人教版高中数学选修1-1习题课件第三章 §3.1 3.1.3 导数的几何意义

1.f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.( × ) 2.求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0).( × ) 3.f′(x0)<f(x0).( × ) 4.曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( √ )
2 题型探究
PART TWO
一、求切线方程
例 1 已知曲线 C：y＝13x3＋43，求曲线 C 在横坐标为 2 的点处的切线方程.
可以无穷多.与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线.
知识点二 导函数的概念
1.定义：当x变化时， f′(x) 便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称
导数).
fx＋Δx－fx
2.记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝
lim
Δx→0
Δx
.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
(2)已知曲线f(x)＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则实数a的值 为 －7 .
解析 设点 P(x0,2x20＋a).
由导数的几何意义可得
f′(x0)＝ lim Δx→0
ΔΔxy＝Δlixm→0
2x0＋Δx2＋Δxa－2x20＋a＝4x0＝8，
∴x0＝2，∴P(2,8＋a). 将x＝2，y＝8＋a代入到8x－y－15＝0中，
二、求切点坐标及切线的倾斜角
例2 已知抛物线y＝2x2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标. (1)切线的倾斜角为45°；
解 设切点坐标为(x0，y0)，则 Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2， ∴ΔΔyx＝4x0＋2Δx， 当 Δx→0 时，ΔΔyx→4x0，即 f′(x0)＝4x0. ∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴斜率为tan 45°＝1. 即 f′(x0)＝4x0＝1，得 x0＝41，∴切点坐标为41，98.
∴切点的坐标为－32，4297或(2,3).
当切点为－32，4297时，有4297＝4×－23＋a，a＝12271.
当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，a＝－5.
∴当 a＝12271时，切点为－23，4297；当 a＝－5 时，切点为(2,3).
三、导数几何意义的应用
例3 (1)函数g(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是 A.0<g′(2)<g′(3)<g(3)－g(2) B.0<g′(3)<g(3)－g(2)<g′(2)
延伸探究
抛物线 y＝2x2＋1 在点－14，98处的切线的倾斜角是
3 4π
.(用弧度表示)
解析
y'
|
x=-
1
4
＝ lim42＋1＝－1，
设倾斜角为 α，α∈[0，π)，tan α＝－1，∴α＝34π.
反思 感悟
根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x0，y0). (2)求导函数f′(x). (3)求切线的斜率f′(x0). (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0. (5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标.
(2)切线平行于直线4x－y－2＝0；
解 ∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0， ∴k＝4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1， ∴切点坐标为(1,3).
(3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0.
解 ∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直， 则 k·－18＝－1，即 k＝8， 故f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2， ∴切点坐标为(2,9).
√C.0<g′(2)<g(3)－g(2)<g′(3)
D.0<g(3)－g(2)<g′(2)<g′(3)
解析 由函数g(x)的图象知， 当x≥0时，g′(x)>0且曲线的切线的斜率逐渐增大， ∴g′(x)单调递增，∴g′(2)<g′(3)， ∵g(x)上升的越来越快，∴g′(2)<g(3)－g(2)<g′(3)， ∴0<g′(2)<g(3)－g(2)<g′(3)，故选C.
第三章 §3.1 变化率与导数
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义. 2.会求简单函数的导函数. 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.
内容索引
NEI RONG SUO YIN
知识梳理 题型探究 随堂演练 课时对点练
1 知识梳理
PART ONE
跟踪训练2 已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及 切点坐标.
解 设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0).
∵f′(x)＝ lim Δx→0
fx＋Δx－fx Δx
＝ lim Δx→0
x＋Δx3－2x＋ΔxΔ2x＋3－x3－2x2＋3＝3x2－4x，
由题意可知 k＝4，即 3x20－4x0＝4，解得 x0＝－23或 x0＝2，
知识点一 导数的几何意义
1.切线的概念：如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于 确定的位置，这个确定位置的 直线PT 称为点P处的切线.
2.导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝
fx0＋Δx－fx0
lim
Δx→0
Δx
＝f′(x0).
3.切线方程： 曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) . 特别提醒：曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可能有多个，甚至
解 将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点P(2,4).
y′|x＝2＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
312＋Δx3＋43－13×23－43 Δx
＝ lim Δx→0
4＋2Δx＋13Δx2＝4，
∴k＝y′|x＝2＝4. ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
反思
感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤
跟踪训练1 曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是－3 .
解析
y′|x＝2＝ lim Δx→0
Δy Δx
＝ lim Δx→0
2＋Δx2＋Δx1－22－1＝Δlixm→0
(4＋Δx)＝4，
∴k＝y′|x＝2＝4. 曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线方程为y－5＝4(x－2)， 即y＝4x－3. ∴切线与y轴交点的纵坐标是－3.