大学高数第四章3-4节_多元复合函数与隐函数求导法则-多元函数极值

1 / 41 教 学 内 容 批注

第八章 多元函数微分

第一节 多元函数的基本概念

一、 平面区域

首先我们来了解一下在平面区域内平面点集的知识：

1、 邻域：给定平面内P0（x0，y0）点，和某数>0，以P0点为圆心，为半径作圆，该圆内所有点的全体，即})yy()xx()y,x({22020，称为P0点的邻域，记做：),P(U0，简记)P(U0；

2、 内点：在平面点集，存在P0的一个邻域)P(U0，使得)P(U0，则称P0为的内点；

3、 开集：平面点集内的所有点都是内点，则称点集为开集；

4、 边界点：在平面上，存在某个点P，在P的任何邻域内，都含有点集的点，又含有不是点集的点，则称点P为点集的边界点。

注意：1、点P可以在点集内，也可以不在。2、点集中孤立在外的点，称为孤立点，规定，孤立点为边界点。3、所有边界点组成的集合称为边界。

5、 连通：如果点集内的任意两点都能用全属于的折线连接起来，则称为连通的。

6、 区域：连通的开集称为开区域，简称区域。称区域连同他的边界为闭区域。

7、 有界无界区域：对于平面点集，如果存在一个以原点为圆心的圆盘D，使D，则称为有界区域，否则称为无界区域。 2 / 41 教 学 内 容 批注

8、 聚点：P点的任何一个邻域内都有无限个属于点集的点，称P为点集的聚点。

注意：平面点集中点的关系如图,

其中：

二、 二元函数的极限和连续性

1.二元函数

定义1：设有变量x，y和z，如果当变量x，y在某一固定的范围内，任意取一对值时，变量z按照一定的法则f总有唯一的确定的值与之对应，就称z为x，y的二元函数，记作：)y,x(fz，其中x，y称为自变量，z称为因变量。自变量x，y的取值范围称为二元函数的定义域，一般用大写字母D来表示。 3 / 41 教 学 内 容 批注

注意:1、与定义1相似，我们可以直接定义n元函数（n≥1）；

本章目录

第一节 多元函数的基本概念

第二节 偏导数

第三节 全微分

第四节 多元复合函数的求导法则

第五节 隐函数的求导公式

（第五节掌握的不是很好）

第六节 多元函数微分学的几何应用

第七节 方向导数与梯度

第八节 多元函数的极值及其解法

第九节 二元函数的泰勒公式 几道比较好的题

第一节 多元函数基本概念

1、基本了解

一元函数

()yfx 的定义域是xR，是在一条数轴上看定义域 那么在二元中，

就是在一个平面上看定义域，有

(,)zfxy（其中x，y互相没关系。如果有关

系，那么y就可以被x表示，那么就成了一元函数了），定义为二元函数

2

(,)xyR

2、多元函数的邻域

二元邻域

三元函数邻域

3、内点

4、外点

5、边界点

边界点：点的邻域既存在外点又存在内点

边界点可以看成内点，也可以看成外点，看你怎么定义了。

6、聚点

邻域内存在内点则称为聚点。可见，边界点一部分也含内点，因此内点，边界点

都是聚点。

7、开集

不包括边界点的内点；一元函数的开区间就是开集

8

包含了边界点的内点；一元函数的闭区间就是闭集

9

一元中有半开半闭的区间二元也是，如

10、连通集

连通集就是连在一起的区域。定义是，在定义域内两点可以用折线连起来

连通集与非连通集，如：

11、开区域：连通的开集；闭区域：连通的闭集

12、有界点集

这个圆的半径可以有限充分大。

无界点集：找不到一个有限大的圆包含该区域。如平面第一象限就是无界的点集

13、二元函数的定义域图像

二元定义域要有x，y的范围。解出f1(x)

数，所以最好是化成y在一边看大于还是小于)

14、二元函数的图像：空间曲面即z=f(x,y)

15、多元函数极限的定义

注意是去心的，去边界的圆域

一元需要左极限等于右极限，二元就各个方向的极限 都要相等了。

趋近的方式有时候甚至是有技巧的，一般先用y=kx趋近，再试试y=kx^2。

16、多元函数的连续性

设在定义域内，若lim(,)(,)

广东专插本23年高数大纲主要包括以下几个部分：

1. 函数、极限与连续

- 函数的概念及表示法

- 函数的有界性、单调性和周期性

- 复合函数、反函数、分段函数和隐函数

- 基本初等函数的性质及其图形

- 初等函数

- 函数关系的建立

- 数列的极限与函数的极限

- 无穷小量和无穷大量的概念及其关系

- 无穷小量的比较

- 极限的四则运算

- 极限存在的两个准则：夹逼定理和单调有界定理

- 两个重要极限

- 函数的连续性

- 间断点的类型

- 初等函数的连续性

- 闭区间上连续函数的性质

2. 一元函数微分学

- 导数的概念

- 导数的几何意义和物理意义

- 求导法则

- 高阶导数

- 隐函数和由参数方程所确定的函数的导数相关变化率

- 函数的微分

- 微分中值定理及其应用

- 洛必达法则

- 泰勒公式

- 函数的单调性与曲线的凹凸性、拐点及渐近线

- 函数的最大值与最小值

- 弧长和曲率

- 不定积分的概念

- 不定积分的基本性质

- 基本积分公式

- 不定积分的换元积分法和分部积分法

- 定积分的概念和基本性质

- 定积分中值定理

- 反常积分

3. 一元函数积分学的应用

- 定积分的几何应用

- 定积分在物理中的应用 - 定积分在经济中的应用

4. 多元函数微分学及应用

- 多元函数的概念

- 二元函数的几何意义

- 二元函数的极限与连续的概念

- 有界闭区域上二元连续函数的性质

- 多元函数的偏导数和全微分

- 多元复合函数的求导法则

- 隐函数的求导法则

- 多元函数的极值和条件极值

- 多元函数的最大值、最小值和拉格朗日乘数法

《高等数学C》课程教学大纲

一、课程基本信息

开课单位 课程类别 学科基础

课程名称 高等数学C Advanced Mathematics C 课程编码

开课对象 农科类、食品类、生物类等本科专业 开课学期 第一学期

学时/学分 总学时80、理论课学时80、实验课学时0/4.5学分

先修课程 初等数学

课程简介：

《高等数学C》是我校农科类、食品类、生物类等本科专业的教学计划中一门重要的基础理论课，它是为培养适应我国社会主义现代化建设需要的高质量专门人才服务的。本课程的主要内容包括：函数、极限、连续；一元函数微积分学；多元函数微积分学；常微分方程。

本课程的学习可以为学生学习后继课程和解决实际问题提供必要的数学基础。同时，通过各教学环节，逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力，综合运用所学知识分析和解决实践问题的能力，初步抽象概括问题的能力，自学能力以及一定的逻辑推理能力。

二、课程教学目标

本课程的学习可以为学生学习后继课程和解决实际问题提供必要的数学基础。同时，通过各教学环节，逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力，综合运用所学知识分析和解决实践问题的能力，初步抽象概括问题的能力，自学能力以及一定的逻辑推理能力。

第一，通过课程学习，提高学生的计算能力，主要是提高学生求极限、求微分、求积分的计算能力。

第二，通过课程学习，提高学生的自学能力，主要是提高学生自主学习的能力。

第三，通过课程学习，提高学生的分析问题与解决问题的能力，主要是提高学生能利用所学的高数知识去分析和解决一些实际问题的能力。

第四，通过课程学习，学生的抽象思维能力和逻辑推理能力要进一步提高。

三、教学学时分配

《高等数学C》课程理论教学学时分配表

章次 主要内容 学时教学方法或手段

分配

第一章 函数、极限与连续 12 讲授法、启发式、互动式

第二章 导数与微分 8 讲授法、MOOC

第三章 微分中值定理与导数的应用 12 讲授法、启发式

高等数学习题·第九章 多元函数微分法 班级 姓名 学号

54 多元复合函数的求导法则·隐函数的求导公式

一、填空题(把你认为正确的答案填在题中的横线上)

1．设(,)xyzfyx，则zx1221''yffyx；zy1221''xffyx ．

2、设(,,)ufxxyxyz，则ux123'''fyfyzf；uy23''xfxzf；uz3'xyf．

二、选择填空题（在每题的四个备选答案中选择一个正确的填在题前的括弧中）

【 A 】1．()xyex

()Axye． ()Bxe． ()C()xyedxdy． ()D(1)xydyedx．

【 B 】2．设22()yzfxy，其中()fu可导函数，则11zzxxyy

()Azy． ()B2zy． ()C3zy． ()D4zy．

三、计算下列函数的偏导数或导数：

1、 设vzu，其中22,uxyvxy，求,zzxy．

解 12lnvvzzuzvvuxuuyxuxvx

22122222()2()ln()xyyxyxxyxy

1(2)lnvvzzuzvvuyuuxyuyvy

22122222()2()ln()xyxxyyxyxy．

2、设22yuvuv，而xue，sinvx，求dydx．

解 dyzduzdvdxudxvdx22(2)(2)cosxuvveuuvx

(2sin)sin(2sin)cosxxxxexxeexex

四、 求下列函数的一阶偏导数或全导数（其中f具有一阶连续偏导）： 高等数学习题·第九章 多元函数微分法 班级 姓名 学号

高等数学公式

导数公式：

基本积分表：

三角函数的有理式积分：

222212211cos12sinududxxtguuuxuux，　，　，　 axxaaactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1)(logln)(csc)(cscsec)(seccsc)(sec)(22222211)(11)(11)(arccos11)(arcsinxarcctgxxarctgxxxxxCaxxaxdxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxctgxdxxCxdxtgxxCctgxxdxxdxCtgxxdxxdxxx)ln(lncsccscsecseccscsinseccos22222222CaxxadxCxaxaaxadxCaxaxaaxdxCaxarctgaxadxCctgxxxdxCtgxxxdxCxctgxdxCxtgxdxarcsinln21ln211csclncscseclnsecsinlncosln22222222CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnxdxxdxInnnnarcsin22ln22)ln(221cossin222222222222222222222020

一些初等函数： 两个重要极限：

三角函数公式：

·诱导公式：

函数

角A

sin

cos

tg

ctg

-α -sinα cosα -tgα -ctgα

90°-α cosα sinα ctgα tgα

90°+α cosα -sinα -ctgα -tgα

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第五讲 复合函数与隐函数的微分法

回顾上讲内容

1.全微分的概念；

2.可微的充分和必要条件；

3.全微分的几何意义。

4.多元函数连续性和可导、可微之间的内在关系。

本节教学内容

1.多元复合函数的求导法则；

2.隐函数的求导法则。

【教学目的与要求】

1.熟练掌握各种情形下的多元复合函数偏导数的求法；

2.理解和掌握抽象复合函数的高阶偏导数。

【教学重点与难点】

重点：多元复合函数求导法则，隐函数的求导公式

难点：多元函数全微分形式不变性

§6.6 复合函数与隐函数的微分法

一、多元复合函数的求导法则

定理1 若函数),(vufz，而),(),,(yxvyxu，且满足条件

(1) 在点P),(yx存在偏导数yvyuxvxu,,,；

(2) ),(vuf在P),(yx的对应点),(vu可微；

则复合函数)],(),,([yxyxfz在点P),(yx的两个偏导数yzxz,存在，且 word专业资料-可复制编辑-欢迎下载

.;yvvzyuuzyzxvvzxuuzxz （1）

上述复合函数的求导法则可以推广，例如

设),,(wvufz,而),(),,(),,(yxwwyxvyxu，则复合函数)],(),,(),,([yxwyxyxfz对自变量yx,的偏导数为

.;ywwzyvvzyuuzyzxwwzxvvzxuuzxz （2）

特别地，若函数)(),(),,(xvxuvufz；则z是x的一元函数

)(),(xxfz．此时，称z对x的导数为全导数，且有

dxdvvzdxduuzdxdz． （3）

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第八章 多元函数微分法及其应用

第一节 多元函数的基本概念

本节主要概念，定理，公式和重要结论

理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域；

理解二重极限概念，注意Ayxfyxyx),(lim),(),(00是点),(yx以任何方式趋于),(00yx;

注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。

习题 8－1

1.求下列函数表达式:

(1)xyyxyxf),(，求),(yxxyf

解：(,)()xyxyfxyxyxyxy

(2)22),(yxyxyxf，求),(yxf

解：(,)()()(,)fxyxyxyxyfxyxy

2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形:

(1)221)1ln(yxxyxz

解：22221011010xyxyxyxyx

(2))12ln(2yxz

解：2210xy

(3) |)|||1ln(),(yxyxf

解：1||||0||||1xyxy

3.求下列极限:

(1)22)1,0(),(1limyxxyxyx

解：22(,)(0,1)1lim1xyxxyxy

(2)xyxyyx42lim)0,0(),(

解一：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)1124148lim2lim2lim4xyxyxyxyxyxyxyxyxy 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.

2文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 解二：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)244(4)11limlimlim4(24)(24)xyxyxyxyxyxyxyxyxy

1 高等数学复习-多元函数微分法及其应用

一、列举二元函数的例子？

二、求多元函数的极限？

三、证明函数的连续性？

四、多元函数的性质？

五、求多元函数再某点的偏导数？

六、求多元函数的偏导数？

七、求多元函数的高阶偏导数？

八、二阶混合偏导数定理？

九、求函数的全微分？

十、全微分的应用?

十一、一元函数与多元函数复合定理?

十二、多元函数与多元函数复合定理?

十三、其它复合定理？

十四、求复合函数的偏导数？

十五、求复合函数的全导数？

十六、利用全微分形式不变形求偏导数？

十七、利用隐函数求导？

十八、利用方程组求偏导数?

十九、求函数的单位切向量？

二十、求曲线的切线及法平面方程？ 2 二十一、求球面的切线及法平面方程？

二十二、求旋转抛物面的切线及法平面方程？

二十三、求某个方向的方向导数？

二十四、求函数在某点的梯度？

函数在某点的梯度是这样一个向量，他的方向是函数再这点方向导数取得最大值的方向，它的模就等于方向导数的最大值。

（1）求出函数在各个自变量上的偏导数

（2）带入点惊醒计算

（3）表示出该向量（记得加上i、j、k）

二十五、求函数再某个方向的变化率？

二十六、举例说明多元函数最值及极值？

二十七、有极值定理?

二十八、求多元函数的极值？

二十九、拉个朗日乘数法求极值？

第一章 函数、极限和连续

§ 函数

一、 主要内容

㈠ 函数的概念

1. 函数的定义: y=fx, x∈D

定义域: Df, 值域: Zf.

2.分段函数: 21)()(DxxgDxxfy

3.隐函数: Fx,y= 0

4.反函数: y=fx → x=φy=f-1y

y=f-1 x

定理:如果函数: y=fx, Df=X, Zf=Y

是严格单调增加或减少的；

则它必定存在反函数：

y=f-1x, Df-1=Y, Zf-1=X

且也是严格单调增加或减少的;

㈡ 函数的几何特性

1.函数的单调性: y=fx,x∈D,x1、x2∈D

当x1＜x2时,若fx1≤fx2,

则称fx在D内单调增加 ；

若fx1≥fx2,

则称fx在D内单调减少 ； 若fx1＜fx2,

则称fx在D内严格单调增加 ；

若fx1＞fx2,

则称fx在D内严格单调减少 ;

2.函数的奇偶性：Df关于原点对称

偶函数：f-x=fx

奇函数：f-x=-fx

3.函数的周期性：

周期函数：fx+T=fx, x∈-∞,+∞

周期：T——最小的正数

4.函数的有界性： |fx|≤M , x∈a,b

㈢ 基本初等函数

1.常数函数： y=c , c为常数

2.幂函数： y=xn , n为实数

3.指数函数： y=ax , a＞0、a≠1

4.对数函数： y=loga x ,a＞0、a≠1

5.三角函数： y=sin x , y=con x

y=tan x , y=cot x

y=sec x , y=csc x

6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x

y=arctan x, y=arccot x

㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=fu , u=φx

第五节 复合函数微分法与隐函数微分法

在一元函数的复合求导中，有所谓的“链式法则”，这一法则可以推广到多元复合函数

的情形. 下面分几种情况来讨论.

分布图示

★ 链式法则(1) ★ 链式法则(2)

★ 链式法则(3) ★ 例1 ★ 例2

★ 例3 ★ 例4 ★ 例5

★ 例6 ★ 例7

★ 全微分形式的不变性 ★ 例 8

★ 例 9 ★ 例 10 ★ 例 11

★ 隐函数微分法(1) ★ 例12 ★ 例13

★ 隐函数微分法(2) ★ 例14 ★ 例15

★ 例16 ★ 例17 ★ 例18

★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题6-5

内容要点

一、多元复合函数微分法

1．复合函数的中间变量为一元函数的情形

设函数),(vufz

,)(tuu

,)(tvv

构成复合函数)](),([tvtufz

.

dtdv

vz

dtdu

uz

dtdz









（5.1）

公式(5.1)中的导数

dtdz

称为全导数.

2、复合函数的中间变量为多元函数的情形

设),,(vufz),,(yxuu),(yxvv

构成复合函数)],,(),,([yxvyxufz

,

xv

vz

xu

uz

xz















(5.3)

,

yv

vz

yu

uz

yz















(5.4)

3、复合函数的中间变量既有一元也有为多元函数的情形

定理3 如果函数),(yxuu

在点),(yx

具有对x

及对y

的偏导数, 函数)(yvv

在点

y

可导，函数),(vufz

在对应点),(vu

具有连续偏导数, 则复合函数)](),,([yvyxufz在对应点),(yx

的两个偏导数存在, 且有

,

xu

uz

xz









(5.7)

.

dydv

vz

yu

uz

yz













(5.8)

注：这里

xz

与

xf

是不同的，

xz



是把复合函数],),,([yxyxufz

中的y

看作不变而

对x的偏导数，

xf



是把函数),,(yxufz

数学分析课程简介

课程编码 :21090031-21090033

课程名称 ：数学分析

英文名称 ： Mathematical Analysis

课程类别 ：学科基础课程

课程简介： 数学分析俗称：“微积分”，创建于 17世纪，直到 19 世纪末及 20世纪初才发

展为一门理论体系完备， 内容丰富， 应用十分广泛的数学学科。 数学分析课是各类大学数学

与应用数学专业、 信息与计算科学专业最主要的专业基础课。 是进一步学习复变函数论、 微

分方程、微分几何、 概率论、实变分析与泛函分析等后继课程的阶梯， 是数学类硕士研究生

的必考基础课之一。本课程基本的内容有：极限理论、一元函数微积分学、级数理论、多元 函数微积分学等方面的系统知识， 用现代数学工具——极限的思想与方法研究函数的分析特 性——连续性、 可微性、 可积性。极限方法是贯穿于全课程的主线。课程的目的是通过三个 学期学习和系统的数学训练， 使学生逐步提高数学修养， 特别是分析的修养， 积累从事进一 步学习所需要的数学知识，掌握数学的基本思想和方法，培养与锻炼学生的数学思维素质， 提高学生分析与解决问题的能力。

教材名称 ：数学分析

教材主编 ： 华东师范大学主编（第四版）

出版日期 ：2010 年 6 月第四版

出版社： 高等教育出版社数学分析 1》课程教学大纲

（2010 级执行）

课程代号： 21090031

总 学 时： 80学时（讲授 58学时，习题 22学时）

适用专业： 数学与应用数学、信息与计算科学

先修课程： 本课程不需要先修课程，以高中数学为基础

一、本课程地位、性质和任务

本课程是本科数学与应用数学专业、 信息与计算科学专业的一门必修的学科

基础课程。通过本课程的教学，使学生掌握数学分析的基本概念、基本理论、思

想方法，培养学生解决实际问题的能力和创新精神，为学习后继课程打下基础。

二、课程教学的基本要求

重点：极限理论；一元函数微分学及贯穿整个课程内容的无穷小分析的方法。

高数书题目重点目录整理

2015考研数学高等数学教材导学

【注】 1导学用书：同济大学《高等数学》（上、下册）（第6版）

2 请各位学员认真研读课本内容及完成选择习题，打下一个牢固的基

础。无论是教材上的定理、例题，还是课后的习题，曾作为历年的考

研真题出现过。

第1章函数、极限、连续

1、映射与函数

（一）复习内容

P1-16(表示1至16页，下同)，双曲函数开始之后的不复习。

（二）选做习题

P21-22 第4-12题，第14-16题。

2、数列的极限

（一）复习内容

P23-30

（二）选做习题

P30-31 第1、5、6题。

3、函数的极限

（一）复习内容

P31-37

（二）选做习题

P37-39 第1-4题，第12题。

4、无穷小与无穷大

（一）复习内容

P39-41

（二）选做习题 P42 第4、5、6、7题。

5、极限运算法则

（一）复习内容

P43-49

（二）选做习题

P49 第1-5题。

6、极限存在准则两个重要极限

（一）复习内容

P50-55（除Cauchy极限存在准则）

（二）选做习题

P56-57 第1、2、4题。

7、无穷小的比较

（一）复习内容

P57-59

（二）选做习题

P59-60 第1-4题。

8、函数的连续性与间断点

（一）复习内容

P60-64

（二）选做习题

P64-65 第1-5题，第7-8题。

9、连续函数的运算与初等函数的连续性

（一）复习内容

P66-69

（二）选做习题

P69-70 习题1-9全做

P74 总习题一第1-13题。

第2章函数、极限、连续

1、导数概念

（一）复习内容 P77-86

（二）选做习题

P86-88 习题2-1全做。

2、函数的求导法则

（一）复习内容

P88-96（例17不学）

（二）选做习题

P97-99 第1、5题，第5-11题，第13、14题。

3、高阶导数

（一）复习内容

P99-102

（二）选做习题

2007

1 华东师范大学数学（B）考研复习笔记

一、 华东师范大学数学（B）考试范围

a.高等数学（函数、极限、连续、一元函数微积分、多元函数微积分、无穷级数、常微分方程）；

b.线性代数（行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量）。

参考教材为《线性代数》科学出版社 《高等数学》同济出版社

二、 数学（B）考试特点及考生应对策略

数学（B）考试试题难度一般，重视考生基础，考试难度基本上与国家统考数学（四）差不多，数学题量较大。

考生在复习时，按照同济版本的教材认真复习，把书上的题要弄会弄懂。牢固掌握书上的基本概念，基本原理，掌握解题的常规方法，要善于总结。例如，对求极限的题共有哪些方法，考生必须会灵活应用。

在复习时挑一本比较好的练习册，不用做太多的题，但是做一道要讲究质量，不要做太难的题，考试考的都比较基础。

考生在平时的复习时要提高自己的做题速度，前提是保证质量。由于考试的题量较大，再加上考试时或多或少的会紧张，因此打好平时的基本功是考试获得高分的关键。

考生还要注意一点，华东师范大学数学（B）出题的难度一年比一年有所加大，但是增加难度的幅度不是很大。考生不要因为做哪一年的真题觉得简单就掉以轻心，就少用时间复习。要时刻记住，你考得是华东师大，没那么容易就让你拿分，每道题都需要自己动脑其琢磨，认认真真地做。

至于真题，建议考生只要把04、05、06年的真题认真做做，研究研究，其他的真题就不用研究了，没必要。看看数学（B）出题的难度，题型，以及出题难度的逐年变化。心里有个底，知道复习的时候应该怎么样复习，复习到什么难度。

对于具体的考试内容，将在数学（B）考研笔记中有所反映，有些知识点考生不用看的，在笔记中有所标记。考生可以按照考研笔记的顺序复习。肯定不考的知识有向量代数和空间解析几何，曲面积分，二次型。在高数种所有关于微积分的物理应用知识都不考，方向导数和梯度也不考。

深圳大学数学与计算科学学院

课程教学大纲

（2006年10月重印版）

课程编号 2214000112

课程名称 高等数学A (周5学时)

课程类别 专业必修

教材名称 《高等数学》

制 订 人 赵 冰

审 核 人 阮晓青

2005年 4 月修订 - 1 -

一、课程设计的指导思想

（一）课程性质

1．课程类别：专业必修课

2．适应专业：理工科各专业学生

3．开设学期：第一、二学期

4．学时安排：周学时5，总学时160

5．学分分配：10学分

（二）开设目的

高等数学课程是高等理工科学校各专业学生的一门必修的重要的基础理论课，通过本课程的学习，要求学生获得：一元和多元函数微积分学、向量代数和空间解析几何、无穷级数（包括傅立叶级数）以及常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能。通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象概括问题的能力，逻辑推理能力，空间想象能力和自学能力，培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力，为学习后继课程和进一步获得数学知识以及解决实际问题奠定必要的数学基础。

（三）基本要求

掌握微积分学、向量代数和空间解析几何、无穷级数（包括傅立叶级数）以及常微分方程的基本概念与基本方法，理解其中所涉及的基本的数学思想和方法，初步培养利用数学解决实际问题的基本意识和能力。

（四）主要内容

包括一元和多元函数微积分学、向量代数和空间解析几何、无穷级数（包括傅立叶级数）以及常微分方程的理论和方法。

（五）先修课程

无

（六）后继课程

线性代数、概率统计以及工程数学等。

（七）考核方式

闭卷考试

（八）使用教材

同济大学应用数学系编：《高等数学》，北京：高等教育出版社，2003年第五版. - 2 - （九）参考书目

高等数学（数三）复习知识点及作业

按照同济大学高等数学第六版制定

第一章 函数与极限 （时间1周，每天2-3小时）

章节 复习知识点及作业 大纲要求

1.1 函数的概念，常见的函数（有界函数、奇函数与偶函数、单调函数、周期函数）、复合函数、反函数、初等函数具体概念和形式.注：一、集合 二、映射

P17-20双曲函数 （不用看）

习题1－1：4，5，8，9，15，16 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．

2．了解函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性．

3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．

4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．

5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念．

6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 1.2 数列极限的定义，数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性 ) 注：用定义证明极限不用看

习题1－2：1，4，5，6注：记住4,5,6的结论，不用证明

1.3 函数极限的定义与基本性质（极限的保号性、极限的唯一性、函数极限的函数局部有界性,函数极限与数列极限的关系等）注：用定义证明极限不用看 习题1－3：1，2，4

1.4 无穷小与无穷大的定义，它们之间的关系，以及与极限的关系

习题1－4：4，6，7

1.5 极限的运算法则(6个定理以及一些推论)

习题1－5：1，2，3，4,5 1.6

重点 两个重要极限（要牢记在心，要注意极限成立的条件，不要混淆，应熟悉等价表达式）,函数极限的存在问题（夹逼定理、单调有界数列必有极限），利用函数极限求数列极限，利用夹逼准则求极限，求递归数列的极限.

习题1－6：1，2，4 7．理解无穷小的概念和基本性质．掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系．

8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．