习题课——导数运算及几何意义的综合问题人教A版高中数学选修课件

探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
解:(1)由题意得f'(x)=3x2+1,∴曲线y=f(x)在点(3,14)处的切线的斜率
为f'(3)=28.
∴切线的方程为28x-y-70=0.
(2)法一:设切点为(x0,03 +x0-16),
则直线 l 的斜率为 f'(x0)=302 +1,
∴直线 l 的方程为 y=(302 +1)(x-x0)+03 +x0-16.
于
.

解析:因为 f'(x)=aex+ ,
e + = e,
= 1,
1
由已知得
解得
- = e ,
= 0.
e
所以 a,b 的值分别是 1 和 0.
答案:1和0
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
导数几何意义的综合应用
例1已知函数f(x)=x3+x-16.
(1)求曲线y=f(x)在点(3,14)处的切线方程;
=2lim
ℎ→0
答案:B
2ℎ
=2f'(x0).
)
课前篇自主预习
9
【做一做 3】 曲线 y= 在点 M(3,3)处的切线方程是
.
9
解析:∵y'=- 2 ,∴y'|x=3=-1,

∴过点(3,3)的斜率为-1 的切线方程为 y-3=-(x-3),即 x+y-6=0.
答案:x+y-6=0
1
【做一做 4】 设 f(x)=aex+bln x,且 f'(1)=e,f'(-1)=e ,则 a,b 的值分别等

下课
解析 设点 P(x0,2x20＋4x0)，
则 f′(x0)＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2Δx2＋4Δxx0·Δx＋4Δx＝4x0＋4，
令 4x0＋4＝16 得 x0＝3，∴P(3,30).
课堂小结
作业
生活中没有什么可怕的东西，只有需 要理解的东西.
——居里夫人
谢谢观看
∴切点坐标为(1,3)．
(3)∵抛物线的切线与直线 x＋8y－3＝0 垂直，
则
－1 k· 8
＝－1，即
k＝8，
故 f′(x0)＝4x0＝8，得 x0＝2，∴切点坐标为(2,9)．
归纳总结
求切点坐标可以按以下步骤进行 (1)设出切点坐标； (2)利用导数或斜率公式求出斜率； (3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标； (4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．
率为
(C )
A.4
B.16
C.8
D.2
解析
f′(2)＝ lim Δx→0
f2＋Δx－f2 Δx
＝ lim Δx→0
22＋ΔΔxx2－8＝Δlixm→0
(8＋2Δx)＝8，即 k＝8.
2.若曲线 y＝x2＋ax＋b 在点(0，b)处的切线方程是 x－y＋1
＝0，则
(A )
A.a＝1，b＝1
B.a＝－1，b＝1
第三章 导数及其应用
3.1.2 导数的几何意义
1.理解函数切线的定义，掌握函数导数的几何意义 2.会用函数导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程
知识导学
1．导数的几何意义 (1)切线的概念：如图，对于割线 PPn，当点 Pn 趋近于点 P 时，

解得 x0＝1 或 x0＝－12. 故所求的切线方程为 y－1＝3(x－1)或 y＋18＝34(x＋12)， 即 3x－y－2＝0 或 3x－4y＋1＝0.
『规律方法』 1.求曲线在点P(x0，y0)处切线的步骤： (1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f ′(x0)； (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f ′(x0)(x－x0)． 2．过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤： (1)设切点为Q(x0，y0)； (2)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f ′(x0)；
1．导数的几何意义 (1)切线的定义 如 图 ， 对 于 割 线 PPn ， 当 点Pn趋近于点P时，割线PPn趋 近于确定的位置，这个确定位 置 的 __直__线__P__T__ 称 为 点 P 处 的 切线．
(2)导数的几何意义
导数的几何意义：函数 f(x)在 x＝x0 处的导数就是切线 PT 的斜率 k，即 k＝lim Δx→0
跟踪练习1
已知y＝f(x)的图象如图所示，则f ′(xA)与f ′(xB)的大小关系是( )A A．f ′(xA)>f ′(xB) B．f ′(xA)＝f ′(xB) C．f ′(xA)<f ′(xB) D．f ′(xA)与f ′(xB)大小不能确定 [解析] 由y＝f(x)的图象可知，在A，B点处的切线斜率kA>kB，根据导数的 几何意义有：f ′(xA)>f ′(xB)．
A．不存在
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴斜交
[解析] 曲线在点(x0，f(x0))的切线斜率为0，切线平行或重合于x轴．
2．(2020·福建福州高二检测)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x－ y＋1＝0，则( A )

f(x2)
B
f(x2)-f(x1)=△y
f(x1) O
A x2-x1=△xx
x1
x2
回顾
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限， 从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
Tn L1 L2 L3 L4
（3）函数f(x)在点x0处的导数就f (是x0导) 函数
f ( x)
在x=x0处的函数值，即。这也f是( x0 ) f ( x) |xx0
求函数在点x0处的导数的方法之一。
小结:
d.求切线方程的步骤： （1）求出函数在点x0处的变化率，f 得( x到0 )曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
(1)求函数的增量y f (x x) f (x);
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 :
y f (x x) f (x) ;
x
x
(3)求极限，得导函数y f (x) lim y . x0 x
看一个例子:
例4.已知y x，求y.
解：y x x x
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
3.1.3导数的几何意义
回顾
①平均变化率
函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2
平均变化率为:
f f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
Y=f(x)
②割线的斜率
y
k f f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
f (x) y lim y lim f (x x) f (x)

在 1.5 s 后，曲线在任何点的切线斜率都小于 0 且切线的倾 斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速度下 落，直到落地．
导数的几何意义是曲线的切线的斜率.反之，在曲线上取确 定的点，作曲线的切线，则可以根据切线斜率的符号及绝对值的 大小来确定曲线的升降情况及升降的快慢程度.
某斜坡在某段内的倾斜程度可以近似地用函数 y＝－x2＋ 4x32≤x≤2来刻画，试分析该段斜坡的坡度的变化情况．
(－4.9－4.9Δt)＝－4.9，
即在 t＝2 s 时，烟花正以 4.9 m/s 的瞬时速度下降．
如图，结合导数的几何意义，我们可以看出： 在 t＝1.5 s 附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速 度几乎为 0，达到最高点并爆裂；
在 0～1.5 s 之间，曲线在任何点的切线斜率都大于 0 且切线 的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来 越小的速度升空；
解析：ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0
＝x0＋Δx3－3x0＋ΔΔxx2＋1－x30＋3x20－1
＝(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x20－6x0.
所以
f′(x0)
＝
lim
[(Δx)2
＋
3x0Δx
－
3Δx
＋
3x
2 0
－
6x0]
＝
3x
20 －
Δx→0
6x0，于是 3x20－6x0＝9，解得 x0＝3 或 x0＝－1，
解：因为ΔΔyx＝[－x＋Δx2＋4xΔ＋xΔx]－－x2＋4x ＝－2x·Δx＋Δ4xΔx－Δx2＝－2x＋4－Δx，
所以 y′＝lim
Δx→0
ΔΔyx＝－2x＋432≤x≤2.
由于 y′＝－2x＋4 在区间32，2上是减函数，且 0≤y′≤1，

2 1
首页
课前预习案
课堂探究案
1
2
做一做4 若函数f(x)=2f'(1)ln x+3x,则f'(2)= ( A.1 B.-1 C.3 D.0
)
解析 由已知得 f'(x)=
2f '(1) +3, x
令 x=1,得 f'(1)=2f'(1)+3, 于是得 f'(1)=-3, 因此
6 f'(x)=- +3,故 x
课堂探究案
1
2
做一做1 若函数 则x0的值( ) A.等于0 B.等于1
ex y= 在 x
x=x0 处的导数值与函数值互为相反数,
C.等于2
ex 0 f(x0)= x . 0 e x 0 (x 0 -1) f'(x0)= x 2 , 0
1
D.不存在
解析 因为 又
ex y= x ,所以
ex · x -e x y'= x 2
=
e x (x -1) ,则 x2
ex0 依题意 f(x0)+f'(x0)=0,所以 x 0 1 故 2x0-1=0,得 x0=2.
+
e x 0 (x 0 -1) =0, x2 0
答案 C
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1
2
做一做2 已知直线y=kx+b与曲线f(x)=ax2+2+ln x相切于点P(1,4), 则b=( ) A.3 B.1 C.-1 D.-3 解析由点P(1,4)在曲线f(x)=ax2+2+ln x上可得a=2, 1 所以 f'(x)=4x+x , 所以曲线在x=1处的切线的斜率k=f'(1)=5, 因此切线方程为y=5x+b.由点P(1,4)在切线上,可得b=-1. 答案C

所以 f′(1)＝ln 1＋a＋1＝a＋1＝2，a＝1.
[方法技巧]
一般已知曲线上一点P(x0，y0)的切线与已知直线的关系(平行或垂直)，确定 该切线的斜率k，再求出函数的导函数，然后利用导数的几何意义得到k＝f′(x0) ＝tan α，其中倾斜角α∈[0，π)，根据范围进一步求得角α或有关参数的值．
数 f(x)的图象在点(0,1)处的切线斜率为－1，∴函数 f(x)的图象在点(0，f(0))处的
切线方程为 y＝－x＋1，即 x＋y－1＝0.故选 B.
答案：B
2．(2022·新课标Ⅱ卷)曲线 y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为________， ________.
解析：先求当 x>0 时，曲线 y＝ln x 过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)， 则由 y′＝1x，得切线斜率为x10，又切线的斜率为xy00，所以x10＝xy00，解得 y0＝1， 代入 y＝ln x，得 x0＝e，所以切线斜率为1e，切线方程为 y＝1ex.同理可求得当 x<0 时的切线方程为 y＝－1ex.综上可知，两条切线方程为 y＝1ex，y＝－1ex.
答案：y＝1ex y＝－1ex
高频考点二|求切点坐标
[例2] 已知函数f(x)＝xln x在点P(x0，f(x0))处的切线与直线x＋y＝0垂直， 则切点P(x0，f(x0))的坐标为________．
[解析] ∵f(x)＝xln x，∴f′(x)＝ln x＋1，由题意得f′(x0)·(－1)＝－1，即 f′(x0)＝1，∴ln x0＋1＝1，ln x0＝0，∴x0＝1，∴f(x0)＝0，即P(1,0)．
2．若函数f(x)＝ln x＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是
()

点(题型三)，都是导数几何意义的直接应用，即切点处的导数值就
是该切线的斜率．
3．已知曲线 C：y＝x3－3x2＋2x，直线 l：y＝kx，且直线 l 与 曲线 C 相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线 l 的方程及切点坐标．
【解析】直线 l 过原点，则 k＝xy00(x0≠0)，由点(x0，y0)在曲线
自主探究
1．能否认为过曲线上一点 P 的切线有且只有一条并且以这点为 切点？
【答案】这种说法不正确．过曲线上一点的切线可能不止一条， 这点也不一定是切点．如图：l1 与 l2 均是曲线的切线且均过 P 点，但 l1 与曲线的切点并非点 P.
2．f′(x0)与 f′(x)的区别是什么？
【答案】f′(x)是函数 f(x)的导函数，简称导数，是对一个区间 而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与 x0，Δx 无 关；f′(x0)表示的是函数 f(x)在 x＝x0 处的导数，是对一个点而言的， 它是一个确定的值，与给定的函数及 x0 的位置有关，而与 Δx 无关．
题型三 求切点坐标 【例 3】 已知曲线 y＝x2 在点 P 处的切线分别满足下列条件， 求 P 点坐标． (1)平行于直线 y＝4x－5； (2)与 x 轴成 135°的倾斜角．
思路点拨：设切点坐标，根据导数的几何意义求切线斜率，然 后利用两直线平行条件求切点坐标．
【解析】
∵f′(x)＝ lim Δx→0
(1)函数在一点处的导数，就是该点的函数值的改变量与相应 自变量的改变量的比值的极限．它是一个数值，不是一个变数．
(2)函数的导数，是对某一区间内任意一点 x 而言的． (3)函数 y＝f(x)在 x0 处的导数，就是导函数 f′(x)在 x＝x0 处的 函数值．

A.a＝1，b＝1
B.a＝－1，b＝1
C.a＝1，b＝－1
D.a＝－1，b＝－1
解析：f′(0)＝Δlixm→0Δx2＋aΔΔxx＋b－b＝a，
又 f′(0)＝1，∴a＝1.
f(0)＝b，∴0－b＋1＝0，∴b＝1，故选 A.
答案：A
4.(2019·四川棠湖月考)曲线 y＝－x3＋3x2 在点(1,2)处的切线
6.(2019·安徽六安检测)设函数 f(x)＝ax－bx，若曲线 y＝f(x) 在点(2，f(2))处的切线方程为 5x－4y－4＝0.
(1)求 f(x)的解析式； (2)求证：在曲线 y＝f(x)上任意一点处的切线与直线 x＝0 和 y＝x 所围成的三角形面积为定值，并求出此定值. 解：(1)由 f′(2)＝Δlixm→0a2＋Δx－2Δ＋xbΔx－2a＋b2＝a＋b4 ＝54，f(2)＝2a－b2＝32， 解得 a＝b＝1，∴f(x)＝x－1x.
(2)证明：设 P(x0，y0)为曲线上任一点，y0＝f(x0)＝x0－x10， 则 f′(x0)＝Δlixm→0x0＋Δx－xΔ0＋x1 Δx－x0＋x10＝1＋x102， ∴曲线在点 P(x0，y0)处的切线方程为 y－x0－x10＝1＋x102(x－x0)， 令 x＝0，得 y0＝－x20，令 y＝x，得 y＝x＝2x0， 所以点 P(x0，y0)处的切线与直线 x＝0，y＝x 所围成的三角 形的面积为 S＝12－x20|2x0|＝2.
叫位移公式)，那么导数 f′(x0)表示运动物体在时刻 t0 的速度， 即在 x0 的___瞬__时__速__度___，即 vx0＝f′(x0)＝Δlixm→0ΔΔyx.
3.如果 f(x)在开区间(a，b)内每一点 x 的导数都存在，则称 f(x)在区间(a，b)内可导.这样对开区间(a，b)内每一个值 x，都对 应一个确定的导数 f′(x)，于是在区间(a，b)内 f′(x)构成一个 新的函数，我们把这个函数称为函数 y＝f(x)的__导__函__数____，记 为_f_′__(x_)_或__(_y′ ___x、__y_′__)_，简称为_导__数___.今后，如不特别指明某 一点的导数，求导数就是指求导函数.

2．函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点 P(x0， f(x0))处__切__线__的__斜__率___，在点 P 的切线方程为__y_－__f_(x_0_)＝__f_′(_x_0_)(_x_－__x_0)____．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点．( ) (2)过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点．( ) (3)若 f′(x0)不存在，则曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)×
＝y′＝__Δl_ixm_→_0 ______Δ_x_________.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)与导函数 f′(x)之间是有区别的．( ) (2)导函数 f′(x)的定义域与函数 f(x)的定义域相同．( ) (3)函数 f(x)＝x2 的导数是 f′(x)＝2x.( ) (4)函数 f(x)＝0 没有导函数．( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)×
求切点坐标
过曲线 y＝x2 上哪一点的切线满足下列条件？ (1)平行于直线 y＝4x－5； (2)垂直于直线 2x－6x＋5＝0； (3)倾斜角为 135°. 【精彩点拨】 本题考查曲线的切线的有关问题．解题的关键是设出切点 的坐标，求出切线的斜率．
解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息 得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时要注意解析几何知 识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等．
导数几何意义的应用
[小组合作型]
如图 3－1－3，点 A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点 E 作 OB 的 垂线 l.记△AOB 在直线 l 左侧部分的面积为 S，则函数 S＝f(x)的图象为下图中的 ()