导数的几何意义习题课[学生用].doc

一元函数的导数及其应用(一) ---一元函数的导数的几何意义及应用一、知识要点：（一）一元函数的导数的几何意义:函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '的几何意义即为函数()y f x =在点00()P x y ，处的切线的斜率．（二）切线方程的计算： 1.在某点处的切线方程的计算：函数()y f x =在点00(())A x f x ，处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，抓住关键000()()y f x k f x =⎧⎨'=⎩． 2.过某点的切线方程的计算：设切点为00()P x y ，，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-， 又因为切线方程过点()A m n ，，所以000()()n y f x m x '-=-，然后解出0x 的值（0x 有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． （三）利用导数的几何意义求参数的基本方法：利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围．（四）利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：1.函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．2.切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．3.曲线()y f x ＝“在”点00(,)P x y 处的切线与“过”点00(,)P x y 的切线的区别：曲线()y f x ＝在点00(,)P x y 处的切线是指点P 为切点，若切线斜率存在，切线斜率为()0k f x '＝，是唯一的一条切线；曲线()y f x ＝过点00(,)P x y 的切线，是指切线经过点P ，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．（五）求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点1.注意曲线上横坐标的取值范围；2.谨记切点既在切线上又在曲线上。

导数的几何意义（导数与切线）【考纲要求】（1）了解导数概念的实际背景.（2） 通过函数图像直观理解导数的几何意义. （3） 根据导数的定义求基本函数的导数.（4） 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如)(b ax f +的复合函数）的导数. 【命题规律】导数的运算是导数应用的基础，一般较少直接考查，而导数的几何意义----切线问题是高考考查的热点.预计2017年的高考将会继续保持稳定，坚持考查导数的几何意义，命题形式会更加灵活、新颖． 【典型高考试题变式】 （一）求函数的导函数例1.【2017浙江高考改编】已知函数()()x 1f x x-2x-1e x 2-⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，求()f x 的导函数.【答案】（I ）()()()12121()221x x x e f x x x ----=>-'；【方法技巧归纳】求函数的导函数要做到：1.基本初等函数的导函数相当熟悉；2.导函数的四则运算要熟练.另外，在求导的过程中，要注意对原式进行变形，使得便于我们求导.【变式1】【函数中含有参数，利用某函数值的导数求参数的值】【2015天津卷（文）】已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ，其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为 ．【答案】3【解析】因为()()1ln f x a x '=+ ,所以()13f a '==.【变式2】【2017江西太原高三模考一（文）改编题】已知函数()()()2102x f f f x e x x e '=+-，则)(x f 的最小值为___________________.【答案】1（二）导数的几何意义例2.【2017天津卷（文）】已知a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图像在点()()1,1f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 .【答案】1【解析】(1)f a =，切点为(1,)a ，1()f x a x'=-，则切线的斜率为(1)1f a '=-，切线方程为：(1)(1)y a a x -=--，令0x =得出1y =，l 在y 轴的截距为1.【方法技巧归纳】切线的斜率就是函数在切点处的导数，倾斜值的正切值就是斜率.【变式1】【2017四川乐山第三次调研考试（理）】已知曲线()221x x f x e e ax =-+-存在两条斜率为3的切线，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()3,+∞B. 73,2⎛⎫⎪⎝⎭C.7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D. ()0,3 【答案】B【解析】由题得()222x x f x e e a '=-+，则方程2223x x e e a -+=有两个解，令x t e =，且()2223g t t t a =-+-，则由图象可知，有()0g t >且0∆>，即30a ->且()4830a -->，解得732a <<，故选B. 【变式2】【2017安徽宣城六校联考改编题】过函数()3213f x x x =-图象上一个动点作函数的切线,则切线倾斜角的范围为A. 3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.π3π0,,π24⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C. 3π[,π) 4D. π3π(,24⎤⎥⎦ 【答案】B【解析】由题意得()22k f x x x ==-'=()2111x --≥-,即tan α1k =≥-,解得πα02≥≥或3παπ4≤≤.即切线倾斜角的范围为π3π0,,π24⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.故选B. 【变式3】【2015陕西卷（理）】设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为 ． 【答案】()1,1【变式4】【【2014江苏】在平面直角坐标系中，若曲线（为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则. 【答案】【解析】曲线过点，则①，又，所以②，由①②解得所以．（三）在一点处的切线方程例3.【2017全国1卷（文）】曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为_________________________.【答案】1y x =+【解析】设()y f x =，则()212f x x x -'=，所以()1211f ='-=， 所以曲线21y x x=+在点()1,2处的切线方程为()211y x -=⨯-，即1y x =+． 【方法技巧归纳】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设()00,P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 为切点的切线方程是()()000y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．【变式1】【2016全国3卷（理）】已知()f x 为偶函数，当0x <时，()()ln 3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点()1,3-处的切线方程是__________．【答案】21y x =--【变式2】【增加例题中函数的参数，求参数的取值】【2017届衡水中学押题卷3（文）改编题】已知函数()()1e x f x bx a =-+（a ， R b ∈）.若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y x =，求a ， b 的值分别为________.【答案】2,1【解析】函数()f x 的定义域为R ，()()e 1e x x f x b bx =+-' ()1e x bx b =+-. 因为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y x =，所以()()00,{01,f f '==得10,{11,a b -=-=解得1,{ 2.a b ==（四）过一点的切线方程例4.【2015全国1卷（理）改编题】已知函数，．（1）当为何值时，轴为曲线的切线.【答案】（Ⅰ）；【解析】（Ⅰ）设曲线与轴相切于点，则，，即，解得.因此，当 时，轴是曲线的切线.【方法技巧归纳】对于曲线)(x f y =上“过”点),(n m 的切线问题，一般要先设切点),(00y x ，于是切线为))(('0m x x f n y -=-，再根据切点在曲线上得)(00x f y =，切点在切线上得))(('000m x x f n y -=-.列方程组，可得切点的值.【变式1】【2017甘肃第二次高考诊断考试（理）】若P 是函数()()()1ln 1f x x x =++图象上的动点，点()1,1A --，则直线AP 斜率的取值范围为（ ）A. [)1,+∞B. []0,1C. (1,e e -⎤⎦D. (1,e -⎤-∞⎦【答案】A切线过点()1,1-- ，则： ()()()()000011ln 1ln 111x x x x ⎡⎤--++=++--⎣⎦ ， 解得： 00x = ，切线的斜率()0ln 111k x =++= ， 综上可得：则直线AP 斜率的取值范围为[)1,+∞ .（五）两曲线的公切线例5.【2016全国2卷（理）】若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，则b = ．【答案】1ln2-【解析】ln 2y x =+的切点为()11ln +2x x ，，则它的切线为111ln 1y x x x =⋅++.()ln 1y x =+的切点为()22ln +2x x ，，则它的切线为：()22221ln 111x y x x x x =++-++，所以()122122111ln 1ln 11x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩，解得112x =，212x =-，所以1ln 11ln 2b x =+=-．【方法技巧归纳】两曲线有公共切线，一般可以分别求出两曲线的切线，然后说明这两直线重合；或者先求出其中一条曲线的切线，然后说明其也和另一曲线相切.【变式1】【2015全国2卷】已知曲线ln y x x =+在点)1,1(处的切线与曲线1)2(2+++=x a ax y 相切，则a = ．【答案】8 【解析】由11y x'=+可得曲线ln y x x =+在点)1,1(处的切线斜率为2,故切线方程为21y x =-,与1)2(2+++=x a ax y 联立得220ax ax ++=,显然0a ≠,所以由2808a a a ∆=-=⇒=.【变式2】【2017河南六市第二次联考（理）】若曲线21:(0)C y ax a =>与曲线2:x C y e =存在公共切线，则a 的取值范围为__________．【答案】2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】由y =ax 2(a >0),得y ′=2ax ，由y =e x ,得y ′=e x ，曲线C 1:y =ax 2(a >0)与曲线C 2:y =e x 存在公共切线，设公切线与曲线C 1切于点(x 1,ax 12),与曲线C 2切于点()22,x x e ，则22211212x x e ax ax e x x -==-， 可得2x 2=x 1+2，∴11212x ea x += ， 记()122x ef x x+=，则()()1222'4x e x f x x +-= ，当x ∈(0,2)时,f ′(x )<0,f (x )递减；当x ∈(2,+∞)时,f ′(x )>0,f (x )递增. ∴当x =2时, ()2min 4e f x =.∴a 的范围是2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【数学思想】无限逼近的极限思想 （1）由0()()'()limx f x x f x f x x∆→+∆-=∆可以知道，函数的导数是函数的瞬时变化率，函数的瞬时变化率是平均变化率的极限，充分说明极限是人们从近似中认识精确的数学方法.极限的实质就是无限近似的量，向着有限的目标无限逼近而产生量变导致质变的结果，这是极限的实质与精髓，也是导数的思想及其内涵.（2）曲线的切线定义，充分体现了运动变化及无限逼近的思想：“两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合(切点)”⇒“割线→切线”.（3）在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程，在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点． 【处理导数的几何意义问题注意点】(1)对于曲线切线方程问题的求解，对函数的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握．(2)对于已知的点，应首先认真审题,对于确定切线的方程问题，要注意区分“该曲线过点P 的切线方程”与“该曲线在点P 处的切线方程”的两种情况，避免出错.从历年高考题看，“该曲线在点P 处的切线方程”问题的考查较为普遍.【典例试题演练】1．【2017宁夏银川一中高三二模（文）】已知在平面直角坐标系中，曲线()ln f x a x x =+在x a =处的切线过原点，则a =A. 1B. eC. 1eD. 0 【答案】B2．【2017辽宁沈阳东北育才学校第九次模拟考试（理）】已知函数()xaf x x e =- (0)a >，且()y f x =的图象在0x =处的切线l 与曲x y e =相切，符合情况的切线A. 有0条B. 有1条C. 有2条D. 有3条 【答案】A【解析】函数f (x )= x ax e -的导数为f ′(x )=1−1x ae a，a >0.易知,曲线y =f (x )在x =0处的切线l 的斜率为1−1a ,切点为(0,−1)， 可得切线的方程为y =(1−1a)x −1. 假设l 与曲线y =e x 相切,设切点为(x 0,y 0)，即有e x 0=1−1a =(1−1a)x 0−1，消去a 得e x 0=e x 0⋅x 0−1,设h (x )=e x x −e x −1， 则h ′(x )=e x x ,令h ′(x )>0，则x >0，所以h (x )在(−∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增， 当x →−∞,h (x )→−1,x →+∞,h (x )→+∞， 所以h (x )在(0,+∞)有唯一解,则e x 0>1， 而a >0时,1−1a <1,与e x 0>1矛盾，所以不存在. 故选：A.3．【2017湖南长沙长郡中学高三5月模考（理）】设曲线()x f x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点的切线为1l ，总存在曲线()32cos g x ax x =+上某点处切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（ ）A. []1,2-B. []3,+∞C. 21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】因为()()1,32sin x f x e g x a x ''=--=-，所以直线12,l l 的斜率分别为()11201,32sin x k e k a x =-+=-，则由题设可得()()10132sin 1x e a x -+-=-，即10132sin 1x a x e -=+，又因为对任意1x ，都有11011x e <<+，故 存在0x 使得0032sin 1a x <-<，即存在0x 使得002sin 312sin x a x <<+，故1232a -≤≤，即1233a -≤≤，应选答案D . 4．【2017安徽蚌埠高三二质检（理）】已知函数()1xf x x a e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，曲线()y f x =上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()2,e -+∞B. ()2,0e -C. 21,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】曲线()y f x =上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直， ()()'10x f x a x e -∴=+-=有两个不同的解，即得()1x a x e -=-有两个不同的解，设()1x y x e -=-，则()'2,2,'0,2,'0x y x e x y x y -=-∴， ()1x y x e -=-在(),2-∞上递减，在()2,+∞上递增2x ∴=时，函数取得极小值2,e --又因为当2x >时总有()10x y x e -=-<，所以可得数a 的取值范围是21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选D.5．【2017四川绵阳高三月考（理）】过点()2,1A 作曲线()33f x x x =-的切线最多有（ ）A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条 【答案】A6．【2018河北石家庄二中开学考试（理）】已知函数()()21,f x g x x x==.若直线l 与曲线()(),f x g x 都相切，则直线l 的斜率为__________．【答案】4-【解析】因为()()21,f x g x x x ==，所以()21‘,f x x=-设曲线()f x 与l 切于点111x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则切线斜率211k x =-，故切线方程为()121111y x x x x -=--，即21112y x x x =-+，与()2g x x =联立得： 2211120x x x x +-=，因为直线l 与曲线()g x 相切，所以02411221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x ，解得112x =-，故斜率211k 4x =-=-. 故答案为： 4-7．【2018广东茂名高三五校联盟9月联考（理）】若函数的图象在点处的切线斜率为，则函数的极小值是__________． 【答案】【解析】因为，所以由导数的几何意义可得切线的斜率，故，令可得，则函数的极小值为，应填答案.8．【2017河南新乡三模（文）】若()()2f x f x +-= 33x x ++对R x ∈恒成立，则曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为__________．【答案】1315y x =-（或13150x y --=）【解析】()()()()()()3323,23f x f x x x f x f x x x +-=++∴-+=-+-+()()()()333233f x x x x x ⎡⎤∴=++--+-+⎣⎦()()()321,31,213f x x x f x x f ''∴=++=+=又 ()211f =，则曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为()11132y x -=- ，即1315y x =-9．【2017湖南郴州市高三第四次质量检测（文）】若函数（）在区间只有一个极值点，则曲线在点处切线的方程为__________． 【答案】【解析】由题意可得，所以即在有唯一奇次根.根据根的存在性定理，即，，又因为，所以.,，,所以切线方程为.答案为：x-y+6=0.10．【2018河南周口市中英文学校开学考】曲线()C:sin 2x f x x e =++在0x =处的切线方程为_____．【答案】23y x =+【解析】由()sin 2x f x x e =++，得()cos x f x x e ='+， ()03f =，切线的斜率为()02k f ='=，故切线方程为23y x =+，故答案为23y x =+.11．【2018贵州贵阳高三8月摸底考】已知函数()()1*n n f x x x n N +=-∈，曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线与y 轴的交点的纵坐标为n b ，则数列{}n b 的前n 项和为__________．【答案】12n n +⋅【解析】对函数求导可得： ()()1'1n n f x nx n x -=-+， 则()()()11'221222n n n f n n n --=⨯-+⨯=--⨯， 且： ()12222n n n f -=-=-，曲线在()()2,2f 处的切线方程为()()12222n n y n x -+=--⨯⨯-， 令0x =可得： ()1222n y n -=+⨯， 即()1222n n b n -=+⨯，错位相减可得其前n 项和为12n n -⋅.12．【2017湖南省郴州市高三第四次质量检测（文）改编】已知函数（）与函数有公共切线.则求的取值范围为_____________.【答案】13．【2017吉林实验中学八模（理）改编】已知函数()()ln af x x a R x=+∈．（Ⅰ）若函数()f x 在1x =处的切线平行于直线20x y -=，求实数a 的值．【答案】（1）1a =-【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义，得()12f '=， 1a =-； 试题解析：（Ⅰ）()21'af x x x=-,函数()f x 在1x =处的切线平行于直线 20x y -=.()112,1f a a ∴=-=∴=-'.14．【2017陕西省西安市西北工业大学附属中学第八次模拟（理）】已知函数()()1ln t x f x e t x -=-（常数0t >）. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若曲线()y f x =与直线y tx =相切，证明： 2t <.【答案】(1) ()f x 的单增区间为()1,+∞，单减区间为()0,1;(2)见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）求出()'f x ， ()'0f x >得增区间， ()'0f x <得减区间；（Ⅱ）设曲线()y f x =与直线y tx =的切点为()()00,x f x ，由00011ln t x tx x +-=，可得()00001ln x t x x x +=+， ()()1ln x r x x x x +=+，其中11,1x t ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，利用导数研究函数的单调性可得()()12r x r <=，即2t <.（Ⅱ）证明：设曲线()y f x =与直线y tx =的切点为()()00,x f x ，因为()()11t x f x t ex -⎛⎫=- ⎝'⎪⎭，所以()()01001t x f x t e t x -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭'，即()01011t x e x -=+. 因为直线y tx =经过切点()()00,x f x ，所以()()01000ln t x f x e t x tx -=-=， 于是，有00011ln t x tx x +-=，即()00001ln x t x x x +=+.令()()111t x h x e x -=--，则()()1210t x h x te x -+'=>，故()h x 单增，又()110h =-<， 11101t h e t t ⎛⎫+=--> ⎪+⎝⎭，所以()h x 有唯一零点0x ，且011,1x t ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭.再令()()1ln x r x x x x +=+，其中11,1x t ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，则()()2223ln 10ln x x x r x x x x ----=<+'，故()r x 单减，所以()()12r x r <=，即2t <.。

高二数学课后练习题：导数的几何意义【摘要】鉴于大家对xx十分关注，小编在此为大家整理了此文高二数学课后练习题：导数的几何意义，供大家参考!本文题目：高二数学课后练习题：导数的几何意义选修2-2 1.1 第3课时导数的几何意义一、选择题1.如果曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0，那么()A.fprime;(x0)0B.fprime;(x0)<0C.fprime;(x0)=0D.fprime;(x0)不存在[答案] B[解析]切线x+2y-3=0的斜率k=-12，即fprime;(x0)=-12<0.故应选B.2.曲线y=12x2-2在点1，-32处切线的倾斜角为()A.1B.pi;4C.54pi;D.-pi;4[答案] B[解析]∵yprime;=limDelta;xrarr;0 [12(x+Delta;x)2-2]-(12x2-2)Delta;x=limDelta;xrarr;0 (x+12Delta;x)=xthere4;切线的斜率k=yprime;|x=1=1.there4;切线的倾斜角为pi;4，故应选B.3.在曲线y=x2上切线的倾斜角为pi;4的点是()A.(0,0)B.(2,4)C.14，116D.12，14[答案] D[解析]易求yprime;=2x，设在点P(x0，x20)处切线的倾斜角为pi;4，则2x0=1，there4;x0=12，there4;P12，14.4.曲线y=x3-3x2+1在点(1，-1)处的切线方程为()A.y=3x-4B.y=-3x+2C.y=-4x+3D.y=4x-5[答案] B[解析]yprime;=3x2-6x，there4;yprime;|x=1=-3.由点斜式有y+1=-3(x-1).即y=-3x+2.5.设f(x)为可导函数，且满足limxrarr;0 f(1)-f(1-2x)2x=-1，则过曲线y=f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为()A.2B.-1C.1D.-2[答案] B[解析]limxrarr;0 f(1)-f(1-2x)2x=limxrarr;0 f(1-2x)-f(1)-2x=-1，即yprime;|x=1=-1，则y=f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为-1，故选B.6.设fprime;(x0)=0，则曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()A.不存在B.与x轴平行或重合C.与x轴垂直D.与x轴斜交[答案] B[解析]由导数的几何意义知B正确，故应选B.7.已知曲线y=f(x)在x=5处的切线方程是y=-x+8，则f(5)及fprime;(5)分别为()A.3,3B.3，-1C.-1,3D.-1，-1[答案] B[解析]由题意易得：f(5)=-5+8=3，fprime;(5)=-1，故应选B.8.曲线f(x)=x3+x-2在P点处的切线平行于直线y=4x-1，则P点的坐标为()A.(1,0)或(-1，-4)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,4)[答案] A[解析]∵f(x)=x3+x-2，设xP=x0，there4;Delta;y=3x20?Delta;x+3x0?(Delta;x)2+(Delta;x)3+Delta;x，there4;Delta;yDelta;x=3x20+1+3x0(Delta;x)+(Delta;x)2，there4;fprime;(x0)=3x20+1，又k=4，there4;3x20+1=4，x20=1.there4;x0=plusmn;1，故P(1,0)或(-1，-4)，故应选A.9.设点P是曲线y=x3-3x+23上的任意一点，P点处的切线倾斜角为alpha;，则alpha;的取值范围为()A.0，pi;2cup;23pi;，pi;B.0，pi;2cup;56pi;，pi;C.23pi;，pi;D.pi;2，56pi;[答案] A[解析]设P(x0，y0)，∵fprime;(x)=limDelta;xrarr;0 (x+Delta;x)3-3(x+Delta;x)+23-x3+3x-23Delta;x=3x2-3，there4;切线的斜率k=3x20-3，there4;tanalpha;=3x20-3≥-3.there4;alpha;isin;0，pi;2cup;23pi;，pi;.故应选A.10.(2020?福州高二期末)设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，pi;4]，则点P横坐标的取值范围为()A.[-1，-12]B.[-1,0]C.[0,1]D.[12，1][答案] A[解析]考查导数的几何意义.∵yprime;=2x+2，且切线倾斜角theta;isin;[0，pi;4]，there4;切线的斜率k满足0<k<1，即0<2x+2<1，there4;-1<x<-12.二、填空题11.已知函数f(x)=x2+3，则f(x)在(2，f(2))处的切线方程为________.[答案]4x-y-1=0[解析]∵f(x)=x2+3，x0=2there4;f(2)=7，Delta;y=f(2+Delta;x)-f(2)=4?Delta;x+(Delta;x)2there4;Delta;yDelta;x=4+Delta;x.there4;limDelta;xrarr;0Delta;yDelta;x=4.即fprime;(2)=4.又切线过(2,7)点，所以f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y-7=4(x-2) 即4x-y-1=0.12.若函数f(x)=x-1x，则它与x轴交点处的切线的方程为________.[答案]y=2(x-1)或y=2(x+1)[解析]由f(x)=x-1x=0得x=plusmn;1，即与x轴交点坐标为(1,0)或(-1,0).∵fprime;(x)=limDelta;xrarr;0 (x+Delta;x)-1x+Delta;x-x+1xDelta;x=limDelta;xrarr;0 1+1x(x+Delta;x)=1+1x2.there4;切线的斜率k=1+11=2.there4;切线的方程为y=2(x-1)或y=2(x+1).13.曲线C在点P(x0，y0)处有切线l，则直线l与曲线C的公共点有________个.[答案]至少一[解析]由切线的定义，直线l与曲线在P(x0，y0)处相切，但也可能与曲线其他部分有公共点，故虽然相切，但直线与曲线公共点至少一个.14.曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，斜率最小的切线方程为________.[答案]3x-y-11=0[解析]设切点P(x0，y0)，则过P(x0，y0)的切线斜率为，它是x0的函数，求出其最小值.设切点为P(x0，y0)，过点P的切线斜率k= =3x20+6x0+6=3(x0+1)2+3.当x0=-1时k有最小值3，此时P的坐标为(-1，-14)，其切线方程为3x-y-11=0.三、解答题15.求曲线y=1x-x上一点P4，-74处的切线方程.[解析]there4;yprime;=limDelta;xrarr;0 1x+Delta;x-1x-(x+Delta;x-x)Delta;x=limDelta;xrarr;0 -Delta;xx(x+Delta;x)-Delta;xx+Delta;x+xDelta;x=limDelta;xrarr;0 -1x(x+Delta;x)-1x+Delta;x+x=-1x2-12x .there4;yprime;|x=4=-116-14=-516，there4;曲线在点P4，-74处的切线方程为：y+74=-516(x-4).即5x+16y+8=0.16.已知函数f(x)=x3-3x及y=f(x)上一点P(1，-2)，过点P作直线l.(1)求使直线l和y=f(x)相切且以P为切点的直线方程;(2)求使直线l和y=f(x)相切且切点异于点P的直线方程y=g(x).[解析](1)yprime;=limDelta;xrarr;0 (x+Delta;x)3-3(x+Delta;x)-3x3+3xDelta;x=3x2-3.则过点P且以P(1，-2)为切点的直线的斜率k1=fprime;(1)=0，there4;所求直线方程为y=-2.(2)设切点坐标为(x0，x30-3x0)，则直线l的斜率k2=fprime;(x0)=3x20-3，there4;直线l的方程为y-(x30-3x0)=(3x20-3)(x-x0)又直线l过点P(1，-2)，there4;-2-(x30-3x0)=(3x20-3)(1-x0)，there4;x30-3x0+2=(3x20-3)(x0-1)，解得x0=1(舍去)或x0=-12.故所求直线斜率k=3x20-3=-94，于是：y-(-2)=-94(x-1)，即y=-94x+14.17.求证：函数y=x+1x图象上的各点处的切线斜率小于1.[解析]yprime;=limDelta;xrarr;0 f(x+Delta;x)-f(x)Delta;x=limDelta;xrarr;0 x+Delta;x+1x+Delta;x-x+1xDelta;x=limDelta;xrarr;0 x?Delta;x(x+Delta;x)-Delta;x(x+Delta;x)?x?Delta;x =limDelta;xrarr;0 (x+Delta;x)x-1(x+Delta;x)x=x2-1x2=1-1x2<1，there4;y=x+1x图象上的各点处的切线斜率小于1.18.已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1perp;l2.(1)求直线l2的方程;(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积.[解析](1)yprime;|x=1=limDelta;xrarr;0 (1+Delta;x)2+(1+Delta;x)-2-(12+1-2)Delta;x=3，所以l1的方程为：y=3(x-1)，即y=3x-3.设l2过曲线y=x2+x-2上的点B(b，b2+b-2)，yprime;|x=b=limDelta;xrarr;0(b+Delta;x)2+(b+Delta;x)-2-(b2+b-2)Delta;x=2b+1，所以l2的方程为：y-(b2+b-2)=(2b+1)?(x-b)，即y=(2b+1)x-b2-2.因为l1perp;l2，所以3times;(2b+1)=-1，所以b=-23，所以l2的方程为：y=-13x-229.(2)由y=3x-3，y=-13x-229，得x=16，y=-52，即l1与l2的交点坐标为16，-52.又l1，l2与x轴交点坐标分别为(1,0)，-223，0.所以所求三角形面积S=12times;-52times;1+223=12512.【总结】2021年xx为小编在此为您收集了此文章高二数学课后练习题：导数的几何意义，今后还会发布更多更好的文章希望对大家有所帮助，祝您在xx学习愉快!更多xx：高二语文高二英语。

导数的几何意义命题人：刘春来 时间：9.18 姓名： 学号：1．曲线x y e 在点A （0,1）处的切线斜率为（ ）A.1B.2C.eD.1e 2．若曲线y ＝在点(a ，)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a 等于( ) A ．64B ．32C ．16D ．8 3．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A ．(0，π4) B ．(π4，π2) C ．(π2，3π4) D ．[3π4，π) 4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.94e 2 B ．2e 2 C ．e 2 D.e 225．若函数f (x )＝e x ＋a e －x 的导函数是奇函数，并且曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标是 ( )A ．－ln 22B ．－ln 2 C.ln 22D ．ln 2 6．如图是函数f (x )及f (x )在点P 处切线的图像，则f (2)＋f ′(2)＝________.7．若曲线 f (x )＝x 4－x 在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的坐标为________．8．若点P 是曲线f (x )＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________．9．设点P 是曲线y ＝x 33－x 2－3x －3上的一个动点，则以P 为切点的切线中，斜率取得最小值时的切线方程是__________________．10.已知曲线y ＝13x 3＋43. (1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程；(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．12．已知曲线y ＝16x 2－1与y ＝1＋x 3在x ＝x 0处的切线互相垂直，求x 0的值．13．已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R)． (1)若函数f (x )的图象在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．。

导数专题--- 03导数的几何意义学习目标1.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程。

必备知识1.导数的几何意义：函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的 ．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0)．相应地，切线方程为 ． 2.类型应用：（1）求切线斜率或倾斜角 （2）求曲线上某点处切线的方程 （2）已知切线求参数值或范围 （3）数学情境关键能力分层练一、求切线的斜率或倾斜角1.设函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为43y x =-，则()()11lim x f x f x∆→+∆-=∆（ ）A ．4B ．2C ．1D ．3-2.若()2f x x =，则()f x 在1x =处的切线的斜率为______．3.函数cos ()ex xf x =（e 是自然对数的底数）图象在点()0(0)f ，处的切线的倾斜角是（ ） A ．π4B ．π2C ．3π4D ．2π34.已知函数()y f x =的图象在点()()5,5P f 处的切线方程是8y x =-+，则()()55f f '+=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．1-5.如图，直线l 是曲线()y f x =在点(4,(4))f 处的切线，则(4)(4)f f '+的值等于______ ．6.一质点沿直线运动，如果由起始点经过t 秒后的位移s 与时间t 的关系是321383s t t t =-+，那么速度为0的时刻是（ ） A ．1秒末 B ．2秒末 C ．4秒末 D ．2秒末或4秒末7.有一机器人的运动方程为2()6s t t t =+，（t 是时间，s 是位移），则该机器人在时刻2t =时的瞬时速度为（ ） A ．5B ．7C ．10D ．13二、求曲线上一点处切线的斜率或切线方程1.设函数()ln f x x x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为（ ） A ．10x y --= B ．210x y --=C ．20x y --=D ．220x y --=2．（1）求曲线21xy x =-，在点()1,1处的切线方程； （2）求过点()2,3的抛物线2y x 的切线方程． 3．已知曲线31433y x =+.(1)求曲线在点(2,4)P 处的切线方程； (2)求满足斜率为1的曲线的切线方程.4．已知函数()()32,f x x ax b a b =-+∈R 的图象过点()1,0-，且()24f '=．(1)求a ，b 的值；(2)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程．三、由切线或斜率求参数的值或范围1.曲线2y x ax b =++在点()0,1M 处的切线方程为10x y -+=，则a ，b 的值分别为（ ）A ．-1，1B ．-1，-1C ．1，1D ．1，-12.直线12y x b =+是曲线y ＝ln x （x >0）的一条切线，则实数b 等于（ ） A ．－1＋ln2B ．1C ．ln2D ．1＋ln23.直线1y kx =+与曲线()3f x ax b =+相切于点()1,2P ，则b =（ ）A ．13B ．1C ．53D ．24.若曲线e x y a x =+与y =2x +1相切，则实数a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45.曲线3()2f x x x =+-在P 0处的切线垂直于直线114y x =--，则P 0的坐标为（ ） A ．()1,0 B ．()2,8C ．()1,0或()1,4--D ．()2,8或()1,4--6.已知函数()(0)xf x e ax a =+<在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为14，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．1-C ．3-D ．37．已知函数()e 23x f x mx =-+的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线13y x =垂直的切线，求实数m 的取值范围．四、数学情境我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设()ln f x x =，则曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程为______；用此结论近似计算4001e ______．。

导数的几何意义（1）1.设f(x)＝1x，则limx→af x－f ax－a等于( )A．－1aB.2aC．－1a2D.1a22．在曲线y＝x2上切线倾斜角为π4的点是( )A．(0,0) B．(2,4)C．(14，116) D．(12，14)3．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝( )A．1 B.1 2C．－12D．－14．若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处切线方程为2x＋y＋1＝0，则( )A．h′(a)<0 B．h′(a)>0C．h′(a)＝0 D．h′(a)的符号不定5．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s＝18t2，则当t＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )A. 2B. 1C.12D.146．函数f (x )＝－2x 2＋3在点(0,3)处的导数是________．7．如图是函数f (x )及f (x )在点P 处切线的图像，则f (2)＋f ′(2)＝________.8．设曲线y ＝x 2在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为________．9．已知曲线y ＝2x 2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程．10．求双曲线y ＝1x 在点(12，2)处的切线的斜率，并写出切线方程．导数的几何意义（2）1．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＞0B ．f ′(x 0)＜0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在2．函数在处的切线斜率为（ ） A ．0 B 。

1 C 。

2 D 。

33．曲线y ＝12x 2－2在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32处切线的倾斜角为( )A ．1B.π4 C.54πD ．－π44．在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为π4的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 5．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0 f (1)－f (1－2x )2x＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( ) A ．2 B ．－1 C ．1D ．－26．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x轴斜交7．函数在点处的导数的几何意义是__________________________________________________;曲线在点P处的切线方程为是_____________________________________________.8．已知函数f(x)＝x2＋3，则f(x)在(2，f(2))处的切线方程为_________________________9．求过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程10．若曲线f(x)=ax3+3x2+2在x=-1处的切线斜率为4，求a的值。

导数的概念及其几何意义同步练习题一、选择题1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ ）A ．6t +∆B ．96t t+∆+∆ C ．3t +∆ D ．9t +∆ 3. 函数y =f (x )的自变量x 由x 0改变到x 0+⊿x 时，函数值的改变量⊿y 为（ ）A.f (x 0+⊿x )B.f (x 0)+⊿xC. f (x 0)•⊿xD. f (x 0+⊿x )- f (x 0)4.已知函数y =f (x )=2x 2-1的图像上一点（1,1）及邻近一点（1+⊿x ，1+⊿y ），则等于（ ） A.4 B.4x C.4+2⊿x D.4+2(⊿x )2 5. 一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，则在时间[1，1＋Δt ]内相应的平均速度为( )A. 3Δt ＋6B. －3Δt ＋6C. 3Δt －6D. －3Δt －66.若函数y =f (x )在x 0处可导，则000()()lim h f x h f x h的值（ ） A.与x 0，h 有关 B.仅与x 0有关，而与h 无关 C. 仅与h 有关，而与x 0无关 D. 与x 0，h 都无关7. 函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是（ ） A.2 B.1 C.0 D.-18.设函数f (x )=，则()()lim x a f x f a x a等于( ) A.1a B.2a C.21a D.21a 9. 下列各式中正确的是( )A. y ′|x ＝x 0＝li m Δx →0 f (x －Δx )－f (x 0)ΔxB. y ′|x ＝x 0＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )＋f (x 0)ΔxC. f ′(x 0)＝li m Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)ΔxD. f ′(x )＝li m Δx →0 f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx10. 设函数f (x )可导，则lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)3Δx等于( ) A. f ′(1) B. 不存在 C. 13f ′(1) D. 以上都不对 11. 设函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于( )A. 2B. －2C. 3D. 不确定12. 已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( ) A. 194 B. 174 C. 154 D. 13413.曲线y=2x 2+1在点P （-1,3）处的切线方程是（ ）A.y =-4x -1B.y =-4x -7C.y =4x -1D.y =4x -714.过点（-1,2）且与曲线y =3x 2-4x +2在点M （1,1）处的切线平行的直线方程是（ ）A.y =2x -1B.y =2x +1C.y =2x +4 D .y =2x -415. 下面四个命题：①若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线；②若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在；③若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在；④曲线的切线和曲线有且只有一个公共点．其中，真命题个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 316. 函数y ＝f (x )的导函数f ′(x 0)图像如图所示，则在y ＝f (x )的图像上A 、B 的对应点附近，有( )A. A 处下降，B 处上升B. A 处上升，B 处下降C. A 处下降，B 处下降D. A 处上升，B 处上升17. 曲线y ＝2x 2上有一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为( )A.4B. 16C. 8D. 218. 曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( )A. y ＝3x －4B. y ＝－3x ＋2C. y ＝－4x ＋3D. y ＝4x －5 19.一直线运动的物体，从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么lim Δx →0 Δs Δt为( ) A ．在t 时刻该物体的瞬时速度 B ．当时间为Δt 时物体的瞬时速度C ．从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度D ．以上说法均错误20. (2012·宝鸡检测)已知函数f (x )＝x 3－x 在x ＝2处的导数为f ′(2)＝11，则( )A ．f ′(2)是函数f (x )＝x 3－x 在x ＝2时对应的函数值B ．f ′(2)是曲线f (x )＝x 3－x 在点x ＝2处的割线斜率C ．f ′(2)是函数f (x )＝x 3－x 在x ＝2时的平均变化率D ．f ′(2)是曲线f (x )＝x 3－x 在点x ＝2处的切线的斜率21.已知函数y ＝f (x )的图像如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )＞f ′(xB ) B ．f ′(x A )＜f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定22.(2012·上饶检测)函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数为( )A ．2B ．3C ．6D ．1223.设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－324.设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1 B.12 C ．－12D ．－1 25．已知曲线y ＝x 24的一条切线斜率为12，则切点的横坐标为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．426．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是 ( ) A ．at 0 B ．－at 0 C.12at 0 D ．2at 0 二、填空题27. 在曲线y ＝x 2＋1的图像上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx为__ __． 28. 若质点M 按规律s ＝2t 2－2运动，则在一小段时间[2,2＋Δt ]内，相应的平均速度_ ．29.已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝__ __． 30．曲线y ＝f (x )＝2x －x 3在点(1，1)处的切线方程为________．31.函数y ＝x 2在x ＝________处的导数值等于其函数值．32. (2012·南昌调研)若一物体的运动方程为s ＝3t 2＋2，求此物体在t ＝1时的瞬时速度是 .33．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是___ _．34.函数f (x )=3x 2-4x 在x =-1处的导数是 .三、解答题35. 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx； (2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx； (3)求当x 1＝4，且Δx ＝0.01时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx；36. 已知自由落体的运动方程为s ＝12gt 2，求： (1)落体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度；(2)落体在t 0时的瞬时速度；(3)落体在t 0＝2 s 到t 1＝2.1 s 这段时间内的平均速度；(4)落体在t ＝2 s 时的瞬时速度．37. 求等边双曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2处的切线的斜率，并写出切线方程．38. 在曲线y ＝x 2上过哪一点的切线，(1)平行于直线y ＝4x －5；(2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0；(3)与x 轴成135°的倾斜角．39．已知抛物线f (x )＝ax 2＋bx －7过点(1,1)，且过此点的切线方程为4x －y －3＝0，求a ，b 的值．40. (2012·榆林调研)已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83。