§8.4 多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式

§8. 4 多元复合函数的求导法则设z =f (u , v ), 而u =ϕ(t ), v =ψ(t ), 如何求dtdz ？设z =f (u , v ), 而u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y ), 如何求xz ∂∂和yz ∂∂？1. 复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理1 如果函数u =ϕ(t )及v =ψ(t )都在点t 可导, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(t ), ψ(t )]在点t 可导, 且有dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=.简要证明1: 因为z =f (u , v )具有连续的偏导数, 所以它是可微的, 即有dvv z du uz dz ∂∂+∂∂=.又因为u =ϕ(t )及v =ψ(t )都可导, 因而可微, 即有dtdt du du =,dtdtdv dv =,代入上式得 dt dt dv v z dt dt du u z dz ⋅∂∂+⋅∂∂=dt dt dv v z dt du u z )(⋅∂∂+⋅∂∂=,从而dtdvv z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=.简要证明2: 当t 取得增量∆t 时, u 、v 及z 相应地也取得增量∆u 、∆v 及∆z . 由z =f (u , v )、u =ϕ(t )及v =ψ(t )的可微性, 有)(ρo v vz u uz z +∆∂∂+∆∂∂=∆)()]([)]([ρo t o t dtdv v z t o t dt du u z +∆+∆∂∂+∆+∆∂∂=)()()()(ρo t o v zu z t dt dv v z dt du u z +∆∂∂+∂∂+∆⋅∂∂+⋅∂∂=,to t t o v z u z dt dv v z dt du u z tz ∆+∆∆∂∂+∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=∆∆)()()(ρ,令∆t →0, 上式两边取极限, 即得 dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=.注:)()(0)()()(lim)(lim22220=+⋅=∆∆+∆⋅=∆→∆→∆dt dv dt du tv u o to t t ρρρ.推广: 设z =f (u , v , w ), u =ϕ(t), v =ψ(t ), w =ω(t ), 则z =f [ϕ(t), ψ(t ), ω(t )]对t 的导数为:dtdw w z dtdv v z dtdu u z dtdz ∂∂+∂∂+∂∂=.上述dtdz 称为全导数.2. 复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2 如果函数u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y )都在点(x , y )具有对x 及y 的偏导数, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(x , y ), ψ(x , y )]在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有xv v z x u u z xz ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂,yv v z y u u z yz ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.推广: 设z =f (u , v , w ), u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y ), w =ω(x , y ), 则xw w z x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂,yw w z y v v z y u u z yz ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.讨论:(1)设z =f (u , v ), u =ϕ(x , y ), v =ψ(y ), 则=∂∂xz ？=∂∂yz？提示:xu u z xz ∂∂⋅∂∂=∂∂,dydv v z y u u z yz ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂. (2)设z =f (u , x , y ), 且u =ϕ(x , y ), 则=∂∂x z ？=∂∂yz ？提示: xf xu u f x z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂,yf yu u f yz ∂∂+∂∂∂∂=∂∂.这里xz ∂∂与xf ∂∂是不同的, xz ∂∂是把复合函数z =f [ϕ(x , y ), x , y ]中的y 看作不变而对x 的偏导数,xf ∂∂是把f (u , x , y )中的u 及y 看作不变而 对x 的偏导数. yz ∂∂与yf ∂∂也朋类似的区别.3．复合函数的中间变量既有一元函数, 又有多元函数的情形定理3 如果函数u =ϕ(x , y )在点(x , y )具有对x 及对y 的偏导数, 函数v =ψ(y )在点y 可导, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(x , y ), ψ(y )]在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有 xu u z xz ∂∂⋅∂∂=∂∂,dydv v z y u u z yz ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.例1 设z =e u sin v , u =xy , v =x +y , 求xz ∂∂和yz ∂∂.解xv v z x u u z xz ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=e u sin v ⋅y +e u cos v ⋅1=e x y [y sin(x +y )+cos(x +y )],yv v z y u u z yz ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=e u sin v ⋅x +e u cos v ⋅1=e xy [x sin(x +y )+cos(x +y )]. 例2 设222),,(z y xe z y xf u ++==, 而yx z sin2=. 求xu ∂∂和yu ∂∂.解xzz fxf xu ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂yx zexe z y x z y x sin 222222222⋅+=++++ yx y xe y x x 2422s i n 22)s i n 21(2++++=.yzz fyf yu ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂y x zeye z y x z y x cos 222222222⋅+=++++yx y xe y y x y 2422s i n 4)c o s s i n (2+++=.例3 设z =uv +sin t , 而u =e t , v =cos t . 求全导数dtdz . 解tzdt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂==v ⋅e t +u ⋅(-sin t )+cos t=e t cos t -e t sin t +cos t =e t (cos t -sin t )+cos t .例4 设w =f (x +y +z , xyz ), f 具有二阶连续偏导数, 求xw ∂∂及zx w ∂∂∂2.解 令u =x +y +z , v =xyz , 则w =f (u , v ). 引入记号: u v u f f ∂∂='),(1,vu v u f f ∂∂∂='),(12; 同理有2f ',11f '',22f ''等.21f yz f x vv f xuu fxw '+'=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂,zf yzf y zf f yz f zzx w ∂'∂+'+∂'∂='+'∂∂=∂∂∂221212)( 2222121211f z xy f yz f y f xy f ''+''+'+''+''=22221211)(f z xy f y f z x y f ''+'+''++''=.注:1211111f xy f zvv f z u u f zf ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂, 2221222f xy f zvv f z u u f zf ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂.例5 设u =f (x , y )的所有二阶偏导数连续, 把下列表达式转换成极坐标系中的形式:(1)22)()(yu xu ∂∂+∂∂; (2)2222yu xu∂∂+∂∂.解 由直角坐标与极坐标间的关系式得 u =f (x , y )=f (ρcos θ, ρsin θ)=F (ρ, θ), 其中x =ρcos θ, y =ρsin θ, 22y x +=ρ, xy arctan=θ.应用复合函数求导法则, 得xu x u xu ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2ρθρρyux u ∂∂-∂∂=ρθθθρs i nc o s y u u ∂∂-∂∂=,yu yu yu ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2ρθρρxu y u ∂∂+∂∂=ρθθθρc o s s i n ∂∂+∂∂=u u .两式平方后相加, 得22222)(1)()()(θρρ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂u u y u x u .再求二阶偏导数, 得xxu xxu xu ∂∂⋅∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂=∂∂θθρρ)()(22θρθθθρρc o s )s i n c o s (⋅∂∂-∂∂∂∂=u uρθρθθθρθs i n )s i n c o s (⋅∂∂-∂∂∂∂-u u22222222s i n c o s s i n 2c o s ρθθρθθθρθρ∂∂+∂∂∂-∂∂=u u u ρθρρθθθ22s i n c o s s i n 2∂∂+∂∂+u u .同理可得2222222222c o s c o s s i n 2s i n ρθθρθθθρθρ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂u u u y u ρθρρθθθ22c o s c o s s i n 2∂∂+∂∂-u u .两式相加, 得22222222211θρρρρ∂∂++∂∂=∂∂+∂∂uu y u x u ])([1222θρρρρρ∂∂+∂∂∂∂=u u .全微分形式不变性: 设z =f (u , v )具有连续偏导数, 则有全微分dvv z du uz dz ∂∂+∂∂=.如果z =f (u , v )具有连续偏导数, 而u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y )也具有连续偏导数, 则d y y z d x x z d z ∂∂+∂∂=dyyv v z yu u z dx xv v z xu u z )()(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=)()(dy yv dx x v v z dy y u dx x u u z ∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂=dvvz du uz ∂∂+∂∂=.由此可见, 无论z 是自变量u 、v 的函数或中间变量u 、v 的函数, 它的全微分形式是一样的. 这个性质叫做全微分形式不变性.例6 设z =e u sin v , u =x y , v =x +y , 利用全微分形式不变性求全微分. 解dvv z du uz dz ∂∂+∂∂== e u sin vdu + e u cos v dv= e u sin v (y dx +x dy )+ e u cos v (dx +dy )=( ye u sin v + e u cos v )dx +(xe u sin v + e u cos v )dy=e xy [y sin(x +y )+cos(x +y )]dx + e xy [x sin(x +y )+cos(x +y )]dy .§8. 5 隐函数的求导法则一、一个方程的情形隐函数存在定理1设函数F (x , y )在点P (x 0, y 0)的某一邻域内具有连续偏导数, F (x 0, y 0)=0, F y (x 0, y 0)≠0, 则方程F (x , y )=0在点(x 0, y 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y =f (x ), 它满足条件y 0=f (x 0), 并有yx F F dxdy -=.求导公式证明: 将y =f (x )代入F (x , y )=0, 得恒等式 F (x , f (x ))≡0, 等式两边对x 求导得=⋅∂∂+∂∂dxdy yF xF ,由于F y 连续, 且F y (x 0, y 0)≠0, 所以存在(x 0, y 0)的一个邻域, 在这个邻域同F y ≠0, 于是得yx F F dxdy -=.例1 验证方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ), 并求这函数的一阶与二阶导数在x =0的值.解 设F (x , y )=x 2+y 2-1, 则F x =2x , F y =2y , F (0, 1)=0, F y (0, 1)=2≠0. 因此由定理1可知, 方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ).yx F F dxdy yx -=-=,==x dxdy ;332222221)(y y x y y yx x y y y x y dxy d -=+-=---='--=；1022-==x dxy d .隐函数存在定理还可以推广到多元函数. 一个二元方程F (x , y )=0可以确定一个一元隐函数, 一个三元方程F (x , y , z )=0可以确定一个二元隐函数. 隐函数存在定理2设函数F (x , y , z )在点P (x 0, y 0, z 0)的某一邻域内具有连续的偏导数, 且F (x 0, y 0, z 0)=0, F z (x 0, y 0, z 0)≠0 , 则方程F (x , y , z )=0在点(x 0, y 0, z 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z =f (x , y ), 它满足条件z 0=f (x 0, y 0), 并有zx F F xz -=∂∂,zy F F yz -=∂∂.公式的证明: 将z =f (x , y )代入F (x , y , z )=0, 得F (x , y , f (x , y ))≡0, 将上式两端分别对x 和y 求导, 得=∂∂⋅+x z F F z x ,=∂∂⋅+yz F F z y .因为F z 连续且F z (x 0, y 0, z 0)≠0, 所以存在点(x 0, y 0, z 0)的一个邻域, 使F z ≠0, 于是得zx F F x z -=∂∂,zy F F yz -=∂∂.例2. 设x 2+y 2+z 2-4z =0, 求22x z ∂∂.解 设F (x , y , z )= x 2+y 2+z 2-4z , 则F x =2x , F y =2z -4,zx z x F F x z zx -=--=-=∂∂2422,3222222)2()2()2()2()2()2()2(z xx z z xx x z xz x x xz -+-=--+-=-∂∂+-=∂∂.二、方程组的情形在一定条件下, 由个方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0可以确定一对二元函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 例如方程xu -yv =0和yu +xv =1可以确定两个二元函数22y x y u +=,22y x x v +=.事实上, xu -yv =0 ⇒uyx v =⇒1=⋅+u yx x yu⇒22yx y u +=,2222y x x y x yy xv +=+⋅=.如何根据原方程组求u , v 的偏导数？ 隐函数存在定理3 设F (x , y , u , v )、G (x , y , u , v )在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数, 又F (x 0, y 0, u 0, v 0)=0, G (x 0, y 0, u 0, v 0)=0, 且偏导数所组成的函数行列式：vG uG v F u F v u G F J ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=),(),(在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)不等于零, 则方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 它们满足条件u 0=u (x 0, y 0), v 0=v (x 0, y 0), 并有v u v u v x v x G G F F G G F F v x G F J xu -=∂∂-=∂∂),(),(1,v u v u x u x u G G F F G G F F x u G F J xv -=∂∂-=∂∂),(),(1,vu v u v y vyG G F F G G F F v y G F J yu -=∂∂-=∂∂),(),(1,vu v u y u yuG G F F G G F F y u G F J yv -=∂∂-=∂∂),(),(1.隐函数的偏导数:设方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0确定一对具有连续偏导数的 二元函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 则 偏导数xu ∂∂,x v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0x v G x u G G xv F x u F F v ux v u x 确定;偏导数yu ∂∂,yv∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y v G y u G G y v F y u F F v u y v u y 确定.例3 设xu -yv =0, yu +xv =1, 求xu ∂∂,xv ∂∂,yu ∂∂和yv ∂∂.解 两个方程两边分别对x 求偏导, 得关于xu ∂∂和xv ∂∂的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂++∂∂=∂∂-∂∂+00x vx v xu yx v y x u x u ,当x 2+y 2 ≠0时, 解之得22y x yv xu xu++-=∂∂,22y x xv yu xv +-=∂∂.两个方程两边分别对x 求偏导, 得关于yu ∂∂和yv ∂∂的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂--∂∂00y vx y u y u y v y v y ux ,当x 2+y 2 ≠0时, 解之得22yx yu xv yu+-=∂∂,22yx yv xu yv ++-=∂∂.另解 将两个方程的两边微分得⎩⎨⎧=+++=--+0x d v v d x y d u udy ydv vdy xdu udx , 即⎩⎨⎧--=+-=-vdxudy xdv ydu udx vdy ydv xdu .解之得dyy x yu xv dx y x yv xu du 2222+-+++-=,dyy x yv xu dx y x xv yu dv 2222++-+-=.于是22yx yv xu xu ++-=∂∂,22yx yu xv yu +-=∂∂,22y x xv yu xv +-=∂∂,22y x yv xu yv ++-=∂∂.例4 设函数x =x (u , v ), y =y (u , v )在点(u , v )的某一领域内连续且有连续偏导数,又),(),(≠∂∂v u y x .(1)证明方程组 ⎩⎨⎧==),(),(v u y y v u x x在点(x , y , u , v )的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数u =u (x , y ), v =v (x , y ).(2)求反函数u =u (x , y ), v =v (x , y )对x , y 的偏导数. 解 (1)将方程组改写成下面的形式⎩⎨⎧=-≡=-≡0),(),,,(0),(),,,(v u y y v u y x G v u x x v u y x F ,则按假设.0),(),(),(),(≠∂∂=∂∂=v u y x v u G F J由隐函数存在定理3, 即得所要证的结论.(2)将方程组(7)所确定的反函数u =u (x , y ),v =v (x , y )代入(7), 即得⎩⎨⎧≡≡)],(),,([)],(),,([y x v y x u y y y x v y x u x x ,将上述恒等式两边分别对x 求偏导数,得 ⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=x v v y x u u y x v v x x u u x 01.由于J ≠0, 故可解得 vy J xu ∂∂=∂∂1,u y J xv ∂∂-=∂∂1.同理, 可得 vx J yu ∂∂-=∂∂1,ux J yv ∂∂=∂∂1.§8. 6 多元函数微分学的几何应用一. 空间曲线的切线与法平面设空间曲线Γ的参数方程为x =ϕ(t ), y =ψ(t ), z =ω(t ) 这里假定ϕ(t ), ψ(t ), ω(t )都在[α, β]上可导.在曲线Γ上取对应于t =t 0的一点M 0(x 0, y 0, z 0)及对应于t =t 0+∆t 的邻近一点M (x 0+∆x , y 0+∆y , z 0+∆z ). 作曲线的割线MM 0, 其方程为zz z yy y xx x ∆-=∆-=∆-000,当点M 沿着Γ趋于点M 0时割线MM 0的极限位置就是曲线在点M 0处的切线. 考虑tz z z ty y y tx x x ∆∆-=∆∆-=∆∆-000,当M →M 0, 即∆t →0时, 得曲线在点M 0处的切线方程为)()()(000000t z z t y y t x x ωψϕ'-='-='-.曲线的切向量: 切线的方向向量称为曲线的切向量. 向量 T =(ϕ'(t 0), ψ'(t 0), ω'(t 0)) 就是曲线Γ在点M 0处的一个切向量.法平面: 通过点M 0而与切线垂直的平面称为曲线Γ在点M 0 处的法平面, 其法平面方程为ϕ'(t 0)(x -x 0)+ψ'(t 0)(y -y 0)+ω'(t 0)(z -z 0)=0.例1 求曲线x =t , y =t 2, z =t 3在点(1, 1, 1)处的切线及法平面方程. 解 因为x t '=1, y t '=2t , z t '=3t 2, 而点(1, 1, 1)所对应的参数t =1, 所以 T =(1, 2, 3). 于是, 切线方程为312111-=-=-z y x ,法平面方程为(x -1)+2(y -1)+3(z -1)=0, 即x +2y +3z =6. 讨论:1. 若曲线Γ的方程为 y =ϕ(x ), z =ψ(x ). 问其切线和法平面方程是什么形式?提示: 曲线方程可看作参数方程: x =x , y =ϕ(x ), z =ψ(x ), 切向量为T =(1, ϕ'(x ), ψ'(x )).2. 若曲线Γ的方程为F (x , y , z )=0,G (x , y , z )=0. 问其切线和法平面方程又是什么形式?提示: 两方程确定了两个隐函数: y =ϕ(x ), z =ψ(x ), 曲线的参数方程为 x =x , y =ϕ(x ), z =ψ(x ),由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++00dx dzG dx dy G G dx dzF dx dy F F z y x z y x 可解得dxdy 和dxdz .切向量为),,1(dxdz dxdy =T.例2 求曲线x 2+y 2+z 2=6, x +y +z =0在点(1, -2, 1)处的切线及法平面方程. 解 为求切向量, 将所给方程的两边对x 求导数,得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++010222dx dz dx dy dxdz z dxdy y x ,解方程组得zy x z dxdy --=,zy y x dxdz --=. 在点(1, -2, 1)处,=dxdy ,1-=dxdz .从而T =(1, 0, -1). 所求切线方程为110211--=+=-z y x ,法平面方程为(x -1)+0⋅(y +2)-(z -1)=0, 即x -z =0.二. 曲面的切平面与法线设曲面∑的方程为F (x , y , z )=0,M 0(x 0, y 0, z 0)是曲面∑上的一点, 并设函数F (x , y , z )的偏导数在该点连续且不同时为零. 在曲面∑上, 通过点M 0任意引一条曲线Γ, 假定曲线Γ的参数方程式为 x =ϕ(t ), y =ψ(t ), z =ω(t ) ,t =t 0对应于点M 0(x 0, y 0, z 0), 且ϕ'(t 0), ψ'(t 0), ω'(t 0)不全为零. 曲线在点的切向量为 T =(ϕ'(t 0), ψ'(t 0), ω'(t 0)).考虑曲面方程F (x , y , z )=0两端在t =t 0的全导数:F x (x 0, y 0, z 0)ϕ'(t 0)+F y (x 0, y 0, z 0)ψ'(t 0)+F z (x 0, y 0, z 0)ω'(t 0)=0. 引入向量n =(F x (x 0, y 0, z 0), F y (x 0, y 0, z 0), F z (x 0, y 0, z 0)),易见T 与n 是垂直的. 因为曲线Γ是曲面∑上通过点M 0的任意一条曲线, 它们在点M 0的切线都与同一向量n 垂直, 所以曲面上通过点M 0的一切曲线在点M 0的切线都在同一个平面上. 这个平面称为曲面∑在点M 0的切平面. 这切平面的方程式是 F x (x 0, y 0, z 0)(x -x 0)+F y (x 0, y 0, z 0)(y -y 0)+F z (x 0, y 0, z 0)(z -z 0)=0.曲面的法线: 通过点M 0(x 0, y 0, z 0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线. 法线方程为), ,(), ,(), ,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-.曲面的法向量: 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 向量 n =(F x (x 0, y 0, z 0), F y (x 0, y 0, z 0), F z (x 0, y 0, z 0)) 就是曲面∑在点M 0处的一个法向量.例3 求球面x 2+y 2+z 2=14在点(1, 2, 3)处的切平面及法线方程式. 解 F (x , y , z )= x 2+y 2+z 2-14, F x =2x , F y =2y , F z =2z ,F x (1, 2, 3)=2, F y (1, 2, 3)=4, F z (1, 2, 3)=6. 法向量为n =(2, 4, 6), 或n =(1, 2, 3). 所求切平面方程为2(x -1)+4(y -2)+6(z -3)=0, 即x +2y +3z -14=0. 法线方程为332211-=-=-z y x .讨论: 若曲面方程为z =f (x , y ) , 问曲面的切平面及法线方程式是什么形式? 提示: 此时F (x , y , z )=f (x , y )-z . n =(f x (x 0, y 0), f y (x 0, y 0), -1)例4 求旋转抛物面z =x 2+y 2-1在点(2, 1, 4)处的切平面及法线方程. 解 f (x , y )=x 2+y 2-1,n =(f x , f y , -1)=(2x , 2y , -1), n |(2, 1, 4)=(4, 2, -1). 所以在点(2, 1, 4)处的切平面方程为4(x -2)+2(y -1)-(z -4)=0, 即4x +2y -z -6=0. 法线方程为142142--=-=-z y x .§8. 7 方向导数与梯度一、方向导数现在我们来讨论函数z =f (x , y )在一点P 沿某一方向的变化率问题.设l 是xOy 平面上以P 0(x 0, y 0)为始点的一条射线, e l =(cos α, cos β)是与l 同方向的单位向量. 射线l 的参数方程为x =x 0+t cos α, y =y 0+t cos β (t ≥0).设函数z =f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)的某一邻域U (P 0)内有定义, P (x 0+t cos α, y 0+t cos β)为l 上另一点, 且P ∈U (P 0). 如果函数增量f (x 0+t cos α, y 0+t cos β)-f (x 0, y 0)与P 到P 0的距离|PP 0|=t 的比值ty x f t y t x f ),()c o s ,c o s (0000-++βα当P 沿着l 趋于P 0(即t →t 0+)时的极限存在, 则称此极限为函数f (x , y )在点P 0沿方向l 的方向导数, 记作),(00y x lf ∂∂, 即),(00y x lf ∂∂t y x f t y t x f t ),()c o s ,c o s (lim00000-++=+→βα.从方向导数的定义可知, 方向导数),(00y x lf ∂∂就是函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)处沿方向l 的变化率.方向导数的计算:定理 如果函数z =f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)可微分, 那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在, 且有),(00y x lf ∂∂βαc o s ),(c o s ),(0000y x f y x f y x +=,其中cos α, cos β是方向l 的方向余弦.简要证明: 设∆x =t cos α, ∆y =t cos β, 则f (x 0+t cos α, y 0+t cos β)-f (x 0, y 0)=f x (x 0, y 0)t cos α+f y (x 0, y 0)t cos β+o (t ). 所以ty x f t y t x f t ),()c o s ,c o s (lim00000-+++→βαϕϕs i n ),(c o s ),(0000y x f y x f y x +=.这就证明了方向导数的存在, 且其值为),(00y x lf ∂∂βαc o s ),(c o s ),(0000y x f y x f y x +=.提示:),(),(0000y x f y y x x f -∆+∆+))()((),(),(220000y x o y y x f x y x f y x ∆+∆+∆+∆=.∆x =t cos α, ∆y =t cos β,t y x =∆+∆22)()(.讨论: 函数z =f (x , y )在点P 沿x 轴正向和负向, 沿y 轴正向和负向的方向导数如何? 提示:沿x 轴正向时, cos α=1, cos β=0,xf l f ∂∂=∂∂;沿x 轴负向时, cos α=-1, cos β=0,xf lf ∂∂-=∂∂.例1 求函数z =xe 2y在点P (1, 0)沿从点P (1, 0)到点Q (2, -1)的方向的方向导数. 解 这里方向l 即向量→)1 ,1(-=PQ的方向, 与l 同向的单位向量为)21 ,21(-=l e .因为函数可微分, 且1)0,1(2)0,1(==∂∂ye xz ,22)0,1(2)0,1(==∂∂yxeyz ,所以所求方向导数为22)21(2211)0,1(-=-⋅+⋅=∂∂lz .对于三元函数f (x , y , z )来说, 它在空间一点P 0(x 0, y 0, z 0)沿e l =(cos α , cos β , cos γ)的方向导数为),,(000z y x lf ∂∂tz y x f t z t y t x f t ),,()c o s ,c o s ,c o s (lim0000000-+++=+→γβα.如果函数f (x , y , z )在点(x 0, y 0, z 0)可微分, 则函数在该点沿着方向e l =(cos α , cosβ , cos γ)的方向导数为),,(000z y x lf ∂∂=f x (x 0, y 0, z 0)cos α+f y (x 0, y 0, z 0)cos β+f z (x 0, y 0, z 0)cos γ.例2求f (x , y , z )=xy +yz +zx 在点(1, 1, 2)沿方向l 的方向导数, 其中l 的方向角分别为60︒, 45︒, 60︒.解 与l 同向的单位向量为e l =(cos60︒, cos 45︒, cos60︒))21 ,22,21(=. 因为函数可微分, 且f x (1, 1, 2)=(y +z )|(1, 1, 2)=3, f y (1, 1, 2)=(x +z )|(1, 1, 2)=3, f z (1, 1, 2)=(y +x )|(1, 1, 2)=2, 所以)235(21212223213)2,1,1(+=⋅+⋅+⋅=∂∂lf .二. 梯度设函数z =f (x , y )在平面区域D 内具有一阶连续偏导数, 则对于每一点P 0(x 0, y 0)∈D , 都可确定一个向量 f x (x 0, y 0)i +f y (x 0, y 0)j ,这向量称为函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)的梯度, 记作grad f (x 0, y 0), 即 grad f (x 0, y 0)= f x (x 0, y 0)i +f y (x 0, y 0)j . 梯度与方向导数:如果函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)可微分, e l =(cos α , cos β )是与方向l 同方向的单位向量, 则),(00y x lf ∂∂βαc o s ),(c o s ),(0000y x f y x f y x +=,= grad f (x 0, y 0)⋅e l=| grad f (x 0, y 0)|⋅cos(grad f (x 0, y 0),^ e l ).这一关系式表明了函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系. 特别, 当向量e l 与grad f (x 0, y 0)的夹角θ=0, 即沿梯度方向时, 方向导数),(00y x lf ∂∂取得最大值, 这个最大值就是梯度的模|grad f (x 0, y 0)|. 这就是说: 函数在一点的梯度是个向量, 它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向, 它的模就等于方向导数的最大值. 讨论:lf ∂∂的最大值;结论: 函数在某点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值.我们知道, 一般说来二元函数z =f (x , y )在几何上表示一个曲面, 这曲面被平面z =c (c 是常数)所截得的曲线L 的方程为⎩⎨⎧==cz y x f z ),(.这条曲线L 在xOy 面上的投影是一条平面曲线L *, 它在xOy 平面上的方程为 f (x , y )=c .对于曲线L *上的一切点, 已给函数的函数值都是c , 所以我们称平面曲线L *为函数z =f (x , y )的等值线.若f x , f y 不同时为零, 则等值线f (x , y )=c 上任一点P 0(x 0, y 0)处的一个单位法向量为)),(),,((),(),(10000002002y x f y x f y x f y x f y x y x +=n .这表明梯度grad f (x 0, y 0)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同, 而沿这个方向的方向导数nf ∂∂就等于|grad f (x 0, y 0)|, 于是nnf y x f ∂∂=),(00g r a d .这一关系式表明了函数在一点的梯度与过这点的等值线、方向导数间的关系.这说是说: 函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同, 它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线, 梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数.梯度概念可以推广到三元函数的情形. 设函数f (x , y , z )在空间区域G 内具有一阶连续偏导数, 则对于每一点P 0(x 0, y 0, z 0)∈G , 都可定出一个向量 f x (x 0, y 0, z 0)i +f y (x 0, y 0, z 0)j +f z (x 0, y 0, z 0)k ,这向量称为函数f (x , y , z )在点P 0(x 0, y 0, z 0)的梯度, 记为grad f (x 0, y 0, z 0), 即 grad f (x 0, y 0, z 0)=f x (x 0, y 0, z 0)i +f y (x 0, y 0, z 0)j +f z (x 0, y 0, z 0)k .结论: 三元函数的梯度也是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值. 如果引进曲面 f (x , y , z )=c为函数的等量面的概念, 则可得函数f (x , y , z )在点P 0(x 0, y 0, z 0)的梯度的方向与过点P 0的等量面 f (x , y , z )=c 在这点的法线的一个方向相同, 且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面, 而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.例3 求221y x +grad .解 这里221),(y x y x f +=. 因为222)(2y x xxf +-=∂∂,222)(2y x y yf +-=∂∂,所以221y x +g r a d ji 222222)(2)(2y x y y x x +-+-=.例4 设f (x , y , z )=x 2+y 2+z 2, 求grad f (1, -1, 2).解 grad f =(f x , f y , f z )=(2x , 2y , 2z ), 于是 grad f (1, -1, 2)=(2, -2, 4).数量场与向量场: 如果对于空间区域G 内的任一点M , 都有一个确定的数量f (M ), 则称在这空间区域G 内确定了一个数量场(例如温度场、密度场等). 一个数量场可用一个数量函数f (M )来确定, 如果与点M 相对应的是一个向量F (M ), 则称在这空间区域G 内确定了一个向量场(例如力场、速度场等). 一个向量场可用一个向量函数F(M )来确定, 而F (M )=P (M )i +Q (M )j +R (M )k ,其中P (M ), Q (M ), R (M )是点M 的数量函数.利用场的概念, 我们可以说向量函数grad f (M )确定了一个向量场——梯度场, 它是由数量场f (M )产生的. 通常称函数f (M )为这个向量场的势, 而这个向量场又称为势场. 必须注意, 任意一个向量场不一定是势场, 因为它不一定是某个数量函数的梯度场.例5 试求数量场rm 所产生的梯度场, 其中常数m >0,222z y x r ++=为原点O 与点M (x , y , z)间的距离.解 32)(r mx x r r m r m x -=∂∂-=∂∂,同理 3)(rmy rm y-=∂∂,3)(rmz rm z-=∂∂.从而 )(2k j i r zr y r x r m r m ++-=g r a d .记kj i e rz r y rx r++=, 它是与→OM 同方向的单位向量, 则rr m rm e 2-=grad.上式右端在力学上可解释为, 位于原点O 而质量为m 质点对位于点M 而质量为l 的质点的引力. 这引力的大小与两质点的质量的乘积成正比、而与它们的距平方成反比, 这引力的方向由点M 指向原点. 因此数量场rm 的势场即梯度场grad rm 称为引力场, 而函数rm 称为引力势.§8.8 多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值及最大值、最小值定义设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义,如果对于该邻域内任何异于(x0,y0)的点(x,y),都有f(x,y)<f(x0,y0)(或f(x,y)>f(x0,y0)),则称函数在点(x0,y0)有极大值(或极小值)f(x0,y0).极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.例1 函数z=3x2+4y2在点(0, 0)处有极小值.当(x,y)=(0, 0)时,z=0,而当(x,y)≠(0, 0)时,z>0.因此z=0是函数的极小值.例2 函数22y-=在点(0, 0)处有极大值.xz+当(x,y)=(0, 0)时,z=0,而当(x,y)≠(0, 0)时,z<0.因此z=0是函数的极大值.例3 函数z=xy在点(0, 0)处既不取得极大值也不取得极小值.因为在点(0,0)处的函数值为零,而在点(0,0)的任一邻域内,总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点.以上关于二元函数的极值概念,可推广到n元函数.设n元函数u=f(P)在点P0的某一邻域内有定义,如果对于该邻域内任何异于P0的点P,都有f(P)<f(P0)(或f(P)>f(P 0)),则称函数f(P)在点P0有极大值(或极小值)f(P0).定理1(必要条件)设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数,且在点(x0,y0)处有极值,则有f x(x0,y0)=0,f y(x0,y0)=0.证明不妨设z=f(x,y)在点(x0,y0)处有极大值.依极大值的定义,对于点(x0,y0)的某邻域内异于(x0,y0)的点(x,y),都有不等式f(x,y)<f(x0,y0).特殊地,在该邻域内取y=y0而x≠x0的点,也应有不等式f(x,y0)<f(x0,y0).这表明一元函数f(x,y0)在x=x0处取得极大值,因而必有f x(x0,y0)=0.类似地可证f y(x0,y0)=0.从几何上看,这时如果曲面z=f(x,y)在点(x0,y0,z0)处有切平面,则切平面z-z0=f x(x0,y0)(x-x0)+ f y(x0,y0)(y-y0)成为平行于xOy坐标面的平面z=z0.类似地可推得,如果三元函数u=f (x,y,z)在点(x0,y0,z0)具有偏导数,则它在点(x 0, y 0, z 0)具有极值的必要条件为f x (x 0, y 0, z 0)=0, f y (x 0, y 0, z 0)=0, f z (x 0, y 0, z 0)=0.仿照一元函数, 凡是能使f x (x , y )=0, f y (x , y )=0同时成立的点(x 0, y 0)称为函数z =f (x , y )的驻点.从定理1可知, 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点. 但函数的驻点不一定是极值点.例如, 函数z =xy 在点(0, 0)处的两个偏导数都是零, 函数在(0, 0)既不取得极大值也不取得极小值.定理2(充分条件) 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数, 又f x (x 0, y 0)=0, f y (x 0, y 0)=0, 令f xx (x 0, y 0)=A , f xy (x 0, y 0)=B , f yy (x 0, y 0)=C ,则f (x , y )在(x 0, y 0)处是否取得极值的条件如下:(1) AC -B 2>0时具有极值, 且当A <0时有极大值, 当A >0时有极小值; (2) AC -B 2<0时没有极值;(3) AC -B 2=0时可能有极值, 也可能没有极值.在函数f (x , y )的驻点处如果 f xx ⋅ f yy -f xy 2>0, 则函数具有极值, 且当f xx <0时有极大值, 当f xx >0时有极小值.极值的求法: 第一步 解方程组f x (x , y )=0, f y (x , y )=0,求得一切实数解, 即可得一切驻点.第二步 对于每一个驻点(x 0, y 0), 求出二阶偏导数的值A 、B 和C . 第三步 定出AC -B 2的符号, 按定理2的结论判定f (x 0, y 0)是否是极值、是极大值 还是极小值.例4 求函数f (x , y )=x 3-y 3+3x 2+3y 2-9x 的极值. 解解方程组⎩⎨⎧=+-==-+=063),(0963),(22y y y x f x x y x f y x ,求得x =1, -3; y =0, 2. 于是得驻点为(1, 0)、(1, 2)、(-3, 0)、(-3, 2). 再求出二阶偏导数f xx (x , y )=6x +6, f xy (x , y )=0, f yy (x , y )=-6y +6.在点(1, 0)处, AC -B 2=12⋅6>0, 又A >0, 所以函数在(1, 0)处有极小值f (1, 0)=-5; 在点(1, 2)处, AC -B 2=12⋅(-6)<0, 所以f (1, 2)不是极值; 在点(-3, 0)处, AC -B 2=-12⋅6<0, 所以f (-3, 0)不是极值;在点(-3, 2)处, AC -B 2=-12⋅(-6)>0, 又A <0, 所以函数的(-3, 2)处有极大值f (-3, 2)=31.应注意的问题:不是驻点也可能是极值点, 例如, 函数22y x z +-=在点(0, 0)处有极大值, 但(0, 0)不是函数的驻点. 因此, 在考虑函数的极值问题时, 除了考虑函数的驻点外, 如果有偏导数不存在的点, 那么对这些点也应当考虑.最大值和最小值问题: 如果f (x , y )在有界闭区域D 上连续, 则f (x , y )在D 上必定能取得最大值和最小值. 这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D 的内部, 也可能在D 的边界上. 我们假定, 函数在D 上连续、在D 内可微分且只有有限个驻点, 这时如果函数在D 的内部取得最大值(最小值), 那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值). 因此, 求最大值和最小值的一般方法是: 将函数f (x , y )在D 内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较, 其中最大的就是最大值, 最小的就是最小值. 在通常遇到的实际问题中, 如果根据问题的性质, 知道函数f (x , y )的最大值(最小值)一定在D 的内部取得, 而函数在D 内只有一个驻点, 那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数f (x , y )在D 上的最大值(最小值).例5 某厂要用铁板做成一个体积为8m 3的有盖长方体水箱. 问当长、宽、高各取多少时, 才能使用料最省.解 设水箱的长为x m , 宽为y m , 则其高应为xy 8m . 此水箱所用材料的面积为)0 ,0( )88(2)88(2>>++=⋅+⋅+=y x yxxy xyx xy y xy A .令0)8(22=-=xy A x ,)8(22=-=y x A y , 得x =2, y =2.根据题意可知, 水箱所用材料面积的最小值一定存在, 并在开区域D ={(x ,y )|x >0, y >0}内取得. 因为函数A 在D 内只有一个驻点, 所以 此驻点一定是A 的最小值点, 即当水箱的长为2m 、宽为2m 、高为2228=⋅m 时, 水箱所用的材料最省.因此A 在D 内的唯一驻点(2, 2)处取得最小值, 即长为2m 、宽为2m 、高为2228=⋅m 时, 所用材料最省.从这个例子还可看出, 在体积一定的长方体中, 以立方体的表面积为最小.例6 有一宽为24cm 的长方形铁板, 把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽. 问怎样折法才能使断面的面积最大？解 设折起来的边长为x cm , 倾角为α, 那末梯形断面的下底长为24-2x , 上底长为24-2x ⋅cos α, 高为x ⋅sin α, 所以断面面积ααs i n )224cos 2224(21x x x x A ⋅-++-=,即A =24x ⋅sin α-2x 2sin α+x 2sin α cos α (0<x <12, 0<α≤90︒).可见断面面积A 是x 和α的二元函数, 这就是目标函数, 面求使这函数取得最大值的点(x , α).令A x =24sin α-4x sin α+2x sin α cos α=0,A α=24x cos α-2x 2 cos α+x 2(cos 2α-sin 2α)=0, 由于sin α ≠0, x ≠0, 上述方程组可化为⎩⎨⎧=-+-=+-0)s i n (c o s c o s 2c o s240cos 21222αααααx x x x .解这方程组, 得α=60︒, x =8cm .根据题意可知断面面积的最大值一定存在, 并且在D ={(x , y )|0<x <12, 0<α≤90︒}内取得, 通过计算得知α=90︒时的函数值比α=60︒, x =8(cm)时的函数值为小. 又函数在D 内只有一个驻点, 因此可以断定, 当x =8cm , α=60︒时, 就能使断面的面积最大.二、条件极值 拉格朗日乘数法对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 例如, 求表面积为a 2而体积为最大的长方体的体积问题. 设长方体的三棱的长为x , y , z , 则体积V =xyz . 又因假定表面积为a 2, 所以自变量x , y , z 还必须满足附加条件2(xy +yz +xz )=a 2.这个问题就是求函数V =xyz 在条件2(xy +yz +xz )=a 2下的最大值问题, 这是一个条件极值问题.对于有些实际问题, 可以把条件极值问题化为无条件极值问题. 例如上述问题,由条件2)(2a xz yz xy =++, 解得)(222y x xya z +-=, 于是得V ))(2(22y x xy a xy +-=.只需求V 的无条件极值问题.在很多情形下, 将条件极值化为无条件极值并不容易. 需要另一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法.现在我们来寻求函数z =f (x , y )在条件ϕ(x , y )=0下取得极值的必要条件.如果函数z =f (x , y )在(x 0, y 0)取得所求的极值, 那么有 ϕ(x 0, y 0)=0.假定在(x 0, y 0)的某一邻域内f (x , y )与ϕ(x , y )均有连续的一阶偏导数, 而ϕy (x 0, y 0)≠0. 由隐函数存在定理, 由方程ϕ(x , y )=0确定一个连续且具有连续导数的函数y =ψ(x ), 将其代入目标函数z =f (x , y ), 得一元函数 z =f [x , ψ(x )].于是x =x 0是一元函数z =f [x , ψ(x )]的极值点, 由取得极值的必要条件, 有 0),(),(00000=+===x x y x x x dx dy y x f y x f dxdz ,即),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ.从而函数z =f (x , y )在条件ϕ(x , y )=0下在(x 0, y 0)取得极值的必要条件是),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ与ϕ(x 0, y 0)=0同时成立.设λϕ-=),(),(0000y x y x f y y , 上述必要条件变为⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0),(0),(),(0),(),(0000000000y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ.拉格朗日乘数法: 要找函数z =f (x , y )在条件ϕ(x , y )=0下的可能极值点, 可以先构成辅助函数F (x , y )=f (x , y )+λϕ(x , y ) ,其中λ为某一常数. 然后解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+==+=0),(0),(),(),(0),(),(),(y x y x y x f y x F y x y x f y x F y y y x x x ϕλϕλϕ.由这方程组解出x , y 及λ, 则其中(x , y )就是所要求的可能的极值点. 这种方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形.至于如何确定所求的点是否是极值点, 在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定.例7 求表面积为a 2而体积为最大的长方体的体积. 解 设长方体的三棱的长为x , y , z , 则问题就是在条件2(xy +yz +xz )=a 2下求函数V =xyz 的最大值. 构成辅助函数F (x , y , z )=xyz +λ(2xy +2yz +2xz -a 2),解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++==++==++=22220)(2),,(0)(2),,(0)(2),,(axz yz xy x y xy z y x F z x xz z y x F z y yz z y x F zy x λλλ,得az y x 66===,这是唯一可能的极值点. 因为由问题本身可知最大值一定存在, 所以最大值就在这个可能的值点处取得. 此时3366a V =.。

8.4多元复合函数的微分法在一元函数微分学中，复合函数的链式求导法则是最重要的求导法则之一，它解决了很多比较复杂的函数的求导问题．对于多元函数，也有类似的求导法则.8.4.1多元复合函数的求导法则 1.二元复合函数求导法则与一元复合函数求导相比，二元复合函数的求导问题要复杂的多.对于二元函数),(v u f z =，中间变量u 和v 都可以是x 和y 的二元函数；也可以只是某一个变量t 的函数，还可能中间变量u 和v 分别是不同个数自变量的函数，譬如u 是y x ,的函数，而v 只是x 的函数；等等。

下面讨论二元复合函数的求导法则，对二元以上的多元函数的求导法则可类似推出．定理8.4.1设函数),(v u f z =是v u ,的函数，),(),,(y x v y x u ψϕ==．若),(),,(y x y x ψϕ在点),(y x 处偏导数都存在，),(v u f z =在对应点),(v u 处可微，则复合函数)],(),,([y x y x f z ψϕ=在点),(y x 处关于y x ,的两个偏导数都存在，且yv v z y u u z y z x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, (8-1) 我们借助于复合函数的函数结构图对复合函数求偏导数的过程进行分析.函数)],(),,([y x y x f z ψϕ=的结构图，如图8-4所示.从函数结构图可以看出，z 和x 的函数关系可以由两条路径得到.一条是经中间变量u 到达自变量x ，还有一条是经中间变量v 到达自变量x 的.从公式(1)的第一式可以看出，z 和x 的函数关系有两条路径，对应公式中就有两项，其中每一项由两个因子的乘积表示，两个因子的乘积都是函数关于中间变量的偏导数和中间变量关于自变量的偏导数的乘积构成.例8.4.1设)sin(y x e z xy+=，求x z ∂∂和yz ∂∂． 解：令y x v xy u +==,，则v e z usin = 函数结构图，如图8-5所示.x z ∂∂=u z ∂∂x u ∂∂⋅+v z ∂∂xv ∂∂⋅=sin cos uu e v y e v ⋅+ =sin()cos()xy xye x y y e x y +++,y z ∂∂=u z ∂∂y u ∂∂⋅+v z ∂∂yv ∂∂⋅=sin cos uu e v x e v ⋅+=sin()cos()xy xye x y x e x y +++. 例8.4.2设2)(2y x y x z -+=，求x z ∂∂和yz ∂∂． 解：令22,y x v y x u -=+=，则vu z =，函数结构图，如图8-5所示.x z ∂∂=u z ∂∂x u ∂∂⋅+v z ∂∂xv∂∂⋅=1ln v v vu u u -+ =2222122()()()ln()x y x yx y x y x y x y ----+++-,y z ∂∂=u z ∂∂y u ∂∂⋅+v z ∂∂yv∂∂⋅=12ln (2)v v vu y u u y -+- =22221222()()2()ln()x y x yy x y x y y x y x y ----+-+-.2.二元复合函数求导法则的推广和变形多元复合函数的中间变量可能是一个，也可能多于一个，同样，自变量的个数可能只有一个，也可能是两个或者更多.我们可以对定理1进行推广和变形，分以下几种情形讨论：（1）当函数z 有两个中间变量，而自变量只有一个，即)(),(),,(t v v t u u v u f z ===．函数结构图，如图8-6所示.因此(8-1)变形成为dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=．因为复合结果和中间变量都是t 的一元函数，应该使用一元函数的导数记号；为了与一元函数的导数相区别，我们称复合后一元函数的导数dtdz 为全导数．当函数z 有三个中间变量，而自变量只有一个，即)(),(),(),,,(t w w t v v t u u w v u f z ====．函数结构图，如图8-7所示.因此公式(8-1)可以推广成为 dt dw w z dt dv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=．（2）当函数z 有一个中间变量，而自变量有两个.例如),(),,(y x u x u f z ϕ==.函数结构图，如图8-8所示.此时(8-1)变形成为．yu u f y z x f x u u f x z ∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, 在上面第一个式中，xz∂∂表示在复合函数]),,([x y x f z ϕ=中，把y 看作常量，求得的z 对x 的偏导数；xf∂∂表示在复合函数],[x u f z =中，把u 看作常量，求得的z 对x 的偏导数，因此x z ∂∂和xf ∂∂表示的含义不同，在求偏导数是一定要注意，记号上不能混淆. 例如),(),(y x u u f z ϕ==，函数结构图，如图8-9所示.此时(8-1)变形成为．yu du dz y z x u du dz x z ∂∂⋅=∂∂∂∂⋅=∂∂,(3)当函数z 有两个中间变量，而自变量有三个，即),,(),,,(),,(w v u y y w v u x x y x f z ===．函数结构图，如图8-10所示。

第四节多元复合函数的求导法则多元函数是指含有多个自变量的函数，多元复合函数则是由多个函数相互组合而成的复合函数。

在求多元复合函数的导数时，我们需要运用多元复合函数的求导法则。

多元复合函数的求导法则有以下几种情况：1.复合函数的链式法则：设有两个变量x和y，其中y=f(u)是自变量u的函数，u=g(x)是自变量x的函数，则函数y=f(g(x))就是一个多元复合函数。

根据链式法则，该函数的导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx2.高阶多元复合函数的求导：对于高阶多元复合函数，我们需要运用多次链式法则来求导。

例如，考虑一个三元复合函数z=f(y),y=g(x),x=h(t)，其中t是自变量。

根据链式法则，可以得到如下公式：dz/dt = dz/dy * dy/dx * dx/dt这里 dz/dy 表示 z 关于 y 的导数，dy/dx 表示 y 关于 x 的导数，dx/dt 表示 x 关于 t 的导数。

3.多元复合函数中的偏导数：对于多元复合函数中的偏导数求导，我们需要运用偏导数的链式法则。

偏导数的链式法则可以表示为：∂z/∂x=(∂z/∂y)*(∂y/∂x)其中∂z/∂y表示z关于y的偏导数，∂y/∂x表示y关于x的偏导数。

同样地，对于高阶多元复合函数中的偏导数求导，我们需要运用多次链式法则来求解。

总结起来，多元复合函数的求导法则主要有链式法则和偏导数的链式法则。

通过这些法则，我们可以方便地求解多元复合函数的导数。

在实际应用中，求多元复合函数的导数常常用于最优化问题、概率统计、机器学习等领域。

这些领域中的问题往往涉及多个变量，而多元复合函数的导数可以帮助我们了解函数随变量的变化趋势，从而得出一些有用的结论。

多元复合函数的求导法则对于多元函数的复合函数，我们可以通过链式法则来求导。

设$z=f(u,v)$为一个二元函数，其中$u=u(x,y)$和$v=v(x,y)$。

我们希望求得 $z$ 对于 $x$ 和 $y$ 的偏导数 $\frac{\partialz}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。

首先，我们可以使用全微分的概念来表示函数 $z$ 的微分 $dz$，即$dz = \frac{\partial z}{\partial u} du + \frac{\partialz}{\partial v} dv$。

然后，我们可以使用 $x$ 和 $y$ 对于 $u$ 和 $v$ 的偏导数来表示$du$ 和 $dv$，即 $du = \frac{\partial u}{\partial x} dx +\frac{\partial u}{\partial y} dy$ 和 $dv = \frac{\partialv}{\partial x} dx + \frac{\partial v}{\partial y} dy$。

将 $du$ 和 $dv$ 的表达式代入 $dz$ 的式子中，我们可以得到$$dz = \frac{\partial z}{\partial u} \left(\frac{\partialu}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy\right) +\frac{\partial z}{\partial v} \left(\frac{\partial v}{\partial x} dx + \frac{\partial v}{\partial y} dy\right)$$然后，我们可以根据函数 $z = f(u, v)$ 对于 $u$ 和 $v$ 的偏导数来化简上面的表达式。

假设 $\frac{\partial z}{\partial u}$ 和$\frac{\partial z}{\partial v}$ 都存在，我们可以得到$$dz = \left(\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partialu}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partialv}{\partial x}\right) dx + \left(\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}\right) dy$$从上面的式子中我们可以看出 $\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}$ 和$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$。

多元复合函数的求导法则详解具体来说，有两种常见的多元复合函数情况，即链式法则和求导法则。

下面将结合具体例子详细解释这两种求导法则。

链式法则：链式法则适用于一个函数内部嵌套一个函数的情况。

我们用一个简单的例子来说明。

假设有一个函数f(x)=x²+1，另一个函数g(y)=y³。

现在我们要求复合函数h(x)=g(f(x))的导数。

首先，我们可以计算出 f(x) 的导数 df/dx = 2x。

然后我们计算g(y) 的导数dg/dy = 3y²。

接下来，我们利用链式法则来求解 h(x) 的导数。

根据链式法则，h(x) 的导数可以表示为 h'(x) = (dg/df) *(df/dx)。

在这个例子中，(dg/df) 表示 g'(f(x))。

我们可以通过将 f(x) 的结果代入到 g(y) 中来计算 (dg/df)。

即将 f(x) 的结果代入到 g(y)中得到h(x) = g(f(x)) = (f(x))³ = (x²+1)³。

然后我们计算 g'(f(x))，也就是求 g(f(x)) 的导数。

根据前面的计算， g(y) 的导数dg/dy = 3y²。

将 f(x) 的结果代入 dg/dy 中，即f(x) = x²+1，我们得到dg/df = 3(x²+1)²。

接下来，我们将 (dg/df) 和 df/dx 代入链式法则的公式中，即h'(x) = (dg/df) * (df/dx) = 3(x²+1)² * 2x = 6x(x²+1)²。

因此，我们得出 h(x) 的导数为h'(x) = 6x(x²+1)²。

这个例子说明了链式法则的使用方法，即先计算每个嵌套函数的导数，然后将这些导数代入到链式法则的公式中，得到最终的复合函数的导数。

8.3 多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式一．多元复合函数的求导法则类似于一元复合函数的定义,我们现在给出二元复合函数的定义。

定义 设函数),(v u f z =，而u 、v 均为x 、y 的函数，即),(y x u u =，),(y x v v =，则函数)],(),,([y x v y x u f z =叫做x 、y 的复合函数。

其中u 、v 叫做中间变量，x 、y 叫做自变量。

现在再将一元函数微分学中的复合函数的求导法则，推广到多元复合函数。

多元复合函数的求导法则在多元函数微分学中也起着重要作用。

定理 如果函数),(y x u u =，),(y x v v =在点（x,y ）处都具有对x 及对y 的偏导数，函数),(v u f z =在对应点（u,v ）处具有连续偏导数，则复合函数)],(),,([y x v y x u f z =在点（x,y ）处存在两个偏导数，且具有下列公式xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 定理中的公式叫做复合函数的偏导数的锁链法则，它可以推广到各种复合关系的复合函数中去。

作为初学者，我们常用图示法表示各变量之间的关系（如图所示）。

u xzv y图中的每一条线表示一个偏导数，如“z —u ”表示u z ∂∂。

现在我们利用图来求xz ∂∂，首先看z 通过中间变量到达x 有两条路径：x u z →→和x v z →→，那么结果就一定是两项之和，又在第一项中有u z →和x u →两个环节，那么这一项一定是两式相乘，即xu u z ∂∂∂∂。

同理第二项为xv v z ∂∂∂∂。

于是 xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 一般地，无论复合函数的复合关系如何，因变量到达自变量有几条路径，就有几项相加，而一条路径中有几个环节，这项就有几个偏导数相乘。