答案都不是唯一的，可以参考本文答案，也可以看书后的答案，不过以书后的答案为主。

《线性代数》单元自测题答案第四章 线性方程组一、填空题：1、1-=a ；2、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321011k ；3、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--32012011k （k 为常数）. 二、选择题：1、C ；2、B ；3、C 。

三、计算题：1、求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=+++054202320322432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系，并用基础解系表示它的全部解。

解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00005100130212510051003221215422321322123211312r r r r r r r r同解方程组为⎩⎨⎧=-=++05013243421x x x x x ，即⎩⎨⎧=--=434215132x x x x x 。

取⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛10,0142x x ，则方程组的基础解系为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00121α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=150132α， 所以，方程组的全部解是2211ααk k +（21,k k 是任意常数）。

2、求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-+-=-+-=+--04112210234432134321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解。

解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=225006615002250011311240411221023443121111311),(141312 r r r r r r b A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+-00000000005252100113115100000000002250011311322423 r r r r r⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+0000000000525210051151011321r r原方程组的同解方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=-=--52525115143421x x x x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧+=++=43421525251511x x x x x 。

《线性代数（经管类）》第四章线性方程组✧考情提要✧逐题击破一、选择题1.设有非齐次线性方程组Ax=b，其中A为mn矩阵，且r（A）=r1，r（A，b）=r2，则下列结论中正确的是（）A.若r1=m，则Ax=0有非零解B.若r1=n，则Ax=0仅有零解C.若r2=m，则Ax=b有无穷多解D.若r2=n，则Ax=b有唯一解2.设A为3阶矩阵，且r(A)=2，若1α，2α为齐次线性方程组Ax=0的两个不同的解。

k为任意常数，则方程组Ax=0的通解为（）A.k1α B.k2αC.12k2α+αD.12k2α-α3.设A为m×n矩阵，A的秩为r，则（）A.r=m时，Ax=0必有非零解B.r=n时，Ax=0必有非零解C.r<m时，Ax=0必有非零解D.r<n时，Ax=0必有非零解4.设A=111221223132a aa aa a⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭，b=123bbb⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭，若非齐次线性方程组Ax=b有解，则增广矩阵A的行列式A=____。

5.齐次线性方程组x1+x2+x3=0的基础解系中所含解向量的个数为____。

6.4元齐次线性方程组2341231242030x x xx x xx x x--=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩的基础解析所含解向量的个数（）A.1B.2C.3D.47.设1α、2α是非齐次方程组Ax =b 的解，β是对应齐次方程组的解，则Ax =b 一定有一个解是（ ） A.1α+2α B.1α-2αC.β+1α+2αD.121233+-ααβ 8.齐次方程x 1+x 2-x 3=0的基础解系所含向量个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.39.设1α，2α是非齐次线性方程组Ax =b 的两个解向量，则下列向量中为方程组解的是（ ）A.1α-2αB.1α+2αC.121α+2αD.121α+122α10.齐次线性方程组134234020x x x x x x ++=⎧⎨-+=⎩的基础解系所含解向量的个数为（ ）A.1B.2C.3D.411.设A 为m ×n 矩阵，且m ＜n ，则齐次方程AX=0必（ ） A.无解 B.只有唯一解 C ．有无穷解 D.不能确定 12.齐次线性方程组123234230+= 0x x x x x x ++=⎧⎨--⎩的基础解系所含解向量的个数为（ ）A.1B.2C.3D.413.设4阶矩阵A 的秩为3，12ηη，为非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，c 为任意常数，则该方程组的通解为（ ） A.1212cηηη-+ B. 1212c ηηη-+C.1212c ηηη++D.1212c ηηη++二、填空题14.设3元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵（A ，b ）经初级等行变换可化为（A ，b ）→1031011200(k 1)(k 2)1k -⎛⎫ ⎪- ⎪⎪-+-⎝⎭若该方程组无解，则数k=____。

《线性方程组》单元测试题(含答案)线性方程组单元测试题（含答案）题目一给定以下线性方程组：- $2x + 3y = 7$- $4x - 2y = 1$求解该方程组。

答案一为了求解该线性方程组，我们可以使用消元法。

在第一个方程中，让我们需要消去x的系数，因此让我们将第一个方程乘以2得到$4x + 6y = 14$。

然后，我们可以将第二个方程减去得到：$(4x + 6y) - (4x - 2y) = 14 - 1$。

简化后得到：$8y = 13$。

解方程$8y = 13$，我们得到$y = \frac{13}{8}$。

将其代入第一个方程中，我们可以解出x：$2x + 3(\frac{13}{8}) = 7$。

简化后得到：$2x + \frac{39}{8} = 7$。

进一步简化，我们得到$2x =\frac{7}{8}$，解得$x = \frac{7}{16}$。

因此，该线性方程组的解为：$x = \frac{7}{16}$，$y =\frac{13}{8}$。

题目二给定以下线性方程组：- $3x - 2y = 5$- $5x + 4y = 7$求解该方程组。

答案二同样使用消元法来求解该线性方程组。

首先，我们可以通过乘以3和乘以5来消除x的系数。

将第一个方程乘以3得到$9x - 6y = 15$，将第二个方程乘以5得到$25x + 20y = 35$。

然后，我们将第一个方程乘以5和第二个方程乘以3相减，得到的方程组为：$(45x + 15y) - (25x + 20y) = 105 - 75$。

简化后得到$20x - 5y = 30$。

解方程$20x - 5y = 30$，我们可以得到$y = 4 - 4x$。

将其代入第一个方程中，我们可以解出x：$3x - 2(4 - 4x) = 5$。

简化后得到$3x - 8 + 8x = 5$，进一步简化得到$11x - 8 = 5$。

解得$x =\frac{13}{11}$。

第四章 向量组的线性相关性4.4.1 基础练习1. 设有n 维向量组12m ⋅⋅⋅ααα，，,与⋅⋅⋅12m ββ,β，，若存在两组不全为零的数 12m λλλ⋅⋅⋅，，,和12k k k m ⋅⋅⋅，，,使11111m m m k k k k 0m m m λλλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅1ααββ（＋）＋＋（＋）＋（－）＋＋（－）＝则（ ）（A ）12m ⋅⋅⋅ααα，，,和⋅⋅⋅12m ββ,β，，都线性相关 (B) 12m ⋅⋅⋅ααα，，,和⋅⋅⋅12m ββ,β，，都线性无关(C) 1m m 1m m ⋅⋅⋅⋅⋅⋅11αβαβαβαβ＋，，＋，－，，－线性无关 (D) 1m m 1m m ⋅⋅⋅⋅⋅⋅11αβαβαβαβ＋，，＋，－，，－线性相关 2. 设12s ⋅⋅⋅ααα，，,与t ⋅⋅⋅12ββ,β，，为两个n 维向量组，且12s t ()()r R R ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=12αααββ,β，，,，，，则（ ）（A ）当s t =时，两向量组等价； （B ）两向量组等价； （C ）12s t ()r R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅12αααββ,β，，,，，，＝；（D ）当向量组12s ⋅⋅⋅ααα，，,被向量组t ⋅⋅⋅12ββ,β，，线性表示时，两个向量组等价. 3. 设A 是4阶方阵，且0A ＝，则A 中（ ） (A) 必有一列元素全为零； （B ）必有两列元素成比例； (C)必有一列向量是其余列向量的线性组合； （D ）任一列向量是其余列向量的线性组合. 4. 设A 是矩阵，B 是矩阵，则( )（A ）当m n >时，必有0≠AB ； （B ）当m n >时，必有0AB ＝ （C ）当m n <时，必有0≠AB ； （D ）当m n <时，必有0AB ＝5. 设向量组231ααα，，线性无关，向量1β可由231ααα，，线性表示，而向量2β不能由231ααα，，线性表示，则对于任意常数k ，必有（ ）（A ）232k 11αααββ，，，＋线性无关；（B ）232k 11αααββ，，，＋线性相关； （C ）232k 11αααββ，，，＋线性无关；（D ）232k 11αααββ，，，＋线性相关.6. 设有向量组1α＝(1,-1,2,4)，2α＝(0,3,1,2)，3α＝(3,0,7,14)，4α＝(1,-2,2,0)与5α＝(2,1,5,10)，则向量组的极大线性无关组是（ ）（A ）231ααα，，； (B) 241ααα，，； (C) 251ααα，，； (D) 2451αααα，，，.7. 设有向量组(,0,)(,,0)(0,,)a c b c a b 123ααα＝,＝,＝线性无关，则a ，b ，c 必须满足关系式 .8.向量组(1,2,3,4)(2,3,4,5)(3,4,5,6)(4,5,6,7)1234αααα＝,＝,＝,＝的秩等于 . 9. 已知向量组23(1,2,-1,1)(2,0,,0),(0,-4,5,-2)t 1ααα＝,＝＝的秩为2，则t ＝ .10. 设矩阵122212304⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A －＝，向量(,1,1)T a α＝，已知A α与α线性无关，则a ＝ .11. 向量空间{}V ∈=x=(x,2x,y)|x,y R 的维数是 ，它的基2________,________.=1αα＝向量 ()α＝3,6,-4 在基21αα,下的坐标是 . 12. 设有向量组 123(2,4,7);(3,2,5);(5,6,);(1,3,5)k ====αααβ，当k 为何值时， β能由123ααα,,线性表示？ 13. 设有向量组12345(2,1,5,3);(1,1,2,1);(0,3,1,1);(1,2,3,2);(1,1,2,8)==-===---ααααα求向量组的秩和它的一个极大线性无关组. 14. 设有向量组 123(111);(111);(111);(121)==-=-=αααβ，，，，，，，，，试把β表为123ααα,,的线性组合.15. 求方程组12345123451234512345x -2x +x +x -x 02x +x -x -x +x 0x +7x -5x -5x +5x 03x -x -2x +x -x 0=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩的基础解系和通解.16. 求方程组1234234124234x -2x +3x -4x 4x -x +x 3x -3x -3x 1-7x +3x +x 3=⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=-⎩的通解.4.4.2 提高练习1. 已知 123(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1)T T Ta ===-+ααα 4(1,2,4,8),(1,1,3,5)T T ab =+=+αβ（1）a ,b 为何值时，β不能表示为1234,,,αααα的线性组合；（2）a ,b 为何值时，β有1234,,,αααα的唯一线性表示，并写出该表达式.2. 设向量12,,,r ααα 线性相关，而其中任何r -1个向量线性无关，证明存在不全为零的数12,,,r k k k 使110r r k k ++=αα .3. 设123,,ααα线性无关，证明 1123223312322,,23=-+=-=-+βαααβααβααα 线性无关.4. 验证向量123(1,1,0),(2,1,3),(3,1,2)T T T =-==ααα是3R 的一个基，并分别将向量12(5,0,7),(9,8,13)T T ==---ββ用这个基表示.5. 已知3R 的两个基123123333536:1,1,1;:3,1,422211312⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=====-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A αααB βββ，求基A 到基B 的过渡矩阵C . 6. 设由向量()1230,1,2,(1,3,5),(2,1,0)===ααα生成的向量空间为V 1，由向量()121,2,3,(1,0,1)==-ββ生成的向量空间为V 2，试证V 1= V 2.7. 设4R 的3个基分别为12341234110000100(1):,,,;0010000120100101(2):,,,;1012010021(3):01⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛=e e e e εεεεη234021113,,,.211222-⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ηηη1) 求由基（2）到基（1）的过渡矩阵； 2) 求向量123=++αe e e 在基（2）下的坐标； 3) 求向量134323=+-βεεε在基（1）下的坐标； 4) 求由基（2）到基（3）的过渡矩阵.8. 设m 个n 维向量12,,,n ααα 线性无关，P 为n 阶方阵，证明：向量组12,,,n P αPαPα 线性无关的充要条件是0≠P .9. 已知向量组（1）：1230a b121110⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭βββ＝，＝，＝，向量组（2）：123⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα139＝2，＝0，＝6－31－7具有相同的秩，且3β可由向量组（2）线性表示，求a ，b 的值.10. 已知3阶方阵A 与3维向量x ，使得向量组2x,Ax,A x 线性无关，且满足332=-2A x Ax A x ；1) 记(),,=2P x Ax A x ，求3阶方阵B ，使1-A =PBP ;2） 计算行列式+A I .11. 讨论并求解方程组 12312321231x x x x x x x x x λλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩.12. 设有3维列向量 2321110111111λλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1αααβ＋＝，＝＋，＝，＝＋问λ取何值时，（1）β可由231ααα，，线性表示，且表达式唯一？ （2）β可由231ααα，，线性表示，但表达式不唯一？ （3）β不能由231ααα，，线性表示？13. k 为何值时，线性方程组 1232123123424x x kx x x x k x x x +=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩＋k有唯一解、无解、有无穷个解？在有解时求出其全部解. 14． 已知234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8),(1,1,3,5).a a b ===-+=+=+1ααααβ（1）a 、b 为何值时，β不能表示为234,1αααα，，的线性组合？（2）a 、b 为何值时，β可表示为234,1αααα，，的线性组合？并写出该表示式. 15. 已知下列线性方程组1234124123413412334526(1)41;(2)2113321x mx x x x x x x x x x nx x x x x x x x t +--=-+-=-⎧⎧⎪⎪---=--=-⎨⎨⎪⎪--=-=-+⎩⎩(1) 求出方程组(1)的通解;(2) 当(2)中的参数m 、n 、t 为何值时，方程组(1)与(2)同解？第四章参考解答4.4.1 基础练习：1. （D ）提示：由题设知，1122211222m m m m mk k k λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅+11αβαβαβαβαβαβ（+）+（+）++（+）+（-）+（-）+（-）=m 0又知12m 12m k k k λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，，，，不全为零，122122m m m m ⋅⋅⋅⋅⋅⋅11αβαβαβαβαβαβ＋，＋，，＋，-，-，，-线性相关.2.（D ）提示：设向量组12s ⋅⋅⋅αααA ：，，,：向量组t B ⋅⋅⋅12ββ,β：，，⎛⎫⎛⎫=→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A O CB B （因向量组A 可被向量组B 表示），则()()()R R R r ===A B C ， 所以A B ，故选（D ）3.（C ）提示：因0A ＝，则()4R <A ，A 经初等列变换化为阶梯阵B ，B 必有零列，该列就是其余列的线性组合.4.（B ）提示：m n >时，n m ≤<A R ()，又≤AB A R ()R ()，则AB R ()<m ，AB 为降阶方阵，所以0AB ＝.5.（A ）提示：1β由可由231ααα，，线性表示知12233λλλ11βααα＝＋＋，那么42233()2233122r k r r r K λλλβββ-++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1111ααααA B αα 又231ααα，，线性无关，且2β不能由231ααα，，线性表示，则A B R ()=R ()=4，即2312k +1αααββ，，，线性无关.这个结论肯定了（A ）而排除了（B ）,对条件（C ）,取k =0即与题设矛盾，可排除. 对于（D ）,取k =1时与（A ）中k =1相同，已知（A ）正确，从而否定（D ）. 6.（B ）7. 0abc ≠.提示：231ααα，，线性无关230⇔≠1ααα，，，即0000a cbc a b≠，由此求得0abc ≠.8. 向量组的秩为2. 提示：因为23412341234123423450123012334560246000045670369000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1αααα－－－－－－＝－－－－－－ 9. t =3. 提示：2312111211121120t 004t 2204t 2204520452003t 0⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1ααα－－－＝－＋－－＋－－－－－－向量组的秩为22t ⇔＝ 10. a ＝－1. 提示：1221a 21212a 3,2a 312a 2130413a 43a 413a 31⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A αAααB －aa 0a ＝＝＋（，）＝＋＋＋＋＋a =-1时，010101R ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B A ααB －＝，（，）＝R ()=1<2（向量个数），则A α与α线性相关.11. V 的维数是2，它的基()()21αα＝1,2,0,＝0,0,1.向量α的坐标是（3，－4）.提示：对V 中任意向量()()(),2,x x y x y x ==1,2,0+0,0,1，向量()(),1,2,00,0,1线性无关. 12. 12k ≠. 13. 秩为3，125ααα,,是它的一个极大线性无关组. 14. 12331022βααα ＝＋－. 15. 基础解系为(0,0,0,1,1)T=ξ，通解为(0,0,0,,)Tk k k ==x ξ（k 为任意常数）. 16. (8,0,0,3)T=--x4.4.2 提高练习：1. 解 设有数1234,,,x x x x ，使11223344x x x x +++=ααααβ即 123411111111110112101121,(,)232430010351850010x x x a b a b x a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪==→ ⎪ ⎪ ⎪⎪+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭B A β （1）当a ＝－1，b 时，方程组无解，此时β不能表示为1234,,,αααα的线性组合； （2）当a ＝－1，b 时，方程组有唯一的解，此时β有1234,,,αααα的唯一线性表示，求解线性方程组12342344321341234121b ,0,,(1)(1)0b 0x x x x x x x x x x x a x b a x +++=⎧⎪-+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩+++βααααa+b+1-2b 解出＝，＝＝＝a+1a+1a+1-2b a+b+1＝a+1a+1a+1.2. 解： 反证法：若110r r k k ++=αα 至少有一个0i k =，那么11111100i i i i r r k k k k --++++++==αααα ，由于r -1个向量是线性无关的，必有1110i i r k k k k -+====== ，这样，12,,,r ααα 线性无关，与假设矛盾. 3. 提示：利用过渡矩阵可逆.4. 提示：1231210023(,,,,)010*******⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭αααββ初等变换123,,ααα与123,,e e e 等价，则123,,ααα是3R 的一个基，并且1123212333+βαααβααα＝2－，＝3－－2. 5. ()()1123123312,,,,111203-⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭C αααβββ6. 提示：只需证()()R R R ⎛⎫== ⎪⎝⎭A AB B ， 01212313501221000012300010100⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A CB ,所以()()2R R R ⎛⎫===⎪⎝⎭A AB B ，A B ,由此V 1= V 2. 7. 解：()12341234(,,,),,,=e e e e εεεεC1）()1123412120001,,,14240101-----⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭C εεεε; 2）设α在基（2）下的坐标为1234,,,l l l l ，已知α在基（1）下的坐标为()()1234,,,1,1,1,0k k k k =-，根据坐标变换公式11223344121210000110142411010101l k l k l k l k ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 所以α在基（2）下的坐标为0，0，-1，1. 3) 13432=+-βεεε在基（1）下的坐标112213344121238000101142423010110k l k l k l k l ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 所以，β在基（1）下的坐标是-8，1，3，0.4）设由基（2）到基（3）的过渡矩阵为Q ，它可以认为是由基（2）到基（1）（过渡矩阵C ），再由基(1)到基(3)的变换，设由基(1)到基(3)的过渡矩阵为G ，则()()12341234,,,,,,==ηηηηe e e e G G ，于是由基(2)到基(3)的过渡矩阵为()12341212202168512000111131222,,,1424021110161223010112222335---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪==== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q CG C ηηηη.8. 提示：已知12,,,n ααα 线性无关，则1212120,0n n n ≠=≠αααP αααPαPαPα ，所以0≠P9. 提示：()123⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭ααα139,,012000，则()1232R =ααα,,且12αα,为一个最大无关组 ()1231211013003a b ⎛⎫⎪ ⎪⎪→ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭βββ,,，因()123123(,,)2R R ==βββααα,,，则03a b -=， 即3a b =，又3β可由向量组（2）线性表示，即可由最大无关组12αα,线性表示，那么1231313020106122103100103b bb b b===--=--ααβ，则5,15b a ==.10. 提示： 1)()()()2322232000103012==-⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭AP Ax A x A x Ax A x Ax A x x Ax A x PB， 故000103012⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B2) 由111,---+=+A =PBP A I PBP PP ，所以 101134011+=+==--A I B I11. 提示： 2222231111111011110021λλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=→--- ⎪ ⎪⎪ ⎪--+--⎝⎭⎝⎭B（1）有唯一解21λ⇔≠－，，这时唯一解为 ()2111,,222x x x λλλλλ++=-==+++123. （2） 2λ=－时无解.（3） 1λ＝有无穷多解，这时通解为 12111010001k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x ＝（k 1，k 2为任意常数）.12.提示：（1）β可由123ααα，，线性表示()123⇔=αααx β，，有唯一解0λ⇔≠，且11 3λ≠－； （2）β可由123ααα，，线性表示，但表达式不唯一()123⇔=αααx β，，有无穷多解0λ⇔＝；（3）β不能由123ααα，，线性表示()123⇔=αααx β，，无解3λ⇔＝－13. 提示：（1）1,4k ≠-时，有唯一解 221232242,,111k k k k k x x x k k k+++-===+++； （2）k ＝1时，无解；（3） k =4时有无穷多解，全部解为 034101k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x （k 为任意常数）.14. 提示：设234(,,,)=1A αααα，则本题是要求a 、b 为何值时，=Ax β有解和无解.（1）1a =-且0b ≠时，β不能由1234αααα，，，线性表示 ；（2）1a ≠- 时，β可由1234αααα，，，唯一线性表示 1234b 1011a b b a a +++++++βαααα－2＝a+1； 当1a =-且0b =时，β可由1234αααα，，，线性表示为1234(12)++-++βαααα121212＝(-2c +c )c c c c （,12c c 为任意常数）15. 提示：先求出（1）的解，然后代入（2），定出m 、n 和t 的值1）(2,4,5,0)(1,1,2,1)T T k =---+x ； 2） 将(2,4,5,0)T---代入（2），得关于m 、n 和t 的线性方程组 2455451151m n t --+=-⎧⎪-+=-⎨⎪-=-+⎩解之得2,4,6m n t ===当2,4,6m n t ===时，（2）的系数矩阵的秩等于（1）的系数矩阵的秩，都是2，则基础解系含一个向量，可由验证（1）的基础解系()T1,1,2,1也是（2）的基础解系. 所以（1）与（2）是同解方程组.。

习题四答案(A)1． 求下列矩阵的特征值与特征向量:(1) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3113 (2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---122212221 (3) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----020212022 (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--201034011 (5) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--011102124 (6)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----533242111 解 （1）矩阵A 的特征多项式为=-A E λ)4)(2(3113--=--λλλλ，所以A 的特征值为4,221==λλ．对于21=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )2(O ，可得它的一个基础解系为)1,1(1=αT ，所以A 的属于特征值2的全部特征向量为)1,1(111k k =αT (01≠k 为任意常数)．对于42=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )4(O ，可得它的一个基础解系为)1,1(2-=αT ，所以A 的属于特征值4的全部特征向量为)1,1(222-=k k αT(02≠k 为任意常数)．（2）矩阵A 的特征多项式为=-A E λ)3)(1)(1(122212221--+=------λλλλλλ， 所以A 的特征值为11-=λ，12=λ，33=λ．对于11-=λ，解对应齐次线性方程组=--X A E )(O ，可得它的一个基础解系为)0,1,1(1-=αT ，所以A 的属于特征值-1的全部特征向量为)0,1,1(111-=k k αT (01≠k 为任意常数)．对于12=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )(O ，可得它的一个基础解系为)1,1,1(2-=αT ，所以A 的属于特征值1的全部特征向量为)1,1,1(222-=k k αT (02≠k 为任意常数)．对于33=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )3(O ，可得它的一个基础解系为)1,1,0(3-=αT ，所以A 的属于特征值3的全部特征向量为)1,1,0(333-=k k αT (03≠k 为任意常数)．(3) 矩阵A 的特征多项式为=-A E λ)4)(1)(2(2021222--+=--λλλλλλ， 所以A 的特征值为11=λ，42=λ，23-=λ．对于11=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )(O ，可得它的一个基础解系为)2,1,2(1-=αT ，所以A 的属于特征值1的全部特征向量为)2,1,2(111-=k k αT (01≠k 为任意常数)．对于42=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )4(O ，可得它的一个基础解系为)1,2,2(2-=αT ，所以A 的属于特征值4的全部特征向量为)1,2,2(222-=k k αT (02≠k 为任意常数)．对于23-=λ，解对应齐次线性方程组=--X A E )2(O ，可得它的一个基础解系为)2,2,1(3=αT ，所以A 的属于特征值-2的全部特征向量为)2,2,1(333k k =αT (03≠k 为任意常数)．(4)矩阵A 的特征多项式为=-A E λ)3()1(212123242--=------λλλλλ， 所以A 的特征值为12,1=λ（二重），23=λ．对于12,1=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )(O ，可得它的一个基础解系为)1,2,1(1-=αT ，所以A 的属于特征值1的全部特征向量为)1,2,1(111-=k k αT (01≠k 为任意常数)．对于23=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )2(O ，可得它的一个基础解系为)1,0,0(2=αT ，所以A 的属于特征值2的全部特征向量为)1,0,0(222k k =αT (02≠k 为任意常数)．(5)矩阵A 的特征多项式为=-A E λ2)2(11132124-=------λλλλλ， 所以A 的特征值为01=λ，23,2=λ（二重）．对于01=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )0(O ，可得它的一个基础解系为)2,1,1(1--=αT ，所以A 的属于特征值0的全部特征向量为)2,1,1(111--=k k αT (01≠k 为任意常数)．对于23,2=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )2(O ，可得它的一个基础解系为)0,1,1(2-=αT ，所以A 的属于特征值2的全部特征向量为22αk )0,1,1(2-=k T (02≠k 为任意常数)．(6)矩阵A 的特征多项式为=-A E λ)3()1(212123242--=------λλλλλ， 所以A 的特征值为61=λ，23,2=λ（二重）．对于61=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )6(O ，可得它的一个基础解系为)3,2,1(1-=αT ，所以A 的属于特征值6的全部特征向量为)3,2,1(111-=k k αT (01≠k 为任意常数)．对于23,2=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )2(O ，可得它的一个基础解系为)0,1,1(2-=αT ，)1,0,1(3=αT ，所以A 的属于特征值2的全部特征向量为3322ααk k +)0,1,1(2-=k T )1,0,1(3k +T (32,k k 为不全为零的任意常数)．2． 设A 为n 阶矩阵， (1) 若O A ≠，且存在正整数k ，使得O A k=(A 称为幂零矩阵)，证明:A 的特征值全为零；(2) 若A 满足A A =2(A 称为幂等矩阵)，证明:A 的特征值只能是0或1；(3) 若A 满足E A =2(A 称为周期矩阵)，证明:A 的特征值只能是1或1-． 证明：设矩阵A 的特征值为λ，对应的特征向量为α，即λαα=A .（1）因αλαk k A =，而,O A k=故O k =αλ.又因O ≠α，故0=k λ，得.0=λ（2）因αλα22=A ，而,2A A =故αλααλα22===A A ，即.)(2O =-αλλ又因O ≠α，故02=-λλ，得0=λ或1.（3）同（2）可得αλααα22===A A ，即.)1(2O =-αλ又因O ≠α，故012=-λ，得1=λ或1-.3． 设21,αα分别为n 阶矩阵A 的属于不同特征值1λ和2λ的特征向量，证明:21αα+不是A 的特征向量．证明：反证法.若21αα+是A 的特征向量，相应的特征值为λ，则有)()(2121ααλαα+=+A ，即2121λαλααα+=+A A .又因21,αα分别为矩阵A 的属于特征值1λ和2λ的特征向量，即111αλα=A ，222αλα=A ，则2121λαλαλαλα+=+，即O =-+-2211)()(αλλαλλ.因21,αα是矩阵A 的属于不同特征值的特征向量,故21,αα线性无关，于是可得0,021=-=-λλλλ，即21λλλ==，矛盾.4． 证明定理4.4.若λ是n 阶矩阵A 的特征值，则(1)设m m x a x a a x f +++= 10)(，则)(λf 是)(A f 的特征值，其中m m A a A a E a A f +++= 10)()(N m ∈；(2)若A 可逆，则0≠λ，且λ1是1-A 的特征值，λ||A 是A 的伴随矩阵*A 的特征值． 证明：设矩阵A 属于特征值λ的特征向量为α，即λαα=A .（1）因αλαλλαλλαααααα)()()(101010f a a a a a a A a A a a A f m m m m m m =+++=+++=+++=故)(λf 是)(A f 的特征值. （2）因A 可逆，故0||≠A .而||A 为A 的特征值之积，故A 的特征值0≠λ.用1-A 左乘λαα=A 两端得αλλααα111---===A A A A .因0≠λ，故αλα11=-A ，即λ1是1-A 的特征值. 因1*||-=A A A ，故λ||A 是A 的伴随矩阵*A 的特征值．5． 证明:矩阵A 可逆的充分必要条件是A 的特征值全不等于零．证明：因矩阵A 可逆，故0||≠A .由n n A λλλλ,,(||11 =是A 的全部特征值）得01≠n λλ ，故),,1(0n i i =≠λ.6． 已知三阶矩阵A 的特征值为1，2，3，求*12,,3A A E A A -++的特征值． 解：由矩阵的特征值的性质得 A A 32+的特征值为41312=⨯+，102322=⨯+，183332=⨯+；1-+A E 的特征值为34311,23211,2111=+=+=+； 因6321||=⨯⨯=A *A 的特征值为236,326,616===. 7． A 是三阶矩阵，已知0|3|,0|2|,0||=-=-=+A E A E A E ，求|4|A E +．解：因,0||)1(||3=+-=--A E A E 0|3|,0|2|=-=-A E A E ，故三阶矩阵A 的全部特征值为－1，2， 3.因此A E +4的特征值为,734,624,3)1(4=+=+=-+于是126763|4|=⨯⨯=+A E .8． 已知向量)1,,1(k =αT 是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=211121112A 的逆矩阵1-A 的特征向量，求常数k 的值．解：因α是1-A 的特征向量，故也是A 的特征向量.设对应的特征值为λ，于是由λαα=A 可得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++λλλ2112112k k k k ，解得2-=k 或1=k .9． 证明:如果矩阵A 可逆，则BA AB ~．证明：因BA BA A A A AB A ==--))(()(11，且A 可逆，则BA AB ~．10． 如果B A ~，证明：存在可逆矩阵P ，使得BP AP ~．证明：因B A ~，故存在可逆矩阵P ，使得AP P B 1-=.将上式两端右乘，P 得P AP P AP P BP )(11--==，即BP AP ~. 11． 如果B A ~，D C ~，证明:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D O O B C O O A ~． 证明：因B A ~，D C ~，故存在可逆矩阵Q P ,，使得CQ Q D AP P B 11,--==.于是有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---D O O B Q O O P C O O A Q O O P Q O O P C O O A Q O O P 111.而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Q O O P 可逆，故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D O O B C O O A ~. 12． 已知A 为二阶矩阵，且0||<A ，证明:存在可逆矩阵P ，使得AP P 1-为对角矩阵．证明：A 为二阶矩阵，且0||<A ，故A 必有两个不等特征值，因此必存在可逆矩阵P ，使得AP P 1-为对角矩阵．13． 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x A 14020112与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21y B 相似，求(1) 常数x 和y 的值；(2) 可逆矩阵P ，使得B AP P =-1．解：（1）因B A ~，故B A 与有相同的特征值.而B 的特征值为2,,1y -，故－1，2也是A 的特征值.而=-A E λ]42)2()[2(140201122+--+-=-----+x x xλλλλλλ. 将1-=λ代入上式中得3=x .于是可得)1()2(2+-=-λλλA E ，故有A 的特征值为2,2,1-，因此2=y .（2）由（1）知A 的特征值为11-=λ，23,2=λ（二重）．对应11-=λ的无关特征向量为)1,0,1(1=αT ，对应23,2=λ的无关特征向量为)0,4,1(2=αT ，)4,0,1(3=αT ，令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=401040111P ，则P 可逆，且B AP P =-1.14． 设三阶矩阵A 的特征值为1， 2， 3， 对应的特征向量分别为)1,1,1(T ，)1,0,1(T ，)1,1,0(T ，求(1)A ；(2)n A ．解：（1）令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111101011P ，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3211AP P .而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-1011101111P 则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-4122121113211P P A . （2）因⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-3211ΛAP P ，所以1-=P P A Λ，故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-1011101113211111010111n nn n P P A Λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+------=13221311313112211n n n n n n n n. 15． 判断第1题中各矩阵是否可以对角化?若可以对角化，求出可逆矩阵P ，使得AP P 1-为对角阵．解：由第1题结果知 (1) 可以对角化， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111P ；(2) 可以对角化， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=110111011P ；(3) 可以对角化， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=212221122P ； (4) (5) 不可以对角化；(6) 可以对角化， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=103012111P ．16．证明正交矩阵的实特征值只能是1或1-．证明：设A 为正交矩阵，则AA T E A A T ==.设矩阵A 的特征值为λ，对应的特征向量为α，即λαα=A .将上式两端取转置得TT T A λαα=.将上面两式左右相乘得ααλααT T T A A 2=，即ααλααT T 2=.而ααT 为非零常数，故1,12±==λλ.17． 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111111111A ，求正交矩阵P ，使得AP P 1-为对角阵．解：矩阵A 的特征多项式为=-A E λ)3(1111111112-=---------λλλλλ， 所以A 的特征值为02,1=λ（二重），33=λ．对于02,1=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )0(O ，可得它的一个基础解系为)0,1,1(1-=αT ，)1,0,1(2-=αT ．将其正交化，取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0111β，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=1212101121101),(),(1111222ββββααβ， 再单位化，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==366666,02222222111ββγββγ； 对于33=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )3(O ，可得它的一个基础解系为)1,1,1(3=αT．将其单位化，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==333333333ααγ． 令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=33360336622336622P ，则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-3001ΛAP P ．18． 设三阶实对称矩阵A 的特征值为1,23,21=-=λλ， 属于1λ的特征向量为)1,1,0(1=αT，求属于3,2λ的特征向量及矩阵A ．解：设属于13,2=λ的无关特征向量为32,αα.因A 是实对称矩阵，故123,21=-=λλ的特征向量与的特征向量必正交，于是⎪⎩⎪⎨⎧==03121ααααTT ， 即32,αα是齐次线性方程组O X T=1α的两个线性无关解向量.求得上述方程组的基础解系为)0,0,1(T ，)1,1,0(-T，故取)0,0,1(1=αT，)1,1,0(2-=αT，因此属于13,2=λ的全部特征向量为)0,0,1(1k T)1,1,0(2-+k T(21,k k 不全为零)；令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=101101010P ，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-1121ΛAP P . 而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-21210011212101P ，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----==-21230232100011P P A Λ． (B)1． 设n 阶矩阵A 的各行元素之和为常数a ，证明:a =λ是矩阵A 的一个特征值，)1,,1,1( T是对应的特征向量．证明：设n n ij a A ⨯=)(，其中T nj ija a)1,,1,1(,1==∑=α.由ααa a a a a a a A T nj nj nj j nj j ===∑∑∑===),,,(),,,(11211知a =λ是矩阵A 的一个特征值，)1,,1,1( =αT 是对应的特征向量．2． 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n b b b a a a 2121,βα都是非零向量，且0=βαT，记αβ=A T ，求(1)2A ；(2)A 的特征值与特征向量．解：（1）由0=βαT得0)(==TTTβααβ，于是O A T T T T ===βαβααβαβ)())((2.（2）由A 组第2题（1）知A 的特征值为0.求A 的特征向量.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==n n n n n n T b a b a b a b a b a b a b a b a b a A 212221212111αβ，因βα,都是非零向量，故必存在某个i a 和j b 不为零，因此A 中元素0≠j i b a ，不妨设011≠b a .将A 做初等行变换得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000021n b b b ，即1)(=A r ，故齐次线性方程组O AX =-的基础解系含有1-n 个解向量.令T n x x x ),,,(21 为T b )0,,0,(1 ，T b )0,,,0(1 ，T b ),,0,0(,1 ，得T b b )0,,0,,(121 -=α，T b b )0,,,0,(132 -=α，T n n b b ),,0,0,(,11 -=-α，于是所求特征向量为T n n b b k k k k )0,,0,,(121112211 -=+++--αααT b b k )0,,,0,(132 -+T n n b b k ),,0,0,(111 ---++，121,,,(-n k k k 不全为零）.3． 已知三阶矩阵A 的特征值为2， 3， 4， 对应的特征向量分别为)1,2,1(1-=αT ，)2,1,2(2-=αT ，)2,3,3(3-=αT ．令向量=β)6,5,4(T ，（1）将β用321ααα，，线性表示；（2）求βnA (n 为正整数)．解：（1）由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=210030104001622153124321),,,(321βααα得321234αααβ++=.（2）321321234)234(ααααααβnn n n n A A A A A ++=++=332211234αλαλαλnn n ++=,2332,23322(12131212++++++⨯-+⨯+⨯-=n n n n n n)23222212++++⨯+-n n n T ．4． 设A 为三阶实对称矩阵，2)(=A r ，且满足条件O A A =+232，求矩阵A 的全部特征值．解：设矩阵A 的特征值为λ，则由O A A =+232得0223=+λλ，故0=λ或2-=λ.因A 为三阶实对称矩阵，故A 必与某三阶对角矩阵Λ相似.因2)(=A r ，故2)(=Λr ，所以Λ的对角线元素有两个－２和一个0.因此A 的全部特征值为22,1-=λ（二重），03=λ．5． 设四阶矩阵A 满足AAA E ,0|2|=+T0||,2<=A E ，求*A 的一个特征值．解：因0||<A ，故矩阵A 可逆.由E AA T 2=知422||=A 得4||-=A .因,0|2|)1(|2|4=+-=--A E A E 得2-=λ是矩阵A 的一个特征值，因此*A 的一个特征值为22．6． 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011100y x A 有3个线性无关的特征向量，求x 与y 满足的条件．解：矩阵A 的特征多项式为=-A E λ2)1)(1(01110-+=-----λλλλλy x ，所以A 的特征值为11-=λ，13,2=λ（二重）．因A 有3个线性无关的特征向量，故齐次线性方程组=-X A E )(O 的系数矩阵的秩为1，即1)(=-A E r .而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-000001011010101y x y x A E ，于是0=+y x ．7． 问n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111 与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00100100 n 是否相似，为什么?解：令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111111111 A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00100100 n B ，则B A ~. 矩阵B 的特征值为1(01,,1-=-n n λ重），n n =λ.01,,1=-n λ对应的齐次线性方程组的系数矩阵为,1)(,000000001=-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→-B r B故属于01,,1=-n λ的无关特征向量有1-n 个；n n =λ对应的齐次线性方程组的系数矩阵为,1)(,00000001=-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→-B nE r n B nE故属于n n =λ的无关特征向量有1个.因此矩阵B 有n 个线性无关的特征向量，故B 可对角化，且;00~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n B Λ 因为0||,11===++A trA n n λλλλ ，故A 的特征值必有0和非零数值.因1)()(==-A r A r ，故特征值0有1-n 个线性无关的特征向量，所以0的重数至少为1-n ，则A 的非零特征值为n ，因此矩阵A 的特征值为1(01,,1-=-n n λ重），n n =λ.因A 为实对称矩阵，故必可对角化，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n A 00~ Λ，于是B A ~.8． 设A 为n 阶矩阵， O A ≠，且存在正整数m ，使得O A m=，证明A 不能对角化．解：反证法.假设A 可对角化，由A 组第2题（1）知，A 的特征值都为0，故O A ~，即存在可逆矩阵P ，使得O AP P =-1，则O A =，矛盾.9． 设矩阵,220021000030000⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=B 矩阵B A ~，求)3()(E A r E A r -+-． 解：矩阵B 的特征方程为=-B E λ0)3)(2(2=-+=λλλ，所以B 的特征值为01=λ，22-=λ，14,3=λ（二重）．因矩阵B 是实对称矩阵，故属于14,3=λ的线性无关的特征向量必有2个，即224)3(=-=-B E r .因B A ~，则A 的特征值只有0，－２，3（二重），且属于3的线性无关的特征向量也有2个，即2)3(=-A E r .因1不是矩阵A 的特征值，故0||≠-A E ，即4)(=-A E r .因此6)3()(=-+-E A r E A r .。

第四章 综合练习及参考答案1. n 元非齐次线性方程组Ax b =与其对应的齐次线性方程组0Ax =满足（ B ）. (根据性质可得)A. 若12,x x 为0Ax =的解，则12x x +为Ax b =的解；B . 若12,x x 为Ax b =的解，则121()2x x +也为Ax b =的解； C . 若0Ax =有非零解，则Ax b =只有零解；D . 若0Ax =只有零解，则Ax b =无解.2. 设A 为m n ⨯矩阵，0AX =是非齐次线性方程组AX b =对应的齐次线性方程组，则以下结论中正确的是( D ) .A. 若0AX =只有零解，则AX b =有惟一解；(()R A n = 不能推出(,)()R A b R A =，所以AX b =可能无解)B. 若0AX =有非零解，则AX b =有无穷多解； (AX b =有可能无解)C. 若AX b =有无穷多解，则0AX =只有零解；((,)()R A b R A n =<→0AX =有非零解)D. 若AX b =有无穷多解，则0AX =有非零解.3．m ×n 型齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是（ A ）．A ．A 的列向量线性无关B ．A 的行向量线性无关C ．A 的列向量线性相关D ．A 的行向量线性相关解：Ax=0只有零解⇔()R A n =⇔ A 的列向量线性无关.4．设21ββ,是非齐次线性方程组b Ax =的两个解，则下列向量中哪个也是方程组b Ax =的解（ A ）．A ．312+2ββB ．21ββ-C ．2221ββ+D ．52321ββ+ 5. 设(1,3,2),(1,2,0)T T 是3阶非齐次线性方程组Ax b =的解，()2R A =，则A x b =的通解是 （ C ）.A . (1,3,2)(1,2,0)T T k +，k 为任意常数;B . (0,1,2)(1,2,0)T T k + ，k 为任意常数;C . (1,2,0)(0,1,2)T T k +，k 为任意常数;D . (1,2,0)(1,3,2)T T k +，k 为任意常数.6．若齐次线性线性方程组m n A X b ⨯=只有唯一解，则A 的秩为____n______. 解：m n A X b ⨯=只有唯一解，则()m n R A ⨯=未知数的个数=n.7．已知矩阵222222a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，伴随矩阵*0A ≠，且*0A x =有非零解，则____-4_____. 解：*0A x =有非零解，则*()3R A <或*0A =，即32*110A A AA A A -====，所以0A =. 2222222022(2)(4)022222a a A a a a a a a a a ==--=-+=⇒=(舍去，因为此时*0A =) 或4a =-.8. 设线性方程组12342341234022321x x x x x x x a x x x x +++=⎧⎪++=⎨⎪+++=-⎩， 则a 取何值时: 1）该方程组无解？ 2）该方程组有无穷多解，并用基础解系表示其所有解. 解：对增广矩阵作初等行变换得313111101111011110012201220122321110122100001r r A b (,)αααα-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−−→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦⎣⎦， （1）1α≠时，()23(,)R A R A b =≠=，所以方程组无解；（2）1α=时，()2(,)R A R A b ==，所以方程组有无穷多解，且12111101011101221012210000000000r r A b (,)----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即同解方程组为 1342341221x x x x x x =+-⎧⎨=--+⎩ （34,x x 为自由未知量）， 令340x x ==，则得方程组的一个特解为 (1,1,0,0)T η=-，分别令3410x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和01⎛⎫ ⎪⎝⎭，则得导出方程组的一个基础解系为： 1(1,2,1,0)T ξ=-，2(1,2,0,1)T ξ=-，于是，原方程组的通解为：121234111221100010x x k k R x x (,).-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

线性代数练习册第四章习题及答案（本）第四章线性方程组§4-1 克拉默法则一、选择题1．下列说法正确的是（ C ）A.n 元齐次线性方程组必有n 组解；B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解；C.n 元齐次线性方程组至少有一组解，即零解；D.n 元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解. 2．下列说法错误的是（ B ）A.当0D ≠时，非齐次线性方程组只有唯一解；B.当0D ≠时，非齐次线性方程组有无穷多解；C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则0D =；D.若非齐次线性方程组有无解，则0D =. 二、填空题1．已知齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=??++=??++=?有非零解，则λ= 1 ，μ= 0 .2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠, 则方程组有唯一解i x =i D D.三、用克拉默法则求解下列方程组1．832623x y x y +=??+=?解：832062D ==-≠123532D ==-，2821263D ==-所以，125,62D D x y D D ====-2．123123123231x x x x x x ?+-=??-+-=?解：2131121121221303550111010r r D r r ---=--=-≠+--- 1122210511321135011011D r r ---=-+-=---，212121505213221310101101D r r --=-+-=-----，31212250021122115110110D r r --=+=---所以， 3121231,2,1D D D x x x DDD======3．21241832x z x y z x y z -=??+-=??-++=?解：132010012412041200183583D c c --=-+-=≠-13110110014114020283285D c c -=-+=，2322112102112100123125D c c -=-+=--，31320101241204120182582D c c =-=--所以， 3121,0,1D D D x y z DDD======4．1234123412341234242235232110x x x x x x x x x x x x ?+-+=-??---=-??+++=?解：21314121311111111112140123223150537331211 2181231235537013814222180514r r D r r r r r r r r ---=------------+=----=-+---321421232511151110222142251823152352811012110105110010525182733214210252823522c c D c c c c c c --------=----------+=-----=----21231411323151115111214072322215012373302111518723230132123733031284315181518r r D r r r r r r r r -----= --------------=----=------12342213111512151031224522182325111132283101101002510200251521852974265211228115127c c D c c c c c c -------=---------+=-----=----12432322111152115312125252223121135231201021521555250271425115264c c D c c r r r r --------=----------+=----=---所以， 312412341,2,3,1D D D D x x x x DDDD========-§4-2 齐次线性方程组一、选择题1．已知m n ?矩阵A 的秩为1n -，12,αα是齐次线性方程组0AX = 的两个不同的解，k 为任意常数，则方程组0AX =的通解为（ D ）.A.1k α；B.2k α；C.12()k αα+；D.12()k αα-.解：因为m n ?矩阵A 的秩为1n -，所以方程组0AX =的基础解系含1个向量。

线性代数练习册第四章习题及答案篇一：线代第四章习题解答第四章空间与向量运算4-1-1、已经明白空间中三个点A,B,C坐标如下：A?2,?1,1?,B?3,2,1?,C??2,2,1? （1）求向量,,的坐标，并在直角坐标系中作出它们的图形；（2）求点A与B之间的间隔．解：(1) (1,3,0), (?5,0,0), (4,?3,0)(2)AB?4-1-2．利用坐标面上和坐标轴上点的坐标的特征，指出以下各点的特别位置：A?3,4,0?; B?0,4,3? ；C?3,0,0? ；D?0,?1,0? 解：A (3，4，0) 在xoy面上B（0，4，3）点在yoz 面上C（3，0，0）在x轴上D（0，－1，0）在y轴上4-1-6. 设u?a?b?2c,v??3b?c，试用a、b、c表示3u?3v．解：3u－2v＝3（a－b＋2c）－2（－3b－c）＝3a＋3b＋8c4-1-7. 试用向量证明：假设平面上的一个四边形的对角线互为平分，那么这个四边形是平行四边形．解：设四边形ABCD中AC与DB交于O，由已经明白AO＝OC，DO＝OB 由于AB＝AO＋OB ＝OC＋DO＝DC,AD=AO+OD=OC+BO=BC 因此ABCD为平行四边形。

4-1-8. 已经明白向量a的模是４，它与轴u的夹角60，求向量a在轴u上的投影．解：.prjuu)4*cos60＝4?r?rcos(r。

3＝23 24-1-9. 已经明白一向量的终点在点B?2,?1,7?，它在x轴、y轴、z轴上的投影依次为4、-4、7，求这向量起点A的坐标解：设起点A为（x,y,z）prjxAB?(2?x0)?4prjyAB?(?1?y)??4 prjzAB?(7?z0)?7解得：x2y?3z0?04-1-12. 求以下向量的模与方向余弦，并求与这些向量同方向的单位向量：（1）a??2,?1,1? ；（2）b??4,?2,2? ；（3）c??6,?3,3? ；（4）d2,1,?1? ．解：（1）a＝（2，－1，1）a?22(1)122cos??22 ??a36cos??126cos a6a6（2）b=(4,-2,2) b?42(2)2 cos2226b3cos??26?2?b666cos b0,, b6b6b366（3）c=(6,-3,3) c?b2(4)3 cos222363cos??336cos??233626 62（4）d=(-2,1,-1)d?(?2)?1?(?1)?6cos??263cos??16d6cosd0??{?,,?66d366与前三向量单位同的d??{?6,,?。