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李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社数值分析是一门研究数值计算方法的学科，它应用于各个领域，解决了许多实际问题。
《李庆扬数值分析第五版习题答案》是一本为读者提供数值分析习题解答的参考书，由清华大学出版社出版。
第一章误差1.1 绝对误差与相对误差在数值计算过程中，由于测量、取近似值和舍入误差等原因，我们常常会得到与真实值有一定偏差的结果。
绝对误差和相对误差是描述数值计算结果与真实值之间误差大小的衡量标准。
绝对误差表示实际值和计算值之间的差别，相对误差则是绝对误差与实际值之比。
1.2 舍入误差与有效数字在数值计算中，由于计算机底层的二进制表示以及计算机在表示无穷和无法精确表示的数字时需要进行近似，会导致舍入误差。
有效数字是用来表示浮点运算结果的一种方式，能够控制舍入误差的影响。
第二章插值与多项式逼近2.1 插值问题的提出插值问题是在有限数据点的基础上，构造一个与这些数据点足够接近的函数。
插值的目的是通过已知数据点之间构造一个函数，使得通过这个函数计算的结果近似于真实的未知数据点的值。
2.2 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是通过构造一个基于已知数据点的多项式函数，来实现对未知数据点的预测。
它通过对每个数据点进行加权，以使得插值多项式通过这些数据点。
2.3 牛顿插值法牛顿插值法是通过使用差商的概念，构造一个多项式函数来进行插值。
差商是指由数据点的函数值所决定的差分系数。
第三章数值积分与数值微分3.1 数值积分的基本思想数值积分是通过将区间进行离散化，将连续变量转化为离散变量的和，从而实现对曲线下面积的近似计算。
3.2 复合求积公式复合求积公式将整个区间分割为若干子区间，对每个子区间进行积分，并将结果相加得到最终的数值积分结果。
通过增加子区间的数量，可以提高数值积分的精确度。
3.3 数值微分的基本思想数值微分是通过利用离散数据点之间的差值，来近似计算函数在某个点处的导数。
第四章线性方程组的数值解法4.1 线性方程组的求解线性方程组的求解是数值分析中的一个重要问题。
《线性代数》教案一、前言1. 教学目标：使学生理解线性代数的基本概念、理论和方法，培养学生运用线性代数解决实际问题的能力。
2. 适用对象：本教案适用于大学本科生线性代数课程的教学。
3. 教学方式：采用讲授、讨论、练习相结合的方式进行教学。
二、教学内容1. 第一章：线性代数基本概念1.1 向量及其运算1.2 线性方程组1.3 矩阵及其运算1.4 行列式2. 第二章：线性空间与线性变换2.1 线性空间2.2 线性变换2.3 矩阵与线性变换2.4 特征值与特征向量3. 第三章：特征值与特征向量3.1 特征值与特征向量的定义3.2 矩阵的特征值与特征向量3.3 矩阵的对角化3.4 二次型4. 第四章：线性方程组的求解方法4.1 高斯消元法4.2 克莱姆法则4.3 矩阵的逆4.4 最小二乘法5. 第五章：线性代数在实际应用中的案例分析5.1 线性规划5.2 最小二乘法在数据分析中的应用5.3 线性代数在工程中的应用5.4 线性代数在计算机科学中的应用三、教学方法1. 讲授：通过讲解线性代数的基本概念、理论和方法，使学生掌握线性代数的基础知识。
2. 讨论：组织学生就线性代数中的重点、难点问题进行讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
3. 练习：布置适量的练习题，让学生通过自主练习巩固所学知识，提高解题能力。
四、教学评价1. 平时成绩：考察学生的出勤、作业、课堂表现等方面，占总评的30%。
2. 期中考试：考察学生对线性代数知识的掌握程度，占总评的40%。
3. 期末考试：全面测试学生的线性代数知识水平和应用能力，占总评的30%。
五、教学资源1. 教材：推荐使用《线性代数》（高等教育出版社，同济大学数学系编）。
2. 辅助教材：可参考《线性代数教程》（清华大学出版社，谢乃明编著）。
3. 网络资源：推荐学生浏览线性代数相关网站、论坛，拓展知识面。
4. 软件工具：推荐使用MATLAB、Mathematica等数学软件，辅助学习线性代数。
第四章线性方程组§1 消元法在实际问题中，我们经常要研究一个线性方程组的解，解线性方程组最常用的方法就是消元法，其步骤是逐步消除变元的系数，把原方程组化为等价的三角形方程组，再用回代过程解此等价的方程组，从而得出原方程组的解.例1 解线性方程组解 将第一个方程加到第二个方程，再将第一个方程乘以（-2）加到第三个方程得在上式中交换第二个和第三个方程，然后把第二个方程乘以-2加到第三个方程得再回代,得.分析上述例子，我们可以得出两个结论：（1） 我们对方程施行了三种变换：① 交换两个方程的位置；② 用一个不等于0的数乘某个方程；③ 用一个数乘某一个方程加到另一个方程上.我们把这三种变换叫作线性方程组的初等变换.由初等代数可知，以下定理成立.定理1 初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组.（2） 线性方程组有没有解,以及有些什么样的解完全决定于它的系数和常数项，因此我们在讨论线性方程组时，主要是研究它的系数和常数项.定义1 我们把线性方程组的系数所组成的矩阵叫做线性方程组的系数矩阵，把系数及常数所组成的矩阵叫做增广矩阵.设线性方程组则其系数矩阵是增广矩阵是显然，对一个方程组实行消元法求解，即对方程组实行了初等变换，相当于对它的增广矩阵实行了一个相应的初等变换.而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵，这样，不但讨论起来比较方便，而且能够给予我们一种方法，利用一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出.例2 解线性方程组解 增广矩阵是,交换矩阵第一行与第二行，再把第一行分别乘以和(-2)加到第二行和第三行，再把第二行乘以(-2)得,在中将第二行乘以2加到第三行得,相应的方程组变为三角形(阶梯形)方程组：回代得.§2 线性方程组有解判别定理上一节我们讨论了用消元法解方程组(4.1)这个方法在实际解线性方程组时比较方便，但是我们还有几个问题没有解决，就是方程组(4.1)在什么时候无解?在什么时候有解?有解时，又有多少解?这一节我们将对这些问题予以解答.首先，由第三章，我们有下述定理定理2 设A是一个m行n列矩阵，通过矩阵的初等变换能把A化为以下形式这里ｒ≥0，ｒ≤ｍ，ｒ≤ｎ.注：以上形式为特殊标准情况，不过，适当交换变元位置，一般可化为以上形式.由定理2，我们可以把线性方程组(4.1)的增广矩阵进行初等变换化为：（4.２）与(4.2)相应的线性方程组为：（4.3）由定理1知：方程组(4.1)与方程组(4.3)是同解方程组，要研究方程组(4.1)的解，就变为研究方程组(4.3)的解.① 若ｄｒ＋１，ｄｒ＋２，…，ｄｍ中有一个不为0，方程组(4.3)无解，那么方程组(4.1)也无解.② 若ｄｒ＋１，ｄｒ＋２，…，ｄｍ全为0，则方程组(4.3)有解，那么方程组(4.1)也有解.对于情形①，表现为增广矩阵与系数矩阵的秩不相等，情形②表现为增广矩阵与系数矩阵的秩相等，由此我们可以得到如下定理.定理3 (线性方程组有解的判别定理)线性方程组（4.1）有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩r.① 当r等于方程组所含未知量个数n时，方程组有惟一的解；② 当r＜ｎ时，方程组有无穷多解.线性方程组（4.1）无解的充分必要条件是：系数矩阵A的秩与增广矩阵B的秩不相等.在方程组有无穷多解的情况下，方程组有n-r个自由未知量，其解如下：其中是自由未知量，若给一组数就得到方程组的一组解例3 研究线性方程组解 写出增广矩阵对进行初等行变换可化为由此断定系数矩阵的秩与增广矩阵的秩不相等，所以方程组无解.例4 在一次投料生产中，获得四种产品，每次测试总成本如下表:生产批次产品（公斤）总成本（元）ⅠⅡⅢⅣ12001001005029002500250200100705031004002013604400180160605500试求每种产品的单位成本.解 设Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四种产品的单位成本分别为，由题意得方程组：化简，得写出增广矩阵对其进行初等行变换，化为由上面的矩阵可看出系数矩阵与增广矩阵的秩相等，并且等于未知数的个数，所以方程组有唯一解：例5 解线性方程组解 这里的增广矩阵是对其进行初等行变换，化为由上式可看出系数矩阵与增广矩阵的秩相等，所以方程组有解，对应的方程组是把移到右边，作为自由未知量，得原方程组的一般解为给自由未知量一组固定值：，我们就得到方程组的一个解.事实上，在例5中，也可作为自由未知量.我们同样可考察.。
§4.1 线性方程组解的判定这一节我们利用n 维向量和矩阵秩的概念来讨论线性方程组解的情况． 设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* (1)的系数矩阵和增广矩阵分别为A 和A ，即 A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211， A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅m mn m m n n b a a a b a a a b a a a 21222221111211． 定理1 线性方程组（1）有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，即r (A )=r (A )证：必要性如果方程组(1)有解，则β可由α1，α2，…，αn 线性表出，从而向量组α1，α2，…，αn ，β 可由α1，α2，…，αn 线性表出．又显然α1，α2，…，αn 可由α1，α2，…，αn ，β 线性表出， 于是 {α1，α2，…，αn }≅{α1，α2，…，αn ，β}． 所以 r {α1，α2，…，αn }=r {α1，α2，…，αn ，β}， 因此 r (A )=r (A )充分性 若 r (A )=r (A )，则有 r {α1，α2，…，αn }=r {α1，α2，…，αn ，β}，又向量组 α1，α2，…，αn 可由α1，α2，…，αn ，β 线性表出，于是由§4的定理4知{}n ααα,,,21 ≅{}βααα,,,,21n ，因此β可由n ααα,,,21 线性表出，这就表明线性方程组(1)有解．此定理与前面§1介绍的消元法所得的结果是一致的．用消元法解线性方程组就是用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵，这个阶梯形矩阵在适当调动前几列的顺序之后可能有两种情形：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1222221111211r r rn rr n r n r d d c c d c c c d c c c c 或者⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 222221111211r rn rr n r n r d c c d c c c d c c c c其中c ii ≠0，i =1，2，…， r ，d r+1≠0．在前一种情形，我们说原方程组无解，而后一种情形方程组有解．实际上，把阶梯形矩阵中最后一列去掉，就是系数矩阵经过初等变换所变成的阶梯形矩阵．所以，当d r+1≠0时，r (A )≠r (A )，方程无解；当d r+1=0时，r (A )＝r (A )，方程组有解．定理2 当线性方程组有解时， (1) 若r (A )=r =n ，则方程组有唯一解． (2) 若r (A )=r<n ，则方程组有无穷多解．对于齐次线性方程组，由于它的系数矩阵A 与增广矩阵的秩总是相等的，所以齐次方程组总是有解的，至少有零解．那么，何时有非零解呢？将定理2用于齐次线性方程组立即可得到如下推论．推论1 齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n mn m m nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解的充分必要条件是：系数矩阵的秩r (A )=r<n ． 推论2 齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解的充分必要条件是：系数行列式D =0思考题：当λ为何值时，下述齐次线性方程组有非零解？并且求出它的一般解．⎪⎩⎪⎨⎧=+++=--+-=---0)3(14202)8(023)2(321321321x x x x x x x x x λλλ§4.2-4.3 线性方程组解的结构上节解决了线性方程组的解的判定问题，接下来我们进一步讨论解的结构．已经知道，在方程组有解时，解的情况只有两种可能：有唯一解或有无穷多个解．唯一解的情况下，当然没有什么结构问题．在无穷多个解的情况下，需要讨论解与解的关系如何？是否可将全部的解由有限多个解表示出来，这就是所谓的解的结构问题．一. 齐次线性方程组解的结构设齐次线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n mn m m nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (1)我们要研究当(1)有非零解时，这些非零解之间有什么关系，如何求出全部解？为此，先讨论齐次线性方程组的解的性质．为了讨论的方便，将（1）的解n n k x k x k x ===,,,2211写成行向量的形式),,,(21n k k k性质1 如果α=(c 1，c 2，…，c n )，β= (d 1，d 2，…，d n )是方程组(1)的两个解，则α+β=( c 1+d 1， c 2+d 2，，…， c n +d n )也是(1)的解．证明：因为α=(c 1，c 2，…，c n )与β= ( d 1，d 2，…，d n )都是(1)的解，所以有下列两组等式成立，即a i 1c 1+a i 2c 2+…+a in c n =0 (i =1，2，…， m ) a i 1d 1+a i 2d 2+…+a in d n =0 (i =1，2，…， m )两式相加得：a i1(c1+d1)+a i2(c2+d2)+…+a in(c n+d n)=0(i=1，2，…，m)这表明(c1+d1)，(c2+d2)，…，(c n+d n)是(1)的一个解，即α+β是(1)的解．性质2若α是(1)的解，则kα=( kc1，kc2，…，kc n)也是(1)的解．(k是常数) 证明：因α=(c1，c2，…，c n) 是(1)的解，所以有a i1c1+a i2c2+…+a in c n=0 i=1，2，…，n，两边同乘以k得a i1(kc1)+ a i2(kc2)+…+ a in(kc n)=0这说明(kc1，kc2，…，kc n) 是(1)的解．性质3如果α1，α2，…，αn，都是(1)的解，则其线性组合k1α1+k2α2+…+k nαn，也是(1)的解，其中k1，k2，…，k n是任意数．由性质1、2立即可以推出性质3．由此可知，如果一个齐次线性方程组有非零解，则它就有无穷多个解，那么如何把这无穷多个解表示出来呢？也就是方程组的全部解能否通过它的有限个解的线性组合表示出来．如将它的每个解看成一个向量(也称解向量)，这无穷多个解就构成一个n维向量组．若能求出这个向量组的一个“极大无关组”，就能用它的线性组合来表示它的全部解．这个极大无关组在线性方程组的解的理论中，称为齐次线性方程组的基础解系．定义1如果齐次线性方程组(1)的有限个解η1，η2，…，ηt满足：(1) η1，η2，…，ηt线性无关；(2) 方程组(1)的任意一个解都可以由η1，η2，…，ηt线性表出．则称η1，η2，…，ηt是齐次线性方程组(1)的一个基础解系．问题是，任何一个齐次线性方程组是否都有基础解系？如果有的话，如何求出它的基础解系？基础解系中含有多少个解向量？定理1 如果齐次线性方程组(1)有非零解，则它一定有基础解系，并且基础解系含有n–r个解向量．其中n是未知量的个数，r是系数矩阵的秩．证明：因为齐次线性方程组(1)有非零解，所以r(A)=r<n，对方程组(1)的增广矩阵A施行初等行变换，可以化为如下形式：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++000000000100001000011212111rn rr n r n r c c c c c c即方程组(1)与下面的方程组同解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧----=----=----=++++++++++++nrn r rr r rr r nn r r r r n n r r r r x c x c x c x x c x c x c x x c x c x c x 22112222112212211111 其中x r+1， x r+2，…， x n 为自由未知量 对n –r 个自由未知量分别取⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001 ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010 ，…，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100 ， 可得方程组(1)的n –r 个解．η1=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ 0 0 1- --11211 rr r r c c c ，η2=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ 0 1 0- --22221 rr r r c c c ，…，ηn –r =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 1 0 0- --21 rn n n c c c ， 现在来证明η1，η2，…，ηn –r 就是方程组(1)的一个基础解系． 首先证明η1，η2，…，ηn –r 线性无关． 以解向量η1，η2，…，ηn –r 为列构成矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------++++++1 0 0 0 1 0 0 0 1 212221212111 rn rr rr n r r n r r c c c c c c c c c ，有n –r 阶子式1 0 0 0 0 1 000 0 1 0 0 0 0 1 ＝1≠0，即r (η1，η2，…，ηn –r )=n –r ，所以η1，η2，…，ηn –r 线性无关．其次证明方程组(1)的任意一个解η=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n k k k 21，是η1，η2，…，ηn –r 的线性组合．由于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧----=----=----=++++++++++++nrn r rr r rr r nn r r r r n n r r r r k c k c k c k k c k c k c k k c k c k c k 22112222112212211111所以η=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++n r r r k k k k k k 2121 =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------++++++++++++++n r r n rn r rr r rr n n r r r r n n r r r r k k k k c k c k c k c k c k c k c k c k c 0 00 0 0 0 21221122221121221111=k r+1⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+++0 0 1 11211 rr r r c c c +k r+2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+++0 1 1 11211 rr r r c c c +…+k n ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1 0 0 21 rn n n c c c =k r+1η1+ k r+2η2+…+ k n ηn –r ．即η是η1，η2，…，ηn –r 的线性组合．这就说明了η1，η2，…，ηn –r 是方程组(1)的一个基础解系．因此，方程组(1)的全部解为 k 1η1+ k 2η2+…+ k n –r ηn –r ．定理的证明过程实际上给我们指出了求齐次线性方程组基础解系的具体方法．由于自由未知量x r +1，x r +2，…，x n 可以任意取值，故基础解系不是唯一的，但两个基础解系所含向量的个数都是n –r 个．可以证明：齐次线性方程组(1)的任意n –r 个线性无关的解向量均可以构成它的一个基础解系．性质1 非齐次线性方程组(2)的任意两个解的差是它的导出组(1)的一个解． 证： 设α=(c 1，c 2，…，c n )，β= ( d 1，d 2，…，d n )为方程组(2)的两个解，分别代入(2)得a i 1c 1+a i 2c 2+…+a in c n =b i (i =1，2，…， m ) a i 1d 1+a i 2d 2+…+a in d n =b i (i =1，2，…， m )两式相减得：a i 1(c 1–d 1)+a i 2(c 2–d 2)+…+a in (c n –d n )=0 (i =1，2，…， m )这表明 (c 1–d 1)，(c 2–d 2)，…，(c n –d n )是(1)的一个解，即α–β是(1)的解．性质２ 非齐次线性方程组(2)的一个解与它的导出组(1)的一个解的和是非齐次线性方程组(2)的一个解．证明方法与性质1的证明方法相同． 由性质1、性质２可得定理2 设γ0是非齐次线性方程组(2)的一个解，η是导出组(1)的全部解，则γ=γ0+η是非齐次线性方程组的全部解．证明：由非齐次线性方程组解的性质２可知，γ=γ0+η 是方程组(2)的解． 下面证明方程组(2)的任意一个解γ＊都可以表示成γ0+η0，其中η0是齐次线性方程组(1)的某一个解．因为γ＊、γ0都是非齐次线性方程组(2)的解，由非齐次线性方程组的解的性质1可知γ＊–γ0是导出组(1)的解．令η0=γ＊–γ0则η0是齐次线性方程组(1)的某一个解，且,00*ηγγ+=因η是齐次线性方程组（1）的全部解，所以非齐次线性方程组(2)的任意一个解都包含在γ=γ0+η中，这就证明了γ=γ0+η是非齐次线性方程组(2)的全部解．由此定理可知，如果非齐次线性方程组有解，则只需求出它的一个解(特解)γ0，并求出其导出组的基础解系η1， η2，，…， ηn –r ，则非齐次线性方程组的全部解可表示为η0=γ0＋k 1η1+ k 2η2+…+ k n –r ηn –r其中k 1，k 2，…，k n –r 为任意数．如果非齐次线性方程组的导出组仅有零解，则该非齐次线性方程组只有唯一解，如果其导出组有无穷多解，则它也有无穷多解． 思考题：已知矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----023*********02100121的各行向量都是齐次线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=++++=-+++=++++033450622032305432154325432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的解向量，问这４个行向量能否构成基础解系？假如不能，这４个行向量是多了还是少了，假如多了，如何去掉？假如少了又如何补充？。
