ch7-6-多元函数求极值

多元函数极值与最值在微积分中，我们学习了一元函数的极值与最值问题。

而在现实生活中，很多问题涉及到多个变量的函数，即多元函数。

对于多元函数来说，我们也需要研究其极值与最值问题。

本文将介绍多元函数的极值与最值的求解方法，并通过几个例子进行说明。

1. 极值与最值的定义在进行多元函数的极值与最值问题的求解之前，首先需要了解各种极值与最值的定义。

（这里插入合适的图表和示意图）1.1 局部极值：若对于一个给定的多元函数，存在某个点使得在该点的某个邻域内，函数值在该点之上或之下都小于等于（或大于等于）该点的函数值，那么称该点是该函数的一个局部极值点。

1.2 全局极大值与极小值：若对于一个给定的多元函数，如果函数的取值在定义域上的每个点上都大于等于（或小于等于）其它点，那么称该函数在该定义域上有全局极大值或极小值。

1.3 最大值与最小值：若对于一个给定的多元函数，对于其定义域上的每个点，函数值都小于等于（或大于等于）某个常数，那么称该常数为该函数在定义域上的最小值或最大值。

2. 求解方法接下来，我们将介绍两种常用的方法来求解多元函数的极值与最值问题。

2.1 梯度法梯度法是一种常用的用于求解多元函数极值的方法。

它利用函数在某个点的梯度方向可以指示函数值增大或减小的趋势。

具体步骤如下：（这里插入梯度法求解极值的算法步骤）2.2 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是另一种常用的求解多元函数极值与最值的方法。

它适用于含有约束条件的优化问题，即在满足一定条件下求取函数的极值或最值。

具体步骤如下：（这里插入拉格朗日乘子法求解极值的算法步骤）3. 实例分析为了更好地理解多元函数的极值与最值问题的求解方法，我们将通过几个实例来进行分析。

3.1 示例一：二元函数我们考虑一个二元函数示例，如下所示：（这里插入具体示例的函数表达式和图形展示）通过梯度法和拉格朗日乘子法，我们可以求解该函数的极值与最值，并得出结果。

3.2 示例二：三元函数我们再考虑一个三元函数示例，如下所示：（这里插入具体示例的函数表达式和图形展示）同样地，我们可以利用梯度法和拉格朗日乘子法来求解该函数的极值与最值。

多元二次函数求极值设多元二次函数为f(x,y)，其中x和y是未知数。

求f(x,y)的极值，即求f(x,y)的导数。

首先，我们对f(x,y)关于x求偏导数，即求∂f/∂x。

在求偏导数时，将y当作常数对待。

然后，我们对f(x,y)关于y求偏导数，即求∂f/∂y。

在求偏导数时，将x当作常数对待。

对于多元二次函数f(x,y)，如果∂f/∂x=0、∂f/∂y=0同时成立，那么这个点就是f(x,y)的极值点。

然后我们对导数方程组进行求解，得到x和y的值。

将这个点的x和y代入f(x,y)的表达式中，就得到了f(x,y)的极值。

接下来，我们举一个例子来说明如何求多元二次函数的极值。

例子：求函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2的极值。

首先，我们对f(x,y)关于x求偏导数：∂f/∂x=2x+2y。

然后，我们对f(x,y)关于y求偏导数：∂f/∂y=2x+2y。

令∂f/∂x=0，我们得到2x+2y=0。

令∂f/∂y=0，我们得到2x+2y=0。

由上面两个方程可知，2x+2y=0。

解这个方程，得到x=-y。

将x=-y代入f(x,y)的表达式中，得到f(x,y)=(-y)^2+2(-y)y+y^2=2y^2所以，f(x,y)的极值为2y^2由于y可以取任意实数，所以f(x,y)的极值为任意大。

综上所述，多元二次函数的极值是任意大。

以上就是求多元二次函数的极值的方法和一个具体的例子。

但需要注意的是，在实际问题中，多元二次函数的极值可能具有一定的限制条件，需要将限制条件纳入考虑范围内进行求解。

多元函数条件极值求解方法摘要:本文研究的是代入法、拉格朗日乘数法、标准量代换法、不等式法等九种方法在解多元函数条件极值问题中的运用，较为全面的总结了多元函数条件极值的求解方法，旨在解决相应的问题时能得以借鉴，找到合适的解决方法。

关键词：多元函数；条件极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式Abstract: This paper studies the substitution method, the Lagrange multiplier method, standard substitution method, inequality of nine kinds of method in solving multivariate function extremum problems, the application conditions are summed up the diverse functions of conditional extreme value method, to solve the corresponding problem is able to guide, to find the right solution.Key words: multiple functions; Conditional extreme value; Lagrange multiplier method; Cauchy inequality时比较困难，解题过程中选择一种合理的方法可以达到事半功倍的效果，大大减少解题时间，拓展解题的思路。

下面针对多元函数条件极值问题总结了几种方法供大家借鉴。

1.消元法对于约束条件较为简单的条件极值求解问题，可利用题目中的约束条件将其中一个量用其他量表示，达到消元的效果，从而将条件极值转化为无条件极值问题。

例1 求函数在条件x－y+z=2下的极值.解：由x－y+z=2 解得将上式代入函数，得解方程组得驻点，，在点处，，所以不是极值点从而函数在相应点处无极值；在点处，，又，所以为极小值点因而，函数在相应点处有极小值极小值为.2.拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是求多元函数条件极值的一种常用方法，特别是在约束条件比较多的情况下使用拉格朗日乘数法更方便适用.求目标函数在条件函数组限制下的极值，若及有连续的偏导数，且Jacobi矩阵的秩为，则可以用拉格朗日乘数法求极值.首先，构造拉格朗日函数然后，解方程组从此方程组中解出驻点的坐标，所得驻点是函数极值的可疑点，需进一步判断得出函数的极值.定理1.2.1（充分条件）设点及个常数满足方程组，则当方阵为正定（负定）矩阵时，满足约束条件的条件极小（大）值点，因此为满足约束条件的条件极小（大）值.例2.求椭球在第一卦限内的切平面与三坐标面所围成的四面体的最小体积.解：此椭球在点处的切平面为化简,得此平面在三个坐标轴上的截距分别为：则此切平面与三坐标面所围成的四面体的体积由题意可知，体积存在最小值，要使最小，则需最大；即求目标函数在条件下的最大值，其中，拉格朗日函数为由解得;3. 标准量代换法求含有多个变量的条件极值时,可以选取某个与这些变量有关的量作为标准量,其余各量为比较量,然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来,即可将其变为研究标准量与辅助量间的关系.如果给定条件是几个变量之和的形式,一般设这几个量的算术平均数为标准量.例3.设,求的最小值.解：取为标准量,令,则(为任意实数),从而有等号当且仅当, 即时成立，所以的最小值为.4.不等式法4.1 利用均值不等式将目标函数配凑成均值不等式左边或右边的形式，再根据均值不等式中等号成立的充要条件：，求解多元函数条件极值。

多元函数的条件极(最)值求法 咱今儿就来说说这多元函数的条件极（最）值求法啊。 我跟你讲，这玩意儿一开始瞅着啊，就跟看一团乱麻似的，让人脑袋发懵。我还记得我头回碰上这东西的时候，那真是对着书本直发愣。那书啊，就搁在我面前的桌子上，阳光从窗户斜照进来，在书页上打出一片光影，可我这眼睛瞅着那些公式和符号，就跟瞅着外星文似的，一点儿都不明白。

咱先得弄清楚啥叫条件极（最）值啊。打个比方吧，就好比你要去菜市场买菜，你兜里就那么多钱，这钱就是个条件。你得在这个条件下，挑到最合心意、性价比最高的菜，这就有点像求条件极（最）值的意思。

说到求法，这可就有门道了。有一种常见的方法叫拉格朗日乘数法，这名字听起来就挺唬人的。我刚学的时候，心里直犯嘀咕：“这啥玩意儿啊，咋这么复杂？”就好比你走在一条陌生的小道上，周围都是雾蒙蒙的，你都不知道该往哪儿走。

我那时候啊，就找同学一块儿琢磨。我那同学，长得圆头圆脑的，眼睛瞪得跟铜铃似的，也在为这事儿犯愁呢。我俩就对着课本上的例题，你一言我一语地讨论起来。

“你看啊，这儿为啥要这么设啊？”我皱着眉头，手指戳着书上的一行字。 “我哪儿知道啊，我也正迷糊着呢。”他挠挠头，那头发就跟鸡窝似的。 后来啊，慢慢琢磨出点门道了。这拉格朗日乘数法呢，就像是给你找了个帮手，帮你把这个复杂的问题给捋顺了。你得先构造一个新的函数，就好比给这个难题搭了个新的架子，然后通过求偏导数这些操作，一步一步地找出那个极值点。

这过程啊，就跟爬山似的。你得一步一个脚印地往上爬，有时候还得绕绕弯路，避开那些陡峭的地方。有时候你觉得自己找对路了，结果一抬头，发现前面又是个大坑。这时候啊，你就得重新调整方向，继续摸索。 还有啊，这条件极（最）值在实际生活中用处可大了去了。比如说，工厂生产东西，要在成本一定的条件下，让产量达到最大。这就需要用到咱学的这条件极（最）值求法。你想想，要是不会这玩意儿，那工厂老板得多头疼啊，不知道该怎么安排生产，说不定就赔本了呢。

多元函数求最值
求解多元函数的最值是数学中一个重要的问题。

今天，我们来具体介绍求多元函数的最值的方法。

多元函数的最值的具体方法可以分为两个部分：一是使用极值定理，二是求解微分方程组。

使用极值定理求多元函数的最值，首先要对函数进行导数分析，判断函数极值，然后再确定极值点。

极值点是多元函数的最值所在。

使用微分方程组求多元函数的最值，首先要将函数的变量从有限个变量变成无穷多个变量，然后使用多元微分方程（偏微分方程）解出该函数的局部极值点，再使用二阶微分方程（二阶偏微分方程）确定最值点。

以上是求多元函数最值的方法，其中使用极值定理求最值比较简单，数学家常用于求解最值；而使用微分方程组求最值比较复杂，但是可以求解更加复杂的问题。

只要掌握这些方法，就可以求解多元函数的最值。

第 八 节 多元函数的极值及其求法教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题．熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值．教学重点：多元函数极值的求法．教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值．教学内容：一、 多元函数的极值及最大值、最小值1．多元函数的极值定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00y x 的点，如果都适合不等式 00(,)(,)f x y f x y <（或),(),(00y x f y x f >）则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极大值00(,)f x y （或极小值),(00y x f ）．极大值、极小值统称为极值．使函数取得极值的点称为极值点．例1 函数2243y x z +=在点(0,0)处有极小值．因为对于点(0,0)的任一邻域内异于(0,0)的点，函数值都为正，而在点(0,0)处的函数值为零．从几何上看这是显然的，因为点(0,0,0)是开口朝上的椭圆抛物面2243y x z +=的顶点．例２ 函数22y x z +-=在点(0,0)处有极大值．因为在点(0,0)处函数值为零，而对于点(0,0)的任一邻域内异于(0,0)的点，函数值都为负，点(0,0,0)是位于xOy 平面下方的锥面22y x z +-=的顶点． 例３ 函数xy z =在点(0,0)处既不取得极大值也不取得极小值．因为在点(0,0)处的函数值为零，而在点(0,0)的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点．定理1（必要条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：0),(,0),(0000==y x f y x f y x证 不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值．依极大值的定义，在点),(00y x 的某邻域内异于),(00y x 的点都适合不等式 ),(),(00y x f y x f <在该邻域内取0y y =，而0x x ≠的点，也应适合不等式 000(,)(,)f x y f x y <．这表明一元函数0(,)f x y 在0x x =处取得极大值，因此必有 0),(00=y x f x ．类似地可证 0),(00=y x f y ．从几何上看，这时如果曲面),(y x f z =在点),,(000z y x 处有切平面，则切平面))(,())(,(0000000y y y x f x x y x f z z y x -+-=-成为平行于xOy 坐标面的平面00=-z z ．凡是能使0),(,0),(==y x f y x f y x 同时成立的点),(00y x 称为函数),(y x f z =的驻点，从定理1可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点．但是函数的驻点不一定是极值点，例如，点(0,0)是函数的驻点，但函数在该点并无极值．怎样判定一个驻点是否是极值点呢？定理2（充分条件） 设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又，令则在处是否取得极值的条件如下：(1)时具有极值，且当时有极大值，当时有极小值；(2)时没有极值；(3)时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论．利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数的极值的求法叙述如下：第一步 解方程组，求得一切实数解，即可以得到一切驻点．第二步 对于每一个驻点，求出二阶偏导数的值，和．第三步 定出的符号，按定理2的结论判定是否是极值、是极大值还是极小值．例1 求函数的极值．解 先解方程组求得驻点为（1,0）、（1,2）、（-3,0）、（-3,2）．再求出二阶偏导数(,)66,(,)0,(,)66xx xy yy f x y x f x y f x y y =+==-+在点(1,0) 处，06122>⋅=-B AC 又0>A ，所以函数在(1,0)处有极小值(1,0)5f =-；在点(1,2) 处，0)6(122<-⋅=-B AC ，所以f (1,2)不是极值；在点(-3,0) 处，06122<⋅-=-B AC ，所以f (-3,0)不是极值；在点(-3,2) 处，0)6(122>-⋅-=-B AC 又0<A 所以函数在(-3,2)处有极大值f (-3,2)=31．2．多元函数的最值与一元函数类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最值．我们知道，如果函数(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，则(,)f x y 在D 上必能取得最大值和最小值．最大值点和最小值点既可能在D 的内部，也可能在D 的边界上．我们假定，函数在D 上连续、在D 内可微且只有有限个驻点，这时如果函数在D 内部取得最大值（最小值），则这个最大值（最小值）也是函数的极大值（极小值）．求函数最大值和最小值的方法：将函数(,)f x y 在D 内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较，最大的就是最大值，最小的就是最小值．在实际问题中，如果知道最大值（最小值）一定在D 的内部取得，而函数在D 内只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数在D 上的最大值（最小值）．例2 某厂要用铁板作成一个体积为2m 3的有盖长方体水箱．问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省．解 设水箱的长为(m)x ，宽为(m)y ，则其高应为2(m)xy，此水箱所用材料的面积 )22(2xyx xy y xy A ⋅+⋅+=， 即 )22(2yx xy A ++= （0>x ，0>y ） 可见材料面积A 是x 和y 的二元函数，这就是目标函数，下面求使这函数取得最小值的点),(y x ．令 0)2(22=-=x y A x ， 0)2(22=-=yx A y 解这方程组，得：32=x ，32=y 从这个例子还可看出，在体积一定的长方体中，以立方体的表面积为最小．二、条件极值 拉格朗日乘数法上面所讨论的极值问题对于函数的自变量除了限制在函数的定义域内以外，并无其它条件，这类极值称为无条件极值．但在实际问题中，有时会遇到对函数的自变量还有附加条件的极值问题称为条件极值．条件极佳值保化为无条件极值，但在很多情形下，将条件极值化为无条件极值并不简单．拉格朗日乘数法 要找函数),(y x f z =在附加条件0),(=y x φ下的可能极值点，可以先构造辅助函数 ),(),(),(y x y x f y x F λφ+=其中λ为某一常数求其对x 与y 的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程(2)联立(,)(,)0(,)(,)0(,)0x x y y f x y x y f x y x y x y λφλφφ+=⎧⎪+=⎨⎪=⎩（1）由这方程组解出x ，y 及λ，则其中x ，y 就是函数),(y x f 在附加条件下0),(=y x φ的可能极值点的坐标．这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形．例如，要求函数),,,(t z y x f u =在附加条件0),,,(=t z y x φ，0),,,(=t z y x ψ(2)下的极值，可以先构造辅助函数 12(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)L x y z t f x y z t x y z t x y z t λφλψ=++其中1λ，2λ均为常数，求其一阶偏导数，并使之为零，然后与(2)中的两个方程联立起来求解，这样得出的t z y x 、、、就是函数),,,(t z y x f 在附加条件(2)下的可能极值点的坐标．至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定．例3 求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积．解 设长方体的三棱长为z y x ,,， 则问题就是在条件 2(,,)2220x y z xy yz xz a ψ=++-= （3）下，求函数xyz V = )000(>>>z y x ，，的最大值．构造辅助函数2(,,,)(222)L x y z xyz xy yz xz a λλ=+++-求其对y x 、、z 的偏导数，并使之为零，得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++0)(20)(20)(2z y xy z x xz z y yz（4）再与(3)联立求解． 因y x 、、z 都不等于零，所以由(11)可得y x ＝z y z x ++， zy ＝z x y x ++． 由以上两式解得z y x ==将此代入式(3)，便得 z y x ===a 66 这是唯一可能的极值点．因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个可能的极值点处取得．也就是说，表面积为2a 的长方体中，以棱长为a 66的正方体的体积为最大，最大体积3366a V =． 小结：本节研究多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值问题．在介绍多元函数极值的定义后，介绍了二元极值的性质以及利用偏导数求极值的步骤，讨论了二元函数的最值问题和实际问题的最值问题．最后介绍了利用拉格朗日乘数法求条件极值的方法及应用．思考：多元函数的最大值一定是极大值？多元函数的驻点一定是极值点吗？作业：作业卡p20-21。

多元隐函数求极值
1、确定函数：首先，需要确定所考虑的函数。

这可以通过将变量
和它们的导数表示为一些独立变量（例如，x和y）的函数来实现。

2、确定驻点：接下来，需要确定函数的驻点。

驻点是函数的一阶
导数为零的点。

这可以通过将函数对变量求导，然后使导数为零来实现。

3、确定二阶导数：在找到驻点后，需要确定函数的二阶导数。

二
阶导数可以用来确定函数在驻点处的性态。

通过将函数对变量求二次导数，可以得到二阶导数的值。

4、确定极值：最后，根据函数的二阶导数的符号来确定是否为极
值。

如果二阶导数在驻点处为正，则函数在该点处有最小值；
如果二阶导数在驻点处为负，则函数在该点处有最大值。

如果二阶导数为零，则需要进一步考虑来确定是否为极值。