北京市海淀区2020届高三数学一模考试试题 文

2020年北京市海淀区高考数学一模试卷一、选择题（共10小题）1．在复平面内，复数i （2﹣i ）对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合A ＝{x |0＜x ＜3}，A ∩B ＝{1}，则集合B 可以是（ ） A ．{1，2} B ．{1，3} C ．{0，1，2} D ．{1，2，3}3．已知双曲线x 2−y 2b2=1（b ＞0）的离心率为√5，则b 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A ．b ﹣a ＜c +aB ．c 2＜abC ．c b＞caD ．|b |c ＜|a |c5．在（1x−2x ）6的展开式中，常数项为（ ）A ．﹣120B ．120C ．﹣160D ．1606．如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动．当圆M 滚动到圆M '时，圆M '与直线l 相切于点B ，点A 运动到点A '，线段AB 的长度为3π2，则点M '到直线BA '的距离为（ ）A ．1B ．√32C ．√22D ．127．已知函数f （x ）＝|x ﹣m |与函数g （x ）的图象关于y 轴对称．若g （x ）在区间（1，2）内单调递减，则m 的取值范围为（ ） A ．[﹣1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1]C ．[﹣2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2]8．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为（ ）A ．√5B ．2√2C ．2√3D ．√139．若数列{a n }满足a 1＝2，则“∀p ，r ∈N *，a p +r ＝a p a r ”是“{a n }为等比数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．形如22n+1（n 是非负整数）的数称为费马数，记为F n ．数学家费马根据F 0，F 1，F 2，F 3，F 4都是质数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出F 5不是质数，那么F 5的位数是（ ）（参考数据：lg 2≈0.3010） A ．9B ．10C ．11D ．12二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知点P （1，2）在抛物线C ：y 2＝2px 上，则抛物线C 的准线方程为 ． 12．在等差数列{a n }中，a 1＝3，a 2+a 5＝16，则数列{a n }的前4项的和为 ．13．已知非零向量a →，b →满足|a →|＝|a →−b →|，则（a →−12b →）•b →= ．14．在△ABC 中，AB ＝4√3，∠B =π4，点D 在边BC 上，∠ADC =2π3，CD ＝2，则AD ＝ ；△ACD 的面积为 ．15．如图，在等边三角形ABC 中，AB ＝6．动点P 从点A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点，记P 运动的路程为x ，点P 到此三角形中心O 距离的平方为f （x ），给出下列三个结论：①函数f （x ）的最大值为12；②函数f （x ）的图象的对称轴方程为x ＝9； ③关于x 的方程f （x ）＝kx +3最多有5个实数根． 其中，所有正确结论的序号是 ．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，AB＝BB1＝2BC＝2，BC1=√3，点E为A1C1的中点．（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣E的大小．17．已知函数f（x）＝2cos2ω1x+sinω2x．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）从①ω1＝1，ω2＝2；②ω1＝1，ω2＝1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f（x）在[−π2，π6]上的最小值，并直接写出函数f（x）的一个周期．18．科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障．如图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值（单位：十亿元）．（Ⅰ）从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；（Ⅱ）从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由．19．已知函数f（x）＝e x+ax．（Ⅰ）当a＝﹣1时，①求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；②求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）求证：当a∈（﹣2，0）时，曲线y＝f（x）与y＝1﹣lnx有且只有一个交点．20．已知椭圆C：x2a+y2b=1（a＞b＞0）的离心率为√32，A1（﹣a，0），A2（a，0），B（0，b），△A1BA2的面积为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线A1B与直线A2M交于点P，直线A1M与直线A2B交于点Q．求证：△BPQ为等腰三角形．21．已知数列{a n}是由正整数组成的无穷数列．若存在常数k∈N*，使得a2n﹣1+a2n＝ka n对任意的n∈N*成立，则称数列{a n}具有性质Ψ（k）．（Ⅰ）分别判断下列数列{a n}是否具有性质Ψ（2）；（直接写出结论）①a n＝1；②a n＝2n．（Ⅱ）若数列{a n}满足a n+1≥a n（n＝1，2，3，…），求证：“数列{a n}具有性质Ψ（2）”是“数列{a n}为常数列”的充分必要条件；（Ⅲ）已知数列{a n}中a1＝1，且a n+1＞a n（n＝1，2，3，…）．若数列{a n}具有性质Ψ（4），求数列{a n}的通项公式．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．在复平面内，复数i （2﹣i ）对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标，看出所在的象限． 解：∵复数z ＝i （2﹣i ）＝﹣i 2+2i ＝1+2i ∴复数对应的点的坐标是（1，2） 这个点在第一象限， 故选：A ．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，本题解题的关键是写成标准形式，才能看出实部和虚部的值．2．已知集合A ＝{x |0＜x ＜3}，A ∩B ＝{1}，则集合B 可以是（ ） A ．{1，2}B ．{1，3}C ．{0，1，2}D ．{1，2，3}【分析】根据A ＝{x |0＜x ＜3}，A ∩B ＝{1}，即可得出集合B 可能的情况． 解：∵A ＝{x |0＜x ＜3}，A ∩B ＝{1}， ∴集合B 可以是{1，3}． 故选：B ．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 3．已知双曲线x 2−y 2b2=1（b ＞0）的离心率为√5，则b 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】利用双曲线的离心率公式，列出方程，求解b 即可． 解：双曲线x 2−y 2b2=1（b ＞0）的离心率为√5，可得√b 2+11=√5，解得b ＝2，故选：B ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．4．已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A ．b ﹣a ＜c +aB ．c 2＜abC ．cb＞caD ．|b |c ＜|a |c【分析】法1：根据数轴得到c ＜b ＜a ＜0且|c |＞|b |＞|a |，结合不等式基本性质逐一进行判断即可；法2：用特值法带入验证即可．解：（法1）根据数轴可得c ＜b ＜a ＜0且|c |＞|b |＞|a |，对于A ：因为c ＜b ，a ＜0，所以c +a ＜c ，b ﹣a ＞b ，则c +a ＜c ＜b ﹣a ，即c +a ＜b ﹣a ，故A 错误；对于B ：因为c ＜b ＜a ＜0，|c |＞|b |＞|a |，所以c 2＞b 2＞a 2，且b 2＞ab ，所以c 2＞b 2＞ab ，则c 2＞ab ，故B 错误；对于C ：因为b ＜a ＜0，所以1b＞1a，则cb＜ca，故C 错误；对于D ：因为|b |＞|a |，且c ＜0，所以|b |c ＜|a |c ，故D 正确， （法2）不妨令c ＝﹣5，b ＝﹣4，a ＝﹣1，则c +a ＝﹣6＜b ﹣a ＝﹣3，故A 错误；c 2＝25＞ab ＝4，故B 错误；cb =54＜c a=5，故C错误； 故选：D ．【点评】本题考查不等式的相关应用，考查合情推理，属于中档题． 5．在（1x −2x ）6的展开式中，常数项为（ ）A ．﹣120B ．120C ．﹣160D ．160【分析】先求出通项，然后令x 的指数为零即可．解：由题意得：T k+1=(−2)k C 6k x2k ﹣6， 令2k ﹣6＝0得k ＝3，故常数项为T 4=(−2)3C 63=−160． 故选：C ．【点评】本题考查二项式展开式通项的应用和学生的运算能力，属于基础题． 6．如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动．当圆M 滚动到圆M '时，圆M '与直线l 相切于点B ，点A 运动到点A '，线段AB 的长度为3π2，则点M '到直线BA '的距离为（ ）A ．1B ．√32C ．√22D ．12【分析】根据条件可得圆旋转了34个圆，作图可得到△A 'M 'B 是等腰直角三角形，进而可求得M '到A 'M 的距离．解：根据条件可知圆周长＝2π，因为BA =32π=34×2π，故可得A ’位置如图：∠A 'M 'B ＝90°，则△A 'M 'B 是等腰直角三角形，则M '到A 'M 的距离d =√22r =√22，故选：C ．【点评】本题考查点到直线的距离，考查圆旋转的长度求法，数中档题．7．已知函数f （x ）＝|x ﹣m |与函数g （x ）的图象关于y 轴对称．若g （x ）在区间（1，2）内单调递减，则m 的取值范围为（ ） A ．[﹣1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1]C ．[﹣2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2]【分析】根据题意，分析可得f （x ）在区间（﹣2，﹣1）上递增，将f （x ）写成分段函数的形式，分析可得f （x ）在区间（m ，+∞）上为增函数，据此可得m 的取值范围． 解：根据题意，函数f （x ）＝|x ﹣m |与函数g （x ）的图象关于y 轴对称．若g （x ）在区间（1，2）内单调递减，则f （x ）在区间（﹣2，﹣1）上递增，而f （x ）＝|x ﹣m |={x −m ，x ≥m−x +m ，x ＜m ，在区间（m ，+∞）上为增函数，则有m ≤﹣2，即m 的取值范围为（﹣∞，﹣2]； 故选：D ．【点评】本题考查函数的单调性，涉及函数之间的对称性、不等式的解法，属于基础题．8．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为（）A．√5B．2√2C．2√3D．√13【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出最大棱长．解：根据几何体的三视图可得直观图为：该几何体为四棱锥体，如图所示：所以最长的棱长AB=√22+22+22=2√3．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的棱长的求法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9．若数列{a n}满足a1＝2，则“∀p，r∈N*，a p+r＝a p a r”是“{a n}为等比数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用等比数列的定义通项公式即可判断出结论．解：“∀p，r∈N*，a p+r＝a p a r”，取p＝n，r＝1，则a n+1＝2a n，∴{a n}为等比数列．反之不成立．{a n}为等比数列，则a p+r＝2×q p+r﹣1，a p a r＝22•q p+r﹣2，只有q＝2时才能成立．∴数列{a n}满足a1＝2，则“∀p，r∈N*，a p+r＝a p a r”是“{a n}为等比数列”的充分不必要条件．．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．形如22n+1（n是非负整数）的数称为费马数，记为F n．数学家费马根据F0，F1，F2，F3，F4都是质数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出F5不是质数，那么F5的位数是（）（参考数据：lg2≈0.3010）A．9B．10C．11D．12【分析】根据所给定义表示出F5＝109.632×109，进而即可判断出其位数．解：根据题意，F5=225+1＝232+1≈232=10lg232=1032lg2≈1032×0.3010＝109.632＝100.632×109，因为1＜100.632＜10，所以F5的位数是10．故选：B．【点评】本题考查指对数运算，考查学生阅读理解能力，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知点P（1，2）在抛物线C：y2＝2px上，则抛物线C的准线方程为x＝﹣1．【分析】把点P的坐标代入抛物线的方程可求得p，而准线方程为x=−p2，从而得解．解：把点P（1，2）代入抛物线方程有，4＝2p，∴p＝2，∴抛物线的准线方程为x=−p2=−1．故答案为：x＝﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程、准线方程等，考查学生的运算能力，属于基础题．12．在等差数列{a n}中，a1＝3，a2+a5＝16，则数列{a n}的前4项的和为24．【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1＝3，a2+a5＝16，∴2×3+5d＝16，解得d＝2．则数列{a n}的前4项的和＝4×3+4×32×2＝24．故答案为：24．【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．已知非零向量a →，b →满足|a →|＝|a →−b →|，则（a →−12b →）•b →= 0 ．【分析】把所给条件平方整理得到a →•b →=12b →2；代入数量积即可求解结论．解：因为非零向量a →，b →满足|a →|＝|a →−b →|，∴a →2=a →2−2a →•b →+b →2⇒a →•b →=12b →2；则（a →−12b →）•b →=a →⋅b →−12b →2=0． 故答案为：0．【点评】本题考查向量的数量积以及模长的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．14．在△ABC 中，AB ＝4√3，∠B =π4，点D 在边BC 上，∠ADC =2π3，CD ＝2，则AD ＝ 4√2 ；△ACD 的面积为 2√6 ．【分析】先根据正弦定理求得AD ，进而求得三角形的面积． 解：如图；因为在△ABC 中，AB ＝4√3，∠B =π4，点D 在边BC 上，∠ADC =2π3，CD ＝2， 所以：ADsin∠ABD =ABsin∠ADB⇒AD =4√3×sin π4sin π3=4√2； S △ACD =12•AD •CD •sin ∠ADC =12×4√2×2×sin 2π3=2√6； 故答案为：4√2，2√6．【点评】本题主要考查正弦定理以及三角形的面积，属于基础题目．15．如图，在等边三角形ABC 中，AB ＝6．动点P 从点A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点，记P 运动的路程为x ，点P 到此三角形中心O 距离的平方为f （x ），给出下列三个结论：①函数f （x ）的最大值为12；②函数f （x ）的图象的对称轴方程为x ＝9； ③关于x 的方程f （x ）＝kx +3最多有5个实数根． 其中，所有正确结论的序号是 ①② ．【分析】写出函数解析式并作出图象，数形结合进行逐一分析解：由题可得函数f （x ）={3+(x −3)2，0≤x ＜63+(x −9)2，6≤x ＜123+(x −15)2，12≤x ≤18，作出图象如图：则当点P 与△ABC 顶点重合时，即x ＝0，6，12，18时，f （x ）取得最大值12，故①正确；又f （x ）＝f （18﹣x ），所以函数f （x ）的对称轴为x ＝9，故②正确；由图象可得，函数f （x ）图象与y ＝kx +3的交点个数为6个，故方程有6个实根，故③错误．故答案为：①②．【点评】本题考查命题的真假性判断，涉及函数的应用、图象与性质，数形结合思想，逻辑推理能力，属于难题三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥平面BB 1C 1C ，AB ＝BB 1＝2BC ＝2，BC 1=√3，点E 为A 1C 1的中点．（Ⅰ）求证：C 1B ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角A ﹣BC ﹣E 的大小．【分析】（Ⅰ）证明AB ⊥C 1B ．CB ⊥C 1B ．利用直线与平面垂直的判断定理证明C 1B ⊥平面ABC ．（Ⅱ）以B 为原点建立空间直角坐标系B ﹣xyz ．求出平面BCE 的法向量，平面ABC 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的大大小即可， 【解答】（Ⅰ）证明：因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，C 1B ⊂平面BB 1C 1C 所以AB ⊥C 1B ．在△BCC 1中，BC ＝1，BC 1=√3，CC 1＝2，所以BC 2+BC 12=CC 12．所以CB ⊥C 1B ．因为AB ∩BC ＝B ，AB ，BC ⊂平面ABC ， 所以C 1B ⊥平面ABC ．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AB ⊥C 1B ，BC ⊥C 1B ，AB ⊥BC ， 如图，以B 为原点建立空间直角坐标系B ﹣xyz ．则B （0，0，0），E(−12，√3，1)，C （1，0，0）.BC →=(1，0，0)，BE →=(−12，√3，1)． 设平面BCE 的法向量为n →=（x ，y ，z ）， 则{n →⋅BC →=0n →⋅BE →=0， 即{x =0，−12x +√3y +z =0. 令y =√3则x ＝0，z ＝﹣3， 所以n →=(0，√3，−3)．又因为平面ABC 的法向量为m →=（0，1，0），所以cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=12．由题知二面角A ﹣BC ﹣E 为锐角，所以其大小为π3．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题． 17．已知函数f （x ）＝2cos 2ω1x +sin ω2x ． （Ⅰ）求f （0）的值；（Ⅱ）从①ω1＝1，ω2＝2；②ω1＝1，ω2＝1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f （x ）在[−π2，π6]上的最小值，并直接写出函数f （x ）的一个周期．【分析】（Ⅰ）由函数f （x ）的解析式求出f （0）的值； （Ⅱ）选择条件①时f （x ）的一个周期为π，利用三角恒等变换化简f （x ），再求f （x ）在[−π2，π6]的最小值． 选择条件②时f （x ）的一个周期为2π，化简f （x ），利用三角函数的性质求出f （x ）在[−π2，π6]的最小值． 解：（Ⅰ）由函数f （x ）＝2cos 2ω1x +sin ω2x ， 则f （0）＝2cos 20+sin0＝2；（Ⅱ）选择条件①，则f （x ）的一个周期为π； 由f （x ）＝2cos 2x +sin2x ＝（cos2x +1）+sin2x=√2(√22sin2x +√22cos2x)+1=√2sin(2x +π4)+1；因为x ∈[−π2，π6]，所以2x +π4∈[−3π4，7π12]；所以−1≤sin(2x+π4)≤1，所以1−√2≤f(x)≤1+√2；当2x+π4=−π2，即x=−3π8时，f（x）在[−π2，π6]取得最小值为1−√2．选择条件②，则f（x）的一个周期为2π；由f（x）＝2cos2x+sin x＝2（1﹣sin2x）+sin x=−2(sinx−14)2+178；因为x∈[−π2，π6]，所以sinx∈[−1，12]；所以当sin x＝﹣1，即x=−π2时，f（x）在[−π2，π6]取得最小值为﹣1．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化与运算能力，是基础题．18．科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障．如图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值（单位：十亿元）．（Ⅰ）从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；（Ⅱ）从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由．【分析】（Ⅰ）按照古典概型概率计算公式计算即可；（Ⅱ）显然这是一个超几何分布，按照超几何分布的概率计算方法，分别算出随机变量X取0，1，2时的概率，然后画出分布列，即可求期望；（Ⅲ）结合折线图从“每年的研发投入”“研发投入占营收比”的变化来分析即可．解：（Ⅰ）设事件A为“从2010年至2019年中随机选取一年，研发投入占当年总营收的百分比超过10%”，从2010年至2019年一共10年，其中研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，所以P(A)=9 10．（Ⅱ）由图表信息，从2010年至2019年10年中有5年研发投入超过500亿元，所以X 的所有可能取值为0，1，2．且P(X=0)=C52C102=29；P(X=1)=C51C51C102=59；P(X=2)=C52C102=29．所以X的分布列为：X012P295929故X的期望E(X)=0×29+1×59+2×29=1．（Ⅲ）从两个方面可以看出，该公式是比较重视研发的：一、从2010年至2019年，每年的研发投入是逐年增加的（2018年除外），并且增加的幅度总体上逐渐加大；二、研发投入占营收的比例总体上也是逐渐增加的，虽然2015年往后有些波动，但是总体占比还是较高的．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、期望的求法，注意对题意的理解需到位、准确．同时考查学生的数学建模的素养，属于中档题．19．已知函数f（x）＝e x+ax．（Ⅰ）当a＝﹣1时，①求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；②求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）求证：当a∈（﹣2，0）时，曲线y＝f（x）与y＝1﹣lnx有且只有一个交点．【分析】（Ⅰ）①将a＝﹣1带入，求导，求出切线斜率及切点，利用点斜式方程即得解；②求出函数函数f（x）的单调性情况，进而得出最值；（Ⅱ）即证函数g（x）＝e x+ax+lnx﹣1仅有一个零点，利用导数可知函数g（x）在区间（0，+∞）上单调递增，结合零点存在性定理即得证．解：（Ⅰ）①当a＝﹣1时，f（x）＝e x﹣x，则f'（x）＝e x﹣1．所以f'（0）＝0．又f（0）＝1，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1；②令f'（x）＝0，得x＝0，此时f'（x），f（x）随x的变化如下：x（﹣∞，0）0（0，+∞）f'（x）﹣0+f（x）↘极小值↗可知f（x）min＝f（0）＝1，函数f（x）的最小值为1．（Ⅱ）证明：由题意可知，x∈（0，+∞），令g（x）＝e x+ax+lnx﹣1，则g′(x)=e x+1x+a，由（Ⅰ）中可知e x﹣x≥1，故e x≥1+x，因为a∈（﹣2，0），则g′(x)=e x+1x+a≥(x+1)+1x+a≥2√x⋅1x+a+1=3+a＞0，所以函数g（x）在区间（0，+∞）上单调递增，因为g(1e )=e1e+ae−2＜e12−2＜0，又因为g（e）＝e e+ae＞e2﹣2e＞0，所以g（x）有唯一的一个零点．即函数y＝f（x）与y＝1﹣lnx有且只有一个交点．【点评】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值，函数的零点等问题，考查运算求解能力及推理论证能力，属于中档题． 20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，A 1（﹣a ，0），A 2（a ，0），B（0，b ），△A 1BA 2的面积为2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M 是椭圆C 上一点，且不与顶点重合，若直线A 1B 与直线A 2M 交于点P ，直线A 1M 与直线A 2B 交于点Q ．求证：△BPQ 为等腰三角形． 【分析】（Ⅰ）由题{ ca =√32，ab =2，a 2=b 2+c 2.，求出a ，b ，即可得到椭圆方程．（ II ）解法1，设直线A 2M 方程为y =k(x −2)(k ≠0且k ≠±12)，直线A 1B 方程为y =12x +1，通过联立直线与椭圆方程组，求出M 坐标，Q 坐标，推出|BP |＝|BQ |，即可证明△BPQ 为等腰三角形．解法2，设M （x 0，y 0）（x 0≠±2，y 0≠±1）则x 02+4y 02=4．直线A 2M 方程为y =y0x 0−2(x −2)，直线A 1B 方程为y =12x +1．通过联立直线与椭圆方程组，求出P ，Q 坐标，转化推出|BP |＝|BQ |，得到△BPQ 为等腰三角形． 解：（Ⅰ）由题{ ca =√32，ab =2，a 2=b 2+c 2. 解得{a =2，b =1.所以椭圆方程为x 24+y 2=1．（ II ）解法1证明：设直线A 2M 方程为y =k(x −2)(k ≠0且k ≠±12)，直线A 1B 方程为y =12x +1 由{y =k(x −2)，y =12x +1.解得点P(4k+22k−1，4k 2k−1)． 由{y =k(x −2)，x 24+y 2=1.得（4k +1）x 2﹣16k 2x +16k 2﹣4＝0，则2x M =16k 2−44k 2+1．所以x M =8k 2−24k 2+1，y M =−4k4k 2+1．即M(8k 2−24k 2+1，−4k 4k 2+1).k A 1M =−4k 4k 2+18k 2−24k 2+1+2=−14k ．于是直线A 1M 的方程为y =−14k (x +2)，直线A 2B 的方程为y =−12x +1． 由{y =−14k (x +2)y =−12x +1解得点Q(4k+22k−1，−22k−1)． 于是x P ＝x Q ，所以PQ ⊥x 轴． 设PQ 中点为N ，则N点的纵坐标为4k 2k−1+−22k−12=1．故PQ 中点在定直线y ＝1上．从上边可以看出点B 在PQ 的垂直平分线上，所以|BP |＝|BQ |， 所以△BPQ 为等腰三角形． 解法2证明：设M （x 0，y 0）（x 0≠±2，y 0≠±1）则x 02+4y 02=4．直线A 2M 方程为y =yx 0−2(x −2)，直线A 1B 方程为y =12x +1．由{y =y0x 0−2(x −2)，y =12x +1.解得点P(2x 0+4y 0−42y 0−x 0+2，4y2y 0−x 0+2)． 直线A 1M 方程为y =yx 0+2(x +2)，直线A 2B 方程为y =−12x +1． 由{y =yx 0+2(x +2)，y =−12x +1.解得点Q(2x 0−4y 0+42y 0+x 0+2，4y02y 0+x 0+2).x P −x Q =2x 0+4y 0−42y 0−x 0+2−2x 0−4y 0+42y 0+x 0+2=2(x 0+2y 0−2)(2y 0+x 0+2)−2(x 0−2y 0+2)(2y 0−x 0+2)(2y 0−x 0+2)(2y 0+x 0+2)=2[(x 0+2y 0)2−4)−(4−(x 0−2y 0)2](2y 0−x 0+2)(2y 0+x 0+2)=0．于是x P ＝x Q ，所以PQ ⊥x轴.y P +y Q =4y 02y 0−x 0+2+4y2y 0+x 0+2=4y0(4y0+4)(2y0−x0+2)(2y0+x0+2)=4y0(4y0+4)(2y0+2)2−x02=2．故PQ中点在定直线y＝1上．从上边可以看出点B在PQ的垂直平分线上，所以|BP|＝|BQ|，所以△BPQ为等腰三角形．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．21．已知数列{a n}是由正整数组成的无穷数列．若存在常数k∈一、选择题*，使得a2n﹣1+a2n ＝ka n对任意的n∈N*成立，则称数列{a n}具有性质Ψ（k）．（Ⅰ）分别判断下列数列{a n}是否具有性质Ψ（2）；（直接写出结论）①a n＝1；②a n＝2n．（Ⅱ）若数列{a n}满足a n+1≥a n（n＝1，2，3，…），求证：“数列{a n}具有性质Ψ（2）”是“数列{a n}为常数列”的充分必要条件；（Ⅲ）已知数列{a n}中a1＝1，且a n+1＞a n（n＝1，2，3，…）．若数列{a n}具有性质Ψ（4），求数列{a n}的通项公式．【分析】（Ⅰ）①②利用已知条件及其定义解验证判断出结论．（Ⅱ）先证“充分性”：当数列{a n}具有“性质Ψ（2）”时，有a2n﹣1+a2n＝2a n，根据a n+1≥a n，可得0≤a2n﹣a n＝a n﹣a2n﹣1≤0，进而有a n＝a2n，结合a n+1≥a n即可证明结论．再证“必要性”：若“数列{a n}为常数列”，容易验证a2n﹣1+a2n＝2a1＝2a n，即可证明．（Ⅲ）首先证明：a n+1﹣a n≥2．根据{a n}具有“性质Ψ（4）”，可得a2n﹣1+a2n＝4a n．当n＝1时，有a2＝3a1＝3．由a2n−1，a2n，a n∈N∗，且a2n＞a2n﹣1，可得a2n≥2a n+1，a2n ﹣1≤2a n﹣1，进而有2a n+1≤a2n≤a2n+1﹣1≤2a n+1﹣2，可得2（a n+1﹣a n）≥3，可得：a n+1﹣a n≥2．然后利用反证法证明：a n+1﹣a n≤2．假设数列{a n}中存在相邻的两项之差大于3，即存在k∈N*满足：a2k+1﹣a2k≥3或a2k+2﹣a2k+1≥3，进而有4（a k+1﹣a k）＝（a2k+2+a2k+1）﹣（a2k+a2k ﹣1）＝[（a2k+2﹣a2k+1）+（a2k+1﹣a2k）]+[（a2k+1﹣a2k）+（a2k﹣a2k﹣1）]≥12．又因为a k+1−a k∈N∗，可得a k+1﹣a k≥3，依此类推可得：a2﹣a1≥3，矛盾．综上有：a n+1﹣a n＝2，结合a1＝1可得a n＝2n﹣1，解：（Ⅰ）①数列{a n}具有“性质Ψ（2）”；②数列{a n}不具有“性质Ψ（2）”．（Ⅱ）证明：先证“充分性”：当数列{a n}具有“性质Ψ（2）”时，有a2n﹣1+a2n＝2a n，又因为a n+1≥a n，所以0≤a2n﹣a n＝a n﹣a2n﹣1≤0，进而有a n＝a2n结合a n+1≥a n有a n＝a n+1＝…＝a2n，即“数列{a n}为常数列”；再证“必要性”：若“数列{a n}为常数列”，则有a2n﹣1+a2n＝2a1＝2a n，即“数列{a n}具有“性质Ψ（2）”．（Ⅲ）首先证明：a n+1﹣a n≥2．因为{a n}具有“性质Ψ（4）”，所以a2n﹣1+a2n＝4a n．当n＝1时，有a2＝3a1＝3．又因为a2n−1，a2n，a n∈N∗，且a2n＞a2n﹣1，所以有a2n≥2a n+1，a2n﹣1≤2a n﹣1，进而有2a n+1≤a2n≤a2n+1﹣1≤2a n+1﹣2，所以2（a n+1﹣a n）≥3，结合a n+1，a n∈N∗可得：a n+1﹣a n≥2．然后利用反证法证明：a n+1﹣a n≤2．假设数列{a n}中存在相邻的两项之差大于3，即存在k∈N*满足：a2k+1﹣a2k≥3或a2k+2﹣a2k+1≥3，进而有4（a k+1﹣a k）＝（a2k+2+a2k+1）﹣（a2k+a2k﹣1）＝（a2k+2﹣a2k）+（a2k+1﹣a2k﹣1）＝[（a2k+2﹣a2k+1）+（a2k+1﹣a2k）]+[（a2k+1﹣a2k）+（a2k﹣a2k﹣1）]≥12．又因为a k+1−a k∈N∗，所以a k+1﹣a k≥3依此类推可得：a2﹣a1≥3，矛盾，所以有a n+1﹣a n≤2．综上有：a n+1﹣a n＝2，结合a1＝1可得a n＝2n﹣1，经验证，该通项公式满足a2n﹣1+a2n＝4a n，所以：a n＝2n﹣1．【点评】本题考查了新定义、等差数列的通项公式、数列递推关系、反证法、转化方法、方程以不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

********************************************************* **********************海淀区高三年级第二学期阶段性测试参考答案2020.春1. A2. B3. B4. D5. C6. C7. D8. C9. A 10. B二、填空题:本大题共5小题, 每小题5分，共25分.11. x = -\12. 24：13. 0；一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.14. 4^2; 2^6；15. (1) (2)三、解答题：本大题共6小题，共85分.16.(共14 分)(1).AB丄平面88CCC】Bu平面BB.C.C ,AB 1 C\B又4BC _ &BG为三棱柱AB = BB、= 2BC = 2 " -----------------BB]=2 = CC[,BC = 1BC\=8 E.•.在A5CG中，SC2 + C,52 = CC,2B:.C}B 1BC•; BCn」B = B y圣BC c WiABC,AB c \^ABC ./C X B1 平面"C⑵C X B丄平面如C:.QB1BC又v AB丄平面B8CCAB LBC, AB LBC,•••以8为空间直角坐标系原点，昭为x轴，BQ為轴，时为:轴建系如图8(0,0,0), C(l,0,0),C,(0,也0), E( - }右,1)而=(—?M,1)网= (1,0,0)设平面BCB^］法向量为〃 =(x, y,z).・.n丄BE.n丄BC n • BE=0,n BC=0******************x + >/3y + z = 0x = 0/. x = 0令= 则:=-3 H =(0,A/3,-3)BC,丄平^ABC17.(共14 分) 解：(I) /(O) = 2 cos 0 + sin 0 = 2 ；(II)当取①口1 =1,勿2 = 2时f(x)-2 cos2 x + sin 2x =sin2x + cos2x + l = V2sin(2x + ^-)+l,••当2当=号时，即一等/(叽宀(-等)=7T = 7V当取②＜y, = L 口2=1时，/(x) = 2 cos2 x + sin x = —2 sin2 x + sin x + 2。

2020年海淀区⾼三⼀模数学试卷及答案（理科）海淀区⾼三年级第⼆学期期中练习数学（理科） 2020.04⼀、选择题：本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.（1）已知集合{}1A x x =>，{}B x x m =<，且A B =R U ，那么m 的值可以是（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2 （2）在等⽐数列{}n a 中，14358a a a a ==，，则7a =（A ）116（B ）18 （C ）14 （D ）12（3）在极坐标系中，过点3(2,)2π且平⾏于极轴的直线的极坐标⽅程是（A ）sin 2ρθ=- （B ）cos 2ρθ=- （C ）sin 2ρθ= （D ）cos 2ρθ= （4）已知向量=(1)= (1)x x ，a b ，，-，若2-a b 与b 垂直，则=a（A（B（C ）2 （D ）4 （5）执⾏如图所⽰的程序框图，输出的k 值是（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（6）从甲、⼄等5个⼈中选出3⼈排成⼀列，则甲不在排头的排法种数是（A ）12 （B ）24 （C ）36 （D ）48（7）已知函数2,1,()1,1,x ax x f x ax x ?-+≤=?->? 若1212,,x x x x ?∈≠R ，使得12()()f x f x =成⽴，则实数a 的取值范围是（A ）2a < （B ）2a > （C ）22a -<< （D ）2a >或2a <- （8）在正⽅体''''ABCD A B C D -中，若点P （异于点B ）是棱上⼀点，则满⾜BP 与'AC 所成的⾓为45°的点P 的个数为（A ）0 （B ）3 （C ）4 （D ）6⼆、填空题：本⼤题共6⼩题，每⼩题5分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）复数2i1ia +-在复平⾯内所对应的点在虚轴上，那么实数a = . （10）过双曲线221916x y -=的右焦点，且平⾏于经过⼀、三象限的渐近线的直线⽅程是 . （11）若1tan 2α=，则cos(2)απ2+= . （12）设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中,Q P 分别表⽰需求量和价格，如果商品需求弹性EQEP⼤于1（其中'EQ Q P EP Q =-，'Q 是Q 的导数），则商品价格P 的取值范围是 .（13）如图，以ABC ?的边AB 为直径的半圆交AC 于点FEDC BAA'B'C'D'ABCDD ，交BC 于点E ，EF AB ^于点F ，3AF BF =，22BE EC ==，那么CDE D= ，CD = .（14）已知函数1,,()0,,x f x x ì=í?R Q Q e则（ⅰ）(())f f x = ；（ⅱ）给出下列三个命题：①函数()f x 是偶函数；②存在(1,2,3)i x i ?R ，使得以点(,())(1,2,3)i i x f x i =为顶点的三⾓形是等腰直⾓三⾓形；③存在(1,2,3,4)i x iR ，使得以点(,())(1,2,3,4)i i x f x i =为顶点的四边形为菱形. 其中，所有真命题的序号是 .三、解答题：本⼤题共6⼩题，共80分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本⼩题满分13分）在ABC ?中，⾓A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且A ，B ， C 成等差数列.（Ⅰ）若b =3a =，求c 的值；（Ⅱ）设sin sin t A C =，求t 的最⼤值.(16)（本⼩题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，AB //CD ，AB AD ^，4,2AB AD CD ===，PA ^平⾯ABCD ，4PA =.（Ⅰ）设平⾯PAB I 平⾯PCD m =，求证：CD //m ；（Ⅱ）求证：BD ⊥平⾯PAC ；PDCBA（Ⅲ）设点Q 为线段PB 上⼀点，且直线QC 与平⾯PAC所成⾓的正弦值为3，求PQPB 的值．(17)（本⼩题满分13分）某学校随机抽取部分新⽣调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直⽅图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]. （Ⅰ）求直⽅图中x 的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1⼩时的学⽣可申请在学校住宿，请估计学校600名新⽣中有多少名学⽣可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的新⽣中任选4名学⽣，这4名学⽣中上学所需时间少于20分钟的⼈数记为X ，求X 的分布列和数学期望.（以直⽅图中新⽣上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学⽣上学所需时间少于20分钟的概率）(18)（本⼩题满分13分）已知函数21()e ()(0)kx f x x x k k -=+-<.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得函数()f x 的极⼤值等于23e -？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.(19)（本⼩题满分13分）在平⾯直⾓坐标系xOy 中，椭圆G 的中⼼为坐标原点，左焦点为1(1,0)F -，P 为椭圆G 的上顶点，且145PF O ∠=?.（Ⅰ）求椭圆G 的标准⽅程；（Ⅱ）已知直线1l ：1y kx m =+与椭圆G 交于A ，B 两点，直线2l ：2y kx m =+（12m m ≠）与椭圆G 交于C ，D 两点，且||||AB CD =，如图所⽰.（ⅰ）证明：120m m +=;（ⅱ）求四边形ABCD 的⾯积S 的最⼤值.(20)（本⼩题满分14分）对于集合M ，定义函数1,,()1,.M x M f x x M -∈?=对于两个集合M ，N ，定义集合{()()1}M N M N x f x f x ?=?=-. 已知{2,4,6,8,10}A =，{1,2,4,8,16}B =. （Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并⽤列举法写出集合A B ；（Ⅱ）⽤Card(M)表⽰有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B ?+?的最⼩值；（Ⅲ）有多少个集合对（P ，Q ），满⾜,P Q A B ?U ，且()()P A Q B A B =?？海淀区⾼三年级第⼆学期期中练习数学（理科）参考答案及评分标准 2020．04⼀.选择题：本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分.⼆.填空题：本⼤题共6⼩题，每⼩题5分，共30分. （9）2 （10）43200x y --= （11）45- （12）(10,20)（13）60°（14）1 ①③三.解答题：本⼤题共6⼩题，共80分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本⼩题满分13分）解：（Ⅰ）因为,,A B C 成等差数列，所以2B A C =+. 因为A B C ++=π，所以3B π=. ………………………………………2分因为b =3a =，2222cos b a c ac B =+-，所以2340c c --=. ………………………………………5分所以4c =或1c =-（舍去）. ………………………………………6分（Ⅱ）因为23A C +=π，所以2sin sin()3t A A π=-1sin sin )22A A A =+11cos22()422A A -=+ 11sin(2)426A π=+-. ………………………………………10分因为203A π<<，所以72666A πππ-<-<.所以当262A ππ-=，即3A π=时，t 有最⼤值34.………………………………………13分(16)（本⼩题满分14分）（Ⅰ）证明：因为AB //CD ，CD ?平⾯PAB ，AB ?平⾯PAB ，所以CD //平⾯PAB . ………………………………………2分因为CD ?平⾯PCD ，平⾯PAB I 平⾯PCD m =，所以CD //m . ………………………………………4分（Ⅱ）证明：因为AP ^平⾯ABCD ，AB AD ^，所以以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建⽴空间直⾓坐标系，则(4,0,0)B ，(0,0,4)P，(0,D，(2,C .………………………………………5分所以(4,BD =-u u u r，(2,AC =u u u r， (0,0,4)AP =u u u r，所以(4)2000BD AC ?=-?+?=u u u r u u u r，(4)00040BD AP ?=-?++?=u u u r u u u r.所以 BD AC ⊥，BD AP ⊥.因为 AP AC A =I ，AC ?平⾯PAC ，PA ?平⾯PAC ，所以 BD ⊥平⾯PAC . ………………………………………9分（Ⅲ）解：设PQPBλ=（其中01λ＃），(,,)Q x y z ，直线QC 与平⾯PAC 所成⾓为θ.所以 PQ PB λ=u u u r u u u r.所以 (,,4)(4,0,4)x y z λ-=-.所以 4,0,44,x y z λλì==í??=-+即(4,0,44)Q λλ-+.所以(42,44)CQ λλ=---+u u u r .………………………………………11分由（Ⅱ）知平⾯PAC的⼀个法向量为(4,BD =-u u u r.………………………………………12分因为 sin cos ,CQ BDCQ BD CQ BDθ×=<>=×u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ，所以3=. 解得 7[0,1]12λ=∈. 所以 712PQ PB =. ………………………………………14分(17)（本⼩题满分13分）解：（Ⅰ）由直⽅图可得：200.025200.0065200.0032201x ?+?+?+??=. 所以0.0125x =. ………………………………………2分（Ⅱ）新⽣上学所需时间不少于1⼩时的频率为：0.0032200.12??=， ………………………………………4分因为6000.1272?=，所以600名新⽣中有72名学⽣可以申请住宿.………………………………………6分（Ⅲ）X 的可能取值为0，1，2，3，4. ………………………………………7分由直⽅图可知，每位学⽣上学所需时间少于20分钟的概率为14，4381(0)4256P X ??===141327(1)C 4464P X ===,22241327(2)C 44128P X === ? ?,334133(3)C 4464P X === ? ?,411(4)4256P X ??===.……12分812727310123412566412864256EX =?+?+?+?+?=.（或1414EX =?=）所以X的数学期望为1. ………………………………………13分(18)（本⼩题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为R .221'()e ()e (21)e [(2)2]kx kx kx f x k x x x kx k x k---=-+-++=-+-+，即 '()e (2)(1)(0)kx f x kx x k -=--+<. ………………………………………2分令'()0f x =，解得：1x =-或2x k=. 当2k =-时，22'()2e (1)0x f x x =+≥，故()f x 的单调递增区间是(,)-??. ………………………………………3分当20k -<<时，()f x ，'()f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间是2(,)k -∞和(1,)-+∞，单调递减区间是2(,1)k………………………………………5分当2k <-时，()f x ，'()f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间是(,1)-∞-和(,)k +∞，单调递减区间是(1,)k -.………………………………………7分（Ⅱ）当1k =-时，()f x 的极⼤值等于23e -. 理由如下：当2k =-时，()f x ⽆极⼤值.当20k -<<时，()f x 的极⼤值为22241()e ()f k k k-=+，………………………………………8分令22241e ()3e k k--+=，即2413,k k += 解得 1k =-或43k =（舍）.………………………………………9分当2k <-时，()f x 的极⼤值为e (1)kf k-=-.………………………………………10分因为 2e e k -<，1102k <-<，所以 2e 1e 2k k --<.因为 221e 3e 2--<，所以 ()f x 的极⼤值不可能等于23e -. ………………………………………12分综上所述，当1k =-时，()f x 的极⼤值等于23e -.………………………………………13分(19)（本⼩题满分13分）（Ⅰ）解：设椭圆G 的标准⽅程为22221(0)x y a b a b+=>>.因为1(1,0)F -，145PF O ∠=?，所以1b c ==.所以2222a b c =+=. ………………………………………2分所以椭圆G 的标准⽅程为2212x y +=. ………………………………………3分（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y .（ⅰ）证明：由122,1.2y kx m x y =++=??消去y 得：22211(12)4220k x km x m +++-=. 则2218(21)0k m ?=-+>，1122211224,1222.12km x x km x x k ?+=-??+?-?=?+? ………………………………………5分所以||AB ====同理||CD =. ………………………………………7分因为 ||||AB CD =, 所以=因为 12m m ≠，所以120m m +=. ………………………………………9分（ⅱ）解：由题意得四边形ABCD 是平⾏四边形，设两平⾏线,AB CD 间的距离为d ,则d =因为 120m m +=，所以d =………………………………………10分所以||S AB d =?=2221121k m m -++=≤=（或S ==≤所以当221212k m +=时，四边形ABCD 的⾯积S 取得最⼤值为. ………………………………………13分(20)（本⼩题满分14分）解：（Ⅰ）(1)=1A f ，(1)=1B f -，{1,6,10,16}A B ?=.………………………………………3分（Ⅱ）根据题意可知：对于集合,C X ，①若a C ?且a X ?，则(({})()1Card C X a Card C X ?=?-U ；②若a C ?且a X ?，则(({})()1Card C X a Card C X ?=?+U .所以要使()()Card X A Card X B ?+?的值最⼩，2，4，8⼀定属于集合X ；1，6，10，16是否属于X 不影响()()Card X A Card X B ?+?的值；集合X 不能含有A B U 之外的元素.所以当X 为集合{1,6,10,16}的⼦集与集合{2,4,8}的并集时，()()Card X A Card X B ?+?取到最⼩值4. ………………………………………8分（Ⅲ）因为 {()()1}A B A B x f x f x ?=?=-，所以 A B B A ?=?.由定义可知：()()()A B A B f x f x f x ?=?.所以对任意元素x ，()()()()()()()A B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x =?=??，()()()()()()()A B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x =?=??.所以 ()()()()A B C A B C f x f x =. 所以 ()()A B C A B C ??=??.由 ()()P A Q B A B =?知：()()P Q A B A B =?. 所以 ()()()()()P Q A B A B A B A B =???.所以P Q=?.所以P Q=.=，即P Q因为,P Q A BU，所以满⾜题意的集合对（P，Q）的个数为72128=.………………………………………14分。

海淀区高三年级第二学期阶段性测试数学2020春第一部分(选择题共40分)一､选择题共10小题,每小题4分,共40分｡在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项｡(1)在复平面内,复数i(2- i)对应的点位于(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限(2) 已知集合A={x|0<x<3}, A ∩B= {1},则集合B 可以是(A) {1,2}(B) {1,3} (C) {0,1,2} (D) {1,2,3 } (3)已知双曲线2221(0)y x b b-=>的离心率为5,则b 的值为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(4)已知实数a, b, c 在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是(A) b-a<c+a (B)2c ab < ()c c C b a > (D) |b|c<|a|c(5)在61(2)x x-的展开式中,常数项为(A) -120 (B) 120 (C) -160 (D) 160 (6)如图,半径为1的圆M 与直线l 相切于点A,圆M 沿着直线l 滚动.当圆M 滚动到圆M'时,圆M'与直线1相切于点B,点A 运动到点A ',线段AB 的长度为3,2π则点M '到直线'BA 的距离为(A) 1 (3B 2(C 1()2D (7)已知函数f(x)=|x-m|与函数g(x)的图象关于y 轴对称.若g(x)在区间(1,2)内单调递减,则m 的取值范围为(A) [-1,+∞) (B) (-∞,-1] (C) [-2,+∞) (D) (-∞,-2](8)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥中最长棱的棱长为()5A ()22B ()23C ()13D(9)若数列{}n a 满足12,a =则“*,,p r p r p r a a a +∀∈=N ”是“{}n a 为等比数列”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件 (10)形如221n +(n 是非负整数)的数称为费马数,记为.n F 数学家费马根据0123,,,,F F F F 4F 都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后,数学家欧拉计算出5F 不是质数,那5F 的位数是(参考数据: lg2≈0.3010 )(A) 9(B) 10 (C) 11 (D) 12第二部分(非选择题共110分)二､填空题共5小题,每小题5分,共25分｡(11)已知点P(1,2)在抛物线C 2:2y px =上,则抛物线C 的准线方程为___.(12)在等差数列{}n a 中,1253,16a a a =+=,则数列{}n a 的前4项的和为___.(13) 已知非零向量a , b 满足|a |=|a -b |,则1()2-⋅a b b =__. (14) 在△ABC 中, 43,4AB B π=∠=,点D 在边BC 上,2,3ADC π∠=CD=2,则AD=___ ; △ACD 的面积为____.(15) 如图,在等边三角形ABC 中, AB=6.动点P 从点A 出发,沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点,记P 运动的路程为x,点P 到此三角形中心O 距离的平方为f(x),给出下列三个结论:①函数f(x)的最大值为12;②函数f(x)的图象的对称轴方程为x=9;③关于x 的方程()3f x kx =+最多有5个实数根.其中,所有正确结论的序号是____.注:本题给出的结论中,有多个符合题目要求｡全部选对得5分,不选或有错选得0分,其他得3分.三､解答题共6小题,共85分｡解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程｡(16) (本小题共14分)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,AB ⊥平面1111,22,3BB C C AB BB BC BC ====，点E 为11A C 的中点.( I)求证:1C B ⊥平面ABC;(II)求二面角A BC E --的大小.(17) (本小题共14分)已知函数212()2cos sin f x x x ωω=+.(I )求f(0)的值;(II)从①121,2ωω==121,1ωω==②这两个条件中任选一个,作为题目的已知条件,求函数f(x)在[,]26ππ-上的最小值,并直接写出函数f(x)的一个周期.注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分｡(18) (本小题共14分)科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素,也是推动经济实现高质量发展的重要支撑,而研发投入是科技创新的基本保障,下图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图:其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比,条形图是当年研发投入的数值(单位:十亿元)｡ ( I )从2010年至2019年中随机选取一年,求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率;(II)从2010年至2019年中随机选取两个年份,设X 表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数,求X 的分布列和数学期望;(III)根据图中的信息,结合统计学知识,判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发,并说明理由.(19) (本小题共15分)已知函数()x f x e ax =+.( I)当a=-1时,①求曲线y= f(x)在点(0, f(0))处的切线方程;②求函数f(x)的最小值;(II)求证:当()2,0a ∈-时,曲线() y f x =与1y lnx =-有且只有一个交点.(20) (本小题共14分)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>123(,0),(,0),(0,)A a A a B b -,12A BA ∆的面积为2. (I)求椭圆C 的方程;(II)设M 是椭圆C 上一点,且不与顶点重合,若直线1A B 与直线2A M 交于点P,直线1A M 与直线2A B 交于点Q. 求证:△BPQ 为等腰三角形.(21) (本小题共14分)已知数列{}n a 是由正整数组成的无穷数列.若存在常数*k ∈N , 使得212n n n a a ka -+=任意的*n ∈N 成立,则称数列{}n a 具有性质()k ψ.(I)分别判断下列数列{}n a 是否具有性质(2)ψ; (直接写出结论)1n a =① 2,n n a =②(II)若数列{}n a 满足1(1,2,3,)n n a a n +≥=L ,求证:“数列{}n a 具有性质(2)ψ”是“数列{}n a 为常数列”的充分必要条件;(III)已知数列{}n a 中11,a =且1(1,2,3,)n n a a n +>=L .若数列{}n a 具有性质(4)ψ,求数列{}n a 的通项公式.。

是否n =n +1开 始n =1n >5结束输出S输入11主视图1俯视图2海淀区高三年级第二学期期中练习数学（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{|23},{|21}A x x B x x =∈-≤<=-≤<Z ，则A B =IA. {2,1,0}--B. {2,1,0,1}--C. {|21}x x -<<D. {|21}x x -≤< 2. 已知向量(1,)t =a ，(3,9)=b ，若a b P ，则t = A.1 B.2 C.3D.43. 某程序的框图如图所示，若输入的i z =（其中i 为虚数单位）， 则输 出的S 值为A.1-B.1C.i- D.i4. 若,x y 满足 +20,40,0,x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则12zx y =+的最大值为A.52B.3C.72D.4 5. 某三棱椎的三视图如图所示，则其体积为 C. D. 6. 已知点00(,)P x y 在抛物线2:4W y x =上，且点P 到W 的准线的距离与点P 到x 轴的距离相等，则0x 的值为 A.12 B.1 C.32D.27. 已知函数sin(),0,()cos(), 0,x x f x x x αα+≤⎧=⎨+>⎩ 则“π4α=”是“函数()f x 是偶函数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 某生产基地有五台机器设备，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作获得的效益值如右表所示. 若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列描述正确．．的是 A. 甲只能承担第四项工作 B. 乙不能承担第二项工作 C. 丙可以不承担第三项工作 D. 获得的效益值总和为78二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市海淀区2020届高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知复数z=−1+i，z是z的共轭复数，在复平面内，z所对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合A={x|x2−4x<0}，B={−1,3，7}，则A∩B=()A. {−1}B. {3}C. {3,7}D. {−1,7}3.若a>1，则双曲线x2a2−y2=1的离心率的取值范围是()A. (√2,+∞)B. (√2,2)C. (1,√2)D. (1,2)4.下列叙述正确的是()A. 若|a|=a，则a>0B. 若a≠b，则|a|≠|b|C. 若|a|=|b|，则a=bD. 若a=−b，则|a|=|b|5.在(x2−1√x3)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为()．A. 7B. −7C. −28D. 286.已知直线l：y=k(x+4)与圆(x+2)2+y2=4相交于A，B两点，M是线段AB的中点，则点M到直线3x−4y−6=0的距离的最大值为()A. 2B. 3C. 4D. 57.若函数f(x)=log2(x2−2ax+3)在区间(−∞,1]内单调递减，则a的取值范围是()A. [1,+∞)B. (1,+∞)C. [1,2)D. [1,2]8.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则此几何体的最长的棱长为()A. 2√2B. 3√2C. √5D. 39.在等比数列{a n}中，已知a1+a2=−32,a4+a5=12，则数列是()A. 递增数列B. 递减数列C. 摆动数列D. 常数列10.已知a n=log n+1(n+2)(n∈N∗)，观察下列算式：a1⋅a2=log23⋅log34=lg3lg2⋅lg4lg3=2；a1⋅a2⋅a3⋅a4⋅a5⋅a6=log23⋅log34⋯⋯log78=lg3lg2⋅lg4lg3⋯lg8lg7=3；若a1⋅a2⋅a3⋯a m=2016(m∈N∗)，则m的值为()A. 22016+2B. 22016C. 22016−2D. 22016−4二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.抛物线y2=4x的准线方程为__________．12.在等差数列{a n}中，a3+a5+2a10=4，则此数列的前13项的和等于______ ．13.已知|b⃗ |=1，a⃗⋅b⃗ =2，则向量(2a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =______．14.已知，在△ABC中B=π3，b=2，S▵ABC的最大值为________．15.已知函数y=f(x)的周期为2，当x∈[0,2]时，f(x)=(x−1)2，如果g(x)=f(x)−log5|x−1|，则方程g(x)=0的所有根之和为__________．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC,PD⊥CD，且PA=2，E为PD中点．(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)求二面角A−BE−C的正弦值．17.已知函数f(x)=2cos2ωx−1+2√3cosωxsinωx(0<ω<1)，x=π3是f(x)图象的一条对称轴．(1)试求ω的值;(2)已知函数y=g(x)的图象是由y=f(x)图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到，若g(2α+π3)=65,α∈(0,π2),求sinα的值．18.某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A,B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n(n∈N∗)个人数超过1000人的大集团和8个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为415．(1)求n值；(2)若取出的2个集团是同一类集团，求全为大集团的概率；(3)若一次抽取4个集团，假设取出小集团的个数为X，求X的分布列．19.已知函数f(x)=x−sinx．(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(π2,f(π2))处的切线方程；(Ⅱ)求证：当x∈(0,π2)时，0<f(x)<16x3．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(2,0)，且离心率为√32．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线y=kx+√3与椭圆C交于M，N两点，若直线x=3上存在点P，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k的值．21.已知数列{a n}满足：na1+(n−1)a2+⋯+2a n−1+a n=2n．(1)求{a n}的通项公式；(2)是否存在正整数p，q，r(p<q<r)，使a p，a q，a r成等差数列，若存在，求出p，q，r的值；若不存在，说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查了共轭复数的定义、几何意义，属于基础题．利用共轭复数的定义、几何意义即可得出．解：复数z=−1+i，z=−1−i，∴z所对应的点(−1,−1)位于第三象限．故选：C．2.答案：B解析：本题考查交集的运算，属于基础题．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：A={x|x2−4x<0}={x|0<x<4}，B={−1,3，7}，∴A∩B={3}．故选：B．3.答案：C解析：本题考查双曲线的简单性质，利用双曲线方程，求出c，然后求解双曲线的离心率的取值范围即可．解：若a>1，则双曲线x2a2−y2=1的离心率为：ca=√1+a2a=√1+1a2∈(1,√2).故选C．4.答案：D解析：解：若|a|=a，则a≥0，故A错误；若a=−b≠0时，a≠b，但|a|=|b|，故B错误；若|a|=|b|，则a=b或a=−b，故C错误；若a=−b，则|a|=|b|，故D正确；故选：D根据绝对值的定义和性质，逐一分析四个答案的正误，可得答案．本题以命题的真假判断为载体考查了绝对值的定义和性质，难度不大，属于基础题．5.答案：A解析：本题考查二项式系数的性质、利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题． 利用二项展开式的中间项的二项式系数最大，列出方程求出n ；利用二项展开式的通项公式求出通项，令x 的指数为0求出常数项． 解：依题意，n2+1=5， ∴n =8．二项式为(x2−1√x 3)8，其展开式的通项T k+1=(−1)k (12)8−k C 8k x 8−4k3 令8−4k 3=0解得k =6故常数项为C 86(x2)2(−1√x3)6=7．故选A ．6.答案：C解析：解：直线l ：y =k(x +4)过定点(−4,0)，不妨记A(−4,0)， 设M(x 0,y 0)，B(x 1,y 1)，则{x 1=2x 0+4y 1=2y 0，代入(x +2)2+y 2=4， 可得(x 0+3)2+y 02=1．∴M 的轨迹是以(−3,0)为圆心，1为半径的圆，则M 到直线3x −4y −6=0的距离的最大值为|−3×3−6|5+1=4．故选：C ．本题主要考查了与圆有关的轨迹问题，点到直线的距离公式，是中档题．由题意画出图形，利用待定系数法求出M 的轨迹，结合点到直线的距离公式得答案．7.答案：C解析：解：设t =g(t)=x 2−2ax +3，则函数y =log 2t 为增函数， 若函数f(x)=log 2(x 2−2ax +3)在区间(−∞,1]内单调递减， 则等价为g(t)=x 2−2ax +3在区间(−∞,1]内单调递减且g(1)>0， 即{−−2a2=a ≥1g(1)=1−2a +3>0， 即{a ≥1a <2，解得1≤a <2， 故a 的取值范围是[1,2)， 故选：C利用换元法，结合复合函数单调性之间的关系即可得到结论．本题主要考查复合函数单调性的应用，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．8.答案：D解析：本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积，判断直观图是解题的关键，属于中档题． 首先由三视图还原几何体，利用三视图的数据求解几何体的最长棱长即可． 解：三视图表示的几何体为三棱锥D −ABC ，是正方体的一部分，易知正方体的棱长为：2，则此几何体的最长的棱长为：BD =√CD 2+BC 2=√4+4+1=3． 故选D ．9.答案：C解析：解：由已知得公比q 满足：q 3=a 4+a5a 1+a 2=−8，所以q =−2，而a 1+a 2=−a 1=−32，所以a 1=32， 故数列{a n }是摆动数列， 故选：C ．由已知得公比q满足：q3=a4+a5a1+a2=−8，解得q，即可得出结论．本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.答案：C解析：本题考查归纳推理的问题，解题时要注意对数性质的合理运用，是中档题．由已知得lg(m+2)=lg22016，由此能求出m．解：∵a n=log n+1(n+2)(n∈N∗)，∴a1⋅a2⋅…⋅a m=log23⋅log34⋅log45·…⋅log(m+1)(m+2)=lg3lg2⋅lg4lg3⋅lg5lg4·…⋅lg(m+2)lg(m+1)=lg(m+2)lg2，即lg(m+2)lg2=2 016，lg(m+2)=lg22016，解得m=22016−2．故选C．11.答案：x=−1解析：本题考查了抛物线的性质及几何意义．利用抛物线的准线方程得结论.解：由抛物线y2=4x，得p=2，所以准线方程为x=−1．故答案为x=−1．12.答案：13解析：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a5+2a10=4，∴a3+(a3+2d)+2(a3+7d)=4，∴4(a3+4d)=4，即a7=a3+4d=1，∴数列的前13项的和S13=13(a1+a13)2=13×2a72=13a7=13故答案为：13．由已知数据和通项公式可得a7=1，再由求和公式和性质可得S13=13a7，代值计算可得．本题考查等差数列的性质和求和公式，求出a7=1是解决问题的关键，属基础题．13.答案：3。

2020届海淀区高三年级第二学期阶段性测试参考答案
数
学 2020春
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.
二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.
注：第14题第一空3分,第二空2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。

三、解答题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（16）解：（Ⅰ）因为AB ⊥平面11BB C C ，1C B ⊂平面11BB C C
所以1AB C B ⊥.
在△1BCC 中，1BC =,1BC =12CC =,
所以22211BC BC CC +=.
所以1CB C B ⊥. 因为AB BC B =I , ,AB BC ⊂平面ABC ，。

2020北京海淀高三一模数学 2020春本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 在复平面内，复数i(2−i)对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 己知集合A={x|0<x<3},A∩B={1}，则集合B可以是A. {1,2}B. {1,3}C. {0,1,2}D. {1,2,3}3. 已知双曲线x2−y2b2=1(b>0)的离心率为√5，则b的值为A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是A. b−a<c+aB. c2<abC. cb >caD. |b|c<|a|c5. 在(1x−2x)6的展开式中，常数项为A. −120B. 120C. −160D. 1606. 如图，半径为1的圆M与直线l相切于点A，圆M沿着直线l滚动，当圆M滚动到圆M’时，圆M’与直线l相切于点B，点A运动到点A’，线段AB的长度为3π2，则点M’到直线BA’的距离为A. 1B. √32C. √22D. 127. 已知函数f(x)=|x−m|与函数g(x)的图象关于y轴对称，若g(x)在区间(1,2)内单调递减，则m的取值范围为A. [−1,+∞)B. (−∞,−1]C. [−2,+∞)D. (−∞,−2]8. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为A. √5B. 2√2C. 2√3D. √139. 若数列{a n}满足a1=2,则“∀p,r∈N∗,a p+r=a p a r”是“{a n}为等比数列”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 形如22n+1（n是非负整数）的数称为费马数，记为F n.数学家费马根据F0,F1,F2,F3,F4都是质数提出了猜想：费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出F5不是质数，那么F5的位数是（参考数据：lg2≈0.3010）A. 9B. 10C. 11D. 12第二部分（非选择题共110份）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。