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讲连续型随机变量分布及随机变量的函数的分布

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第二章 随机变量及其分布(第2讲)

第二章 随机变量及其分布(第2讲)
分布函数还具有相当好的性质，有利于用数 学分析方法来处理；
引入随机变量和分布函数，在随机现象与数 学分析之间搭起了桥梁。
学习内容
§2.1 随机变量 §2.2 离散型随机变量及其分布 §2.3 随机变量的分布函数 §2.4 连续型随机变量及其分布 §2.5 随机变量函数的分布
引言
连续型随机变量（random variables of continuous type)
四、几种重要的连续型分布 均匀分1. 布均的匀实分际布背景是： 并概f ( x率且)随=与取⎪⎩⎪⎨⎧机0b这值−1变a个在量小（其x ∈X它区a取[a,,间bb值）] 的在中是 记长区一 为任度个间意成概X（小正~率aU区比密,[ab间度。,)b上内]函，的数.
利用分布函数与概率密度函数之间的关系，可以求得服从均匀 分布的随机变量 X 的分布函数
f
(x)
=
⎪⎧ ⎨
1 3
,
⎪⎩0 ,
0≤ x≤3 其它
∫ ∫ 所求概率 P{0 ≤ X ≤ 2}=
2 f (x )dx =
0
2 0
1 3
dx
=
2 3
四、几种重要的连续型分布
2.指数分布
定义: 若随机变量X的概率密度函数
X
~
f
(
x)
=
⎧λ
⎨
e−λ
x
⎩0
x>0 x≤0
称 X 服从参数为λ的指数分布,记为X~E(λ) (λ>0),
学习内容
§2.1 随机变量 §2.2 离散型随机变量及其分布 §2.3 随机变量的分布函数 §2.4 连续型随机变量及其分布 §2.5 随机变量函数的分布
引言
§2.2节学习的分布律对于非离散型型随 机变量失效

工程数学概率 第二章(一)

工程数学概率 第二章(一)

1
2
……
30
3 X ~ b(30, ) 4
设100件产品中有95件合格品，5件次品，先从中 例2、 随机抽取10件，每次取一件，X—10件产品中的次品数， (1)有放回的抽取，求 X的分布律； (2)无放回的抽取，求 X的分布律； (3)有放回的情况，求10件产品中至少有2件次品的概率。 解：(1) A — 取得次品， P(A)=0.05,
1/ 5e x / 5 f ( x) 0
x0 x 0,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3、正态分布
定义1：若随机变量 X 的概率密度函数为
则称X 服从参数为 的正态分布或高斯分布， f (x)的图形：
特点：(52页）
(1) f (x)关于 (2) f (x)在 (3)
定义2、
解 由题意可知
，则
的分布律为
机动
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结束
将
带入可得 的分布律为
34页例2：几何分布
机动
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结束
二、常用的离散型随机变量及其分布
Ⅰ. (0—1)分布 定义1.如果随机变量
的分布律为
则称
服从参数为
的(0—1)分布。
（0 —1）分布的分布律也可写成 注：如果随机试验只有两个结果，总能定义一个服从 (0 —1)分布的随机变量。
1. 概率密度 定义1. 设 F(x) 是随机变量 X的分布函数，若存在非负 函数 f x x , ，使对任意实数 x 有
则称 X为连续型随机变量，称 f ( x)为 X 的概率密度函 数，简称概率密度或密度函数。
机动
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讲连续型随机变量分布及随机变量的函数的分布

讲连续型随机变量分布及随机变量的函数的分布

第七讲连续型随机变量（续）及 随机变量的函数的分布3. 三种重要的连续型随机变量 （1）均匀分布设连续型随机变量X 具有概率密度)5.4(,,0,,1)(⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它b x a ab x f则称X 在区间(a,b)上服从均匀分布, 记为X~U(a,b).X 的分布函数为)6.4(.,1,,,,0)(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤--<=b x b x a a b a x a x x F（2）指数分布设连续型随机变量X 的概率密度为)7.4(,,0,0,e1)(/⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它x x f x θθ其中θ>0为常数, 则称X 服从参数为θ的指数分布.容易得到X 的分布函数为)8.4(.,0,0,1)(/⎩⎨⎧>-=-其它x e x F x θ如X 服从指数分布, 则任给s,t>0, 有第二章 随机变量及其分布§4 连续型随机变量及其概率密度1=2P{X>s+t | X > s}=P{X > t} (4.9) 事实上}.{e ee)(1)(1}{}{}{)}(){(}|{//)(t X P s F t s F s X P t s X P s X P s X t s X P s X t s X P t s t s >===-+-=>+>=>>⋂+>=>+>--+-θθθ性质(4.9)称为无记忆性.指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用. （3）正态分布设连续型随机变量X 的概率密度为)10.4(,,e21)(222)(∞<<-∞=--x x f x σμσπ其中μ,σ(σ>0)为常数, 则称X 服从参数为μ,σ的正态分布或高斯(Gauss)分布, 记为X~N(μ,2σ).显然f(x)≥0, 下面来证明1d )(=⎰+∞∞-x x f令t x =-σμ/)(, 得到dx edx et x 22)(2222121-∞+∞---∞+∞-⎰⎰=πσπσμ.1d 21d 21)11.4(π2d d e,,d d ,d e22)(20222/)(22/2222222======⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞--∞∞---∞-+∞∞-+∞∞-+-∞∞--x ex e r r I u t eI t I t x r u t t πσπθσμπ于是得转换为极坐标则有记f(x)具有的性质:f (x )的图形:1.50.5.（1）.曲线关于x=μ对称. 这表明对于任意h>0有P{μ-h<X ≤μ}=P{μ<X ≤μ+h}. （2）.当x=μ时取到最大值.π21)(σμ=f x 离μ越远, f(x)的值越小. 这表明对于同样长度的区间, 当区间离μ越远, X 落在这个区间上的概率越小。

概率论与数理统计教案-随机变量及其分布

概率论与数理统计教案-随机变量及其分布

概率论与数理统计教案-随机变量及其分布一、教学目标1. 了解随机变量的概念及其重要性。

2. 掌握随机变量的分布函数及其性质。

3. 学习离散型随机变量的概率分布及其数学期望。

4. 理解连续型随机变量的概率密度及其数学期望。

5. 能够运用随机变量及其分布解决实际问题。

二、教学内容1. 随机变量的概念及分类。

2. 随机变量的分布函数及其性质。

3. 离散型随机变量的概率分布：二项分布、泊松分布、超几何分布等。

4. 连续型随机变量的概率密度：正态分布、均匀分布、指数分布等。

5. 随机变量的数学期望及其性质。

三、教学方法1. 采用讲授法，系统地介绍随机变量及其分布的概念、性质和计算方法。

2. 利用案例分析，让学生了解随机变量在实际问题中的应用。

3. 借助数学软件或图形计算器，直观地展示随机变量的分布情况。

4. 开展小组讨论，培养学生合作学习的能力。

四、教学准备1. 教学PPT课件。

2. 教学案例及实际问题。

3. 数学软件或图形计算器。

4. 教材、辅导资料。

五、教学过程1. 导入：通过生活实例引入随机变量的概念，激发学生的学习兴趣。

2. 讲解随机变量的定义、分类及其重要性。

3. 讲解随机变量的分布函数及其性质，引导学生理解分布函数的概念。

4. 讲解离散型随机变量的概率分布，结合实例介绍二项分布、泊松分布、超几何分布等。

5. 讲解连续型随机变量的概率密度，介绍正态分布、均匀分布、指数分布等。

6. 讲解随机变量的数学期望及其性质，引导学生掌握数学期望的计算方法。

7. 案例分析：运用随机变量及其分布解决实际问题，提高学生的应用能力。

8. 课堂练习：布置适量练习题，巩固所学知识。

10. 作业布置：布置课后作业，巩固课堂所学。

六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对随机变量及其分布的理解程度。

2. 课堂练习：检查学生解答练习题的情况，评估学生对知识的掌握程度。

3. 课后作业：布置相关作业，收集学生作业情况，评估学生对知识的运用能力。

随机变量的函数的分布

随机变量的函数的分布
17
定理 设随机变量 X 具有概率密度
f X ( x) , x ,
又设函数 g ( x) 处处可导，且有 g ( x) 0 (或恒有 g ( x) 0).
则 Y =g(X ) 是一个连续型随机变量 Y，其概率密度为
f X [h( y )] | h( y ) |, y , fY ( y ) 0, 其它.
Y P 5 0.2 7 0.5 13 0.3
5
练习 1
设离散型随机变量X 的分布律为
X P
-3
1 252
-1
5 252
0
15 252
2
35 252
6
70 252
9
126 252
随机变量Y 2 X 3 ，试求Y 的分布律．
解：
随机变量Y 2 X 3 的取值为
9， 5， 3， 1， 9， 15，
4
一、离散型随机变量函数的分布
例1
设离散型随机变量X 的分布律为
X P 1 0.2 2 0.5 5 0.3
求 Y= 2X + 3 的概率分布. 解： 当 X 取值 1，2，5 时， Y 取对应值 5，7，13，
而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事 件，两者具有相同的概率.
故 随机变量Y 2 X 3 的概率分布为
6
这些取值两两互不相同 ． 由此得随机变量
Y 2 X 3 的分布律为
Y P
-9
1 252
-5
5 252
-3
15 252
1
35 252
9
70 252
15
126 252
7
一般地，若X是离散型 r.v ，X 的分布律为

概率论与数理统计第二讲

概率论与数理统计第二讲

定义 设X是S上的随机变量F(x)为其分布函数， 如果存在定义在（-∞，+∞）上的非负实质函数 f(x)，使得
F ( x)
x

f ( t )dt, x
则称X为连续型随机变量，称F(x)为连续型分 布函数，称f(x)为X的概率密度函数（或概率 密度或分布密度）。
设X为连续型随机变量，F(x)与f(x)分别 为其分布函数和概率密度 1）对任意常数a＜b有
即
P(X<0)=P(X－3<-3)=0.1。
当μ=0且σ=1的正态分布N(0,1),称为标准正 态分布。 x2 1 2 概率密度 ( x ) e , x ,
2
在统计用表中给出了 x 0至x 3.49所对应 的( x)值。 当x 3.49时，( x) 1 ；
P(λ)
λ=np=1
0.368 0.368 0.184 0.061 0.015 0.004
例 某物业管理公司负责10000户居民的 房屋维修工作。假定每户居民是否报修 是相互独立的，且报修的概率都是0.04% 另外，一户居民住房的维修只需一名修理 工来处理。易知，在某个时段报修的居民 数X~B(10000,0.0004).试问 1）该物业管理公司至少需要配备多少名 维修工人，才能使居民报修后能得到及时 修理的概率不低于99%。
P (a X b) f ( x )dx
a
b
2）F(x)是连续函数，且当f(x)在x=x0处连续时
F ( x0 ) f ( x0 )
3）对任意常数c,P(X=c)=0,从而对任何a＜b，有
P (a X b) P (a X b) P (a X b) P (a X b)

概论论与数理统计讲义 (5)

长度在 10.05 0.12 内为合格品，试求螺栓为合格品 的概率。
解： 根据假设 X～N（10.05,0.062），记 a=10.05-0.12，
b=10.05+0.12,则
P{螺栓为合格品} = P{a X b} (b ) (a )
=Φ(2)-Φ(-2) =2Φ(2)-1
=2×0.9772-1=0.9544
概率密度的性质
特征性质:
1 o f (x) 0
2 o f (x)dx 1
【注】这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某随机变量X 的
概率密度的充要条件
几何意义:
f(x)
面积为1
x
0
其他性质：
1) 对于任意区间(a, b], 有
b
P{a X b} a f ( x)dx
几何意义:
可计算X落在(a, b] 内的概率
3) 对连续型随机变量X , 有
P(a X b) P(a X b)
b
P(a X b) P(a X b) f (x)dx a
几何意义:
f(x)
b
f (x)dx S
a
x
0a
b
例1：设随机变量 X 的概率密度为
f
(
x)
a
cos
x
0
x
2 其它
求 P(0 X )
4
x
x
(3)
F(x)
右连续，即
lim
x x0
F
(
x)
F
(
x0
)
以上三条随机变量的分布函数的特征性质.
离散型随机变量的分布函数
设离散型随机变量 X 的分布律是
P{ X=xk } = pk , k =1,2,3,…

随机变量的分布函数、连续型


02
偏度是描述数据分布不对称性的量，即三阶中心矩与三阶原点矩的比值。偏度 大于0表示分布右偏，偏度小于0表示分布左偏。
03
峰度是描述数据分布形态陡峭或扁平程度的量，即四阶中心矩与四阶原点矩的 比值。峰度大于3表示分布比正态分布更陡峭，峰度小于3表示分布比正态分布 更扁平。
PART 04
连续型随机变量的应用
用。
PART 03
连续型随机变量的性质
REPORTING
WENKU DESIGN
概率密度函数（PDF）
概率密度函数（PDF）描述了随机变量取值在 某个区间的概率，即密度函数值与该区间长度 之积等于该区间内事件发生的概率。
PDF具有非负性，即对于所有实数x， PDF(x)≥0。
整个实数轴上的概率总和为1，即 ∫∞−∞f(x)dx=1，其中f(x)是随机变量的概率密 度函数。
在模拟连续型随机变量时，蒙特卡洛方法通过产生大 量随机样本，并计算其统计量，来估计随机变量的分
布函数和概率密度函数。
蒙特卡洛方法的优点是简单易行，适用于各种类型的 分布函数，但缺点是精度取决于样本数量，样本数量
越多，精度越高。
逆变换采样法
逆变换采样法是一种基于概率分布的反向抽样方法，即先从均匀分布的随机数中抽取样本，再通过概 率分布的反函数变换得到所需的随机变量。
THANKS
感谢观看
REPORTING
https://
正态分布的实际应用案例
金融领域
正态分布被广泛用于描述金融数据的分布，如股 票价格、收益率等。
自然现象
许多自然现象的分布呈现正态分布特征，如人类 的身高、智商等。
统计学
在统计学中，正态分布是最常用的分布之一，用 于描述数据的集中趋势和离散程度。

§3、连续型随机变量及其分布


综上所述，即得随机变量X的分布函数为
0, 当x 0时 1 F ( x) x 2 , 当0 x 2时 4 1, 当x 2时
对F(x)求导数，可得 x 2时 f ( x) F ( x) 2 0, 其它

P{a X b} F (b) F (a ) b a .
x
x

x 2 a x 2 a x dx a x arcsin C . 2 2 a
2 2
2
8
③当
x x 1 时，
1

F ( x)
f (t )dt
2 0 1 t 2 dt 0 1 1;
注：积分 所以
1

1
1 1 t dt 12 为单位圆面积一半． 2
19
正态分布密度函数 图形曲线的几何性质： (1)概率密度曲线 关于 x =μ为轴对称； (2)密度函数的 最大值为
f max ( x ) f ( )
(3)在点 x±μ处有拐点，凸凹区间为 (, ), ( , ), ( ,); (4)概率密度曲线以 x 轴为水平渐近线． 参数μ (X的数学期望)是其位置参数；参数σ (X的均方差)是其形状参数．
注：分布函数F(x)的不可导点仅两个，……
6
【例1】设随机变量X的概率密度为
求X的分布函数． 【解】 注意到其概率密度 f(x)是分段函数，因此 根据其分段定义区间(-∞,-1],(-1,1],(1,+∞)，分段 求其分布函数F(x)． ①当
x
2 1 x 2 , 1 x 1, f ( x) 其它, 0,

连续型随机变量的函数的分布思政

一、概述连续型随机变量的函数的分布是概率论与数理统计领域一个重要的研究课题。

在实际应用中，我们经常需要分析具有一定概率分布的随机变量经过某种函数变换后的分布情况。

这不仅对于了解随机变量的性质和规律具有重要意义，还在实际问题的求解中起到了关键作用。

在本文中，我们将首先对连续型随机变量和随机变量的函数进行简要介绍，然后深入探讨连续型随机变量的函数的分布，并总结相关的分布思政。

二、连续型随机变量的基本概念1. 连续型随机变量的定义连续型随机变量是指一个随机变量在其取值范围内任意取值的概率分布是连续分布的随机变量。

具体来说，如果一个随机变量取值范围为无限区间，那么我们称其为连续型随机变量。

2. 连续型随机变量的密度函数对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)定义为在任意实数x 上有f(x)≥0，并且在整个实数轴上的积分等于1，即∫f(x)dx=1。

三、随机变量的函数随机变量的函数是指对于一个已知的随机变量X，我们可以利用某个函数Y=g(X)来构造一个新的随机变量Y。

其中，g(X)即为随机变量X 的函数。

四、连续型随机变量的函数的分布1. 变量变换法则对于连续型随机变量X，其函数Y=g(X)的密度函数fY(y)的计算可以利用变量变换法则进行。

变量变换法则的基本思想是对Y的一个小区间与X的一个小区间之间的关系建立对应关系，然后通过变量代换计算概率密度函数fY(y)。

2. 实例分析通过一个实例来分析连续型随机变量的函数的分布。

假设X～U(0,1)表示在[0,1]上均匀分布的连续型随机变量，求Y=X^2的概率密度函数。

我们可以利用变量变换法则来计算Y的概率密度函数。

五、连续型随机变量的函数的分布思政在实际应用中，连续型随机变量的函数的分布思政具有重要的意义。

我们可以通过对分布思政的深入理解，更好地应用在现实问题的分析与求解过程中。

六、总结本文主要对连续型随机变量的函数的分布进行了介绍和分析，并总结了相关的分布思政。

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4 / 13
P{Z
x}
P
X
x
P{X
x}
1
e d t, x
(t )2 2 2
2 π
令 t u,得
P{Z x} 1 x eu2 /2d u (x),
2 π
由此知 Z~N(0,1).
3
2
68.26%
95.44%
99.74%
2 3
若 X~N( , 2 ), 则它的分布函数
e 2 d x 1.
2
f(x)具有的性质:
（1）.曲线关于 x= 对称. 这表明对于
任意 h>0 有
P{ -h<X }=P{ <X +h}.
（2）.当 x= 时取到最大值
f () 1 . 2 π
x 离 越远, f(x)的值越小. 这表明
对于同样长度的区间, 当区间离 越
F(x) 1
解 (1)所求概率为
6 / 13
P{X
89}
P
X
90 0.5
89 90
0.5
(2)
1 (2) 1 0.9772 0.0228.
(2) 按题意需求 d 满足
0.99
P{X
80}
P X
d
80 d
0.5 0.5
1
P
X d 0.5
80 d 0.5
1 80 d 0.5
(0.3) (0.5) 0.6179 [1 (0.5)] 0.6179 1 0.6915 0.3094.
设 X~N( , 2 ), 由 (x)的函数表
5 / 13
还能得到: P{ <X< }= (1)- (-1)
=2 (1)-1=68.26% P{ 2 <X< 2 }= (2)- (-2)
(x) (x)
1 ex2 / 2 , 21来自x et2 / 2d t.
2 π
(4.13) (4.14)
易
知
(-x)=1- (x)
(4.15)
人们已经编制了 (x)的函数表, 可供
查用(见附表 2).
引 理 若 X~N( , 2 ), 则
Z X ~ N (0,1)
证明： Z
X 的分布函数为
X 的分布函数为
0,
F
(
x)
x b
a a
,
1,
x a, a x b, (4.6) x b.
（2）指数分布
设连续型随机变量 X 的概率密度
为
f
(
x)
1
e
x
/
,
0,
x 0, 其它,
(4.7)
1 / 13
其中 >0 为常数, 则称 X 服从参
f(x) 3
数为 的指数分布.
=1/3 2
容易得到 X 的分布函数为
=95.44% P{ 3 <X< 3 }= (3)- (-3)
=99.74% 我们看到, 尽管正态变量的取值 范围是( , ), 但它的值落在( 3 , 3 )内几乎是肯定的事. 这就是人 们所谈的"3 "法则.
常用的几个 za 值：
0.001 0.005 0.01 0.025 0.05 0.10 z 3.090 2.576 2.327 1.960 1.645 1.282
1
=1
=2
O
1
2
3
x
1 ex / , F(x)
0,
x 0, 其它.
(4.8)
如 X 服从指数分布, 则任给 s,t>0,
有
P{X>s+t | X > s}=P{X > t} (4.9)
事实上
P{X s t | X s} P{( X s t) ( X s)} P{X s}
P{X s P{X
第七讲
连续型随机变量（续）及 随机变量的函数的分布
3. 三种重要的连续型随机变量
（1）均匀分布
设连续型随机变量 X 具有概率密
度
f
(
x)
b
1
a
,
a x b,
(4.5)
0,
其它,
则称 X 在区间(a,b)上服从均匀分
布, 记为 X~U(a,b).
第二章 随机变量及其 分布
§4 连续型随机变量 及其概率密度
F(x)可写成:
F (x) P{X x}
X P{
x
}
(
x
)
(4.16)
则对于任意区间(x1,x2], 有
P{x1
X
x2}
P
x1
X
x2
x2
x1
.
(4.17)
例如, 设 X~N(1,4), 查表得
P{0 X 1.6} 1.6 1 0 1 2 2
远, X 落在这个区间上的概率越小。在
0.5
x= 处曲线有拐点。曲线以 Ox 轴
O
x
3 / 13
为渐近线。
X 的分布函数为
F (x)
1
2 π
x
e
(t )2 2 2
d
t,
(4.12)
特别:当 =0, = 1 时称 X 服从标
准正态分布. 其概率密度和分布函数
分别用 (x)和 (x)表示, 即有
t} s}
1 F(s t) 1 F(s)
e (st ) es /
et /
P{X t}.
性质(4.9)称为无记忆性. 指数分布在可靠性理论和排队论中有 广泛的运用.
（3）正态分布
f(x)的图形:
f(x)
=5
=5
O
x
设连续型随机变量 X 的概率密度
为
f(x)
f (x)
1
( x )2
e 2 2 , x ,
例１ 将一温度调节器放置在贮存 着某种液体的容器内. 调节器整定在 d°C, 液体的温度 X(以°C 计)是一个随 机变量, 且 X~N(d, 0.52). (1) 若 d=90, 求 X 小于 89 的概率. (2) 若要求保持 液体的温度至少为 80 的概率不低于 0.99, 问 d 至少为多少?
2
0.798
(4.10)
0.399
0.266
其中 , ( >0)为常数, 则称 X 服从参
O
0.5 1
1.5
x
2 / 13
数为 , 的正态分布或高斯(Gauss)分
布, 记为 X~N( , 2 ).
显然 f(x) 0, 下面来证明
f (x)d x 1
令 (x ) / t , 得到
1
( x )2
e 2 2 dx
2
1
t2
e 2 dx
2
记I e t2 / 2d t, 则有I 2 e (t2 u2 ) / 2 d t d u,
转换为极坐标, 得
I 2
2
r2
r e 2 dr d 2π
00
于是
1
e
( x )2 2 2
dx
2
(4.11)
1
t2
80 d 1 0.99 1 (2.327) (2.327), 0.5
亦即 80 d 2.327. 0.5
故需 d 81.1635.
设 X~N(0,1), 若 za 满足条件 P{X>za}=a, 0<a<1, (4.18) 则称点 za 为标准正态分布的上 a 分位点.由 (x)的对称性知 z1-a=-za