大学高数第四章5节_二重积分

考研数学 高等数学重难点

第一章 函数与极限

（考研必考章节，其中求极限是本章最重要题型，要掌握求极限的几种经典方法）

第一节 映射与函数（一般章节）

一 集合（不用看） 二 映射（不用看） 三 函数（了解）

第二节 数列的极限（一般章节）

（本节用极限定义证明极限的题目考纲不作要求，可不看）

一 数列极限的定义（了解） 二收敛数列的性质（了解）

第三节 函数的极限（一般章节）

一 函数极限的定义（了解） 二 函数极限的性质（了解）

第四节 无穷小与无穷大（重要）

一 无穷小（重要） 二 无穷大（了解）

第五节 极限运算法则（注意运算法则的前提条件是极限存在）

第六节 极限存在准则（理解） 两个重要极限（重要 两个重要极限要会证明）

第七节 无穷小的比较（重要）

第八节 函数的连续性与间断点（重要基本必考小题）

一 函数的连续性 二 函数的间断点

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性（了解）

一 连续函数的和、差、积、商的连续性 二 反函数与复合函数的连续性

三 初等函数的连续性

第十节 闭区间上连续函数的性质（重要，不单独考大题，但考大题会用到）

一 有界性与最大值最小值定理（重要） 二 零点定理与介值定理（重要）

三 一致连续性。（不用看）

第二章 导数与微分（小题的必考章节）

第一节 导数概念（重要）

一 引例（数三可只看切线问题举例） 二 导数的定义（重难点，考的频率很高）

三 导数的几何意义（理解）另外：数一数二要知道导数的物理意义，数三要知道导数的经济意义（边际与弹性） 四 函数可导性与连续性的关系（重要，要会证明）

高数核心知识点

高数（即高等数学）是大学教育中的重要学科之一，是培养学生分析问题、解决问题能力的基础数学课程。本文将简要介绍高数的核心知识点，以帮助读者系统地理解和掌握这门学科。

1. 极限与连续

极限是高数的核心概念之一，它可以理解为函数逼近某个值时的趋势。极限的计算方法有很多，常用的有代数法、夹逼法和洛必达法则等。极限的概念在微积分中起着重要的作用，是求导、积分等运算的基础。

连续是指函数在某一段区间内无间断地存在。连续函数具有许多重要的性质，如介值定理和零点存在定理等。在实际问题中，连续性的概念有助于分析和解决各种现象。

2. 导数与微分

导数是描述函数变化率的概念，用于衡量函数在某一点附近的近似变化情况。导数的计算方法包括基本求导公式、链式法则和隐函数求导等。导数在几何中有重要的几何意义，可以表示函数曲线在某一点处的切线斜率。

微分是导数的微小变化量，用于描述函数在某一点的局部变化情况。微分的概念常应用于极值、最优化等问题的求解中。微分学是微积分的一个重要分支，与导数密切相关。 3. 积分与定积分

积分是导数的逆运算，是将函数的局部变化累积为整体变化的过程。积分的计算方法包括不定积分和定积分，其中不定积分是求函数的原函数，而定积分是计算函数在一定区间上的面积或曲线长度等。

定积分的计算方法包括基本积分公式、换元法和分部积分法等。定积分在几何学中具有计算曲线长度、计算曲线下的面积等重要应用。

4. 一阶微分方程

一阶微分方程是描述变量之间的关系的方程，包含未知函数及其导数的方程。一阶微分方程的求解方法有很多，常见的有分离变量法、齐次方程的变量代换和一阶线性微分方程的常数变易法等。

一阶微分方程在物理、生物、经济等领域具有广泛的应用，可以用于描述和解决各种变化的现象和问题。

5. 多重积分

多重积分是对多元函数在多维空间上的积分运算，与定积分类似，但积分区域和被积函数都需要考虑多维情况。多重积分的计算方法包括二重积分和三重积分，其中二重积分用于计算平面区域上的面积，三重积分用于计算空间区域上的体积等。

《高等数学C》课程教学大纲

一、课程基本信息

开课单位 课程类别 学科基础

课程名称 高等数学C Advanced Mathematics C 课程编码

开课对象 农科类、食品类、生物类等本科专业 开课学期 第一学期

学时/学分 总学时80、理论课学时80、实验课学时0/4.5学分

先修课程 初等数学

课程简介：

《高等数学C》是我校农科类、食品类、生物类等本科专业的教学计划中一门重要的基础理论课，它是为培养适应我国社会主义现代化建设需要的高质量专门人才服务的。本课程的主要内容包括：函数、极限、连续；一元函数微积分学；多元函数微积分学；常微分方程。

本课程的学习可以为学生学习后继课程和解决实际问题提供必要的数学基础。同时，通过各教学环节，逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力，综合运用所学知识分析和解决实践问题的能力，初步抽象概括问题的能力，自学能力以及一定的逻辑推理能力。

二、课程教学目标

本课程的学习可以为学生学习后继课程和解决实际问题提供必要的数学基础。同时，通过各教学环节，逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力，综合运用所学知识分析和解决实践问题的能力，初步抽象概括问题的能力，自学能力以及一定的逻辑推理能力。

第一，通过课程学习，提高学生的计算能力，主要是提高学生求极限、求微分、求积分的计算能力。

第二，通过课程学习，提高学生的自学能力，主要是提高学生自主学习的能力。

第三，通过课程学习，提高学生的分析问题与解决问题的能力，主要是提高学生能利用所学的高数知识去分析和解决一些实际问题的能力。

第四，通过课程学习，学生的抽象思维能力和逻辑推理能力要进一步提高。

三、教学学时分配

《高等数学C》课程理论教学学时分配表

章次 主要内容 学时教学方法或手段

分配

第一章 函数、极限与连续 12 讲授法、启发式、互动式

第二章 导数与微分 8 讲授法、MOOC

第三章 微分中值定理与导数的应用 12 讲授法、启发式

高数试题及答案

一、选择题

1. 下列函数中，哪一个是周期函数？

A. y = x^2

B. y = sin(x)

C. y = e^x

D. y = ln(x)

答案：B

2. 函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 7在x=1处的导数是：

A. -1

B. 1

C. 3

D. 5

答案：B

二、填空题

1. 若f(x) = 3x - 2，求f'(x) = __________。

答案：3

2. 曲线y = x^3在点(1,1)处的切线斜率是 __________。

答案：3

三、解答题

1. 求函数f(x) = x^2 + 3x - 5的极值点。

解：首先求导数f'(x) = 2x + 3。令f'(x) = 0，解得x = -3/2。将x = -3/2代入原函数，得到f(-3/2) = -11/4。由于f'(x)在x < -3/2时为负，在x > -3/2时为正，所以x = -3/2是函数的极小值点，对应的极小值为-11/4。

2. 证明函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 8在区间[1,3]上是单调递增的。

证明：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。观察导数，可以发现f'(x) = 3(x - 1)(x - 3)。由于1 ≤ x ≤ 3，所以(x - 1)和(x - 3)的符号相同，即f'(x) ≥ 0。因此，函数f(x)在区间[1,3]上是单调递增的。

四、计算题

1. 计算定积分∫(0,1) (2x - 1)dx。

解：首先求出被积函数的原函数F(x) = x^2 - x。然后根据定积分的定义，计算F(1) - F(0) = 1^2 - 1 - (0^2 - 0) = 1 - 1 = 0。

2. 计算二重积分∬(0,1)(0,1) xy dA。

解：由于积分区域是一个单位正方形，我们可以将二重积分分解为两个定积分的乘积。首先计算内层定积分∫(0,1) y dy = [1/2 *

图 6-1

第六章 重积分

本章起介绍多元函数积分学. 在一元函数积分学中我们知道定积分是某种确定形式的和的

极限. 这种和的极限的概念推广到定义在平面和空间区域、曲线及曲面上多元函数的情形, 便

得到重积分、曲线积分及曲面积分的概念. 本章将介绍重积分(包括二重积分和三重积分)的概

念、计算方法以及它们的一些应用.

第一节 二重积分的概念与性质

一、二重积分的概念

为了更好地理解二重积分的概念, 先看下面两个引例.

1．两个引例

引例1 曲顶柱体的体积

设有一空间立体V

(图6-1), 它的底是xOy

面上的有

界闭区域D

（本书以后除特殊说明外, 都假定平面闭区域是

有界的，且平面闭区域有有限面积）,它的侧面是以D

的边

界曲线为准线而母线平行于z

轴的柱面,它的顶是曲面

(,)zfxy

, 这里(,)0fxy

且在D

上连续, 这种立

体叫做曲顶柱体.

对于平顶柱体, 即函数(,)fxy

在D

上取常数值时, 可用公式

体积=底面积

高

来计算其体积.

对于曲顶柱体, 当点(,)xy

在区域D

上变动时, 高度(,)fxy

是一个变量, 其体积不能

直接用上述公式来计算, 但却可以仿照第五章中求曲边梯形面积的方法来计算曲顶柱体的体积,

步骤如下:

(1)分割 用任意一组曲线网将区域D

分成n

个小闭区域

12n，，，

, 以这些

Ox

y

(

,

)

i

i



Di



图6-3 

i

(

i



i)

图 6-2 小闭区域的边界曲线为准线, 作母线平行于z

轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体V

分划成

n

个小曲顶柱体

12,,,

nVVV

. 假设以

i

为底的小曲顶柱体为

iV

,这里

i

既表

示第i

个小区域,又表示它的面积,

iV

既表示第i

个小曲顶柱体, 又表示它的体积, 从而

1.n

i

iVV



(2)取近似 由于(,)fxy

在D

上连续, 故当每个小闭区域

i

的直径(即区域上任意两

点间距离的最大值)都很小时, (,)fxy

在

i

上的函数值

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一、考试范围：第一章——第七章

二、各章复习要点：

第一章：微商

1、掌握极限的运算法则及两个重要极限公式，会求有理分式函数型极限中的参数；

2、掌握无穷小的比较，会计算00型的极限；

3、会求曲线的渐近线。

4、掌握函数连续、间断的判断方法，会判断间断点的类型。

5、会利用根的存在性定理证明方程根的存在性及唯一性

第二章：微分法

1、掌握导数的几何意义，会求参数形式函数的切线方程；会利用导数定义求极限

2、会求函数微分，知道函数有界、连续、可导、可微的相互关系

3、掌握复合函数的求导法则及参数方程的求导法（一阶）；会求幂指函数导数

4、会求简单函数高阶导数

第三章：微商的应用

1、会判定函数是否满足洛尔中值定理的条件

2、会用洛必达法则求简单未定式的极限；

3、掌握函数单调性的判断方法及极值的计算方法；

4、掌握曲线凹凸性的判断方法及拐点的确定方法；

5、会用单调性证明简单的不等式

第四章：积分及应用

1、 掌握原函数与不定积分的概念；

2、会利用函数奇偶性求定积分，会求分段函数的定积分

3、会利用定积分几何意义及定积分的性质（可加性）求定积分；

4、掌握积分上限函数及其导数和微分；

5、掌握牛顿——莱布尼兹公式，会用直接积分法、换元法及分部积分法求定积分；

6、掌握简单直角坐标系下曲边梯形面积的计算。

第五章：微分方程与差分方程

1、掌握可分离变量微分方程解法；

2、会用通解公式求一阶线性微分方程的通解；

3、掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法

第六章：多元函数微分法

1、掌握多元函数偏导数（包括二阶偏导数）及全微分的计算（可以参见书上p329习题6-3第一题）

第六章：二重积分

1、利用二重积分的几何意义求二重积分；

2、掌握直角坐标系下二重积分的计算，会交换二次积分的顺序；（可以参见书上相关例子）

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1 第25，26讲 第八章 重 积 分

上一章把一元函数微分学推广到多元函数情形.现在要把一元函数定积分推广为多元函数的多重积分、曲线积分和曲面积分.

定积分（特定构造的和式极限，“高级和”）所讨论的是分布在某区间上的几何量（曲边梯形面积）或物理量（变速直线运动路程）的积累问题.而多重积分，曲线、曲面积分则能求出分布在平面区域，平面曲线，空间曲面上的整体量，以扩大积分学的应用范围.

第一节 二重积分的概念和性质

一、二重积分的概念

1.两个实例

例1 求曲顶柱体的体积.

曲顶柱体是指：以平面上的有界闭区域D为底，以D上方的曲面S为顶，周围是母线平行于z轴的柱面（见P.306图8-1）

今设曲顶方程为(,),(,)zfxyxyD，且设(,)fxy连续，，(,)0fxy，求该曲顶柱体的体积.V

解 第一步 ：“分割”— 化整为零.

用一组曲线网将区域D分成n个小区域：12,,,n，并用它们记各小区域的面积.，于是大体积相应被分割为n个曲顶柱体，记体积为：12,,,nvvv（见P.306图8-2）.

第二步：“近似代替”— 以平代曲.

i上任意取一点（,)ii，(,)fxy在D上连续，当分割充分细小时，可用小平顶柱体体积,()iiif近似代替小曲顶柱体的体积(,)(1,2,,).iiiivfin

第三步：“求和”— 积零为整.

11(,)nniiiiiiVvf.

第四步：“取极限”— 由近似到精确.

01lim(,)niiiiVf，

其中是n个小区域i的直径最大者，即 1max()iind.

例2 求不均匀平面薄板的质量（薄即厚度可忽略不计）.

高数重点

注：那个画的题目我是这样表示的。比如P57.三.2 就是第57页的第三大题的第2小题。前面的是重要的知识点。

第七章

1.一阶线性微分方程 2.可降阶的二阶微分方程 3.二阶齐次 4.常系数齐次线性微分方程

书：P301.1 P320.1(1)(2)(3) P323例三 P326例五 P329.1(5)(7)

指导书：P64.三1、2、3 P65.二 P66.二.3、4 P67.三.1(7)

第八章

1.对称式直线方程 2.点法式平面方程 3.过点与两平面都垂直的平面方程

书：P13.8 P19 例四 P23.1 P36.2 P50例四 P51.3、4

指导书：P2.二.1 P5.5 P7.二 P9.2、5 P57.三.2 P59.一.5

第九章

1.求极限 2.求全微分 3.求曲线的切线及法平面 4.求曲线的切平面及法线 5.求条件极值

书P61例五 P65.6(1)(2)(3)(4) P75例一、例三 P77.1(1)(2)(4) P78.2 P97例四 P102例六 P103.7、8

指导书：P11.二.1 P13.一.2、二 P16.一.2 P19.二.4 P22.四.2

第十章

1.二重积分性质 2.交换积分次序 3.直角坐标系下的二重积分

书：P144例一 P145例三 P157.2(4)、6(1)(2)(3)(4)

指导书：P25.一.4、5 、二.2 P29.二.4 P30.三.3

第十一章

1. 对弧长的曲线积分 2.对坐标的曲线积分 3.与积分路径无关的曲线积分

书：P193.3(2)(3) P201例四 P204.4 P207例二 P217.6、7(1)(4)

指导书：P33.一.2、二 P34.二.1、2 P35.三 P40.一.1 P53.一.4

1

第五章 二重积分

【基础练习题44】

1. 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小

（1）2

d

Dxy

与3

d

Dxy

，其中积分区域D

是由x

轴、y

轴与直线1xy

所

围成；

（2）2

d

Dxy

与3

d

Dxy

，其中积分区域D

是由圆周22

212xy

所

围成；

（3）

lnd

Dxy

与2

lnd

Dxy



，其中积分区域D

是三角形闭区域，三个顶点

分别为

1,0,1,1,2,0

；

（4）

lnd

Dxy

与2

lnd

Dxy



，其中

,35,01.Dxyxy

2.

设22

1cosd

DIxy

,22

2cos()d

DIxy

,222

3cos()d

DIxy

, 其中



22(,)1Dxyxy

，则 （ ）

（A）

123III

. （B）

321III

.

（C）

312III

. （D）

213III

.

 【基础练习题44解析】

1.【解析】

（1）在积分区域D

上，01xy

，故有32()()xyxy

. 故



32

dd

DDxyxy

.

（2）由于积分区域D

位于半平面

(,)1xyxy

内，故在D

上有23()()xyxy

.

从而23

dd

DDxyxy

.

（3）由于积分区域D

位于条形区域

(,)12xyxy

内，故知区域D

上的点满足

0ln()1xy

，从而有2[ln()]ln()xyxy

. 因此 高等数学切片课后习题

23高数切片讲义第3章课后习题与答案2

2

lndlnd

DDxyxy



.

（4）由于积分区域D位于半平面

(,)exyxy

内，故在D

上有ln()1xy

，从而

2[ln()]ln()xyxy

. 因此

2

lndlnd

高数书题目重点目录整理

2015考研数学高等数学教材导学

【注】 1导学用书：同济大学《高等数学》（上、下册）（第6版）

2 请各位学员认真研读课本内容及完成选择习题，打下一个牢固的基

础。无论是教材上的定理、例题，还是课后的习题，曾作为历年的考

研真题出现过。

第1章函数、极限、连续

1、映射与函数

（一）复习内容

P1-16(表示1至16页，下同)，双曲函数开始之后的不复习。

（二）选做习题

P21-22 第4-12题，第14-16题。

2、数列的极限

（一）复习内容

P23-30

（二）选做习题

P30-31 第1、5、6题。

3、函数的极限

（一）复习内容

P31-37

（二）选做习题

P37-39 第1-4题，第12题。

4、无穷小与无穷大

（一）复习内容

P39-41

（二）选做习题 P42 第4、5、6、7题。

5、极限运算法则

（一）复习内容

P43-49

（二）选做习题

P49 第1-5题。

6、极限存在准则两个重要极限

（一）复习内容

P50-55（除Cauchy极限存在准则）

（二）选做习题

P56-57 第1、2、4题。

7、无穷小的比较

（一）复习内容

P57-59

（二）选做习题

P59-60 第1-4题。

8、函数的连续性与间断点

（一）复习内容

P60-64

（二）选做习题

P64-65 第1-5题，第7-8题。

9、连续函数的运算与初等函数的连续性

（一）复习内容

P66-69

（二）选做习题

P69-70 习题1-9全做

P74 总习题一第1-13题。

第2章函数、极限、连续

1、导数概念

（一）复习内容 P77-86

（二）选做习题

P86-88 习题2-1全做。

2、函数的求导法则

（一）复习内容

P88-96（例17不学）

（二）选做习题

P97-99 第1、5题，第5-11题，第13、14题。

3、高阶导数

（一）复习内容

P99-102

（二）选做习题

重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页

重庆大学2015版试卷标准格式 重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 A卷

B卷

20 — 20 学年 第 学期

开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期:

考试方式：开卷闭卷 其他 考试时间: 120 分题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分

得 分

一、选择题(每小题3分,共18分)

1. 设向量a与三轴正向夹角依次为,,,则当cos0时有().

(A) axoy面 (B) a//xoz面

(C) ayoz面 (D) axoz面

知识点:向量与坐标的位置关系,难度等级:1.

答案: (B)

分析:cos0,,2a垂直于y轴,a//xoz面.

2. 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为212323,yCCxCx其中123,,CCC为独立的任意常数,则该方程为().

(A)0yy (B) 30yy

(C)0yy (D) 0y

知识点:通过微分方程的通解求微分方程,难度等级:2.

答案: (D)

分析:由通解中的三个独立解21,,xx 知,方程对应的特征方程的特征根为1230.因此对应的特征方程是30.于是对应的微分方程应是0.y故应选(D).

3. 设D由14122yx确定.若1221,DIdxy222(),DIxyd223ln(),DIxyd则1,I2,I3I之间的大小顺序为().

习题9−1

1. 设有一平面薄板(不计其厚度), 占有xOy面上的闭区域D, 薄板上分布有密度为μ

=μ(x, y)的电荷, 且μ(x, y)在D上连续, 试用二重积分表达该板上全部电荷Q.

解 板上的全部电荷应等于电荷的面密度μ(x, y)在该板所占闭区域D上的二重积分

.

2. 设, 其中D1={(x, y)|−1≤x≤1, −2≤y≤2};

又, 其中D2={(x, y)|0≤x≤1, 0≤y≤2}.

试利用二重积分的几何意义说明I1与I2的关系.

解 I1表示由曲面z=(x2+y2)3与平面x=±1, y=±2以及z=0围成的立体V的体积.

I2表示由曲面z=(x2+y2)3与平面x=0, x=1, y=0, y=2以及z=0围成的立体V1的体积.

显然立体V关于yOz面、xOz面对称, 因此V 1是V位于第一卦限中的部分, 故

V=4V1, 即I1=4I2.

3. 利用二重积分的定义证明:

(1)∫∫ (其中σ为D的面积);

证明 由二重积分的定义可知,

其中Δσi表示第i个小闭区域的面积.

此处f(x, y)=1, 因而f(ξ, η)=1, 所以

.

(2)∫∫ (其中k为常数);

证明 .

(3),

其中D=D1∪D2, D1、D2为两个无公共内点的闭区域.

证明 将D1和D2分别任意分为n1和n2个小闭区域 和,

n1+n2=n, 作和

.

令各 和 的直径中最大值分别为λ1和λ2, 又λ=max(λ1λ2), 则有

,

高数论文

2013014402 郭云桥

在还没有进入大学的时候，我就听很多的学长和学姐说，在大学时期，一定要学好高数这门课，因为基本上每一个专业都有高数这门课，这也足以说明了高数的重要性。那么，怎样才能学好高等数学呢？我想就自己这将近一学年的学习经验与体会，谈几点肤浅的看法。

一、摒弃中学的学习方法

从中学升入大学学习以后，在学习方法上将会遇到一个比较大的转折。首先是对大学的教学方式和方法感到很不适应，这在高等数学课程的教学中反应特别明显，因为它是一门对大一新生首当其冲的理论性比较强的基础理论课程，而学生正是习惯于模仿性和单一性的学习方法，这是在从小学到中学的教育中长期养成的，一时还难以改变。

中学的教学方式和方法与大学有质的差别。突出表现在：中学的学习，学生是在教师的直接指导下进行模仿和单一性的学习，大学则要求学生在教师的指导下进行创造性的学习。例如：中学的数学课的教学是完全按照教材进行的，在课堂上只要求教师讲、学生听，不要求作笔记，教师教授慢、讲得细、计算方法举例也多，课后只要求学生能模仿课堂上教师讲的内容作些习题就可以了，根本没有必要去钻研教材和其他参考书（为了高考增强考生的解题能力而选择一些其他参考书仅是训练解题能力的需要），而大学的高等数学课程则恰好不一样，教材仅是作为一种主要的参考书。要求学生以课堂上老师所讲的重点和难点为线索，通过大量地阅读教材和同类的参考书，以充分消化和掌握课堂上所讲授内容，然后做课后习题巩固所掌握知识，这就是进行反复地创造性的学习。这是一种艰苦的脑力劳动，它不仅要求学生主动地、自觉地进行学习，同时还要在松散地环境下能约束自己，并且要掌握较好的学习方法，才能把所要学习的知识学得扎实，为专业课程的学习打下良好基础。

二、 把握三个环节，提高学习效率

什么是学习高等数学的最好方法呢？这根据每个人的学习时的习惯和理解问题的能力不同而异，但就一般说来，均应抓好以下三个环节。其一是课前预习。这一过程很重要，因为只有课前预习过，才会在听课时做到心中有数，即老师所讲的内容哪些是属于难以理解的，什么是重点等，这样带着一些问题去听老师讲课，效果就很明显了，同时预习的过程中也就培养了你的自学能力，这对自己来说将是终身受益的。预习的过程也不需要花太多时间，一般地一次课内容花三、四十分钟左右时间就可以了。在预习时不必要把所有问题弄懂，只要带着这些不懂的问题去听课就行。其二是上课用心听讲，并且要记好课堂笔记。

高数2知识点总结

高等数学是大学数学的重要组成部分，其中高数2是高等数学的进阶内容。本文将对高数2的知识点进行总结，以便读者能够更好地理解和掌握这一学科。

1. 极限与连续

极限是高数2中的重要概念，它描述了函数在某一点或无穷远处的趋势。极限的计算方法有很多种，如代入、夹逼、洛必达法则等。连续是指函数在某一区间内无间断的特性，连续函数具有一些重要的性质，如介值定理、零点定理等。

2. 一元函数微分学

微分学是研究函数变化率与函数本身的关系的学科。高数2中的微分学主要包括导数和微分。导数描述了函数在某一点的变化率，它有一些重要的性质，如可导函数的判定、导数法则等。微分是导数的几何解释，它用于近似计算和误差估计。

3. 一元函数积分学

积分学是研究函数累积与函数本身的关系的学科。高数2中的积分学主要包括不定积分和定积分。不定积分是求函数原函数的过程，它有一些常见的积分公式和积分方法。定积分是求函数在某一区间上的累积量，它有一些重要的性质，如定积分的计算、定积分的应用等。

4. 多元函数微分学

多元函数微分学是研究多元函数的变化率与函数本身的关系的学科。高数2中的多元函数微分学主要包括偏导数和全微分。偏导数描述了多元函数在某一点的各个方向上的变化率，它有一些重要的性质，如混合偏导数的对称性、二阶偏导数的计算等。全微分是多元函数的线性逼近，它用于近似计算和误差估计。

5. 多元函数积分学

多元函数积分学是研究多元函数的累积与函数本身的关系的学科。高数2中的多元函数积分学主要包括二重积分和曲线积分。二重积分是求多元函数在平面区域上的累积量，它有一些常见的积分公式和积分方法。曲线积分是求多元函数沿曲线的累积量，它有一些重要的性质，如格林公式、斯托克斯公式等。

总结：高数2是高等数学的重要内容，主要包括极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学和多元函数积分学。这些知识点在数学和工程领域都有广泛的应用，对理解和解决实际问题具有重要意义。希望通过本文的总结，读者能够更好地掌握高数2的知识点，提高数学能力和解决问题的能力。

共 8 页 第 1 页 《高等数学B》课程期末试卷

一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分3 6分)

1. 幂级数1(3)3nnnxn的收敛域为 ；

2. 设222()zyfxy，其中()fu可微， 则yzxxzy= ；

3. 曲线224xyzzxy在点(1,1,2)处的法平面方程是 ；

4. 设C为曲线22241xyzzz，则曲线积分dszyxc222= ；

5. 交换二次积分的次序xxxdyyxf222

0 2),(dx= ；

6. 三次积分222111222000dd()dxxyxyxyzz的值是 ；

7. 散度3(2,0,)divcos(2)xyyzijk ；

8. 已知第二型曲线积分4124(4)d(65)dBnnAxxyxxyyy与路径无关，则n= ；

9.平面5431xyz被椭圆柱面22491xy所截的有限部分的面积为 .

二. 计算下列各题(本题共4小题，每小题7分，满分28分)

10．设(,)zzxy是由方程1xyyzxz所确定的隐函数，0xy，试求2zxy.

学号 姓名

密 封 线 共 8 页 第 2 页 11．计算二重积分2()ddDxyxy，其中区域22(,)24Dxyyxyy.

12．设立体由曲面2221xyz及平面0,3zz围成，密度1，求它对z轴的转动惯量.

13. 计算曲面积分dSz，为球面2222xyzR上满足0hzR的部分.

贵州大学高数试题及答案

一、选择题（每题4分，共40分）

1. 函数f(x)=x^2+3x-4的零点个数是（ ）。

A. 0个

B. 1个

C. 2个

D. 3个

答案：C

2. 极限lim(x→0) (1+2x)^(1/x)的值是（ ）。

A. 0

B. 1

C. e^2

D. e^(-2)

答案：C

3. 函数f(x)=x^3-3x+2的单调递增区间是（ ）。

A. (-∞, 1)

B. (1, +∞)

C. (-∞, 1)∪(1, +∞)

D. (-∞, +∞)

答案：B

4. 函数f(x)=x^2-6x+8的极值点是（ ）。

A. 2

B. 4

C. 3

D. 5

答案：A

5. 函数f(x)=x^3-3x+2的拐点是（ ）。 A. 1

B. -1

C. 0

D. 2

答案：A

6. 曲线y=x^2-4x+3在x=2处的切线斜率是（ ）。

A. 0

B. 1

C. -1

D. 2

答案：A

7. 曲线y=x^3-3x^2+2x的拐点个数是（ ）。

A. 0个

B. 1个 C. 2个

D. 3个

答案：C

8. 函数f(x)=x^2-4x+3的极小值是（ ）。

A. -1

B. 1

C. 0

D. 3

答案：A

9. 函数f(x)=x^3-3x+2的单调递减区间是（ ）。

A. (-∞, 1)

B. (1, +∞)

C. (-∞, 1)∪(1, +∞)

D. (-∞, +∞)

答案：A

10. 曲线y=x^2-4x+3在x=2处的切线方程是（ ）。

A. y=-x+4

B. y=x-4

C. y=-x+2

D. y=x+2

答案：A

二、填空题（每题4分，共20分）

11. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点是_________。

答案：1和3

12. 极限lim(x→0) (1+x)^(1/x)的值是_________。

答案：e

13. 函数f(x)=x^3-3x+2的极值点是_________。