海淀区2020年高三数学一模

2020年北京市海淀区高考数学一模试卷一、选择题（共10小题）1．在复平面内，复数i （2﹣i ）对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合A ＝{x |0＜x ＜3}，A ∩B ＝{1}，则集合B 可以是（ ） A ．{1，2} B ．{1，3} C ．{0，1，2} D ．{1，2，3}3．已知双曲线x 2−y 2b2=1（b ＞0）的离心率为√5，则b 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A ．b ﹣a ＜c +aB ．c 2＜abC ．c b＞caD ．|b |c ＜|a |c5．在（1x−2x ）6的展开式中，常数项为（ ）A ．﹣120B ．120C ．﹣160D ．1606．如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动．当圆M 滚动到圆M '时，圆M '与直线l 相切于点B ，点A 运动到点A '，线段AB 的长度为3π2，则点M '到直线BA '的距离为（ ）A ．1B ．√32C ．√22D ．127．已知函数f （x ）＝|x ﹣m |与函数g （x ）的图象关于y 轴对称．若g （x ）在区间（1，2）内单调递减，则m 的取值范围为（ ） A ．[﹣1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1]C ．[﹣2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2]8．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为（ ）A ．√5B ．2√2C ．2√3D ．√139．若数列{a n }满足a 1＝2，则“∀p ，r ∈N *，a p +r ＝a p a r ”是“{a n }为等比数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．形如22n+1（n 是非负整数）的数称为费马数，记为F n ．数学家费马根据F 0，F 1，F 2，F 3，F 4都是质数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出F 5不是质数，那么F 5的位数是（ ）（参考数据：lg 2≈0.3010） A ．9B ．10C ．11D ．12二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知点P （1，2）在抛物线C ：y 2＝2px 上，则抛物线C 的准线方程为 ． 12．在等差数列{a n }中，a 1＝3，a 2+a 5＝16，则数列{a n }的前4项的和为 ．13．已知非零向量a →，b →满足|a →|＝|a →−b →|，则（a →−12b →）•b →= ．14．在△ABC 中，AB ＝4√3，∠B =π4，点D 在边BC 上，∠ADC =2π3，CD ＝2，则AD ＝ ；△ACD 的面积为 ．15．如图，在等边三角形ABC 中，AB ＝6．动点P 从点A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点，记P 运动的路程为x ，点P 到此三角形中心O 距离的平方为f （x ），给出下列三个结论：①函数f （x ）的最大值为12；②函数f （x ）的图象的对称轴方程为x ＝9； ③关于x 的方程f （x ）＝kx +3最多有5个实数根． 其中，所有正确结论的序号是 ．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，AB＝BB1＝2BC＝2，BC1=√3，点E为A1C1的中点．（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣E的大小．17．已知函数f（x）＝2cos2ω1x+sinω2x．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）从①ω1＝1，ω2＝2；②ω1＝1，ω2＝1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f（x）在[−π2，π6]上的最小值，并直接写出函数f（x）的一个周期．18．科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障．如图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值（单位：十亿元）．（Ⅰ）从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；（Ⅱ）从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由．19．已知函数f（x）＝e x+ax．（Ⅰ）当a＝﹣1时，①求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；②求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）求证：当a∈（﹣2，0）时，曲线y＝f（x）与y＝1﹣lnx有且只有一个交点．20．已知椭圆C：x2a+y2b=1（a＞b＞0）的离心率为√32，A1（﹣a，0），A2（a，0），B（0，b），△A1BA2的面积为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线A1B与直线A2M交于点P，直线A1M与直线A2B交于点Q．求证：△BPQ为等腰三角形．21．已知数列{a n}是由正整数组成的无穷数列．若存在常数k∈N*，使得a2n﹣1+a2n＝ka n对任意的n∈N*成立，则称数列{a n}具有性质Ψ（k）．（Ⅰ）分别判断下列数列{a n}是否具有性质Ψ（2）；（直接写出结论）①a n＝1；②a n＝2n．（Ⅱ）若数列{a n}满足a n+1≥a n（n＝1，2，3，…），求证：“数列{a n}具有性质Ψ（2）”是“数列{a n}为常数列”的充分必要条件；（Ⅲ）已知数列{a n}中a1＝1，且a n+1＞a n（n＝1，2，3，…）．若数列{a n}具有性质Ψ（4），求数列{a n}的通项公式．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．在复平面内，复数i （2﹣i ）对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标，看出所在的象限． 解：∵复数z ＝i （2﹣i ）＝﹣i 2+2i ＝1+2i ∴复数对应的点的坐标是（1，2） 这个点在第一象限， 故选：A ．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，本题解题的关键是写成标准形式，才能看出实部和虚部的值．2．已知集合A ＝{x |0＜x ＜3}，A ∩B ＝{1}，则集合B 可以是（ ） A ．{1，2}B ．{1，3}C ．{0，1，2}D ．{1，2，3}【分析】根据A ＝{x |0＜x ＜3}，A ∩B ＝{1}，即可得出集合B 可能的情况． 解：∵A ＝{x |0＜x ＜3}，A ∩B ＝{1}， ∴集合B 可以是{1，3}． 故选：B ．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 3．已知双曲线x 2−y 2b2=1（b ＞0）的离心率为√5，则b 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】利用双曲线的离心率公式，列出方程，求解b 即可． 解：双曲线x 2−y 2b2=1（b ＞0）的离心率为√5，可得√b 2+11=√5，解得b ＝2，故选：B ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．4．已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A ．b ﹣a ＜c +aB ．c 2＜abC ．cb＞caD ．|b |c ＜|a |c【分析】法1：根据数轴得到c ＜b ＜a ＜0且|c |＞|b |＞|a |，结合不等式基本性质逐一进行判断即可；法2：用特值法带入验证即可．解：（法1）根据数轴可得c ＜b ＜a ＜0且|c |＞|b |＞|a |，对于A ：因为c ＜b ，a ＜0，所以c +a ＜c ，b ﹣a ＞b ，则c +a ＜c ＜b ﹣a ，即c +a ＜b ﹣a ，故A 错误；对于B ：因为c ＜b ＜a ＜0，|c |＞|b |＞|a |，所以c 2＞b 2＞a 2，且b 2＞ab ，所以c 2＞b 2＞ab ，则c 2＞ab ，故B 错误；对于C ：因为b ＜a ＜0，所以1b＞1a，则cb＜ca，故C 错误；对于D ：因为|b |＞|a |，且c ＜0，所以|b |c ＜|a |c ，故D 正确， （法2）不妨令c ＝﹣5，b ＝﹣4，a ＝﹣1，则c +a ＝﹣6＜b ﹣a ＝﹣3，故A 错误；c 2＝25＞ab ＝4，故B 错误；cb =54＜c a=5，故C错误； 故选：D ．【点评】本题考查不等式的相关应用，考查合情推理，属于中档题． 5．在（1x −2x ）6的展开式中，常数项为（ ）A ．﹣120B ．120C ．﹣160D ．160【分析】先求出通项，然后令x 的指数为零即可．解：由题意得：T k+1=(−2)k C 6k x2k ﹣6， 令2k ﹣6＝0得k ＝3，故常数项为T 4=(−2)3C 63=−160． 故选：C ．【点评】本题考查二项式展开式通项的应用和学生的运算能力，属于基础题． 6．如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动．当圆M 滚动到圆M '时，圆M '与直线l 相切于点B ，点A 运动到点A '，线段AB 的长度为3π2，则点M '到直线BA '的距离为（ ）A ．1B ．√32C ．√22D ．12【分析】根据条件可得圆旋转了34个圆，作图可得到△A 'M 'B 是等腰直角三角形，进而可求得M '到A 'M 的距离．解：根据条件可知圆周长＝2π，因为BA =32π=34×2π，故可得A ’位置如图：∠A 'M 'B ＝90°，则△A 'M 'B 是等腰直角三角形，则M '到A 'M 的距离d =√22r =√22，故选：C ．【点评】本题考查点到直线的距离，考查圆旋转的长度求法，数中档题．7．已知函数f （x ）＝|x ﹣m |与函数g （x ）的图象关于y 轴对称．若g （x ）在区间（1，2）内单调递减，则m 的取值范围为（ ） A ．[﹣1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1]C ．[﹣2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2]【分析】根据题意，分析可得f （x ）在区间（﹣2，﹣1）上递增，将f （x ）写成分段函数的形式，分析可得f （x ）在区间（m ，+∞）上为增函数，据此可得m 的取值范围． 解：根据题意，函数f （x ）＝|x ﹣m |与函数g （x ）的图象关于y 轴对称．若g （x ）在区间（1，2）内单调递减，则f （x ）在区间（﹣2，﹣1）上递增，而f （x ）＝|x ﹣m |={x −m ，x ≥m−x +m ，x ＜m ，在区间（m ，+∞）上为增函数，则有m ≤﹣2，即m 的取值范围为（﹣∞，﹣2]； 故选：D ．【点评】本题考查函数的单调性，涉及函数之间的对称性、不等式的解法，属于基础题．8．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为（）A．√5B．2√2C．2√3D．√13【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出最大棱长．解：根据几何体的三视图可得直观图为：该几何体为四棱锥体，如图所示：所以最长的棱长AB=√22+22+22=2√3．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的棱长的求法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9．若数列{a n}满足a1＝2，则“∀p，r∈N*，a p+r＝a p a r”是“{a n}为等比数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用等比数列的定义通项公式即可判断出结论．解：“∀p，r∈N*，a p+r＝a p a r”，取p＝n，r＝1，则a n+1＝2a n，∴{a n}为等比数列．反之不成立．{a n}为等比数列，则a p+r＝2×q p+r﹣1，a p a r＝22•q p+r﹣2，只有q＝2时才能成立．∴数列{a n}满足a1＝2，则“∀p，r∈N*，a p+r＝a p a r”是“{a n}为等比数列”的充分不必要条件．．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．形如22n+1（n是非负整数）的数称为费马数，记为F n．数学家费马根据F0，F1，F2，F3，F4都是质数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出F5不是质数，那么F5的位数是（）（参考数据：lg2≈0.3010）A．9B．10C．11D．12【分析】根据所给定义表示出F5＝109.632×109，进而即可判断出其位数．解：根据题意，F5=225+1＝232+1≈232=10lg232=1032lg2≈1032×0.3010＝109.632＝100.632×109，因为1＜100.632＜10，所以F5的位数是10．故选：B．【点评】本题考查指对数运算，考查学生阅读理解能力，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知点P（1，2）在抛物线C：y2＝2px上，则抛物线C的准线方程为x＝﹣1．【分析】把点P的坐标代入抛物线的方程可求得p，而准线方程为x=−p2，从而得解．解：把点P（1，2）代入抛物线方程有，4＝2p，∴p＝2，∴抛物线的准线方程为x=−p2=−1．故答案为：x＝﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程、准线方程等，考查学生的运算能力，属于基础题．12．在等差数列{a n}中，a1＝3，a2+a5＝16，则数列{a n}的前4项的和为24．【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1＝3，a2+a5＝16，∴2×3+5d＝16，解得d＝2．则数列{a n}的前4项的和＝4×3+4×32×2＝24．故答案为：24．【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．已知非零向量a →，b →满足|a →|＝|a →−b →|，则（a →−12b →）•b →= 0 ．【分析】把所给条件平方整理得到a →•b →=12b →2；代入数量积即可求解结论．解：因为非零向量a →，b →满足|a →|＝|a →−b →|，∴a →2=a →2−2a →•b →+b →2⇒a →•b →=12b →2；则（a →−12b →）•b →=a →⋅b →−12b →2=0． 故答案为：0．【点评】本题考查向量的数量积以及模长的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．14．在△ABC 中，AB ＝4√3，∠B =π4，点D 在边BC 上，∠ADC =2π3，CD ＝2，则AD ＝ 4√2 ；△ACD 的面积为 2√6 ．【分析】先根据正弦定理求得AD ，进而求得三角形的面积． 解：如图；因为在△ABC 中，AB ＝4√3，∠B =π4，点D 在边BC 上，∠ADC =2π3，CD ＝2， 所以：ADsin∠ABD =ABsin∠ADB⇒AD =4√3×sin π4sin π3=4√2； S △ACD =12•AD •CD •sin ∠ADC =12×4√2×2×sin 2π3=2√6； 故答案为：4√2，2√6．【点评】本题主要考查正弦定理以及三角形的面积，属于基础题目．15．如图，在等边三角形ABC 中，AB ＝6．动点P 从点A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点，记P 运动的路程为x ，点P 到此三角形中心O 距离的平方为f （x ），给出下列三个结论：①函数f （x ）的最大值为12；②函数f （x ）的图象的对称轴方程为x ＝9； ③关于x 的方程f （x ）＝kx +3最多有5个实数根． 其中，所有正确结论的序号是 ①② ．【分析】写出函数解析式并作出图象，数形结合进行逐一分析解：由题可得函数f （x ）={3+(x −3)2，0≤x ＜63+(x −9)2，6≤x ＜123+(x −15)2，12≤x ≤18，作出图象如图：则当点P 与△ABC 顶点重合时，即x ＝0，6，12，18时，f （x ）取得最大值12，故①正确；又f （x ）＝f （18﹣x ），所以函数f （x ）的对称轴为x ＝9，故②正确；由图象可得，函数f （x ）图象与y ＝kx +3的交点个数为6个，故方程有6个实根，故③错误．故答案为：①②．【点评】本题考查命题的真假性判断，涉及函数的应用、图象与性质，数形结合思想，逻辑推理能力，属于难题三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥平面BB 1C 1C ，AB ＝BB 1＝2BC ＝2，BC 1=√3，点E 为A 1C 1的中点．（Ⅰ）求证：C 1B ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角A ﹣BC ﹣E 的大小．【分析】（Ⅰ）证明AB ⊥C 1B ．CB ⊥C 1B ．利用直线与平面垂直的判断定理证明C 1B ⊥平面ABC ．（Ⅱ）以B 为原点建立空间直角坐标系B ﹣xyz ．求出平面BCE 的法向量，平面ABC 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的大大小即可， 【解答】（Ⅰ）证明：因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，C 1B ⊂平面BB 1C 1C 所以AB ⊥C 1B ．在△BCC 1中，BC ＝1，BC 1=√3，CC 1＝2，所以BC 2+BC 12=CC 12．所以CB ⊥C 1B ．因为AB ∩BC ＝B ，AB ，BC ⊂平面ABC ， 所以C 1B ⊥平面ABC ．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AB ⊥C 1B ，BC ⊥C 1B ，AB ⊥BC ， 如图，以B 为原点建立空间直角坐标系B ﹣xyz ．则B （0，0，0），E(−12，√3，1)，C （1，0，0）.BC →=(1，0，0)，BE →=(−12，√3，1)． 设平面BCE 的法向量为n →=（x ，y ，z ）， 则{n →⋅BC →=0n →⋅BE →=0， 即{x =0，−12x +√3y +z =0. 令y =√3则x ＝0，z ＝﹣3， 所以n →=(0，√3，−3)．又因为平面ABC 的法向量为m →=（0，1，0），所以cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=12．由题知二面角A ﹣BC ﹣E 为锐角，所以其大小为π3．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题． 17．已知函数f （x ）＝2cos 2ω1x +sin ω2x ． （Ⅰ）求f （0）的值；（Ⅱ）从①ω1＝1，ω2＝2；②ω1＝1，ω2＝1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f （x ）在[−π2，π6]上的最小值，并直接写出函数f （x ）的一个周期．【分析】（Ⅰ）由函数f （x ）的解析式求出f （0）的值； （Ⅱ）选择条件①时f （x ）的一个周期为π，利用三角恒等变换化简f （x ），再求f （x ）在[−π2，π6]的最小值． 选择条件②时f （x ）的一个周期为2π，化简f （x ），利用三角函数的性质求出f （x ）在[−π2，π6]的最小值． 解：（Ⅰ）由函数f （x ）＝2cos 2ω1x +sin ω2x ， 则f （0）＝2cos 20+sin0＝2；（Ⅱ）选择条件①，则f （x ）的一个周期为π； 由f （x ）＝2cos 2x +sin2x ＝（cos2x +1）+sin2x=√2(√22sin2x +√22cos2x)+1=√2sin(2x +π4)+1；因为x ∈[−π2，π6]，所以2x +π4∈[−3π4，7π12]；所以−1≤sin(2x+π4)≤1，所以1−√2≤f(x)≤1+√2；当2x+π4=−π2，即x=−3π8时，f（x）在[−π2，π6]取得最小值为1−√2．选择条件②，则f（x）的一个周期为2π；由f（x）＝2cos2x+sin x＝2（1﹣sin2x）+sin x=−2(sinx−14)2+178；因为x∈[−π2，π6]，所以sinx∈[−1，12]；所以当sin x＝﹣1，即x=−π2时，f（x）在[−π2，π6]取得最小值为﹣1．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化与运算能力，是基础题．18．科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障．如图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值（单位：十亿元）．（Ⅰ）从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；（Ⅱ）从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由．【分析】（Ⅰ）按照古典概型概率计算公式计算即可；（Ⅱ）显然这是一个超几何分布，按照超几何分布的概率计算方法，分别算出随机变量X取0，1，2时的概率，然后画出分布列，即可求期望；（Ⅲ）结合折线图从“每年的研发投入”“研发投入占营收比”的变化来分析即可．解：（Ⅰ）设事件A为“从2010年至2019年中随机选取一年，研发投入占当年总营收的百分比超过10%”，从2010年至2019年一共10年，其中研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，所以P(A)=9 10．（Ⅱ）由图表信息，从2010年至2019年10年中有5年研发投入超过500亿元，所以X 的所有可能取值为0，1，2．且P(X=0)=C52C102=29；P(X=1)=C51C51C102=59；P(X=2)=C52C102=29．所以X的分布列为：X012P295929故X的期望E(X)=0×29+1×59+2×29=1．（Ⅲ）从两个方面可以看出，该公式是比较重视研发的：一、从2010年至2019年，每年的研发投入是逐年增加的（2018年除外），并且增加的幅度总体上逐渐加大；二、研发投入占营收的比例总体上也是逐渐增加的，虽然2015年往后有些波动，但是总体占比还是较高的．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、期望的求法，注意对题意的理解需到位、准确．同时考查学生的数学建模的素养，属于中档题．19．已知函数f（x）＝e x+ax．（Ⅰ）当a＝﹣1时，①求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；②求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）求证：当a∈（﹣2，0）时，曲线y＝f（x）与y＝1﹣lnx有且只有一个交点．【分析】（Ⅰ）①将a＝﹣1带入，求导，求出切线斜率及切点，利用点斜式方程即得解；②求出函数函数f（x）的单调性情况，进而得出最值；（Ⅱ）即证函数g（x）＝e x+ax+lnx﹣1仅有一个零点，利用导数可知函数g（x）在区间（0，+∞）上单调递增，结合零点存在性定理即得证．解：（Ⅰ）①当a＝﹣1时，f（x）＝e x﹣x，则f'（x）＝e x﹣1．所以f'（0）＝0．又f（0）＝1，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1；②令f'（x）＝0，得x＝0，此时f'（x），f（x）随x的变化如下：x（﹣∞，0）0（0，+∞）f'（x）﹣0+f（x）↘极小值↗可知f（x）min＝f（0）＝1，函数f（x）的最小值为1．（Ⅱ）证明：由题意可知，x∈（0，+∞），令g（x）＝e x+ax+lnx﹣1，则g′(x)=e x+1x+a，由（Ⅰ）中可知e x﹣x≥1，故e x≥1+x，因为a∈（﹣2，0），则g′(x)=e x+1x+a≥(x+1)+1x+a≥2√x⋅1x+a+1=3+a＞0，所以函数g（x）在区间（0，+∞）上单调递增，因为g(1e )=e1e+ae−2＜e12−2＜0，又因为g（e）＝e e+ae＞e2﹣2e＞0，所以g（x）有唯一的一个零点．即函数y＝f（x）与y＝1﹣lnx有且只有一个交点．【点评】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值，函数的零点等问题，考查运算求解能力及推理论证能力，属于中档题． 20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，A 1（﹣a ，0），A 2（a ，0），B（0，b ），△A 1BA 2的面积为2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M 是椭圆C 上一点，且不与顶点重合，若直线A 1B 与直线A 2M 交于点P ，直线A 1M 与直线A 2B 交于点Q ．求证：△BPQ 为等腰三角形． 【分析】（Ⅰ）由题{ ca =√32，ab =2，a 2=b 2+c 2.，求出a ，b ，即可得到椭圆方程．（ II ）解法1，设直线A 2M 方程为y =k(x −2)(k ≠0且k ≠±12)，直线A 1B 方程为y =12x +1，通过联立直线与椭圆方程组，求出M 坐标，Q 坐标，推出|BP |＝|BQ |，即可证明△BPQ 为等腰三角形．解法2，设M （x 0，y 0）（x 0≠±2，y 0≠±1）则x 02+4y 02=4．直线A 2M 方程为y =y0x 0−2(x −2)，直线A 1B 方程为y =12x +1．通过联立直线与椭圆方程组，求出P ，Q 坐标，转化推出|BP |＝|BQ |，得到△BPQ 为等腰三角形． 解：（Ⅰ）由题{ ca =√32，ab =2，a 2=b 2+c 2. 解得{a =2，b =1.所以椭圆方程为x 24+y 2=1．（ II ）解法1证明：设直线A 2M 方程为y =k(x −2)(k ≠0且k ≠±12)，直线A 1B 方程为y =12x +1 由{y =k(x −2)，y =12x +1.解得点P(4k+22k−1，4k 2k−1)． 由{y =k(x −2)，x 24+y 2=1.得（4k +1）x 2﹣16k 2x +16k 2﹣4＝0，则2x M =16k 2−44k 2+1．所以x M =8k 2−24k 2+1，y M =−4k4k 2+1．即M(8k 2−24k 2+1，−4k 4k 2+1).k A 1M =−4k 4k 2+18k 2−24k 2+1+2=−14k ．于是直线A 1M 的方程为y =−14k (x +2)，直线A 2B 的方程为y =−12x +1． 由{y =−14k (x +2)y =−12x +1解得点Q(4k+22k−1，−22k−1)． 于是x P ＝x Q ，所以PQ ⊥x 轴． 设PQ 中点为N ，则N点的纵坐标为4k 2k−1+−22k−12=1．故PQ 中点在定直线y ＝1上．从上边可以看出点B 在PQ 的垂直平分线上，所以|BP |＝|BQ |， 所以△BPQ 为等腰三角形． 解法2证明：设M （x 0，y 0）（x 0≠±2，y 0≠±1）则x 02+4y 02=4．直线A 2M 方程为y =yx 0−2(x −2)，直线A 1B 方程为y =12x +1．由{y =y0x 0−2(x −2)，y =12x +1.解得点P(2x 0+4y 0−42y 0−x 0+2，4y2y 0−x 0+2)． 直线A 1M 方程为y =yx 0+2(x +2)，直线A 2B 方程为y =−12x +1． 由{y =yx 0+2(x +2)，y =−12x +1.解得点Q(2x 0−4y 0+42y 0+x 0+2，4y02y 0+x 0+2).x P −x Q =2x 0+4y 0−42y 0−x 0+2−2x 0−4y 0+42y 0+x 0+2=2(x 0+2y 0−2)(2y 0+x 0+2)−2(x 0−2y 0+2)(2y 0−x 0+2)(2y 0−x 0+2)(2y 0+x 0+2)=2[(x 0+2y 0)2−4)−(4−(x 0−2y 0)2](2y 0−x 0+2)(2y 0+x 0+2)=0．于是x P ＝x Q ，所以PQ ⊥x轴.y P +y Q =4y 02y 0−x 0+2+4y2y 0+x 0+2=4y0(4y0+4)(2y0−x0+2)(2y0+x0+2)=4y0(4y0+4)(2y0+2)2−x02=2．故PQ中点在定直线y＝1上．从上边可以看出点B在PQ的垂直平分线上，所以|BP|＝|BQ|，所以△BPQ为等腰三角形．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．21．已知数列{a n}是由正整数组成的无穷数列．若存在常数k∈一、选择题*，使得a2n﹣1+a2n ＝ka n对任意的n∈N*成立，则称数列{a n}具有性质Ψ（k）．（Ⅰ）分别判断下列数列{a n}是否具有性质Ψ（2）；（直接写出结论）①a n＝1；②a n＝2n．（Ⅱ）若数列{a n}满足a n+1≥a n（n＝1，2，3，…），求证：“数列{a n}具有性质Ψ（2）”是“数列{a n}为常数列”的充分必要条件；（Ⅲ）已知数列{a n}中a1＝1，且a n+1＞a n（n＝1，2，3，…）．若数列{a n}具有性质Ψ（4），求数列{a n}的通项公式．【分析】（Ⅰ）①②利用已知条件及其定义解验证判断出结论．（Ⅱ）先证“充分性”：当数列{a n}具有“性质Ψ（2）”时，有a2n﹣1+a2n＝2a n，根据a n+1≥a n，可得0≤a2n﹣a n＝a n﹣a2n﹣1≤0，进而有a n＝a2n，结合a n+1≥a n即可证明结论．再证“必要性”：若“数列{a n}为常数列”，容易验证a2n﹣1+a2n＝2a1＝2a n，即可证明．（Ⅲ）首先证明：a n+1﹣a n≥2．根据{a n}具有“性质Ψ（4）”，可得a2n﹣1+a2n＝4a n．当n＝1时，有a2＝3a1＝3．由a2n−1，a2n，a n∈N∗，且a2n＞a2n﹣1，可得a2n≥2a n+1，a2n ﹣1≤2a n﹣1，进而有2a n+1≤a2n≤a2n+1﹣1≤2a n+1﹣2，可得2（a n+1﹣a n）≥3，可得：a n+1﹣a n≥2．然后利用反证法证明：a n+1﹣a n≤2．假设数列{a n}中存在相邻的两项之差大于3，即存在k∈N*满足：a2k+1﹣a2k≥3或a2k+2﹣a2k+1≥3，进而有4（a k+1﹣a k）＝（a2k+2+a2k+1）﹣（a2k+a2k ﹣1）＝[（a2k+2﹣a2k+1）+（a2k+1﹣a2k）]+[（a2k+1﹣a2k）+（a2k﹣a2k﹣1）]≥12．又因为a k+1−a k∈N∗，可得a k+1﹣a k≥3，依此类推可得：a2﹣a1≥3，矛盾．综上有：a n+1﹣a n＝2，结合a1＝1可得a n＝2n﹣1，解：（Ⅰ）①数列{a n}具有“性质Ψ（2）”；②数列{a n}不具有“性质Ψ（2）”．（Ⅱ）证明：先证“充分性”：当数列{a n}具有“性质Ψ（2）”时，有a2n﹣1+a2n＝2a n，又因为a n+1≥a n，所以0≤a2n﹣a n＝a n﹣a2n﹣1≤0，进而有a n＝a2n结合a n+1≥a n有a n＝a n+1＝…＝a2n，即“数列{a n}为常数列”；再证“必要性”：若“数列{a n}为常数列”，则有a2n﹣1+a2n＝2a1＝2a n，即“数列{a n}具有“性质Ψ（2）”．（Ⅲ）首先证明：a n+1﹣a n≥2．因为{a n}具有“性质Ψ（4）”，所以a2n﹣1+a2n＝4a n．当n＝1时，有a2＝3a1＝3．又因为a2n−1，a2n，a n∈N∗，且a2n＞a2n﹣1，所以有a2n≥2a n+1，a2n﹣1≤2a n﹣1，进而有2a n+1≤a2n≤a2n+1﹣1≤2a n+1﹣2，所以2（a n+1﹣a n）≥3，结合a n+1，a n∈N∗可得：a n+1﹣a n≥2．然后利用反证法证明：a n+1﹣a n≤2．假设数列{a n}中存在相邻的两项之差大于3，即存在k∈N*满足：a2k+1﹣a2k≥3或a2k+2﹣a2k+1≥3，进而有4（a k+1﹣a k）＝（a2k+2+a2k+1）﹣（a2k+a2k﹣1）＝（a2k+2﹣a2k）+（a2k+1﹣a2k﹣1）＝[（a2k+2﹣a2k+1）+（a2k+1﹣a2k）]+[（a2k+1﹣a2k）+（a2k﹣a2k﹣1）]≥12．又因为a k+1−a k∈N∗，所以a k+1﹣a k≥3依此类推可得：a2﹣a1≥3，矛盾，所以有a n+1﹣a n≤2．综上有：a n+1﹣a n＝2，结合a1＝1可得a n＝2n﹣1，经验证，该通项公式满足a2n﹣1+a2n＝4a n，所以：a n＝2n﹣1．【点评】本题考查了新定义、等差数列的通项公式、数列递推关系、反证法、转化方法、方程以不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

********************************************************* **********************海淀区高三年级第二学期阶段性测试参考答案2020.春1. A2. B3. B4. D5. C6. C7. D8. C9. A 10. B二、填空题:本大题共5小题, 每小题5分，共25分.11. x = -\12. 24：13. 0；一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.14. 4^2; 2^6；15. (1) (2)三、解答题：本大题共6小题，共85分.16.(共14 分)(1).AB丄平面88CCC】Bu平面BB.C.C ,AB 1 C\B又4BC _ &BG为三棱柱AB = BB、= 2BC = 2 " -----------------BB]=2 = CC[,BC = 1BC\=8 E.•.在A5CG中，SC2 + C,52 = CC,2B:.C}B 1BC•; BCn」B = B y圣BC c WiABC,AB c \^ABC ./C X B1 平面"C⑵C X B丄平面如C:.QB1BC又v AB丄平面B8CCAB LBC, AB LBC,•••以8为空间直角坐标系原点，昭为x轴，BQ為轴，时为:轴建系如图8(0,0,0), C(l,0,0),C,(0,也0), E( - }右,1)而=(—?M,1)网= (1,0,0)设平面BCB^］法向量为〃 =(x, y,z).・.n丄BE.n丄BC n • BE=0,n BC=0******************x + >/3y + z = 0x = 0/. x = 0令= 则:=-3 H =(0,A/3,-3)BC,丄平^ABC17.(共14 分) 解：(I) /(O) = 2 cos 0 + sin 0 = 2 ；(II)当取①口1 =1,勿2 = 2时f(x)-2 cos2 x + sin 2x =sin2x + cos2x + l = V2sin(2x + ^-)+l,••当2当=号时，即一等/(叽宀(-等)=7T = 7V当取②＜y, = L 口2=1时，/(x) = 2 cos2 x + sin x = —2 sin2 x + sin x + 2。

海淀区高三年级第二学期阶段性测试数 学本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题共40 分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在复平面内，复数)2(i i -对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（2）已知集合{}30<<=x x A ，{}1=B A I ，则集合B 可以是 （A ）{1，2} （B ）{1，3} （C ）{0，1，2} （D ）{1，2，3}（3）已知双曲线)0(1222>=-b by x 的离心率为5 ，则b 的值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （4）已知实数c b a ,,在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（A ）a c a b +<- （B ）ab c <2（C ）acb c > （D ）c a c b < （5）在6)21(x x-的展开式中，常数项为（A ）-120 （B ）120 （C ）-160 （D ）160 （6）如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动．当圆M 滚动到圆M '时，圆M '与直线l 相切于点B ．点A 运动到点A '，线段AB 的长度为23π，则点M '到直线A B '的距离为（A ）1 （B ）23 （C ）22 （D ）21 （7）已知函数m x x f -=)(与函数)(x g 的图象关于y 轴对称．若)(x g 在区间（1,2）内单调递减，则m的取值范围为（A ）[-1，+∞) （B ）（-∞，-1] （C ）[-2，+∞) （D ）（-∞，-2] （8）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为（A)5 （B ）22（C ）32 （D)13（9）若数列{}n a 满足21=a ，则“r p r p a a a N r p =∈∀+*，，”是“{}n a 为等比数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （10）形如n22（n 是非负整数）的数称为费马数，记为n F ．数学家费马根据43210F F F F F ，，，，都是质数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出5F ，不是质数，那么5F 的位数是（参考数据；3010.02lg ≈ )（A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

是否n =n +1开 始n =1n >9结束输出S输入11主视图1俯视图2海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 函数()f x =A.[0,)+∞B.[1,)+∞C.(,0]-∞D.(,1]-∞2. 某程序的框图如图所示，若输入的i z =（其中i 为虚数单位），则输出 的S 值为A.1-B.1C.i -D.i3. 若,x y 满足 +20,40,0,x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则12z x y=+的最大值为A.52B.3C.72D.44. 某三棱椎的三视图如图所示，则其体积为 C. D.5. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 为常数列”是“*n ∀∈N ，n n S na =”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 在极坐标系中，圆1:2cos C ρθ=与圆2:2sin C ρθ=相交于,A B 两点， 则AB = A.1 D.27. 已知函数sin(),0,()cos(), 0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能．．成立的是 A. ππ,44a b ==- B. 2ππ,36a b == C. ππ,36a b == D. 5π2π,63a b ==8. 某生产基地有五台机器设备，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作获得的效益值如右表所示. 若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列描述正确．．的是 A. 甲只能承担第四项工作 B. 乙不能承担第二项工作 C. 丙可以不承担第三项工作 D. 丁可以承担第三项工作二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 已知向量(1,),(,9),t t ==a b 若a b P ，则__.t = 10. 在等比数列{}n a 中，22a =，且131154a a +=，则13a a +的值为___. 11. 在三个数1231, 2, log 22-中，最小的数是__.12. 已知双曲线2222:1x y C a b-=的一条渐近线l 的倾斜角为π3，则C 的离心率为__;若C 的一个焦点到l 的距离为2,则C 的方程为__.13. 如图,在 在三角形三条边上的6个不同的圆内填上数字1,2,3其中的一个.(i) 当每条边上的三个数字之和为4时，不同的填法有___种； (ii) 当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有__种.14. 已知函数()f x ，对于给定的实数t ，若存在0,0a b >>，满足：[,]x t a t b ∀∈-+，使得 |()()|2f x f t -≤，则记a b +的最大值为()H t . （i ） 当()2f x x =时，(0)H =___；（ii ）当2()f x x =且[1,2]t ∈时，函数()H t 的值域为___.DABC三、解答题共6小题，共80分。

2020北京海淀高三一模数学 2020春本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 在复平面内，复数i(2−i)对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 己知集合A={x|0<x<3},A∩B={1}，则集合B可以是A. {1,2}B. {1,3}C. {0,1,2}D. {1,2,3}3. 已知双曲线x2−y2b2=1(b>0)的离心率为√5，则b的值为A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是A. b−a<c+aB. c2<abC. cb >caD. |b|c<|a|c5. 在(1x−2x)6的展开式中，常数项为A. −120B. 120C. −160D. 1606. 如图，半径为1的圆M与直线l相切于点A，圆M沿着直线l滚动，当圆M滚动到圆M’时，圆M’与直线l相切于点B，点A运动到点A’，线段AB的长度为3π2，则点M’到直线BA’的距离为A. 1B. √3C. √22D. 127. 已知函数f(x)=|x−m|与函数g(x)的图象关于y轴对称，若g(x)在区间(1,2)内单调递减，则m的取值范围为A. [−1,+∞)B. (−∞,−1]C. [−2,+∞)D. (−∞,−2]8. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为A. √5B. 2√2C. 2√3D. √139. 若数列{a n}满足a1=2,则“∀p,r∈N∗,a p+r=a p a r”是“{a n}为等比数列”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 形如22n+1（n是非负整数）的数称为费马数，记为F n.数学家费马根据F0,F1,F2,F3,F4都是质数提出了猜想：费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出F5不是质数，那么F5的位数是（参考数据：lg2≈0.3010）A. 9B. 10C. 11D. 12第二部分（非选择题共110份）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2020年北京市海淀区高考数学一模试卷一、选择题（共10小题）1．在复平面内，复数i （2﹣i ）对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合A ＝{x |0＜x ＜3}，A ∩B ＝{1}，则集合B 可以是（ ） A ．{1，2} B ．{1，3}C ．{0，1，2}D ．{1，2，3}3．已知双曲线x 2−y 2b2=1（b ＞0）的离心率为√5，则b 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A ．b ﹣a ＜c +aB ．c 2＜abC ．cb＞caD ．|b |c ＜|a |c5．在（1x−2x ）6的展开式中，常数项为（ ）A ．﹣120B ．120C ．﹣160D ．1606．如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动．当圆M 滚动到圆M '时，圆M '与直线l 相切于点B ，点A 运动到点A '，线段AB 的长度为3π2，则点M '到直线BA '的距离为（ ）A ．1B ．√32C ．√22D ．127．已知函数f （x ）＝|x ﹣m |与函数g （x ）的图象关于y 轴对称．若g （x ）在区间（1，2）内单调递减，则m 的取值范围为（ ） A ．[﹣1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1]C ．[﹣2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2]8．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为（ ）A ．√5B ．2√2C ．2√3D ．√139．若数列{a n }满足a 1＝2，则“∀p ，r ∈N *，a p +r ＝a p a r ”是“{a n }为等比数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．形如22n+1（n 是非负整数）的数称为费马数，记为F n ．数学家费马根据F 0，F 1，F 2，F 3，F 4都是质数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出F 5不是质数，那么F 5的位数是（ ）（参考数据：lg 2≈0.3010） A ．9B ．10C ．11D ．12二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知点P （1，2）在抛物线C ：y 2＝2px 上，则抛物线C 的准线方程为 ． 12．在等差数列{a n }中，a 1＝3，a 2+a 5＝16，则数列{a n }的前4项的和为 ．13．已知非零向量a →，b →满足|a →|＝|a →−b →|，则（a →−12b →）•b →= ．14．在△ABC 中，AB ＝4√3，∠B =π4，点D 在边BC 上，∠ADC =2π3，CD ＝2，则AD ＝ ；△ACD 的面积为 ．15．如图，在等边三角形ABC中，AB＝6．动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为f（x），给出下列三个结论：①函数f（x）的最大值为12；②函数f（x）的图象的对称轴方程为x＝9；③关于x的方程f（x）＝kx+3最多有5个实数根．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，AB＝BB1＝2BC＝2，BC1=√3，点E为A1C1的中点．（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣E的大小．17．已知函数f（x）＝2cos2ω1x+sinω2x．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）从①ω1＝1，ω2＝2；②ω1＝1，ω2＝1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f（x）在[−π2，π6]上的最小值，并直接写出函数f（x）的一个周期．18．科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障．如图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值（单位：十亿元）．（Ⅰ）从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；（Ⅱ）从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由．19．已知函数f（x）＝e x+ax．（Ⅰ）当a＝﹣1时，①求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；②求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）求证：当a∈（﹣2，0）时，曲线y＝f（x）与y＝1﹣lnx有且只有一个交点．20．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√32，A1（﹣a，0），A2（a，0），B（0，b），△A1BA2的面积为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线A1B与直线A2M交于点P，直线A1M与直线A2B交于点Q．求证：△BPQ为等腰三角形．21．已知数列{a n}是由正整数组成的无穷数列．若存在常数k∈N*，使得a2n﹣1+a2n＝ka n对任意的n∈N*成立，则称数列{a n}具有性质Ψ（k）．（Ⅰ）分别判断下列数列{a n}是否具有性质Ψ（2）；（直接写出结论）①a n＝1；②a n＝2n．（Ⅱ）若数列{a n}满足a n+1≥a n（n＝1，2，3，…），求证：“数列{a n}具有性质Ψ（2）”是“数列{a n}为常数列”的充分必要条件；（Ⅲ）已知数列{a n}中a1＝1，且a n+1＞a n（n＝1，2，3，…）．若数列{a n}具有性质Ψ（4），求数列{a n}的通项公式．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标，看出所在的象限．解：∵复数z＝i（2﹣i）＝﹣i2+2i＝1+2i∴复数对应的点的坐标是（1，2）这个点在第一象限，故选：A．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，本题解题的关键是写成标准形式，才能看出实部和虚部的值．2．已知集合A＝{x|0＜x＜3}，A∩B＝{1}，则集合B可以是（）A．{1，2}B．{1，3}C．{0，1，2}D．{1，2，3}【分析】根据A＝{x|0＜x＜3}，A∩B＝{1}，即可得出集合B可能的情况．解：∵A＝{x|0＜x＜3}，A∩B＝{1}，∴集合B可以是{1，3}．故选：B．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．3．已知双曲线x 2−y 2b2=1（b ＞0）的离心率为√5，则b 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】利用双曲线的离心率公式，列出方程，求解b 即可． 解：双曲线x 2−y 2b2=1（b ＞0）的离心率为√5，可得√b 2+11=√5，解得b ＝2，故选：B ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题． 4．已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A ．b ﹣a ＜c +aB ．c 2＜abC ．cb＞caD ．|b |c ＜|a |c【分析】法1：根据数轴得到c ＜b ＜a ＜0且|c |＞|b |＞|a |，结合不等式基本性质逐一进行判断即可；法2：用特值法带入验证即可．解：（法1）根据数轴可得c ＜b ＜a ＜0且|c |＞|b |＞|a |，对于A ：因为c ＜b ，a ＜0，所以c +a ＜c ，b ﹣a ＞b ，则c +a ＜c ＜b ﹣a ，即c +a ＜b ﹣a ，故A 错误；对于B ：因为c ＜b ＜a ＜0，|c |＞|b |＞|a |，所以c 2＞b 2＞a 2，且b 2＞ab ，所以c 2＞b 2＞ab ，则c 2＞ab ，故B 错误；对于C ：因为b ＜a ＜0，所以1b＞1a，则cb＜ca，故C 错误；对于D ：因为|b |＞|a |，且c ＜0，所以|b |c ＜|a |c ，故D 正确，（法2）不妨令c ＝﹣5，b ＝﹣4，a ＝﹣1，则c +a ＝﹣6＜b ﹣a ＝﹣3，故A 错误；c 2＝25＞ab ＝4，故B 错误；cb =54＜c a=5，故C错误； 故选：D ．【点评】本题考查不等式的相关应用，考查合情推理，属于中档题． 5．在（1x −2x ）6的展开式中，常数项为（ ）A ．﹣120B ．120C ．﹣160D ．160【分析】先求出通项，然后令x 的指数为零即可．解：由题意得：T k+1=(−2)k C 6k x2k ﹣6， 令2k ﹣6＝0得k ＝3，故常数项为T 4=(−2)3C 63=−160． 故选：C ．【点评】本题考查二项式展开式通项的应用和学生的运算能力，属于基础题． 6．如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动．当圆M 滚动到圆M '时，圆M '与直线l 相切于点B ，点A 运动到点A '，线段AB 的长度为3π2，则点M '到直线BA '的距离为（ ）A ．1B ．√32C ．√22D ．12【分析】根据条件可得圆旋转了34个圆，作图可得到△A 'M 'B 是等腰直角三角形，进而可求得M '到A 'M 的距离．解：根据条件可知圆周长＝2π，因为BA =32π=34×2π，故可得A ’位置如图：∠A 'M 'B ＝90°，则△A 'M 'B 是等腰直角三角形，则M '到A 'M 的距离d =√22r =√22，故选：C ．【点评】本题考查点到直线的距离，考查圆旋转的长度求法，数中档题．7．已知函数f （x ）＝|x ﹣m |与函数g （x ）的图象关于y 轴对称．若g （x ）在区间（1，2）内单调递减，则m 的取值范围为（ ） A ．[﹣1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1]C ．[﹣2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2]【分析】根据题意，分析可得f （x ）在区间（﹣2，﹣1）上递增，将f （x ）写成分段函数的形式，分析可得f （x ）在区间（m ，+∞）上为增函数，据此可得m 的取值范围． 解：根据题意，函数f （x ）＝|x ﹣m |与函数g （x ）的图象关于y 轴对称．若g （x ）在区间（1，2）内单调递减，则f （x ）在区间（﹣2，﹣1）上递增，而f （x ）＝|x ﹣m |={x −m ，x ≥m−x +m ，x ＜m ，在区间（m ，+∞）上为增函数，则有m ≤﹣2，即m 的取值范围为（﹣∞，﹣2]； 故选：D ．【点评】本题考查函数的单调性，涉及函数之间的对称性、不等式的解法，属于基础题． 8．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为（ ）A．√5B．2√2C．2√3D．√13【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出最大棱长．解：根据几何体的三视图可得直观图为：该几何体为四棱锥体，如图所示：所以最长的棱长AB=√22+22+22=2√3．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的棱长的求法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9．若数列{a n}满足a1＝2，则“∀p，r∈N*，a p+r＝a p a r”是“{a n}为等比数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用等比数列的定义通项公式即可判断出结论．解：“∀p，r∈N*，a p+r＝a p a r”，取p＝n，r＝1，则a n+1＝2a n，∴{a n}为等比数列．反之不成立．{a n}为等比数列，则a p+r＝2×q p+r﹣1，a p a r＝22•q p+r﹣2，只有q＝2时才能成立．∴数列{a n}满足a1＝2，则“∀p，r∈N*，a p+r＝a p a r”是“{a n}为等比数列”的充分不必要条件．．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．形如22n+1（n是非负整数）的数称为费马数，记为F n．数学家费马根据F0，F1，F2，F3，F4都是质数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出F5不是质数，那么F5的位数是（）（参考数据：lg2≈0.3010）A．9B．10C．11D．12【分析】根据所给定义表示出F5＝109.632×109，进而即可判断出其位数．解：根据题意，F5=225+1＝232+1≈232=10lg232=1032lg2≈1032×0.3010＝109.632＝100.632×109，因为1＜100.632＜10，所以F5的位数是10．故选：B．【点评】本题考查指对数运算，考查学生阅读理解能力，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知点P（1，2）在抛物线C：y2＝2px上，则抛物线C的准线方程为x＝﹣1．【分析】把点P 的坐标代入抛物线的方程可求得p ，而准线方程为x =−p2，从而得解． 解：把点P （1，2）代入抛物线方程有，4＝2p ，∴p ＝2， ∴抛物线的准线方程为x =−p2=−1． 故答案为：x ＝﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程、准线方程等，考查学生的运算能力，属于基础题． 12．在等差数列{a n }中，a 1＝3，a 2+a 5＝16，则数列{a n }的前4项的和为 24 ． 【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出． 解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1＝3，a 2+a 5＝16， ∴2×3+5d ＝16，解得d ＝2．则数列{a n }的前4项的和＝4×3+4×32×2＝24． 故答案为：24．【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．已知非零向量a →，b →满足|a →|＝|a →−b →|，则（a →−12b →）•b →= 0 ．【分析】把所给条件平方整理得到a →•b →=12b →2；代入数量积即可求解结论．解：因为非零向量a →，b →满足|a →|＝|a →−b →|，∴a →2=a →2−2a →•b →+b →2⇒a →•b →=12b →2；则（a →−12b →）•b →=a →⋅b →−12b →2=0．故答案为：0．【点评】本题考查向量的数量积以及模长的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．14．在△ABC中，AB＝4√3，∠B=π4，点D在边BC上，∠ADC=2π3，CD＝2，则AD＝4√2；△ACD的面积为2√6．【分析】先根据正弦定理求得AD，进而求得三角形的面积．解：如图；因为在△ABC中，AB＝4√3，∠B=π4，点D在边BC上，∠ADC=2π3，CD＝2，所以：ADsin∠ABD =ABsin∠ADB⇒AD=4√3×sinπ4sinπ3=4√2；S△ACD=12•AD•CD•sin∠ADC=12×4√2×2×sin2π3=2√6；故答案为：4√2，2√6．【点评】本题主要考查正弦定理以及三角形的面积，属于基础题目．15．如图，在等边三角形ABC中，AB＝6．动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为f（x），给出下列三个结论：①函数f（x）的最大值为12；②函数f（x）的图象的对称轴方程为x＝9；③关于x的方程f（x）＝kx+3最多有5个实数根．其中，所有正确结论的序号是①②．【分析】写出函数解析式并作出图象，数形结合进行逐一分析解：由题可得函数f （x ）={3+(x −3)2，0≤x ＜63+(x −9)2，6≤x ＜123+(x −15)2，12≤x ≤18，作出图象如图：则当点P 与△ABC 顶点重合时，即x ＝0，6，12，18时，f （x ）取得最大值12，故①正确；又f （x ）＝f （18﹣x ），所以函数f （x ）的对称轴为x ＝9，故②正确；由图象可得，函数f （x ）图象与y ＝kx +3的交点个数为6个，故方程有6个实根，故③错误．故答案为：①②．【点评】本题考查命题的真假性判断，涉及函数的应用、图象与性质，数形结合思想，逻辑推理能力，属于难题三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥平面BB 1C 1C ，AB ＝BB 1＝2BC ＝2，BC 1=√3，点E 为A 1C 1的中点．（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣E的大小．【分析】（Ⅰ）证明AB⊥C1B．CB⊥C1B．利用直线与平面垂直的判断定理证明C1B⊥平面ABC．（Ⅱ）以B为原点建立空间直角坐标系B﹣xyz．求出平面BCE的法向量，平面ABC的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的大大小即可，【解答】（Ⅰ）证明：因为AB⊥平面BB1C1C，C1B⊂平面BB1C1C所以AB⊥C1B．在△BCC1中，BC＝1，BC1=√3，CC1＝2，所以BC2+BC12=CC12．所以CB⊥C1B．因为AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，所以C1B⊥平面ABC．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AB⊥C1B，BC⊥C1B，AB⊥BC，如图，以B为原点建立空间直角坐标系B﹣xyz．则B（0，0，0），E(−12，√3，1)，C（1，0，0）.BC→=(1，0，0)，BE→=(−12，√3，1)．设平面BCE的法向量为n→=（x，y，z），则{n →⋅BC →=0n →⋅BE →=0， 即{x =0，−12x +√3y +z =0. 令y =√3则x ＝0，z ＝﹣3， 所以n →=(0，√3，−3)．又因为平面ABC 的法向量为m →=（0，1，0），所以cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=12．由题知二面角A ﹣BC ﹣E 为锐角，所以其大小为π3．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题． 17．已知函数f （x ）＝2cos 2ω1x +sin ω2x ． （Ⅰ）求f （0）的值；（Ⅱ）从①ω1＝1，ω2＝2；②ω1＝1，ω2＝1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f （x ）在[−π2，π6]上的最小值，并直接写出函数f （x ）的一个周期．【分析】（Ⅰ）由函数f （x ）的解析式求出f （0）的值； （Ⅱ）选择条件①时f （x ）的一个周期为π，利用三角恒等变换化简f（x），再求f（x）在[−π2，π6]的最小值．选择条件②时f（x）的一个周期为2π，化简f（x），利用三角函数的性质求出f（x）在[−π2，π6]的最小值．解：（Ⅰ）由函数f（x）＝2cos2ω1x+sinω2x，则f（0）＝2cos20+sin0＝2；（Ⅱ）选择条件①，则f（x）的一个周期为π；由f（x）＝2cos2x+sin2x＝（cos2x+1）+sin2x=√2(√22sin2x+√22cos2x)+1=√2sin(2x+π4)+1；因为x∈[−π2，π6]，所以2x+π4∈[−3π4，7π12]；所以−1≤sin(2x+π4)≤1，所以1−√2≤f(x)≤1+√2；当2x+π4=−π2，即x=−3π8时，f（x）在[−π2，π6]取得最小值为1−√2．选择条件②，则f（x）的一个周期为2π；由f（x）＝2cos2x+sin x＝2（1﹣sin2x）+sin x=−2(sinx−14)2+178；因为x∈[−π2，π6]，所以sinx∈[−1，12]；所以当sin x＝﹣1，即x=−π2时，f（x）在[−π2，π6]取得最小值为﹣1．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化与运算能力，是基础题．18．科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障．如图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值（单位：十亿元）．（Ⅰ）从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；（Ⅱ）从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由．【分析】（Ⅰ）按照古典概型概率计算公式计算即可；（Ⅱ）显然这是一个超几何分布，按照超几何分布的概率计算方法，分别算出随机变量X取0，1，2时的概率，然后画出分布列，即可求期望；（Ⅲ）结合折线图从“每年的研发投入”“研发投入占营收比”的变化来分析即可．解：（Ⅰ）设事件A为“从2010年至2019年中随机选取一年，研发投入占当年总营收的百分比超过10%”，从2010年至2019年一共10年，其中研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，所以P(A)=9 10．（Ⅱ）由图表信息，从2010年至2019年10年中有5年研发投入超过500亿元，所以X 的所有可能取值为0，1，2．且P(X=0)=C52C102=29；P(X=1)=C51C51C102=59；P(X=2)=C52C102=29．所以X的分布列为：X012P295929故X的期望E(X)=0×29+1×59+2×29=1．（Ⅲ）从两个方面可以看出，该公式是比较重视研发的：一、从2010年至2019年，每年的研发投入是逐年增加的（2018年除外），并且增加的幅度总体上逐渐加大；二、研发投入占营收的比例总体上也是逐渐增加的，虽然2015年往后有些波动，但是总体占比还是较高的．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、期望的求法，注意对题意的理解需到位、准确．同时考查学生的数学建模的素养，属于中档题．19．已知函数f（x）＝e x+ax．（Ⅰ）当a＝﹣1时，①求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；②求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）求证：当a∈（﹣2，0）时，曲线y＝f（x）与y＝1﹣lnx有且只有一个交点．【分析】（Ⅰ）①将a＝﹣1带入，求导，求出切线斜率及切点，利用点斜式方程即得解；②求出函数函数f（x）的单调性情况，进而得出最值；（Ⅱ）即证函数g（x）＝e x+ax+lnx﹣1仅有一个零点，利用导数可知函数g（x）在区间（0，+∞）上单调递增，结合零点存在性定理即得证．解：（Ⅰ）①当a＝﹣1时，f（x）＝e x﹣x，则f'（x）＝e x﹣1．所以f'（0）＝0．又f（0）＝1，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1；②令f'（x）＝0，得x＝0，此时f'（x），f（x）随x的变化如下：x（﹣∞，0）0（0，+∞）f'（x）﹣0+f（x）↘极小值↗可知f（x）min＝f（0）＝1，函数f（x）的最小值为1．（Ⅱ）证明：由题意可知，x∈（0，+∞），令g（x）＝e x+ax+lnx﹣1，则g′(x)=e x+1x+a，由（Ⅰ）中可知e x﹣x≥1，故e x≥1+x，因为a∈（﹣2，0），则g′(x)=e x+1x+a≥(x+1)+1x+a≥2√x⋅1x+a+1=3+a＞0，所以函数g（x）在区间（0，+∞）上单调递增，因为g(1e )=e1e+ae−2＜e12−2＜0，又因为g（e）＝e e+ae＞e2﹣2e＞0，所以g（x）有唯一的一个零点．即函数y＝f（x）与y＝1﹣lnx有且只有一个交点．【点评】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值，函数的零点等问题，考查运算求解能力及推理论证能力，属于中档题．20．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√32，A1（﹣a，0），A2（a，0），B（0，b），△A1BA2的面积为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线A1B与直线A2M交于点P，直线A1M与直线A2B交于点Q．求证：△BPQ为等腰三角形．【分析】（Ⅰ）由题{ca=√32，ab=2，a2=b2+c2.，求出a，b，即可得到椭圆方程．（II）解法1，设直线A2M方程为y=k(x−2)(k≠0且k≠±12)，直线A1B方程为y=12x+1，通过联立直线与椭圆方程组，求出M坐标，Q坐标，推出|BP|＝|BQ|，即可证明△BPQ为等腰三角形．解法2，设M（x0，y0）（x0≠±2，y0≠±1）则x02+4y02=4．直线A2M方程为y=y0x0−2(x−2)，直线A1B方程为y=12x+1．通过联立直线与椭圆方程组，求出P，Q坐标，转化推出|BP |＝|BQ |，得到△BPQ 为等腰三角形．解：（Ⅰ）由题{ c a =√32，ab =2，a 2=b 2+c 2.解得{a =2，b =1.所以椭圆方程为x 24+y 2=1．（ II ）解法1证明：设直线A 2M 方程为y =k(x −2)(k ≠0且k ≠±12)，直线A 1B 方程为y =12x +1 由{y =k(x −2)，y =12x +1.解得点P(4k+22k−1，4k 2k−1)． 由{y =k(x −2)，x 24+y 2=1.得（4k +1）x 2﹣16k 2x +16k 2﹣4＝0， 则2x M =16k 2−44k 2+1． 所以x M =8k 2−24k 2+1，y M =−4k 4k 2+1． 即M(8k 2−24k 2+1，−4k4k 2+1).k A 1M =−4k 4k 2+18k 2−24k 2+1+2=−14k ．于是直线A 1M 的方程为y =−14k (x +2)，直线A 2B 的方程为y =−12x +1． 由{y =−14k (x +2)y =−12x +1解得点Q(4k+22k−1，−22k−1)． 于是x P ＝x Q ，所以PQ ⊥x 轴．设PQ 中点为N ，则N 点的纵坐标为4k 2k−1+−22k−12=1．故PQ 中点在定直线y ＝1上．从上边可以看出点B 在PQ 的垂直平分线上，所以|BP |＝|BQ |，所以△BPQ 为等腰三角形．解法2证明：设M （x 0，y 0）（x 0≠±2，y 0≠±1）则x 02+4y 02=4．直线A 2M 方程为y =y 0x 0−2(x −2)，直线A 1B 方程为y =12x +1． 由{y =y 0x 0−2(x −2)，y =12x +1.解得点P(2x 0+4y 0−42y 0−x 0+2，4y02y 0−x 0+2)． 直线A 1M 方程为y =y 0x 0+2(x +2)，直线A 2B 方程为y =−12x +1． 由{y =y 0x 0+2(x +2)，y =−12x +1. 解得点Q(2x 0−4y 0+42y 0+x 0+2，4y 02y 0+x 0+2).x P −x Q =2x 0+4y 0−42y 0−x 0+2−2x 0−4y 0+42y 0+x 0+2=2(x 0+2y 0−2)(2y 0+x 0+2)−2(x 0−2y 0+2)(2y 0−x 0+2)(2y 0−x 0+2)(2y 0+x 0+2)=2[(x 0+2y 0)2−4)−(4−(x 0−2y 0)2](2y 0−x 0+2)(2y 0+x 0+2)=0． 于是x P ＝x Q ，所以PQ ⊥x 轴.y P +y Q =4y 02y 0−x 0+2+4y02y 0+x 0+2=4y 0(4y 0+4)(2y 0−x 0+2)(2y 0+x 0+2)=4y 0(4y 0+4)(2y 0+2)2−x 02=2． 故PQ 中点在定直线y ＝1上．从上边可以看出点B 在PQ 的垂直平分线上，所以|BP |＝|BQ |，所以△BPQ 为等腰三角形．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．21．已知数列{a n}是由正整数组成的无穷数列．若存在常数k∈一、选择题*，使得a2n﹣1+a2n ＝ka n对任意的n∈N*成立，则称数列{a n}具有性质Ψ（k）．（Ⅰ）分别判断下列数列{a n}是否具有性质Ψ（2）；（直接写出结论）①a n＝1；②a n＝2n．（Ⅱ）若数列{a n}满足a n+1≥a n（n＝1，2，3，…），求证：“数列{a n}具有性质Ψ（2）”是“数列{a n}为常数列”的充分必要条件；（Ⅲ）已知数列{a n}中a1＝1，且a n+1＞a n（n＝1，2，3，…）．若数列{a n}具有性质Ψ（4），求数列{a n}的通项公式．【分析】（Ⅰ）①②利用已知条件及其定义解验证判断出结论．（Ⅱ）先证“充分性”：当数列{a n}具有“性质Ψ（2）”时，有a2n﹣1+a2n＝2a n，根据a n+1≥a n，可得0≤a2n﹣a n＝a n﹣a2n﹣1≤0，进而有a n＝a2n，结合a n+1≥a n即可证明结论．再证“必要性”：若“数列{a n}为常数列”，容易验证a2n﹣1+a2n＝2a1＝2a n，即可证明．（Ⅲ）首先证明：a n+1﹣a n≥2．根据{a n}具有“性质Ψ（4）”，可得a2n﹣1+a2n＝4a n．当n＝1时，有a2＝3a1＝3．由a2n−1，a2n，a n∈N∗，且a2n＞a2n﹣1，可得a2n≥2a n+1，a2n≤2a n﹣1，进而有2a n+1≤a2n≤a2n+1﹣1≤2a n+1﹣2，可得2（a n+1﹣a n）≥3，可得：a n+1﹣1﹣a n≥2．然后利用反证法证明：a n+1﹣a n≤2．假设数列{a n}中存在相邻的两项之差大于3，即存在k∈N*满足：a2k+1﹣a2k≥3或a2k+2﹣a2k+1≥3，进而有4（a k+1﹣a k）＝（a2k+2+a2k+1）﹣（a2k+a2k）＝[（a2k+2﹣a2k+1）+（a2k+1﹣a2k）]+[（a2k+1﹣a2k）+（a2k﹣a2k﹣1）]≥12．又因为a k+1−a k∈﹣1N∗，可得a k+1﹣a k≥3，依此类推可得：a2﹣a1≥3，矛盾．综上有：a n+1﹣a n＝2，结合a1＝1可得a n＝2n﹣1，解：（Ⅰ）①数列{a n}具有“性质Ψ（2）”；②数列{a n}不具有“性质Ψ（2）”．（Ⅱ）证明：先证“充分性”：当数列{a n}具有“性质Ψ（2）”时，有a2n﹣1+a2n＝2a n，又因为a n+1≥a n，所以0≤a2n﹣a n＝a n﹣a2n﹣1≤0，进而有a n＝a2n结合a n+1≥a n有a n＝a n+1＝…＝a2n，即“数列{a n}为常数列”；再证“必要性”：若“数列{a n}为常数列”，则有a2n﹣1+a2n＝2a1＝2a n，即“数列{a n}具有“性质Ψ（2）”．（Ⅲ）首先证明：a n+1﹣a n≥2．因为{a n}具有“性质Ψ（4）”，所以a2n﹣1+a2n＝4a n．当n＝1时，有a2＝3a1＝3．又因为a2n−1，a2n，a n∈N∗，且a2n＞a2n﹣1，所以有a2n≥2a n+1，a2n﹣1≤2a n﹣1，进而有2a n+1≤a2n≤a2n+1﹣1≤2a n+1﹣2，所以2（a n+1﹣a n）≥3，结合a n+1，a n∈N∗可得：a n+1﹣a n≥2．然后利用反证法证明：a n+1﹣a n≤2．假设数列{a n}中存在相邻的两项之差大于3，即存在k∈N*满足：a2k+1﹣a2k≥3或a2k+2﹣a2k+1≥3，进而有4（a k+1﹣a k）＝（a2k+2+a2k+1）﹣（a2k+a2k﹣1）＝（a2k+2﹣a2k）+（a2k+1﹣a2k﹣1）＝[（a2k+2﹣a2k+1）+（a2k+1﹣a2k）]+[（a2k+1﹣a2k）+（a2k﹣a2k﹣1）]≥12．又因为a k+1−a k∈N∗，所以a k+1﹣a k≥3依此类推可得：a2﹣a1≥3，矛盾，所以有a n+1﹣a n≤2．综上有：a n+1﹣a n＝2，结合a1＝1可得a n＝2n﹣1，经验证，该通项公式满足a2n﹣1+a2n＝4a n，所以：a n＝2n﹣1．【点评】本题考查了新定义、等差数列的通项公式、数列递推关系、反证法、转化方法、方程以不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2020年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x∈z|﹣2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜1}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，0}B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{x|﹣2＜x＜1}D．{x|﹣2≤x＜1} 2．已知向量，若，则t=（）A．1 B．3 C．±3 D．﹣33．某程序的框图如图所示，若输入的z=i（其中i为虚数单位），则输出的S 值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i4．若x，y 满足，则z=x+y的最大值为（）A．B．3 C．D．45．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（）A．B．C．D．6．已知点P（x0，y0）在抛物线W：y2=4x上，且点P到W的准线的距离与点P到x轴的距离相等，则x0的值为（）A．B．1 C．D．27．已知函数f（x）=，则“α=”是“函数f（x）是偶函数“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是（）工作效益一二三四五机器甲15 17 14 17 15乙22 23 21 20 20丙9 13 14 12 10丁7 9 11 9 11戊13 15 14 15 11A．甲只能承担第四项工作 B．乙不能承担第二项工作C．丙可以不承担第三项工作D．获得的效益值总和为78二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．函数f（x）=的定义域为______．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则a2﹣a1=______．11．已知l为双曲线C：﹣=1的一条渐近线，其倾斜角为，且C的右焦点为（2，0），则C的右顶点为______，C的方程为______．12．在2这三个数中，最小的数是______．13．已知函数f（x）=sin（2x+φ），若，则函数f（x）的单调增区间为______．14．给定正整数k≥2，若从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中任取k个顶点，组成一个集合M={X1，X2，…，X k}，均满足∀X i，X j∈M，∃X l，X t∈M，使得直线X i X j⊥X l X t，则k的所有可能取值是______．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．在△ABC 中，∠C=，a=6．（Ⅰ）若c=14，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为3，求c的值．16．已知数列{a n}是等比数列，其前n项和为S n，满足S2+a1=0，a3=12．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n，使得S n＞2020？若存在，求出符合条件的n的最小值；若不存在，说明理由．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M，N 分别为线段PB，PC 上的点，MN⊥PB．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PAB；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P，B 重合时，MN∥平面ABCD；（Ⅲ）当AB=3，PA=4时，求点A到直线MN距离的最小值．18．一所学校计划举办“国学”系列讲座．由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示．（Ⅰ）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；（Ⅱ）这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为，，试比较与的大小（只需直接写出结果）；（Ⅲ）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率．（注：成绩大于等于75分为优良）19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A、B两点，|AB|=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点P是椭圆C上的动点，且直线PA，PB与直线x=4分别交于M、N两点，是否存在点P，使得以MN为直径的圆经过点（2，0）？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）=．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）的零点和极值；（3）若对任意x1，x2∈[a，+∞），都有f（x1）﹣f（x2）≥﹣成立，求实数a的最小值．2020年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x∈z|﹣2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜1}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，0}B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{x|﹣2＜x＜1}D．{x|﹣2≤x＜1}【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x∈Z|﹣2≤x＜3}={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|﹣2≤x＜1}，∴A∩B={﹣2，﹣1，0}，故选：A．2．已知向量，若，则t=（）A．1 B．3 C．±3 D．﹣3【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由向量共线可得t的方程，解方程可得．【解答】解：∵向量，且，∴1×9﹣t2=0，解得t=±3故选：C3．某程序的框图如图所示，若输入的z=i（其中i为虚数单位），则输出的S 值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图及已知中输入z=i，可得：进入循环的条件为n≤5，即n=1，2，…，5，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：模拟执行程序，可得z=i，n=1不满足条件n＞5，S=i1，n=2不满足条件n＞5，S=i2，n=3不满足条件n＞5，S=i3，n=4不满足条件n＞5，S=i4，n=5不满足条件n＞5，S=i5，n=6满足条件n＞5，退出循环，输出S=i5=i．故选：D．4．若x，y 满足，则z=x+y的最大值为（）A．B．3 C．D．4【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+y得y=﹣x+y，平移y=﹣x+y，由图象知当直线y=﹣x+y经过点A直线的截距最大，此时z最大，由得，即A（1，3），则z=+3=，故选：C．5．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图之间的关系求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，底面是一个三角形：即俯视图：底是2、高是侧视图的底边，三棱锥的高是侧视图和正视图的高1，∴几何体的体积V==，故选：A．6．已知点P（x0，y0）在抛物线W：y2=4x上，且点P到W的准线的距离与点P到x轴的距离相等，则x0的值为（）A．B．1 C．D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得点P到W的准线的距离即为P到W的焦点F的距离，由题意可得|PF|=|y0|，即可得到x0=1．【解答】解：抛物线W：y2=4x的焦点为（1，0），准线方程为x=﹣1，由抛物线的定义可得点P到W的准线的距离即为P到W的焦点F的距离，由题意可得|PF|=|y0|，则PF⊥x轴，可得x0=1，故选：B．7．已知函数f（x）=，则“α=”是“函数f（x）是偶函数“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数f（x）是偶函数，则sin（x+α）=cos（﹣x+α），可得sin（x+α）=，化简解出即可判断出结论．【解答】解：函数f（x）是偶函数，则sin（x+α）=cos（﹣x+α），可得sin（x+α）=，∴x+α+2kπ=+x﹣α，或π﹣（x+α）+2kπ=+x﹣α，解得，（k∈Z）．∴α=”是“函数f（x）是偶函数”的充分不必要条件．故选：A．8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是（）工作一二三四五效益机器甲15 17 14 17 15乙22 23 21 20 20丙9 13 14 12 10丁7 9 11 9 11戊13 15 14 15 11A．甲只能承担第四项工作 B．乙不能承担第二项工作C．丙可以不承担第三项工作D．获得的效益值总和为78【考点】进行简单的合情推理．【分析】由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为17+23+14+11+15=80，但不能同时取得，再分类讨论，得出乙若不承担第二项工作，承担第一项，甲承担第二项工作，则戊承担第四项工作，即可得出结论．【解答】解：由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为17+23+14+11+15=80，但不能同时取得．要使总和最大，甲可以承担第一或四项工作，丙只能承担第三项工作，丁则不可以承担第三项工作，所以丁承担第五项工作；乙若承担第四项工作；戊承担第一项工作，此时效益值总和为17+23+14+11+13=78；乙若不承担第二项工作，承担第一项，甲承担第二项工作，则戊承担第四项工作，此时效益值总和为17+22+14+11+15=79，所以乙不承担第二项工作，故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．函数f（x）=的定义域为[1，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．【解答】解：∵函数f（x）=，∴2x﹣2≥0，即2x≥2；解得x≥1，∴f（x）的定义域为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则a2﹣a1=2．【考点】数列递推式．【分析】通过，利用a2﹣a1=S2﹣2S1计算即得结论．【解答】解：∵，∴a2﹣a1=（a1+a2）﹣2a1=S2﹣2S1=（4﹣8）﹣2（1﹣4）=2，故答案为：2．11．已知l为双曲线C：﹣=1的一条渐近线，其倾斜角为，且C的右焦点为（2，0），则C的右顶点为（，0），C的方程为﹣=1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得c=2，求出渐近线方程，解方程可得a，b，即可得到右顶点和双曲线的方程．【解答】解：由题意可得c=2，即a2+b2=4，一条渐近线的斜率为k==tan=1，解得a=b=，则双曲线的右顶点为（，0），C的方程为﹣=1．故答案为：（，0），﹣=1．12．在2这三个数中，最小的数是．【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵=＞1，log32＞=，∴在2这三个数中，最小的数是．故答案为：．13．已知函数f（x）=sin（2x+φ），若，则函数f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件可得+φ=2kπ+，且﹣+φ=2kπ﹣，k∈Z，求得φ的值，可得f （x）的解析式，再利用正弦函数的单调性得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin（2x+φ），若，则函数的周期为π，f（）=sin（+φ）=1，f（﹣）=sin（﹣+φ）=﹣1，故+φ=2kπ+，且﹣+φ=2kπ﹣，k∈Z，即φ=2kπ+，k∈Z．故取φ=，f（x）=sin（2x+）．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故答案为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．14．给定正整数k≥2，若从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中任取k个顶点，组成一个集合M={X1，X2，…，X k}，均满足∀X i，X j∈M，∃X l，X t∈M，使得直线X i X j⊥X l X t，则k的所有可能取值是6，7，8．【考点】棱柱的结构特征．【分析】由题意，∀X i，X j∈M，∃X l，X t∈M，使得直线X i X j⊥X l X t，则k至少要取6，可以保证由四点共面，即可得出结论．【解答】解：由题意，∀X i，X j∈M，∃X l，X t∈M，使得直线X i X j⊥X l X t，则k至少要取6，即可保证有四点共面，由正方形的性质，四点共面时，∃X l，X t∈M，使得直线X i X j⊥X l X t，∴k的所有可能取值是6，7，8．故答案为：6，7，8．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．在△ABC 中，∠C=，a=6．（Ⅰ）若c=14，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为3，求c的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）利用正弦定理解出；（II）根据面积计算b，再利用余弦定理解出c．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得：，即，∴．（Ⅱ）∵=．∴b=2．由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2a•b•cosC=4+36﹣2×=52．∴．16．已知数列{a n}是等比数列，其前n项和为S n，满足S2+a1=0，a3=12．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n，使得S n＞2020？若存在，求出符合条件的n的最小值；若不存在，说明理由．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）通过设数列{a n}的公比为q，利用2a1+a1q=0及a1≠0可知q=﹣2，进而通过a3=12可知首项a1=3，计算即得结论；（Ⅱ）通过（I）、利用等比数列的求和公式计算可知S n＞2020等价于（﹣2）n＜﹣2020，分n为奇数、偶数两种情况讨论即可．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，因为S2+a1=0，所以2a1+a1q=0，因为a1≠0，所以q=﹣2，又因为，所以a1=3，所以；（Ⅱ）结论：符合条件的n的最小值为11．理由如下：由（I）可知，令S n＞2020，即1﹣（﹣2）n＞2020，整理得（﹣2）n＜﹣2020，当n为偶数时，原不等式无解；当n为奇数时，原不等式等价于2n＞2020，解得n≥11；综上所述，所以满足S n＞2020的正整数n的最小值为11．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M，N 分别为线段PB，PC 上的点，MN⊥PB．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PAB；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P，B 重合时，MN∥平面ABCD；（Ⅲ）当AB=3，PA=4时，求点A到直线MN距离的最小值．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）通过证明BC⊥平面PAB，即可证明平面PBC⊥平面PAB；（Ⅱ）在△PBC中，BC⊥PB，MN⊥PB，所以MN∥BC，利用线面平行的判定定理，证明MN∥平面ABCD；（Ⅲ）AM的长就是点A到MN的距离，A到直线MN距离的最小值就是A到线段PB的距离．【解答】证明：（Ⅰ）在正方形ABCD中，AB⊥BC．…．因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC．…．又AB∩PA=A，AB，PA⊂平面PAB，…．所以BC⊥平面PAB．…．因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB．…．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB．…．在△PBC中，BC⊥PB，MN⊥PB，所以MN∥BC，…．又BC⊂平面ABCD，MN⊄平面ABCD，…．所以MN∥平面ABCD．…．解：（Ⅲ）因为MN∥BC，所以MN⊥平面PAB，…．而AM⊂平面PAB，所以MN⊥AM，…．所以AM的长就是点A到MN的距离，…．而点M在线段PB上所以A到直线MN距离的最小值就是A到线段PB的距离，在Rt△PAB中，AB=3，PA=4，所以A到直线MN的最小值为．…．18．一所学校计划举办“国学”系列讲座．由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示．（Ⅰ）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；（Ⅱ）这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为，，试比较与的大小（只需直接写出结果）；（Ⅲ）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率．（注：成绩大于等于75分为优良）【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；极差、方差与标准差．【分析】（Ⅰ）设这10名同学中男女生的平均成绩分别为．利用茎叶图能求出该班男、女生国学素养测试的平均成绩．（Ⅱ）女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差．（Ⅲ）设“两名同学的成绩均为优良”为事件A，男生按成绩由低到高依次编号为a1，a2，a3，a4，女生按成绩由低到高依次编号为b1，b2，b3，b4，b5，b6，由此利用列举法能求出这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率．【解答】解：（Ⅰ）设这10名同学中男女生的平均成绩分别为．则…．…．∴该班男、女生国学素养测试的平均成绩分别为73.75，76．（Ⅱ）女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差．…．（Ⅲ）设“两名同学的成绩均为优良”为事件A，…．男生按成绩由低到高依次编号为a1，a2，a3，a4，女生按成绩由低到高依次编号为b1，b2，b3，b4，b5，b6，则从10名学生中随机选取一男一女两名同学共有24种取法…．（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a1，b5），（a1，b6），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4），（a2，b5），（a2，b6），（a3，b1），（a3，b2），（a3，b3），（a3，b4），（a3，b5），（a3，b6），（a4，b1），（a4，b2），（a4，b3），（a4，b4），（a4，b5），（a4，b6），其中两名同学均为优良的取法有12种取法…．（a2，b3），（a2，b4），（a2，b5），（a2，b6），（a3，b3），（a3，b4），（a3，b5），（a3，b6），（a4，b2），（a4，b3），（a4，b4），（a4，b5），（a4，b6），所以，即两名同学成绩均为优良的概率为．…．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A、B两点，|AB|=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点P是椭圆C上的动点，且直线PA，PB与直线x=4分别交于M、N两点，是否存在点P，使得以MN为直径的圆经过点（2，0）？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式，以及a，b，c的关系，计算即可得到所求椭圆方程；（Ⅱ）设P（m，n），可得+n2=1，可得A（0，1），B（0，﹣1），设M（4，s），N（4，t），运用三点共线的条件：斜率相等，求得M，N的坐标，再由直径所对的圆周角为直角，运用垂直的条件：斜率之积为﹣1，计算即可求得m，检验即可判断是否存在．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，2b=2，即b=1，又a2﹣c2=1，解得a=2，c=，即有椭圆的方程为+y2=1；（Ⅱ）设P（m，n），可得+n2=1，即有n2=1﹣，由题意可得A（0，1），B（0，﹣1），设M（4，s），N（4，t），由P，A，M共线可得，k PA=k MA，即为=，可得s=1+，由P，B，N共线可得，k PB=k NB，即为=，可得s=﹣1．假设存在点P，使得以MN为直径的圆经过点Q（2，0）．可得QM⊥QN，即有•=﹣1，即st=﹣4．即有[1+][﹣1]=﹣4，化为﹣4m2=16n2﹣（4﹣m）2=16﹣4m2﹣（4﹣m）2，解得m=0或8，由P，A，B不重合，以及|m|＜2，可得P不存在．20．已知函数f（x）=．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）的零点和极值；（3）若对任意x1，x2∈[a，+∞），都有f（x1）﹣f（x2）≥﹣成立，求实数a的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程；（2）令f（x）=0，可得零点；由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，进而得到极小值，无极大值；（3）结合单调性，当a≥2时，f（x）在[a，+∞）递增，即有f（x）≥f（a）≥f（2）=﹣，运用不等式的性质，即可得到a的最小值为2．【解答】解：（1）函数f（x）=的导数为f′（x）=，可得在点（0，f（0））处的切线斜率为﹣2，切点为（0，1），即有切线的方程为y=﹣2x+1；（2）由f（x）=0，可得x=1，即零点为1；由x＞2时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜2时，f′（x）＜0，f（x）递减．可得x=2处，f（x）取得极小值，且为﹣，无极大值；（3）由（2）可得f（2）取得极小值﹣，当a≥2时，f（x）在[a，+∞）递增，即有f（x）≥f（a）≥f（2）=﹣，由﹣≤f（x1）＜0，0＜﹣f（x2）＜，可得＞f（x1）﹣f（x2）≥﹣恒成立．即有a的最小值为2．2020年9月10日。

北京市海淀区2020届高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知复数z=−1+i，z是z的共轭复数，在复平面内，z所对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合A={x|x2−4x<0}，B={−1,3，7}，则A∩B=()A. {−1}B. {3}C. {3,7}D. {−1,7}3.若a>1，则双曲线x2a2−y2=1的离心率的取值范围是()A. (√2,+∞)B. (√2,2)C. (1,√2)D. (1,2)4.下列叙述正确的是()A. 若|a|=a，则a>0B. 若a≠b，则|a|≠|b|C. 若|a|=|b|，则a=bD. 若a=−b，则|a|=|b|5.在(x2−1√x3)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为()．A. 7B. −7C. −28D. 286.已知直线l：y=k(x+4)与圆(x+2)2+y2=4相交于A，B两点，M是线段AB的中点，则点M到直线3x−4y−6=0的距离的最大值为()A. 2B. 3C. 4D. 57.若函数f(x)=log2(x2−2ax+3)在区间(−∞,1]内单调递减，则a的取值范围是()A. [1,+∞)B. (1,+∞)C. [1,2)D. [1,2]8.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则此几何体的最长的棱长为()A. 2√2B. 3√2C. √5D. 39.在等比数列{a n}中，已知a1+a2=−32,a4+a5=12，则数列是()A. 递增数列B. 递减数列C. 摆动数列D. 常数列10.已知a n=log n+1(n+2)(n∈N∗)，观察下列算式：a1⋅a2=log23⋅log34=lg3lg2⋅lg4lg3=2；a1⋅a2⋅a3⋅a4⋅a5⋅a6=log23⋅log34⋯⋯log78=lg3lg2⋅lg4lg3⋯lg8lg7=3；若a1⋅a2⋅a3⋯a m=2016(m∈N∗)，则m的值为()A. 22016+2B. 22016C. 22016−2D. 22016−4二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.抛物线y2=4x的准线方程为__________．12.在等差数列{a n}中，a3+a5+2a10=4，则此数列的前13项的和等于______ ．13.已知|b⃗ |=1，a⃗⋅b⃗ =2，则向量(2a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =______．14.已知，在△ABC中B=π3，b=2，S▵ABC的最大值为________．15.已知函数y=f(x)的周期为2，当x∈[0,2]时，f(x)=(x−1)2，如果g(x)=f(x)−log5|x−1|，则方程g(x)=0的所有根之和为__________．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC,PD⊥CD，且PA=2，E为PD中点．(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)求二面角A−BE−C的正弦值．17.已知函数f(x)=2cos2ωx−1+2√3cosωxsinωx(0<ω<1)，x=π3是f(x)图象的一条对称轴．(1)试求ω的值;(2)已知函数y=g(x)的图象是由y=f(x)图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到，若g(2α+π3)=65,α∈(0,π2),求sinα的值．18.某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A,B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n(n∈N∗)个人数超过1000人的大集团和8个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为415．(1)求n值；(2)若取出的2个集团是同一类集团，求全为大集团的概率；(3)若一次抽取4个集团，假设取出小集团的个数为X，求X的分布列．19.已知函数f(x)=x−sinx．(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(π2,f(π2))处的切线方程；(Ⅱ)求证：当x∈(0,π2)时，0<f(x)<16x3．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(2,0)，且离心率为√32．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线y=kx+√3与椭圆C交于M，N两点，若直线x=3上存在点P，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k的值．21.已知数列{a n}满足：na1+(n−1)a2+⋯+2a n−1+a n=2n．(1)求{a n}的通项公式；(2)是否存在正整数p，q，r(p<q<r)，使a p，a q，a r成等差数列，若存在，求出p，q，r的值；若不存在，说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查了共轭复数的定义、几何意义，属于基础题．利用共轭复数的定义、几何意义即可得出．解：复数z=−1+i，z=−1−i，∴z所对应的点(−1,−1)位于第三象限．故选：C．2.答案：B解析：本题考查交集的运算，属于基础题．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：A={x|x2−4x<0}={x|0<x<4}，B={−1,3，7}，∴A∩B={3}．故选：B．3.答案：C解析：本题考查双曲线的简单性质，利用双曲线方程，求出c，然后求解双曲线的离心率的取值范围即可．解：若a>1，则双曲线x2a2−y2=1的离心率为：ca=√1+a2a=√1+1a2∈(1,√2).故选C．4.答案：D解析：解：若|a|=a，则a≥0，故A错误；若a=−b≠0时，a≠b，但|a|=|b|，故B错误；若|a|=|b|，则a=b或a=−b，故C错误；若a=−b，则|a|=|b|，故D正确；故选：D根据绝对值的定义和性质，逐一分析四个答案的正误，可得答案．本题以命题的真假判断为载体考查了绝对值的定义和性质，难度不大，属于基础题．5.答案：A解析：本题考查二项式系数的性质、利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题． 利用二项展开式的中间项的二项式系数最大，列出方程求出n ；利用二项展开式的通项公式求出通项，令x 的指数为0求出常数项． 解：依题意，n2+1=5， ∴n =8．二项式为(x2−1√x 3)8，其展开式的通项T k+1=(−1)k (12)8−k C 8k x 8−4k3 令8−4k 3=0解得k =6故常数项为C 86(x2)2(−1√x3)6=7．故选A ．6.答案：C解析：解：直线l ：y =k(x +4)过定点(−4,0)，不妨记A(−4,0)， 设M(x 0,y 0)，B(x 1,y 1)，则{x 1=2x 0+4y 1=2y 0，代入(x +2)2+y 2=4， 可得(x 0+3)2+y 02=1．∴M 的轨迹是以(−3,0)为圆心，1为半径的圆，则M 到直线3x −4y −6=0的距离的最大值为|−3×3−6|5+1=4．故选：C ．本题主要考查了与圆有关的轨迹问题，点到直线的距离公式，是中档题．由题意画出图形，利用待定系数法求出M 的轨迹，结合点到直线的距离公式得答案．7.答案：C解析：解：设t =g(t)=x 2−2ax +3，则函数y =log 2t 为增函数， 若函数f(x)=log 2(x 2−2ax +3)在区间(−∞,1]内单调递减， 则等价为g(t)=x 2−2ax +3在区间(−∞,1]内单调递减且g(1)>0， 即{−−2a2=a ≥1g(1)=1−2a +3>0， 即{a ≥1a <2，解得1≤a <2， 故a 的取值范围是[1,2)， 故选：C利用换元法，结合复合函数单调性之间的关系即可得到结论．本题主要考查复合函数单调性的应用，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．8.答案：D解析：本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积，判断直观图是解题的关键，属于中档题． 首先由三视图还原几何体，利用三视图的数据求解几何体的最长棱长即可． 解：三视图表示的几何体为三棱锥D −ABC ，是正方体的一部分，易知正方体的棱长为：2，则此几何体的最长的棱长为：BD =√CD 2+BC 2=√4+4+1=3． 故选D ．9.答案：C解析：解：由已知得公比q 满足：q 3=a 4+a5a 1+a 2=−8，所以q =−2，而a 1+a 2=−a 1=−32，所以a 1=32， 故数列{a n }是摆动数列， 故选：C ．由已知得公比q满足：q3=a4+a5a1+a2=−8，解得q，即可得出结论．本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.答案：C解析：本题考查归纳推理的问题，解题时要注意对数性质的合理运用，是中档题．由已知得lg(m+2)=lg22016，由此能求出m．解：∵a n=log n+1(n+2)(n∈N∗)，∴a1⋅a2⋅…⋅a m=log23⋅log34⋅log45·…⋅log(m+1)(m+2)=lg3lg2⋅lg4lg3⋅lg5lg4·…⋅lg(m+2)lg(m+1)=lg(m+2)lg2，即lg(m+2)lg2=2 016，lg(m+2)=lg22016，解得m=22016−2．故选C．11.答案：x=−1解析：本题考查了抛物线的性质及几何意义．利用抛物线的准线方程得结论.解：由抛物线y2=4x，得p=2，所以准线方程为x=−1．故答案为x=−1．12.答案：13解析：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a5+2a10=4，∴a3+(a3+2d)+2(a3+7d)=4，∴4(a3+4d)=4，即a7=a3+4d=1，∴数列的前13项的和S13=13(a1+a13)2=13×2a72=13a7=13故答案为：13．由已知数据和通项公式可得a7=1，再由求和公式和性质可得S13=13a7，代值计算可得．本题考查等差数列的性质和求和公式，求出a7=1是解决问题的关键，属基础题．13.答案：3。

2020届海淀区高三年级第二学期阶段性测试参考答案
数
学 2020春
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.
二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.
注：第14题第一空3分,第二空2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。

三、解答题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（16）解：（Ⅰ）因为AB ⊥平面11BB C C ，1C B ⊂平面11BB C C
所以1AB C B ⊥.
在△1BCC 中，1BC =,1BC =12CC =,
所以22211BC BC CC +=.
所以1CB C B ⊥. 因为AB BC B =I , ,AB BC ⊂平面ABC ，。