第四章线性方程组的求解

李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社数值分析是一门研究数值计算方法的学科，它应用于各个领域，解决了许多实际问题。

《李庆扬数值分析第五版习题答案》是一本为读者提供数值分析习题解答的参考书，由清华大学出版社出版。

第一章误差1.1 绝对误差与相对误差在数值计算过程中，由于测量、取近似值和舍入误差等原因，我们常常会得到与真实值有一定偏差的结果。

绝对误差和相对误差是描述数值计算结果与真实值之间误差大小的衡量标准。

绝对误差表示实际值和计算值之间的差别，相对误差则是绝对误差与实际值之比。

1.2 舍入误差与有效数字在数值计算中，由于计算机底层的二进制表示以及计算机在表示无穷和无法精确表示的数字时需要进行近似，会导致舍入误差。

有效数字是用来表示浮点运算结果的一种方式，能够控制舍入误差的影响。

第二章插值与多项式逼近2.1 插值问题的提出插值问题是在有限数据点的基础上，构造一个与这些数据点足够接近的函数。

插值的目的是通过已知数据点之间构造一个函数，使得通过这个函数计算的结果近似于真实的未知数据点的值。

2.2 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是通过构造一个基于已知数据点的多项式函数，来实现对未知数据点的预测。

它通过对每个数据点进行加权，以使得插值多项式通过这些数据点。

2.3 牛顿插值法牛顿插值法是通过使用差商的概念，构造一个多项式函数来进行插值。

差商是指由数据点的函数值所决定的差分系数。

第三章数值积分与数值微分3.1 数值积分的基本思想数值积分是通过将区间进行离散化，将连续变量转化为离散变量的和，从而实现对曲线下面积的近似计算。

3.2 复合求积公式复合求积公式将整个区间分割为若干子区间，对每个子区间进行积分，并将结果相加得到最终的数值积分结果。

通过增加子区间的数量，可以提高数值积分的精确度。

3.3 数值微分的基本思想数值微分是通过利用离散数据点之间的差值，来近似计算函数在某个点处的导数。

第四章线性方程组的数值解法4.1 线性方程组的求解线性方程组的求解是数值分析中的一个重要问题。

《线性代数》教案一、前言1. 教学目标：使学生理解线性代数的基本概念、理论和方法，培养学生运用线性代数解决实际问题的能力。

2. 适用对象：本教案适用于大学本科生线性代数课程的教学。

3. 教学方式：采用讲授、讨论、练习相结合的方式进行教学。

二、教学内容1. 第一章：线性代数基本概念1.1 向量及其运算1.2 线性方程组1.3 矩阵及其运算1.4 行列式2. 第二章：线性空间与线性变换2.1 线性空间2.2 线性变换2.3 矩阵与线性变换2.4 特征值与特征向量3. 第三章：特征值与特征向量3.1 特征值与特征向量的定义3.2 矩阵的特征值与特征向量3.3 矩阵的对角化3.4 二次型4. 第四章：线性方程组的求解方法4.1 高斯消元法4.2 克莱姆法则4.3 矩阵的逆4.4 最小二乘法5. 第五章：线性代数在实际应用中的案例分析5.1 线性规划5.2 最小二乘法在数据分析中的应用5.3 线性代数在工程中的应用5.4 线性代数在计算机科学中的应用三、教学方法1. 讲授：通过讲解线性代数的基本概念、理论和方法，使学生掌握线性代数的基础知识。

2. 讨论：组织学生就线性代数中的重点、难点问题进行讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力。

3. 练习：布置适量的练习题，让学生通过自主练习巩固所学知识，提高解题能力。

四、教学评价1. 平时成绩：考察学生的出勤、作业、课堂表现等方面，占总评的30%。

2. 期中考试：考察学生对线性代数知识的掌握程度，占总评的40%。

3. 期末考试：全面测试学生的线性代数知识水平和应用能力，占总评的30%。

五、教学资源1. 教材：推荐使用《线性代数》（高等教育出版社，同济大学数学系编）。

2. 辅助教材：可参考《线性代数教程》（清华大学出版社，谢乃明编著）。

3. 网络资源：推荐学生浏览线性代数相关网站、论坛，拓展知识面。

4. 软件工具：推荐使用MATLAB、Mathematica等数学软件，辅助学习线性代数。

第四章线性方程组§1 消元法在实际问题中，我们经常要研究一个线性方程组的解，解线性方程组最常用的方法就是消元法，其步骤是逐步消除变元的系数，把原方程组化为等价的三角形方程组，再用回代过程解此等价的方程组，从而得出原方程组的解.例1 解线性方程组解 将第一个方程加到第二个方程，再将第一个方程乘以（-2）加到第三个方程得在上式中交换第二个和第三个方程，然后把第二个方程乘以-2加到第三个方程得再回代,得.分析上述例子，我们可以得出两个结论：（1） 我们对方程施行了三种变换：① 交换两个方程的位置；② 用一个不等于0的数乘某个方程；③ 用一个数乘某一个方程加到另一个方程上.我们把这三种变换叫作线性方程组的初等变换.由初等代数可知，以下定理成立.定理1 初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组.（2） 线性方程组有没有解,以及有些什么样的解完全决定于它的系数和常数项，因此我们在讨论线性方程组时，主要是研究它的系数和常数项.定义1 我们把线性方程组的系数所组成的矩阵叫做线性方程组的系数矩阵，把系数及常数所组成的矩阵叫做增广矩阵.设线性方程组则其系数矩阵是增广矩阵是显然，对一个方程组实行消元法求解，即对方程组实行了初等变换，相当于对它的增广矩阵实行了一个相应的初等变换.而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵，这样，不但讨论起来比较方便，而且能够给予我们一种方法，利用一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出.例2 解线性方程组解 增广矩阵是,交换矩阵第一行与第二行，再把第一行分别乘以和(-2)加到第二行和第三行，再把第二行乘以(-2)得,在中将第二行乘以2加到第三行得,相应的方程组变为三角形(阶梯形)方程组：回代得.§2 线性方程组有解判别定理上一节我们讨论了用消元法解方程组(4.1)这个方法在实际解线性方程组时比较方便，但是我们还有几个问题没有解决，就是方程组(4.1)在什么时候无解?在什么时候有解?有解时，又有多少解?这一节我们将对这些问题予以解答.首先，由第三章，我们有下述定理定理2 设A是一个m行n列矩阵，通过矩阵的初等变换能把A化为以下形式这里ｒ≥0，ｒ≤ｍ，ｒ≤ｎ.注：以上形式为特殊标准情况，不过，适当交换变元位置，一般可化为以上形式.由定理2，我们可以把线性方程组(4.1)的增广矩阵进行初等变换化为：（4.２）与(4.2)相应的线性方程组为：（4.3）由定理1知：方程组(4.1)与方程组(4.3)是同解方程组，要研究方程组(4.1)的解，就变为研究方程组(4.3)的解.① 若ｄｒ＋１，ｄｒ＋２，…，ｄｍ中有一个不为0，方程组(4.3)无解，那么方程组(4.1)也无解.② 若ｄｒ＋１，ｄｒ＋２，…，ｄｍ全为0，则方程组(4.3)有解，那么方程组(4.1)也有解.对于情形①，表现为增广矩阵与系数矩阵的秩不相等，情形②表现为增广矩阵与系数矩阵的秩相等，由此我们可以得到如下定理.定理3 (线性方程组有解的判别定理)线性方程组（4.1）有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩r.① 当r等于方程组所含未知量个数n时，方程组有惟一的解；② 当r＜ｎ时，方程组有无穷多解.线性方程组（4.1）无解的充分必要条件是：系数矩阵A的秩与增广矩阵B的秩不相等.在方程组有无穷多解的情况下，方程组有n-r个自由未知量，其解如下：其中是自由未知量，若给一组数就得到方程组的一组解例3 研究线性方程组解 写出增广矩阵对进行初等行变换可化为由此断定系数矩阵的秩与增广矩阵的秩不相等，所以方程组无解.例4 在一次投料生产中，获得四种产品，每次测试总成本如下表:生产批次产品（公斤）总成本（元）ⅠⅡⅢⅣ12001001005029002500250200100705031004002013604400180160605500试求每种产品的单位成本.解 设Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四种产品的单位成本分别为，由题意得方程组：化简，得写出增广矩阵对其进行初等行变换，化为由上面的矩阵可看出系数矩阵与增广矩阵的秩相等，并且等于未知数的个数，所以方程组有唯一解：例5 解线性方程组解 这里的增广矩阵是对其进行初等行变换，化为由上式可看出系数矩阵与增广矩阵的秩相等，所以方程组有解，对应的方程组是把移到右边，作为自由未知量，得原方程组的一般解为给自由未知量一组固定值：，我们就得到方程组的一个解.事实上，在例5中，也可作为自由未知量.我们同样可考察.。

§4.1 线性方程组解的判定这一节我们利用n 维向量和矩阵秩的概念来讨论线性方程组解的情况． 设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* (1)的系数矩阵和增广矩阵分别为A 和A ，即 A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211， A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅m mn m m n n b a a a b a a a b a a a 21222221111211． 定理1 线性方程组（1）有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，即r (A )=r (A )证：必要性如果方程组(1)有解，则β可由α1，α2，…，αn 线性表出，从而向量组α1，α2，…，αn ，β 可由α1，α2，…，αn 线性表出．又显然α1，α2，…，αn 可由α1，α2，…，αn ，β 线性表出， 于是 {α1，α2，…，αn }≅{α1，α2，…，αn ，β}． 所以 r {α1，α2，…，αn }=r {α1，α2，…，αn ，β}， 因此 r (A )=r (A )充分性 若 r (A )=r (A )，则有 r {α1，α2，…，αn }=r {α1，α2，…，αn ，β}，又向量组 α1，α2，…，αn 可由α1，α2，…，αn ，β 线性表出，于是由§4的定理4知{}n ααα,,,21 ≅{}βααα,,,,21n ，因此β可由n ααα,,,21 线性表出，这就表明线性方程组(1)有解．此定理与前面§1介绍的消元法所得的结果是一致的．用消元法解线性方程组就是用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵，这个阶梯形矩阵在适当调动前几列的顺序之后可能有两种情形：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1222221111211r r rn rr n r n r d d c c d c c c d c c c c 或者⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 222221111211r rn rr n r n r d c c d c c c d c c c c其中c ii ≠0，i =1，2，…， r ，d r+1≠0．在前一种情形，我们说原方程组无解，而后一种情形方程组有解．实际上，把阶梯形矩阵中最后一列去掉，就是系数矩阵经过初等变换所变成的阶梯形矩阵．所以，当d r+1≠0时，r (A )≠r (A )，方程无解；当d r+1=0时，r (A )＝r (A )，方程组有解．定理2 当线性方程组有解时， (1) 若r (A )=r =n ，则方程组有唯一解． (2) 若r (A )=r<n ，则方程组有无穷多解．对于齐次线性方程组，由于它的系数矩阵A 与增广矩阵的秩总是相等的，所以齐次方程组总是有解的，至少有零解．那么，何时有非零解呢？将定理2用于齐次线性方程组立即可得到如下推论．推论1 齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n mn m m nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解的充分必要条件是：系数矩阵的秩r (A )=r<n ． 推论2 齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解的充分必要条件是：系数行列式D =0思考题：当λ为何值时，下述齐次线性方程组有非零解？并且求出它的一般解．⎪⎩⎪⎨⎧=+++=--+-=---0)3(14202)8(023)2(321321321x x x x x x x x x λλλ§4.2-4.3 线性方程组解的结构上节解决了线性方程组的解的判定问题，接下来我们进一步讨论解的结构．已经知道，在方程组有解时，解的情况只有两种可能：有唯一解或有无穷多个解．唯一解的情况下，当然没有什么结构问题．在无穷多个解的情况下，需要讨论解与解的关系如何？是否可将全部的解由有限多个解表示出来，这就是所谓的解的结构问题．一. 齐次线性方程组解的结构设齐次线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n mn m m nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (1)我们要研究当(1)有非零解时，这些非零解之间有什么关系，如何求出全部解？为此，先讨论齐次线性方程组的解的性质．为了讨论的方便，将（1）的解n n k x k x k x ===,,,2211写成行向量的形式),,,(21n k k k性质1 如果α=(c 1，c 2，…，c n )，β= (d 1，d 2，…，d n )是方程组(1)的两个解，则α+β=( c 1+d 1， c 2+d 2，，…， c n +d n )也是(1)的解．证明：因为α=(c 1，c 2，…，c n )与β= ( d 1，d 2，…，d n )都是(1)的解，所以有下列两组等式成立，即a i 1c 1+a i 2c 2+…+a in c n =0 (i =1，2，…， m ) a i 1d 1+a i 2d 2+…+a in d n =0 (i =1，2，…， m )两式相加得：a i1(c1+d1)+a i2(c2+d2)+…+a in(c n+d n)=0(i=1，2，…，m)这表明(c1+d1)，(c2+d2)，…，(c n+d n)是(1)的一个解，即α+β是(1)的解．性质2若α是(1)的解，则kα=( kc1，kc2，…，kc n)也是(1)的解．(k是常数) 证明：因α=(c1，c2，…，c n) 是(1)的解，所以有a i1c1+a i2c2+…+a in c n=0 i=1，2，…，n，两边同乘以k得a i1(kc1)+ a i2(kc2)+…+ a in(kc n)=0这说明(kc1，kc2，…，kc n) 是(1)的解．性质3如果α1，α2，…，αn，都是(1)的解，则其线性组合k1α1+k2α2+…+k nαn，也是(1)的解，其中k1，k2，…，k n是任意数．由性质1、2立即可以推出性质3．由此可知，如果一个齐次线性方程组有非零解，则它就有无穷多个解，那么如何把这无穷多个解表示出来呢？也就是方程组的全部解能否通过它的有限个解的线性组合表示出来．如将它的每个解看成一个向量(也称解向量)，这无穷多个解就构成一个n维向量组．若能求出这个向量组的一个“极大无关组”，就能用它的线性组合来表示它的全部解．这个极大无关组在线性方程组的解的理论中，称为齐次线性方程组的基础解系．定义1如果齐次线性方程组(1)的有限个解η1，η2，…，ηt满足：(1) η1，η2，…，ηt线性无关；(2) 方程组(1)的任意一个解都可以由η1，η2，…，ηt线性表出．则称η1，η2，…，ηt是齐次线性方程组(1)的一个基础解系．问题是，任何一个齐次线性方程组是否都有基础解系？如果有的话，如何求出它的基础解系？基础解系中含有多少个解向量？定理1 如果齐次线性方程组(1)有非零解，则它一定有基础解系，并且基础解系含有n–r个解向量．其中n是未知量的个数，r是系数矩阵的秩．证明：因为齐次线性方程组(1)有非零解，所以r(A)=r<n，对方程组(1)的增广矩阵A施行初等行变换，可以化为如下形式：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++000000000100001000011212111rn rr n r n r c c c c c c即方程组(1)与下面的方程组同解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧----=----=----=++++++++++++nrn r rr r rr r nn r r r r n n r r r r x c x c x c x x c x c x c x x c x c x c x 22112222112212211111 其中x r+1， x r+2，…， x n 为自由未知量 对n –r 个自由未知量分别取⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001 ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010 ，…，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100 ， 可得方程组(1)的n –r 个解．η1=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ 0 0 1- --11211 rr r r c c c ，η2=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ 0 1 0- --22221 rr r r c c c ，…，ηn –r =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 1 0 0- --21 rn n n c c c ， 现在来证明η1，η2，…，ηn –r 就是方程组(1)的一个基础解系． 首先证明η1，η2，…，ηn –r 线性无关． 以解向量η1，η2，…，ηn –r 为列构成矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------++++++1 0 0 0 1 0 0 0 1 212221212111 rn rr rr n r r n r r c c c c c c c c c ，有n –r 阶子式1 0 0 0 0 1 000 0 1 0 0 0 0 1 ＝1≠0，即r (η1，η2，…，ηn –r )=n –r ，所以η1，η2，…，ηn –r 线性无关．其次证明方程组(1)的任意一个解η=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n k k k 21，是η1，η2，…，ηn –r 的线性组合．由于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧----=----=----=++++++++++++nrn r rr r rr r nn r r r r n n r r r r k c k c k c k k c k c k c k k c k c k c k 22112222112212211111所以η=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++n r r r k k k k k k 2121 =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------++++++++++++++n r r n rn r rr r rr n n r r r r n n r r r r k k k k c k c k c k c k c k c k c k c k c 0 00 0 0 0 21221122221121221111=k r+1⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+++0 0 1 11211 rr r r c c c +k r+2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+++0 1 1 11211 rr r r c c c +…+k n ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1 0 0 21 rn n n c c c =k r+1η1+ k r+2η2+…+ k n ηn –r ．即η是η1，η2，…，ηn –r 的线性组合．这就说明了η1，η2，…，ηn –r 是方程组(1)的一个基础解系．因此，方程组(1)的全部解为 k 1η1+ k 2η2+…+ k n –r ηn –r ．定理的证明过程实际上给我们指出了求齐次线性方程组基础解系的具体方法．由于自由未知量x r +1，x r +2，…，x n 可以任意取值，故基础解系不是唯一的，但两个基础解系所含向量的个数都是n –r 个．可以证明：齐次线性方程组(1)的任意n –r 个线性无关的解向量均可以构成它的一个基础解系．性质1 非齐次线性方程组(2)的任意两个解的差是它的导出组(1)的一个解． 证： 设α=(c 1，c 2，…，c n )，β= ( d 1，d 2，…，d n )为方程组(2)的两个解，分别代入(2)得a i 1c 1+a i 2c 2+…+a in c n =b i (i =1，2，…， m ) a i 1d 1+a i 2d 2+…+a in d n =b i (i =1，2，…， m )两式相减得：a i 1(c 1–d 1)+a i 2(c 2–d 2)+…+a in (c n –d n )=0 (i =1，2，…， m )这表明 (c 1–d 1)，(c 2–d 2)，…，(c n –d n )是(1)的一个解，即α–β是(1)的解．性质２ 非齐次线性方程组(2)的一个解与它的导出组(1)的一个解的和是非齐次线性方程组(2)的一个解．证明方法与性质1的证明方法相同． 由性质1、性质２可得定理2 设γ0是非齐次线性方程组(2)的一个解，η是导出组(1)的全部解，则γ=γ0+η是非齐次线性方程组的全部解．证明：由非齐次线性方程组解的性质２可知，γ=γ0+η 是方程组(2)的解． 下面证明方程组(2)的任意一个解γ＊都可以表示成γ0+η0，其中η0是齐次线性方程组(1)的某一个解．因为γ＊、γ0都是非齐次线性方程组(2)的解，由非齐次线性方程组的解的性质1可知γ＊–γ0是导出组(1)的解．令η0=γ＊–γ0则η0是齐次线性方程组(1)的某一个解，且,00*ηγγ+=因η是齐次线性方程组（1）的全部解，所以非齐次线性方程组(2)的任意一个解都包含在γ=γ0+η中，这就证明了γ=γ0+η是非齐次线性方程组(2)的全部解．由此定理可知，如果非齐次线性方程组有解，则只需求出它的一个解(特解)γ0，并求出其导出组的基础解系η1， η2，，…， ηn –r ，则非齐次线性方程组的全部解可表示为η0=γ0＋k 1η1+ k 2η2+…+ k n –r ηn –r其中k 1，k 2，…，k n –r 为任意数．如果非齐次线性方程组的导出组仅有零解，则该非齐次线性方程组只有唯一解，如果其导出组有无穷多解，则它也有无穷多解． 思考题：已知矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----023*********02100121的各行向量都是齐次线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=++++=-+++=++++033450622032305432154325432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的解向量，问这４个行向量能否构成基础解系？假如不能，这４个行向量是多了还是少了，假如多了，如何去掉？假如少了又如何补充？。

第四章 线性方程组1．设齐次方程组1231231230030x ax x ax x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 有非零解，求a 及其通解.解：因为此方程组有非零解，故系数矩阵的行列式为零.2211||1131********a aa a a a ==-+--+=-=-A所以，21a =，即1a =±（1）当1a =时，对此方程组的系数矩阵进行行变换111111120111000011113022000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A原方程组等价于1223200x x x x +=⎧⎨-=⎩, 即 12322x x x x =-⎧⎨=⎩. 取21x =，得1211-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ为方程组的基础解系. 则方程组的通解为1(2,1,1),k k k ==-∈X ξTR .（2）当1a =-时，111111110111001001113000000---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭A原方程组等价于1230x x x -=⎧⎨=⎩取21x =，得()T21,1,0=ξ为方程组的基础解系.故通解为2(1,1,0),TR k k k ==∈X ξ.2．解齐次方程组（1）12341234123420222020x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+++=⎨⎪++-=⎩ （2）12341234123412342350327043602470x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩（3）12341234123420510503630x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++-=⎨⎪+--=⎩ （4）12341234123412343457041113160723023320x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎪⎨-++=⎪⎪-+-=⎩（1）解：对此线性方程组的系数矩阵进行初等行变换211111211010221201310103112100340034---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭A原方程组等价于 132434030340x x x x x x -=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩即 1323439434x x x x x x ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩取34x =，得()T4,9,4,3=-ξ为原方程组的基础解系. 故通解为 ,R k k =∈X ξ.（2）解：对线性方程组的系数矩阵进行初等行变换2315231531271231241361051312471247--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭A 123121231207729011746028250015015000327----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故 ||0≠A ，所以此方程组只有零解,即 T(0,0,0,0)=X .（3）解：对线性方程组的系数矩阵进行初等行变换1211120151015001036130000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A原方程组等价于142320x x x x =-⎧⎨=⎩ 取 2410,.01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得 ()()TT122,1,0,0,1,0,0,1=-=ξξ为方程组的基础解系.所以，原方程组的通解为 112212(,)R k k k k =+∈X ξξ.（4）解：对方程组的系数矩阵进行初等行变换，34571789411131617897213017192023322332--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭A 1789017192000000000-⎛⎫ ⎪-- ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭原方程组等价于123423478901719200x x x x x x x +-+=⎧⎨-+-=⎩ 即 134234313171719201717x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩取 34170,017x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得 ()()TT123,19,17,0,13,20,0,17==--ξξ为方程组的基础解系.故通解为 112212,,k k k k =+∈X ξξR .3．解非齐次方程组（1）1231231232104221138x x x x x x x x -+=⎧⎪+-=⎨⎪+=⎩ （2）12312312312323438213496245x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪+-=⎪⎨-+=-⎪⎪-+=-⎩ （3）1234123412342133344352x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+-+=-⎩（1）解：对此方程组的增广矩阵进行初等行变换3121031210()42121338113081332--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A b 133801011340006--⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭因为 ()23()r r =≠=A A b所以，此方程组无解.（2）解：对此方程组的增广矩阵进行初等行变换231412453821307714()41960141428124507714--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=→⎪ ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A b 12451021011201120000000000000000---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭原方程组等价于 1323212x x x x +=-⎧⎨-=⎩此方程组对应的导出组的基础解系为()T2,1,1=-ξ此方程组的特解为 ()T01,2,0=-η 故方程组的通解为 0k k =+∈X ξηR .（3）解：对此方程组的增广矩阵进行初等行变换2111114352()331340759514352015101810---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭A b 143520759501000--⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪-⎝⎭103520100000595--⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭原方程组等价于 1342343520595x x x x x x -+=-⎧⎪=⎨⎪-=⎩即 142342150915x x x x x ⎧=+⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩此方程组对应导出组的基础解系为 ()T2,0,9,5=ξ特解为 ()T01,0,1,0=η 故通解为 0k k =+∈X ξηR .4．求解非齐次方程组（1）1234523451234512345226323054332x x x x x a x x x x b x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++=⎪⎨+++-=⎪⎪+++-=⎩ （2）1234123412341234230264132716x x x x x x x x x x px x x x x x t+-+=⎧⎪+-+=-⎪⎨+++=-⎪⎪---=⎩（1）解：对此非齐次线性方程组的增广矩阵进行初等行变换111111111101226012263211300122635433120122625a ab b a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪→ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭ 111111111101226012260000030000030000025000001a a b b b a b b a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭①当1a ≠，或3b ≠时，方程组无解; ②当1a =且3b =，方程组有无穷多解; 此时方程组等价于 12345234512263x x x x x x x x x ++++=⎧⎨+++=⎩即 13452345522263x x x x x x x x =++-⎧⎨=---+⎩取 3451000,1,0001x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭得对应的导出组的基础解系()T 11,2,1,0,0=-ξ，()T 21,2,0,1,0=-ξ，()T35,6,0,0,1=-ξ，()T02,3,0,0,0=-η为特解.故通解为1122330k k k =+++X ξξξη， 123,,k k k ∈R . （2）解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换1123011230216410122132710162111610244P P t t --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪------⎪ ⎪→ ⎪ ⎪--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭11230012210080000002P t -⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭①当2t ≠-时，方程组无解.②当2t =-，8P =-时，方程组有无穷多解.此时，原方程组等价于1234234230221x x x x x x x +-+=⎧⎨++=⎩即 13423441221x x x x x x =--⎧⎨=--+⎩则 ()T14,2,1,0=-ξ，()T21,2,0,1=--ξ为导出组的基础解系()T01,1,0,0=-η为方程组的一个特解，故通解为1122012,,k k k k =++∈X ξξηR .③ 2t =-，8P ≠-时，方程组有无穷多解 此时，原方程组等价于12342343230220(8)0x x x x x x x P x +-+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩即 142431210x x x x x =--⎧⎪=-+⎨⎪=⎩则 ()T1,2,0,1=--ξ为导出组的基础解系, ()T01,1,0,0=-η为方程组的一个特解. 故方程组的通解为0k k =+∈X ξηR .5．讨论方程组的解，并求解123123123(3)2(1)23(1)(3)3a x x x a ax a x x aa x ax a x +++=-⎧⎪+-+=⎨⎪++++=⎩解：线性方程组的系数矩阵的行列式为312132132||111112323(1)3333333a a a a a a aa a a aa aa a a a a +++=-=-=-----++++++A21320033a aa a a +=----+221120(1)03a a a a a a a +=-=---+令||0=A ，则0a =或1a =（1）0a =时. 线性方程组的增广矩阵为31203120()0110011030330113⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A b 312001100003⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭因为()23()r r =≠=A Ab所以，此时方程组无解;（2）当1a =时, 41211012()1012012961430000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A b方程组等价于1323229x x x x =-+⎧⎨=-⎩，()T1,2,1=-ξ为导出组的基础解系,()T02,9,0=-η为方程组的一个特解. 故通解为0k k =+∈X ξηR .（3）当0a ≠且1a ≠时，方程组有唯一解.2129a x a +=-，222339a a x a ++=，3239a x a +=. 6．设T T11012,,0,,2180⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭αβγA αβB βα，其中T β是β的转置，求解方程22442=++B A x A x B x γ. 解：将TT T ,,2===A αβB βαβα代入下式得22T TTT4T222=⋅B A x βαβααβαβx αβx = 4TTTT3T2=⋅⋅⋅=A x αβαβαβαβx αβx 442=B x x 由 22442=++B A x A x B x γ 得4T 3T 4222=++x x x γαβαβ3T T32(22)--=αβαβE x γ 3T32(2)-=αβE x γ又 T1101212(10)210211102⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭αβ所以 3110222101122⎛⎫- ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭x γ即 12384001680084168-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭x x x对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换84002100202216800012201228416800000000----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭方程组等价于 1323122+=-⎧⎨-=⎩x x x x ，即1323122x x x x =--⎧⎨=+⎩，121-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ为导出组的基础解系.0120-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭η为方程组的一个特解. 故通解为 0R k k =+∈X ξη. 7．已知向量组12301,2,1110a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭βββ与向量组1231392,0,6317⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα具有相同的秩，且3β可由123,,ααα线性表示，求,a b 的值. 解：因为3β可以由123,,ααα线性表示 所以，1233(,,)=X αααβ有解.即 1231233(,,)(,,)r r =ααααααβ1233(,,)αααβ13913920610612123170010203b b b b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭139210126500030b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 因为 1231233(,,)(,,)r r =ααααααβ所以 1231233(,,)(,,)2r r ==ααααααβ 故50,530bb -==又 123(,,)βββ01101101210310311100003a b a b a b ⎛⎫⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭ 因为 123123(,,)(,,)r r =αααβββ所以 03ab -= 315a b ==.8．设向量组12311111,1,1,11111λλλ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααβ讨论λ取可值时，β不能由123,,ααα线性表示. λ取何值时，β可由123,,ααα唯一线性表示. λ取何值时，β可由123,,ααα线性表示，且有无穷多种表示形式.解：β是否能由123,,ααα线性表示，也即是 非齐次线性方程组123(,,)=αααX β是否有解.321(,,)αααβ211111111111100111101(1)λλλλλλλλλ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+--+-⎝⎭⎝⎭行2111100003λλλλλλ+⎛⎫ ⎪−−→- ⎪ ⎪---⎝⎭行（1）当0λ=时，123123(,,)(,,)2r r ==ααααααβ，则123(,,)=αααX β有无穷多解. 也即β可由123,,ααα线性表示，并且有无穷多表示方法. 121122312(1),k k k k k k =--++∈βαααR ;（2）3λ=-时，123123(,,)23(,,)r r =≠=ααααααβ，故方程组123(,,)=αααX β无解，也即β不能由123,,ααα线性表示;（3）0,3λλ≠≠-时，123123(,,)(,,)r r =ααααααβ，则方程组123(,,)=αααX β有唯一解. 即β可由123,,ααα唯一线性表示.13λ=+β123(,,)ααα. 9．设四阶方阵A 的秩为2，且(1,2,3,4)i i ==A ηb ，其中122334112112,,012002⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ηηηηηη 求非齐次方程组=AX b 的通解.解：因为()2r =A ，故非齐次线性方程组=AX b 的导出组的基础解系含有2个向量又 1231202()()10⎛⎫ ⎪- ⎪=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξηηηη，2342313()()12⎛⎫ ⎪ ⎪=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξηηηη为=AX b 对应导出组的2个线性无关的解向量，即12,ξξ是=AX b 导出组的基础解系0121()2=+ηηη是=AX b 的一个解.故=AX b 的通解为1122012,k k k k =++∈X ξξηR . 10．已知方程组（I ）的通解为1212(0,1,1,0)(1,2,2,1),k k k k =+-∈X T TR设方程组（II ）为 122400x x x x +=⎧⎨-=⎩问方程组（I ）、（II ）是否有非零公共解，若有，求其所有公共解. 解：由题意，（I ）的通解为212121212201212,21201R k k k k k k k k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪=+=∈ ⎪⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭X将X 的表达式代入方程组（II ）得2121222020k k k k k k -++=⎧⎨+-=⎩ 即 12k k =-所以（I ）和（II ）有公共解，并且公共解为()()11,,,1,1,1,1k k k k k k =---=---∈X T TR .11．设四元齐次方程组（I ）为123123423020x x x x x x x +-=⎧⎨++-=⎩ 且已知另一四元齐次方程组（II ）的一个基础解系为T1(2,1,2,1)a =-+α，T 2(1,2,4,8)a =-+α，（1）求方程组（I ）的一个基础解系（2）当a 为何值时，方程组（I ）与（II ）有非零公共解？在有非零公共解时，求出全部非零公共解.解：（1）方程组（I ）123123423020x x x x x x x +-=⎧⎨++-=⎩显然，系数矩阵的秩为2. 对（I ）的系数阵进行初等行变换2310231012113501--⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭故方程组（I ）与1231242335x x x x x x +=⎧⎨+=⎩等价取 1210,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得 ()()TT121,0,2,3,0,1,3,5==ββ为（I ）的一个基础解系.（2）若（I ）、（II ）有非零公共解，即存在不全为0的数1234,,,x x x x ，使11223142x x x x +=+ββαα （*）即 12121234(,,,)0x x x x ⎛⎫⎪ ⎪--= ⎪ ⎪⎝⎭ββαα有非零解 故 1212(,,,)4r --<ββαα. 1212(,,,)ββαα10211021112011223240326351805511a a a a --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪--⎪ ⎪=−−→⎪ ⎪----+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭行1021011200100001a a -⎛⎫⎪- ⎪−−→⎪+ ⎪⎪+⎝⎭行所以 1a =-时，方程组有非零解此时 1342342020x x x x x x -+=⎧⎨+-=⎩即 13423422x x x x x x =-⎧⎨=-+⎩所以 ()()T T122,1,1,0,1,2,0,1=-=-ξξ为（*）的基础解系.将12,ξξ表示式代入（*）得（I ）、（II ）的全部解为()()TT122,1,1,11,2,4,7k k =-+-X （12,k k 为不同时为0的常数）.12．设112224336⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求一秩为2的矩阵B ，使.=AB 0解：先求=AX 0的基础解系112112224000336000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A故齐次线性方程组=AX 0等价于12320x x x ++= 1232x x x =--得 ()()TT121,1,0,2,0,1=-=-ξξ为=AX 0的一个基础解系令 121001--⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，()2r =B 并且 =AB 0.13．设T 2122(),(,,,)ij n n n a x x x ⨯==A X ，方程组=AX 0的一个基础解系为T 12,2(,,,),1,2,,i i i n b b b i n =，求方程组 1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n n b y b y b y b y b y b y b y b y b y +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的通解.解：将题中所求通解的线性方程组记为=BY 0由题意 1112121121121222212222122122220n n n n n n n n n n n n a a a b b b a a a b b b a a a b b b ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 两边取转置1112121121121222212222122122220n n n n n n n n nnn n b b b a a a b b b a a a b b b a a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭故T A 的每一列为=BY 0的解向量.又 =AX 0的基础解系含有n 个向量，所以，()2r n n n =-=A ，则A 的行向量组线性无关. 又 ()r n =B ，所以，A 的行向量组为=BY 0的基础解系.14．已知4阶方阵1234(,,,)=A αααα，其中234,,ααα线性无关，1232=-ααα，如果1234=+++βαααα，求线性方程组=AB β的通解.解：因为234,,ααα线性无关，又123420=-+⋅αααα, 则 ()3r =A . 所以，=AX 0的基础解系只含有1个向量.又 1234200+-+⋅=αααα所以 123412(,,,)100⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭αααα 故 ()T1,2,1,0=-ξ为=AX 0的一个基础解系. 又 1234+++=ααααβ则 123411(,,,)11⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ααααβ 所以 ()T01,1,1,1=η为=AB β的一个特解 故 =AB β的通解为0R k k =+∈X ξη.15．设()ij m n a ⨯=A 的行向量组是某个齐次线性方程组的基础解系. 证明()ij m n b ⨯=B 的行向量组也是该方程组的基础解系⇔存在可逆阵()ij m m p ⨯=P ，使1,1,2,,,1,2,,mij ik kj k b p a i m j n ====∑.解：设m n ⨯A 的行向量组是=CX 0的基础解系，若m n ⨯B 的行向量组也是=CX 0的基础解系, 则A 的行向量组与B 的行向量组等价 故存在可逆阵P ，使得 =B PA , 所以 1mij ik kjk b P a==∑ 1,2,,i m =，1,2,,j n =.反之，若存在可逆阵,()ij m m P ⨯=P P ，使得1,1,2,,;1,2,,mij ik kj k b P a i m j n ====∑则=B PA ，故A 的行向量组与B 的行向量组等价.又 因为A 的行向量组是=CX 0的基础解系. 所以，B 的行向量组也是=CX 0的基础解系.16.设=AX 0的解都是=BX 0的解，则=AX 0与=BX 0同解()()r r ⇔=A B . 证：必要性.若=AX 0与=BX 0同解，则=AX 0与=BX 0具有相同的解空间, 即()()=N A N B 故 ()()n r n r -=-A B , 所以()()r r =A B .充分性.设1,,n r -ξξ是=AX 0的基础解系，()r r =A ，因为=AX 0的解都是=BX 0的解. 所以，1,,n r -ξξ是=BX 0的n r -个线性无关的解向量.又()()r r =A B ，所以，=BX 0的基础解系所含向量的个数为 ()()n r n r n r -=-=-B A因此，1,,n r -ξξ为=BX 0的一个基础解系. 故=AX 0与=BX 0同解.17．设A 为m p ⨯阵，B 为p n ⨯阵，证明=ABX 0与=BX 0同解()()r r ⇔=AB B证：必要性.因为=ABX 0与=BX 0同解，所以，=ABX 0与=BX 0有相同的解空间, 即()()=N AB N B 因此()()n r n r -=-AB B , 故()()r r =AB B . 充分性.设1X 是=BX 0的解，1=BX 0. 则1==ABX A 00. 所以，=BX 0的解都是=ABX 0的解.设1,,n r -ξξ是=BX 0的基础解系，()r r =B ，则1,,n r -ξξ也是=ABX 0的线性无关解向量. 并且，=ABX 0的基础解系所含向量的个数为()()n r n r n r -=-=-AB B所以 1,,n r -ξξ为=ABX 0的基础解系，故=ABX 0与=BX 0同解.18．设A 为m n ⨯阵，B 为m p ⨯阵，证明=AX B 有解()()r r ⇔=A B A证：必要性.A 为m n ⨯阵，B 为m p ⨯阵，=AX B ，则X 为n p ⨯阵 令 1(,,)p =X X X ，1(,,)p =B b b因为 =AX B 所以 1122,,,p p ===AX b AX b AX b 故 12()()()()p r r r r ===A b A b A b A即矩阵B 的列向量组可以由A 的列向量组线性表示 所以 ()()r r =A B A 充分性.若 ()()r r =A B A ，又由1(,,)p =B b b有 ()()()()1,,i r r r r i p ≤≤==A A b A B A所以 ()()1,,i r r i p ==A b A故 12,,,p ===AX b AX b AX b 有解. 设解分别为12,,,p X X X 1212(,,,)(,,,)p p =A X X X b b b即 =AX B 有解.19．设A 为m n ⨯阵，B 为l n ⨯阵，则=AX 0与=BX 0同解⇔()()r r r ⎛⎫== ⎪⎝⎭A AB B证：若=AX 0与=BX 0同解，则⎛⎫= ⎪⎝⎭A XB 0与=AX 0同解.又 ⎛⎫= ⎪⎝⎭A XB 0的解一定是=AX 0的解.由题16， ()r r ⎛⎫= ⎪⎝⎭A A B同理， ()r r ⎛⎫= ⎪⎝⎭A B B故 ()()r r r ⎛⎫== ⎪⎝⎭A A B B .反之，若 ()()r r r ⎛⎫== ⎪⎝⎭A AB B .因为，⎛⎫=⎪⎝⎭A X B 0的解都是=AX 0的解. 所以，由题16，⎛⎫= ⎪⎝⎭A XB 0与=AX 0同解. 又因为⎛⎫= ⎪⎝⎭A X B 0的解都是=BX 0的解，所以 ⎛⎫= ⎪⎝⎭A XB 0与=BX 0同解，故，=AX 0与=BX 0同解.20．设T (),0ij n n a ⨯⎛⎫==⎪⎝⎭Ab A B b ，其中T 12(,,,)n =b b b b ，若()()r r =A B ，则=AX b 有解.证：因为 ()()()()r r r r ≤≤=A A b B A 所以， ()()r r =A b A故 =AX b 有解.21．设A 为(1)n n ⨯-阵，,()n∈=b R B A b ，若b =AX 有解，则||=B 0. 又当()1r n =-A 时，b =AX 有解||⇔=B 0.证：（1）因为A 为(1)n n ⨯-阵，所以()1n ≤-R A .故()()1r r n n =≤-<A b A又 ()=B A b 为n n ⨯阵，故 ||=B 0.（2）若()1r n =-A ，=AX b 有解，则()()1r r n ==-A b A所以||0=B .反之，若||,()1r n ==-B A 0. 故 ()1r n =-B即 ()()()1r r r n ===-A A b B 所以=AX b 有解.22．若方阵A 的行列式为0，则A 的伴随阵*A 各行成比例. 证：因为||0=A ，所以()1r n ≤-A . （1）若()1r n =-A ，则*()1r =A .故*A 的行向量组的秩为1，不妨设第一行1α为行向量的极大无关组，则剩余行向量均可以由1α线性表示，故各行成比例.（2）若()1r n <-A ，则*()0r =A ，即*=A 0，显然各行成比例.23．设(1)(),()ij n n a r n ⨯+==A A ，则方程组0=AX 的任意两解成比例. 证：因为A 为(1)n n ⨯+阵，()r n =A所以，=AX 0的基础解系所含向量个数为(1)1n n +-=. 设ξ为=AX 0的一个基础解系. 则任意解,R k k =∈X ξ. 所以，任意两解成比例.24．设()ij n n a ⨯=A ，且10,1,2,,nijj ai n ===∑，则A 不可逆.证：由于10nijj a==∑故 111⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A 0. 所以，()T1,1,,1=X 是=AX 0的解.即 齐次线性方程组=AX 0有非零解，故||0=A .25．设A 为n n ⨯实矩阵，若对任意n 维非零列向量X ，均有T0>X AX ，则||0.≠A 证：反证，若||0=A则 =AX 0有非零解设1X 是=AX 0的一个非零解，则1=AX 0T T 11100=⋅=X AX X此与对任意 ≠X 0，T0>X AX 矛盾.26．设A 为（实）反对称阵，D 为对角元全大于0的对角阵，则||0+≠A D ，且还有||0.+>A D证：（1）反证，若||0.+=A D 则 ()+=A D X 0有非零解，设为1X1()+=A D X 0进而 T11()0+=X A D XT T 11110+=X AX X DX因为A 为反对称阵，所以 T110=X AX 故 T110=X DX但 1diag(,,),0n i a a a =>D所T110>X DX ，此为矛盾所以, ||0+≠A D . （2）令()||[0,1]f x x x =+∈A D假设 ||0+<A D .因为 (0)||0f =>D ，(1)||0f =+<A D . 由介值定理 存在0(0,1)x ∈使得00()||0f x x =+=A D0001||||0x x x +=+=D A D A 0x D 为对角元全大于0的对角阵. 但由第（1）步 0||0x +≠DA 矛盾. 故||0+>A D . 27．求出平面上n 点(,)(1,2,,(3))i i x y i n n =≥位于一条直线上的充要条件.证：设n 点所共直线为y kx b =+，则关于,k b 的方程组i i y kx b =+ (1,,)i n =有解，从而矩阵12111n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与1122111n n x y x y x y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的秩相等，故11221131nn x y x y r x y ⎛⎫ ⎪ ⎪< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，反之，若 11221131nn x y x y r x y ⎛⎫ ⎪ ⎪< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （1）若12n x x x ==，则此n 点共线.（2）否则，121121n x x r x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，但11221131nn x y x y r x y ⎛⎫ ⎪ ⎪< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 故 11221121nn x y x y r x y ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 从而 12111n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 与 1122111nn x y x y x y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的秩相等. 方程组（未知量为,k b ）1122n nkx b y kx b y kx b y +=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ 有解，于是n 点共线，故平面上n 点(,)1,,;1,,i i x y i n y n ==共线的充要条件是 11221131nn x y x y r x y ⎛⎫ ⎪ ⎪< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 即 11221131n n x y x y r x y ⎛⎫ ⎪ ⎪< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 28．求出平面内n 条直线0(1,2,,)i i i a x b y c i n ++==共点的充分必要条件. 证：若平面内n 条直线0i i i a x b y c ++=(1,2,,)i n =共点，则线性方程组 111222000n n n a x b y c a x b y c a x b y c ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩ 有解，故矩阵1122n n a b a b a b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 与 111222n n n a b c a b c a b c ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的秩相等. 反之，若矩阵1122n n a b a b a b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与111222n n n a b c a b c a b c ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭秩相等，则线性方程组 111222000n n n a x b y c a x b y c a x b y c ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩ 有解，即n 条直线共点.故n 条直线0(1,2,,)i i i a x b y c i n ++==共点的充要条件是 矩阵1122nn a b a b a b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与111222n n n a b c a b c a b c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的秩相等. 29．设T12(,,,)(1,2,,;)i i i in a a a i r r n ==<α是n 维实向量，且12,,,r ααα线性无关，已知T 12(,,,)n b b b ==β是线性方程组11112212122221122000n n n nr r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的非零解向量，试判断向量组12,,,r ααα，β的线性相关性. 解：设有一组数12,,,,r k k k k 使得11220r r k k k k ++++=αααβ成立，因为T 12(,,,)n b b b ==β是线性方程组111122121122221122000n n n n r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的解，且0≠β，故有T(1,2,,)i i r ==αβ即 T(1,2,,)i i r ==βα于是，由1122T T T T 0r r k k k k ++++=βαβαβαββ得 T0k =ββ，但T0≠ββ，故0k =.从而 11220r r k k k +++=ααα由于向量组12,,,r ααα线性无关，所以有120r k k k ====因此，向量组12,,,,r αααβ线性无关.30．已知向量()()()TTT1231,1,0,2,2,1,1,4,4,5,3,11=-=-=-ηηη，是方程组112334411223442122344324335a x x a x a x d x b x x b x d x c x x c x d ⎧+++=⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 的三个解. 求该方程组的通解.解：由已知有()()TT21311,2,1,2,3,6,3,9-=--=-ηηηη是相应的齐次方程组的两个线性无关解.所以，系数矩阵的秩2≤，（因为4()2r -≥A ）.又 系数矩阵134242424335a a ab b cc ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭有二阶子式43035≠所以，系数矩阵的秩2≥. 于是，系数矩阵的秩为2.故齐次方程组的基础解系包含2个向量，即2131,--ηηηη是齐次方程组的基础解系. 因此，该方程组的通解为121231112()()(,)R k k k k -+-+∈ηηηηη.31．设12,,,t ααα是齐次线性方程组0=AX 的基础解系，向量β不是0=AX 的解，试证向量组12,,,,t +++ββαβαβα线性无关.证：设有一组01,,,t k k k 得01112()()()0t t k k k k +++++++=ββαβαβα得 0121122()0t t t k k k k k k k ++++++++=βααα （1）由于12,,,t ααα是齐次线性方程组0=AX 的基础解系，向量β不是0=AX 的解，所以β不能表为1,,t αα的线性组合，所以010t k k k +++=因此（1）式变为 11220t t k k k +++=ααα由于1,,t αα线性无关，所以 120t k k k ====，进而00k =，故向量组12,,,,t +++ββαβαβα线性无关.32．已知齐次方程组（I ）124213224000x x x ax a x ax a x ++=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩的解都满足方程1230x x x ++=，求a 和方程组（I ）的通解.解：（I ）的解都满足1230x x x ++=的充要条件是（I ）与方程组1242132241230000x x x ax a x ax a x x xx ++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪++=⎩同解，于是该方程组系数矩阵的秩等于方程组（I ）的秩，即22110100001110a a a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B 与 2211010000a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A的秩相等，对,A B 都施以行变换得222110100aa a a a ⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭A 2211010000110002a a a a ⎛⎫⎪⎪→ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭B 因此，当0a =时，秩()1=≠A 秩()2=B 不满足题意当0a ≠时 1101010001a a a ⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭A 1101010001100021a a ⎛⎫ ⎪⎪→ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭B 使秩()=A 秩()3=B 的充要条件是12a =，此即12a =为题意所求.把12a =代入方程组（I ）得系数矩阵110011012111000102421100110024⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A 所以 14243411,,22x x x x x x =-=-=方程组（I ）的基础解系为 T11(,,1,1)22=--α通解 为()R k k =∈X α. 33．设121201101t t t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，且方程组0=AX 的基础解系中含有两个解向量，求0=AX 的通解.解：因为4,()2n n r =-=A ，所以()2r =A 对A 施行初等行变换得1112121201011010211t t t t t t ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A 2212120100(1)(1)t t t t ⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪----⎝⎭221012220100(1)(1)tt t t t t --⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪----⎝⎭要使()2r =A ，则必有1t =，此时与0=AX 同解的方程组为13234x x x x x =⎧⎨=--⎩ 得基础解系 ()()TT121,1,1,0,0,1,0,1=-=-ξξ方程组的通解为 112212(,)R k k k k =+∈X ξξ.34．讨论三个平面11111:a x b y c z d π++=，22222:a x b y c z d π++=，33333:a x b y c z d π++=的位置关系解：设111222333a b c a b c a b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，111122223333a b c d a b c d a b c d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A（1）若()()3r r ==A A ，则三平面交于一点，因为三平面的联立方程组仅有唯一解.（2）若()3,()2r r ==A A ，则三平面不相交，因为此时三平面的联立方程组无解. 由()2r =A ，知A 的3个行向量123,,ααα线性相关，故存在3个不全为零的数，123,,k k k 使得1122330k k k ++=ααα，当123,,k k k 都不为零时，三平面中任意两平面的交线与另一平面平行；当123,,k k k 中有一个为零时，三平面中有两平面平行，另一平面与这两平面相交.（3）若()()2r r ==A A ，则三平面相交于一直线，因为此时三平面联立方程组有无穷多解.由于()2r =A ，则A 的3个行向量123,,βββ线性相关. 故存在3个不全为零的数123,,k k k ，使得1122330k k k ++=βββ，当123,,k k k 均不为零时，三平面互异；当123,,k k k 中有一个为零时，三平面中有两平面相重合.（4）若()2r =A ，()1r =A ，则三平面不交，因为此时三平面的联立方程组无解. 由()1r =A ，故三平面平行，又因为()2r =A ，所以三平面中至少有两个互异. （5）若()()1r r ==A A ，则三平面重合，因为此时三平面的方程实际上是一样的.。

第四章 线性方程组线性方程组的三种表达形式1．一般形式11112211211222221122n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （1）（当120m b b b ==== 时，称为齐次线性方程组）2．矩阵形式设1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A X b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 则（1）可表为 (0)Ax b Ax ==3．向量形式1112112122221212,,,,n n n m m mn m a a a b a a a b a a a b αααβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则（1）可表为11221122(0)n n n n x x x x x x αααβααα+++=+++=一、齐次线性方程组1．解的判定0AX =必有0解；0AX =有非0解⇔()R A n <，n 为未知数的个数；若A 为方阵，则0AX =有0解⇔0A ≠0AX =有非0解⇔0A =2．齐次线性方程组解的性质（1）齐次线性方程组恒有解；（2）齐次线性方程组任二个解的线性组合仍为其解；3．齐次线性方程组的通解（1）基础解系所含向量的个数为()n R A -，其中n 为未知量的个数，A 为齐次线性方程组的系数矩阵。

（2）通解：齐次线性方程组0AX =的任一解均可表为其基础解系的线性组合，即1122n r n r k k k ηηηη--=+++其中12,(),,,n r R A r ηηη-= 为基础解系。

【例1】 齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++07654065430543204324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系是 （A ） ()T 0,1,0,3-，()T 1,0,3,2-；（B ） ()()T T k k 1,0,3,20,1,2,121-+-；（C ） ()T 1,0,3,2-，T⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,0,23,1 （D ） ()T 2,1,4,3--，()T 1,1,5,3-【例2】 已知齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=++=++=++05)2(203402032321321321321x x a x x x ax x ax x x x x 有非零解，则a =【例3】 设A 为4×5矩阵，且A 的行向量组线性无关，则（A ）A 的任意4个向量组线性无关；（B ）方程组b Ax =有无穷多解；（C ）方程组b Ax =的增广矩阵A 的任意4个列向量构成的向量组线性无关；（D ）A 的任意一个4阶子式不等于零。

第四章 线性方程组4.1消元法教学目的：1、掌握线性方程组的和等变换，矩阵的初等变换等概念。

理解线性方程组的和等变换是同解变换，以及线性方程组的初等变换可用增广矩阵的相应的行初等变换代替。

2、熟练地掌握用消元发解线性方程组，以及判断线性方程组有没有解和解的个数。

设方程组:a 11x 1+a 12x 2+…+a 1n x n =b 1; a 21x 1+a 22x 2+…+a 2n x n =b 2; (1)……………………………… a m1x 1+a m2x 2+…+a mn x n =b m . 1 线性方程组的初等变换: 例1解线性方程组:21x 1+31x 2+x 3=1 (2)x 1+35x 2+3x 3=32x 1+34x 2+5x 3=2 从第一和第三方程分别减去第二个方程的21倍和2倍,来消去前两个方程中的未知量x 1(即把x 1的系数化为零).我们得到:-21x 1-21x 3=-21 x 1+35x 2+3x 3=3 -2x 2-x 3=-4为了计算的方便,我们把第一个方程乘以-2后,与第二个方程交换,得:x1+35x 2+3x 3=3 x 2+x 3=1 -2x 2-x 3=-4把第二个方程的2倍加到第三个方程,来消去后一方程中的未知量x 2,我们得到:x 1+35x 2+3x 3=3 x 2+x 3=1 x 3=-2现在很容易求出方程组的解.从第一个方程减去第三个方程的3倍,再从第二个方程减去第三个方程(相当于把x 3的值-2代入第一和第二个方程),得x 1+35x 2=9 x 2=3 x 3=-2再从第一个方程减去第二个方程的35倍(相当于把x 2的值3代入第一个方程),得 x 1=4x 2=3 x 3=-2这样我们就求出了方程组(2)的解.分析一下以上的例子,我们看到,我们对方程组施行了三种变换: 1) 交换两个方程的位置;2) 用一个不等于零的数乘某一个方程; 3) 用一个数乘某一个方程后加到另一个方程. 我们把这三种变换叫做线性方程组的初等变换. 由初等代数知道,以下定理成立.定理4.1.1初等变换把一个线性方程组边为一个与它同解的线性方程组. 2矩阵：利用线性方程组(1)的系数可以排成如下的一个表:(3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a aa aa a a a a mn m m n n............ (2)12222111211, 而利用(1)的系数和常数项又可以排成下表:(4)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b aaa b a a b a a a b a a a m mnm m nn ............... (2)133231222221111211.定义1由st 个数c ij 排成一个s 行t 列的表 叫作一个s 行t 列（或s ?t ）矩阵。