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第六节 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数1、隐函数的求导法函数()x f y =表示两个变量y 与x 之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同的方式表达.前面我们遇到的函数，例如2ln cos y x x =，3523x x y x e =-+等，这种函数表达式的特点是：等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值.用这种方式表达的函数叫做显函数.但是有些函数的表达式却不是这样，例如方程310x y +-=表示一个函数，因为当自变量x 在()+∞∞-,内取值时，变量y 有唯一确定的值与之对应，这样的函数称为隐函数.一般地，如果变量x ，y 之间的函数关系是由某一个方程()0,=y x F 所确定，那么这种函数就叫做由方程所确定的隐函数.把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化.例如由方程310x y +-=解出31x y -=，就把隐函数化成了显函数.但是，隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的.例如，方程0y e xy -=所确定的隐函数就不能用显式表示出来.因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来.我们知道，把方程()0,=y x F 所确定的隐函数()x y y =代入原方程，便得恒等式()()0,≡x y x F ，把这个恒等式的两端对x 求导，所得的结果也必然相等.但应注意，左端()(),F x y x 是将()x y y =代入(),F x y 后所得的结果，所以，当方程()0,=y x F 的两端对x 求导时，要记住y 是的函数，然后利用复合函数求导法则求导.这样，便可得到欲求的导数.下面举例说明这种方法.例1 求由方程221x y +=所确定的隐函数y 的导数. 解 把方程两端分别对x 求导，记住y 是x 的函数，得220x yy '+=，由此得 x y y'=-（0y ≠）. 例2 求由方程0y e xy e +-=所确定的隐函数y 的导数. 解 把方程两端分别对x 求导，得0='++'⋅y x y y e y ，由此得 ()0,≠++-='y y e x e x y y .例 3 求曲线322y y x +=在横坐标为1的点处的切线和法线方程.解 由导数的几何意义，所求切线的斜率为 1x k y ='=，方程两端分别对x 求导，有2322y y yy ''+=，从而 2232y y y'=+当1=x 时，1=y ，代入上式，得 1125x y y =='=.于是所求的切线方程为 ()1521-=-x y ， 即 0352=+-y x .法线方程为 ()1251--=-x y ， 即 0725=-+y x .例 4 求由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数y 的二阶导数22dxy d . 解 方程两端分别对x 求导，得0cos 211='⋅+'-y y y ， 于是 yy cos 22-='. 上式两端再对x 求导，得()()232sin 4sin 2cos 2cos y y y y y y '-⋅-''==--.上式右端分式中的y 是由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数.2、对数求导法根据隐函数的求导法，我们还可以得到一个简化求导运算的方法.它适合由几个因子通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数（包括幂指函数）的求导.这个方法是先取对数，化乘、除为加、减，化乘方、开方为乘积，然后利用隐函数求导法求导，因此称为对数求导法.我们通过下面的例子来说明这种方法.例5 求()tan 0x y x x =>的导数.解 对于tan x y x =两边取对数，得x x y ln tan ln =，两边对x 求导，得xx x x y y tan ln sec 12+='， 于是 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+='x x x x x x x x x y y x tan ln sec tan ln sec 2tan 2. 注 例5中函数tan x y x =既不是幂函数也不是指数函数，通常称为幂指函数.幂指函数的一般形式为()0v y u u =>，其中,u v 是x 的函数.例6 求y x =的导数. 解 先在两边取对数（假定4>x ），得 ()()()()[]4ln 3ln 2ln 1ln 21ln 2ln -----+-+=x x x x x y ， 上式两边对x 求导，注意到y 是x 的函数，得⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+-+='413121112121x x x x x y y ， 于是 ()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+-+----='4131211121243212x x x x x x x x x x y .当1<x 时，y x =；当32<<x 时，y x =， 用同样的方法可得与上面相同的结果.二、由参数方程所确定的函数的导数一般地，如果参数方程()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数） 确定y 与x 之间的函数关系，则称此函数关系所表示的函数为由参数方程所确定的函数.对于参数方程所确定的函数，通常也并不需要由参数方程消去参数t 化为y 与x 之间的直接函数关系后再求导.如果函数()t x ϕ=，()t y ψ=都可导，且()0≠'t ϕ，又()t x ϕ=具有单调连续的反函数()x t 1-=ϕ，则由参数方程所确定的函数可以看成()t y ψ=与()x t 1-=ϕ复合而成的函数()[]x y 1-=ϕψ，根据复合函数与反函数的求导法则，有 ()()t t dtdx dt dy dx dtdt dy dx dy ϕψ''=⋅=⋅=1， 即 ()()t t dx dy ϕψ''= ， 也可写成 dt dx dt dydxdy =.例7 求摆线()()sin 1cos x a t t y a t =-⎧⎪⎨=-⎪⎩在2π=t 处的切线方程. 解 摆线在任意点的切线斜率为()[]()[]()t t t a t a t t a t a dx dy cos 1sin cos 1sin sin cos 1-=-='-'-=，2π=t 时，摆线上对应点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a ,12π，在此点的切线斜率为1cos 1sin 22=-====ππt t t t dx dyk ，于是，切线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-12πa x a y ， 即 22y x a π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. 例8 求方程32t t x e y e -⎧=⎪⎨=⎪⎩所确定的函数的二阶导数22d y dx. 解 ()()t t t t t e e e e e dx dy 2323232-=-=''=--， 22223t d y d dy d e dx dx dx dx ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22234241433339t t t t t e d dt e e e dx dt dx e dt--⎛⎫=-⋅=-== ⎪-⎝⎭.。
第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数.docx第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数教学目的：掌握隐函数和参数方程确定的函数的求导方法，会求其一二阶导数教学重点：隐函数求导教学难点：隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求法，幕指函数的求导法教学内容：一、隐函数的导数函数y二/（兀）表示两个变量y与兀之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同方式表达。
前面我们遇到的函数，例如y = sinx, y = lnx +J1-兀？等,这种函数表达方式的特点是：等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值。
用这种方式表达的函数叫做显函数。
有些函数的表达方式却不是这样，例如，方程兀+b_l = O表示一个函数，因为当变量％在（-oo, + oo）内取值时，变量y有确定的值与之对应。
例如，当兀=0时，y = l；当x = -l时，y =迈，等等。
这样的函数称为隐函数。
一般地，如果在方程F（x, y） = 0中，当兀取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y值存在，那么就说方程F（x, y）= 0在该区间内确定了一个隐函数。
把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。
例如从方程x+/-l = 0解出歹=旳二匚，就把隐函数化成了显函数。
隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的。
但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来°下面通过具体例子来说明这种方法。
例1：求由方程e y+xy^-e = 0所确定的隐函数y的导数牛。
解：我们把方程两边分别对x求导数，注意y是x的函数。
方程左边对x求导得dx V dx dx方程右边对求导得（0）' = 0。
由于等式两边对x的导数相等，所以4+y + Q = 0,dx dx从而—= ------ - （X + ￡ ' 工0）。
