(完整版)导数的几何意义练习题

高二数学导数的几何意义试题答案及解析1.过原点的直线与函数的图象交于A，B两点，过B作轴的垂线交函数的图象于点C，若直线AC平行于轴，则点A的坐标是A．B．C．D．【答案】B【解析】解：因为利用指数函数图像与直线图像的关系可知，要是满足题意点A的坐标为（-1,2），选B2.曲线上的点到直线的最短距离是___________.【答案】【解析】解：设曲线上的点（m,n）则有因此点的坐标（0,1）利用点到直线的距离公式得到为3.曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为A．B．C．和D．和【答案】C【解析】，令即.解得或.所以交点坐标为和.4.曲线在点处的切线方程为 ( )A．x-y-2=0B．x+y-2="0"C．x+4y-5=0D．x-4y-5=0【答案】B【解析】,所以.5.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】解：由题意该函数的定义域x＞0，由f′(x)="2ax+1" /x ．因为存在垂直于y轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为x＞0范围内导函数f′(x)="2ax+1" /x 存在零点．再将之转化为g（x）=-2ax与h(x)="1" /x 存在交点．当a=0不符合题意，当a＞0时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当a＜0如图2，此时正好有一个交点，故有a＜0应填（-∞，0）故答案为：{a|a＜0}．6.曲线处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是_ 。

【答案】【解析】,.7.已知函数满足当，若在区间内，函数有三个不同零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为所以当;作出函数在区间内的图像.当,设直线y=ax与y=f(x)的图像的切点为(所以切点为8.已知函数，（为常数），直线与函数的图像都相切，且与函数图像的切点的横坐标为，则的值为．【答案】【解析】.9.已知函数．对任意，的图像在处的切线的斜率为，当时, 的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】的导函数是，因为处的切线的斜率为，即，即解得10.已知函数R)．（Ⅰ）若，求曲线在点处的的切线方程；（Ⅱ）若对任意恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】第一问中利用导数的几何意义可知当时，且，因为切点为（），则，所以在点（）处的曲线的切线方程为：第二问中，利用对任意恒成立，由题意得，即）然后验证，因为，所以恒成立，故在上单调递增，要使恒成立，则，解得（Ⅰ）解：当时，．，因为切点为（），则，所以在点（）处的曲线的切线方程为：．（Ⅱ）解法一：由题意得，即．…（注：凡代入特殊值缩小范围的均给4分），因为，所以恒成立，故在上单调递增，要使恒成立，则，解得解法二：（1）当时，在上恒成立，故在上单调递增，即．（2）当时，令，对称轴，则在上单调递增，又①当，即时，在上恒成立，所以在单调递增，即，不合题意，舍去②当时，，不合题意，舍去 ks5综上所述：11.曲线在点处的切线斜率为（）A． 1B． 2C．D．【答案】C【解析】解：因为，利用导数的几何意义可知导数值即为该点的切线斜率。

导数的几何意义专题练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 函数f (x )在x =4处的切线方程为y =3x +5，则f (4)+f ′(4)=( ) A.10 B.20C.30D.402. 函数f (x )=x 3−7x 2+1的图象在点(4,f (4))处的切线的斜率为( ) A.−8 B.−7C.−6D.−53. 已知三次函数y =f (x )的图像如右图所示，若f ′(x )是函数f (x )的导函数，则关于x 的不等式(x −2)f ′(x )>f (7)的解集为（ ）A.{x|1<x <2或x >4}B.{x|x <7}C.{x|1<x <4}D.{x|x <1或2<x <4}4. 已知曲线y =ae x +x ln x 在点(1,ae )处的切线方程为y =2x +b ，则（ ） A.a =e ，b =−1 B.a =e ，b =1 C.a =1e ，b =eD.a =1e ， b =−15. 已知曲线y =ae x +x ln x 在点(1,ae )处的切线方程为y =2x +b ，则（ ） A.a =e ，b =−1 B.a =e ，b =1 C.a =1e ， b =−1 D.a =1e ，b =e6. 如图，直线l 是曲线y =f (x )在x =2处的切线，则f ′(2)=( )A.1B.2C.3D.47. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图所示，则导函数y=f′(x)的图象为（）A.B.C.D.8. 已知函数f (x )=53x −ln (2x +1)，则lim Δx→0f (1+Δx )−f (1)2Δx=( ) A.1 B.12C.43D.539. 已知直线y =ax +2a 与曲线y =ln (x +2)相切，则a 的值为( ) A.1 B.2C.1eD.1e 210. 已知f(x)=a ln x +12x 2(a >0)，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>2恒成立，则a 的取值范围是( )A.[1, +∞)B.(1, +∞)C.(0, 1)D.(0, 1]11. 设f (x )为可导函数，且满足lim Δx→0f (1+3Δx )−f (1)Δx=−3，则函数y =f (x )在x =1处的导数为( ) A.1 B.−1C.1或−1D.以上答案都不对12. 已知函数f (x )={e −x +2mx +m, x <0,e x (x −1), x ≥0, (e 为自然对数的底)，若F (x )=f (x )+f (−x )且F (x )有四个零点，则实数m 的取值可以( )A.1B.2C.eD.2e13. 函数f(x)=2x3−2的图象在点(1,0)处的切线的斜率为________.14. 曲线y＝ln x−在x＝1处的切线的倾斜角为α，则sin2α＝________．15. 已知函数f(x)=log a x(a>1)的导函数是f′(x)，记A=f′(a)，B=f′(a+1)，C=f(a+1)−f(a)(a+1)−a，则A，B，C的大小关系是________．16. 已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线为l．若l与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切，则a=________．17. 函数在点处的切线方程为________．18. 已知函数，则曲线在处的切线方程为________.19. 曲线f(x)=e x−x ln x+2在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为________.20. 若函数y=x3+ax2(a∈R)的图象在点(1,b)处切线的斜率为−1，则a+b=________.21. 曲线f(x)=x sin x在x=π2处的切线方程为________22. 已知直线y=kx+b是曲线y=e x的一条切线，则k+b的取值范围是________.23. 已知曲线y=1x +ln xa在x=1处的切线l与直线2x+3y=0垂直，则实数a的值为________.24. 已知P是曲线y=14x2−12ln x上的动点，Q是直线y=34x−2上的动点，则PQ的最小值为________.25. 求函数y＝(2x−1)2在x＝3处的导数．26. 已知圆的面积S是半径r的函数S＝πr2，用定义求S在r＝5处的导数，并对S′(5)的意义进行解释．27. 求曲线y=1x+2x在x＝1处切线的斜率，并求该切线的切线方程．28. 已知函数f(x)=a ln xx+1+bx，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y−3=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）证明：当x>0，且x≠1时，f(x)>ln xx−1．29. 已知函数f(x)=ln x−12ax2+bx+1的图象在x=1处的切线l过点(12,12)．（Ⅰ）若函数g(x)=f(x)−(a−1)x(a>0)，求g(x)的最大值（用a表示）；（Ⅱ）若a=−4，f(x1)+f(x2)+x1+x2+3x1x2=2，证明：x1+x2≥12．30. 已知函数f(x)=x2+a ln x．（Ⅰ）若曲线y=f(x)−1在点(1,0)上的切线与直线y=x垂直，求a的值；（Ⅱ）函数y=f′(x)是函数y=f(x)的导函数，若f′(x)≥ln xx恒成立，求a的取值范围．31. 已知函数f(x)=e x−a，g(x)=ln x−b.(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程；(2)若a=b+2，是否存在直线与曲线y=f(x)和y=g(x)都相切？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，请说明理由．x3−x2+2，M为函数f(x)图象上一点，曲线y=f(x)在M处的32. 已知函数f(x)=13切线为l.(1)若M点坐标为(0,2)，求切线l的方程；(2)求当切线l的斜率最小时M点的坐标．33. 已知函数f(x)=ln x−mx，m∈R.(1)若f(x)在点x=1处的切线与直线x+2y+1=0垂直，求该切线的方程；(2)设函数g(x)=1x2+f(x)有两个相异的极值点x1，x2，求g(x1)+g(x2)的取值范围．2−8ln x (a∈R)34. 已知函数f(x)=2x−ax(1)若f(x)在点A(1,f(1))处取得极值，求过点A且与f(x)在x=a处的切线平行的直线方程；(2)若函数f(x)有两个都大于1的极值点x1,x2(1<x1<x2)，求证：当m≤1时，总有a ln x1>m(5x2−x22)成立．1−x135. 已知函数f(x)=−x3+ax2−4(a∈R)．(1)若函数y=f(x)的图象在点P(1, f(1))处的切线的倾斜角为π，求a的值；4(2)若存在t∈(0, +∞)，使f(t)>0，求a的取值范围．参考答案与试题解析导数的几何意义专题练习题含答案一、选择题（本题共计 12 小题，每题 3 分，共计36分）1.【答案】B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】根据切点在切线上可求出f(4)的值，然后根据导数的几何意义求出f′(4)的值，从而可求出所求．【解答】解：根据切点在切线上可知当x=4时，y=17，∴f(4)=17，∵函数y=f(x)的图象在x=4处的切线方程是y=3x+5，∴f′(4)=3，则f(4)+f′(4)=17+3=20．故选B．2.【答案】A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力．【解答】解：因为f(x)=x3−7x2+1，所以f′(x)=3x2−14x，所以f(x)在(4,f(4))处切线的斜率为f′(4)=3×42−14×4=−8．故选A.3.【答案】D【考点】函数恒成立问题利用导数研究函数的单调性函数的图象与图象变化导数的几何意义【解析】由图象做出其导函数的图像，用符号法则即可求解不等式.【解答】解：由图象可知， f (7)=0 ，即原不等式转化为(x −2)f ′(x )>0又由于三次函数y =f (x )的导函数是二次函数，结合f (x )的图象可知， x =1和x =4分别是函数f (x )的极小值点和极大值点，则x =1和x =4是函数f ′(x )的两个零点，我们可以做出导函数f ′(x )的图象如图，由图象可知，当x <1时， f ′(x )<0， 当1<x <4时， f ′(x )>0， 当x >4时， f ′(x )<0接下来利用符号法则即可求解，当x <1时，f ′(x )<0，而x −2<0，故(x −2)⋅f ′(x )>0，故x <1满足题意； 当1<x <2时， f ′(x )>0，但x −2<0，故(x −2)⋅f ′(x )<0，不满足题意； 当2<x <4时， f ′(x )>0，且x −2>0，故(x −2)⋅f ′(x )>0，满足题意； 当x >4时， f ′(x )<0，但x −2>0，故(x −2)⋅f ′(x )<0，不满足题意； 综上所述，不等式x ⋅f ′(x )>0的解为x <1或者2<x <4， 故不等式(x −2)f ′(x )>f (7)的解集 {x|x <1或2<x <4}. 故选D ． 4.【答案】 D【考点】导数的几何意义利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】利用切线的斜率为2，切点坐标(1,a e )在切线上，列方程求解即可. 【解答】解：y ′=a e x +ln x +1， 由题意可得{a e +1=2,a e=2+b,解得a =1e ，b =−1. 故选D . 5.【考点】导数的几何意义利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】利用切线的斜率为2，切点坐标(1,a e )在切线上，列方程求解即可. 【解答】解：y ′=a e x +ln x +1， 由题意可得{a e +1=2,a e=2+b,解得a =1e ，b =−1.故选C . 6.【答案】 A【考点】斜率的计算公式 导数的几何意义【解析】由图象可知直线1经过(2,3) (0,1) ，由两点的斜率公式可得切线l 的斜率，再由导数的几何意义可得所求值． 【解答】解：由图象可得直线l 与曲线y =f (x )相切的切点为(2,3)， ∵ 直线l 经过点(0,1)， ∴ 直线l 的斜率为k =3−12−0=1，由导数的几何意义可得f ′(2)=k =1. 故选A ． 7.【答案】 C【考点】导数的几何意义 函数的图象【解析】根据原函数图像，由导函数与原函数图像之间关系，逐项判断，即可得出结果． 【解答】解：由图可知，函数f (x )在(−∞,0)上单调递减，∴ y =f ′(x )<0在(−∞,0)上恒成立，排除选项B 和D . 函数f (x )在(0,+∞)上先递减后递增再递减，∴ y =f ′(x )在(0,+∞)上应为负、正、负的趋势，即选项A 错误，C 正确． 故选C ． 8.【考点】导数的几何意义【解析】无【解答】解：由题得f′(x)=53−22x+1，∴f′(1)=1．∵limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=f′(1)=1，∴limΔx→0f(1+Δx)−f(1)2Δx=12．故选B．9.【答案】C【考点】导数的几何意义利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意，得y′=1x+2=a,解得x=1a−2，∴ a(1a −2)+2a=ln(1a+2−2),解得a=1e.故选C.10.【答案】A【考点】导数的几何意义利用导数研究函数的单调性【解析】先将条件“对任意两个不等的正实数x1，x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>2恒成立”转换成当x>0时，f′(x)≥2恒成立，然后利用参变量分离的方法求出a的范围即可．【解答】解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>2恒成立，则当x>0时，f′(x)≥2恒成立，则f′(x)=ax+x≥2在(0, +∞)上恒成立，则a≥(2x−x2)max=1，即a的取值范围是[1, +∞). 故选A．11.【答案】B【考点】导数的几何意义【解析】【解答】解：∵f(x)为可导函数，且满足limΔx→0f(1+3Δx)−f(1)Δx=−3，∴f′(1)=limΔx→0f(1+3Δx)−f(1)3Δx=13limΔx→0f(1+3Δx)−f(1)Δx=13×(−3)=−1，∴f′(1)=−1．故选B．12.【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性导数的几何意义函数的零点与方程根的关系函数奇偶性的判断【解析】根据定义域为R，且F(−x)=F(x)，可知函数F(x)是偶函数．所以只需研究x>0时函数F(x)有两个零点即可，然后再转化为两个函数图象交点的问题，结合导数研究函数的切线等，即可解决问题．【解答】解：∵函数的定义域为R，且F(−x)=f(−x)+f(x)=F(x)，∴函数F(x)是偶函数，∵f(x)={e −x+2mx+m，x<0，e x(x−1)，x≥0，（e为自然对数的底），∴f(−x)={e −x(−x−1)， x≤0，e2−2mx+m， x>0，又因为F(x)有四个零点，所以只需研究x >0时函数F (x )=0有两个不等根即可，即e 2(x −1)+e x −2mx +m =0在(0,+∞)上有两个互异根，即x e 2=2m (x −12) 在(0,+∞)上有两个根， 令H (x )=x e 2，L (x )=2m (x −12)过定点(12,0),∵ H ′(x )=e x (x +1)>0，所以H (x )在(0,+∞)上是增函数，下面求H (x )过(12,0)的切线斜率．设切点为Q (t,t e t )，t >0，则切线斜率为k =e t (t +1)，故切线为y −t e t =e t (t +1)(x −t )，将(12,0)代入得：−t e t =e t (t +1)(12−t)，即2t 2−t −1=0，解得：t =1或t =−12（舍）， 此时切线斜率k =2e ，作出H (x )与L (x )图象：可见，当L (x )与H (x )相切，即2m =2e 时，只有一个公共点；当m >e 时，就会有两个交点．故m 的值可以为2e ．故选D .二、 填空题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ）13.【答案】6【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力．【解答】解：因为f ′(x )=6x 2，所以f ′(1)=6．故答案为：6．14.【答案】【考点】导数的几何意义【解析】先求出曲线y＝ln x−的导数，得到曲线在x＝1处的斜率，再根据切线的倾斜角为α，得到tanα的值，进一步求出sin2α的值．【解答】由y＝ln x−，得y′＝，∴曲线y＝ln x−在x＝3处的切线斜率k＝2，∵曲线y＝ln x−在x＝2处的切线的倾斜角为α，∴tanα＝2，∴sin2α＝5sinαcosα＝．15.【答案】A>C>B【考点】导数的几何意义【解析】本题考查导数的几何意义．【解答】解：设M(a,f(a))，N(a+1,f(a+1))，表示直线MN的斜率k MN；则C=f(a+1)−f(a)(a+1)−aA=f′(a)表示函数f(x)在点M处的切线的斜率；B=f′(a+1)表示函数f(x)在点N处的切线的斜率，作出函数f(x)的大致图像，由图易知f′(a)>k MN>f′(a+1)，所以A>C>B．故答案为：A>C>B．16.【答案】8【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】本题考查导数的几何意义、数形结合思想的应用．【解答】，解：函数f(x)=x+ln x的导函数为f′(x)=1+1x=2，所以切线l的方程为y−1=2(x−1)，则f′(1)=1+11即y=2x−1，因为直线l与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切，所以方程ax2+(a+2)x+1=2x−1，即ax2+ax+2=0有两个相等的实数根，显然a≠0，则Δ=a2−4×2a=0，解得a=8．故答案为：8．17.【答案】7x−v−4=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程圆的切线方程导数的几何意义【解析】求得函数f(x)的导数，可得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程即可得切线方程．【解答】由函数f(x)=2x3+x，得f′(x)=6x2+1f′(1)=7，即曲线在点(1,f(1))处的切线斜率为k=7，又f(1)=3．曲线在点(1,f(1))处的切线方程为y−3=7(x−1)，即7x−y−4=0故答案为：7x−y−4=018.【答案】y=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程圆的切线方程导数的几何意义【解析】求出f(0)和f′(0)即可因为f(x)=x3，所以f(0)=0,f′(x)=3x2所以f′(0)=0所以曲线y=f(x)在(0,0)处的切线方程为：y−0=0×(x−0)即y=0故答案为：y=019.【答案】92(e−1)【考点】导数的几何意义利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求导得f′(x)=e x−ln x−1，故f′(1)=e−1，再结合f(1)=e+2和直线的点斜式方程得切线方程y−(e+2)=(e−1)(x−1)，进而求在坐标轴上的点的坐标，计算三角形的面积．【解答】解：因为f′(x)=e x−ln x−1，所以f′(1)=e−1，又f(1)=e+2，故曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y−(e+2)=(e−1)(x−1)，切线交两坐标轴于点A(0,3)，B(31−e,0)，所以S△AOB=12⋅OA⋅OB=92(e−1).故答案为：92(e−1).20.【答案】−3【考点】导数的几何意义利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，求出a，b的值，即可得解．【解答】解：函数y=x3+ax2(a∈R)的导数为f′(x)=3x2+2ax，可得函数在点(1,b)处的切线斜率为：k=f′(1)=3+2a=−1，所以a=−2，因为点(1,b)在函数y=x3+ax2(a∈R)上，所以b=1+a=−1，所以a+b=−2+(−1)=−3.故答案为：−3.21.y=x【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性导数的几何意义抛物线的性质抛物线的求解【解析】此题暂无解析【解答】略22.【答案】(−∞,e]【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：设f(x)=e x，切点为(x0，e x0)，f′(x)=e x，∴ k=e x0，b=e x0−kx0=e x0(1−x0)，∴ k+b=e x0+e x0(1−x0)=e x0(2−x0).令g(x)=e x(2−x)，g′(x)=e x(2−x)−e x=e x(1−x)，当x∈(−∞,1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(1,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减.又g(1)=e，∴ k+b的取值范围是(−∞,e].故答案为：(−∞,e].23.【答案】25【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：直线2x+3y=0的斜率为−23，设曲线y=1x +ln xa在x=1处的切线l的斜率为k，则k⋅(−23)=−1,k=32，又曲线y=1x +ln xa在x=1处有切线l，则y′=−1x2+1ax，y′(1)=1a−1=k,即1a −1=32，解得a=25.故答案为：25.24.【答案】6−2ln25【考点】导数的几何意义点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：函数的定义域为(0,+∞)，由y=14x2−12ln x内导数为y′=12x−12x,令12x−12x=34,可得x=2或x=−12(舍去),所以切点为(2,1−12ln2).它到直线y=34x−2即3x−4y−8=0的距离d=√9+16=6−2ln25,即点P到直线y=34x−2的距离的最小值6−2ln25.故答案为：6−2ln25.三、解答题（本题共计 11 小题，每题 10 分，共计110分）25.【答案】20【考点】导数的几何意义导数的运算【解析】求出函数的导函数，然后求解在x＝3处的导数值即可．【解答】函数y＝(2x−1)2＝4x2−4x+1，y′＝8x−4．y′|x=3=8×3−4＝20．26.【答案】△S＝π(5+△r)2+π×52＝π(△r2+10△r)∴△S=π(△r+10)，△r∴limπ(△r+10)＝10π，△r→0S′(5)的意义是半径r＝5时，其圆的周长．【考点】导数的几何意义导数的运算【解析】根据导数的定义即可求出．【解答】△S＝π(5+△r)2+π×52＝π(△r2+10△r)∴△S=π(△r+10)，△r∴limπ(△r+10)＝10π，△r→0S′(5)的意义是半径r＝5时，其圆的周长．27.【答案】+2，函数的导数f′(x)=−1x2在x＝1处切线的切线斜率k＝f′(1)＝−1+2＝1，f(1)＝1+2＝3，即切点坐标为(1, 3)，则对应的切线方程为y−3＝x−1，即y＝x+2．【考点】导数的几何意义【解析】求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．【解答】函数的导数f′(x)=−1x 2+2，在x ＝1处切线的切线斜率k ＝f′(1)＝−1+2＝1， f(1)＝1+2＝3，即切点坐标为(1, 3)，则对应的切线方程为y −3＝x −1，即y ＝x +2．28.【答案】（Ⅰ）解：f ′(x)=a(x+1x−ln x)(x+1)2−b x 2．由于直线x +2y −3=0的斜率为−12，且过点(1,1)，故{f(1)=1，f ′(1)=−12，即{b =1，a 2−b =−12， 解得a =1，b =1．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f(x)=ln x x+1+1x ， 所以f(x)−ln x x−1=11−x 2(2ln x −x 2−1x )． 令ℎ(x)=2ln x −x 2−1x (x >0)， 则ℎ′(x)=2x −2x 2−(x 2−1)x 2=−(x−1)2x 2．所以当x ≠1时，ℎ′(x)<0，而ℎ(1)=0，故当x ∈(0,1)时，ℎ(x)>0，可得11−x 2ℎ(x)>0；当x ∈(1,+∞)时，ℎ(x)<0，可得11−x 2ℎ(x)>0．从而当x >0，且x ≠1时，f(x)−ln x x−1>0．即f(x)>ln x x−1．【考点】导数的几何意义导数的运算【解析】本题考查导数的运算、几何意义、导数与函数的综合应用．【解答】（Ⅰ）解：f ′(x)=a(x+1x−ln x)(x+1)2−b x 2．由于直线x +2y −3=0的斜率为−12，且过点(1,1)，故{f(1)=1，f ′(1)=−12， 即{b =1，a 2−b =−12， 解得a =1，b =1．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f(x)=ln x x+1+1x ， 所以f(x)−ln x x−1=11−x 2(2ln x −x 2−1x )． 令ℎ(x)=2ln x −x 2−1x (x >0)， 则ℎ′(x)=2x −2x 2−(x 2−1)x 2=−(x−1)2x 2．所以当x ≠1时，ℎ′(x)<0，而ℎ(1)=0， 故当x ∈(0,1)时，ℎ(x)>0，可得11−x 2ℎ(x)>0； 当x ∈(1,+∞)时，ℎ(x)<0，可得11−x 2ℎ(x)>0． 从而当x >0，且x ≠1时，f(x)−ln x x−1>0． 即f(x)>ln x x−1．29.【答案】（Ⅰ）解：由f ′(x)=1x −ax +b ， 得f ′(1)=1−a +b ，f(1)=−12a +b +1， ∴ 切线l 的方程为y −(−12a +b +1)=(1−a +b)⋅(x −1)， 又切线l 过点(12,12)，∴ 12−(−12a +b +1)=(1−a +b)(12−1)， 解得b =0．∵ g(x)=f(x)−(a −1)x =ln x −12ax 2+(1−a)x +1(x >0)， ∴ g ′(x)=1x −ax +1−a =−ax 2+(1−a)x +1x=−a(x−1a )(x+1)x (a >0)．当x∈(0,1a)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(1a,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，故g(x)max=g(1a)=ln 1a−12a(1a)2+(1−a)1a+1=12a−ln a．（Ⅱ）证明：∵a=−4，∴f(x)=ln x+2x2+1，∴f(x1)+f(x2)+x1+x2+3x1x2=ln x1+2x12+1+ln x2+2x22+1+x1+x2+3x1x2=ln(x1x2)+2(x1+x2)2+x1+x2−x1x2+2=2，∴x1+x2+2(x1+x2)2=x1x2−ln(x1x2)．令x1x2=m(m>0)，φ(m)=m−ln m，φ′(m)=m−1m，令φ′(m)<0得0<m<1，令φ′(m)>0得m>1，∴φ(m)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，∴φ(m)≥φ(1)=1，∴x1+x2+2(x1+x2)2≥1，又x1+x2>0，∴x1+x2≥12．【考点】导数的几何意义不等式的综合【解析】本题考查导数的几何意义、导数、函数、不等式的综合应用．【解答】（Ⅰ）解：由f′(x)=1x−ax+b，得f′(1)=1−a+b，f(1)=−12a+b+1，∴切线l的方程为y−(−12a+b+1)=(1−a+b)⋅(x−1)，又切线l过点(12,12 )，∴12−(−12a+b+1)=(1−a+b)(12−1)，解得b=0．∵g(x)=f(x)−(a−1)x=ln x−12ax2+(1−a)x+1(x>0)，∴g′(x)=1x−ax+1−a=−ax2+(1−a)x+1x=−a(x−1a)(x+1)x(a>0)．当x∈(0,1a)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(1a,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，故g(x)max=g(1a)=ln 1a−12a(1a)2+(1−a)1a+1=12a−ln a．（Ⅱ）证明：∵a=−4，∴f(x)=ln x+2x2+1，∴f(x1)+f(x2)+x1+x2+3x1x2=ln x1+2x12+1+ln x2+2x22+1+x1+x2+3x1x2=ln(x1x2)+2(x1+x2)2+x1+x2−x1x2+2=2，∴x1+x2+2(x1+x2)2=x1x2−ln(x1x2)．令x1x2=m(m>0)，φ(m)=m−ln m，φ′(m)=m−1m，令φ′(m)<0得0<m<1，令φ′(m)>0得m>1，∴φ(m)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，∴φ(m)≥φ(1)=1，∴x1+x2+2(x1+x2)2≥1，又x1+x2>0，∴x1+x2≥12．30.【答案】解：（Ⅰ）令ℎ(x)=f(x)−1=x2+a ln x−1，所以ℎ′(x)=2x+ax，又ℎ(x)在点(1,0)处的切线与直线y=x垂直，所以ℎ′(1)=2+a=−1，所以a=−3．（Ⅱ）由题意可得f′(x)≥ln xx，即2x+ax ≥ln xx(x>0)，也即a≥ln x−2x2恒成立，令g(x)=ln x−2x2，g′(x)=1x −4x=1−4x2x，令g ′(x)=0，解得x =12（舍去x =−12），所以g(x)=ln x −2x 2在(0,12)上单调递增，在[12,+∞)上单调递减，所以g(x)max =g (12)=ln 12−2×14 =ln 12−12=−ln 2−12． 所以a ≥−ln 2−12． 【考点】函数的单调性与导数的关系 导数的几何意义【解析】本题考查导数的几何意义、导数与函数单调性之间的关系． 【解答】 解：（Ⅰ）令ℎ(x)=f(x)−1=x 2+a ln x −1， 所以ℎ′(x)=2x +a x ，又ℎ(x)在点(1,0)处的切线与直线y =x 垂直， 所以 ℎ′(1)=2+a =−1， 所以a =−3．（Ⅱ）由题意可得f ′(x)≥ln x x，即2x +ax ≥ln x x(x >0)，也即a ≥ln x −2x 2恒成立，令g(x)=ln x −2x 2，g ′(x)=1x −4x =1−4x 2x，令g ′(x)=0，解得x =12（舍去x =−12），所以g(x)=ln x −2x 2在(0,12)上单调递增，在[12,+∞)上单调递减， 所以g(x)max =g (12)=ln 12−2×14 =ln 12−12=−ln 2−12． 所以a ≥−ln 2−12． 31.【答案】解：(1)当a =1时，f (x )=e x−1，f ′(x )=e x−1， ∴ f ′(1)=1，f(1)=1，∴ 曲线y =f (x )在点(1,1)处的切线方程为y −1=x −1， 即y =x .(2)设直线与曲线y =f (x )相切于点A (x 1,y 1)，与曲线y =g (x )相切于点B (x 2,y 2)，则f′(x)=e x−a，g′(x)=1x，∵曲线y=f(x)在点A处的切线为y−e x1−a=e x1−a(x−x1)，与曲线y=g(x)相切于点B，∴{e x1−a=1x2①，ln x2−b−e x1−a=e x1−a(x2−x1)②，由①，得x1−a=ln1x2=−ln x2，即ln x2=a−x1，将e x1−a=1x2，ln x2=a−x1代入②，得a−x1−b−1x2=1x2(x2−x1)，又a=b+2，整理，得(x1−1)(x2−1)=0，当x1=1时，y−e1−a=e1−a(x−1)，即y=e1−a x；当x2=1时，a−x1=ln x2=0，x1=a，∴y−1=x−a，即y=x+1−a，∴存在这样的直线，直线为y=e1−a x或y=x+1−a.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】（1）当a=1时，f(x)=e x−1，f′(x)=e x−1，故k=f′(1)=1，再根据点斜式方程求解即可 .（2）设直线与曲线y=f(x)相切于点A(x1,y1)，与曲线y=g(x)相切于点B(x2,y2)，①则根据切点在切线上，也在曲线上得{e x1−a=1x2①，ln x2−b−e x2−a(x2−x1)②，，整理得(x1−1)(x2−1)=0，再分当x1=1时和x2=1时两种情况求解即可．【解答】解：(1)当a=1时，f(x)=e x−1，f′(x)=e x−1，∴f′(1)=1，f(1)=1，∴曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为y−1=x−1，即y=x.(2)设直线与曲线y=f(x)相切于点A(x1,y1)，与曲线y=g(x)相切于点B(x2,y2)，则f′(x)=e x−a，g′(x)=1x，∵曲线y=f(x)在点A处的切线为y−e x1−a=e x1−a(x−x1)，与曲线y=g(x)相切于点B，∴{e x1−a=1x2①，ln x2−b−e x1−a=e x1−a(x2−x1)②，由①，得x1−a=ln1x2=−ln x2，即ln x2=a−x1，将e x1−a=1x2，ln x2=a−x1代入②，得a−x1−b−1x2=1x2(x2−x1)，又a=b+2，整理，得(x1−1)(x2−1)=0，当x1=1时，y−e1−a=e1−a(x−1)，即y=e1−a x；当x2=1时，a−x1=ln x2=0，x1=a，∴y−1=x−a，即y=x+1−a，∴存在这样的直线，直线为y=e1−a x或y=x+1−a.32.【答案】解：(1)由题意，得f′(x)=x2−2x，∵f′(0)=0，∴ k=0，∴ 切线l的方程为y=2．(2)∵f′(x)=x2−2x=(x−1)2−1≥−1，∴ 当x=1时，切线l的斜率最小，∴ y=13−1+2=43，∴ M点的坐标为(1,43)．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】左侧图片未给出解析左侧图片未给出解析【解答】解：(1)由题意，得f′(x)=x2−2x，∵f′(0)=0，∴ k=0，∴ 切线l的方程为y=2．(2)∵f′(x)=x2−2x=(x−1)2−1≥−1，∴ 当x=1时，切线l的斜率最小，∴ y=13−1+2=43，∴ M点的坐标为(1,43)．33.【答案】解：(1)∵f(x)=ln x−mx，∴f′(x)=1x−m .∵ 直线x +2y +1=0的斜率为k =−12，∴ f (x )在点x =1处的切线斜率为−2． ∴ f ′(1)=1−m =2， 解得m =−1，∴ f (x )=ln x +x ，f (1)=1， ∴ 切点坐标为(1,1)，∴ 切线的方程为y −1=2(x −1)，即2x −y −1=0 . (2)∵ f (x )=ln x −mx ，∴ g (x )=12x 2+f (x )=12x 2−mx +ln x ，定义域为(0,+∞)，∴ g ′(x )=x −m +1x =x 2−mx+1x(x >0).∵ 函数g (x )=12x 2+f (x )有两个不相等的极值点x 1，x 2， ∴ 方程x 2−mx +1=0有两个不相等的正实数解x 1，x 2， ∴ {Δ=m 2−4>0,x 1+x 2=m >0,x 1x 2=1>0,解得m >2 ， ∴ g (x 1)+g (x 2)=(12x 12−mx 1+ln x 1)+(12x 22−mx 2+ln x 2)=12(x 12+x 22)−m (x 1+x 2)+(ln x 1+ln x 2)=12[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]−m (x 1+x 2)+ln (x 1x 2) =12(m 2−2)−m 2+ln 1 =−12m 2−1.∵ m >2，∴ g (x 2)+g (x 2)<−3，∴ g (x 1)+g (x 2)的取值范围是(−∞,−3) . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 导数的几何意义 利用导数研究函数的极值 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)∵ f (x )=ln x −mx ， ∴ f ′(x )=1x −m .∵ 直线x +2y +1=0的斜率为k =−12，∴ f (x )在点x =1处的切线斜率为−2． ∴ f ′(1)=1−m =2， 解得m =−1，∴ f (x )=ln x +x ，f (1)=1， ∴ 切点坐标为(1,1)，∴ 切线的方程为y −1=2(x −1)，即2x −y −1=0 . (2)∵ f (x )=ln x −mx ，∴ g (x )=12x 2+f (x )=12x 2−mx +ln x ，定义域为(0,+∞)， ∴ g ′(x )=x −m +1x =x 2−mx+1x(x >0).∵ 函数g (x )=12x 2+f (x )有两个不相等的极值点x 1，x 2， ∴ 方程x 2−mx +1=0有两个不相等的正实数解x 1，x 2， ∴ {Δ=m 2−4>0,x 1+x 2=m >0,x 1x 2=1>0,解得m >2 ， ∴ g (x 1)+g (x 2)=(12x 12−mx 1+ln x 1)+(12x 22−mx 2+ln x 2)=12(x 12+x 22)−m (x 1+x 2)+(ln x 1+ln x 2)=12[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]−m (x 1+x 2)+ln (x 1x 2) =12(m 2−2)−m 2+ln 1 =−12m 2−1.∵ m >2，∴ g (x 2)+g (x 2)<−3，∴ g (x 1)+g (x 2)的取值范围是(−∞,−3) . 34. 【答案】解：(1)f ′(x)=2+a x 2−8x=2x 2−8x+ax 2(x >0)，由已知f ′(1)=2−8+a 12=0知a =6，f ′(6)=2×62−8×6+662=56，点A(1,−4)，故所求直线方程为5x −6y −29=0． (2)f(x)定义域为(0,+∞)， 令t(x)=2x 2−8x +a ，由f(x)有两个极值点x 1，x 2(1<x 1<x 2)得：t(x)=2x 2−8x +a =0，有两个都大于1的不等的零点， {Δ=64−8a >0，t(0)=a >0，t(1)>0，∴ 6<a <8， {x 1+x 2=4，x 1x 2=a 2，∴ {x 2=4−x 1，a =2x 1x 2=2x 1(4−x 1)，由1<x 1<x 2知1<x 1<2， 原不等式等价于:2x 1(4−x 1)ln x 11−x 1>m[5(4−x 1)−(4−x 1)2]，∵ 4−x 1>0， ∴ 2x 1ln x 11−x 1>m(1+x 1)，∴x 11−x 1[2ln x 1+m(x 12−1)x 1]>0，①1<x 1<2，x 11−x 1<0，令ℎ(x)=2ln x +m(x 2−1)x(1<x <2)，ℎ′(x)=mx 2+2x+mx 2，m ≤−1时，Δ=4−4m 2≤0，ℎ′(x)<0恒成立，所以ℎ(x)在(1,2)上单调递减． ∵ ℎ(1)=0，∴ ℎ(x)<0，不等式①成立， ∴ m ≤−1时原不等式成立． 【考点】利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的极值 导数的几何意义 【解析】 【解答】解：(1)f ′(x)=2+ax 2−8x =2x 2−8x+ax 2(x >0)，由已知f ′(1)=2−8+a 12=0知a =6，f ′(6)=2×62−8×6+662=56，点A(1,−4)，故所求直线方程为5x −6y −29=0． (2)f(x)定义域为(0,+∞)， 令t(x)=2x 2−8x +a ，由f(x)有两个极值点x 1，x 2(1<x 1<x 2)得：t(x)=2x 2−8x +a =0，有两个都大于1的不等的零点， {Δ=64−8a >0，t(0)=a >0，t(1)>0，∴ 6<a <8， {x 1+x 2=4，x 1x 2=a 2，∴ {x 2=4−x 1，a =2x 1x 2=2x 1(4−x 1)，由1<x 1<x 2知1<x 1<2， 原不等式等价于:2x 1(4−x 1)ln x 11−x 1>m[5(4−x 1)−(4−x 1)2]，∵ 4−x 1>0， ∴2x 1ln x 11−x 1>m(1+x 1)，∴ x 11−x 1[2ln x 1+m(x 12−1)x 1]>0，①1<x 1<2，x11−x 1<0，令ℎ(x)=2ln x +m(x 2−1)x(1<x <2)，ℎ′(x)=mx 2+2x+mx 2，m ≤−1时，Δ=4−4m 2≤0，ℎ′(x)<0恒成立，所以ℎ(x)在(1,2)上单调递减． ∵ ℎ(1)=0，∴ ℎ(x)<0，不等式①成立， ∴ m ≤−1时原不等式成立． 35.【答案】解：(1)依题意f ′(x)=−3x 2+2ax ， f ′(1)=tan π4=1，∴ −3+2a =1，即a =2． (2)f′(x)=−3x(x −2a 3)．①若a ≤0，当x >0时，f′(x)<0，∴f(x)在[0, +∞)上单调递减．又f(0)=−4，则当x>0时，f(x)<−4．∴a≤0时，不存在t>0，使f(t)>0．②若a>0，则当0<x<2a3时，f′(x)>0，当x>2a3时，f′(x)<0．从而f(x)在(0,2a3]上单调递增，在[2a3，+∞)上单调递减．∴当x∈(0, +∞)时，f(x)max=f(2a3)=−8a327+4a39−4=4a327−4，据题意，4a 327−4>0，即a3>27，∴a>3．综上，a的取值范围是(3, +∞)．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性导数的几何意义【解析】（1）求出f(x)的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，然后再根据切线的倾斜角求出切线的斜率，两个斜率相等即可求出a的值；（2）求出f(x)的导函数，当a小于等于0时，由x大于0，得到导函数小于0，即函数在(0, +∞)上为减函数，又x=0时f(x)的值为−4且当x大于0时，f(x)小于−4，所以当a 小于等于0时，不存在x0>0，使f(x0)>0；当a大于0时，分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到f(x)的最大值，让最大值大于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，综上，得到满足题意a的取值范围．【解答】解：(1)依题意f′(x)=−3x2+2ax，f′(1)=tanπ4=1，∴−3+2a=1，即a=2．(2)f′(x)=−3x(x−2a3)．①若a≤0，当x>0时，f′(x)<0，∴f(x)在[0, +∞)上单调递减．又f(0)=−4，则当x>0时，f(x)<−4．∴a≤0时，不存在t>0，使f(t)>0．②若a>0，则当0<x<2a3时，f′(x)>0，当x>2a3时，f′(x)<0．从而f(x)在(0,2a3]上单调递增，在[2a3，+∞)上单调递减．∴当x∈(0, +∞)时，f(x)max=f(2a3)=−8a327+4a39−4=4a327−4，据题意，4a 327−4>0，即a3>27，∴a>3．综上，a的取值范围是(3, +∞)．试卷第31页，总31页。

导数及其几何意义精选题33道一．选择题（共13小题） 1．已知21()(0)2f x a ln x x a =+>，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有1212()()2f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是()A ．(0，1]B ．(1,)+∞C ．(0,1)D ．[1，)+∞2．曲线1x yx e-=在点(1,1)处切线的斜率等于()A ．2eB ．eC ．2D ．13．曲线313yx x=+在点4(1,)3处的切线与坐标轴围成的三角形面积为() A ．19B ．29C ．13D ．234．设点P是曲线335yx =-+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是()A ．2[0,]3πB ．[0，2)[23ππ，)πC ．2(,]23ππ D ．2[,]33ππ5．已知曲线yln x=的切线过原点，则此切线的斜率为()A ．eB ．e -C ．1eD ．1e-6．设函数()f x 在定义域内可导，()yf x =的图象如图所示，则导函数()yf x ='的图象可能为()A ．B ．C ．D ．7．设()f x 存在导函数且满足0(1)(12)lim12x f f x x→--=-，则曲线()yf x =上的点(1，f（1）)处的切线的斜率为()A ．1-B ．2-C ．1D ．28．设函数()f x 在0x 处可导，则000()()limx f x x f x x→--等于()A ．0()f x 'B ．0()f x '- C ．0()f x -'D ．0()f x --9．曲线31233yx x =-+在点4(1,)3处的切线的倾斜角为()A ．4πB ．3πC ．23πD ．34π10．如图，函数()y f x =的图象在点(2,)P y 处的切线是L ，则f（2）f +'（2）(=)A ．4-B ．3C ．2-D ．111．曲线2yln x x=-在1x=处的切线的倾斜角为α，则c o s (2)2πα+的值为( )A ．45B ．45-C ．35D ．35-12．已知函数42()2(1)f x x a x a x=-++-为偶函数，则()f x 的导函数()f x '的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．13．若过点(1,)P m -可以作三条直线与曲线:xCy x e=相切，则m 的取值范围是()A ．23(e-，)+∞ B ．1(,0)e-C ．(0,)+∞D ．231(,)ee--二．多选题（共2小题） 14．已知函数()f x 的定义域为R 且导函数为()f x '，如图是函数()yx f x '=的图象，则下列说法正确的是()A ．函数()f x 的增区间是(2,0)-，(2,)+∞ B ．函数()f x 的增区间是(,2)-∞-，(2,)+∞C ．2x =-是函数的极小值点D ．2x=是函数的极小值点15．已知函数()f x 及其导数()f x '，若存在0x R∈，使得00()()f x f x '=，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的是( )A ．2()23f x x =+B ．1()f x x=C ．()xf x e-= D ．()f x ln x=三．填空题（共15小题） 16．函数()f x 的图象在2x=处的切线方程为230xy +-=，则f（2）f '+（2）= ．17．已知点P 在曲线41xy e=+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 ． 18．设函数()f x 的导数为()f x '，且322()()3f x x f xx=+'-，则f '（1）= ．19．正弦曲线sin yx=上一点P ，正弦曲线的以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是 ．20．曲线1yln x x =-在1x=处的切线的倾斜角为α，则s in 2α=．21．若函数21()2f x xa x ln x=-+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 ．22．定义在区间[a ，]b 上的连续函数()y f x =，如果[aξ∃∈，]b ，使得f（b ）f -（a ）()()f b a ξ='-，则称ξ为区间[a ，]b 上的“中值点”．下列函数： ①()32f x x =+；②2()1f x x x =-+；③()(1)f x ln x =+； ④31()()2f x x =-，在区间[0，1]上“中值点”多于一个的函数序号为 ．（写出所有满足条件的函数的序号） 23．已知曲线2132y xln x=-的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为 ．24．函数()xf x x e=在0x=处的切线的斜率为 ．25．函数3()(21)f x x x =+的图象在点(1，f（1）)处的切线的斜率为 ．26．若指数函数(0xy a a =>且1)a≠与三次函数3yx=的图象恰好有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是 ．27．设直线3yx b=-+是曲线323y x x=-的一条切线，则实数b 的值是 ．28．已知函数()y f x =在0xx =处的导数为2-，则0limx →00()()f x x f x x+-=． 29．已知函数()y f x =的图象在点(1，f（1）)处的切线方程是210xy -+=，则f（1）2f +'（1）的值是 ．30．已知函数()f x 的导数()f x '，且满足()2f x f '=（1）ln x +，则f（e ）= ．四．解答题（共3小题） 31．已知曲线3:2Sy x x=-．（1）求曲线S 在点(1,1)A 处的切线方程； （2）求过点(2,0)B 并与曲线S 相切的直线方程．32．已知函数21()22f x xx a ln x=-+，其中0a>．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明：123()()2f x f x -<+<-．33．求曲线32312yx x=--+在1x =处的切线的倾斜角．导数及其几何意义精选题33道参考答案与试题解析一．选择题（共13小题） 1．已知21()(0)2f x a ln x x a =+>，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有1212()()2f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是()A ．(0，1]B ．(1,)+∞C ．(0,1)D ．[1，)+∞【分析】先将条件“对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有1212()()2f x f x x x ->-恒成立”转换成1122()2()2f x x f x x ->-，构造函数()()2h x f x x=-，根据增减性求出导函数，即可求出a 的范围．【解答】解：对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有1212()()2f x f x x x ->-恒成立，假设12x x >，1212()()22f x f x x x ->-，即1122()2()2f x x f x x ->-对于任意120x x >>成立，令()()2h x f x x =-，()h x 在(0,)+∞为增函数， ()20a h x x x'∴=+-…在(0,)+∞上恒成立，20a x x+-…，则2(2)1m a x a x x -=…故选：D ．【点评】本题主要考查了导数的几何意义，以及函数恒成立问题，同时考查了转化与化归的数学思想，属于基础题． 2．曲线1x yx e-=在点(1,1)处切线的斜率等于()A ．2eB ．eC ．2D ．1【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率． 【解答】解：函数的导数为111()(1)x x x f x ex ex e---'=+=+，当1x=时，f '（1）2=，即曲线1x y x e-=在点(1,1)处切线的斜率k f ='（1）2=，故选：C ．【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础． 3．曲线313yx x=+在点4(1,)3处的切线与坐标轴围成的三角形面积为() A ．19B ．29C ．13D ．23【分析】（1）首先利用导数的几何意义，求出曲线在0(P x ，0)y 处的切线斜率，进而得到切线方程；（2）利用切线方程与坐标轴直线方程求出交点坐标（3）利用面积公式求出面积．【解答】解：若313yx x=+，则1|2x y ='=，即曲线313yx x =+在点4(1,)3处的切线方程是42(1)3yx -=-，它与坐标轴的交点是1(3，0)，2(0,)3-，围成的三角形面积为19，故选A ．【点评】函数()yf x =在0xx =处的导数的几何意义，就是曲线()yf x =在点0(P x ，0)y 处的切线的斜率，过点P 的切线方程为：000()()y y f x x x -='-4．设点P 是曲线335yx =-+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是()A ．2[0,]3πB ．[0，2)[23ππ，)π C ．2(,]23ππ D ．2[,]33ππ【分析】先求函数的导数的范围，即曲线斜率的取值范围，从而求出切线的倾斜角的范围．【解答】解：23y x'=--ta n α-…，[0α∴∈，2)[23ππ，)π，故选：B ．【点评】本题考查导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率． 5．已知曲线yln x=的切线过原点，则此切线的斜率为()A ．eB ．e -C ．1eD ．1e-【分析】设切点坐标为(,)a ln a ，求函数的导数，可得切线的斜率，切线的方程，代入(0,0)，求切点坐标，切线的斜率．【解答】解：设切点坐标为(,)a ln a ，y ln x=，1y x∴'=，切线的斜率是1a，切线的方程为1()y ln a x a a -=-， 将(0,0)代入可得1ln a=，a e∴=，∴切线的斜率是11ae=；故选：C ．【点评】本题主要考查导数的几何意义，利用切线斜率和导数之间的关系可以切点坐标． 6．设函数()f x 在定义域内可导，()yf x =的图象如图所示，则导函数()yf x ='的图象可能为()A ．B ．C ．D ．【分析】先从()f x 的图象判断出()f x 的单调性，根据函数的单调性与导函数的符号的关系判断出导函数的符号，判断出导函数的图象 【解答】解：由()f x 的图象判断出可得从左到右函数的单调性在y 轴左侧先增，再减，在y 轴的右侧，函数单调递减，∴导函数()yf x ='的图象可能为区间(,0)-∞内，先有()0f x '>，再有()0f x '<，在(0,)+∞再有()0f x '<．故选：A ．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，属于基础题 7．设()f x 存在导函数且满足0(1)(12)lim12x f f x x→--=-，则曲线()yf x =上的点(1，f（1）)处的切线的斜率为()A ．1-B ．2-C ．1D ．2【分析】根据极限的运算法则的应用，曲线在某处切线斜率的意义即可求出． 【解答】解：()y f x =在点(1，f（1）)处的切线的斜率为f '（1）0(1)(12)lim12x f f x x→--==-，故选：A ．【点评】本题考查极限的定义的应用，曲线在某处切线斜率的意义，属于基础题． 8．设函数()f x 在0x 处可导，则000()()limx f x x f x x→--等于()A ．0()f x 'B ．0()f x '- C ．0()f x -'D ．0()f x --【分析】根据导数的几何意义，以及导数的极限表示形式0000()()()limx f x x f x f x x→+-'=进行化简变形，得到结论．【解答】解：000000()()()()limlim()x x f x x f x f x x f x f x xx→→----=-=-'-，故选：C ．【点评】本题考查了导数的几何意义，以及导数的极限表示形式，本题属于中档题． 9．曲线31233yx x =-+在点4(1,)3处的切线的倾斜角为()A ．4πB ．3πC ．23πD ．34π【分析】根据题意，设曲线31233yx x =-+在该点处切线的倾斜角为θ，求出曲线方程的导数，进而求出1|x y ='的值，即可得切线的斜率，据此分析可得答案． 【解答】解：根据题意，设曲线31233y x x =-+在该点处切线的倾斜角为θ，曲线方程为31233yx x =-+，其导数22y x '=-，则有1|121x y ='=-=-，则切线的斜率1k=-；则有ta n 1θ=-，故34πθ=；故选：D ．【点评】本题考查导数的几何意义，涉及导数的计算，属于基础题． 10．如图，函数()yf x =的图象在点(2,)P y 处的切线是L ，则f（2）f +'（2）(=)A ．4-B ．3C ．2-D ．1【分析】本题根据导数的基本运算结合函数图象可计算出()f x '的式子，进而可求出()yf x =的式子，即可求得结果．【解答】解：由图象可得：函数()yf x =的图象在点P 处的切线是L 与x 轴交于(4,0)，与y 轴交于(0,4)，则可知:4L x y +=，f∴（2）2=，f '（2）1=-∴代入则可得f（2）f +'（2）1=，故选：D ．【点评】本题考查导数性质的基本应用，结合图形的基本性质即可求得答案． 11．曲线2yln x x=-在1x=处的切线的倾斜角为α，则c o s (2)2πα+的值为( )A ．45B ．45- C ．35D ．35-【分析】曲线在1x =处的切线的倾斜角为α，所以1|ta n x y α='=，所以2222s in c o s 2ta n c o s (2)s in 221s in c o s ta n παααααααα+=-=-=-++，将ta n α代入即可．【解答】解：依题意，212y xx'=+，所以12ta n 311α=+=，所以22222s in c o s 2ta n 233c o s (2)s in 221315s in c o s ta n παααααααα⨯+=-=-=-=-=-+++，故选：D ．【点评】本题考查了导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，三角恒等变换，属于基础题． 12．已知函数42()2(1)f x x a x a x=-++-为偶函数，则()f x 的导函数()f x '的图象大致为()A ．B ．C ．D ．【分析】根据函数()f x 为偶函数求得a 的值，再求出()f x 的导函数()f x '，利用导数判断()f x '的单调性与极值，从而得出函数()f x '的大致图象．【解答】解：函数42()2(1)f x x a x a x=-++-为偶函数，则10a-=，解得1a=，42()2f x x x∴=-+， 3()44f x x x∴'=-+；设()()g x f x ='，则2()124g x x '=-+，令()g x '=，解得3x=±∴当03x <<时，()g x '>，当3x>时，()0g x '<；()g x ∴在3x =34423339g =-⨯+⨯=<，∴导函数()f x '的图象大致为选项A 所示．故选：A ．【点评】本题考查了函数的奇偶性以及利用导数研究函数的图象和性质的应用问题，是中档题．13．若过点(1,)P m -可以作三条直线与曲线:xCy x e=相切，则m 的取值范围是()A ．23(e-，)+∞ B ．1(,0)e-C ．(0,)+∞D ．231(,)ee--【分析】求指数函数的导数，利用导数的几何意义列出方程． 【解答】解：设切点为0(x ，0)y ，过点P的切线方程为000(1)()x x y x ex x x e=+-+，代入点P坐标化简为200(1)x m x x e=---，即这个方程有三个不等根即可，令200()(1)x f x xx e=---，求导得到()(1)(2)xf x x x e'=--+，函数在(,2)-∞-上单调递减，在(2,1)--上单调递增，在(1,)-+∞ 上单调递减，故得到(2)(1)f m f -<<-，即231(,)ee--故选：D ．【点评】本题考查的是导数的几何意义的应用，将函数的切线条数转化为切点个数问题，最终转化为零点个数问题是解决此题的关键． 二．多选题（共2小题） 14．已知函数()f x 的定义域为R 且导函数为()f x '，如图是函数()yx f x '=的图象，则下列说法正确的是()A ．函数()f x 的增区间是(2,0)-，(2,)+∞ B ．函数()f x 的增区间是(,2)-∞-，(2,)+∞C ．2x =-是函数的极小值点D ．2x=是函数的极小值点【分析】根据题意，由函数()y x f x ='的图象分析导函数的符号，进而可得()f x 的单调区间以及单调性，据此分析可得答案．【解答】解：根据题意，由函数()y x f x ='的图象可知：当2x<-时，()0x f x '<，()0f x '>，此时()f x 为增函数， 当20x -<<时，()0x f x '>，()0f x '<，此时()f x 为减函数，当02x <<时，()0x f x '<，()0f x '<，此时()f x 为减函数，当2x>时，()0x f x '>，()0f x '>，此时()f x 为增函数；据此分析选项：函数()f x 的增区间是(,2)-∞-，(2,)+∞，则B 正确，A 错误；2x =-是函数的极大值点，2x =是函数的极小值点，则D 正确，C 错误；故选：B D ．【点评】本题考查函数的单调性与导数的关系，涉及函数的图象分析，属于基础题． 15．已知函数()f x 及其导数()f x '，若存在0x R∈，使得00()()f x f x '=，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的是( )A ．2()23f x x =+B ．1()f x x=C ．()xf x e-= D ．()f x ln x=【分析】通过解方程00()()f x f x '=，看是否有解即可解决此题． 【解答】选项A 中，由00()()f x f x '=得：200234x x +=，△80=-<，无解，∴函数无巧值点，故不选A ；选项B 中，由00()()f x f x '=得：211x x =-，解得：01x =-，函数有巧值点1-，故选B ；选项C 中，由00()()f x f x '=得：0xx e e--=-，无解，∴函数无巧值点，故不选C ；选项D 中，由00()()f x f x '=得：01ln x x =，函数0y ln x =与01yx =在第一象限有一个交点，∴方程01ln x x =有一个解，∴函数有巧值点，故选D ； 故选：B D ．【点评】本题考查导数运算、方程思想、数形结合思想，考查数学运算能力，属于中档题． 三．填空题（共15小题） 16．函数()f x 的图象在2x=处的切线方程为230xy +-=，则f（2）f '+（2）=3- ．【分析】先将2x =代入切线方程可求出f （2），再由切点处的导数为切线斜率可求出f '（2）的值，最后相加即可． 【解答】解：由已知切点在切线上， 所以f（2）1=-，切点处的导数为切线斜率， 所以f '（2）2=-，所以f（2）f +'（2）3=-．故答案为：3-．【点评】本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率． 17．已知点P 在曲线41xye=+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是3[,)4ππ ．【分析】由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，结合函数的值域的求法利用基本不等式求出k 的范围，再根据ta n k α=，结合正切函数的图象求出角α的范围．【解答】解：根据题意得24()21x xxe f x ee '=-++，4411222xxk e e=--=-+++…，且0k<则曲线()yf x =上切点处的切线的斜率1k -…，又ta n k α=，结合正切函数的图象由图可得3[,)4παπ∈，故答案为：3[,)4ππ．【点评】本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想． 18．设函数()f x 的导数为()f x '，且322()()3f x x f x x=+'-，则f '（1）= 0 ．【分析】根据题意，求出函数的导数22()32()13f x x f x '=+'-，令23x=可得：2222()3()2()1333f f x '=+'-，解可得2()3f '的值，即可得()f x '的解析式，将1x=代入计算可得答案．【解答】解：根据题意，322()()3f x x f xx=+'-，其导数22()32()13f x xf x '=+'-，令23x =可得：22222()3()2()13333f f '=+'-，解可得2()13f '=-，则2()321f x x x '=--，故f '（1）3210=--=，故答案为：0．【点评】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题． 19．正弦曲线sin yx=上一点P ，正弦曲线的以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是[0，3][44ππ，)π ．【分析】由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，结合函数的值域的求法利用基本不等式求出k 的范围，再根据ta n k α=，结合正切函数的图象求出角α的范围．，再根据导数的几何意义可知ta n kα=-…，结合正切函数的图象求出角α的范围．【解答】解：根据题意得()c o s f x x'=，1co s 1x -剟，则曲线()y f x =上切点处的切线的斜率11k -剟，又ta n k α=，结合正切函数的图象由图可得[0α∈，3][44ππ，)π，故答案为：[0，3][44ππ，)π．【点评】本题考查了导数的几何意义、正弦函数的导数、余弦函数的值域等基本知识，以及利用正切函数的图象求倾斜角，考查运算求解能力，考查数形结合思想． 20．曲线1yln x x=-在1x=处的切线的倾斜角为α，则s in 2α=45．【分析】先求出曲线1yln x x=-的导数，得到曲线在1x=处的斜率，再根据切线的倾斜角为α，得到ta n α的值，进一步求出s in 2α的值． 【解答】解：由1yln x x=-，得211y xx'=+， ∴曲线1y ln x x =-在1x =处的切线斜率2k=，曲线1yln x x=-在1x=处的切线的倾斜角为α，ta n 2α∴=，22ta n 4s in 22s in c o s 1ta n 5ααααα∴===+．故答案为：45．【点评】本题考查了利用导数研究函数的切线方程，三角恒等变换，二倍角公式和直线的斜率与倾斜角之间的关系，考查了转化思想，属基础题． 21．若函数21()2f x xa x ln x=-+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是[2，)+∞ ．【分析】先对函数()f x 求导，然后令导函数等于0得到关于a ，x 的关系式，再由基本不等式可求出a 的范围．【解答】解：211()()2f x xa x ln x f x x a x'=-+∴=-+由题意可知存在实数0x>使得1()0f x x a x'=-+=，即1a x x=+成立12a x x ∴=+…（当且仅当1x x=，即1x=时等号取到）故答案为：[2，)+∞【点评】本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于切点为该点的切线的斜率． 22．定义在区间[a ，]b 上的连续函数()yf x =，如果[aξ∃∈，]b ，使得f（b ）f -（a ）()()f b a ξ='-，则称ξ为区间[a ，]b 上的“中值点”．下列函数： ①()32f x x =+；②2()1f x x x =-+；③()(1)f x ln x =+； ④31()()2f x x =-，在区间[0，1]上“中值点”多于一个的函数序号为 ①④ ．（写出所有满足条件的函数的序号）【分析】根据题意，“中值点”的几何意义是在区间[0，1]上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间[0，1]的两个端点连线的斜率值．分别画出四个函数的图象，如图．由此定义再结合函数的图象与性质，对于四个选项逐个加以判断，即得正确答案．【解答】解：根据题意，“中值点”的几何意义是在区间[0，1]上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间[0，1]的两个端点连线的斜率值．如图．对于①，根据题意，在区间[0，1]上的任何一点都是“中值点”，故①正确；对于②，根据“中值点”函数的定义，抛物线在区间[0，1]只存在一个“中值点”，故②不正确； 对于③，()(1)f x ln x =+在区间[0，1]只存在一个“中值点”，故③不正确；对于④，根据对称性，函数31()()2f x x =-在区间[0，1]存在两个“中值点”，故④正确．故答案为：①④．【点评】本题以命题真假的判断为载体，着重考查了导数及其几何意义等知识点，属于中档题． 23．已知曲线2132yxln x=-的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为 3 ．【分析】根据斜率，对已知函数求导，解出横坐标，要注意自变量的取值区间．【解答】解：设切点的横坐标为0(x ，0)y 曲线2132yxln x=-的一条切线的斜率为20032y x x ∴'=-=解得：03x =或1-x > 03x ∴=故答案为：3【点评】考查导数的几何意义，属于基础题，对于一个给定的函数来说，要考虑它的定义域． 24．函数()xf x x e=在0x=处的切线的斜率为 1 ．【分析】利用导数的几何意义即可得出． 【解答】解：()x xf x e x e'=+，(0)1f ∴'=． ()f x ∴在0x=处的切线斜率为1．故答案为：1．【点评】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题． 25．函数3()(21)f x x x =+的图象在点(1，f（1）)处的切线的斜率为 81 ．【分析】利用导数的求导法则先求出()f x '，然后由导数的几何意义求解f '（1）即可．【解答】解：函数3()(21)f x x x =+， 所以32()(21)3(21)2f x x x x '=+++⨯，故f '（1）275481=+=．故答案为：81．【点评】本题考查了导数的运算，主要考查了导数几何意义的理解，考查了运算能力，属于基础题． 26．若指数函数(0xy a a =>且1)a≠与三次函数3y x=的图象恰好有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是3(1,)e e ．【分析】先分析函数3y x=单调性，值域；再分两种情况当01a <<时，当1a>时，讨论xya=在(,)-∞+∞上单调性，值域，发现当1a>时，只能是在(0,)+∞上函数xya=与3yx=有两个交点⇒在(0,)+∞上，方程3xx a=有两个不等实数根，⇒在(0,)+∞上，方程3ln x ln a x=有两个不等实数根，令3()ln x g x x=，(0)x>，求导，分析单调性，最值，进而得出答案．【解答】解：函数3y x=在(,)-∞+∞上单调递增，在(,0)-∞上0y<，在(0,)+∞上0y>，当01a <<时，xya=在(,)-∞+∞上单调递减，且0y >所以两个函数图象只有一个交点，不符合题意， 当1a>时，xy a=在(,)-∞+∞上单调递增，且0y>，所以只能是在(0,)+∞上函数xy a=与3yx=有两个交点，即在(0,)+∞上，方程3xx a=有两个不等实数根，所以在(0,)+∞上，方程3ln x ln a x=有两个不等实数根，令3()ln x g x x=，(0)x>23(1)()ln x g x x-'=，在(0,)e 上，()0g x '>，()g x 单调递增，在(,)e +∞上，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()m a x g x g=（e ）33eln e ln e e==，所以3eln a ln e <<，所以31ea e <<．故答案为：3(1,)e e【点评】本题考查函数图象交点，方程的根，以及利用导数求最值，属于中档题． 27．设直线3yx b=-+是曲线323yx x=-的一条切线，则实数b 的值是 1 ．【分析】由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，再根据切点必在曲线上，结合方程组求出常数b 和c 即可． 【解答】解：236y x x'=-，2363kx x ∴=-=-，1x ∴=，即切点的横坐标为1，代入曲线方程得切点坐标(1,2)-它也在切线上，∴代入3yx b=-+，得1b=．∴常数b 为：1．故答案为：1．【点评】本小题主要考查导数的几何意义、直线的斜率的概念等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题． 28．已知函数()yf x =在0xx =处的导数为2-，则0limx →00()()f x x f x x+-=2- ．【分析】根据题意，由导数的定义可得0limx →000()()()f x x f x f x x+-='，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数()y f x =在0xx =处的导数为2-，即0()2f x '=-，而0limx →000()()()2f x x f x f x x+-='=-，故答案为：2-【点评】本题考查导数的几何意义，涉及极限的计算，属于基础题． 29．已知函数()yf x =的图象在点(1，f （1）)处的切线方程是210xy -+=，则f（1）2f +'（1）的值是 2 ．【分析】因为切点坐标一定满足切线方程，所以据此可以求出f（1）的值，又因为切线的斜率是函数在切点处的导数，就可求出f '（1）的值，把f（1）和f '（1）代入f （1）2f '+（1）即可．【解答】解：点(1，f （1）)是切点，∴在切线上， 12f∴-（1）10+=，f（1）1=函数()y f x =的图象在点(1，f（1）)处的切线方程是210xy -+=，∴切线斜率是12即f '（1）12=f∴（1）2f '+（1）11222=+⨯=故答案为2【点评】本题主要考查函数的切线斜率与导数的关系，属于导数的几何意义的应用． 30．已知函数()f x 的导数()f x '，且满足()2f x f '=（1）ln x +，则f（e ）= 3 ．【分析】先对()f x 求导数，再求f '（1）可解决此题．【解答】解：()2f x f '=（1）ln x +，1()f x x∴'=，f ∴'（1）1=，()2f x ln x∴=+，f∴（e ）3=．故答案为：3．【点评】本题考查导数运算，考查数学运算能力，属于基础题． 四．解答题（共3小题） 31．已知曲线3:2Sy x x=-．（1）求曲线S 在点(1,1)A 处的切线方程； （2）求过点(2,0)B 并与曲线S 相切的直线方程．【分析】（1）先对函数进行求导，根据导函数在点A 处的值为切线方程的斜率可得答案． （2）先设切点坐标，然后得出斜率的表达式求出斜率，最后根据直线的点斜式方程可得答案． 【解答】解：（1）32232y x x y x '=-∴=-+当1x=时，1y '=-∴点(1,1)A 处的切线方程为：1(1)(1)yx -=--即：20xy +-=（2）设切点坐标为3(,2)m m m -则直线斜率322m m k m -=-，而223y m'=-，整理得到：32320m m-+=3222(1)0mmm---=2(1)2(1)(1)0m m m m --+-=2(1)(22)0m mm ---=解得11m =，21m =+31m =-当1m =时：2231k m=-=-，直线方程为(2)2yx x=--=-；当1m =+22310k m=-=--，直线方程为(102)y x =---当1m=-时，22310km=-=-+，直线方程为(102)yx =-+-【点评】本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于过该点的曲线的切线的斜率． 32．已知函数21()22f x xx a ln x=-+，其中0a>．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明：123()()2f x f x -<+<-．【分析】（1）由利用导数研究函数的单调性得：当1a …时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当01a <<时，()f x 在(0,1-上单调递增，在(1-+上单调递减，在(1)++∞上单调递增．（2）由利用导数研究函数的极值得：令()2h x x ln x x =--，01x <<，则只需证明3()2h x -<<-，由于()h x ln x '=<，故()h x 在(0,1)上单调递减，所以()h x h>（1）3=-．又当01x <<时，11ln x-<-，(1)0x ln x-<，故()2(1)22h x x l n x x x l n x =--=--<-，所以对任意的01x <<，3()2h x -<<-．得解．【解答】解：（1）由题得22()2a xx a f x x x x -+'=-+=，其中0x>，考察2()2g x x x a=-+，0x>，其中对称轴为1x =，△44a=-．①若1a …，则△0…，此时()0g x …，则()0f x '…，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；②若01a <<，则△0>，此时220x x a -+=在R 上有两个根11x =-21x =+121x x <<<，所以当1(0,)x x ∈时，()0g x >，则()0f x '>，()f x 单调递增；当1(x x ∈，2)x 时，()0g x <，则()0f x '<，()f x 单调递减； 当2(x x ∈，)+∞时，()0g x >，则()0f x '>，()f x 单调递增，综上，当1a …时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当01a <<时，()fx 在(0,1-上单调递增，在(1-+上单调递减，在(1)++∞上单调递增．（2）证明：由（1）知，当01a <<时，()f x 有两个极值点1x ，2x ，且122x x +=，12x x a=，所以11111()()22()2()()[()2]2()()(22)4222222f x f x x x a ln x x x a ln x x x x x a ln x ln x x x x x x x a ln x x a a ln a a ln a a +=-++-+=+-+++=+--++=--+=--．令()2h x x ln x x =--，01x <<，则只需证明3()2h x -<<-，由于()h x ln x '=<，故()h x 在(0,1)上单调递减， 所以()h x h>（1）3=-．又当01x <<时，11ln x -<-，(1)0x ln x -<，故()2(1)22h x xln x x x ln x =--=--<-， 所以对任意的01x <<，3()2h x -<<-．综上，可得123()()2f x f x -<+<-，故命题得证．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性及极值，属综合性较强的题型．33．求曲线32312yx x=--+在1x =处的切线的倾斜角．【分析】求出函数在1x =出的斜率，再由斜率与倾斜角之间的关系，即可解出．【解答】解：233y x x '=--所以函数在1x=处的导数为：故该直线的斜率k =，设直线的倾斜角为α，则ta n α=[0α∈，)π，∴23πα=．【点评】本题考查了导数的应用，直线的斜率与倾斜角之间的关系，属于基础题．。

导数的几何意义命题人：刘春来时间： 9.18 姓名：学号：1．曲线 ye x 在点 A （ 0,1）处的切线斜率为（）A.1B.2C.e1D.e2．若曲线 y ＝ 在点 (a ，)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则 a 等于 ()A ．64B ．32C ．16D ．843．已知点 P 在曲线 y ＝ e x ＋ 1上， α为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 α的取值范围是 ()π B ．( π πA ．(0， ) ， )4 4 2 π 3π D ．[ 3πC ．( ， ) ， π)2 4 4 4．曲线 y ＝ e x 在点 (2， e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()9 22A. 4eB ．2eC ．e 2e 2D. 25．若函数 f(x)＝ e x ＋ ae －x 的导函数是奇函数， 并且曲线 y ＝ f(x)的一条切线的斜率是3，则切点的横坐标2是()ln 2ln 2A ．－ 2B ．－ ln 2 C. 2 D ． ln 2 6．如图是函数 f ( x ) 及 f ( x ) 在点 P 处切线的图像，则 f (2) ＋ f ′(2) ＝ ________.7． 若曲线 f(x) ＝x 4 －x 在点 P 处的切线平行于直线 3x － y ＝0，则点 P 的坐标为 ________． 8．若点 P 是曲线 f( x)＝ x 2－ ln x 上任意一点，则点P 到直线 y ＝ x － 2 的最小距离为 ________．9．设点 P 是曲线 y＝x3－x2－ 3x－ 3 上的一个动点，则以P 为切点的切线中，斜率取得最小值时的切3线方程是 __________________ ．13410.已知曲线 y＝ x＋ .33(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求满足斜率为 1 的曲线的切线方程．12．已知曲线y＝123在 x＝ x0处的切线互相垂直，求x0的值．6x － 1与 y＝ 1＋ x113．已知函数f(x)＝2x2－ aln x(a∈ R)．(1)若函数 f(x)的图象在x＝ 2 处的切线方程为y＝ x＋ b，求 a， b 的值；(2)若函数 f(x)在 (1，＋∞ )上为增函数，求 a 的取值范围．。

【稳固练习】一、选择题1．一个物体的运动方程为 s 1 t t 2 此中 s 的单位是米， t 的单位是秒，那么物体在3 秒末的刹时速度是（）A ． 7米 /秒B ． 6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒32．（ 2014 东昌府区校级二模）若点P 在曲线 y x 3 3x 2(3 3) x上挪动，经过4点 P 的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（）A. 0,B.0, U2 ,22 3 C.2,D.0, U , 2332 2 3. 函数 yf ( x) 在 x x 0 处的导数 f / ( x 0 ) 的几何意义是（）A 在点 x x 0 处的函数值B在点 ( x 0 , f (x 0 )) 处的切线与 x 轴所夹锐角的正切值C曲线 y f ( x) 在点 (x 0 , f (x 0 )) 处的切线的斜率D点 ( x 0 , f ( x 0 )) 与点（ 0， 0）连线的斜率 .4．（ 2015 春 湖北校级期末）已知函数y=3x 4+a ，y=4x 3，若它们的图象有公共点，且在公共 点处的切线重合，则切斜线率为（） A ． 0B ． 12C ．0 或 12D ．4或15．已知函数 f ( x) x 3 的切线的斜率等于1，则其切线方程有（）A ．1 条B ．2 条C ．多于 2条D ．不确立6.（ 2015上饶三模）定义：假如函数f (x) 在 [a ， b]上存在 x 1， x 2（ a ＜ x 1＜ x 2＜ b ）知足f ' (x 1)f (b) f (a)， f '( x 2 )f (b)f ( a)，则称函数 f ( x) 在 [a ， b]上的“双中值函b ab a数”。

已知函数 f ( x) x 3 x 2 a 是 [0， a]上的“双中值函数”，则实数a 的取值范围是（）A ． (1,1)B ．(3,3)C ． (1,1)D ．(1,1)3 2223二、 填空题7．曲线 yf ( x) 在点 ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线方程为 3x+y+3=0 ，则 f '( x 0 ) ________0。

2.2导数的概念及其几何意义（讲义+典型例题+小练）一．导数的定义：0000000()()()'()'|lim()()()'()'limx x x x f x x f x y f x x x f x y xf x x f x y f x f x y x=∆→∆→+∆-====∆+∆-===∆1.(1).函数在处的导数: (2).函数的导数:2.利用定义求导数的步骤：①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③取极限得导数：00'()lim x yf x x∆→∆=∆例1：1．设()()22lim2x f x f x x∆→+∆--∆=-∆，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线的倾斜角是（ ） A ．4π B ．3π C ．34π D ．23π 【答案】C 【分析】根据导数的概念可得()21f '=-，再利用导数的几何意义即可求解. 【详解】 因为()()()022lim222x f x f x f x∆→+∆--∆'==-∆，所以()21f '=-，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线斜率为1-，故所求切线的倾斜角为34π. 故选：C2．已知函数()y f x =在0x x =处的导数为1，则()()000lim 2x f x x f x x∆→+∆-=∆（ ）A ．0B ．12C ．1D ．2【分析】由已知结合导数的定义即可直接求解. 【详解】解：因为函数()y f x =在0x x =处的导数为1， 则()()()()()0000000111limlim 2222x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆.故选：B . 【点睛】本题考查导数的概念，涉及极限的性质，属于基础题．举一反三：1．设()f x 是可导函数，且()()000lim 2x f x x f x x∆→+∆-=-∆，则0()f x '=（ ）A ．2B ．1-C ．1D ．2-【答案】D 【分析】由导数的定义可得()()0000lim ()x f x f x f x x x∆→+-'=∆∆，即可得答案．【详解】 根据题意，()()0000lim()2x f x f x f x x x∆→∆+-'==-∆，故0()2f x '=-. 故选：D ． 【点睛】本题考查导数的定义，属于基础题． 2．若()02f x '=，则()()000lim2h f x h f x h→+-=______．【答案】1 【解析】 【分析】根据导数的几何定义即可计算.()()()()()000000011limlim 1222h h f x h f x f x h f x f x h h →→+-+-'===．故答案为：1.二．导数的几何意义：函数()f x 在0x 处导数的几何意义，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的斜率是()0k f x '=。

导导导导导导导导导导导导导一、单选题1. 函数f(x)=1x2在点A(12,4)处的切线与两坐标轴围成的图形面积是( )A. 12B. 9C. 34D. 922. 曲线y=x2上哪点处的切线的倾斜角为π4( )A. (0,0)B. (2,4)C. (12,14) D. (14,116)3. 已知曲线y=x3−2x在点P处的切线与直线y=x+8平行，则点P的坐标为( )A. (1,−1)B. (2,4)C. (1,−1)或(−1,−1)D. 以上都不对4. 曲线y=2x2+1在点P(−1,3)处的切线方程为A. y=−4x−1B. y=−4x−7C. y=4x−1D. y=4x+75. 若直线3x+y−a=0是曲线y=12x2−4lnx的一条切线，则实数a=( )A. 12B. 32C. 52D. 72二、填空题6. 曲线y=x−cosx在点(π2,π2)处的切线方程为________．7. 函数f(x)=e x+e在点(1,f(1))处的切线方程为______．8. 曲线y=x3−4x在点(1,−3)处的切线倾斜角为__________．三、解答题9. 已知函数f(x)=e x−lnx+1.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．10. 已知函数f(x)=x3+ax+b的图象是曲线C，直线y=kx+1与曲线C相切于点(1,3)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的递增区间．答案和解析1.解： ∵ f(x)=x −2，∴ f′(x)=−2x −3，∴f ′(12)=−16， ∴函数 y =f(x)在点A (12,4)处的切线的斜率为−16， ∴函数 y =f(x)在点A (12,4)处的切线方程为 16x +y −12=0，当x =0时，得y =12，当y =0时，得x =34， ∴与两坐标轴围成的图形面积是 12×12×34=92．故选D ． 2.解：因为函数的导数为：f′(x)=2x ，又因为切线的倾斜角为π4，所以切线的斜率k =tan π4=1，即f′(x)=1，所以2x =1，解得x =12．当x =12时，y =(12)2=14．即切点为(12,14)．故选C ． 3.解：由题意可知：函数y =x 3−2x 的导函数为y′=3x 2−2，∵过P 点的切线与直线y =x +8平行，∴3x 2−2=1，解得x =±1，当x =1时，y =−1，此时切线方程为y =x −2;当x =−1时，y =1，此时切线方程为y =x +2，所以点P 的坐标是(1,−1)或(−1,−1)．4.解：令y =f (x )，则f (x )=2x 2+1，所以f′(x )=4x ，所以f′(−1)=−4．由导数的几何意义可得k =f′(−1)=−4，又切点(−1,3)，所以切线方程为y −3=−4(x +1)． 即y =−4x −1．故选A ．5.解：因为y =12x 2−4lnx ，所以y ′=x −4x ，直线3x +y −a =0，即直线y =−3x +a 为是曲线y =12x 2−4lnx 的一条切线，则令x −4x =−3，即x 2+3x −4=0，得x =1或x =−4(舍去)，将x =1带入y =12x 2−4lnx 得y =12，所以切点是(1,12)，代入3x +y −a =0，得3+12−a =0，a =72．故选D ． 6.解：，则，所以 f ′ )=1+1=2， 所以曲线y =x −cosx 在点(π2,π2)处的切线方程为， 即y =2x −π2，故答案为y =2x −π2． 7.解：∵f (x )=e x +e ，f (1)=2e ，f′(x )=e x ，k =f′(1)=e ，∴切线的方程为：y −2e =e (x −1)，即y =ex +e ，故答案为：y =ex +e ．8.解：由题意可得y′=3x 2−4，可得y′|x=1=−1，故切线的斜率为−1，切线的倾斜角为34π． 9.解(1)由题意知函数f(x)=e x −ln x +1，则f′(x)=e x −1x ，所以曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率f′(1)=e −1，又f(1)=e +1所以曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y −(e +1)=(e −1)(x −1)， 即y =(e −1)x +2．(2)由(1)知曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y =(e −1)x +2， 所以切线在x 轴、y 轴上的截距分别为21−e、2， 故曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为12×2e−1×2=2e−1． 10.解：(1)因为切点坐标为(1,3)，所以k +1=3，所以k =2，因为f′(x)=3x 2+a ，所以f′(1)=3+a =2，所以a =−1，所以f(x)=x 3−x + b ，由f(1)=3，得b =3，所以f(x)=x 3−x +3．(2)因为f(x)=x 3−x +3，所以f′(x)=3x 2−1，令3x 2−1>0，解得x <−√33或x >√33， 所以函数f(x)的递增区间为(−∞,−√33)，(√33,+∞)．。

导数的几何意义（1）1.设f(x)＝1x，则limx→af x－f ax－a等于( )A．－1aB.2aC．－1a2D.1a22．在曲线y＝x2上切线倾斜角为π4的点是( )A．(0,0) B．(2,4)C．(14，116) D．(12，14)3．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝( )A．1 B.1 2C．－12D．－14．若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处切线方程为2x＋y＋1＝0，则( )A．h′(a)<0 B．h′(a)>0C．h′(a)＝0 D．h′(a)的符号不定5．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s＝18t2，则当t＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )A. 2B. 1C.12D.146．函数f (x )＝－2x 2＋3在点(0,3)处的导数是________．7．如图是函数f (x )及f (x )在点P 处切线的图像，则f (2)＋f ′(2)＝________.8．设曲线y ＝x 2在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为________．9．已知曲线y ＝2x 2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程．10．求双曲线y ＝1x 在点(12，2)处的切线的斜率，并写出切线方程．导数的几何意义（2）1．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＞0B ．f ′(x 0)＜0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在2．函数在处的切线斜率为（ ） A ．0 B 。

1 C 。

2 D 。

33．曲线y ＝12x 2－2在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32处切线的倾斜角为( )A ．1B.π4 C.54πD ．－π44．在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为π4的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 5．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0 f (1)－f (1－2x )2x＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( ) A ．2 B ．－1 C ．1D ．－26．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x轴斜交7．函数在点处的导数的几何意义是__________________________________________________;曲线在点P处的切线方程为是_____________________________________________.8．已知函数f(x)＝x2＋3，则f(x)在(2，f(2))处的切线方程为_________________________9．求过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程10．若曲线f(x)=ax3+3x2+2在x=-1处的切线斜率为4，求a的值。

高二数学导数的几何意义试题答案及解析1. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（Ⅰ）. （Ⅱ）当时，在R 上单调递增；当时，在和内单调递增，在内单调递减.【解析】（1）当a=1时，直接求出即是切线的斜率，然后写出点斜式方程，再化成一般式. （2）先求导，然后根据导数大（小）于零，确定其单调增（减）区间.要注意讨论a 的取值范围. （Ⅰ）当时，. 2分 所以曲线在点处的切线斜率是 3分 因为 所以曲线在点处的切线方程是，即. 5分 （Ⅱ）令，得. 7分 ①当时，，故在R 上为增函数. 9分 ②当，即时，列表分析如下：＋－＋所以函数在和内单调递增，在内单调递减. 13分 综上，当时，在R 上单调递增；当时，在和内单调递增，在内单调递减.2. （本小题满分14分） 已知函数（1）求函数在点（1，f(1)）处的切线方程. （2）求函数的单调区间和极值.【答案】（2），，【解析】(i)先求出f(x)在x=1处的导数值，也就是切线的斜率，再写出点斜式方程化成一般式方程即可.（2）直接求导，利用导数大（小）于零求出单调增（减）区间.进而可以确定极值，同时要注意函数的定义域.解：（2），3.曲线f(x)= x3+ x－2在P点处的切线平行于直线y=4x－1，则P点坐标（）A．(1,0);B．(2,8);C．(1,0)和(－1,－4);D．(2,8)和(－1,－4)【答案】C【解析】4.（本小题满分15分）已知函数,曲线在点处的切线为若时，有极值.（1）求的值；（2）求在上的最大值和最小值.【答案】（1）（2）在上的最大值为13，最小值为【解析】曲线在点处的切线为可以得出切线斜率，再根据点在切线上，得出点坐标，从而求得a,b关系式；时，有极值，得导数在处为0，得出的值；要求在上的最大值和最小值，需判断函数在上的单调性。

解：（1）由,得………………1分当时，切线的斜率为3，可得①…………2分当时，有极值，则,可得② ……4分由①②解得:……………………………………5分由于切点的横坐标为．…………………………………………8分（2）由（1）可得,∴令,得．………………10分当变化时，,′的取值及变化如下表：-3-21′+-+8单调递增 ↗13单调递减 ↘单调递增 ↗4∴在上的最大值为13，最小值为………………15分5. 曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】解：∵y="1/" 3 x 3+x ，∴y'=x 2+1∴f'（1）=2在点（1，4/ 3 ）处的切线为：y="2x-2" /3 与坐标轴的交点为：（0，2 /3 ），（1/ 3 ，0） S="1" /2 ×2/ 3 ×1 /3 ="1/" 9 ， 故答案为：1/ 9 ．6. (14分)设函数（1）当时，求的最大值；（2）令，以其图象上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，方程有唯一实数解，求正数的值．【答案】（1）的最大值为； (2)；（3）. 【解析】第一问利用当时，解得或（舍去） 当时，，单调增加，当时，，单调减少得到最值第二问中，由恒成立得恒成立因为，等号当且仅当时成立所以第三问中，时，方程即设，解 得(<0舍去)，在单调增加，在单调减少，最大值为因为有唯一实数解，有唯一零点，所以最后求解得到。

5.1.2导数的概念及其几何意义要点一 导数的概念1．平均变化率：对于函数y ＝f (x )，设自变量x 从x 0变化到x 0＋Δx ，则把Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 叫做函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率．2．导数：如果Δx →0时，平均变化率Δy Δx 无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx 有极限，则称y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，并把这个确定的值叫做y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f ′(x 0)或y ′|0x x ＝ ，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 【重点小结】(1)当Δx ≠0时，比值Δy Δx 的极限存在，则f(x)在x ＝x 0处可导；若ΔyΔx的极限不存在，则f(x)在x ＝x 0处不可导或无导数．(2)在x ＝x 0处的导数的定义可变形为f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx 或f ′(x 0)＝lim x →x 0 f (x )－f (x 0)x －x 0.要点二 导数的几何意义对于曲线y ＝f (x )上的点P 0(x 0，f (x 0))和P (x ，f (x ))，当 点P 0趋近于点P 时，割线P 0P 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线P 0T 称为点P 0处的切线．割线P 0P 的斜率是k ＝f (x )－f (x 0)x －x 0．当点P 无限趋近于点P 0时，k 无限趋近于切线P 0T 的斜率．因此，函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线P 0T 的斜率k ，即k ＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 【重点总结】(1)曲线的切线与割线①曲线的切线是由割线绕一点转动，当另一点无限接近这一点时割线趋于的直线． ②曲线的切线就是割线趋近于某一确定位置的直线，体现了无限趋近的思想． (2)曲线的切线与导数①函数f(x)在x ＝x 0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率． ②函数f(x)表示的曲线在点(x 0，f(x 0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝3x 在x ＝0处有切线，但不可导．曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线． 要点三 导函数对于 函数y ＝f (x )，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，当x 变化时，f ′(x )便是一个关于x 的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称为导数)，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx【重点总结】函数在某点处的导数与导函数的区别(1)函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数．(2)函数f(x)在x0处的导数就是导函数f ′(x)在x＝x0处的函数值．【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数f(x)在x＝x0处有意义，则f′(x0)存在．()(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．()(3)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相等．()(4)曲线f(x)＝x2在原点(0,0)处的切线方程为y＝0.()【答案】（1）×（2）×（3）×（4）√2．若函数f(x)＝－3x－1，则f′(x)＝()A．0 B．－3xC．3 D．－3【答案】D【解析】k＝li mΔx→0－3(x＋Δx)－1－(－3x－1)Δx＝－3.3．设曲线y＝x2＋x－2在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为() A．(0，－2) B．(1,0)C．(0,0) D．(1,1)【答案】B【解析】设点M(x0，y0)，∴k＝limΔx→0(x0＋Δx)2＋(x0＋Δx)－2－(x20＋x0－2)Δx＝2x0＋1，令2x0＋1＝3，∴x0＝1，则y0＝0.故选B.4．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.【答案】2【解析】点(5，f(5))在切线y＝－x＋8上，∴f(5)＝－5＋8＝3.且f′(5)＝－1，∴f(5)＋f′(5)＝2.题型一 求函数在某点处的导数【例1】(1)已知函数f (x )＝2x 2＋4x ，则f ′(3)＝________. 【答案】(1)16【解析】(1)Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ， ∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx＝2Δx ＋16. ∴f ′(3)＝li m Δx →0(2Δx ＋16)＝16.(2)已知函数f (x )＝2x 2＋4x ，若f ′(x 0)＝12，则x 0＝________. 【答案】(2)2【解析】(2)根据导数的定义f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx ＝li m Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝li m Δx →2(x 0＋Δx )2＋4(x 0＋Δx )－(2x 20＋4x 0)Δx＝li m Δx →04x 0·Δx ＋2(Δx )2＋4ΔxΔx ＝li m Δx →(4x 0＋2Δx ＋4)＝4x 0＋4，∴f ′(x 0)＝4x 0＋4＝12，解得x 0＝2.【方法归纳】用导数定义求函数在某一点处的导数的三个步骤 (1)作差Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． (2)作比Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(3)取极限f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx. 简记为一差、二比、三极限．【跟踪训练1】已知函数f (x )＝x ＋1x，则f ′(1)＝________.【答案】0【解析】f ′(1)＝lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0⎣⎡⎦⎤(1＋Δx )＋11＋Δx －(1＋1)Δx＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫Δx ＋11＋Δx －1Δx＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫1－11＋Δx ＝0题型二 求曲线的切线方程【例2】已知曲线y ＝13x 3，求曲线在点P (3,9)处的切线方程．【解析】由y ＝13x 3，得y ′＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →013(x ＋Δx )3－13x 3Δx＝13li m Δx →3x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3Δx＝13li m Δx →[3x 2＋3xΔx ＋(Δx )2]＝x 2， y ′|x ＝3＝32＝9，即曲线在P (3,9)处的切线的斜率等于9. 由直线的点斜式方程可得，所求切线方程为y －9＝9(x －3)， 即9x －y －18＝0.【变式探究】本例条件不变，求曲线过点M (1,0)的切线方程．【解析】设切点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30，由例2知切线方程为：y －13x 30＝x 20(x －x 0) ∵切线过点(1,0)， ∴－13x 30＝x 20(1－x 0)即23x 30－x 20＝0，解得x 0＝0或x 0＝32. ∴切点坐标为(0,0)或⎝⎛⎭⎫32，98，∴切线方程为：y ＝0或y －98＝94⎝⎛⎭⎫x －32. 即y ＝0或9x －4y －9＝0. 设切点，写出切线方程，已知点代入，求切点． 【方法归纳】1．求曲线上某点切线方程的三个步骤2．过曲线外的点P (x 1，y 1)求曲线的切线方程的步骤 (1)设切点为Q (x 0，y 0)．(2)求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)．(3)利用Q 在曲线上和f ′(x 0)＝k PQ ，解出x 0，y 0及f ′(x 0)． (4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． 【跟踪训练2】已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程；(2)试问(1)中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，说明理由． 【解析】将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，所以切点为(1,1)． Δy Δx ＝(1＋Δx )3－13Δx ＝3Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3Δx＝3＋3Δx ＋(Δx )2， 当Δx 趋近于0时，ΔyΔx趋近于3，所以y ′|x ＝1＝3.故所求切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2＝0，y ＝x 3，可得(x －1)2(x ＋2)＝0，解得x 1＝1，x 2＝－2.从而求得公共点为(1,1)，(－2，－8)．故(1)中的切线与曲线C 的公共点除切点(1,1)外，还有点(－2，－8)． 题型三 导数几何意义的应用 探究1 求切点坐标【例3】已知曲线y ＝x 2＋6的切线分别符合下列条件，求切点． (1)平行于直线y ＝4x －3； (2)垂直于直线2x －y ＋5＝0. 【解析】设切点坐标为(x 0，y 0)．f ′(x )＝li m Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝li m Δx →0 (x ＋Δx )2＋6－(x 2＋6)Δx＝li m Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .∴过(x 0，y 0)的切线的斜率为2x 0.(1)∵切线与直线y ＝4x －3平行，∴2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝x 20＋6＝10， 即过曲线y ＝x 2＋6上点(2,10)的切线与直线y ＝4x －3平行． (2)∵切线与直线2x －y ＋5＝0垂直，∴2x 0×2＝－1，得x 0＝－14，y 0＝9716，即过曲线y ＝x 2＋6上点⎝⎛⎭⎫－14，9716的切线与直线2x －y ＋5＝0垂直． 【方法归纳】求满足某条件的曲线的切点坐标的步骤(1)先设切点坐标(x 0，y 0)； (2)求导函数f ′(x )； (3)求切线的斜率f ′(x 0)；(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0； (5)点(x 0，y 0)在曲线f (x )上，将(x 0，y 0)代入求y 0得切点坐标．探究2 与曲线的切点相关的问题【例4】已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2. (1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴围成的三角形面积．【解析】(1)y ′＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋(x ＋Δx )－2－x 2－x ＋2Δx＝lim Δx →02xΔx ＋(Δx )2＋ΔxΔx＝lim Δx →0(2x ＋Δx ＋1)＝2x ＋1.所以y ′|x ＝1＝2×1＋1＝3，所以直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)， 则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.因为l 1⊥l 2，则有2b ＋1＝－13，b ＝－23，B ⎝⎛⎭⎫－23，－209，所以直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧x ＝16，y ＝－52.所以直线l 1和l 2的交点坐标为⎝⎛⎭⎫16，－52. l 1，l 2与x 轴交点的坐标分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫－223，0. 所以所求三角形的面积S ＝12×253×52＝12512.(1)先由已知求出l 1的斜率，再由l 1⊥l 2，求出l 2的斜率，进而求出切点坐标，得出l 2的方程． (2)求出l 1与l 2的交点坐标，l 1，l 2与x 轴的交点，求出直线l 1，l 2和x 轴围成的三角形的面积． 【方法归纳】利用导数的几何意义处理综合应用题的两种思路(1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．(2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量．【跟踪训练3】(1)已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( ) A ．f ′(x A )>f ′(x B ) B ．f ′(x A )＝f ′(x B ) C ．f ′(x A )<f ′(x B )D ．f ′(x A )与f ′(x B )大小不能确定 【答案】A【解析】由y ＝f (x )的图象可知，k A >k B ，根据导数的几何意义有f ′(x A )>f ′(x B )．故选A.(2)曲线f (x )＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴，直线x ＝a 围成的三角形的面积为16，则a ＝________.【答案】(2)±1【解析】(2)因为f ′(a )＝li m Δx →(a ＋Δx )3－a 3Δx ＝3a 2，所以曲线在点(a ，a 3)处的切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )．令y ＝0，得切线与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫23a ，0，由题意知三角形面积为12⎪⎪⎪⎪a －23a ·|a 3|＝12×⎪⎪⎪⎪a 3·|a 3|＝16a 4＝16.∴a 4＝1，即a ＝±1. 【易错辨析】求切线方程时忽略“过”与“在”的差异致错【例5】已知抛物线y ＝x 2＋x ＋1，则过抛物线原点的切线方程为________． 【答案】3x －y ＝0或x ＋y ＝0【解析】设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →(x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )＋1－(x 20＋x 0＋1)Δx＝lim Δx →0(2x 0＋1＋Δx )＝2x 0＋1，所以斜率k ＝2x 0＋1，故所求的切线方程为y －y 0＝(2x 0＋1)(x －x 0)，将(0,0)及y 0＝x 20＋x 0＋1代入上式得：－(x 20＋x 0＋1)＝－x 0(2x 0＋1)， 解得x 0＝1或x 0＝－1，所以k ＝3或k ＝－1，所以切线方程为y ＝3x 或y ＝－x ， 即3x －y ＝0或x ＋y ＝0. 【易错警示】 1.出错原因把原点当作切点，易求的是在原点处的切线方程. 2.纠错心得(1)看清楚求的是原点处的切线，还是过原点的切线． (2)过原点的切线，原点不一定是切点，需设切点为(x 0，y 0).一、单选题1．设()f x 在0x x =处可导，则()()000lim2h f x h f x h h→+--=（ ）． A ．()02f x ' B ．()012f x ' C ．()0f x ' D ．()04f x '【答案】C 【分析】根据导数的定义即可求解. 【解析】解：∵()f x 在0x 处可导， ∵()()()0000lim2h f x h f x h f x h→+--'=，故选：C.2．函数()y f x =在0x x =处的导数可表示为0x x y ='，即（ ）． A ．()()()000f x f x x f x =+∆-' B ．()()()0000lim x f x f x x f x ∆→'=+∆-⎡⎤⎣⎦ C ．()()()0000lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆D ．()()()000f x x f x f x x+∆-'=∆【答案】C 【分析】结合导数定义直接选择即可. 【解析】x x y ='是()0f x '的另一种记法，根据导数的定义可知C 正确．故选：C3．若函数()f x 在0x x =处可导，则()()000limh f x h f x h→+-的结果（ ）．A ．与0x ，h 均无关B ．仅与0x 有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与0x 无关D ．与0x ，h 均有关【答案】B 【分析】根据导数的定义即可求解. 【解析】 解：因为()()()0000limh f x h f x f x h→+-'=，所以结果仅与0x 有关，而与h 无关， 故选：B.4．设()f x 为可导函数，且满足0(1)(12)lim12x f f x x→--=-，则'(1)f 为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】B 【分析】利用导数的定义进行求解. 【解析】 因为0(1)(12)lim12x f f x x →--=-，所以20(1)(12)lim =12x f f x x→---，即20(12)(1)lim12x f x f x-→--=--所以'(1)1f =-. 故选：B.5．已知函数f (x )可导，且满足0(3)l (m 2i 3)x f f x x∆→-+∆=∆，则函数y ＝f (x )在x ＝3处的导数为（ ）A ．－1B ．－2C ．1D ．2【分析】根据导数的定义即可得到答案. 【解析】 由题意，()()()()()003333lim lim3x x f f x f x f f xx∆→∆→-+∆+∆-=-=-∆'∆，所以()32f '=-.故选：B.6．已知函数()f x 的图像如图所示，()f x '是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()()()()310132f f f f '<-'<< B ．()()()()310312f f f f -''<<< C ．()()()()310312f f f f '<-'<< D ．()()()()310132f f f f ''<<-< 【答案】B 【分析】结合图象，判断出()()()()310,3,,12f f f f ''-的大小关系. 【解析】由题图可知函数()f x 的图像在1x =处的切线的斜率比在3x =处的切线的斜率大，且均为正数，所以()()031f f ''<<. AB 的斜率为()()3131f f --，其比在1x =处的切线的斜率小，但比在3x =处的切线的斜率大，所以()()()()310312f f f f -''<<<. 故选:B7．已知函数()2ln 8f x x x =+，则()()121lim x f x f x∆→+∆-∆的值为（ ）A ．20-B ．10-C ．10D ．20【分析】根据导数的定义可得()()()0121lim 21x f x f f x∆→+∆='-∆，再用求导公式可得()28f x x'=+，代入1x =即可得解. 【解析】因为()2ln 8f x x x =+，所以()28f x x'=+， 所以()()()()()020121121lim2lim 21202x x f x f f x f f xx∆→∆→+∆-+∆-=∆'==∆.故选：D8．下列说法正确的是（ ）A ．曲线的切线和曲线有且只有一个交点B ．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点C ．若()0f x '不存在，则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处无切线D ．若曲线()y f x =在点()()00,x f x 处有切线，但()0f x '不一定存在 【答案】D 【分析】根据瞬时变化率和导数的基本概念对各选项逐一判断即可. 【解析】对于A ，曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，故A 错误；对于B ，过曲线上的一点作曲线的切线，由于曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，所以这个点不一定是切点，故B 错误；对于C ，()0f x '不存在，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处切线的斜率不存在，但切线可能存在，故C 错误； 对于D ，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处有切线，但切线斜率可能不存在，所以()0f x '不一定存在，故D 正确. 故选：D二、多选题9．已知函数()f x 的图象如图所示，()f x '是()f x 的导函数，则下列数值的排序正确的是（ ）A ．()()32f f ''<B ．()()()332f f f '<-C ．()()()232f f f '<-D ．()()320f f -<【答案】AB 【分析】根据导数的几何意义可得()()23f f ''>，记()()22A f ，，()()33B f ，，作直线AB ，根据两点坐标求出直线AB 的斜率，结合图形即可得出()()()323f f f '->. 【解析】由函数的图象可知函数()f x 是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在2x =处的切线斜率1k 大于在3x =处的切线斜率2k ，所以()()23f f ''>； 记()()22A f ，，()()33B f ，，作直线AB ，则直线AB 的斜率()()()()323232f f k f f -==--，由函数图象，可知120k k k >>>，即()()()()23230f f f f ''>->>. 故选：AB10．(多选题)若函数f (x )在x ＝x 0处存在导数，则000()()limh f h x f x h→+-的值（ ）A ．与x 0有关B ．与h 有关C ．与x 0无关D ．与h 无关【答案】AD 【分析】由导数的定义进行判定. 【解析】由导数的定义，得：'0000()()lim()h f x f x f x hh →-=+，即函数f (x )在x ＝x 0处的导数与x 0有关，与h 无关. 故选:AD.11．甲､乙两个学校同时开展节能活动，活动开始后两学校的用电量()W t 甲（单位：kW h ⋅），()W t 乙（单位：kW h ⋅）与时间t （单位：h ）的关系如图所示，则一定有（ ）A ．甲校比乙校节能效果好B ．甲校的用电量在[]00,t 上的平均变化率比乙校的用电量在[]00,t 上的平均变化率小C ．两学校节能效果一样好D ．甲校与乙校在活动期间的用电量总是一样大 【答案】AB 【分析】根据切线斜率的实际意义判断AC 选项的正确性.根据平均变化率的知识确定B 选项的正确性.根据图象判断用电量是否“总是一样大”，由此判断D 选项的正确性. 【解析】由图可知，对任意的()100,t t ∈，曲线()W t 甲在1t t =处的切线斜率的绝对值比曲线()W t 乙在1t t =处的切线斜率的绝对值大，所以甲校比乙校节能效果好，A 正确，C 错误； 由图可知，()() 000W t W t -甲甲()()000W t W t -<乙乙，则甲校的用电量在[]00,t 上的平均变化率比乙校的用电量在[]00,t 上的平均变化率小，B 正确；由于曲线()W t 甲和曲线()W t 乙不重合，故D 错误. 故选：AB.12．（多选）设()f x 在0x 处可导，下列式子中与()0f x '相等的是（ ） A ．()()0002lim2x f x f x x x∆→--∆∆B ．()()000limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆C ．()()0002limx f x x f x x x∆→+∆-+∆∆D ．()()0002limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆【答案】AC 【分析】利用导数的定义对各选项逐一分析计算并判断作答. 【解析】 对于A ，()()()()()000000202222lim lim 22x x f x f x x f x x x f x x f x x x ∆→∆→--∆-∆+∆--∆'==∆∆，A 满足； 对于B ，()()()()()000000202lim 2lim 22x x f x x f x x f x x x f x x f x x x ∆→∆→+∆--∆-∆+∆--∆'==∆∆，B 不满足； 对于C ，()()()00002limx f x x f x x f x x∆→+∆-+∆'=∆，C 满足；对于D ，()()()()()000000302232lim 3lim 33x x f x x f x x f x x x f x x f x x x∆→∆→+∆--∆-∆+∆--∆'==∆∆，D 不满足. 故选：AC第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．某生物种群的数量Q 与时间t 的关系近似地符合10()9tt e Q t e =+.给出下列四个结论：①该生物种群的数量不会超过10；②该生物种群数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小； ③该生物种群数量的增长速度与种群数量成正比； ④该生物种群数量的增长速度最大的时间()02,3t ∈. 根据上述关系式，其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①②④ 【分析】对解析式上下同时除以t e ，结合反比例函数模型可判断①正确；对10()9tt e Q t e =+求导，()Q t '即为该生物种群数量的增长速度与时间的关系式，结合导函数特征和对勾函数模型可判断③错，②④正确 【解析】1010()991t t t e Q t e e ==++，因为0te >，故()911,t e+∈+∞，()100,1091t e ∈+，故该生物种群的数量不会超过10，①正确；由()28109090()()89191t tt t t t e e Q t Q t e e e e=⇒'=+++=+，显然该生物种群数量的增长速度与种群数量不成正比，③错；因为81tt e e +为对勾函数模型，故81tt e e+≥，当且仅当9t e =时取到等号，故811890t t e e++整体先增加后减小，当()03ln92,t =∈时，()Q t '最大，故②④正确， 综上所述，①②④正确， 故答案为：①②④ 14．若02)(=f x '，则00Δ0()(Δ)lim2Δx f x f x x x→-+=________.【答案】1- 【分析】利用导数的定义进行求解. 【解析】00Δ0()(Δ)lim2Δx f x f x x x→-+00Δ0(Δ)()1lim 2Δx f x x f x x →+-=- '01()2f x =-1=-.故答案为1-.15．已知函数f (x )，则()1f '＝________. 【答案】12 【分析】根据导数的定义即可得到答案. 【解析】()()()001111lim lim 21x x f x f f x x →→+∆-'====∆+∆+.故答案为：12.16．函数()f x 在R 上可导，且()02f '＝，x y R ∀∈，，若函数()()()f x y f x f y +＝成立，则()0f ＝________．【答案】1 【分析】令0y ＝，则有()()()0f x f x f ＝，再根据条件即可求出答案． 【解析】解：令0y ＝，则有()()()0f x f x f ＝，()02f '＝， ()f x ∴不恒为0， ()01f ∴＝，故答案为：1．四、解答题17．已知2()f x x =，利用2'(1)11,(1)2,Δ0.03f f x ====，求(1.03)f 的近似值. 【答案】1.06 【分析】将'(1)1,(1)2,Δ0.03f f x ===代入'000()()()f x x f x f x x +∆≈+⋅∆中计算即可得到答案.【解析】由'000()()()f x x f x f x x +∆≈+⋅∆，可知'(1.03)(1)(1)0.03120.03 1.06f f f ≈+⨯=+⨯=.18．已知某产品的总成本函数为22C Q Q =+，总成本函数在0Q 处导数()0f Q '称为在0Q 处的边际成本，用()0MC Q 表示.求边际成本(500)MC 并说明它的实际意义.【答案】(500)1002MC =，其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加1002. 【分析】利用导数的定义计算即可. 【解析】设500Q =时，产量的改变量为Q ∆，22(500)2(500)(5002500)C Q Q Q Q ∆+∆++∆-+⨯=∆∆ 1002Q =∆+，则0(500)lim (1002)1002Q MC Q ∆→=∆+=，即产量为500时的边际成本为1002，其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加1002.。