§57 导数的概念及导数的几何意义⑴
【考点及要求】了解导数的概念，理解导数的几何意义，通过函数图象能直观地理解导数的几何意义。
【基础知识】
1．一般地，函数)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率为，平均变化率反映了函数在某个区间上平均变化的趋势（变化快慢），或说在某个区间上曲线陡峭的程度；
2．不妨设))(,()),(,(0011x f x Q x f x P ，则割线PQ 的斜率为，
设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0，∴=PQ k ，当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，x
x f x x f k PQ ∆-∆+=)
()(00无
限趋近点Q 处切线。
3．曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法：x
x f x x f k ∆-∆+=
)
()(00，当
△x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的，记为． 4．瞬时速度与瞬时加速度：位移的平均变化率：
t
t s t t s ∆-∆+)
()(00，称为；当无限趋近于0 时，
t t s t t s ∆-∆+)
()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的；速度的平均变化率：
t t v t t v ∆-∆+)()(00，当无限趋近于0 时，t
t v t t v ∆-∆+)
()(00无限趋近于一个常数，这个常数
称为t=t 0时的．
【基础练习】
1．已知函数2()f x ax =在区间[1,2]上的平均变化率为,则()f x 在区间[-2,-1]上的平均变化率为 ．
2．A 、B 两船从同一码头同时出发,A 船向北,B 船向东,若A 船的速度为30km/h,B 船的速度为40km/h,设时间为t,则在区间[t 1,t 2]上,A,B 两船间距离变化的平均速度为____ __ _ 【典型例题讲练】
例1．已知函数f(x)=2x+1,
⑴分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上函数f(x)的平均变化率； ⑵.探求一次函数y=kx+b 在区间[m ，n]上的平均变化率的特点；
练习：已知函数f(x)=x 2+2x ，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率;
⑴[1，2]； ⑵[3，4]； ⑶[－1，1]； ⑷[2，3] 【课堂检测】 1．求函数()y f x
==
在区间[1,1+△x]内的平均变化率
2．试比较正弦函数y=sinx 在区间0,
6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和,32ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的平均变化率，并比较大小。 §58 导数的概念及导数的几何意义⑵
【典型例题讲练】
例2．自由落体运动的物体的位移s （单位:s ）与时间t （单位：s ）之间的关系是：s(t)=12
gt 2
(g 是重力加速度)，求该物体在时间段[t 1，t 2]内的平均速度； 练习：自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系为s=
22
1gt (1)求t=t 0s 时的瞬时速度；(2)求t=3s 时的瞬时速度； (3)求t=3s 时的瞬时加速度；
例3．已知f(x)=x 2，求曲线在x=2处的切线的斜率。
练习:1． 曲线y=x 3在点P 处切线斜率为k,当k=3时,P 点的坐标为_________． 2．若曲线4y x =的一条切线与直线480x y +-=垂直，则的方程为． 3．曲线2212x y -
=与24
1
3-=x y 在交点处切线的夹角是____ __． 4．已知函数()321
22
f x x x m =-+（为常数）图象上处的切线与30x y -+=的夹角为，则点的横坐标为.
5．曲线y =x 3在点(1，1)处的切线与x 轴、直线x =2所围成的三角形的面积为__________． 6．过曲线13-+=x x y 上一点P 的切线与直线74-=x y 平行，则P 点的坐标为． 例4．求21
()f x x
=
过点(1,1)的切线方程 练习：过点(,)12P -且与曲线2342y x x =-+在点(,)11M 处的切线平行的直线方程是__ _ ___.
【课堂小结】 【课堂检测】
1．求曲线1323+-=x x y 在点（1，－1）处的切线方程
2．已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点P （0，2），且在点M (1
(1))f --，处的切线方程为076=+-y x ．求函数)(x f y =的解析式；
3．已知曲线()f x =
P(0,0)的切线斜率是否存在?说明理由
【课堂作业】
1．与直线14-=x y 平行的曲线23-+=x x y 的切线方程是__ _ ___. 2．设曲线y=
2
1x 和曲线y=x 1在它们交点处的两切线的夹角为，则tan 的值为_ _ __.
3．若直线y=是曲线ax x x y +-=233的切线，则α=.
4．求曲线)2)(1(--=x x x y 在原点处的切线方程.
§59 导数的运算（1）
【考点及要求】理解导数的运算，能根据导数的定义，求函数x
y x y x y c y 1,,,2
====的导数；能利用导数数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
【基础知识】
1．基本初等函数的求导公式：
=')(C ，；=')(αx ，（α为常数）；=')(x a ，)1,0(≠>a a
=')x (log a =，)1,0(≠>a a ；
注：当a=e 时，=')(e x ，=')(lnx ，
=')(sinx ，=')(cosx ；
2．法则1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的，即
=±')]()([x v x u ．
法则2 常数与函数的积的导数，等于常数与函数的 ．
法则3 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即='))()((x v x u ． 法则4 两个函数的商的导数，等于，即 ='⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛)()(x x v u )0()
(≠x v ．
【基础练习
】
1．求下列函数导数．
（1）5-=x y （2）x y 4= （3）x x x y =
（4）x y 3log = （5）)100()
1(log 1
≠>>-=
x a a x a
y x ，，， （6）y=sin(
2π+x) (7) y=sin 3
π
（8）y=cos(2π－x) （9）y=(1)f ' 【典型例题讲练】
例1 求下列函数的导数
（1）x x y sin 3+=； （2）2(23)(32)y x x =+-；(两种方法)
（3）9cos 2sin 510
--=x x x x y ；（4）y =x
x sin 2
；.
练习：(1)求y =
332++x x 在点x =3处的导数. (2) 求y =x
1
·cos x 的导数.
