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第四章 线性方程组1．线性方程组的基本概念(1)线性方程组的一般形式为：其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等. 线性方程组的解是一个n 维向量(k 1,k 2, …,k n )(称为解向量),它满足当每个方程中的未知数x 用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b 1=b 2=…=b m =0的线性方程组称为齐次线性方程组. n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只有零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组. (2) 线性方程组的其他形式 线性方程组除了通常的写法外,还常用两种简化形式： 向量式 x 1α1+x 2α2+…+n x n α= β， (齐次方程组x 1α1+x 2α2+…+n x n α=0).即[]n a a ,,a 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21=β 全部按列分块，其中β,,21n a a a 如下⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=121111m a a a α ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=222122m a a a α，………，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn n n n a a a 21α, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β 显然方程组有解的充要条件是向量β可由向量组n ααα,,21 线性表示。
矩阵式 AX =β，(齐次方程组AX =0).⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x X 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β其中A 为m n ⨯矩阵，则：① m 与方程的个数相同，即方程组AX =β有m 个方程； ② n 与方程组的未知数个数相同，方程组AX =β为n 元方程。
第四章 线性方程组第1讲 齐次线性方程组齐次方程组 （矩阵形式 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n mn m m nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a """""""""""""0=Ax ）①其中 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛==mn m m n n mxnij a a a a a a a a a a A """""""212222111211)(⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=n x x x x #21 解的判定：① 只有零解n A r =)(⇔0=Ax ②有非零解（或无穷多解）n A r <)(⇔0=Ax 解的结构：1.如果1 , 2ξξ都是①的解，则1122k k ξξ+ （为任意实数）还是①的解.21,k k 2.设 ，，则方程组mxn A A =n r A r <=)(0=Ax 的基础解系含有r n −个解向量. 此时设12 , ξξ,,"n r ξ− 为①的r n −个线性无关解,则①的通解为 1122n r n r x k k k ξξξ−−=+++"基础解系：向量组m ααα,,,21"为的基础解系的充要条件为：0=AX 1.每一个i α都是的解 2.0=AX m ααα,,,21"线性无关 3.()m n r A =− 例1．设1α,2α,3α是的基础解系,则该方程组的基础解系还可表示成( ) 0=Ax (A) 1α,2α,3α 的一个等价向量组 (B) 1α,2α,3α 的一个等秩向量组 (C) 1α,21αα+,321ααα++ (D) 21αα−,32αα−,13αα− 例2．求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=−+=−+−030 03423214314321x x x x x x x x x x 的基础解系。
§4.1 线性方程组解的判定这一节我们利用n 维向量和矩阵秩的概念来讨论线性方程组解的情况． 设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* (1)的系数矩阵和增广矩阵分别为A 和A ，即 A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211， A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅m mn m m n n b a a a b a a a b a a a 21222221111211． 定理1 线性方程组（1）有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，即r (A )=r (A )证：必要性如果方程组(1)有解，则β可由α1，α2，…，αn 线性表出，从而向量组α1，α2，…，αn ，β 可由α1，α2，…，αn 线性表出．又显然α1，α2，…，αn 可由α1，α2，…，αn ，β 线性表出， 于是 {α1，α2，…，αn }≅{α1，α2，…，αn ，β}． 所以 r {α1，α2，…，αn }=r {α1，α2，…，αn ，β}， 因此 r (A )=r (A )充分性 若 r (A )=r (A )，则有 r {α1，α2，…，αn }=r {α1，α2，…，αn ，β}，又向量组 α1，α2，…，αn 可由α1，α2，…，αn ，β 线性表出，于是由§4的定理4知{}n ααα,,,21 ≅{}βααα,,,,21n ，因此β可由n ααα,,,21 线性表出，这就表明线性方程组(1)有解．此定理与前面§1介绍的消元法所得的结果是一致的．用消元法解线性方程组就是用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵，这个阶梯形矩阵在适当调动前几列的顺序之后可能有两种情形：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1222221111211r r rn rr n r n r d d c c d c c c d c c c c 或者⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 222221111211r rn rr n r n r d c c d c c c d c c c c其中c ii ≠0，i =1，2，…， r ，d r+1≠0．在前一种情形，我们说原方程组无解，而后一种情形方程组有解．实际上，把阶梯形矩阵中最后一列去掉，就是系数矩阵经过初等变换所变成的阶梯形矩阵．所以，当d r+1≠0时，r (A )≠r (A )，方程无解；当d r+1=0时，r (A )＝r (A )，方程组有解．定理2 当线性方程组有解时， (1) 若r (A )=r =n ，则方程组有唯一解． (2) 若r (A )=r<n ，则方程组有无穷多解．对于齐次线性方程组，由于它的系数矩阵A 与增广矩阵的秩总是相等的，所以齐次方程组总是有解的，至少有零解．那么，何时有非零解呢？将定理2用于齐次线性方程组立即可得到如下推论．推论1 齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n mn m m nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解的充分必要条件是：系数矩阵的秩r (A )=r<n ． 推论2 齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解的充分必要条件是：系数行列式D =0思考题：当λ为何值时，下述齐次线性方程组有非零解？并且求出它的一般解．⎪⎩⎪⎨⎧=+++=--+-=---0)3(14202)8(023)2(321321321x x x x x x x x x λλλ§4.2-4.3 线性方程组解的结构上节解决了线性方程组的解的判定问题，接下来我们进一步讨论解的结构．已经知道，在方程组有解时，解的情况只有两种可能：有唯一解或有无穷多个解．唯一解的情况下，当然没有什么结构问题．在无穷多个解的情况下，需要讨论解与解的关系如何？是否可将全部的解由有限多个解表示出来，这就是所谓的解的结构问题．一. 齐次线性方程组解的结构设齐次线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n mn m m nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (1)我们要研究当(1)有非零解时，这些非零解之间有什么关系，如何求出全部解？为此，先讨论齐次线性方程组的解的性质．为了讨论的方便，将（1）的解n n k x k x k x ===,,,2211写成行向量的形式),,,(21n k k k性质1 如果α=(c 1，c 2，…，c n )，β= (d 1，d 2，…，d n )是方程组(1)的两个解，则α+β=( c 1+d 1， c 2+d 2，，…， c n +d n )也是(1)的解．证明：因为α=(c 1，c 2，…，c n )与β= ( d 1，d 2，…，d n )都是(1)的解，所以有下列两组等式成立，即a i 1c 1+a i 2c 2+…+a in c n =0 (i =1，2，…， m ) a i 1d 1+a i 2d 2+…+a in d n =0 (i =1，2，…， m )两式相加得：a i1(c1+d1)+a i2(c2+d2)+…+a in(c n+d n)=0(i=1，2，…，m)这表明(c1+d1)，(c2+d2)，…，(c n+d n)是(1)的一个解，即α+β是(1)的解．性质2若α是(1)的解，则kα=( kc1，kc2，…，kc n)也是(1)的解．(k是常数) 证明：因α=(c1，c2，…，c n) 是(1)的解，所以有a i1c1+a i2c2+…+a in c n=0 i=1，2，…，n，两边同乘以k得a i1(kc1)+ a i2(kc2)+…+ a in(kc n)=0这说明(kc1，kc2，…，kc n) 是(1)的解．性质3如果α1，α2，…，αn，都是(1)的解，则其线性组合k1α1+k2α2+…+k nαn，也是(1)的解，其中k1，k2，…，k n是任意数．由性质1、2立即可以推出性质3．由此可知，如果一个齐次线性方程组有非零解，则它就有无穷多个解，那么如何把这无穷多个解表示出来呢？也就是方程组的全部解能否通过它的有限个解的线性组合表示出来．如将它的每个解看成一个向量(也称解向量)，这无穷多个解就构成一个n维向量组．若能求出这个向量组的一个“极大无关组”，就能用它的线性组合来表示它的全部解．这个极大无关组在线性方程组的解的理论中，称为齐次线性方程组的基础解系．定义1如果齐次线性方程组(1)的有限个解η1，η2，…，ηt满足：(1) η1，η2，…，ηt线性无关；(2) 方程组(1)的任意一个解都可以由η1，η2，…，ηt线性表出．则称η1，η2，…，ηt是齐次线性方程组(1)的一个基础解系．问题是，任何一个齐次线性方程组是否都有基础解系？如果有的话，如何求出它的基础解系？基础解系中含有多少个解向量？定理1 如果齐次线性方程组(1)有非零解，则它一定有基础解系，并且基础解系含有n–r个解向量．其中n是未知量的个数，r是系数矩阵的秩．证明：因为齐次线性方程组(1)有非零解，所以r(A)=r<n，对方程组(1)的增广矩阵A施行初等行变换，可以化为如下形式：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++000000000100001000011212111rn rr n r n r c c c c c c即方程组(1)与下面的方程组同解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧----=----=----=++++++++++++nrn r rr r rr r nn r r r r n n r r r r x c x c x c x x c x c x c x x c x c x c x 22112222112212211111 其中x r+1， x r+2，…， x n 为自由未知量 对n –r 个自由未知量分别取⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001 ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010 ，…，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100 ， 可得方程组(1)的n –r 个解．η1=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ 0 0 1- --11211 rr r r c c c ，η2=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ 0 1 0- --22221 rr r r c c c ，…，ηn –r =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 1 0 0- --21 rn n n c c c ， 现在来证明η1，η2，…，ηn –r 就是方程组(1)的一个基础解系． 首先证明η1，η2，…，ηn –r 线性无关． 以解向量η1，η2，…，ηn –r 为列构成矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------++++++1 0 0 0 1 0 0 0 1 212221212111 rn rr rr n r r n r r c c c c c c c c c ，有n –r 阶子式1 0 0 0 0 1 000 0 1 0 0 0 0 1 ＝1≠0，即r (η1，η2，…，ηn –r )=n –r ，所以η1，η2，…，ηn –r 线性无关．其次证明方程组(1)的任意一个解η=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n k k k 21，是η1，η2，…，ηn –r 的线性组合．由于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧----=----=----=++++++++++++nrn r rr r rr r nn r r r r n n r r r r k c k c k c k k c k c k c k k c k c k c k 22112222112212211111所以η=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++n r r r k k k k k k 2121 =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------++++++++++++++n r r n rn r rr r rr n n r r r r n n r r r r k k k k c k c k c k c k c k c k c k c k c 0 00 0 0 0 21221122221121221111=k r+1⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+++0 0 1 11211 rr r r c c c +k r+2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+++0 1 1 11211 rr r r c c c +…+k n ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1 0 0 21 rn n n c c c =k r+1η1+ k r+2η2+…+ k n ηn –r ．即η是η1，η2，…，ηn –r 的线性组合．这就说明了η1，η2，…，ηn –r 是方程组(1)的一个基础解系．因此，方程组(1)的全部解为 k 1η1+ k 2η2+…+ k n –r ηn –r ．定理的证明过程实际上给我们指出了求齐次线性方程组基础解系的具体方法．由于自由未知量x r +1，x r +2，…，x n 可以任意取值，故基础解系不是唯一的，但两个基础解系所含向量的个数都是n –r 个．可以证明：齐次线性方程组(1)的任意n –r 个线性无关的解向量均可以构成它的一个基础解系．性质1 非齐次线性方程组(2)的任意两个解的差是它的导出组(1)的一个解． 证： 设α=(c 1，c 2，…，c n )，β= ( d 1，d 2，…，d n )为方程组(2)的两个解，分别代入(2)得a i 1c 1+a i 2c 2+…+a in c n =b i (i =1，2，…， m ) a i 1d 1+a i 2d 2+…+a in d n =b i (i =1，2，…， m )两式相减得：a i 1(c 1–d 1)+a i 2(c 2–d 2)+…+a in (c n –d n )=0 (i =1，2，…， m )这表明 (c 1–d 1)，(c 2–d 2)，…，(c n –d n )是(1)的一个解，即α–β是(1)的解．性质２ 非齐次线性方程组(2)的一个解与它的导出组(1)的一个解的和是非齐次线性方程组(2)的一个解．证明方法与性质1的证明方法相同． 由性质1、性质２可得定理2 设γ0是非齐次线性方程组(2)的一个解，η是导出组(1)的全部解，则γ=γ0+η是非齐次线性方程组的全部解．证明：由非齐次线性方程组解的性质２可知，γ=γ0+η 是方程组(2)的解． 下面证明方程组(2)的任意一个解γ＊都可以表示成γ0+η0，其中η0是齐次线性方程组(1)的某一个解．因为γ＊、γ0都是非齐次线性方程组(2)的解，由非齐次线性方程组的解的性质1可知γ＊–γ0是导出组(1)的解．令η0=γ＊–γ0则η0是齐次线性方程组(1)的某一个解，且,00*ηγγ+=因η是齐次线性方程组（1）的全部解，所以非齐次线性方程组(2)的任意一个解都包含在γ=γ0+η中，这就证明了γ=γ0+η是非齐次线性方程组(2)的全部解．由此定理可知，如果非齐次线性方程组有解，则只需求出它的一个解(特解)γ0，并求出其导出组的基础解系η1， η2，，…， ηn –r ，则非齐次线性方程组的全部解可表示为η0=γ0＋k 1η1+ k 2η2+…+ k n –r ηn –r其中k 1，k 2，…，k n –r 为任意数．如果非齐次线性方程组的导出组仅有零解，则该非齐次线性方程组只有唯一解，如果其导出组有无穷多解，则它也有无穷多解． 思考题：已知矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----023*********02100121的各行向量都是齐次线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=++++=-+++=++++033450622032305432154325432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的解向量，问这４个行向量能否构成基础解系？假如不能，这４个行向量是多了还是少了，假如多了，如何去掉？假如少了又如何补充？。
第四章 线性方程组一、本章知识串讲线性方程组是线性代数的基础内容之一，首先应当会解方程组，主要方法是高斯消元法，特殊情况可考虑用克莱姆法则.特别地，当方程组中有参数时，讨论解的各种情况时不要遗漏；其次，齐次方程组0A x =总是有解的，我们关心的问题是它何时有非零解？有多少非零解？如何表示每个解？这就有解空间，解空间的基（即基础解系）等概念，要掌握基础解系的求法；再其次，对于非齐次线性方程组,Ax b =要理解解的结构，有解的判定等问题；最后应注意方程组与向量组线性表示及秩之间的联系，要了解方程组与空间平面的关系.二、大纲考查要点诠释 1．线性方程组的各种表达形式11112211211222221122,,n n n n m m m n n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （4.1）可用矩阵乘法表示为：.A x b = （4.2）如果对系数矩阵A 按列分块，方程组有向量形式1122.n n x x x b ααα+++= （4.3） 2．齐次方程组0A x =恒有解（必有零解）当有非零解时，由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量，因此0A x =的全体解向量构成一个向量空间，称为该方程组的解空间.解空间的维数是(),n r A -解空间的一组基称为齐次方程组的基础解系.3．如12,,,t ηηη 是0A x =的基础解系，即12,,,t ηηη 是0A x =的解，12,,,t ηηη 线性无关，且().t n r A =- （4.4）1122t t k k k ηηη+++ 是0A x =的通解.基础解系中解向量的个数是(),()n r A n r A --也是方程组自由变量的个数.求基础解系时，可对A 作初等行变换化为阶梯形矩阵，称每个非零行中第一个非0系数所代表的未知数是主元（共有()r A 个主元），那么剩余的其它未知数就是自由变量（共有()n r A -个），对自由变量按阶梯形适当赋值后，再代入求解就可得到基础解系. 【例4.1】若某齐次方程组经高斯消元，化为121315423-⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭则()532,n r A -=-=基础解系由2个向量组成.此时134,,x x x 是主元，25,x x 是自变量，因而可赋值为 12(,1,,,0),(,0,,,2).TTηη==由下往上代入求解，得12(0,1,0,0,0),(3,0,3,3,2).TTηη==-【注】因为(1,0),(0,2)线性无关，延伸后12,ηη必线性无关，在2η中令52,x =是考虑4x 的系数是2，为回避分数运算而设定的，通常是令5 1.x =要理解基础解系，能正确迅速求解.4．齐次方程组有非零解的判定【定理4.1】设A 是m n ⨯矩阵，齐次方程组0A x =有非零解的充要条件是(),r A n <亦即A 的列向量线性相关.特别地，【定理4.2】如A 是n 阶矩阵，0A x =有非零解的充要条件是0.A =【定理4.3】0A x =有非零解的充分条件是m n <（即方程个数<未知数个数）.【注意】如0,AB =则B 的每一列都是0A x =的解，当0B ≠时，蕴涵0A x =有非零解，进而有()().r A r B n +≤齐次方程组有非零解，关键在于系数矩阵的秩要小于未知数的个数（亦是系数矩阵中列向量的个数），【定理4.2】用行列式是有条件的，不要混淆，而【定理4.3】反映的是任意1n +个n 维向量必定线性相关，亦说明n 维向量的集合至多有n 个向量线性无关.5．非齐次线性方程组有解的判定【定理4.4】设A 是m n ⨯矩阵，线性方程组A x b =有解的充分必要条件是系数矩阵A 的秩等于增广矩阵A 的秩，即()()r r A =A （或者说，b 可由A 的列向量12,,,n ααα 线性表出，亦等价于12,,,n ααα 与是等价向量组）.【定理4.5】设A 是m n ⨯矩阵，方程组.A x b =（1）有唯一解()().r r n ⇔A =A = （4.5） （2）有无穷多解()().r r n ⇔A =A < （4.6） （3）无解()1().r r ⇔A +=A （4.7） 6．非齐次线性方程组解的结构【定理4.6】如n 元线性方程组x b A =有解，设12,,,t ηηη 是相应齐次方程组0x A =的基础解系，ξ是x b A =的一个解，则1122t t k k k ηηηξ++++ 是x b A =的通解.【注意】（1）如12,ξξ是x b A =的解，则12ξξ-是0x A =的解.（2）如ξ是x b A =的解，是0x A =的解，则k ξη+仍是x b A =的解.（3）如x b A =有唯一解，则0x A =只有零解；反之，当0x A =只有零解时，x b A =没有无穷多解（可能无解，也可能只有唯一解，这一点要理解清楚）.7．克莱姆（Cramer ）法则线性方程组11112211211222221122.,,n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩如果系数行列式0,D =A ≠则方程组有唯一解，即 1212,,,,n n D D D x x x D C D===（4.8）其中j D 是把D 中j x 的系数换成常数项. 三．典型题型分析及解题方法与技巧题型（一）线性方程组解的基本概念【例4.2】设A 是n m ⨯矩阵，B 是m n ⨯矩阵，则线性方程组()0x AB = （A ）当m n >时仅有零解 （B ）当m n >时必有非零解（C ）当n m >时仅有零解 （D ）当n m >时必有非零解（02年数3） 【分析】矩阵乘积的秩不超过每个因子矩阵的秩。
【答案】AB 是m m ⨯矩阵，因而线性方程组()0x AB =的未知数个数为m 。
另一方面，由()n m r ,min )(≤A 秩，()n m r ,min )(≤B ，()(B)A AB r r r ),(min )(≤及（D ）中的条件n m >得()n n m r <≤,min )(AB于是，由有解判别定理得知线性方程组()0x AB =必有非零解，即（D ）正确，同时得知（C ）是错误的。
同样的推理可知：（A ）是错误的，因为此时m r ≤)(AB ，当m r <)(AB 时就有非零解； （B ）是错误的，因为此时m r ≤)(AB ，当m r =)(AB 时就只有零解。
【例 4.3】设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系(A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. [ B ]）（04年数3） 【分析】 要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩. 【详解】 因为基础解系含向量的个数=)(A r n -, 而且⎪⎩⎪⎨⎧-<-===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r 根据已知条件,0*≠A 于是)(A r 等于n 或1-n . 又b Ax =有互不相等的解,即解不惟一, 故1)(-=n A r . 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).【例4.4】A 是n 阶矩阵，对于齐次线性方程组0.x A =（1）如A 中每行元素之和均为0，且()1,r n A =-则方程组的通解是 . （2）如每个n 维向量都是方程组的解，则()______.r A =（3）如()1,r n A =-，且代数余子式110,A ≠则0x A =的通解是 ，*0x A =的通解是 ，**()0x A =的通解是 .【分析】（1）从()1,r n A =-知0x A =的基础解系由1个解向量组成，因此任一非零解都可成为基础解系.因为每行元素之和都为0，有12121110,i i in i i in a a a a a a +++=+++=所以，(1,1,,1)T 满足每一个方程，是0x A =的解，故通解是(1,1,,1).T k（2）每个n 维向量都是解，因而有n 个线性无关的解，那么解空间的维数是n ，又因解空间维数是(),n r -A 故(),n n r =-A 即()0.r A =（3）对0x A =，从()1,r n A =-知解空间是1维的.因为**0,AA =A 的每一列都是0x A =的解.现已知110,A ≠故11121(,,,)Tn A A A 是0x A =的非零解，即是基，所以通解是对*0,x A =从()1r n A =-知*()1r A =（参看【例2.28】），那么*0x A =的解空间是*()1n r n -A =-维，从*0A A =知A 的每一列都是*0x A =的解，由于代数余子式110,A ≠知1n -维向量122221323323(,,,),(,,,),,(,,,)T T Tn n n n nn a a a a a a a a a线性无关，那么延伸为n 维向量122221323323(,,,),(,,,),,(,,,)TTTn n n n nn a a a a a a a a a仍线性无关，即是*0x A =的基础解系，通解略.对**()0x A =，同上知*()1,r A =由于当3n ≥时，**(())0,r A =那么任意n 个线性无关的向量都可构成基础解系.例如，取12(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1)TTTn e e e ===得通解1122.n n k e k e k e +++如2,n =对于11122122,a a a a ⎛⎫A =⎪⎝⎭有2212*2111.a a a a -⎛⎫A = ⎪-⎝⎭于是1112**2122(),a a a a ⎛⎫A ==A⎪⎝⎭那么**()0x A =的通解是2221a k a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭（注：*11220,0,()1a r AA =A =≠A =）. 【例4.5 】选择题（1）对于n 元方程组，下列命题正确的是（ ）. （A ）如0x A =只有零解，则x b A =有唯一解 （B ）如0x A =有非零解，则x b A =有无穷多解 （C ）如x b A =有两个不同的解，则0x A =有无穷多解 （D ）如x b A =有唯一解的充要条件是()r n A =（2）已知1234,,,ηηηη是0x A =的基础解系，则此方程组的基础解系还可选用（ ）. （A ）12233441,,,ηηηηηηηη++++ （B ）1234,,,ηηηη的等价向量组1234,,,αααα （C ）1234,,,ηηηη的等秩向量组1234,,,αααα （D ）12233441,,,ηηηηηηηη++--（3）已知12,ββ是x b A =的两个不同的解，12,αα是相应齐次方程组0x A =的基础解系，12,k k 是任意常数，则x b A =的通解是（ ）.（A ）1211212()2k k ββααα-+++ （B ）1211212()2k k ββααα++-+（C ）1211212()2k k ββαββ-+++（D ）1211212()2k k ββαββ++-+【例4.6】已知123(9,1,2,11),(1,5,13,0),(7,9,24,11)T T Tξξξ=-=-=--是方程组1122334411223442123443,32,94.a x a x a x a x d xb x x b x d x x xc xd +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 的三个解，求此方程组的通解.【分析】求x b A =的通解关键是求0x A =的基础解系，1223,ξξξξ--都是0x A =的解，现在就要判断秩()r A ，以确定基础解系中向量的个数.【解】A 是34⨯矩阵，()3,r A ≤由于A 中第二、三两行不成比例，故()2,r A ≥又因是0x A =的两个线性无关的解，所以4()2,r -A ≥因此()2r A =，所以11122k k ξηη++是通解.【注意】不要花时间去求出方程组，那是烦琐的；由于1213,ξξξξ--或3132,ξξξξ--等都可构成解空间的基，123,,ξξξ都是特解，本题答案不唯一.【例4.7】设四元齐次线性方程组（Ⅰ）为⎩⎨⎧=-++=-+020324321321x x x x x x x 且已知另一四元齐次线性方程组（Ⅱ）的一个基础解系为()Ta 1,2,1,2+-=1α，()Ta 8,4,2,12+-=α（1）求方程组（Ⅰ）的一个基础解系；（2）当a 为何值时，方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）有非零公共解？在有非零公共解时，求出全部非零公共解。
