复数的四则运算及几何意义习题课

第七章 复数7.2复数的四则运算其几何意义(基础练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分） 1．复数11ii-+（其中i 是虚数单位）的实部是（ ） A. 1B. 1-C. 2-D. 0【答案】D【解析】()()()2112=1112i i ii i i i ---==-++-，11ii-∴+的实部是0.故选：D 2．i 是虚数单位，复数z 满足()310z i i -=，则z =（ ） A ．3i + B ．3i -C ．13i -+D ．13i --【答案】D 【解析】()1031013310i i i z i i ⋅+===-+-， ∴13z i =--.故选:D 。

3．复数z 满足22z z i +=，则z 在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】设复数(),z x yi x R y R =+∈∈， 由22z z i +=得222x yi i +=，所以2022x y ⎧⎪+=⎨=⎪⎩，解得1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因为31x y⎧=⎪⎨⎪=⎩时，不能满足20x=，舍去；故1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩z i =+，其对应的点3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭位于第二象限，故选:B 。

4．已知()312++=+a i i bi (,a b ∈R ，i 为虚数单位)，则实数+a b 的值为（ ） A ．3 B ．5C ．6D ．8【答案】D【解析】()312++=+a i i bi ，故332a i bi -+=+ 则32,38a b a b -==∴+= ， 故选:D 。

5.若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且11z i =-，则复数12z z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．实轴上 D ．虚轴上【答案】D【解析】由题意可得11z i =-，21z i =+，所以2121(1)12z i i i z i --===-+，对应点坐标(0,-1),故选：D 。

习题课 复 数明目标、知重点1．巩固复数的概念和几何意义．2．理解并能进行复数的四则运算并认识复数加减法的几何意义．1．复数的四则运算若两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R ) (1)加法：z 1＋z 2＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a 1－a 2)＋(b 1－b 2)i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ； (4)除法：z 1z 2＝a 1a 2＋b 1b 2a 22＋b 22＋a 2b 1－a 1b 2a 22＋b 22i(z 2≠0)；(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况； (6)特殊复数的运算：i n (n 为正整数)的周期性运算； (1±i)2＝±2i ；若ω＝－12±32i ，则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.2．共轭复数与复数的模(1)若z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i ，z ＋z 为实数，z －z 为纯虚数(b ≠0)． (2)复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2， 且z ·z ＝|z |2＝a 2＋b 2. 3．复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义若复数z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→、OZ 2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数． (2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→、OZ 2→的终点，并指向Z 1的向量所对应的复数．题型一 复数的四则运算例1 (1)计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 012＋(4－8i )2－(－4＋8i )211－7i；(2)已知z ＝1＋i ，求z 2－3z ＋6z ＋1的模．解 (1)原式＝i (1＋23i )1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 1 006＋(4－8i ＋8i －4)(4－8i ＋4－8i )11－7i＝i ＋(－i)1 006＋0＝－1＋i.(2)z 2－3z ＋6z ＋1＝(1＋i )2－3(1＋i )＋62＋i ＝3－i 2＋i ＝1－i ，∴z 2－3z ＋6z ＋1的模为 2.反思与感悟 复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a ＋b i)÷(c ＋d i)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化． 跟踪训练1 (1)已知z1＋i＝2＋i ，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i答案 B解析 方法一 ∵z1＋i ＝2＋i ，∴z ＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i －1＝1＋3i ，∴z ＝1－3i.方法二 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∴z ＝a －b i ， ∴a －b i1＋i ＝2＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3，z ＝1－3i. (2)i 为虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 011等于( )A ．－iB ．－1C ．iD ．1答案 A解析 因为1＋i 1－i ＝(1＋i )21－i 2＝i ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 011＝i 2 011＝i 4×502＋3＝i 3＝－i ，故选A.题型二 复数的几何意义的应用例2 已知点集D ＝{z ||z ＋1＋3i|＝1，z ∈C }，试求|z |的最小值和最大值．解 点集D 的图像为以点C (－1，－3)为圆心，1为半径的圆，圆上任一点P 对应的复数为z ，则|OP →|＝|z |.由图知，当OP 过圆心C (－1，－3)时，与圆交于点A 、B ，则|z |的最小值是|OA |＝|OC |－1＝(－1)2＋(－3)2－1＝2－1＝1，即|z |min ＝1；|z |的最大值是|OB |＝|OC |＋1＝2＋1＝3，即|z |max ＝3.反思与感悟 复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：|z 1－z 2|表示复数z 1，z 2对应的两点Z 1，Z 2之间的距离． 跟踪训练2 已知复数z 1，z 2满足|z 1|＝3，|z 2|＝5，|z 1－z 2|＝10，求|z 1＋z 2|的值．解 如图所示，设z 1，z 2对应点分别为A ，B ，以OA →，OB →为邻边作▱OACB ，则OC →对应的复数为z 1＋z 2.这里|OA →|＝3，|OB →|＝5，|BA →|＝10. ∴cos ∠AOB ＝|OA →|2＋|OB →|2－|BA →|22|OA →||OB →|＝32＋52－102×3×5＝45.∴cos ∠OBC ＝－45.又|BC →|＝|OA →|＝3，∴|z 1＋z 2|＝|OC →| ＝|OB →|2＋|BC →|2－2|OB →||BC →|cos ∠OBC ＝58.题型三 有关两个复数相等的问题例3 设复数z 和它的共轭复数z 满足4z ＋2z ＝33＋i ，求复数z . 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．因为4z ＋2z ＝33＋i ，所以2z ＋(2z ＋2z )＝33＋i. 2z ＋2z ＝2(a ＋b i)＋2(a －b i)＝4a ，整体代入上式， 得2z ＋4a ＝33＋i.所以z ＝33－4a 2＋i2.根据复数相等的充要条件，得 ⎩⎨⎧a ＝33－4a2，b ＝12.解得⎩⎨⎧a ＝32，b ＝12.所以z ＝32＋i2. 反思与感悟 两个复数相等是解决复数问题的重要工具．“复数相等”可以得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，常用于确定系数，解复数方程等问题．跟踪训练3 z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z 等于( ) A ．1＋i B ．－1－i C ．－1＋i D ．1－i答案 D解析 方法一 设z ＝a ＋b i ，a ，b 为实数，则z ＝a －b i. ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1.又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2，∴b ＝－1.故z ＝1－i. 方法二 ∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i ＝－2i.又z ＋z ＝2，∴(z －z )＋(z ＋z )＝－2i ＋2， ∴2z ＝－2i ＋2，∴z ＝1－i.1．若z ∈C ，且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 B2．已知复数z ＝1＋2i1－i ，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 014为( )A ．1＋iB ．1－iC ．iD ．1答案 C3．设复数z 满足关系：z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( ) A ．－34＋i B.34＋i C ．－34－i D.34－i答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由已知a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋i由复数相等可得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34b ＝1，故z ＝34＋i.4．已知z 1＝1＋2i ，z 2＝m ＋(m －1)i ，且两复数的乘积z 1z 2的实部和虚部为相等的正数，则实数m 的值为________． 答案 34解析 z 1z 2＝(1＋2i)[m ＋(m －1)i]＝[m －2(m －1)]＋[2m ＋(m －1)]i ＝(2－m )＋(3m －1)i ，所以2－m ＝3m －1，即m ＝34，且能使2－m ＝3m －1>0，满足题意．5．设复数z ＝1＋i ，且z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，求实数a ，b 的值．解 因为z ＝1＋i ，所以z 2＋az ＋b ＝(a ＋2)i ＋a ＋b ，z 2－z ＋1＝i ， 所以z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝a ＋b ＋(a ＋2)i i ＝(a ＋2)－(a ＋b )i.又z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＝1，－(a ＋b )＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.[呈重点、现规律]1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化； 2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现；3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题．一、基础过关1．复数1－2＋i ＋11－2i 的虚部是( )A.15iB.15 C ．－15iD ．－15答案 B解析1－2＋i ＋11－2i＝－2－i 5＋1＋2i 5＝－15＋15i.故选B.2．设z ＝10i3＋i ，则z 的共轭复数为( )A ．－1＋3iB ．－1－3iC ．1＋3iD ．1－3i答案 D解析 由z ＝10i3＋i ＝10i (3－i )(3＋i )(3－i )＝1＋3i ，得z ＝1－3i.3．若(m 2－5m ＋4)＋(m 2－2m )i>0，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．0或2 C ．2 D ．0 答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－5m ＋4>0m 2－2m ＝0，得m ＝0.4．设a ，b ∈R 且b ≠0，若复数(a ＋b i)3是实数，则( ) A ．b 2＝3a 2 B ．a 2＝3b 2 C ．b 2＝9a 2 D ．a 2＝9b 2答案 A解析 若(a ＋b i)3＝(a 3－3ab 2)＋(3a 2b －b 3)i 是实数，则3a 2b －b 3＝0.由b ≠0，得b 2＝3a 2.故选A.5．设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i 为纯虚数，则实数a ＝______.答案 2解析 设1＋a i2－i＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则1＋a i ＝b i(2－i)＝b ＋2b i ，所以b ＝1，a ＝2.6．复平面内点A 、B 、C 对应的复数分别为i 、1、4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则|BD →|＝________. 答案13解析 设D 点对应复数为z ，∵AB →＝DC →， ∴1－i ＝－z ＋(4＋2i)，∴z ＝3＋3i ， ∴BD →对应的复数为2＋3i ，∴|BD →|＝13.7．已知a ∈R ，则z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹是什么？解 ∵a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3， －(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，∴复数z 的实部为正数，虚部为负数，∴复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2)消去a 2－2a 得：y ＝－x ＋2(x ≥3)． ∴复数z 的对应点的轨迹是一条射线，方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)． 二、能力提升8．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 D解析 (2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，∴对应点坐标(3，－4)，位于第四象限． 9．设i 是虚数单位.z 是复数z 的共轭复数．若z ·z i ＋2＝2z ，则z 等于( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i答案 A解析 设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R代入z ·z i ＋2＝2z ，整理得：(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2a 2＋b 2＝2b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1，因此z ＝1＋i. 10．已知互异的复数a ，b 满足ab ≠0，集合{a ，b }＝{a 2，b 2}，则a ＋b ＝________. 答案 －1解析 由题意⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝a 2，b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝a 2， 因为a ≠b ，ab ≠0， ⎩⎨⎧a ＝－12＋32i ，b ＝－12－32i 或⎩⎨⎧b ＝－12＋32i ，a ＝－12－32i ，因此a ＋b ＝－1.11．设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．解 z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝(3－i )(2－i )5＝1－i. 因为z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ， 所以(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i. 所以(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1，解得a ＝－3，b ＝4.即实数a ，b 的值分别是－3,4.12．在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数是2＋i. (1)如果点A 关于实轴的对称点为B ，求向量OB →对应的复数； (2)如果(1)中点B 关于虚轴的对称点为C ，求点C 对应的复数．解 (1)设所求向量OB →对应的复数为z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则点B 的坐标为(a ，b )． 已知A (2,1)，由对称性可知a ＝2，b ＝－1. 所以OB →对应的复数为z 1＝2－i.(2)设所求点C 对应的复数为z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )， 则C (c ，d )．由(1)，得B (2，－1)． 由对称性可知，c ＝－2，d ＝－1. 故点C 对应的复数为z 2＝－2－i. 三、探究与拓展13．是否存在复数z ，使其满足z ·z ＋2i z ＝3＋a i ？如果存在，求实数a 的取值范围；如果不存在，请说明理由．解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则原条件等式可化为x 2＋y 2＋2i(x －y i)＝3＋a i.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2y ＝3，2x ＝a .消去x ，得y 2＋2y ＋a 24－3＝0. 所以当Δ＝4－4⎝⎛⎭⎫a24－3＝16－a 2≥0，即－4≤a ≤4时，复数z 存在． 故存在满足条件的复数z ，且实数a 的取值范围为－4≤a ≤4.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

《7.2 复数的四则运算》复习教案 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义学 习 目 标核 心 素 养1.掌握复数代数形式的加减运算法则．(重点)2．了解复数代数形式的加减运算的几何意义．(易错点)1.通过复数代数形式的加减运算的几何意义，培养数学直观的素养．2．借助复数代数形式的加减运算提升数学运算的素养.【自主预习】1．复数加法与减法的运算法则(1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，则 ①z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i. (2)对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有 ①z 1＋z 2＝z 2＋z 1；②(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 2．复数加减法的几何意义如图所示，设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ →1，OZ →2，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，向量OZ →与复数z 1＋z 2对应，向量Z 2Z 1→与复数z 1－z 2对应．思考：类比绝对值|x －x 0|的几何意义，|z －z 0|(z ，z 0∈C )的几何意义是什么？[提示] |z －z 0|(z ，z 0∈C )的几何意义是复平面内点Z 到点Z 0的距离．1．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝3－4i ，则z 1＋z 2＝( ) A ．8i B ．6 C ．6＋8iD ．6－8iB [z 1＋z 2＝3＋4i ＋3－4i ＝(3＋3)＋(4－4)i ＝6.] 2．复数(1－i)－(2＋i)＋3i 等于( )A ．－1＋iB ．1－iC ．iD ．－iA [(1－i)－(2＋i)＋3i ＝(1－2)＋(－i －i ＋3i)＝－1＋i.故选A.]3．已知向量OZ →1对应的复数为2－3i ，向量OZ →2对应的复数为3－4i ，则向量Z 1Z 2→对应的复数为 ．1－i [Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i.]【合作探究】复数代数形式的加、减运算【例1】 (1)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝ ⎛⎭⎪⎫43－32i ；(2)已知复数z 满足z ＋1－3i ＝5－2i ，求z .[解] (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝ ⎛⎭⎪⎫43－32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋2－43＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋32i ＝1＋i.(2)法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，因为z ＋1－3i ＝5－2i ， 所以x ＋y i ＋(1－3i)＝5－2i ，即x ＋1＝5且y －3＝－2， 解得x ＝4，y ＝1，所以z ＝4＋i.法二：因为z ＋1－3i ＝5－2i ，所以z ＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.复数代数形式的加、减法运算技巧复数与复数相加减，相当于多项式加减法的合并同类项，将两个复数的实部与实部相加(减)，虚部与虚部相加(减)．1．(1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝ .(2)已知z 1＝(3x －4y )＋(y －2x )i ，z 2＝(－2x ＋y )＋(x －3y )i ，x ，y 为实数，若z 1－z 2＝5－3i ，则|z 1＋z 2|＝ .(1)－2－i (2)2 [(1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i ＝－2－i.(2)z 1－z 2＝[(3x －4y )＋(y －2x )i]－[(－2x ＋y )＋(x －3y )i]＝[(3x －4y )－(－2x ＋y )]＋[(y －2x )－(x －3y )]i ＝(5x －5y )＋(－3x ＋4y )i ＝5－3i ，所以⎩⎨⎧5x －5y ＝5，－3x ＋4y ＝－3，解得x ＝1，y ＝0，所以z 1＝3－2i ，z 2＝－2＋i ，则z 1＋z 2＝1－i ， 所以|z 1＋z 2|＝ 2.]复数代数形式加减运算的几何意义【例2】 (1)复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝ 2.则|z 1－z 2|＝ .(2)如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 对应复数分别为0,3＋2i ，－2＋4i ，试求①AO →所表示的复数，BC →所表示的复数；②对角线CA →所表示的复数；③对角线OB →所表示的复数及OB →的长度．(1)2 [由|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，知z 1，z 2，z 1＋z 2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z 1－z 2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z 1－z 2|＝ 2.](2)[解] ①AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i. ②∵CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.③对角线OB →＝OA →＋OC →，它所对应的复数z ＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i, |OB →|＝12＋62＝37.1．用复数加、减运算的几何意义解题的技巧(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．2．常见结论在复平面内，z 1，z 2对应的点分别为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则四边形OACB 为平行四边形；若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为矩形；若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 为菱形；若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为正方形．2．复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．[解] 设复数z 1，z 2，z 3在复平面内所对应的点分别为A ，B ，C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，如图．则AD →＝OD →－OA →＝(x ，y )－(1,2) ＝(x －1，y －2)． BC →＝OC →－OB →＝(－1，－2)－(－2,1)＝(1，－3)． ∵AD →＝BC →，∴⎩⎨⎧x －1＝1，y －2＝－3，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1，故点D 对应的复数为2－i.复数模的最值问题[1．满足|z |＝1的所有复数z 对应的点组成什么图形？[提示] 满足|z |＝1的所有复数z 对应的点在以原点为圆心，半径为1的圆上．2．若|z －1|＝|z ＋1|，则复数z 对应的点组成什么图形？[提示] ∵|z －1|＝|z ＋1|，∴点Z 到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z 在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．【例3】 (1)如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( )A ．1 B.12 C ．2D. 5(2)若复数z 满足|z ＋3＋i|≤1，求|z |的最大值和最小值．(1)A [设复数－i ，i ，－1－i 在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，Z 3，因为|z ＋i|＋|z －i|＝2, |Z 1Z 2|＝2，所以点Z 的集合为线段Z 1Z 2.问题转化为：动点Z 在线段Z 1Z 2上移动，求|ZZ 3|的最小值，因为|Z 1Z 3|＝1.所以|z ＋i ＋1|min ＝1.](2)[解] 如图所示， |OM →|＝(－3)2＋(－1)2＝2. 所以|z |max ＝2＋1＝3，|z |min ＝2－1＝1.1．若本例题(2)条件改为“设复数z 满足|z －3－4i|＝1”，求|z |的最大值． [解] 因为|z －3－4i|＝1，所以复数z 所对应点在以C (3,4)为圆心，半径为1的圆上， 由几何性质得|z |的最大值是 32＋42＋1＝6.2．若本例题(2)条件改为已知|z |＝1且z ∈C ，求|z －2－2i|(i 为虚数单位)的最小值．[解] 因为|z |＝1且z ∈C ，作图如图：所以|z －2－2i|的几何意义为单位圆上的点M 到复平面上的点P (2,2)的距离，所以|z －2－2i|的最小值为|OP |－1＝22－1.|z 1－z 2|表示复平面内z 1，z 2对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．3．|z －z 0|表示复数z 和z 0所对应的点的距离，当|z －z 0|＝r (r ＞0)时，复数z 对应的点的轨迹是以z 0对应的点为圆心，半径为r 的圆．【课堂达标练习】 1．判断正误(1) 复数加法的运算法则类同于实数的加法法则．( ) (2)复数与复数相加减后结果为复数．( )(3)复数加减法的几何意义类同于向量加减法运算的几何意义．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√2．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝ .5 [|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝32＋42＝5.]3．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝ .－1 [z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩⎨⎧a 2－a －2＝0，a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1.]4．在复平面内，复数－3－i 与5＋i 对应的向量分别是OA →与OB →，其中O 是原点，求向量OA →＋OB →，BA →对应的复数及A ，B 两点间的距离．[解] 向量OA →＋OB →对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2. ∵BA →＝OA →－OB →，∴向量BA →对应的复数为(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i. ∴A ，B 两点间的距离为|－8－2i|＝(－8)2＋(－2)2＝217.《7.2.1复数的加、减运算及其几何意义》课后作业[合格基础练]一、选择题1．若(－3a ＋b i)－(2b ＋a i)＝3－5i ，a ，b ∈R ，则a ＋b ＝( ) A.75 B ．－115 C ．－185D ．5 B [(－3a ＋b i)－(2b ＋a i)＝(－3a －2b )＋(b －a )i ＝3－5i ，所以⎩⎨⎧－3a －2b ＝3，b －a ＝－5，解得a ＝75，b ＝－185，故有a ＋b ＝－115.]2．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( ) A ．－2 B ．4 C ．3 D ．－4 B [z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ，故选B.]3．若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，且z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．－1D [z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝(2＋3)＋(1＋a )i ＝5＋(1＋a )i.∵z 1＋z 2所对应的点在实轴上，∴1＋a ＝0，∴a ＝－1.]4．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量OA →，OB →对应的复数分别是3＋i ，－1＋3i ，则CD →对应的复数是( )A ．2＋4iB ．－2＋4iC ．－4＋2iD ．4－2iD [依题意有CD →＝BA →＝OA →－OB →，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i ，即CD →对应的复数为4－2i.故选D.]5．若z ∈C ，且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5B [设z ＝x ＋y i ，则由|z ＋2－2i|＝1得(x ＋2)2＋(y －2)2＝1，表示以(－2,2)为圆心，以1为半径的圆，如图所示，则|z －2－2i|＝(x －2)2＋(y －2)2表示圆上的点与定点(2,2)的距离，数形结合得|z －2－2i|的最小值为3.]二、填空题6．已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝ .3 [由条件知z 1＋z 2＝a 2－2a －3＋(a 2－1)i ，又z 1＋z 2是纯虚数，所以⎩⎨⎧a 2－2a －3＝0，a 2－1≠0，解得a ＝3.]7．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，则BC →对应的复数为 ．4－4i [BC →＝OC →－OB →＝OC →－(OA →＋AB →)，对应的复数为3＋2i －(－2＋i ＋1＋5i)＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i ＝4－4i.]8．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝ . －1＋10i [∵z 1＋z 2＝5－6i ，∴(x ＋2i)＋(3－y i)＝5－6i ，∴⎩⎨⎧x ＋3＝5，2－y ＝－6，即⎩⎨⎧x ＝2，y ＝8，∴z 1＝2＋2i ，z 2＝3－8i ，∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.] 三、解答题 9．计算：(1)(2－i)＋(－3＋5i)＋(4＋3i)； (2)4－(5＋12i)－i ；(3)若z －(－3＋5i)＝－2＋6i ，求复数z .[解] (1)(2－i)＋(－3＋5i)＋(4＋3i)＝(2－3＋4)＋(－1＋5＋3)i ＝3＋7i.(2)4－(5＋12i)－i ＝(4－5)＋(－12－1)i ＝－1－13i.(3)法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，因为z －(－3＋5i)＝－2＋6i ，所以(x ＋y i)－(－3＋5i)＝－2＋6i ，即(x ＋3)＋(y －5)i ＝－2＋6i ，因此⎩⎨⎧x ＋3＝－2，y －5＝6，解得⎩⎨⎧x ＝－5，y ＝11，于是z ＝－5＋11i.法二：由z －(－3＋5i)＝－2＋6i 可得z ＝－2＋6i ＋(－3＋5i)，所以z ＝(－2－3)＋(6＋5)i ＝－5＋11i.10．在复平面内，A ，B ，C 分别对应复数z 1＝1＋i ，z 2＝5＋i ，z 3＝3＋3i ，以AB ，AC 为邻边作一个平行四边形ABDC ，求D 点对应的复数z 4及AD 的长．[解] 如图所示.AC →对应复数z 3－z 1， AB →对应复数z 2－z 1，AD →对应复数z 4－z 1.由复数加减运算的几何意义，得AD →＝AB →＋AC →，∴z 4－z 1＝(z 2－z 1)＋(z 3－z 1)，∴z 4＝z 2＋z 3－z 1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i.∴AD 的长为|AD →|＝|z 4－z 1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝210.[等级过关练]1．已知复数z 对应的向量如图所示，则复数z ＋1所对应的向量正确的是( )A [由图可知z ＝－2＋i ，所以z ＋1＝－1＋i ，则复数z ＋1所对应的向量的坐标为(－1,1)，故选A.]2．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为( ) A ．0 B ．1 C.22 D.12C [由|z ＋1|＝|z －i|知，在复平面内，复数z 对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y ＝－x ，而|z ＋i|表示直线y ＝－x 上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y ＝－x 的距离，即为22.]3．若复数z 满足z ＝|z |－3－4i ，则z ＝ . 76－4i [设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则⎩⎨⎧a ＝a 2＋b 2－3，b ＝－4，所以⎩⎨⎧a ＝76，b ＝－4，所以z ＝76－4i.]4．若复平面上的▱ABCD 中，AC →对应的复数为6＋8i ，BD →对应的复数为－4＋6i ，则DA →对应的复数是 ．－1－7i [设AC 与BD 交于点O ，则有DA →＝DO →＋OA →＝12DB →＋12CA →＝－12(AC →＋BD →)．于是DA →对应的复数为－12[(6＋8i)＋(－4＋6i)]＝－1－7i.]5．设z 为复数，且|z |＝|z ＋1|＝1，求|z －1|的值． [解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＋1＝(a ＋1)＋b i ，又|z |＝|z ＋1|＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，(a ＋1)2＋b 2＝1，即⎩⎨⎧a 2＋b 2＝1，a 2＋b 2＋2a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b 2＝34，故|z －1|＝|(a ＋b i)－1|＝|(a －1)＋b i|＝(a －1)2＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－12＋34＝ 3.7.2.2 复数的乘、除运算对加法的分配律．(易混点)3．了解共轭复数的概念．(难点)学运算的素养.【自主预习】1．复数的乘法法则(1)复数代数形式的乘法法则已知z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.思考1：复数的乘法与多项式的乘法有何不同？[提示]复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．(2)复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3思考2：|z|2＝z2，正确吗？[提示]不正确．例如，|i|2＝1，而i2＝－1. 2．复数代数形式的除法法则(a＋b i)÷(c＋d i)＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(a，b，c，d∈R，且c＋d i≠0)1．复数(3＋2i)i等于( )A．－2－3i B．－2＋3i C．2－3i D．2＋3i B[(3＋2i)i＝3i＋2i·i＝－2＋3i，选B.]2．已知i 是虚数单位，则3＋i1－i＝( ) A ．1－2i B ．2－i C ．2＋i D ．1＋2i D [3＋i 1－i ＝(3＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2＋4i 2＝1＋2i.]【合作探究】复数代数形式的乘法运算【例1】 (1)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)(2)计算：①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)； ②(3＋4i)(3－4i)； ③(1＋i)2.(1)B [z ＝(1－i)(a ＋i)＝(a ＋1)＋(1－a )i ，因为对应的点在第二象限，所以⎩⎨⎧a ＋1<0，1－a >0，解得a <－1 ，故选B.](2)[解] ①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i) ＝－20＋15i.②(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25. ③(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.1．两个复数代数形式乘法的一般方法复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．2．常用公式(1)(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2(a ，b ∈R )；(2)(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )； (3)(1±i)2＝±2i.1．(1)下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A ．i(1＋i)2 B ．i 2(1－i) C ．(1＋i)2D ．i(1＋i)(2)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是 ． (1)C (2)5 [(1)A 项，i(1＋i)2＝i(1＋2i ＋i 2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数．B 项，i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数．C 项，(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，是纯虚数．D 项，i(1＋i)＝i ＋i 2＝－1＋i ，不是纯虚数． 故选C.(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ， 所以z 的实部是5.]复数代数形式的除法运算【例2】 (1)3＋i1＋i＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．2＋iD ．2－i(2)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 是虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i(1)D (2)A [(1)3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i2＝2－i.(2)∵z (2－i)＝11＋7i ，∴z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝15＋25i5＝3＋5i.]1．两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 2．常用公式(1)1i ＝－i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i＝－i.2.(1)如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则复数z 1z 2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)计算：⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8. (1)B [由复数的几何意义知，z 1＝－2－i ，z 2＝i ，所以z 1z 2＝－2－ii＝－1＋2i ，对应的点在第二象限．](2)解：法一：⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i －2i 4＝(－1)4＝1. 法二：因为1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝2i2＝i ，所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＝i 8＝1. 复数运算的综合问题[1．若z＝z，则z是什么数？这个性质有什么作用？[提示]z＝z⇔z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数．2．若z≠0且z＋z＝0，则z是什么数？这个性质有什么作用？[提示]z≠0且z＋z＝0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．3．三个实数|z|，|z|，z·z具有怎样的关系？[提示]设z＝a＋b i，则z＝a－b i，所以|z|＝a2＋b2，|z|＝a2＋(－b)2＝a2＋b2，z·z＝(a＋b i)(a－b i)＝a2－(b i)2＝a2＋b2，所以|z|2＝|z|2＝z·z.【例3】(1)已知复数z＝3＋i(1－3i)2，z是z的共轭复数，则z·z等于( )A.14B.12C．1 D．2(2)已知复数z满足|z|＝5，且(1－2i)z是实数，求z.[思路探究]可以先设复数的代数形式，再利用复数的运算性质求解；也可以利用共轭复数的性质求解．(1)A[法一：∵z＝3＋i(1－3i)2＝－3i2＋i(1－3i)2＝i(1－3i)(1－3i)2＝i1－3i＝i(1＋3i)4＝－34＋i4，∴z＝－34－i4，∴z·z＝14.法二：∵z＝3＋i (1－3i)2，∴|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋i (1－3i )2＝|3＋i||(1－3i )2|＝24＝12， ∴z ·z ＝14.](2)[解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1－2i)z ＝(1－2i)(a ＋b i)＝(a ＋2b )＋(b －2a )i.又因为(1－2i)z 是实数，所以b －2a ＝0，即b ＝2a ，又|z |＝5，所以a 2＋b 2＝5.解得a ＝±1，b ＝±2.所以z ＝1＋2i 或－1－2i ，所以z ＝1－2i 或－1＋2i ，即z ＝±(1－2i)．1．在题设(1)条件不变的情况下，求z z.[解] 由例题(1)的解析可知z ＝－34＋i 4，z ＝－34－i 4，z ·z ＝14，∴z z＝z 2z ·z＝⎝⎛⎭⎪⎫－34＋i 4214＝12－32i.2．把题设(2)的条件“(1－2i)z 是实数”换成“(1－2i)z 是纯虚数”，求z .[解] 设z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i ，由例题(2)的解可知a ＝－2b ，由|z |＝a 2＋b 2＝5b 2＝5，得b ＝1，a ＝－2；或 b ＝－1，a ＝2.所以z ＝－2－i ，或z ＝2＋i.1．由比较复杂的复数运算给出的复数，求其共轭复数，可先按复数的四则运算法则进行运算，将复数写成代数形式，再写出其共轭复数．2．注意共轭复数的简单性质的运用．1．复数代数形式的乘法运算类似于多项式的乘法，同时注意i2＝－1的应用.2．复数代数形式的除法运算采用了分母实数化的思想，即应用z·z＝|z|2解题．3．记住几个常用结论：(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．(2)(1±i)2＝±2i.(3)若z＝z⇔z是实数；若z＋z＝0，则z是纯虚数；z·z＝|z|2＝|z|2.【课堂达标练习】1．判断正误(1)实数不存在共轭复数．( )(2)两个共轭复数的差为纯虚数．( )(3)若z1，z2∈C，且z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0.( )[答案](1)×(2)√(3)×2．已知复数z＝2－i，则z·z的值为( )A．5 B. 5 C．3 D. 3A[z·z＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5.]3．若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝( )A．1 B．2 C. 2 D. 3C[因为z(1＋i)＝2i，所以z＝2i1＋i＝2i(1－i)2＝1＋i，故|z|＝12＋12＝2.]4．已知复数z1＝(－1＋i)(1＋b i)，z2＝a＋2i1－i，其中a，b∈R.若z1与z2互为共轭复数，求a，b的值．[解]z1＝(－1＋i)(1＋b i)＝－1－b i＋i－b＝(－b－1)＋(1－b)i, z2＝a ＋2i 1－i＝(a ＋2i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝a ＋a i ＋2i －22＝a －22＋a ＋22i.由于z 1和z 2互为共轭复数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a －22＝－b －1，a ＋22＝－(1－b )，解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1.《7.2.2复数的乘除运算》课后作业[合格基础练]一、选择题 1.(1＋i )3(1－i )2＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋iD ．－1－iD [(1＋i )3(1－i )2＝2i (1＋i )－2i＝－1－i ，选D.]2．已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－iD ．2＋iC [z －1＝1＋i i ＝1－i ，所以z ＝2－i ，故选C.]3．在复平面内，复数i1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限B [i 1＋i ＋(1＋3i)2＝12＋12i ＋(－2＋23i)＝－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋12i ，对应点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，23＋12在第二象限．]4．若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )A．－4 B．－45C．4 D.45D[∵(3－4i)z＝|4＋3i|，∴z＝53－4i＝5(3＋4i)(3－4i)(3＋4i)＝35＋45i.故z的虚部为45，选D.]5．设复数z的共轭复数是z，若复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·z－2是实数，则实数t等于( )A.34B.43C．－43D．－34A[∵z2＝t＋i，∴z－2＝t－i.z 1·z－2＝(3＋4i)(t－i)＝3t＋4＋(4t－3)i，又∵z1·z2∈R，∴4t－3＝0，∴t＝34 .]二、填空题6．i为虚数单位，若复数z＝1＋2i2－i，z的共轭复数为z，则z·z＝ .1 [∵z＝1＋2i2－i＝(1＋2i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝5i5＝i，∴z＝－i，∴z·z＝1.]7．已知a＋2ii＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝ .1[∵a＋2ii＝b＋i，∴a＋2i＝(b＋i)i＝－1＋b i，∴a＝－1，b＝2，∴a＋b＝1.]8．设复数z1，z2在复平面内的对应点分别为A，B，点A与B关于x轴对称，若z1(1－i)＝3－i，则|z2|＝ .5[∵z1(1－i)＝3－i，∴z1＝3－i1－i＝(3－i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2＋i，∵A与B关于x轴对称，∴z1与z2互为共轭复数，∴z2＝z1＝2－i，∴|z2|＝ 5.]三、解答题 9．已知复数z ＝52－i. (1)求z 的实部与虚部；(2)若z 2＋m z ＋n ＝1－i(m ，n ∈R ，z 是z 的共轭复数)，求m 和n 的值． [解] (1)z ＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5(2＋i )5＝2＋i ，所以z 的实部为2，虚部为1.(2)把z ＝2＋i 代入z 2＋m z ＋n ＝1－i ， 得(2＋i)2＋m (2－i)＋n ＝1－i ， 所以⎩⎨⎧2m ＋n ＋3＝1，4－m ＝－1.解得m ＝5，n ＝－12.10．把复数z 的共轭复数记作z ，已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z 及z z.[解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，由已知得：(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的定义知，⎩⎨⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3.得a ＝2，b ＝1，∴z ＝2＋i.∴zz＝2＋i 2－i ＝(2＋i )2(2－i )(2＋i )＝3＋4i 5＝35＋45i.[等级过关练]1．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋iD ．－4－iA [∵z 1＝2＋i ，z 1与z 2关于虚轴对称，∴z 2＝－2＋i ， ∴z 1z 2＝－1－4＝－5，故选A.]2．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( )A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22D [A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，真命题；B ，z 1＝z 2⇒z1＝z 2＝z 2，真命题；C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1＝z 2·z 2，真命题；D ，当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题．]3．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为 ．83 [z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝(a ＋2i )(3＋4i )9＋16＝3a ＋4a i ＋6i －825 ＝(3a －8)＋(4a ＋6)i 25，∴⎩⎨⎧3a －8＝0，4a ＋6≠0，∴a ＝83.]4．设x ，y 为实数，且x 1－i＋y 1－2i＝51－3i，则x ＋y ＝ . 4 [x 1－i＋y 1－2i ＝51－3i可化为， x (1＋i )2＋y (1＋2i )5＝5(1＋3i )10，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋25y i ＝12＋32i ，由复数相等的充要条件知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 5＝12，x 2＋25y ＝32.∴⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝5，∴x ＋y ＝4.]5．设z 是虚数，ω＝z ＋1z是实数，且－1＜ω＜2，(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围； (2)设u ＝1－z1＋z，证明u 为纯虚数． [解] (1)因为z 是虚数，所以可设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0. 所以ω＝z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i.因为ω是实数且y ≠0， 所以y －y x 2＋y2＝0，所以x 2＋y 2＝1，即|z |＝1. 此时ω＝2x . 因为－1＜ω＜2， 所以－1＜2x ＜2， 从而有－12＜x ＜1，即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.(2)证明：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0， 由(1)知，x 2＋y 2＝1， ∴u ＝1－z 1＋z ＝1－(x ＋y i )1＋(x ＋y i )＝(1－x －y i )(1＋x －y i )(1＋x )2＋y 2＝1－x 2－y 2－2y i (1＋x )2＋y 2＝－y 1＋x i. 因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，y ≠0，所以y 1＋x≠0，所以u为纯虚数.。

7.2复数的四则运算7.2.1复数的加､减运算及其几何意义例1计算()()()56i 2i 34i -+---+.解：()()()56i 2i 34i -+---+()()523614i=--+---11i =-.例2根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点()111,Z x y ，()222,Z x y 之间的距离.分析：由于复平面内的点()111,Z x y ，()222,Z x y 对应的复数分别为111i z x y =+，222i z x y =+，由复数减法的几何意义知，复数21z z -对应的向量为12Z Z ，从而点1Z ，2Z 之间的距离为1221Z Z z z =- .解：因为复平面内的点()111,Z x y ，()222,Z x y 对应的复数分别为111i z x y =+，222i z x y =+，所以点1Z ，2Z 之间的距离为()()1212212211i i Z Z Z Z z z x y x y ==-=+-+ ()()2121ix x y y =-+-=练习1.计算：（1）(24)(34)i i ++-；（2）5(32)i -+；（3）(34)(2)(15)i i i --++--；（4）(2)(23)4i i i --++.【答案】（1）5（2）22i -（3）22i -+（4）0【解析】【分析】直接进行复数的加减运算即可.【详解】（1）原式(23)(44)5i =++-=；（2）原式(53)(02)22i i =-+-=-；（3）原式(321)[41(5)]22i i =-+-+-+--=-+；（4）原式(220)(134)0i =-++--+=.【点睛】本题考查复数的加减运算，属于基础题.2.如图，向量OZ 对应的复数是z ，分别作出下列运算的结果对应的向量：（1）1z +；（2）z i -；（3）(2)z i +-+.【答案】（1）作图见解析（2）作图见解析（3）作图见解析【解析】【分析】复数与以原点为起点的向量是一一对应的，根据平行四边形法则作出相应向量即可.【详解】（1）复数1与复平面内点(1,0)A 一一对应，利用平行四边形法则作出所求向量，如图所示：（2）复数i -与复平面内点(0,1)A -一一对应，利用平行四边形法则作出所求向量，如图所示：（3）复数2i -+与复平面内点(2,1)A -一一对应，利用平行四边形法则作出所求向量如图所示：【点睛】本题考查复数加法的几何意义，属于基础题.3.证明复数的加法满足交换律、结合律.【答案】证明见解析【解析】【分析】设123,,(,,,,,)z a bi z c di z e fi a b c d e f R =+=+=+∈，根据复数的加法运算证明1221z z z z +=+，()()123123z z z z z z ++=++即可.【详解】证明：复数的加法满足交换律.设12,(,,,)z a bi z c di a b c d =+=+∈R ，则有12()()()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++，()21()()()z z c di a bi c a d b i +=+++=+++，∵a c c a +=+，b d d b +=+，∴1221z z z z +=+.即复数的加法满足交换律.复数的加法满足结合律.设123,,(,,,,,)z a bi z c di z e fi a b c d e f R =+=+=+∈，有()123[()()]()[()()]()z z z a bi c di e fi a c b d i e fi ++=+++++=+++++()()a c e b d f i =+++++，()123()[()()]()[()()]()()z z z a bi c di e fi a bi c e d f i a c e b d f i ++=+++++=+++++=+++++∴()()123123z z z z z z ++=++，即复数的加法满是结合律.【点睛】本题考查复数加法运算的交换律、结合律的证明，属于基础题.4.求复平面内下列两个复数对应的两点之间的距离：（1）122,3z i z i =+=-；（2）3485,42z i z i =+=+.【答案】（12）5【解析】【分析】21z z -即为复平面上点1z 到2z 的距离，求21z z -的模即可.【详解】（1）21|12|d z z i =-=-==；（2）34|43|5d z z i =-=--==.【点睛】本题考查复平面内两个复数对应的两点之间的距离，属于基础题.7.2.2复数的乘､除运算例3计算()()()12i 34i 2i -+-+.解：()()()12i 34i 2i -+-+()()112i 2i =--+2015i =-+.例4计算：（1）()()23i 23i +-；（2）()21i +.分析：本例可以用复数的乘法法则计算，也可以用乘法公式①计算.解：（1）()()23i 23i +-()2223i =-()49=--13=；（2）()221i 12i i +=++12i 1=+-2i =.例5计算()()12i 34i +÷-.解：()()12i312i 34i 4i+=--+÷()()()()2212i 34i 386i 4i 34i 34i 34++-++==-++510i 12i 2555-+==-+.例6在复数范围内解下列方程：（1）220x +=；（2）20ax bx c ++=，其中a ，b ，R c ∈，且0a ≠，240b ac ∆=-<.分析：利用复数的乘法容易得到（1）中方程的根.对于（2），当240b ac ∆=-<时，一元二次方程20ax bx c ++=无实数根.利用求解一元二次方程的“根本大法”——配方法，类似于（1），就能在复数范围内求得（2）中方程的根.解：（1）因为)()222==-，所以方程220x +=的根为x =.（2）将方程20ax bx c ++=的二次项系数化为1，得20b c x x a a++=.配方，得222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()22242(2)b ac b x a a --⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.由∆<0，知()()()2224Δ022b ac a a ---=>.类似（1），可得2b x a +=.所以原方程的根为2b x a =-±.在复数范围内，实系数一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的求根公式为：（1）当0∆≥时，2b x a-±=；（2）当∆<0时，x =练习5.计算：（1）(76)(3)i i --；（2）(34)(23)i i +--；（3）(12)(34)(2)i i i +---．【答案】（1）1821i --（2）617i -（3）2015i--【解析】【分析】（1）根据复数乘法法则求解；（2）根据复数乘法法则求解；（3）根据复数乘法法则求解.【详解】解：（1）原式221181821i i i =-+=--；（2）原式269812617i i i i =----=-；（3）原式22(3468)(2)(112)(2)2211422015i i i i i i i i i i =-+---=+--=----=--．【点睛】本题考查复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.6.计算：（1）) () i i ++；（2）2(1)i -；（3）(2)(12)i i i --．【答案】（1）-5（2）-2i （3）5【解析】【分析】（1）根据复数乘法法则求解；（2）根据复数乘法法则求解;（3）根据复数乘法法则求解.【详解】解：（1）原式2325i =-+-+=-；（2）原式2122i i i =+-=-；（3）原式22(2)(12)(12)(12)145i i i i i i =--=+-=-=．【点睛】本题考查复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.7.计算：（1）1i 1i +-；（2）1i ；（3）7i 34i++；（4）()()1i 2i i-++-.【答案】（1）i（2）i-（3）1i-（4）13i--【解析】【分析】根据复数的运算律直接计算.【小问1详解】解：()()()()1i 1i 1i 2i i 1i 1i 1i 2+++===--+；【小问2详解】解：21i i i i==-；【小问3详解】解：()()()()7i 34i 7i 2525i 1i 34i 34i 34i 25+-+-===-++-；【小问4详解】解：()()()21i 2i 3i i 3i 13i i i i -++-+-+===-----.8.在复数范围内解下列方程：（1）29160x +=；（2）210x x ++=．【答案】（1）43x i =±（2）132x -±=【解析】【分析】（1）利用配方法得到方程的根；（2）利用公式法得到方程的根.【详解】解：（1）因为224416339i i ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以方程29160x +=的根为43x i =±．（2）因为214110∆=-⨯⨯<，所以方程210x x ++=的根为x =，即132x -=．【点睛】本题考查复数范围内一元二次方程的根，考查基本分析求解能力，属基础题.习题7.2复习巩固9.计算：（1）(65)(32)i i -++；（2）5(22)i i -+；（3）221313324i i i ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（4）(0.5 1.3)(1.20.7)(10.4)i i i +-++-【答案】（1）93i -；（2）23i -+；（3）75612i -；（4）0.30.2i +.【解析】【分析】根据复数加减法的运算法则直接运算即可.【详解】（1）(65)(32)(63)(52)93i i i i -++=++-+=-；（2）5(22)2(52)23i i i i -+=-+-=-+；（3）221321237511133243234612i i i i i ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++--+=+-+--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（4）(0.5 1.3)(1.20.7)(10.4)(0.5 1.21)(1.30.70.4)0.30.2i i i i i +-++-=-++--=+.【点睛】本题考查了复数加减混合运算，考查了数学运算能力.10.在复平面内，复数65,34i i +-+对应的向量分别是,OA OB ，其中O 是原点，求向量,AB BA 对应的复数.【答案】9i --，9i+【解析】【分析】根据复数写出它在复平面对应点的坐标，从而知道向量,OA OB 的坐标表示，利用平面向量减法的几何意义求出平面,AB BA 的坐标表示，最后求出对应的复数.【详解】解：由题意得(6,5),(3,4)OA OB ==- ，所以(9,1)AB OB OA =-=-- ，故AB对应的复数为9i --.因为(9,1)BA AB =-= ，所以向量BA 对应的复数为9i +.【点睛】本题考查了复数与平面向量之间的关系，属于基础题.11.计算：（1）(87)(3)i i ---；（2）(43)(54)i i ---；（3）13(1)22i i ⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭；（4）31132222i i ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（5）(1)(1)(1)i i i +-+-+.【答案】（1）2124i -+；（2）32i --；（3）131322i +--+；（4）1322i --；（5）1i+【解析】【分析】运用复数乘法运算法则、加减法的运算法则直接运算即可.【详解】（1）2(87)(3)24212124i i i i i ---=+⋅=-+；（2）2(43)(54)2016151232i i i i i i ---=--++⋅=--；（3）21311331313(1)22222222i i i i ⎛⎫+-+-++=--++⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭；（4）2113112222444422i i i i i ⎛⎫⎛⎫--+=-+⋅+-=-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（5）2(1)(1)(1)111i i i i i i i i +-+-+=-+--+=+.【点睛】本题考查了复数乘法的运算、加减法的运算法则，考查了数学运算能力.12.1.计算：（1）2i 2i -；（2）2i 74i ++；（3）()212i -；（4）()()2254i i 2i ++.【答案】（1）24i 55-+（2）181i 6565-（3）34i 2525+（4）3677i 55--【解析】【分析】（1）分子分母同乘2i +；（2）分子分母同乘74i -；（3）先化简()22i -，再分子分母同乘34i +；（4）先化简()22i +与()24i +，再分子分母同乘3i 4+【小问1详解】()()()2i 2i 2i 4i 224i 2i 2i 2i 555+-===-+--+【小问2详解】()()()()2i 74i 2i 148i 7i 4181i 74i 74i 74i 49166565+-+-++===-++-+【小问3详解】()()()21134i 34i 34i 34i 34i 25252i +===+--+-【小问4详解】()()()()()()()()2254i 515+8i 75+40i 3i 43677ii 34i 3i 43i 455i 2i ++===--+-++综合运用13.已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，求点D 对应的复数．【答案】3＋5i【解析】【详解】试题分析：法一：设D 的坐标为(,)x y ，则对应的复数为,(,)x yi x y R +∈，根据平行四边形的性质，对角线互相平分，即可求解,x y 的值，即可得到点D 对应的复数．法二：设D 的坐标为(,)x y ，由于AD BC = ，可得(1,3)(2,2)x y --=，求出,x y 的值，即可得到点D 对应的复数；试题解析：方法一设D 点对应的复数为x ＋yi (x ，y ∈R )，则D(x ，y)，又由已知A(1,3)，B(0，－1)，C(2,1)．∴AC 中点为，BD 中点为.∵平行四边形对角线互相平分，∴，∴.即点D 对应的复数为3＋5i.方法二设D 点对应的复数为x ＋yi (x ，y ∈R )．则对应的复数为(x ＋yi)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ，又对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i ，由于＝.∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i.∴，∴.即点D 对应的复数为3＋5i.点睛：本题主要考查了复数的几何意义及复数的表示，解答中根据复数的表示和平行四边形的性质，利用平行四边形的对角线互相平分和复数相等的坐标间的关系，得到方程，求解,x y 的值，其中熟练掌握复数的运算和复数相等的条件是解答的关键．14.在复数范围内解下列方程：（1）2450x x ++=；（2）22340x x -+=.【答案】（1）2x i =-±（2）34x ±=【解析】【分析】（1）先判断一元二次方程根的判别式，再利用求根公式求解即可；（2）先判断一元二次方程根的判别式，再利用求根公式求解即可.【详解】解：（1）2441540∆=-⨯⨯=-< ,∴方程2450x x ++=的根为x =2x i =-±.（2）2(3)424230A =--⨯⨯=-< ，∴方程22340x x -+=的根为x =，即3234x =.【点睛】本题考查了在复数范围内求一元二次方程根的问题，考查了数学运算能力.15.已知－3＋2i 是关于x 的方程2x 2＋px ＋q ＝0的一个根，求实数p 、q 的值．【答案】12{26.p q ＝＝【解析】【详解】∵－3＋2i 方程2x 2＋px ＋q ＝0的一个根，∴2(－3＋2i)2＋p (－3＋2i)＋q ＝0即(10－3p ＋q )＋(2p －24)i ＝0.∴1030{2240p q p －＋＝，－＝解得12{26.p q ＝＝拓广探索16.利用公式22()()a b a bi a bi +=+-，把下列各式分解成一次因式的积；（1）24x +；（2）44a b -.【答案】（1）24(2)(2)x x i x i +=+-；（2）44()()()()a b a b a b a bi a bi -=+-+-.【解析】【分析】（1）运用平方差公式进行因式分解即可；（2）运用平方差公式进行因式分解即可.【详解】（1）22224(4)(2)(2)(2)x x x i x i x i +=--=-=+-；（2）442222()()()()()()a b a b a b a b a b a bi a bi -=-+=+-+-.【点睛】本题考查了在复数范围内因式分解，考查了平方差公式的应用，属于基础题.17.若(,)z x yi x y R =+∈，则复平面内满足|(2)|3z i -+=的点2的集合是什么图形？【答案】以(2,1)为圆心，以3为半径的圆.【解析】【分析】解法1：根据复数模的几何意义进行判断即可；解法2：根据复数的减法的运算法则和复数模的公式进行求解判断即可.【详解】解法1：由复数模的几何意义可知，复平面内满足|(2)|3z i -+=的点Z 的集合是以21（，）为圆心，以3为半径的圆.解法2：,|(2)||2||(2)(1)|3z x yi z i x yi i x y i =+∴-+=+--=-+-= .3=即222(2)(1)3x y -+-=，故复平面内满足|(2)|3z i -+=的点2的集合是以(2,1)为圆心，以3为半径的圆.【点睛】本题考查了复数模的几何意义，考查了数学运算能力，属于基础题.10.使用信息技术手段进行试验：尝试在复数集中对实系数多项式进行因式分解，观察并记录所发现的规律.变式练习题18.计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2020＋2021i)＋(2021－2022i)．【答案】1011－1012i【解析】【分析】根据复数的加减法运算法则化简计算即可.【详解】原式＝(1－2＋3－4＋…－2020＋2021)＋(－2＋3－4＋5＋…＋2021－2022)i ＝(2021－1010)＋(1010－2022)i＝1011－1012i.19.计算：（1）(1－2i)(1＋2i)；（2）[(5－4i)＋(1＋3i)](5＋2i)．【答案】（1）5（2）32＋7i【解析】【分析】（1）根据复数的乘法法则或平方差公式即可求得答案；（2）根据复数的乘法法则即可求得答案.【小问1详解】方法一：原式＝1＋2i－2i－4i2＝5；方法二：原式＝1－(2i)2＝1－4i2＝5.【小问2详解】原式＝(6－i)(5＋2i)＝30＋12i－5i－2i2＝32＋7i.20.在复数范围内分解因式：（1）x2＋4（2）x4－4【答案】（1）(x＋2i)(x－2i)（2）(x i)(x i)(x)(x－)．【解析】【分析】（1）利用复数范围内的因式分解即可求解.（2）利用复数范围内的因式分解即可求解.【小问1详解】x 2＋4＝(x ＋2i)(x －2i)．【小问2详解】x 4－4＝(x 2＋2)(x 2－2)＝(x i)(x i)(x )(x )．21.已知3i 13i zz z -=+求复数z .【答案】1z =-或13i z =-+.【解析】【分析】设i z a b =+(),a b R ∈，根据复数代数形式的乘法运算法则及复数相等的充要条件得到方程组解得即可；【详解】解：设i z a b =+(),a b R ∈，则i z a b =-，所以()()()i i 3i i 13i a b a b a b +---=+，即223i 313i a b a b +--=+，则223133a b b a ⎧+-=⎨-=⎩解得10a b =-⎧⎨=⎩或13a b =-⎧⎨=⎩，故1z =-或13i z =-+.22.计算i ＋2i 2＋3i 3＋…＋2020i 2020＋2021i 2021.【答案】1010＋1011i【解析】【分析】根据i 的概念和运算规则化简计算即可得出答案.【详解】原式＝(i －2－3i ＋4)＋(5i －6－7i ＋8)＋(9i －10－11i ＋12)＋…＋(2017i －2018－2019i ＋2020)＋2021i ＝505·(2－2i)＋2021i ＝1010＋1011i.23.设13i 22z =+，求证：（1）210z z -+=（2）31z =-（3）2z z=-【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由1i 22z =+，求得213i 22z =-+，即可证得210z z -+=；（2）由1i 22z =+，求得21i 22z =-+，进而求得31z =-；（3）由13i 22z =+，分别求得213i 22z =-+和13i 22z -=-+，即可证得2z z =-.【小问1详解】解：由13i 22z =+，可得221313(i)i 2222z =+=-+，所以2131311i i 02222z z -+=---+=.【小问2详解】解：由1i 22z =+，可得211i i 2222z =+=-+，则3213131333(i)(i)i i i)122224442z =+-+=-+-+=-【小问3详解】解：由13i 22z =+，可得21322z =-+，13i 22z =-，则1322z -=-+，所以2z z =-.24.1.计算：202134i 1i ()43i 1i--+++【答案】－2i【解析】【分析】根据复数的除法法则和乘方运算即可得到答案.【详解】()()()()202122021202134i 43i 1i 34i 1i ()i+i 43i 1i 252⎡⎤-----+=+=--⎢⎥++⎢⎥⎣⎦()1i+i 2i =--=-.25.计算：i 2019＋i)8－2(1i -50＋.【答案】256－i【解析】【分析】根据复数的运算规则化简计算即可.【详解】原式＝i 4×504＋3＋[2(1＋i)2]4－225[]1i ⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭2＝i 3＋(4i)4－()252522i -＋i＝－i ＋256＋251i ＋i ＝256＋1i ＝256－i.26.在复平面内分别用点表示复数2－3i ，5i ，－3，－5＋3i 及它们的共轭复数．【答案】答案见解析【解析】【分析】根据复数的几何意义和共轭复数的概念可得答案.【详解】复数2－3i ，5i ，－3，－5＋3i 表示的点分别为A ，B ，C ，D ，其对应的共轭复数表示的点分别为A ′，B ′，C '，D ′.作图如下：27.已知z ＝(x ＋1)＋(y －1)i 在复平面所对应的点在第二象限，求x 与y 的取值范围．【答案】1,1.x y <-⎧⎨>⎩【解析】【分析】解不等式组10,10,x y +<⎧⎨->⎩即得解.【详解】解：由题意得10,10,x y +<⎧⎨->⎩所以1,1.x y <-⎧⎨>⎩28.已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i ，则实数x 的取值范围是__________.【答案】425⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】由复数模的定义列不等式求解即可.【详解】由题意得2－6x－8＜0，∴(5x＋4)(x－2)＜0，∴425x -<<.【点睛】本题主要考查了复数模的计算，属于基础题.29.已知复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝1＋a i(a ，b ∈R )，若|z 1|<z 2，则b 的取值范围是________.【答案】()1,1-【解析】【分析】根据|z 1|<z 2，得到z 2为实数，故a ＝0，再计算不等式得到答案。