(完整版)导数的几何意义练习题及答案

高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析1.若曲线在点处的切线方程是，则．【答案】2【解析】，又在点处的切线方程是，．【考点】三角函数化简求值．2.函数在处的切线方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】,因此切线方程为，即．【考点】（1）导数的运算法则；（2）导数的几何意义．3.若曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”，下列方程：①x2﹣y2=1②x2﹣|x﹣1|﹣y=0③xcosx﹣y=0④|x|﹣+1=0其中所对应的曲线中存在“自公切线”的有（）A．①②B．②③C．①④D．③④【答案】B【解析】①x2﹣y2=1是一个等轴双曲线，没有自公切线；②x2﹣|x﹣1|﹣y="0" ,由两圆相交，可知公切线，满足题意，故有自公切线；③xcosx﹣y=0的图象过（2π，2π ），（4π，4π），图象在这两点的切线都是y=x，故此函数有自公切线；④|x|﹣+1=0，其表示的图形为图中实线部分，不满足要求，故不存在．故选：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.4.抛物线在点处的切线的倾斜角是( )A．30B．45C．60D．90【答案】B【解析】设抛物线在点处的切线的倾斜角为,因为,由导数几何意义得：,故选B.【考点】导数几何意义.5.已知函数，若曲线存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】对函数求导可得，存在与直线平行的切线，即有实数解，则，，则,得.故选A.【考点】导数的几何意义.6.函数是定义在R上的可导函数，则下列说法不正确的是（）A．若函数在时取得极值，则B．若，则函数在处取得极值C．若在定义域内恒有，则是常数函数D．函数在处的导数是一个常数【答案】B.【解析】对于B，可以构造函数，则，而并不是的极值点，而A,C,D均正确，∴选B.【考点】导数的性质.7.函数的图像在点）处的切线与轴的交点的横坐标为（）若，则= 。

高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析1.设曲线在点处的切线与直线垂直，则（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】，故切线的斜率，在由切线与直线垂直得，即.【考点】导数的应用之一：曲线在一点处的切线以及两直线之间的位置关系.2.已知函数（）.⑴若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，求在上的最小值；⑵若存在，使，求的取值范围．【答案】⑴在上的最小值为；⑵的取值范围为．【解析】⑴对函数求导并令导函数为0，看函数的单调性，即可求在上的最小值；⑵先对函数求导得，分、两种情况讨论即可求的取值范围．（1） 1分根据题意， 3分此时，，则.令－＋∴当时，最小值为. 8分（2）∵，①若，当时，，∴在上单调递减.又，则当时，.∴当时，不存在，使 11分②若，则当时，；当时，.从而在上单调递增，在上单调递减.∴当时， 14分根据题意，，即，∴. 15分综上，的取值范围是. 16分【考点】导数的应用、分类讨论思想.3.设，则曲线在处的切线的斜率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，根据导数的几何意义可知，曲线在处的切线的斜率为，故选B．【考点】导数的几何意义．4.设曲线在点(3,2)处的切线与直线垂直，则的值是A．2B．C．D．【答案】B【解析】函数=1+的导数为，∴曲线在点（3，2）处的切线斜率为，由×（-a）="-1" 得，a=-2，故答案为：B．【考点】函数在某点的导数值与曲线在此点的切线的斜率的关系;两直线垂直的性质．5.设,则在处的导数（）A．B．C．0D．【答案】A【解析】，故选A．【考点】某点处的导数．6.与直线2x－6y＋1＝0垂直，且与曲线f(x)＝x3＋3x2－1相切的直线方程是________．【答案】【解析】与已知直线垂直的直线的斜率,,解得,代入曲线方程所以切线方程为,整理得：【考点】1.导数的几何意义；2.直线的垂直.7.已知A为函数图像上一点，在A处的切线平行于直线，则A点坐标为 ;【答案】（1,2）【解析】因为，设，则A点坐标为（1,2）.【考点】导数的几何意义8.过点且与曲线相切的直线方程为（）A．或B．C．或D．【答案】A【解析】设切点为，因为，所以切线的斜率为，所以切线方程为，又因为切线过点，所以即，注意到是在曲线上的，故方程必有一根，代入符合要求，进一步整理可得即，也就是即，所以或，当时，，切线方程为即；当时，，切线方程为即，故选A.【考点】导数的几何意义.9.在曲线处的切线方程为。

高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析1.若直线是曲线的切线，则的值为 .【答案】或.【解析】设直线是曲线的切点的坐标为，则，即，且，联立这两个方程解得：或，从而或.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.2.函数在处的切线方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴切线的斜率，切点坐标（0，1）∴切线方程为y-1=-（x-0），即x+y-1=0．故选A．【考点】导数的几何意义;函数的求导运算．3.若，则等于（）A．－1B．－2C．1D．【答案】A【解析】根据导数的定义知===-1，故选A.【考点】导数的定义4.（1）已知函数,过点Ｐ的直线与曲线相切，求的方程；（2）设，当时，在１,４上的最小值为，求在该区间上的最大值．【答案】(1) 或(2) 最大值为【解析】(1) 根据题意可知,直线过点,但是并没有说明该点是不是切点,所以得设出切点坐标,根据导数的几何意义可知,曲线切线的斜率就是在切点横坐标处的导数,然后利用点斜式求得切线方程;代入点可求出切点,从而得切线方程.(2)首先利用导数求得极值点和函数的单调区间,根据的范围可判断出函数在所给区间上的单调性,从而得出在该区间上的最小值(含),令其等于可得,从而求出在该区间的最大值.试题解析：（1）根据题意可知,直线过点,但是并没有说明该点是不是切点,所以设切点为，因为函数的导函数为,所以根据导数的几何意义可知,切线的斜率，则利用点斜式可得:切线的方程.因为过点，所以，解得或故的方程为或，即或.（2）令得，，故在上递减，在上递增，在上递减.当时，有，所以在上的最大值为又，即.所以在上的最小值为，得故在上的最大值为【考点】导数法求切线方程;导数法求单调性和最值.5.曲线在处的切线的倾斜角是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题知，当时，，则倾斜角的正切值为，倾斜角为.【考点】1.导数的几何意义；2.斜率与倾斜角.6.下列关于函数的性质叙述错误的是（）A．在区间上单调递减B．在定义域上没有最大值C．在处取最大值3D．的图像在点处的切线方程为【答案】C【解析】因为，于是可得00极小值当时，，当时，所以可知A、B正确，C不正确，在处取得极大值3，并不是最大值而的图像在点处的切线的斜率为，故此时的切线方程为综上可知，只有C是错误的，故选C．【考点】导数在研究函数性质上的应用．7.已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；（3）设函数，若在上至少存在一点，使得＞成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）实数的取值范围是；（3）实数的取值范围．【解析】（1）求的导数，找出处的导数即切线的斜率，由点斜式列出直线的方程即可；（2）求出函数的定义域，在定义域内利用导数与函数增减性的关系，转化为恒成立问题进行求解即可；(3)讨论在定义域上的最值，分情况讨论的增减性，进而解决存在成立的问题即可．（1）当时，函数，，曲线在点处的切线的斜率为从而曲线在点处的切线方程为，即 3分（2）令，要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立由题意，的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为∴，只需，即时，∴在内为增函数，正实数的取值范围是 7分（3）∵在上是减函数∴时，；时，，即①当时，，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在轴的左侧，且，所以在内是减函数当时，，因为，所以，此时，在内是减函数故当时，在上单调递减，不合题意②当时，由，所以又由(Ⅱ)知当时，在上是增函数∴，不合题意 12分③当时，由(Ⅱ)知在上是增函数，又在上是减函数，故只需，而，即，解得所以实数的取值范围是 15分．【考点】1．导数的几何意义；2．函数的单调性与导数；3．二次函数的图像与性质；4．分类讨论的思想．8.函数的图像在点）处的切线与轴的交点的横坐标为（）若，则= 。

导数的几何意义专题练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 函数f (x )在x =4处的切线方程为y =3x +5，则f (4)+f ′(4)=( ) A.10 B.20C.30D.402. 函数f (x )=x 3−7x 2+1的图象在点(4,f (4))处的切线的斜率为( ) A.−8 B.−7C.−6D.−53. 已知三次函数y =f (x )的图像如右图所示，若f ′(x )是函数f (x )的导函数，则关于x 的不等式(x −2)f ′(x )>f (7)的解集为（ ）A.{x|1<x <2或x >4}B.{x|x <7}C.{x|1<x <4}D.{x|x <1或2<x <4}4. 已知曲线y =ae x +x ln x 在点(1,ae )处的切线方程为y =2x +b ，则（ ） A.a =e ，b =−1 B.a =e ，b =1 C.a =1e ，b =eD.a =1e ， b =−15. 已知曲线y =ae x +x ln x 在点(1,ae )处的切线方程为y =2x +b ，则（ ） A.a =e ，b =−1 B.a =e ，b =1 C.a =1e ， b =−1 D.a =1e ，b =e6. 如图，直线l 是曲线y =f (x )在x =2处的切线，则f ′(2)=( )A.1B.2C.3D.47. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图所示，则导函数y=f′(x)的图象为（）A.B.C.D.8. 已知函数f (x )=53x −ln (2x +1)，则lim Δx→0f (1+Δx )−f (1)2Δx=( ) A.1 B.12C.43D.539. 已知直线y =ax +2a 与曲线y =ln (x +2)相切，则a 的值为( ) A.1 B.2C.1eD.1e 210. 已知f(x)=a ln x +12x 2(a >0)，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>2恒成立，则a 的取值范围是( )A.[1, +∞)B.(1, +∞)C.(0, 1)D.(0, 1]11. 设f (x )为可导函数，且满足lim Δx→0f (1+3Δx )−f (1)Δx=−3，则函数y =f (x )在x =1处的导数为( ) A.1 B.−1C.1或−1D.以上答案都不对12. 已知函数f (x )={e −x +2mx +m, x <0,e x (x −1), x ≥0, (e 为自然对数的底)，若F (x )=f (x )+f (−x )且F (x )有四个零点，则实数m 的取值可以( )A.1B.2C.eD.2e13. 函数f(x)=2x3−2的图象在点(1,0)处的切线的斜率为________.14. 曲线y＝ln x−在x＝1处的切线的倾斜角为α，则sin2α＝________．15. 已知函数f(x)=log a x(a>1)的导函数是f′(x)，记A=f′(a)，B=f′(a+1)，C=f(a+1)−f(a)(a+1)−a，则A，B，C的大小关系是________．16. 已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线为l．若l与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切，则a=________．17. 函数在点处的切线方程为________．18. 已知函数，则曲线在处的切线方程为________.19. 曲线f(x)=e x−x ln x+2在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为________.20. 若函数y=x3+ax2(a∈R)的图象在点(1,b)处切线的斜率为−1，则a+b=________.21. 曲线f(x)=x sin x在x=π2处的切线方程为________22. 已知直线y=kx+b是曲线y=e x的一条切线，则k+b的取值范围是________.23. 已知曲线y=1x +ln xa在x=1处的切线l与直线2x+3y=0垂直，则实数a的值为________.24. 已知P是曲线y=14x2−12ln x上的动点，Q是直线y=34x−2上的动点，则PQ的最小值为________.25. 求函数y＝(2x−1)2在x＝3处的导数．26. 已知圆的面积S是半径r的函数S＝πr2，用定义求S在r＝5处的导数，并对S′(5)的意义进行解释．27. 求曲线y=1x+2x在x＝1处切线的斜率，并求该切线的切线方程．28. 已知函数f(x)=a ln xx+1+bx，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y−3=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）证明：当x>0，且x≠1时，f(x)>ln xx−1．29. 已知函数f(x)=ln x−12ax2+bx+1的图象在x=1处的切线l过点(12,12)．（Ⅰ）若函数g(x)=f(x)−(a−1)x(a>0)，求g(x)的最大值（用a表示）；（Ⅱ）若a=−4，f(x1)+f(x2)+x1+x2+3x1x2=2，证明：x1+x2≥12．30. 已知函数f(x)=x2+a ln x．（Ⅰ）若曲线y=f(x)−1在点(1,0)上的切线与直线y=x垂直，求a的值；（Ⅱ）函数y=f′(x)是函数y=f(x)的导函数，若f′(x)≥ln xx恒成立，求a的取值范围．31. 已知函数f(x)=e x−a，g(x)=ln x−b.(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程；(2)若a=b+2，是否存在直线与曲线y=f(x)和y=g(x)都相切？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，请说明理由．x3−x2+2，M为函数f(x)图象上一点，曲线y=f(x)在M处的32. 已知函数f(x)=13切线为l.(1)若M点坐标为(0,2)，求切线l的方程；(2)求当切线l的斜率最小时M点的坐标．33. 已知函数f(x)=ln x−mx，m∈R.(1)若f(x)在点x=1处的切线与直线x+2y+1=0垂直，求该切线的方程；(2)设函数g(x)=1x2+f(x)有两个相异的极值点x1，x2，求g(x1)+g(x2)的取值范围．2−8ln x (a∈R)34. 已知函数f(x)=2x−ax(1)若f(x)在点A(1,f(1))处取得极值，求过点A且与f(x)在x=a处的切线平行的直线方程；(2)若函数f(x)有两个都大于1的极值点x1,x2(1<x1<x2)，求证：当m≤1时，总有a ln x1>m(5x2−x22)成立．1−x135. 已知函数f(x)=−x3+ax2−4(a∈R)．(1)若函数y=f(x)的图象在点P(1, f(1))处的切线的倾斜角为π，求a的值；4(2)若存在t∈(0, +∞)，使f(t)>0，求a的取值范围．参考答案与试题解析导数的几何意义专题练习题含答案一、选择题（本题共计 12 小题，每题 3 分，共计36分）1.【答案】B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】根据切点在切线上可求出f(4)的值，然后根据导数的几何意义求出f′(4)的值，从而可求出所求．【解答】解：根据切点在切线上可知当x=4时，y=17，∴f(4)=17，∵函数y=f(x)的图象在x=4处的切线方程是y=3x+5，∴f′(4)=3，则f(4)+f′(4)=17+3=20．故选B．2.【答案】A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力．【解答】解：因为f(x)=x3−7x2+1，所以f′(x)=3x2−14x，所以f(x)在(4,f(4))处切线的斜率为f′(4)=3×42−14×4=−8．故选A.3.【答案】D【考点】函数恒成立问题利用导数研究函数的单调性函数的图象与图象变化导数的几何意义【解析】由图象做出其导函数的图像，用符号法则即可求解不等式.【解答】解：由图象可知， f (7)=0 ，即原不等式转化为(x −2)f ′(x )>0又由于三次函数y =f (x )的导函数是二次函数，结合f (x )的图象可知， x =1和x =4分别是函数f (x )的极小值点和极大值点，则x =1和x =4是函数f ′(x )的两个零点，我们可以做出导函数f ′(x )的图象如图，由图象可知，当x <1时， f ′(x )<0， 当1<x <4时， f ′(x )>0， 当x >4时， f ′(x )<0接下来利用符号法则即可求解，当x <1时，f ′(x )<0，而x −2<0，故(x −2)⋅f ′(x )>0，故x <1满足题意； 当1<x <2时， f ′(x )>0，但x −2<0，故(x −2)⋅f ′(x )<0，不满足题意； 当2<x <4时， f ′(x )>0，且x −2>0，故(x −2)⋅f ′(x )>0，满足题意； 当x >4时， f ′(x )<0，但x −2>0，故(x −2)⋅f ′(x )<0，不满足题意； 综上所述，不等式x ⋅f ′(x )>0的解为x <1或者2<x <4， 故不等式(x −2)f ′(x )>f (7)的解集 {x|x <1或2<x <4}. 故选D ． 4.【答案】 D【考点】导数的几何意义利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】利用切线的斜率为2，切点坐标(1,a e )在切线上，列方程求解即可. 【解答】解：y ′=a e x +ln x +1， 由题意可得{a e +1=2,a e=2+b,解得a =1e ，b =−1. 故选D . 5.【考点】导数的几何意义利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】利用切线的斜率为2，切点坐标(1,a e )在切线上，列方程求解即可. 【解答】解：y ′=a e x +ln x +1， 由题意可得{a e +1=2,a e=2+b,解得a =1e ，b =−1.故选C . 6.【答案】 A【考点】斜率的计算公式 导数的几何意义【解析】由图象可知直线1经过(2,3) (0,1) ，由两点的斜率公式可得切线l 的斜率，再由导数的几何意义可得所求值． 【解答】解：由图象可得直线l 与曲线y =f (x )相切的切点为(2,3)， ∵ 直线l 经过点(0,1)， ∴ 直线l 的斜率为k =3−12−0=1，由导数的几何意义可得f ′(2)=k =1. 故选A ． 7.【答案】 C【考点】导数的几何意义 函数的图象【解析】根据原函数图像，由导函数与原函数图像之间关系，逐项判断，即可得出结果． 【解答】解：由图可知，函数f (x )在(−∞,0)上单调递减，∴ y =f ′(x )<0在(−∞,0)上恒成立，排除选项B 和D . 函数f (x )在(0,+∞)上先递减后递增再递减，∴ y =f ′(x )在(0,+∞)上应为负、正、负的趋势，即选项A 错误，C 正确． 故选C ． 8.【考点】导数的几何意义【解析】无【解答】解：由题得f′(x)=53−22x+1，∴f′(1)=1．∵limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=f′(1)=1，∴limΔx→0f(1+Δx)−f(1)2Δx=12．故选B．9.【答案】C【考点】导数的几何意义利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意，得y′=1x+2=a,解得x=1a−2，∴ a(1a −2)+2a=ln(1a+2−2),解得a=1e.故选C.10.【答案】A【考点】导数的几何意义利用导数研究函数的单调性【解析】先将条件“对任意两个不等的正实数x1，x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>2恒成立”转换成当x>0时，f′(x)≥2恒成立，然后利用参变量分离的方法求出a的范围即可．【解答】解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>2恒成立，则当x>0时，f′(x)≥2恒成立，则f′(x)=ax+x≥2在(0, +∞)上恒成立，则a≥(2x−x2)max=1，即a的取值范围是[1, +∞). 故选A．11.【答案】B【考点】导数的几何意义【解析】【解答】解：∵f(x)为可导函数，且满足limΔx→0f(1+3Δx)−f(1)Δx=−3，∴f′(1)=limΔx→0f(1+3Δx)−f(1)3Δx=13limΔx→0f(1+3Δx)−f(1)Δx=13×(−3)=−1，∴f′(1)=−1．故选B．12.【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性导数的几何意义函数的零点与方程根的关系函数奇偶性的判断【解析】根据定义域为R，且F(−x)=F(x)，可知函数F(x)是偶函数．所以只需研究x>0时函数F(x)有两个零点即可，然后再转化为两个函数图象交点的问题，结合导数研究函数的切线等，即可解决问题．【解答】解：∵函数的定义域为R，且F(−x)=f(−x)+f(x)=F(x)，∴函数F(x)是偶函数，∵f(x)={e −x+2mx+m，x<0，e x(x−1)，x≥0，（e为自然对数的底），∴f(−x)={e −x(−x−1)， x≤0，e2−2mx+m， x>0，又因为F(x)有四个零点，所以只需研究x >0时函数F (x )=0有两个不等根即可，即e 2(x −1)+e x −2mx +m =0在(0,+∞)上有两个互异根，即x e 2=2m (x −12) 在(0,+∞)上有两个根， 令H (x )=x e 2，L (x )=2m (x −12)过定点(12,0),∵ H ′(x )=e x (x +1)>0，所以H (x )在(0,+∞)上是增函数，下面求H (x )过(12,0)的切线斜率．设切点为Q (t,t e t )，t >0，则切线斜率为k =e t (t +1)，故切线为y −t e t =e t (t +1)(x −t )，将(12,0)代入得：−t e t =e t (t +1)(12−t)，即2t 2−t −1=0，解得：t =1或t =−12（舍）， 此时切线斜率k =2e ，作出H (x )与L (x )图象：可见，当L (x )与H (x )相切，即2m =2e 时，只有一个公共点；当m >e 时，就会有两个交点．故m 的值可以为2e ．故选D .二、 填空题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ）13.【答案】6【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力．【解答】解：因为f ′(x )=6x 2，所以f ′(1)=6．故答案为：6．14.【答案】【考点】导数的几何意义【解析】先求出曲线y＝ln x−的导数，得到曲线在x＝1处的斜率，再根据切线的倾斜角为α，得到tanα的值，进一步求出sin2α的值．【解答】由y＝ln x−，得y′＝，∴曲线y＝ln x−在x＝3处的切线斜率k＝2，∵曲线y＝ln x−在x＝2处的切线的倾斜角为α，∴tanα＝2，∴sin2α＝5sinαcosα＝．15.【答案】A>C>B【考点】导数的几何意义【解析】本题考查导数的几何意义．【解答】解：设M(a,f(a))，N(a+1,f(a+1))，表示直线MN的斜率k MN；则C=f(a+1)−f(a)(a+1)−aA=f′(a)表示函数f(x)在点M处的切线的斜率；B=f′(a+1)表示函数f(x)在点N处的切线的斜率，作出函数f(x)的大致图像，由图易知f′(a)>k MN>f′(a+1)，所以A>C>B．故答案为：A>C>B．16.【答案】8【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】本题考查导数的几何意义、数形结合思想的应用．【解答】，解：函数f(x)=x+ln x的导函数为f′(x)=1+1x=2，所以切线l的方程为y−1=2(x−1)，则f′(1)=1+11即y=2x−1，因为直线l与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切，所以方程ax2+(a+2)x+1=2x−1，即ax2+ax+2=0有两个相等的实数根，显然a≠0，则Δ=a2−4×2a=0，解得a=8．故答案为：8．17.【答案】7x−v−4=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程圆的切线方程导数的几何意义【解析】求得函数f(x)的导数，可得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程即可得切线方程．【解答】由函数f(x)=2x3+x，得f′(x)=6x2+1f′(1)=7，即曲线在点(1,f(1))处的切线斜率为k=7，又f(1)=3．曲线在点(1,f(1))处的切线方程为y−3=7(x−1)，即7x−y−4=0故答案为：7x−y−4=018.【答案】y=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程圆的切线方程导数的几何意义【解析】求出f(0)和f′(0)即可因为f(x)=x3，所以f(0)=0,f′(x)=3x2所以f′(0)=0所以曲线y=f(x)在(0,0)处的切线方程为：y−0=0×(x−0)即y=0故答案为：y=019.【答案】92(e−1)【考点】导数的几何意义利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求导得f′(x)=e x−ln x−1，故f′(1)=e−1，再结合f(1)=e+2和直线的点斜式方程得切线方程y−(e+2)=(e−1)(x−1)，进而求在坐标轴上的点的坐标，计算三角形的面积．【解答】解：因为f′(x)=e x−ln x−1，所以f′(1)=e−1，又f(1)=e+2，故曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y−(e+2)=(e−1)(x−1)，切线交两坐标轴于点A(0,3)，B(31−e,0)，所以S△AOB=12⋅OA⋅OB=92(e−1).故答案为：92(e−1).20.【答案】−3【考点】导数的几何意义利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，求出a，b的值，即可得解．【解答】解：函数y=x3+ax2(a∈R)的导数为f′(x)=3x2+2ax，可得函数在点(1,b)处的切线斜率为：k=f′(1)=3+2a=−1，所以a=−2，因为点(1,b)在函数y=x3+ax2(a∈R)上，所以b=1+a=−1，所以a+b=−2+(−1)=−3.故答案为：−3.21.y=x【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性导数的几何意义抛物线的性质抛物线的求解【解析】此题暂无解析【解答】略22.【答案】(−∞,e]【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：设f(x)=e x，切点为(x0，e x0)，f′(x)=e x，∴ k=e x0，b=e x0−kx0=e x0(1−x0)，∴ k+b=e x0+e x0(1−x0)=e x0(2−x0).令g(x)=e x(2−x)，g′(x)=e x(2−x)−e x=e x(1−x)，当x∈(−∞,1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(1,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减.又g(1)=e，∴ k+b的取值范围是(−∞,e].故答案为：(−∞,e].23.【答案】25【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：直线2x+3y=0的斜率为−23，设曲线y=1x +ln xa在x=1处的切线l的斜率为k，则k⋅(−23)=−1,k=32，又曲线y=1x +ln xa在x=1处有切线l，则y′=−1x2+1ax，y′(1)=1a−1=k,即1a −1=32，解得a=25.故答案为：25.24.【答案】6−2ln25【考点】导数的几何意义点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：函数的定义域为(0,+∞)，由y=14x2−12ln x内导数为y′=12x−12x,令12x−12x=34,可得x=2或x=−12(舍去),所以切点为(2,1−12ln2).它到直线y=34x−2即3x−4y−8=0的距离d=√9+16=6−2ln25,即点P到直线y=34x−2的距离的最小值6−2ln25.故答案为：6−2ln25.三、解答题（本题共计 11 小题，每题 10 分，共计110分）25.【答案】20【考点】导数的几何意义导数的运算【解析】求出函数的导函数，然后求解在x＝3处的导数值即可．【解答】函数y＝(2x−1)2＝4x2−4x+1，y′＝8x−4．y′|x=3=8×3−4＝20．26.【答案】△S＝π(5+△r)2+π×52＝π(△r2+10△r)∴△S=π(△r+10)，△r∴limπ(△r+10)＝10π，△r→0S′(5)的意义是半径r＝5时，其圆的周长．【考点】导数的几何意义导数的运算【解析】根据导数的定义即可求出．【解答】△S＝π(5+△r)2+π×52＝π(△r2+10△r)∴△S=π(△r+10)，△r∴limπ(△r+10)＝10π，△r→0S′(5)的意义是半径r＝5时，其圆的周长．27.【答案】+2，函数的导数f′(x)=−1x2在x＝1处切线的切线斜率k＝f′(1)＝−1+2＝1，f(1)＝1+2＝3，即切点坐标为(1, 3)，则对应的切线方程为y−3＝x−1，即y＝x+2．【考点】导数的几何意义【解析】求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．【解答】函数的导数f′(x)=−1x 2+2，在x ＝1处切线的切线斜率k ＝f′(1)＝−1+2＝1， f(1)＝1+2＝3，即切点坐标为(1, 3)，则对应的切线方程为y −3＝x −1，即y ＝x +2．28.【答案】（Ⅰ）解：f ′(x)=a(x+1x−ln x)(x+1)2−b x 2．由于直线x +2y −3=0的斜率为−12，且过点(1,1)，故{f(1)=1，f ′(1)=−12，即{b =1，a 2−b =−12， 解得a =1，b =1．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f(x)=ln x x+1+1x ， 所以f(x)−ln x x−1=11−x 2(2ln x −x 2−1x )． 令ℎ(x)=2ln x −x 2−1x (x >0)， 则ℎ′(x)=2x −2x 2−(x 2−1)x 2=−(x−1)2x 2．所以当x ≠1时，ℎ′(x)<0，而ℎ(1)=0，故当x ∈(0,1)时，ℎ(x)>0，可得11−x 2ℎ(x)>0；当x ∈(1,+∞)时，ℎ(x)<0，可得11−x 2ℎ(x)>0．从而当x >0，且x ≠1时，f(x)−ln x x−1>0．即f(x)>ln x x−1．【考点】导数的几何意义导数的运算【解析】本题考查导数的运算、几何意义、导数与函数的综合应用．【解答】（Ⅰ）解：f ′(x)=a(x+1x−ln x)(x+1)2−b x 2．由于直线x +2y −3=0的斜率为−12，且过点(1,1)，故{f(1)=1，f ′(1)=−12， 即{b =1，a 2−b =−12， 解得a =1，b =1．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f(x)=ln x x+1+1x ， 所以f(x)−ln x x−1=11−x 2(2ln x −x 2−1x )． 令ℎ(x)=2ln x −x 2−1x (x >0)， 则ℎ′(x)=2x −2x 2−(x 2−1)x 2=−(x−1)2x 2．所以当x ≠1时，ℎ′(x)<0，而ℎ(1)=0， 故当x ∈(0,1)时，ℎ(x)>0，可得11−x 2ℎ(x)>0； 当x ∈(1,+∞)时，ℎ(x)<0，可得11−x 2ℎ(x)>0． 从而当x >0，且x ≠1时，f(x)−ln x x−1>0． 即f(x)>ln x x−1．29.【答案】（Ⅰ）解：由f ′(x)=1x −ax +b ， 得f ′(1)=1−a +b ，f(1)=−12a +b +1， ∴ 切线l 的方程为y −(−12a +b +1)=(1−a +b)⋅(x −1)， 又切线l 过点(12,12)，∴ 12−(−12a +b +1)=(1−a +b)(12−1)， 解得b =0．∵ g(x)=f(x)−(a −1)x =ln x −12ax 2+(1−a)x +1(x >0)， ∴ g ′(x)=1x −ax +1−a =−ax 2+(1−a)x +1x=−a(x−1a )(x+1)x (a >0)．当x∈(0,1a)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(1a,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，故g(x)max=g(1a)=ln 1a−12a(1a)2+(1−a)1a+1=12a−ln a．（Ⅱ）证明：∵a=−4，∴f(x)=ln x+2x2+1，∴f(x1)+f(x2)+x1+x2+3x1x2=ln x1+2x12+1+ln x2+2x22+1+x1+x2+3x1x2=ln(x1x2)+2(x1+x2)2+x1+x2−x1x2+2=2，∴x1+x2+2(x1+x2)2=x1x2−ln(x1x2)．令x1x2=m(m>0)，φ(m)=m−ln m，φ′(m)=m−1m，令φ′(m)<0得0<m<1，令φ′(m)>0得m>1，∴φ(m)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，∴φ(m)≥φ(1)=1，∴x1+x2+2(x1+x2)2≥1，又x1+x2>0，∴x1+x2≥12．【考点】导数的几何意义不等式的综合【解析】本题考查导数的几何意义、导数、函数、不等式的综合应用．【解答】（Ⅰ）解：由f′(x)=1x−ax+b，得f′(1)=1−a+b，f(1)=−12a+b+1，∴切线l的方程为y−(−12a+b+1)=(1−a+b)⋅(x−1)，又切线l过点(12,12 )，∴12−(−12a+b+1)=(1−a+b)(12−1)，解得b=0．∵g(x)=f(x)−(a−1)x=ln x−12ax2+(1−a)x+1(x>0)，∴g′(x)=1x−ax+1−a=−ax2+(1−a)x+1x=−a(x−1a)(x+1)x(a>0)．当x∈(0,1a)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(1a,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，故g(x)max=g(1a)=ln 1a−12a(1a)2+(1−a)1a+1=12a−ln a．（Ⅱ）证明：∵a=−4，∴f(x)=ln x+2x2+1，∴f(x1)+f(x2)+x1+x2+3x1x2=ln x1+2x12+1+ln x2+2x22+1+x1+x2+3x1x2=ln(x1x2)+2(x1+x2)2+x1+x2−x1x2+2=2，∴x1+x2+2(x1+x2)2=x1x2−ln(x1x2)．令x1x2=m(m>0)，φ(m)=m−ln m，φ′(m)=m−1m，令φ′(m)<0得0<m<1，令φ′(m)>0得m>1，∴φ(m)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，∴φ(m)≥φ(1)=1，∴x1+x2+2(x1+x2)2≥1，又x1+x2>0，∴x1+x2≥12．30.【答案】解：（Ⅰ）令ℎ(x)=f(x)−1=x2+a ln x−1，所以ℎ′(x)=2x+ax，又ℎ(x)在点(1,0)处的切线与直线y=x垂直，所以ℎ′(1)=2+a=−1，所以a=−3．（Ⅱ）由题意可得f′(x)≥ln xx，即2x+ax ≥ln xx(x>0)，也即a≥ln x−2x2恒成立，令g(x)=ln x−2x2，g′(x)=1x −4x=1−4x2x，令g ′(x)=0，解得x =12（舍去x =−12），所以g(x)=ln x −2x 2在(0,12)上单调递增，在[12,+∞)上单调递减，所以g(x)max =g (12)=ln 12−2×14 =ln 12−12=−ln 2−12． 所以a ≥−ln 2−12． 【考点】函数的单调性与导数的关系 导数的几何意义【解析】本题考查导数的几何意义、导数与函数单调性之间的关系． 【解答】 解：（Ⅰ）令ℎ(x)=f(x)−1=x 2+a ln x −1， 所以ℎ′(x)=2x +a x ，又ℎ(x)在点(1,0)处的切线与直线y =x 垂直， 所以 ℎ′(1)=2+a =−1， 所以a =−3．（Ⅱ）由题意可得f ′(x)≥ln x x，即2x +ax ≥ln x x(x >0)，也即a ≥ln x −2x 2恒成立，令g(x)=ln x −2x 2，g ′(x)=1x −4x =1−4x 2x，令g ′(x)=0，解得x =12（舍去x =−12），所以g(x)=ln x −2x 2在(0,12)上单调递增，在[12,+∞)上单调递减， 所以g(x)max =g (12)=ln 12−2×14 =ln 12−12=−ln 2−12． 所以a ≥−ln 2−12． 31.【答案】解：(1)当a =1时，f (x )=e x−1，f ′(x )=e x−1， ∴ f ′(1)=1，f(1)=1，∴ 曲线y =f (x )在点(1,1)处的切线方程为y −1=x −1， 即y =x .(2)设直线与曲线y =f (x )相切于点A (x 1,y 1)，与曲线y =g (x )相切于点B (x 2,y 2)，则f′(x)=e x−a，g′(x)=1x，∵曲线y=f(x)在点A处的切线为y−e x1−a=e x1−a(x−x1)，与曲线y=g(x)相切于点B，∴{e x1−a=1x2①，ln x2−b−e x1−a=e x1−a(x2−x1)②，由①，得x1−a=ln1x2=−ln x2，即ln x2=a−x1，将e x1−a=1x2，ln x2=a−x1代入②，得a−x1−b−1x2=1x2(x2−x1)，又a=b+2，整理，得(x1−1)(x2−1)=0，当x1=1时，y−e1−a=e1−a(x−1)，即y=e1−a x；当x2=1时，a−x1=ln x2=0，x1=a，∴y−1=x−a，即y=x+1−a，∴存在这样的直线，直线为y=e1−a x或y=x+1−a.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】（1）当a=1时，f(x)=e x−1，f′(x)=e x−1，故k=f′(1)=1，再根据点斜式方程求解即可 .（2）设直线与曲线y=f(x)相切于点A(x1,y1)，与曲线y=g(x)相切于点B(x2,y2)，①则根据切点在切线上，也在曲线上得{e x1−a=1x2①，ln x2−b−e x2−a(x2−x1)②，，整理得(x1−1)(x2−1)=0，再分当x1=1时和x2=1时两种情况求解即可．【解答】解：(1)当a=1时，f(x)=e x−1，f′(x)=e x−1，∴f′(1)=1，f(1)=1，∴曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为y−1=x−1，即y=x.(2)设直线与曲线y=f(x)相切于点A(x1,y1)，与曲线y=g(x)相切于点B(x2,y2)，则f′(x)=e x−a，g′(x)=1x，∵曲线y=f(x)在点A处的切线为y−e x1−a=e x1−a(x−x1)，与曲线y=g(x)相切于点B，∴{e x1−a=1x2①，ln x2−b−e x1−a=e x1−a(x2−x1)②，由①，得x1−a=ln1x2=−ln x2，即ln x2=a−x1，将e x1−a=1x2，ln x2=a−x1代入②，得a−x1−b−1x2=1x2(x2−x1)，又a=b+2，整理，得(x1−1)(x2−1)=0，当x1=1时，y−e1−a=e1−a(x−1)，即y=e1−a x；当x2=1时，a−x1=ln x2=0，x1=a，∴y−1=x−a，即y=x+1−a，∴存在这样的直线，直线为y=e1−a x或y=x+1−a.32.【答案】解：(1)由题意，得f′(x)=x2−2x，∵f′(0)=0，∴ k=0，∴ 切线l的方程为y=2．(2)∵f′(x)=x2−2x=(x−1)2−1≥−1，∴ 当x=1时，切线l的斜率最小，∴ y=13−1+2=43，∴ M点的坐标为(1,43)．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】左侧图片未给出解析左侧图片未给出解析【解答】解：(1)由题意，得f′(x)=x2−2x，∵f′(0)=0，∴ k=0，∴ 切线l的方程为y=2．(2)∵f′(x)=x2−2x=(x−1)2−1≥−1，∴ 当x=1时，切线l的斜率最小，∴ y=13−1+2=43，∴ M点的坐标为(1,43)．33.【答案】解：(1)∵f(x)=ln x−mx，∴f′(x)=1x−m .∵ 直线x +2y +1=0的斜率为k =−12，∴ f (x )在点x =1处的切线斜率为−2． ∴ f ′(1)=1−m =2， 解得m =−1，∴ f (x )=ln x +x ，f (1)=1， ∴ 切点坐标为(1,1)，∴ 切线的方程为y −1=2(x −1)，即2x −y −1=0 . (2)∵ f (x )=ln x −mx ，∴ g (x )=12x 2+f (x )=12x 2−mx +ln x ，定义域为(0,+∞)，∴ g ′(x )=x −m +1x =x 2−mx+1x(x >0).∵ 函数g (x )=12x 2+f (x )有两个不相等的极值点x 1，x 2， ∴ 方程x 2−mx +1=0有两个不相等的正实数解x 1，x 2， ∴ {Δ=m 2−4>0,x 1+x 2=m >0,x 1x 2=1>0,解得m >2 ， ∴ g (x 1)+g (x 2)=(12x 12−mx 1+ln x 1)+(12x 22−mx 2+ln x 2)=12(x 12+x 22)−m (x 1+x 2)+(ln x 1+ln x 2)=12[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]−m (x 1+x 2)+ln (x 1x 2) =12(m 2−2)−m 2+ln 1 =−12m 2−1.∵ m >2，∴ g (x 2)+g (x 2)<−3，∴ g (x 1)+g (x 2)的取值范围是(−∞,−3) . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 导数的几何意义 利用导数研究函数的极值 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)∵ f (x )=ln x −mx ， ∴ f ′(x )=1x −m .∵ 直线x +2y +1=0的斜率为k =−12，∴ f (x )在点x =1处的切线斜率为−2． ∴ f ′(1)=1−m =2， 解得m =−1，∴ f (x )=ln x +x ，f (1)=1， ∴ 切点坐标为(1,1)，∴ 切线的方程为y −1=2(x −1)，即2x −y −1=0 . (2)∵ f (x )=ln x −mx ，∴ g (x )=12x 2+f (x )=12x 2−mx +ln x ，定义域为(0,+∞)， ∴ g ′(x )=x −m +1x =x 2−mx+1x(x >0).∵ 函数g (x )=12x 2+f (x )有两个不相等的极值点x 1，x 2， ∴ 方程x 2−mx +1=0有两个不相等的正实数解x 1，x 2， ∴ {Δ=m 2−4>0,x 1+x 2=m >0,x 1x 2=1>0,解得m >2 ， ∴ g (x 1)+g (x 2)=(12x 12−mx 1+ln x 1)+(12x 22−mx 2+ln x 2)=12(x 12+x 22)−m (x 1+x 2)+(ln x 1+ln x 2)=12[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]−m (x 1+x 2)+ln (x 1x 2) =12(m 2−2)−m 2+ln 1 =−12m 2−1.∵ m >2，∴ g (x 2)+g (x 2)<−3，∴ g (x 1)+g (x 2)的取值范围是(−∞,−3) . 34. 【答案】解：(1)f ′(x)=2+a x 2−8x=2x 2−8x+ax 2(x >0)，由已知f ′(1)=2−8+a 12=0知a =6，f ′(6)=2×62−8×6+662=56，点A(1,−4)，故所求直线方程为5x −6y −29=0． (2)f(x)定义域为(0,+∞)， 令t(x)=2x 2−8x +a ，由f(x)有两个极值点x 1，x 2(1<x 1<x 2)得：t(x)=2x 2−8x +a =0，有两个都大于1的不等的零点， {Δ=64−8a >0，t(0)=a >0，t(1)>0，∴ 6<a <8， {x 1+x 2=4，x 1x 2=a 2，∴ {x 2=4−x 1，a =2x 1x 2=2x 1(4−x 1)，由1<x 1<x 2知1<x 1<2， 原不等式等价于:2x 1(4−x 1)ln x 11−x 1>m[5(4−x 1)−(4−x 1)2]，∵ 4−x 1>0， ∴ 2x 1ln x 11−x 1>m(1+x 1)，∴x 11−x 1[2ln x 1+m(x 12−1)x 1]>0，①1<x 1<2，x 11−x 1<0，令ℎ(x)=2ln x +m(x 2−1)x(1<x <2)，ℎ′(x)=mx 2+2x+mx 2，m ≤−1时，Δ=4−4m 2≤0，ℎ′(x)<0恒成立，所以ℎ(x)在(1,2)上单调递减． ∵ ℎ(1)=0，∴ ℎ(x)<0，不等式①成立， ∴ m ≤−1时原不等式成立． 【考点】利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的极值 导数的几何意义 【解析】 【解答】解：(1)f ′(x)=2+ax 2−8x =2x 2−8x+ax 2(x >0)，由已知f ′(1)=2−8+a 12=0知a =6，f ′(6)=2×62−8×6+662=56，点A(1,−4)，故所求直线方程为5x −6y −29=0． (2)f(x)定义域为(0,+∞)， 令t(x)=2x 2−8x +a ，由f(x)有两个极值点x 1，x 2(1<x 1<x 2)得：t(x)=2x 2−8x +a =0，有两个都大于1的不等的零点， {Δ=64−8a >0，t(0)=a >0，t(1)>0，∴ 6<a <8， {x 1+x 2=4，x 1x 2=a 2，∴ {x 2=4−x 1，a =2x 1x 2=2x 1(4−x 1)，由1<x 1<x 2知1<x 1<2， 原不等式等价于:2x 1(4−x 1)ln x 11−x 1>m[5(4−x 1)−(4−x 1)2]，∵ 4−x 1>0， ∴2x 1ln x 11−x 1>m(1+x 1)，∴ x 11−x 1[2ln x 1+m(x 12−1)x 1]>0，①1<x 1<2，x11−x 1<0，令ℎ(x)=2ln x +m(x 2−1)x(1<x <2)，ℎ′(x)=mx 2+2x+mx 2，m ≤−1时，Δ=4−4m 2≤0，ℎ′(x)<0恒成立，所以ℎ(x)在(1,2)上单调递减． ∵ ℎ(1)=0，∴ ℎ(x)<0，不等式①成立， ∴ m ≤−1时原不等式成立． 35.【答案】解：(1)依题意f ′(x)=−3x 2+2ax ， f ′(1)=tan π4=1，∴ −3+2a =1，即a =2． (2)f′(x)=−3x(x −2a 3)．①若a ≤0，当x >0时，f′(x)<0，∴f(x)在[0, +∞)上单调递减．又f(0)=−4，则当x>0时，f(x)<−4．∴a≤0时，不存在t>0，使f(t)>0．②若a>0，则当0<x<2a3时，f′(x)>0，当x>2a3时，f′(x)<0．从而f(x)在(0,2a3]上单调递增，在[2a3，+∞)上单调递减．∴当x∈(0, +∞)时，f(x)max=f(2a3)=−8a327+4a39−4=4a327−4，据题意，4a 327−4>0，即a3>27，∴a>3．综上，a的取值范围是(3, +∞)．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性导数的几何意义【解析】（1）求出f(x)的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，然后再根据切线的倾斜角求出切线的斜率，两个斜率相等即可求出a的值；（2）求出f(x)的导函数，当a小于等于0时，由x大于0，得到导函数小于0，即函数在(0, +∞)上为减函数，又x=0时f(x)的值为−4且当x大于0时，f(x)小于−4，所以当a 小于等于0时，不存在x0>0，使f(x0)>0；当a大于0时，分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到f(x)的最大值，让最大值大于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，综上，得到满足题意a的取值范围．【解答】解：(1)依题意f′(x)=−3x2+2ax，f′(1)=tanπ4=1，∴−3+2a=1，即a=2．(2)f′(x)=−3x(x−2a3)．①若a≤0，当x>0时，f′(x)<0，∴f(x)在[0, +∞)上单调递减．又f(0)=−4，则当x>0时，f(x)<−4．∴a≤0时，不存在t>0，使f(t)>0．②若a>0，则当0<x<2a3时，f′(x)>0，当x>2a3时，f′(x)<0．从而f(x)在(0,2a3]上单调递增，在[2a3，+∞)上单调递减．∴当x∈(0, +∞)时，f(x)max=f(2a3)=−8a327+4a39−4=4a327−4，据题意，4a 327−4>0，即a3>27，∴a>3．综上，a的取值范围是(3, +∞)．试卷第31页，总31页。

导数的几何意义---解答题一、解答题1、函数f(x)=--x+1的图象上有两点A（0，1）和B（1，0）（1）在区间（0，1），数a使得函数f(x)的图象在x=a处的切线平行于直线 AB；（2）设m>0，记M（m，f(m)），求证在区间（0，m）至少有一实数b，使得函数图象在x=b处的切线平行于直线AM.2、已知函数f（x）=lnx+x2．（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）-ax在其定义域为增函数，数a的取值围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a＞1，h（x）=e3x-3ae x x∈[0，ln2]，求h（x）的极小值；（Ⅲ）设F（x）=2f（x）-3x2-kx（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且2x0=m+n．问：函数F（x）在点（x0，F（x0））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．3、设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．（1）求y=f（x）的解析式；（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．4、已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，当x＞1时，f （x+1）=f（x）+f（1），且若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有5个不同的公共点，则实数k的值为__________．5、若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切，数a的值．6、已知函数f（x）=，的图象过点（-1，2），且在点（-1，f（-1））处的切线与直线x-5y+1=0垂直．（1）数b，c的值；（2）若P，Q是曲线y=f（x）上的两点，且△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，此三角形斜边的中点在y轴上，则对任意给定的正实数a，满足上述要求的三角形有几个？7、已知函数，其中a是实数，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的点，且x1＜x2．（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2-x1的最小值；（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值围．8、已知函数f（x）=x3-2x2+3x（x∈R）的图象为曲线C．（1）求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值围；（2）若曲线C上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标取值围；（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．9、已知函数f（x）=blnx，g（x）=ax2-x（a∈R）．（1）若曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，数a、b的值；（2）当b=1时，若曲线f（x）与g（x）在公共点P处有相同的切线，求证：点P 唯一；（3）若a＞0，b=1，且曲线f（x）与g（x）总存在公切线，求正实数a的最小值．10、已知函数f（x）=mx3+（ax-1）（x-2）（x∈R）的图象在x=1处的切线与直线x+y=0平行．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）当a≥0时，解关于x的不等式f（x）＜0．11、求曲线y=在点（1，1）处的切线方程是 __________．12、求曲线在点处的切线方程．13、已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）若函数y=f（x）的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于1，求证：．（2）若x∈[0，1]，则函数y=f（x）的图象上的任意一点的切线的斜率为k，求证：成立的充要条件．导数的几何意义---解答题的答案和解析一、解答题1、答案：(1)a=(2)证明过程见解析试题分析：（1）求出导数，求出切线的斜率f′（a），求得直线AB的斜率，令f′（a）=-1（0＜a ＜1）解方程即可得到a；（2）求出直线AM斜率，求出直线在x=b处的切线斜率为f′（b），由切线平行于AM，可令f′（b）=-m-1，考察3-2b-+m=0在区间（0，m）的根的情况，令g（b）=3-2b-+m，求得g（0），g（m），g（，对m讨论：当0＜m＜时，当≤m＜1时，当m≥1时，由零点存在定理，即可得证。

课时同步练5.1.3 导数的几何意义一、单选题1．若曲线()y h x =在点()(),P a h a 处的切线方程为210x y ++=，那么（）A ．()0h a ¢=B ．()0h a ¢<C ．()0h a ¢>D ．()h a ¢不确定【答案】B【解析】∵曲线()y h x =在点()(),P a h a 处的切线斜率为()'h a ，切线方程为210x y ++=∴()'2h a =-∴()'0h a <故选B2．已知()y f x =的图象如图所示,则()A f x ¢与()B f x ¢的大小关系是（）A ．()()AB f x f x ¢¢>B ．()=()A B f x f x ¢¢C ．()()A B f x f x ¢¢<D ．()A f x ¢与()B f x ¢大小不能确定【答案】A【解析】由题意可知()'A f x 表示曲线在点()(),A A x f x 处切线的斜率A k ，()'B f x 表示曲线在点()(),B B x f x 处切线的斜率B k ，结合题中的函数图象可知A B k k >，则()()A B f x f x >¢¢.故选A .3．如图，直线l 是曲线()y f x =在4x =处的切线，则(4)f ¢=（）A ．12B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】由图可知()45f =又过直线()()0345，，，，531402l k -\==-即()142f ¢=故选A4．如果曲线()y f x =上一点(1,3)处的切线过点(0,2)，则有（）A ．(1)0f ¢>B ．(1)0f ¢=C ．(1)0f ¢<D ．(1)f ¢不存在【答案】A【解析】由题意知切线过点(1,3)，(0,2)，所以32(1)1010k f ¢-===>-.故选A5．函数()y f x =在0x x =处的导数()0f x ¢的几何意义是（）A ．在0x 处的函数值B ．在点 ()()00,x f x 处的切线与x 轴所夹锐角的正切值C ．曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线斜率D ．点()()00,x f x 与点(0,0)连线的斜率【答案】C【解析】由导数的几何意义可知，函数()y f x =在0x x =处的导数()0f x ¢为曲线在点()()00,x f x 处的切线的斜率．故选C 6．已知曲线21()2f x x x =+ 的一条切线斜率是3，则切点的棋坐标为（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．2【答案】D【解析】2211()()()()22y f x x f x x x x x x x x x D =+D -=+D ++D --=×D 21(),2x x +D +D 112y x x x D \=+D +D 0()lim 1x yf x x x ¢D ®D \==+D 设切点坐标为 ()00,,x y 则()00 1.f x x ¢=+由已知有0013,2,x x +=\=故选 D.7．曲线3123y x =-在点71,3æö--ç÷èø处切线的倾斜角为（ ）A ．30°B ．45°C ．135°D ．60°【答案】B 【解析】()()332311111333y x x x x D =-+D --=D -D +D 2113y x x x D =-D +D D 2001lim lim 113x x y x x x D ®D ®D æö=-D +D =ç÷D èø\曲线3123y x =-在点71,3æö--ç÷èø处切线的斜率是1，倾斜角为45°故选B8．下面说法正确的是（ ）A ．若()0f x ¢不存在，则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处没有切线B ．若曲线()y f x =在点()()00,x f x 有切线，则()0f x ¢必存在C ．若()0f x ¢不存在，则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线斜率不存在D ．若曲线()y f x =在点()()00,x f x 处没有切线，则()0f x ¢有可能存在【答案】C【解析】()0f x ¢的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,x f x 处切线的斜率．当切线与x 轴垂直时，切线斜率不存在，可知选项A ，B ，D 不正确.故选C9．曲线321y x x =-+在点(1,0)处的切线方程为（）A ．1y x =-B ．1y x =-+C ．22y x =-D ．22y x =-+【答案】A【解析】330()2()121()lim x x x x x x x f x x¢D ®D +-D ++-+-=D Q 3220332lim x x x x x x xx D ®D +×D +×D -D =D ()220lim 332x x x x x D ®=D +×D +-232,x =-Q 点(1,0)在曲线上，(1)321f ¢\=-=，\切线的方程为1y x =-故选A10．若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】函数()y f x =的导函数()y f x ¢=在[,]a b 上是增函数，由异数的几何意义可知，曲线()y f x =在区间[,]a b 上各点处的切线斜率是逐渐增大的，只有A 选项符合.故选A11．已知直线20ax by --=与曲线3y x =在点(1,1)P 处的切线互相垂直，则a b 为（ ）A ．23B ．23-C ．13D ．13-【答案】D【解析】33223200()3()3()lim lim 3x x y x x x x x x x x y x x x x¢D ®D ®D +D -D +D +D ====D D D ，点(1,1)P 为曲线3y x =上一点，\曲线3y x =在点(1,1)P 处的切线斜率13,x k y ¢-==由条件知,131,3a ab b ´=-\=-.故选D12．如图所示, 函数 ()y f x = 的图象在点 P 处的切线方程是 5,y x =-+ 则 (3)(3)f f ¢+=（）A ．12B ．1C ．2D ．0【答案】B【解析】由题中图象知(3)352f =-+=，由导数的几何意义知(3)1f ¢=-，(3)(3)211f f ¢\+=-=.故选B二、填空题13．已知函数y ＝f (x )在点(2,1)处的切线与直线x －y ＋2＝0平行，则f ′(2)等于________.【答案】1【解析】由题意知1k =，()21f \¢=故填114．设曲线y ＝x 2在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为________.【答案】39,24æöç÷èø【解析】设点P 的坐标为()00x y ，()()22200022x x x x x x x xxx+D -D +D ==+D D D Q 当0x D ®时，()0023k f x x ===¢032x \=，将032x =代入2y x =，得：094y =则点P 的坐标为3924æöç÷èø，故填39,24æöç÷èø15．已知曲线y A (1,3)，则曲线在点A 处的切线的斜率为________.【答案】32-【解析】y x D ===D 当0x D ®时，得()931332f =¢-=-+，则曲线在点A 处的切线的斜率为32-故填32-16．已知函数3()2f x x =+，则(2)f ¢=______.【答案】12【解析】330(2)222(2)lim x x f x¢D ®+D +--=D 22(22)(2)2(2)2limx x x x xD ®éù+D -+D ++D +ëû=D 20lim 44()424x x x x D ®éù=+D +D ++D +ëû20lim 126()12x x x D ®éù=+D +D =ëû故填1217．曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________.【答案】2x －y ＋1＝0【解析】()()()()323113323y x x x x x éùD =+D -+D +-=D +D +D ëû()()()2332323x x x y x x x xD +D +D D ==+D +D D D 当0x D ®时，2yxD ®D ，即2k =故切线方程为()321y x -=-，即210x y -+=故填2x －y ＋1＝018．过点(2,0)的函数1y x=图象的切线斜率为______.【答案】【解析】设切点为001,,x x æöç÷èø因为1,y x =所以20111lim ,x x x x y x x ¢D ®-+D ==-D 则有020011,2x x x -=-解得01,x =所以斜率为2011,x -=-故填-1.三、解答题19．已知函数21().2f x x x =-（1）求()f x ¢；（2）求()f x 在1x =处的导数.【解析】（1）()()y f x x f x D =+D -Q 21()22x x x x=D +×D -D 122y x x x D \=+D -D 01()lim 22x y f x x x ¢D ®D \==-D .（2）13(1)2122f ¢=´-=20．已知曲线313y x =上一点82,3P æöç÷èø，求：（1）点P 处的切线的斜率；（2）点P 处的切线方程．【解析】（1）由313y x =，得0lim x y y x D ®¢D =D ()()()33232001133133limlim 3x x x x x x x x x x x xD ®D ®+D -D +D +D ==D D ()2201lim 333x x x x x D ®éù=+D +D ëû 2x =，又22'|24x y ===.∴点P 处的切线的斜率等于4.（2）点P 处的切线方程为()8423y x -=-，即123160x y --=.21．已知曲线()3=y f x x =.求：（1）曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程；（2）（1）中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？【解析】（1）将1x =代入曲线C 的方程,得1y =,\切点为(1,1)P ，3300()lim limx x y x x x y x x¢D ®D ®D +D -==D D Q 223033()()lim x x x x x x x D ®D +D +D =D 222lim 33()3x x x x x x D ®éù=+D +D =ëû13x y ¢=\=，\过P 点的切线方程为13(1)y x -=-,即320x y --=；（2）由3320x y y x--=ìí=î，可得2(1)(2)0x x -+=,解得121,2x x ==-从而求得公共点为(1,1)和(-2,-8).说明切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有另外的公共点(2,8).--22．已知曲线 1:C y t x=- 经过点(2,1)P -，求：（1）曲线在点P 处的切线的方程；（2）过点(0,0)O 的曲线C 的切线方程．【解析】（1）将(2,1)P -代人1y t x =-中得1t =，11y x\=-，111()1y x x x x x-D -+D -\=D D1(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x D ==D --D ---D -，201lim(1)x y y x x ¢D ®D \==D -，\曲线在点P 处切线的斜率为2211(12)x k y ¢-===-，\曲线在点P 处的切线方程为11(2)y x +=´-,即30x y --=.（2）点(0,0)O 不在曲线C 上，设过点O 的曲线C 的切线与曲线C 相切于点()00,M x y ，则切线斜率()020011y k x x ==-，由于00011,,12y x x =\=\-切点为1,2,2M æöç÷èø切线斜率4,k =切线方程为1242y x æö-=-ç÷èø，即4y x =.。

导数的几何意义命题人：刘春来 时间：9.18 姓名： 学号：1．曲线x y e 在点A （0,1）处的切线斜率为（ ）A.1B.2C.eD.1e 2．若曲线y ＝在点(a ，)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a 等于( ) A ．64B ．32C ．16D ．8 3．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A ．(0，π4) B ．(π4，π2) C ．(π2，3π4) D ．[3π4，π) 4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.94e 2 B ．2e 2 C ．e 2 D.e 225．若函数f (x )＝e x ＋a e －x 的导函数是奇函数，并且曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标是 ( )A ．－ln 22B ．－ln 2 C.ln 22D ．ln 2 6．如图是函数f (x )及f (x )在点P 处切线的图像，则f (2)＋f ′(2)＝________.7．若曲线 f (x )＝x 4－x 在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的坐标为________．8．若点P 是曲线f (x )＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________．9．设点P 是曲线y ＝x 33－x 2－3x －3上的一个动点，则以P 为切点的切线中，斜率取得最小值时的切线方程是__________________．10.已知曲线y ＝13x 3＋43. (1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程；(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．12．已知曲线y ＝16x 2－1与y ＝1＋x 3在x ＝x 0处的切线互相垂直，求x 0的值．13．已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R)． (1)若函数f (x )的图象在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．。

2.2导数的概念及其几何意义（讲义+典型例题+小练）一．导数的定义：0000000()()()'()'|lim()()()'()'limx x x x f x x f x y f x x x f x y xf x x f x y f x f x y x=∆→∆→+∆-====∆+∆-===∆1.(1).函数在处的导数: (2).函数的导数:2.利用定义求导数的步骤：①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③取极限得导数：00'()lim x yf x x∆→∆=∆例1：1．设()()22lim2x f x f x x∆→+∆--∆=-∆，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线的倾斜角是（ ） A ．4π B ．3π C ．34π D ．23π 【答案】C 【分析】根据导数的概念可得()21f '=-，再利用导数的几何意义即可求解. 【详解】 因为()()()022lim222x f x f x f x∆→+∆--∆'==-∆，所以()21f '=-，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线斜率为1-，故所求切线的倾斜角为34π. 故选：C2．已知函数()y f x =在0x x =处的导数为1，则()()000lim 2x f x x f x x∆→+∆-=∆（ ）A ．0B ．12C ．1D ．2【分析】由已知结合导数的定义即可直接求解. 【详解】解：因为函数()y f x =在0x x =处的导数为1， 则()()()()()0000000111limlim 2222x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆.故选：B . 【点睛】本题考查导数的概念，涉及极限的性质，属于基础题．举一反三：1．设()f x 是可导函数，且()()000lim 2x f x x f x x∆→+∆-=-∆，则0()f x '=（ ）A ．2B ．1-C ．1D ．2-【答案】D 【分析】由导数的定义可得()()0000lim ()x f x f x f x x x∆→+-'=∆∆，即可得答案．【详解】 根据题意，()()0000lim()2x f x f x f x x x∆→∆+-'==-∆，故0()2f x '=-. 故选：D ． 【点睛】本题考查导数的定义，属于基础题． 2．若()02f x '=，则()()000lim2h f x h f x h→+-=______．【答案】1 【解析】 【分析】根据导数的几何定义即可计算.()()()()()000000011limlim 1222h h f x h f x f x h f x f x h h →→+-+-'===．故答案为：1.二．导数的几何意义：函数()f x 在0x 处导数的几何意义，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的斜率是()0k f x '=。

导数的几何意义测试题(含答案)选修2-21.1第3课时导数的几何意义一、选择题1．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么()A．f′(x0)＞0B．f′(x0)＜0C．f′(x0)＝0D．f′(x0)不存在答案]B解析]切线x＋2y－3＝0的斜率k＝－12，即f′(x0)＝－12＜0.故应选B. 2．曲线y＝12x2－2在点1，－32处切线的倾斜角为()A．1B.π4C.54πD．－π4答案]B解析]∵y′＝limΔx→012(x＋Δx)2－2]－(12x2－2)Δx＝limΔx→0(x＋12Δx)＝x∵切线的斜率k＝y′|x＝1＝1.∵切线的倾斜角为π4，故应选B.3．在曲线y＝x2上切线的倾斜角为π4的点是()A．(0,0)B．(2,4)C.14，116D.12，14答案]D解析]易求y′＝2x，设在点P(x0，x20)处切线的倾斜角为π4，则2x0＝1，∵x0＝12，∵P12，14.4．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为()A．y＝3x－4B．y＝－3x＋2C．y＝－4x＋3D．y＝4x－5答案]B解析]y′＝3x2－6x，∵y′|x＝1＝－3.由点斜式有y＋1＝－3(x－1)．即y＝－3x＋2.5．设f(x)为可导函数，且满足limx→0f(1)－f(1－2x)2x＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为()A．2B．－1C．1D．－2答案]B解析]limx→0f(1)－f(1－2x)2x＝limx→0f(1－2x)－f(1)－2x＝－1，即y′|x＝1＝－1，则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1，故选B.6．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴斜交答案]B解析]由导数的几何意义知B正确，故应选B.7．已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)及f′(5)分别为()A．3,3B．3，－1C．－1,3D．－1，－1答案]B解析]由题意易得：f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，故应选B.8．曲线f(x)＝x3＋x－2在P点处的切线平行于直线y＝4x－1，则P点的坐标为()A．(1,0)或(－1，－4)B．(0,1)C．(－1,0)D．(1,4)答案]A解析]∵f(x)＝x3＋x－2，设xP＝x0，∵Δy＝3x20•Δx＋3x0•(Δx)2＋(Δx)3＋Δx，∵ΔyΔx＝3x20＋1＋3x0(Δx)＋(Δx)2，∵f′(x0)＝3x20＋1，又k＝4，∵3x20＋1＝4，x20＝1.∵x0＝±1，故P(1,0)或(－1，－4)，故应选A.9．设点P是曲线y＝x3－3x＋23上的任意一点，P点处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为()A.0，π2∵23π，πB.0，π2∵56π，πC.23π，πD.π2，56π答案]A解析]设P(x0，y0)，∵f′(x)＝limΔx→0(x＋Δx)3－3(x＋Δx)＋23－x3＋3x－23Δx＝3x2－3，∵切线的斜率k＝3x20－3，∵tanα＝3x20－3≥－3.∵α∵0，π2∵23π，π.故应选A.10．(2010•福州高二期末)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为0，π4]，则点P横坐标的取值范围为()A．－1，－12]B．－1,0]C．0,1]D．12，1]答案]A解析]考查导数的几何意义．∵y′＝2x＋2，且切线倾斜角θ∵0，π4]，∵切线的斜率k满足0≤k≤1，即0≤2x＋2≤1，∵－1≤x≤－12.二、填空题11．已知函数f(x)＝x2＋3，则f(x)在(2，f(2))处的切线方程为________．答案]4x－y－1＝0解析]∵f(x)＝x2＋3，x0＝2∵f(2)＝7，Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝4•Δx＋(Δx)2∵ΔyΔx＝4＋Δx.∵limΔx→0ΔyΔx＝4.即f′(2)＝4.又切线过(2,7)点，所以f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y－7＝4(x－2)即4x－y－1＝0.12．若函数f(x)＝x－1x，则它与x轴交点处的切线的方程为________．答案]y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)解析]由f(x)＝x－1x＝0得x＝±1，即与x轴交点坐标为(1,0)或(－1,0)．∵f′(x)＝limΔx→0(x＋Δx)－1x＋Δx－x＋1xΔx＝limΔx→01＋1x(x＋Δx)＝1＋1x2.∵切线的斜率k＝1＋11＝2.∵切线的方程为y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)．13．曲线C在点P(x0，y0)处有切线l，则直线l与曲线C的公共点有________个．答案]至少一解析]由切线的定义，直线l与曲线在P(x0，y0)处相切，但也可能与曲线其他部分有公共点，故虽然相切，但直线与曲线公共点至少一个．14．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为________．答案]3x－y－11＝0解析]设切点P(x0，y0)，则过P(x0，y0)的切线斜率为，它是x0的函数，求出其最小值．设切点为P(x0，y0)，过点P的切线斜率k＝＝3x20＋6x0＋6＝3(x0＋1)2＋3.当x0＝－1时k有最小值3，此时P的坐标为(－1，－14)，其切线方程为3x－y－11＝0.三、解答题15．求曲线y＝1x－x上一点P4，－74处的切线方程．解析]∵y′＝limΔx→01x＋Δx－1x－(x＋Δx－x)Δx＝limΔx→0－Δxx(x＋Δx)－Δxx＋Δx＋xΔx＝limΔx→0－1x(x＋Δx)－1x＋Δx＋x＝－1x2－12x.∵y′|x＝4＝－116－14＝－516，∵曲线在点P4，－74处的切线方程为：y＋74＝－516(x－4)．即5x＋16y＋8＝0.16．已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于点P的直线方程y＝g(x)．解析](1)y′＝limΔx→0(x＋Δx)3－3(x＋Δx)－3x3＋3xΔx＝3x2－3.则过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率k1＝f′(1)＝0，∵所求直线方程为y＝－2.(2)设切点坐标为(x0，x30－3x0)，则直线l的斜率k2＝f′(x0)＝3x20－3，∵直线l的方程为y－(x30－3x0)＝(3x20－3)(x－x0)又直线l过点P(1，－2)，∵－2－(x30－3x0)＝(3x20－3)(1－x0)，∵x30－3x0＋2＝(3x20－3)(x0－1)，解得x0＝1(舍去)或x0＝－12.故所求直线斜率k＝3x20－3＝－94，于是：y－(－2)＝－94(x－1)，即y＝－94x＋14.17．求证：函数y＝x＋1x图象上的各点处的切线斜率小于1.解析]y′＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx＝limΔx→0x＋Δx＋1x＋Δx－x＋1xΔx＝limΔx→0x•Δx(x＋Δx)－Δx(x＋Δx)•x•Δx＝limΔx→0(x＋Δx)x－1(x＋Δx)x＝x2－1x2＝1－1x2＜1，∵y＝x＋1x图象上的各点处的切线斜率小于1.18．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1∵l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．解析](1)y′|x＝1＝limΔx→0(1＋Δx)2＋(1＋Δx)－2－(12＋1－2)Δx＝3，所以l1的方程为：y＝3(x－1)，即y＝3x－3.设l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，y′|x＝b＝limΔx→0(b＋Δx)2＋(b＋Δx)－2－(b2＋b－2)Δx＝2b＋1，所以l2的方程为：y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)•(x－b)，即y＝(2b ＋1)x－b2－2.因为l1∵l2，所以3×(2b＋1)＝－1，所以b＝－23，所以l2的方程为：y ＝－13x－229.(2)由y＝3x－3，y＝－13x－229，得x＝16，y＝－52，即l1与l2的交点坐标为16，－52.又l1，l2与x轴交点坐标分别为(1,0)，－223，0.所以所求三角形面积S＝12×－52×1＋223＝12512.。