大学高数,第八章多元函数微分学 习题课

x0 x x +y
2 0 2 0
+
y0 y x +y
2 0 2 0
= z − 3,
2 0
整理时使用了 z0 =
x + y + 3.
2 0
显然，切平面过锥面顶点(0,0,3) 显然，切平面过锥面顶点(0,0,3) .
6.抛物面 z = x + y被平面 x + y + z = 1 6.抛物面 截成一椭圆， 截成一椭圆，求椭圆上点到原点距离的 最大与最小值. 最大与最小值.
∂ 2 f ∂v 2 ∂f ∂ 2v ∂ 2 f ∂v ∂f ∂ 2 v ( ) + ⋅ 2 (C) ∂ v 2 ∂ y ⋅ + ⋅ 2. ∂ v ∂ y ； (D) 2
∂v
∂y
∂v ∂y
思考与练习
设 求
3 设 z = z ( x , y ) 是由方程 F ( x − az , y − bz ) = 0 所确定的隐函数，其中 F ( u, v ) 是可微函数， 所确定的隐函数， 是可微函数，
x 2 (t ) + y 2 (t ) + z 2 (t ) = C
练习题
(一）选择题: 选择题:
处连续, 1 、函数 f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处连续, 且两个偏导数 f x ( x 0 , y 0 ), f y ( x 0 , y 0 ) 存在是 f ( x , y ) 在该点可微 的( ). 充分条件 但不是必要条件； 条件, （A ） 充分 条件 ,但不是必要条件 ； 必要条件,但不是充分条件； （B ） 必要条件 ,但不是充分条件 ； 充分必要条件； （C ） 充分必要条件； （D ） 既不是充分条件,也不是必要条件. 既不是充分条件, 也不是必要条件.

第八章 多元函数微分学§8.1 多元函数的基本概念一、填空题：1． 设 ),其中x>y>0,则f (x+y, x-y)=_____________.2． 函数_______________________________.3． 函数z=arcsin(2x)+ 的定义域____________________. 4． 函数f (x, y)= 221sin()x y +的间断点___________________________.5． (x , y )沿任何直线趋于00(,)x y 时，f (x , y )的极限存在且相等是00(x,y)(,)x y →时f(x, y)的极限存在的_________条件。

（充分非必要，充要，必要非充分，既非充分又非必要）二、 求下列函数的极限：1．(,)lim y x y → 2．(,)(0,1)lim x y →3．2(,)(,)1lim (1)x x y x y a xy+→∞+ （a 不为0） 4．22222(,)(0,0)1cos()lim ()xyx y x y x y e →-++5．(,)(0,lim x y → 0 6．(,)(0,)11lim()sin cos x y x y x y →+ 0三、 证明下列极限不存在：1．2(,)(0,)lim x y x y x →- 02．(,)(0,)lim x y xyx y →+ 0四、 函数f(x, y)= 24242420)00x yx y x y x y ⎧+≠⎪+⎨⎪+=⎩ （（） 在（0，0）点连续吗？§8.2 偏导数一、 选择题：1．x f ，y f 在00(,)x y 处均存在是f (x ,y)在该点连续的________条件。

(A) 充分； (B) 必要； (C) 充要； (D) 即不充分又不必要。

2．设z= f (x ,y)，则00(,)z x y x∂∂=（ ）。

y x
五、设 z f ( x 2 y 2 , e xy ), (其中f具 有一阶连续偏数),求 z z , x y
x 六、设 z f ( x , ) ,(其中f具 有二阶连续偏导数),求 y 2z 2z 2z , , 2. 2 x xy y
七、填空题 y dy y 2 arctan ,则 ______. 1、设 ln x x dx z z x z _______. 2、设 z y ,则 _______, x y
x
二、求下列各极限: 1、 lim 2 xy 4 ； x 0 xy y0 1 cos( x 2 y 2 ) 3、 lim 2 x 0 ( x y 2 ) x 2 y 2 y0 2、 lim sin xy ； x 0 x y0
. 11 xy 三、 证明极限 lim 不存在 . x 0 y x y 0
习题课--1
第八章
多元函数微分法
一、 基本概念 二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用
练Hale Waihona Puke 题一、 填空题:1、函数 z
y 的定义域是______________. y 2、函数 z arcsin 的定义域是_______________. x y2 2x 3、函数 z 2 的间断点是________________. y 2x
2
八、设2 sin( x 2 y 3 z ) x 2 y 3 z , z z 1. 证明： x y
2z . 九、设 z 3 xyz a , 求 xy
3 3
十、求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数: z x 2 y 2 dy dz 1、设 2 ,求 , . dx dx x 2 y 2 3 z 2 20

x yx y
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上述求导规则称为多元复合函数的链式法则. 具有 如下特点:
1. 复合后的函数有几个自变量，对应地就有几个 偏导数;
2. 有几个中间变量，就有几项相加;
3. 相加的每一项都是复合函数对某一中间变量的
偏导数和该中间变量对特定自变量的偏导数的乘积;
4. 中间变量或自变量只有一个时，公式中的求导
记号用 d ，不止一个时用偏导数记号
dx
x
5
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特例1. z f( u ,v ) ,u ( x ,y ) ,v ( y )
z z u z 0 z u x u x v u x
z z u z dv y u y v d y
特例2. z f( x ,v ) ,v ( x ,y )
2001考研
解 由题设 ( 1 ) f(1 ,f(1 ,1 ))f(1,1)1
d 3(x)
dx
x
132(x)ddx
x1
3 f1(x,f(x,x))
f 2 ( x , f ( x , x ) )
32 3(23)51
x 1
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个人观点供参考，欢迎讨论！
续的偏导数, 则复合函数
的导数为
dzzduzdv dt u dt v dt
全导数 证略（利用全增量公式）
z
uv tt
注 求多元复合函数的偏导数，只要对每一个中间
变量施行一元函数的链式法则，再相加即可. 重要的是
搞清楚函数的复合关系.
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推广 设 zf(u,v,w ),而
u ( t ) ,v ( t ) ,w ( t )
上页下页返回结束dtdzdtdzdtdudtdvcoslnsinlncosln上页下页返回结束解利用全导数求导数dxdydxdydxdudxdvcossinlnlnlnlnsin上页下页返回结束引入中间变量cossin上页下页返回结束1211上页下页返回结束xyzxyxyzxy上页下页返回结束二全微分形式的不变性是自变量还是中间变量则复合函数其全微分的表达形式都一样这一性质称为全微分形式的不变性

12、复合函数求导法则
定理 如果函数u (t) 及v (t) 都在点t 可
导，函数z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导
数，则复合函数 z f [ (t ), (t )] 在对应点t 可
导，且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
就是x 、y 的函数，它就称为函数z f ( x, y)对
自变量x 的偏导数，
记作z x
，f x
，z
x
或
f
x
(
x,
y
)
.
同理可以定义函数z f ( x, y)对自变量y 的偏导
数，记作z y
，f y
，z
y
或
f
y
(
x,
y
)
.
８、高阶偏导数
函数z f ( x, y)的二阶偏导数为
z Fy . y Fz
15、多元函数的极值
定义 设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内 有定义，对于该邻域内异于( x0 , y0 )的点( x, y) ： 若满足不等式 f ( x, y) f ( x0 , y0 ) ，则称函数 在 ( x0 , y0 ) 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式 f ( x, y) f ( x0 , y0 )，则称函数在( x0 , y0 ) 有极
x x0 y y0
（或 f ( x, y) A ( 0)这里 | PP0 |）.
说明：
（1）定义中 P P0 的方式是任意的；
（2）二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x, y); x x0 y y0

第 八 章 多元函数微分法及其应用第 一 节 多元函数的基本概念教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念，掌握多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数在连续点的极限。

教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理。

教学难点：计算多元函数的极限。

教学内容：一、 区域1． 邻域设),(000y x p 是xoy 平面上的一个点，δ是某一正数。

与点),(000y x p 距离小于δ的点(,)p x y 的全体，称为点0P 的δ邻域，记为),(0δP U ，即),(0δP U =}{0δ<PP P ，也就是),(0δP U = {),(y x │δ<-+-2020)()(y y x x }。

在几何上，),(0δP U 就是xoy 平面上以点),(000y x p 为中心、0>δ为半径的圆内部的点),(y x P 的全体。

2． 区域设E 是平面上的一个点集，P 是平面上的一个点。

如果存在点P 的某一邻域E P U ⊂)(，则称P 为E 的内点。

显然，E 的内点属于E 。

如果E 的点都是内点，则称E 为开集。

例如，集合}41),{(221<+<=y x y x E 中每个点都是E 1的内点，因此E 1为开集。

如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点，也有不属于E 的点（点P 本身可以属于E ，也可以不属于E ），则称P 为E 的边界点。

E 的边界点的全体称为E 的边界。

例如上例中，E 1的边界是圆周122=+y x 和 22y x +=4。

设D 是点集。

如果对于D 内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于D ，则称点集D 是连通的。

连通的开集称为区域或开区域。

例如，}0),{(>+y x y x 及}41),{(22<+<y x y x 都是区域。

开区域连同它的边界一起所构成的点集，称为闭区域，例如{),(y x │y x +≥0}及{),(y x │1≤22y x +≤4}都是闭区域。

第8章 多元函数的微分法及其应用§8.1 多元函数的基本概念一、填空题1．已知22),(y x xyy x f -=+ ，则f(x,y)= 。

2．函数)1ln(4222y x y x Z ---=的定义域为 。

3．11lim0-+→→xy xy y x = 。

二、判断题1． 如果P 沿任何直线y=kx 趋于（0，0）,都有A P f kxy x ==→)(lim 0，则A y x f y x =-→→)(lim 00。

（ ）2． 从0)0,(lim 0=→x f x 和2)2,(lim 0=→x x f x 知),(lim 0y x f y x →→不存在。

（ ）3． 下面定义域的求法正确吗？)ln(11),(y x y x y x f -+-+=解：012)2()1()2(0)1(01>-⇒+⎩⎨⎧>->-+x y x y x 所以定义域为x>1/2的一切实数。

三、选择题1． 有且仅有一个间断点的函数是（ ）（A ）、x y （B ）、)22ln(y x e x +- （C ）、yx x+ （D ）、arctanxy 2.下列极限存在的是（ ） （A ）、y x x y x +→→00lim（B ）、y x y x +→→1lim 00 （C ）、y x x y x +→→200lim （D ）、y x x y x +→→1sin lim 00四、求下列函数的定义域，并画出定义域的图形。

1．y x y x z --+=112.221)ln(yx x x y z --+-=3．)]1)(9ln[(2222-+--=y x y x z 五、求下列极限，若不存在，说明理由。

1．22101lim y x xy y x +-→→2. 222200cos 1limy x y x y x ++-→→3．y x x y x +→→00lim§8.2 偏导数一、判断题1． 如果f(x,y)在(x 0,y 0) 处，xf ∂∂存在，则一元函数f(x,y 0)在（x,y 0）处连续。

②书P72, T3 求函数f ( x, y)
ln(1
4x x2
y2 y2
的定义域
)
并求
(
x,
y
lim
)(
1 2
,0)
f
( x,
y)
解： 4x y2 0
4x y2
1 x2 y2 0
x2 y2 1
2 ln 3
4
1 x2 y2 1 x2 y2 0
∴定义域: {( x, y) | y2 4x,0 x2 y2 1}
① 已知 f ( x y, y ) x 2 y 2 ,则 f ( x, y)
；
x
解：设u x y,v y , 则x
u
uv ,y
x
1v 1v
f (u,v) u2 (1 v）2
u2v 2 (1 v）2
u2(1 v) (1 v）
f (x, y)
x2(1 y) (1 y） .
思考:如何讨论“导函数的连续性”
7
② 设 f ( x, y)在点 (a, b) 处的偏导数存在，则
lim f (a x,b) f (a x,b) （ B ）。
x0
x
(A) f x (a, b)
(B) 2 f x (a,b)
(C)
1 2
f x (a, b)
(D) f x (2a,b)
(05级)
利用定义
高阶偏导数——纯偏导、混合偏导
若混合偏导数连续,则混合偏导数与求导顺序无关； 做题时注意合并.
分段函数的偏导数（定义区域内直接求，分界点处用定义）
①书P73, T5
f
(
x,
y)
x2 y x2 y2 ,

3 已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ), 试在椭圆
x2 y2 1 (x 0, y 0) 圆周上求一点 C, 使 94
△ABC 面积 S△最小.
yA
解答提示: 设 C 点坐标为 (x , y), D
B
则
C
O
Ex
i 3
j 1
k 0
1 (0, 0, x 3y 10)
lim
x x0
f (x, y)
f ( x0 , y0 )
y y0
称 函数f (x, y)在点P0(x0,y0)处连续。
2. 几个基本概念的关系
函数连续
函数偏导数存在
函数可微
偏导数连续
思考与练习
1. 讨论二重极限
时, 下列算法是否正确?
解法1 原式 lim 1 0 x0 1 1
y0 y x
4( x 2x2 1) 16x( x 2x2 1) 0
( x 2x2 1)(1 4x) 0
x 1 y. 4
z1 8
2. 设
均可微, 且
已知 (x0, y0) 是 f (x, y)
在约束条件(x, y) 0下的一个极值点, 下列选项正确的是( D )
提示: 设
(2006考研) () 代入()得
f1
u z
f 2
v x x z
f
2
v z
x f1 1 z
f11
f 2
yz
x z
f2 xy
f
uv
xy yz
z xy z
yz
x z
1 f1 xy f2 f1 yz f2
4. 设
有连续的一阶偏导数 , 又函数

欢迎阅读第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答一、选择题1.极限lim x y x y x y →→+00242= （ B ） (A)等于0； (B)不存在； (C)等于12； (D)存在且不等于0或122223 0x y →→45、设u x =arctan ，则∂x= （ B ） (A) x x y 22+； (B) -+y x y 22； (C) y x y 22+ ； (D) -+x x y 226、设f x y y x (,)arcsin=，则f x '(,)21= （ A ） （A ）-14； （B ）14； （C ）-12； （D ）127、若)ln(y x z -=，则=∂∂+∂∂yz y x z x（ C ） （A ）y x +； （B ）y x -； （C ）21； （D ）21-． 8、设yx z arctan =，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ） （A ）22v u v u --； （B ）22v u u v --； （C ）22v u v u +-； （D ）22v u u v +-． 9、若f x x x x f x x x x (,),(,)'232612=+=+，则f x x y '(,)2= （ D ）(A)10、设z 11（A （C 12(f x （A （C 1、极限2、极限3、函数z x y =+ln()的定义域为 ??????? 。

答：x y +≥14、函数z x y=arcsin 的定义域为 ??????? 。

答：-≤≤11x ，y ≠0 5、设函数f x y x y xy y x (,)ln =++⎛⎝ ⎫⎭22，则f kx ky (,)= ??????? 。

答：k f x y 2⋅(,)6、设函数f x y xy x y (,)=+，则f x y x y (,)+-= ??????? 。

答：222x y x- （22()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x+--+-==++-Q ） 7、设z x y y =-+sin()3，则∂∂zx x y ===21_________ 。

dy dx

x 0
. B. 1 C. 2 D. 0 .
A. 1
22、设函数 y f x 是由方程 ln x 2 y 2 arctan A.
dy y 所确定的隐函数，则 x dx
x y yx
B.
x y yx
z x
C.
x y x2 y2
D.
x y x2 y2

2
，结论正确的是 B.
2z 2z 0 xy yx 2z 2z 0 xy yx
2z 2z 0 xy yx 2z 2z 0 xy yx
.
C.
D.
28、设 z xy 3 5 x 3 y x 8 ，结论正确的是
2z 2z A. 0 xy yx
C. 0
D. 不存在
xy 55、设 f ( x, y ) x 2 y 2 0
x2 10 y y 2 10000 (万元)，那么当总养殖 6
数为 45 头时，甲、乙两种动物各为多少头时可以使总成本最少？ 51、设某企业生产甲、乙两种产品的产量分别为 x (件)和 y (件)，且生产甲、乙
x2 1 两种产品的总成本为 C ( x, y ) 20 x 6 y y 2 10000 (万元)，那么当总产 4 2
B. e xy [ y sin( x y ) cos( x y )] D. e xy [ x sin( x y ) cos( x y )]
z y
.
B. e xy [ y sin( x y ) cos( x y )] D. e xy [ x sin( x y ) cos( x y )]
.