高等数学第9章多元函数微分学及其应用(全)

高等数学教案 §8 多元函数微分法及其应用

高等数学课程建设组 第八章 多元函数微分法及其应用

教学目的：

1、 理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。

2、 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。

3、 理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

4、 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。

5、 掌握多元复合函数偏导数的求法。

6、 会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。

7、 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。

8、 了解二元函数的二阶泰勒公式。

9、 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

教学重点：

1、二元函数的极限与连续性；

2、函数的偏导数和全微分；

3、方向导数与梯度的概念及其计算；

4、多元复合函数偏导数；

5、隐函数的偏导数

6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；

7、多元函数极值和条件极值的求法。

教学难点：

1、二元函数的极限与连续性的概念；

2、全微分形式的不变性；

3、复合函数偏导数的求法；

4、二元函数的二阶泰勒公式；

5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；

6、拉格郎日乘数法；

7、多元函数的最大值和最小值。

高等数学教案 §8 多元函数微分法及其应用

高等数学课程建设组 §8 1 多元函数的基本概念

一、平面点集n维空间

1 高等数学教学教案

第9章 多元函数微分学及其应用

授课序号01

教 学 基 本 指 标

教学课题 第9章 第1节 多元函数的基本概念 课的类型 新知识课

教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合

教学重点 二元函数的极限与连续性的概念 教学难点 二元函数的极限

参考教材 同济七版《高等数学》下册 作业布置

大纲要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.

2.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质.

教 学 基 本 内 容

一．多元函数的概念

1.区域

（1）邻域

设000(,)Pxy是xOy平面上的一定点，是某一正数，与点000(,)Pxy的距离小于的点(,)Pxy的全体，称为点000(,)Pxy的邻域，记为0(,)UP，即00(,)UPPPP，亦即

22000(,)(,)()()UPxyxxyy．

在几何上，0(,)UP表示以000(,)Pxy为中心，为半径的圆的内部(不含圆周)

上述邻域0(,)UP去掉中心000(,)Pxy后，称为000(,)Pxy的去心邻域，记作o0(,)UP，即

o22000(,)(,)0()()UPxyxxyy.

如果不需要强调邻域的半径，则用0()UP表示点000(,)Pxy的邻域，用o0()UP表示000(,)Pxy的去心邻域．

（2）区域

设E是xOy平面上的一个点集，P是xOy平面上的一点，则P与E的关系有如下情形： 2 内点：如果存在P的某个邻域()UP，使得()UPE，则称点P为E的内点.

边界点：如果在点P的任何邻域内，既有属于E的点，也有不属于E的点，则称点P为E的边界点．E的边界点的集合称为E的边界．

开集：如果点集E的每一点都是E的内点，则称E为开集.

第九章 多元函数微分学

教学要求

多元函数定义域、区域、邻域、内点、边界点和有界性等概念；有界闭域上连续函数的性质；偏导数、全微分等概念；知道全微分存在的必要条件与充分条件；多元函数极值的概念；会求简单函数的高阶偏导数。

教学重点

方向导数与梯度的概念；曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线；极值存在的必要条件；求极值和用充分条件判断极大值极小值；用拉格朗日乘数法求条件极值；求解一些有关的实际最值问题。

教学难点

方向导数与梯度的计算方法；复合函数与隐函数的求导法则；

课时安排

本章安排16课时。

教学大纲

第一节 多元函数

第二节 偏导数

第三节 全微分

第四节 多元复合函数的微分法

第五节 隐函数的微分法

第六节 多元函数微分学在几何中的应用

第七节 方向导数与梯度

第八节 多元函数的极值与最值

主要概念

1.多元函数

2.偏导数，全微分

3.方向导数与梯度

4.多元函数的极值

章节 第九章多元函数微分法及应用

§1 多元函数的基本概念 课时 2

教

学

目

的 理解邻域、内点、聚点、边界点和区域的概念，二元函数的概念，掌握多元函数的极限和连续性的概念

教学

重点

及

突出

方法 多元函数的基本概念，多元函数的极限和连续性

教学

难点

及

突破

方法 多元函数的极限与连续性，与一元函数类似，多元连续函数也有最大最小值定理，介值定理。

相关

参考

资料 《高等数学（第二册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P89-P107

《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P449-P456 教

学

过

程 教学思路、主要环节、主要内容

9.1 多元函数的基本概念

二元函数的基本概念：设D是平面上一点集，若对每个点P(x,y)，∈D，变量z按照一定法则总有确定的值和它对应，则称z是变量x,y的二元函数（或点P的函数），记为z=f(x,y)（或z=f(P)），D称为函数的定义域。

邻域：设P0(x0,y0)是xoy面上的一个点，δ是一正数。与点P0距离小于δ的点P(x,y)的全体，称为P0点的δ邻域，记为U(P0,δ)。

内点:设E是平面上一点集，P是平面上一点，若存在点P的某一个邻域U(P,δ)，使U(P,δ)包含于E，则称P为E的内点。

开集：若点集E的点都是内点，则称E为开集。

区域：若D既是开集，又是连通的，则称D为区域。

聚点：设E为平面上的一个点集，P是平面上的一个点，若P点的任一个邻域内总有无限多个点属于E，则称P为E的聚点。

多元函数的极限；设函数z=f(x,y)的定义域为D，P0(x0,y0)是D的聚点，若对任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对适合不等式220000()()PPxxyy的一切点P(x,y)，都有(,)fxyA成立，则称A为函数f(x,y)当x→x0,y→y0时的极限，记为00,lim(,)xxyyfxyA。

1 习题8.4

1. 求函数y

z

x

当2.0,1.0,1,2yxyx

时的全增量与全微分.

2. 求下列各函数的全微分：

(1) 22

ln()zxy

;

(2)

22x

z

xy

;

(3) arctany

z

x

;

(4)

1

zx

u

y





.

3. 利用全微分求下列各数的近似值：

(1)

22

)97.1()02.1(

;

(2) 03.2

)1.10(

.

4. 用水泥做成的无盖长方体水池, 它的外形尺寸为长5m, 宽4m, 高3m, 它的四壁及底的

厚度为20cm. 试求所需水泥量的近似值与精确值.

5. 扇形中心角0

60

, 半径20R

m. 如果将中心角增加0

1

, 为了使扇形面积不变, 应

把扇形的半径减少多少 (计算到小数点后三位) ?

6. 利用全微分证明

(1) 乘积的相对误差等于各因子的相对误差之和;

(2) 商的相对误差等于被除数与除数的相对误差之和.

1 / 41 教 学 内 容 批注

第八章 多元函数微分

第一节 多元函数的基本概念

一、 平面区域

首先我们来了解一下在平面区域内平面点集的知识：

1、 邻域：给定平面内P0（x0，y0）点，和某数>0，以P0点为圆心，为半径作圆，该圆内所有点的全体，即})yy()xx()y,x({22020，称为P0点的邻域，记做：),P(U0，简记)P(U0；

2、 内点：在平面点集，存在P0的一个邻域)P(U0，使得)P(U0，则称P0为的内点；

3、 开集：平面点集内的所有点都是内点，则称点集为开集；

4、 边界点：在平面上，存在某个点P，在P的任何邻域内，都含有点集的点，又含有不是点集的点，则称点P为点集的边界点。

注意：1、点P可以在点集内，也可以不在。2、点集中孤立在外的点，称为孤立点，规定，孤立点为边界点。3、所有边界点组成的集合称为边界。

5、 连通：如果点集内的任意两点都能用全属于的折线连接起来，则称为连通的。

6、 区域：连通的开集称为开区域，简称区域。称区域连同他的边界为闭区域。

7、 有界无界区域：对于平面点集，如果存在一个以原点为圆心的圆盘D，使D，则称为有界区域，否则称为无界区域。 2 / 41 教 学 内 容 批注

8、 聚点：P点的任何一个邻域内都有无限个属于点集的点，称P为点集的聚点。

注意：平面点集中点的关系如图,

其中：

二、 二元函数的极限和连续性

1.二元函数

定义1：设有变量x，y和z，如果当变量x，y在某一固定的范围内，任意取一对值时，变量z按照一定的法则f总有唯一的确定的值与之对应，就称z为x，y的二元函数，记作：)y,x(fz，其中x，y称为自变量，z称为因变量。自变量x，y的取值范围称为二元函数的定义域，一般用大写字母D来表示。 3 / 41 教 学 内 容 批注

注意:1、与定义1相似，我们可以直接定义n元函数（n≥1）；

第9 章测验题（二） 多元函数微分学的应用

一、填空题

1.函数u = x3 − xy2 − z 在点P (1,1, 0 ) 处沿 方向上的函数值增加最快。

0

1 2 2 2

2.函数u = (x + y + z ) 在点P (1,1,1) 处沿 方向上的函数值增加最快。

0

2

1

3.函数 f (x y) = (x + y )在点M (1, 1)处变化率为零的方向是 。

,

2 2

2

4.曲面ez − z + xy = 3 在点(2,1,0)处的单位法向量n= ，法线方程

为 。

5.球面x2 + y2 + z2 = 14 在点(1,2,3)处的单位法向量n= ，法线方程

为 ，切平面方程为 。

6.旋转抛物面z = x2 + y2 −1在点(2,1,4)处的单位法向量n= ，切平面

方程为 。

7.曲线x = acosθ ，y = asinθ ，z = bθ 在点(a,0,0)处的单位切向量T = ，

切线方程为 。

⎛ t ⎞

8.曲线r ( )i ( )j ⎟k

(t) = 在对应于

t − sin t + 1− cost + ⎜4 sin

⎝ 2 ⎠ π

t = 点处的单位切向量

0

2

T ，切线方程为 。

=

9.曲线x = t

1+ t ，y = 1+ ， 在对应于

t

z = t t 1点处的单位切向量T = ，

2 0 =

t

切线方程为 。

⎧ + + =

2 2 2

x z (1,−2,1)处的单位切向量T = ，切线方

y 6

*10.曲线⎨ 在点

x + y + z = 0

⎩

程为 。

11.函数 f (x y) = x + y + x − y 在点(0,0) 处的梯度向量为 gradf (0, 0)= 。

, 2 3 2

2 2

12.函数u = x + 2y + 3z 在点M (1,1, 2)处的梯度向量为 gradu = 。

M

13.函数

高等数学下册-多元函数微分学的应用

1. 填空题：

（1）曲面

:(,,)0,Fxyz

则坐标原点到曲面上

000(,,)Pxyz

点处的切平面的距离

为

000

000000

222xyz

xyzxFyFzF

FFF



(2) 曲线

0000000(),

:(),(,,)((),(),()),

(),xxt

LyytPxyzxtytzt

zt











则坐标原点到曲线L

在

0P

点切线的距离为

0000

222

000,,OPxtytzt

xtytzt



（3）平面23xyz

是曲面22

23zxy在点115

(,,)

224点处的切平面，则

的值

为5

4

（

4）函数

0sin

(

,)xyt

zxydt

t在点(,)

22

处沿方向uij

的方向导数为2



（5）若22

(,)2fxyaxbxycydxeyf

有极小值，则其系数必须满足条件

2

0,0acba

2.选择题：

（1）若曲面(,,)0,Fxyz

在

000(,,)xyz的切平面经过坐标原点，那么在000(,,)xyz

点

（ A ）

000

000

000

000.0.

.1.(,,)(0,0,0)FxFyFz

AxFxyFyzFzB

xyz

FxFyFz

CDxyz

xyz





 （2）曲线 (),

:(),

(),xxt

Lyyt

zt











有经过坐标原点的切线，那么（ A ）。

()()()

.

()()()xtytzt

A

xtytzt

有解

.()()()()()()0Bxtxtytytztzt有解





.(),(),()0,0,0Cxtytzt有解

D. L只要不是直线就成立

(3) 设函数(,)fxy

在点(0,0)

附近有定义，且(0,0)3,(0,0)1,

xyff

则（ C ）。

(0,0).3Adzdxdy

B. 曲面

(,)0,0(0,0))3,1,1zfxyf在点（，的法向量为

《高等数学》课程教学大纲

授课专业：通信工程专业 学时：136学时 学分：8学分 开课学期：第1、第2学期

适用对象：通信工程专业学生

一、 课程性质与任务

本课程是理、工类专业的专业基础课， 通过本课程的学习，要使学生掌握微积分学的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。

二、课程教学的基本要求

通过本课程的学习，学生基本了解微积分学的基础理论；充分理解微积分学的背景思想及数学思想。掌握微积分学的基本方法、手段、技巧，并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力。能较熟练地应用微积分学的思想方法解决应用问题。

三、课程教学内容

高 等 数 学（上）

第一章 函数、极限与连续（10学时）

第二章 导数和微分（12学时）

第三章 微分中值定理与导数的应用（12学时）

第四章 函数的积分（16学时）

第五章 定积分的应用（8学时）

第六章 无穷级数（10学时）

高 等 数 学（下）

第七章 向量与空间解析几何（6学时）

第八章 多元函数微分学（14学时）

第九章 多元函数微分学的应用（10学时）

第十章 多元函数积分学（I）（16学时）

第十一章 多元函数积分学（II）（10学时）

第十二章 常微分方程（12学时）

四、教学重点、难点

重点：极限的概念与性质；函数连续性的概念与性质；闭区间上连续函数的性质；微分中值定理与应用；用导数研究函数的性质；不定积分、定积分的计算；微积分学基本定理；正项级数敛散性的判定；幂级数的收敛定理；二元函数全微分的概念及性质；计算多元复合函数的偏导数与微分；隐函数定理及应用；重积分、曲线积分与曲面积分的计算；曲线积分与路径的无关性。







x2  y 2  1, x  y  

1  (t  4) 2

解：令 t=xy， lim  lim  lim 2 

t 0 t 0

习题 8-1

1. 求下列函数的定义域：

(1) z 

解： x  x  y ；

y  0, y  0  D 

x, y  y  0, x  y 

x (2) z  ln( y  x)  ； 1  x 2  y 2

解： y  x  0, x  0,1  x 2  y 2  D 

 x, y  y  x  0 且 x

2

 y 2  1

(3) u  R 2  x 2  y 2  z 2  1

x 2  y 2  z 2  r 2 (R  r  0) ；

解： 0  R 2  x2  y 2  z 2，0  x 2  y 2  z 2  r 2 

 D   x, y, z  r

2

 x2  y 2  z 2  R 2 

(4) u  arccos z x 2  y 2

。

解： z

2

2

 0  D  x, y  z 

x2  y 2 且 x2  y

2

 0

2. 求下列多元函数的极限:：

(1) lim ln( x  e y )

x1 x 2  y 2 y0

；

解： lim

x1 y0 ln( x  ey )

x 2  y 2  ln(1 1)

1  ln 2

(2) lim 2  xy  4

x0 xy y0

；

1  2  xy  4 2 t  4 1

x0 xy t 1 4

y0

1 / 28 x0

y0 x0

第八章 多元函数的微分法及其应用

§ 1 多元函数概念

一、设]),,([:,),(,),(22222yyxfyxyxyxyxf求.

二、求下列函数的定义域：

1、2221)1(),(yxyxyxf 222{(,)|(,)R,1};xyxyyx

2、xyzarcsin };0,|),{(xxyyx

三、求下列极限：

1、222)0,0(),(sinlimyxyxyx （0）

2、xyxxy3)2,(),()1(lim (6e)

四、证明极限 242)0,0(),(limyxyxyx不存在.

证明：当沿着x轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2xy趋于（0，0）时，极限为21,

二者不相等，所以极限不存在

五、证明函数)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf 在整个xoy面上连续。

证明：当)0,0(),(yx时，为初等函数，连续),(yxf。当)0,0(),(yx时，

)0,0(01sinlim22)0,0(),(fyxxyyx，所以函数在（0，0）也连续。所以函数

在整个xoy面上连续。

六、设)(2yxfyxz且当y=0时2xz，求f(x)及z的表达式.

解：f(x)=xx2，zyxyyx2222

§ 2 偏导数

1、设z=xyxexy ,验证 zxyyzyxzx

1

第八章 多元函数微分法及其应用

一、多元函数的基本概念

1平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概 念

2、多元函数的极限

lim f(x, y)=A (或 lim f(x,y)=A)的；-' 定义

(x,y)「(x°,yo) P「P)

掌握判定多元函数极限不存在的方法：

(1) 令P(x, y)沿y二kx趋向P(xo,yo)，若极限值与k有关，则可断言 函数极限不存在；

(2) 找两种不同趋近方式，若 lim f (x, y)存在，但两者不相等，

(x,y)Txo，yo)

此时也可断言极限不存在。

多元函数的极限的运算法则(包括和差积商，连续函数的和差积商，

等价无穷小替换，夹逼法则等)与一元类似：

例1•用…定义证明(侧0,0)(x2+y2)sin击=0

2 + 2

例2( 03年期末考试三、15 分当X>0,y>0时，函数x2；(；2_y)2

的极限是否存在？证明你的结论。

xy 2 2

2 2 , x y = 0

x y ，讨论 lim f (x, y)是否存在?

(x,y)T(0,0) 3

卫， x2 + y2 =0

(JiH,。)f(X,y)是否存在?例 3 设 f (x, y) =2

例4(07年期末考试 一、2，3分)设f(x, y)=

Q 2

xy

2 . 4 x y 2 2小 ,x y =0 ，讨论

x2 y2 二 0 x

2

3、多元函数的连续性台(Jim )f (x, y)= f(Xo,yo)

(x，y) --- (X0，y0 )

一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含

在定义域内的区域或闭区域。

在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”

点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。

4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理

二、多元函数的偏导数 1、二元函数z = f (x, y)关于x, y的一阶偏导数的定义(二元以上类似定义)

1 时间 ---------月---------日

星期----------------- 课

题 §9.6 多元函数微分学的应用

教学目的 学习和掌握多元函数在几何上的应用，会求出空间曲线的切线与法平面方程、曲面的切平面与法线方程；掌握多元函数极值的求法以及拉格朗日乘数法的应用。

教学重点 空间曲线的切线与法平面方程，曲面的切平面与法线方程，多元函数极值

教学难点 多元函数极值的求法以及拉格朗日乘数法

课 型 专业基础课 教学媒体

教法选择 讲 授

教 学 过 程 教法运用及板书要点

一、微分法在几何上的应用

1 空间曲线的切线与法平面

设空间曲线Г的参数方程为 ),(),(),(tztytx这里假定式(1)的三个函数都可导。

在曲线上取对应于0tt的一点),,(000zyxM及对应于ttt0的邻近一点),,('000zzyyxxM。根据解析几何，曲线的割线MM的方程是 .000zzzyyyxxx

当M＇沿着Г趋于M时，割线MM的极限位置MT就是曲线Г在点M处的切线(图6.7).用△t除上式的各分母，得

,000tzzztyyytxxx

令M＇→M这时 0),(t通过对上式取极限，即得曲线在点M处的切线方程为 )(00txx=.)()(0000tzztyy (1)

这里当然要假定)('),('),('000ttt不能都为零.如果个别为零，则应按空间解析几何有关直线的对称式方程的说明来理解。

此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页 2 切线的方向向量称为曲线的切向量。向量)}('),('),('{000tttT

高等数学C上册教材目录

目录

第一章 极限与连续

1.1 实数及其运算

1.2 数列的极限

1.3 函数的极限与连续

第二章 导数与微分

2.1 导数的概念

2.2 导数的运算法则

2.3 高阶导数与隐函数求导

第三章 微分中值定理与导数应用

3.1 中值定理及其应用

3.2 泰勒公式与应用

3.3 曲率与曲线的凹凸性

第四章 不定积分

4.1 原函数及其性质

4.2 不定积分的基本性质与运算法则 4.3 定积分与不定积分的关系

第五章 定积分

5.1 定积分的概念及其性质

5.2 牛顿-莱布尼茨公式与反常积分

5.3 广义积分的判定与计算

第六章 微积分基本定理与应用

6.1 微积分基本定理

6.2 广义积分求导与积分

6.3 微分方程的初等解法

第七章 距离与曲线积分

7.1 曲线的弧长与曲线积分

7.2 向量场与曲线积分

7.3 格林公式与曲线积分的应用

第八章 多元函数微分学

8.1 多元函数及其极限

8.2 偏导数及其应用

8.3 隐函数与参数方程的求导 第九章 多元函数微分学应用

9.1 多元函数的极值及其求法

9.2 条件极值与拉格朗日乘数法

9.3 多元函数微分中值定理

第十章 重积分

10.1 二重积分的概念及其性质

10.2 三重积分

10.3 重积分的坐标变换

第十一章 广义积分与无穷级数

11.1 广义积分的收敛性

11.2 高尔顿定理与瑕积分

11.3 幂级数与函数展开

第十二章 常微分方程

12.1 常微分方程的基本概念

12.2 一阶常微分方程的解法

12.3 高阶常微分方程的解法

结语

《高等数学电子教案》课件

一、第1章 函数与极限

1.1 函数的概念与性质

定义域、值域、对应关系

奇函数、偶函数、周期函数

单调性、连续性、可导性

1.2 极限的概念与性质

极限的定义（洛必达法则）

无穷小、无穷大、极限的存在性

极限的运算法则、夹逼定理、单调有界定理

二、第2章 导数与微分

2.1 导数的定义与计算

导数的定义（极限比值法）

基本导数公式、导数的运算法则

高阶导数、隐函数求导、参数方程求导

2.2 微分的作用与应用

微分的定义、微分的运算法则

微分在近似计算、物理应用等方面的作用

微分方程的解法与应用

三、第3章 泰勒公式与不定积分

3.1 泰勒公式的概念与计算

泰勒公式的定义、泰勒级数 常见函数的泰勒展开式

泰勒公式在近似计算中的应用

3.2 不定积分的概念与计算

不定积分的定义、基本积分公式

换元积分、分部积分

积分在几何、物理等方面的应用

四、第4章 定积分与反常积分

4.1 定积分的概念与计算

定积分的定义、定积分的性质

牛顿-莱布尼茨公式、定积分的换元法、分部积分法

定积分在几何、物理等方面的应用

4.2 反常积分的概念与计算

反常积分的定义、无穷区间上的积分

瑕点、解析延拓、魏尔斯特拉斯函数

反常积分在实际应用中的意义

五、第5章 微分方程与线性微分方程组

5.1 微分方程的概念与解法

微分方程的定义、微分方程的解

常微分方程、线性微分方程、非线性微分方程

分离变量法、积分因子法、变量替换法

5.2 线性微分方程组的概念与解法

线性微分方程组的定义、解的结构 高阶线性微分方程、齐次线性微分方程

特解法、待定系数法、常数变易法

六、第6章 级数

6.1 数项级数的概念与判别法

数项级数的定义、收敛性与发散性

收敛级数的性质、级数的收敛准则（比较检验、比值检验、根值检验）

绝对收敛与条件收敛

6.2 幂级数的概念与性质

幂级数的定义、收敛半径、收敛区间

幂级数的运算、泰勒级数与麦克劳林级数

《高等数学》教学大纲

适用专业：理工科类各专业 学制年限：四年

总学时：72+88 学 分：4.5+5.5

制定者：向中义 审 核 人：

一、说明

1.课程的性质、地位和任务：

本课程是理工类本科非数学专业的重要基础课，本课程与后继课程密切相关。课程基础性、理论性强，与后继课程的联系密切，对于培养学生能力，提高学生素质具有重要作用。通过本课程的学习，要使学生掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本方法，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生综合运用所学知识去分析解决实际问题的意识和能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。

2. 课程教学基本要求：

了解微积分学的基础理论；充分理解微积分学的背景思想及数学思想。掌握微积分学的基本方法、手段、技巧，并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力。能较熟练地应用微积分学的思想方法解决实际问题。为了满足新世纪科技人才对数学素质的要求,针对目前高等院校(特别是一般本科院校)的教学实际,本门课程的教学内容的安排及要求需注意以下几点:

1）、 重视微积分产生的历史背景知识介绍。微分、积分的引入都有较深刻的历史背景，在教学中应重视相关历史背景知识的介绍。

2）、 重视相关知识的整合。在一元函数微积分部分，将不定积分与定积分整合，先从应用实例引入定积分的概念，再根据定积分计算的需要引入不定积分。

3）、 注重基本概念的实际背景和概念的形成过程。微分、积分的形成都有较强的实际背景，教学中应充分暴露其形成过程，每一个概念的引入应遵循实例—抽象—概念的形成过程。